三角函数解应用题(专题)

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人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)应用题综合训练(含解析)

初中三角函数应用题综合一．解直角三角形的应用（共10小题）1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM ＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；（2）计算公园D与小明家A的距离．3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．（1）求点E离地面AC的距离BE的长；（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．二．解直角三角形的应用−坡度坡角问题（共7小题）8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（）A．30°B．60°C．1：D．：19．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（）A．8m B．4m C．8m D．m11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（）米．A．20B．20C．10D．2012．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE ＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）求DB的长度（结果保留根号）．14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ （如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）三．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共8小题）15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（）A．31°B．42°C．48°D．59°16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（）A．B．C．D．17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（）（参考数据：，，）A．米B．米C．56米D．66米18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为 m．20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．参考答案与试题解析一．解直角三角形的应用（共10小题）1．如图，小明同学用仪器测量一棵大树AB的高度，在C处测得∠ADM＝30°，在E处测得∠AFM ＝60°，CE＝10米，仪器高度CD＝1.5米，求这棵树AB的高度．（结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24）【解答】解：由题意知，四边形CDBM、CDEF、EFMB是矩形，∴BM＝CD＝1.5米，CE＝DF＝10米．在Rt△ADM中，∵tan∠ADM＝，∴DM＝＝AM．在Rt△AFM中，∵tan∠AFM＝，∴FM＝＝AM．∵DF＝DM﹣FM，∴AM﹣AM＝10．∴AM＝10．AM＝5．∴AB＝AM+MB＝5+1.5≈5×1.73+1.5＝8.65+1.5＝10.15＝10.2（米）．答：这棵树AB的高度为10.2米．2．如图，小明家A和地铁口B两地恰好处在东西方向上，且相距3km，学校C在他家A正北方向的4km处，公园D与地铁口B和学校C的距离分别5km和km．（1）若∠BDA＝10°，求∠ADC的大小；（2）计算公园D与小明家A的距离．【解答】解：（1）由题意得：BD＝5km，CD＝5km，∠BAC＝90°，AB＝3km，CA＝4km，∴BC＝＝＝5（km），∴BC＝BD，∵BC2+BD2＝52+52＝50，CD2＝（5）2＝50，∴BC2+BD2＝CD2，∴△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBD＝90°，∴∠BDC＝45°，∴∠ADC＝∠BDC﹣∠BDA＝45°﹣10°＝35°；（2）过D作DE⊥AB，交AB的延长线于E，如图所示：则∠DEB＝90°，∴∠BDE+∠DBE＝90°，由（1）得：∠CBD＝90°，∴∠DBE+∠CBA＝90°，∴∠BDE＝∠CBA，在△BDE和△CBA中，，∴△BDE≌△CBA（AAS），∴DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，∴AE＝BE+AB＝7（km），∴AD＝＝＝（km）．∴公园D与小明家A的距离为km．3．如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°＝，AC＝80千米，∴CD＝AC•sin30°＝80×＝40（千米），BC＝＝＝40（千米），∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．（2）∵cos30°＝，AC＝80千米，∴AD＝AC•cos30°＝80×＝40（千米），∵tan45°＝，CD＝40（千米），∴BD＝＝＝40（千米），∴AB＝BD+AD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．4．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△DEF来测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DE＝1m，EF＝0.6m，测得边DF离地面的高度AC＝0.8m，CD＝6m，求树高AB．【解答】解：方法一：在Rt△EDF中，DE＝1m，EF＝0.6m，∴tan∠EDF＝＝＝，在Rt△BCD中，CD＝6m，∵tan∠BDC＝tan∠EDF，∴＝，∴BC＝3.6m，∵AC＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），答：树高AB为4.4m；方法二：由题意得：∠BCD＝∠DEF＝90°，∠CDB＝∠EDF，∴△DCB∽△DEF，∴，∵DE＝1m，EF＝0.6m，CD＝6m，∴＝，解得：BC＝3.6，∵AC＝0.8m，∴AB＝AC+BC＝3.6+0.8＝4.4（m），答：树高AB为4.4m．5．如图是小朋友玩的“滚铁环”游戏的示意图，⊙O向前滚动时，铁棒DE保持与OE垂直．⊙O与地面接触点为A，若⊙O的半径为25cm，∠AOE＝53°．