微分方程及其定解条件等效积分

T x, y, z
T x, y, z,t
n
T n
hT
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x,
y,
z
现在我们来回顾一下刚才介绍的几个微分方程
2u t 2
a2
2u x2
f
c
T t
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
f0
2T x2
2T y 2
2T z 2
g
2T x2
2T y 2
2T z 2
0
第一个微分方程，方程两边微分的最高阶数都是2，如 果做移项整理
这里所说的弦的振动是弦的微小横振动，一定长度 的、柔软、均匀的弦，两端拉紧，在垂直于弦线的外力下 做微小横振动，弦的运动发生在同一平面内，弦的各点位 移与平衡位置垂直
弦的长度l，线密度为 ，弦的张力为T
O
u x, t
x
弦振动的微分方程为：
2u t 2
a2
2u x2
f
a2 T / f是垂直于平衡位置的外力
下面来看第二个典型问题：热传导问题
三维非定常热传导问题的微分方程为：
c
T t
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
f0
c 物体的比热容
物体的密度
k 物体的热传导系数
f0 物体内部热源强度
与弦振动问题类似，要想确定物体内部的温度场，除 了上面那个微分方程以外，还需要定解条件，定解条 件也包括两种：初值条件和边值条件 初值条件，是初始时刻物体的温度场
称为哈密顿（Hamilton）算子
x y z
2
g
2 x2
2 y 2
2 z 2
称为拉普拉斯算子
从上面的算子表达式，再回忆我们学过的高等数学的 知识，哈密顿算子运算的结果，是一个标量场的梯度 是一个向量场，而反过来说，如果一个向量场是一个 标量场的梯度，这个向量场称为有势场，这个标量场 称为有势场的位势场或位势函数
在定常热传导问题中，温度场的梯度为
T
T
r i
T
r j
T
ur k
x y z
也就是说，这个向量场是温度场的梯度，是一个有势场
而温度场是这个有势场的位势场或位势函数，这就是泊
松方程和拉普拉斯方程称为位势方程的原因
现在我们来看位势方程的定解条件。由于待求变量与 时间无关，不需要初值条件因此位势方程的定解条件 类似三维热传导方程的三种边界条件，
这个微分方程虽然描述了弦振动时各点的运动状态， 但单纯依靠这个微分方程，我们还不能唯一确定弦的 振动，必须给出定解条件，定解条件主要有两种，一 种是初始时刻弦的运动状态，称为初始条件：
初始时刻各点的位移 u x,0 x 0 x l 初始时刻各点的速度 u x,0 x 0 x l
T
u x
0, t
k0u
0, t
t
T
u x
l,t
k1u
l,t
t
这个边界条件的物理意义是，弦的端点固定在两个 弹性支撑上，两个弹性支撑的弹性系数为：k0，k1
以上是弦振动的数学模型，是由微分方程与相应的定 解条件（初值条件，边值条件）共同组成的，这一样 问题又称为混合初边问题。定解条件中只有初值条件 的问题称为初值问题。定解条件中只有边值条件的， 称为边值问题。
t
另外一种定解条件是边界条件，对于弦振动问题来说
给定弦的两个端点的运动规律，一般来说边界条件有
三种：
第一种给定弦端点的位移
u 0,t g1 t
u
l,
t
g2
t
第二种给定位移梯度的端点值 位移的梯度表示弦线的挠度
u x
0,
t
t
u x
l,
t
t
第三种边界条件是端点的位移和速度的线性组合是 一个已知函数，对于弦振动
最后再看位势方程，为了几何直观，我们写成二维的
情况
2T x2
2T y 2
g
这个方程形式和椭圆方程形式类似
x2 a2
y2 b2
1
这类方程又称为椭圆型微分方程
微分方程主要就分为这三个类型：抛物型；双曲型；椭 圆型
请大家注意，我们并不是要讨论三种类型的微分方程的 准确定义。准确的定义，大家可以参考数学物理方程的 有关书籍和资料
有限元方法特别适合求解椭圆微分方程或方程组。
现在来总结一下边界条件，我们看到，在以上的三个 典型问题的微分方程中，给定的边界条件都有三种：
第一种是给定待求函数在边界处的数值，这种边界条件 称为第一边界条件、Direchlet边界条件、强制边界条件
第二种是给定待求函数在边界处梯度或方向导数，这种 边界条件称为第二边界条件、Neumann边界条件
在三维热传导问题中，如果温度不随时间变化，即 定常热传导，三维热传导方程可以写为
x
k
T x
y
k
T y
z
k
T z
f0
0
假定物体是均匀的，那么这个方程可以进一步简化
2T 2T 2T g x2 y2 z2
这个方程又称为泊松（Poisson）方程
再进一步，如果均匀物体中没有热源，稳态热传导方程
Tt0 x, y, z
边值条件也有三种
第一种：给定边界的温度 T x, y, z
第二种：给定边界的热流量 T x, y, z,t
n
第三种：给定边界的热流量和温度线性组合
T n
hT
x,
y,
z
T n
v T gn
T x
nx
T y
ny
T z
nz
下面来看第三个典型问题：位势方程
2u t 2
a2
2u x2
f
这个方程的形式和双曲线方程的形式很类似
x2 y2 a2 b2 c
这类的方程又称为双曲型微分方程
再看第二个方程，现在加上物体均匀，为了几何上更 直观这个方程可以，我们写出一维的情况
c
T t
k
2T x2
f0
这个方程形式和抛物线方程形式类似
y ax2 c
这类方程又称为抛物型微分方程
这一部分里，我们将看到以下内容
几个典型物理问题及其数学描述（微分方程和定解条 件）
微分方程的类型 微分方程的边界条件 微分方程及其边界条件的等效积分原理
几个典型的问题
弦振动问题的微分方程及定解条件 传热问题的微分方程及定解条件 位势方程及定解条件
弦是一种抽象模型，工程实际中，可以模拟绳锁、 电缆等结构，如远距离输电线路、一些桥梁的悬索、拉 锁等；几何上可以用一条线段（不一定是直线段）来表 示弦。
为
2T x2
2T y 2
2T z 2
0
这就是我们熟悉的拉普拉斯方程（Laplace）
以上给出的是泊松方程和拉普拉斯方程在笛卡尔坐标系 下的形式，下面给出它们的算子形式，它们在其它坐标 也成立系
泊松方程
gT 2T g
拉普拉斯方程 gT 2T 0
其中，在笛卡尔坐标系下：
r i
r j
ur k