（1）求点E离地面AC的距离BE的长；（2）设人站立点C与点A的距离AC＝53cm，DC⊥AC，求铁棒DE的长．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）【解答】解：过E作与AC平行的直线，与OA、FC分别相交于H、N．（1）在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，OE＝25cm，∠AOE＝53°，∴HO＝OE×cos53°＝15cm，EH＝20cm，EB＝HA＝25﹣15＝10（cm），所以铁环钩离地面的高度为10cm；（2）∵铁环钩与铁环相切，∴∠EOH+∠OEH＝∠OEH+∠DEN＝90°，∠DEN＝∠EOH，∴DE＝＝，在Rt△DEN中，∠DNE＝90°，EN＝BC＝AC﹣AB＝53﹣20＝33（cm），DE＝＝＝55（cm），∴铁环钩的长度DE为55cm．6．某中学数学活动小组设计了如图检测公路上行驶的校车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于30米，在l上点D的同侧取点A，B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝45°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，≈1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．【解答】解：（1）由题意得：在Rt△ADC中，AD＝＝≈51.9（米），在Rt△BDC中，BD＝＝＝30（米），∴AB＝AD﹣BD≈51.9﹣30＝21.9（米），答：AB的长为21.9米；（2）不超速，理由：∵汽车从A到B用时2秒，∴速度为21.9÷2＝10.95（米/秒），∵10.95×3600＝39420（米/时），∴该车速度为39.42千米/小时，∵39.42千米/小时＜40千米/小时，∴这辆校车在AB路段不超速．7．为了测量旗杆AB的高度，小颖画了如下的示意图，其中CD，EF是两个长度为2m的标杆．（1）如果现在测得∠DEC＝30°，EG＝4m，求旗杆AB的高度；（参考数据：≈1.41，≈1.73）（2）如果CE的长为x，EG的长为y，请用含x，y的代数式表示旗杆AB的高度．【解答】解：（1）由题意得：∠ABC＝∠DCE＝∠FEG＝90°，在Rt△DCE中，CE＝＝＝2m，∵∠DEC＝∠AEB，∴△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，∵∠FGE＝∠AGB，∴△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝（8+12）m，∴＝，∴AB＝8+4≈14.92m，答：旗杆AB的高度为14.92米；（2）由（1）得：△DEC∽△AEB，∴＝，∴＝，由（1）得：△FGE∽△AGB，∴＝，∴＝，∴＝，∴EB＝，∴＝，∴AB＝，答：旗杆AB的高度为m．二．解直角三角形的应用−坡度坡角问题（共7小题）8．如图所示，斜坡的坡比i＝h：l＝1：，则斜坡的坡度是（）A．30°B．60°C．1：D．：1【解答】解：∵斜坡的坡比i＝h：l＝1：，∴斜坡的坡度为1：，故选：C．9．如图，要测量山高CD，可以把山坡“化整为零”地划分为AB和BC两段，每一段上的山坡近似是“直”的．若量得坡长AB＝600m，BC＝800m，测得坡角∠BAD＝30°，∠CBE＝45°，则山高CD为（）A．（300+800）m B．700mC．（300+400）m D．（400+300）m【解答】解：由题意可知，四边形BFDE为矩形，∴DE＝BF，在Rt△BAF中，∠BAF＝30°，AB＝600m，则BF＝AB＝300（m），∴DE＝300m，在Rt△CBE中，∠CBE＝45°，BC＝800m，∴CE＝BC＝400（m），∴CD＝CE+DE＝（300+400）m，故选：C．10．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC为4m，则AC的长度为（）A．8m B．4m C．8m D．m【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：＝，BC＝4m，∴AC＝BC＝4（m），故选：B．11．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，背水坡CD的坡度i＝1：，则背水坡的坡长CD为（）米．A．20B．20C．10D．20【解答】解：由题意得：四边形AEFD是矩形，∴DF＝AE，∵迎水坡AB的坡角α＝45°，坡长AB＝10米，∴DF＝AE＝10×sin45°＝10（米），∵背水坡CD的坡度i＝1：，∴tan C＝i＝＝＝，∴∠C＝30°，∴CD＝2DF＝2AE＝20（米），故选：A．12．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE ＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是　20.62　米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123）【解答】解：∵DE的坡度为i1＝1：，∴tan∠DEC＝＝，∴∠DEC＝30°，∴DC＝DE＝5（m），∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝5m，∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，AB＝5m，∴BF＝4AB＝20（m），在Rt△ABF中，AF＝＝≈20.62（m），∴斜坡AF的长度约为20.62米，故答案为：20.62．13．某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°．（1）求舞台的高AC（结果保留根号）；（2）求DB的长度（结果保留根号）．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB＝2m，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB•sin45°＝2×＝（m），答：舞台的高AC为m；（2）在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，则CD＝＝＝，∴BD＝CD﹣BC＝（﹣）m，答：DB的长度为（﹣）m．14．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ （如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）【解答】解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，则QG⊥BA，∴设QG＝x米，∵山坡的坡度为i＝1：2.4，∴AG＝2.4x米，由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝5.22，解得：x＝2，则QG＝2米，AG＝2.4x＝4.8米，∴EF＝NG＝4.8+1.2＝6（m），在Rt△PEF中，∠PEF＝53°，EF＝6m，则PF＝EF•tan∠PEF＝6×tan53°≈6×＝8（m），∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣2＝1（m），∴PQ＝8+1＝9（m）．答：信号塔PQ的高约为9m．三．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共8小题）15．若从楼顶A点测得点C的俯角为31°，测得点D的俯角为42°，则∠ADC的度数为（）A．31°B．42°C．48°D．59°【解答】解：由题意得：∠ADB＝42°，∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠BDC﹣∠ADB＝90°﹣42°＝48°，故选：C．16．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10米，AE＝15米，则宣传牌CD的高度是（）A．B．C．D．【解答】解：过B作BF⊥AE，交EA的延长线于F，作BG⊥DE于G．在Rt△ABF中，∠BAF＝30°，AB＝10米，∴BF＝AB＝5（米），AF＝BF＝5（米）．∴BG＝AF+AE＝（5+15）（米），在Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴△BGC是等腰直角三角形，∴CG＝BG＝（5+15）（米），在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，AE＝15米，∴DE＝AE＝15（米），∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+15+5﹣15＝（20﹣10）（米），即宣传牌CD的高度是（20﹣10）米，故选：A．17．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（）（参考数据：，，）A．米B．米C．56米D．66米【解答】如图，延长AB与水平线交于F，过D作DM⊥CF，M为垂足，过D作DE⊥AF，E为垂足，连接AC，AD，∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，∴＝＝，设DM＝5k米，则CM＝12k米，在Rt△CDM中，CD＝26米，由勾股定理得，CM2+DM2＝CD2，即（5k）2+（12k）2＝262，解得k＝2，∴DM＝10（米），CM＝24（米），∵斜坡CB的坡度为i＝1：2.4，设DE＝12a米，则BE＝5a米，∵∠ACF＝45°，∴AF＝CF＝CM+MF＝（24+12a）米，∴AE＝AF﹣EF＝24+12a﹣10＝（14+12a）米，在Rt△ADE中，DE＝12a米，AE＝（14+12a）米，∵tan∠ADE＝＝tan53°≈，∴＝，解得a＝，∴DE＝12a＝42（米），AE＝14+12a＝56（米），BE＝5a＝（米），∴AB＝AE﹣BE＝56﹣＝（米），答：基站塔AB的高为米．故选：B．18．某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度．他们在C处仰望建筑物顶端，测得仰角为48°，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为64°，则建筑物的高度为　14.7　米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）【解答】解：根据题意，得∠ADB＝64°，∠ACB＝48°在Rt△ADB中，tan64°＝，则BD＝≈AB，在Rt△ACB中，tan48°＝，则CB＝≈AB，∴CD＝BC﹣BD，即6＝AB﹣AB，解得：AB＝≈14.7（米），∴建筑物的高度约为14.7米，故答案为：14.7．19．如图，某校数学兴趣小组要测量楼房DC的高度．在点A处测得楼顶D的仰角为30°，再往楼房的方向前进30m至B处，测得楼顶D的仰角为45°，则楼房DC的高度为　（15+15）　m．【解答】解：设BC的长为x米．在Rt△CBD中，∠D＝90°，∠CBD＝45°，∴CD＝BC＝x米，在Rt△CAD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，∴tan∠CAD＝＝＝，解得：x＝15+15，答：楼房DC的高度为（15+15）米，故答案为：（15+15）．20．如图，小马同学在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对山坡一棵树的高度进行测量，先测得小马同学离底部C的距离BC为10m，此时测得对树的顶端D的仰角为55°，已知山坡与水平线的夹角为20°，小马同学的观测点A距地面1.6m，求树木CD的高度（精确到0.1m）．（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）．【解答】解：延长DC交BF于F，过A作AH⊥DC于H，则HF＝AB＝1.6m，AH＝BF，在Rt△ACF中，∵∠CBF＝20°，BC＝10m，∴CF＝BC•sin20°≈10×0.34＝3.4（m），BF＝BC•cos20°≈10×0.94＝9.4（m），∴AH＝BF＝9.4m，在Rt△ADH中，∵∠DAH＝55°，∴DH＝AH•tan55°≈9.4×1.43≈13.4（m），∴DC＝DH+HF﹣CF＝13.4+1.6﹣3.4＝11.6（m），答：树木CD的高度约为11.6m．21．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）【解答】解：过点D作DH⊥BC于点H，如图所示：则四边形DHCE是矩形，DH＝EC，DE＝HC＝5，设建筑物BC的高度为xm，则BH＝（x﹣5）m，在Rt△DHB中，∠BDH＝30°，∴DH＝（x﹣5），AC＝EC﹣EA＝（x﹣5）﹣30，在Rt△ACB中，∠BAC＝60°，tan∠BAC＝，∴＝解得：x＝，答：建筑物BC的高为m．四．解直角三角形的应用−仰角俯角问题（共1小题）22．如图，某人在D处测得山顶C的仰角为37°，向前走100米来到山脚A处，测得山坡AC的坡度为i＝1：0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．【解答】解：设山高BC＝x，则AB＝x，由tan37°＝＝0.75，得：＝0.75，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的根．答：山的高度是120米．。

三角函数应用题

三角函数应用题在数学中，三角函数是一类描述角和三角形之间关系的函数。

它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

今天我们就来看几个关于三角函数的实际应用题。

题目一：船长测量船到岸边的距离某船长在海上航行，他利用望远镜测量船到岸边的距离为450米，角度为30°。

请帮助船长计算船实际距离岸边的距离。

解题思路：根据三角函数中正弦函数的定义，正弦函数是对边与斜边的比值。

设实际距离为x，则sin30°=450/x，解得x=450/sin30°≈900米。

题目二：高楼顶部的钢丝张力某座高楼的屋顶有一根斜着的钢丝，已知钢丝与地面的夹角为60°，钢丝的长度为200米。

求钢丝的张力。

解题思路：根据三角函数中余弦函数的定义，余弦函数是邻边与斜边的比值。

设钢丝张力为T，则cos60°=邻边/200，解得邻边=200cos60°≈100米。

再根据正弦函数的定义，sin60°=钢丝张力/200，解得钢丝张力=200sin60°≈173.21牛顿。

题目三：天文测距天文学家利用角度差测量两颗星星间的距离，已知两颗星星的距离为400光年，夹角为20°。

根据此信息，求两颗星星间的实际距离。

解题思路：根据正切函数的定义，切线函数是对边与邻边的比值。

设实际距离为d，则tan20°=400/d，解得d=400/tan20°≈1152.32光年。

通过以上几个实际应用题，我们可以看到三角函数在解决各种实际问题中的重要性和实用性。

希望大家在学习三角函数的过程中能够灵活运用，将数学知识与实际应用相结合，更好地理解和掌握相关知识。

三角函数不仅仅是一堆抽象的公式，更是与我们的生活息息相关的数学工具。

愿大家在学习中取得更好的成绩！。

专题复习：三角函数的综合应用题编

专题复习：三角函数的综合应用题编(推荐时间：推荐时间：7070分钟分钟) )1．设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)1)，，b ＝(cos x ，3sin 2x )，x ∈R .(1)(1)若函数若函数f (x )＝1－3，且x ∈ëêéûúù－π3，π3，求x 的值；的值；(2)(2)求函数求函数y ＝f (x )的单调增区间，的单调增区间，并在给出的坐标系中画出并在给出的坐标系中画出y ＝f (x )在区间[0[0，，π]上的图象．上的图象．解 (1)(1)依题设得依题设得f (x )＝2cos 22x ＋3sin 2x ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin èçæø÷ö2x＋π6＋1.由2sin èçæø÷ö2x ＋π6＋1＝1－3，得sin èçæø÷ö2x ＋π6＝－32.∵－π3≤x ≤π3，∴－π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4. (2)(2)当－当－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，即－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )时，函数y ＝f (x )单调递增，即函数y ＝f (x )的单调增区间为ëêéûúù－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )，x 0 π6 π3 π2 2π3 5π6 π y232－122．已知向量a ＝(cosx ＋3sin x ，3sin x )，b ＝(cos x －3sin x ，2cos x )，函数f (x )＝a ·b －cos 2x . (1)(1)求函数求函数f (x )的值域；的值域；(2)(2)若若f (θ)＝15，θ∈ëêéûúùπ6，π3，求sin 2θ的值．的值．解 (1)f (x )＝a ·b －cos 2x＝(cos x ＋3sin x )(cos x －3sin x )＋3sin x ·2cos x －cos 2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x －sin 2x －2sin 2x ＋23sin x cos x －cos 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x －1 ＝2sin èçæø÷ö2x ＋π6－1，f (x )的值域为的值域为[[－3,1]3,1]．．(2)(2)由由(1)(1)知知f (θ)＝2sin èçæø÷ö2θ＋π6－1，由题设2sin èçæø÷ö2θ＋π6－1＝15，即sin èçæø÷ö2θ＋π6＝35，∵θ∈ëêéûúùπ6，π3，∴，∴22θ＋π6∈ëêéûúùπ2，5π6， ∴cos èçæø÷ö2θ＋π6＝－45，∴sin 2θ＝sin ëêéûúùèçæø÷ö2θ＋π6－π6＝sin èçæø÷ö2θ＋π6cos π6－cos èçæø÷ö2θ＋π6sinπ6＝35×32－èçæø÷ö－45×12＝33＋410.3．已知向量m ＝èçæø÷ösin A ，12与n ＝(3(3，，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC的内角．的内角．(1)(1)求角求角A 的大小；的大小；(2)(2)若若BC ＝2，求△ABC 面积S 的最大值．的最大值．解 (1)(1)∵∵m ∥n ，∴，∴sin sin A ·(sin A ＋3cos A )－32＝0.∴1－cos 2A 2＋32sin 2A －32＝0，即32sin 2A －12cos 2A ＝1，即sin èçæø÷ö2A －π6＝1.∵A ∈(0(0，，π)，∴，∴22A －π6∈èçæø÷ö－π6，11π6. 故2A －π6＝π2，A ＝π3. (2)(2)∵∵BC ＝2，由余弦定理得b 22＋c 22－bc ＝4，又b 22＋c 22≥2bc ，∴bc ≤4(4(当且仅当当且仅当b ＝c 时等号成立时等号成立))，从而S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝ 3.即△ABC 面积S 的最大值为 3.4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 已知cos A －3cos C cos B＝3c －ab . (1)(1)求求sin Csin A的值；的值；(2)(2)若若B 为钝角，b ＝1010，求，求a 的取值范围．的取值范围．解 (1)(1)由正弦定理，设由正弦定理，设asin A ＝bsin B ＝csin C＝k ，则3c －a b ＝3k sin C －k sin A k sin B ＝3sin C －sin Asin B ，所以cos A －3cos C cos B ＝3sin C －sin Asin B，即(cos A －3cos C )sin B ＝(3sin C －sin A )cos B ，化简可得sin(A ＋B )＝3sin(B ＋C )．又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝3sin A ，因此sin Csin A＝3. (2)(2)由由sin C sin A ＝3得c ＝3a . 由题意知îíìa ＋c >ba 2＋c 2<b2，又b ＝1010，所以，所以52<a <10.5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)èçæø÷ö其中x ∈R ，A >0>0，，ω>0>0，－，－π2<φ<π2的部分图象如图所示．图象如图所示．(1)(1)求函数求函数f (x )的解析式；的解析式；(2)(2)已知函数已知函数f (x )的图象上的三点M ，N ，P 的横坐标分别为－的横坐标分别为－1,1,51,1,5，，求sin ∠MNP 的值．的值．解 (1)(1)由图可知，由图可知，A ＝1，最小正周期T ＝4×2＝8. 由T ＝2πω＝8，得ω＝π4.又f (1)(1)＝＝sin èçæø÷öπ4＋φ＝1，且－π2<φ<π2，所以π4＋φ＝π2，解得φ＝π4. 所以f (x )＝sin èçæø÷öπ4x ＋π4. (2)(2)因为因为f (－1)1)＝＝0，f (1)(1)＝＝1，f (5)(5)＝＝sin èçæø÷ö5π4＋π4＝－＝－11，所以M (－1,0)1,0)，，N (1,1)(1,1)，，P (5(5，－，－1)1)．．所以所以||MN |＝5，|PN |＝2020，，|MP |＝37. 由余弦定理得由余弦定理得cos cos∠∠MNP ＝5＋2020－－3725×20＝－35. 因为∠MNP ∈(0(0，，π)，所以sin sin∠∠MNP ＝45.6．已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cosx ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π. (1)(1)若若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；的值； (2)(2)若若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．的值．解 (1)(1)∵∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4， ∴f (x )＝b ·c ＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x èçæø÷öπ4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－，且－1<1<t < 2.则y ＝t 2＋2t －1＝èçæø÷öt ＋222－32，－，－1<1<t <2，∴t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin èçæø÷öx ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12. ∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.的夹角为，cos＝a·b＝＝π.ø÷ö＋π3＋∴52sin 2＋32cos 2＝－35.。

三角函数型应用题(高一).docx

三角函数型应用题（高一）1.如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（RtAFHE, H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点，分别落在线段上.已知AB = 20米，AD = iOy/3米，iB ZBHE = 0.（1）试将污水净化管道的长度厶表示为&的函数,并写出定义域；（2）若sin&+cos0 = “，求此时管道的长度厶；（3）问：当&取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度.n cEH =-^— FH = -^- cos& sin 〃『於由于込曲旳叭—<tan6^<V3 厶=』- +』- + ——-—— 3 6 3 cos & sin& sin&・cos&6 3⑵ sin& + cos& = "时，sin&cos0 = * 厶=20（血+ 1）；厶二亠+亠+ 」 ]0严& + COS& + 1）（3） cos& sin& sin& cos &二 sin& cos&sin 0 • cos 0 =-——- 0 G [―,—]设sm 〃 + cos& = f 贝g2 由于 6 3f = sin & + cos 0 = \/2 sin （& + —） G [^ + *, A /2] 所以 4 2在 2 内单调递减,石+10 =兰0 =兰2时 6，3时，厶的最大值20（石+ 1）米答：当一氏或一亍时所铺设的管道最短，为20（的+1）米.解：（1）于是当2.某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,佔二50米，BCG5羽米,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE、EF和OF,考虑到小区整体规划，要求O是AB的屮点，点£在边BC上，点F在边AD上，且ZEOF=90。

中考数学专题初中三角函数应用题10道-含答案

初中三角函数应用题10道(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P 小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．0.1）（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449≈）2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图，该设施上面有一个大圆盘（圆盘的半径是 3.5OA =米），圆盘离地面的高度1 6.5OO =米，且1OO ⊥地面l ，圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子，绳子的另一端系着椅子（将椅子看作一个点，比如图中的点B 和1B ），当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的，如图中的线段AB ，绳长为4.8米固定不变．当旋转飞椅启动时，圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转，旋转速度越大，飞椅转得越高，当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒．（参考数据：sin 570.84︒≈，cos570.55︒≈，tan 57 1.54︒≈）(1)求飞椅离地面的最大距离（结果保留一位小数）；(2)根据有关部门要求，必须在娱乐设施周围安装安全围栏，而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米．已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ，且EF l ⊥，19.8O E =米，请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规？并说明理由．3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45︒，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31︒，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.6)︒≈。

三角函数的应用题练习题(基础)

三角函数的应用题练习题(基础)题目1: 三角函数的高度应用某个人站在一座高楼的窗户旁，离地面的距离是20米。

该人仰望斜顶角度为30度的楼顶，试计算楼顶的高度是多少米？答案：首先，我们可以利用正弦函数来解决这个问题。

正弦函数定义为：sin(θ) = 对边/斜边。

按照这个定义，我们可以得到以下方程：sin(30度) = 对边/20米对方程进行求解，我们可以得到：对边 = 20米 * sin(30度)利用计算器，我们可以得到：对边 = 10米因此，楼顶的高度是10米。

题目2: 三角函数的距离应用一辆汽车正在沿着直路行驶。

从汽车起点到终点的直线距离为1000米。

汽车行驶的角度与直线路线的夹角为45度。

试计算汽车实际行驶的距离是多少米？答案：对于这个问题，我们可以使用余弦函数来求解。

余弦函数定义为：cos(θ) = 临边/斜边。

应用于这个问题，我们可以得到以下方程：cos(45度) = 临边/1000米对方程进行求解，我们可以得到：临边 = 1000米 * cos(45度)利用计算器，我们可以得到：临边 = 707.106米因此，汽车实际行驶的距离是707.106米。

题目3: 三角函数的速度应用一艘船以20米/秒的速度顺水行驶。

河流的流速为10米/秒，且方向与船垂直。

试计算船在水中实际的速度是多少米/秒？答案：对于这个问题，我们可以使用正切函数来求解。

正切函数定义为：tan(θ) = 对边/临边。

应用于这个问题，我们可以得到以下方程：tan(θ) = 10米/秒 / 20米/秒对方程进行求解，我们可以得到：tan(θ) = 0.5利用计算器，我们可以得到：θ = 26.565度因此，船在水中实际的速度是约为26.565米/秒。

三角函数应用题练习及答案

三角函数的应用题第一阶梯[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB 的长。

解：∵∠DAC=90° 由勾股定理，有 CD 2=AD 2+AC 2 ∵AD=3，DC=5 ∴AC=4 ∵∠B=30° ∴AB=2AC ∴AB=8[例2]如图，△ABC 中，∠B=90°，D 是BC 上一点，且AD=DC ，若tg ∠DAC=41,求tg ∠BAD 。

探索：已知tg∠DAC 是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求∠BAD 的正切值需要满足怎样的条件？点拨：由于已知中的tg ∠DAC 不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地D 点作AC 的垂线。

又要求∠BAD 的正切值应已知Rt△BAD 的三边长，或两条直角边AB 、BD 的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg∠DAC 的条件。

由于AD=DC ，即∠C=∠DAC，这时也可把正切值直接移到Rt△ABC 中。

解答：过D 点作DE⊥AC 于E ，41DAC =∠tg 且AE DE DAC =∠tg设DE=k ，则AE=4k∵AD=DC,∴∠DAC=∠C，AE=EC ∴AC=8k∵41==BC AB tgC设AB=m ，BC=4m 由勾股定理，有AB 2+BC 2=AC 2∴k m 17178=k BC 171732=∴由勾股定理，有CD 2=DE 2+EC 2k CD 17=∴ k BD 171715=∴由正切定理，有.815=∠∴=∠BAD tg AB DBBAD tg[例3]如图，四边形ABCD 中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB 。

探索：已知条件提供的图形是什么形？其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？求sinB 应放在什么图形中。

点拨：因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，所以可证△ABC 是Rt△，因此可求sinB 。

专题17 以三角函数为背景的应用题(原卷版)

专题17 以三角函数为背景的应用题1、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆．．．．O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC 和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．2、【2018江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．先规划在此农田上修建两个温室△，要求,A B均在线段MN上，,C D 大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．△的面积，并确定sinθ的取值范围；（1）用θ分别表示矩形ABCD和CDP（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．3、【2017年江苏卷】如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG ,11E G 的长分别为14cm 和62cm. 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l ,其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中,l 的一端置于点A 处,另一端置于侧棱1CC 上,求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中,l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度.一、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.容器Ⅱ容器ⅠGOHFED CBAO 1H 1G 1F 1E 1D 1C 1B 1A 1对应用题的训练，一般从读题、审题、剖析题目、寻找切入点等方面进行强化，注重培养将文字语言转化为数学语言的能力，强化构建数学模型的几种方法.而江苏高考的应用题往往需结合导数知识解决相应的最值问题，因此掌握利用导数求最值方法是一项基本要求，需熟练掌握.题型一、有几何或者几何体有关的问题以几何为载体的应用题常见与圆、扇形等特色的图形，此类问题的关键是把各个线段表示出来，进二列出函数的解析式，与几何体有关的导数问题，常常涉及到表面积与体积的问题，解题关键就是通过引入参数表示表面积或者体积，然后运用导数进行求解。

三角函数的应用题及解答

三角函数的应用题及解答三角函数是数学中一个非常重要的分支，其应用广泛且深入。

本文将列举几个三角函数的应用题，并给出详细的解答过程。

1. 问题描述：某建筑物高度为100米，离该建筑物水平面的观察角为30°，求观察点到建筑物底部的距离。

解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示观察点到建筑物底部的距离与建筑物高度之间的关系。

设观察点到建筑物底部的距离为x，则有tan(30°) = 100/x。

解以上方程，可得观察点到建筑物底部的距离x = 100/tan(30°) = 100/√3。

因此，观察点到建筑物底部的距离约为57.74米。

2. 问题描述：一辆汽车以40km/h的速度直线行驶，车头的倾斜角度为15°，求车头离直线道路的垂直距离。

解答过程：根据三角函数的定义，正切函数可以表示车头离直线道路的垂直距离与车速和倾斜角度之间的关系。

设车头离直线道路的垂直距离为y，则有tan(15°) = y/40。

解以上方程，可得车头离直线道路的垂直距离y = 40*tan(15°)。

因此，车头离直线道路的垂直距离约为10.93米。

3. 问题描述：一个航天器发射到外太空，离地球表面的垂直高度为500公里，航天器的视线与地球表面的夹角为60°，求航天器的真实高度。

解答过程：根据三角函数的定义，正弦函数可以表示真实高度与垂直高度之间的关系。

设航天器的真实高度为h，则有sin(60°) = h/500。

解以上方程，可得航天器的真实高度h = 500*sin(60°)。

因此，航天器的真实高度约为433.01公里。

通过以上例题，我们可以看到三角函数在实际问题中的应用。

无论是建筑物的观察角、汽车的倾斜角度还是航天器的视线角度，三角函数都能提供准确的数学描述和解答。

总结起来，三角函数是数学中一项重要而实用的工具，通过对角度和长度之间的关系的研究和运用，我们可以解决各种实际问题。

三角函数的试题及答案

三角函数的试题及答案题目：三角函数的试题及答案一、选择题（每题2分，共10题）1. 在三角函数中，sin^2(x) + cos^2(x) = ？A. 0B. 1C. 2D. -12. 以下哪个选项表示sin(π/6)的值？A. √2/2B. √3/2C. 1/2D. 13. 若tan(x) = √3，则x的取值范围是？A. (-∞, -π/3) ∪ (π/3, +∞)B. (-∞, -π/4) ∪ (π/4, +∞)C. (-∞, -π/6) ∪ (π/6, +∞)D. (-∞, -π/2) ∪ (π/2, +∞)4. 若sin(x) = -1/2，且x > 0，则x的值是？A. 3π/2B. π/6C. 7π/6D. π/25. 若cot(x) = 0，且x > 0，则x的值是？A. π/4B. π/2C. πD. 3π/26. 以下哪个选项表示cos^2(x) = 1 - sin^2(x) 的恒等式？A. sin(2x)B. 1/cos(x)C. tan^2(x)D. sec(x)7. 若cos(x) = -√2/2，且x > 0，则x的值是？A. π/4B. π/6C. 5π/4D. π/38. 若sec(x) = 2，且x > 0，则x的值是？A. π/6B. 5π/6C. 6πD. 09. 若sin(2x) = 1/2，且x > 0，则x的值是？A. π/12B. π/6C. π/3D. π/410. 若cot(x) + tan(x) = 1，且x ≠ kπ，其中k为整数，则x的值是？A. 0B. π/4C. π/6D. π/2二、解答题1. 解方程 2sin^2(x) - 3sin(x) + 1 = 0，其中0 ≤ x ≤ 2π。

解答：设sin(x) = t，则方程化简为 2t^2 - 3t + 1 = 0。

解这个二次方程，可以得到 t = 1 或 t = 1/2。

初中三角函数的应用例题

初中三角函数的应用例题1.一座山峰高度为1800米，从山脚测得与山顶的夹角为30°，求山脚到山顶的实际水平距离。

解：设山脚到山顶的水平距离为x，则根据三角函数的定义，有tan30°=1800/x。

将30°转化为弧度制，即tan(π/6)=1800/x，解得x=1800/(tan(π/6)) ≈ 3600米。

所以山脚到山顶的实际水平距离约为3600米。

2.一条船从港口出发，先顺时针航行90°，然后逆时针航行120°，最后顺时针航行150°，求船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹角。

解：根据题意，船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹角等于船的顺时针航行角度减去船的逆时针航行角度，即90°-120°+150°=120°。

所以船的最终航向与出发港口到最终位置的直线之间的夹角为120°。

3.一个轮半径为40厘米的车轮以每秒10米的速度匀速滚动，求车轮的角速度。

解：车轮每滚动一周，车轮上的任意一点都绕轮心旋转360°，所以车轮的角速度是360°/一周所需要的时间。

滚动一周的时间可以通过速度和距离的关系求得，即一周所需时间为2πr/v，其中r为半径，v为速度。

所以车轮的角速度为360°/(2πr/v)=(360°v)/(2πr)。

代入半径r=40厘米和速度v=10米/秒，计算可得车轮的角速度约为(360°×10米/秒)/(2π×40厘米)≈0.90弧度/秒。

4.一架飞机从A地飞往B地，两地相距1200公里。

飞机的地速为400千米/小时，假设直飞过程中风速与飞机速度方向相反，风速为120公里/小时，求飞机的实际航速和方向。

解：设飞机的实际航速为v，飞机速度与风速的夹角为θ。

根据三角函数的定义，有cosθ=(400-120)/v。

三角函数专题训练

三角函数应用题专题训练一、填空题1.如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α＝________. 答案 45解析因为tan α＝34，所以cos α＝45. 2.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为________.(可用正、余弦值表示)答案 2cos 10°解析如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝AB sin 10°， ∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°. 3.一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是________m.答案 50解析设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.4.如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为________m.答案 50 2解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B，∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝50×2212＝50 2 (m). 5.一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km). 6.两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站北偏东40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的________方向.答案北偏西10°解析灯塔A 、B 的相对位置如图所示，由已知得∠ACB ＝80°，∠CAB ＝∠CBA ＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.7.如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为_______________________.答案 8 2解析在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解之得x 1＝ 16，x 2＝－6(舍去).在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2. 8.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为________.答案 3或2 3解析如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.二、解答题9.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2 (m). 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan 60°＝15 6 (m).所以塔高AB 为15 6 m.10.2011年7月11日广州惠州大亚湾石化区中海油惠州炼油厂失火，为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D 是着火点，A 、B 分别是水枪位置，已知AB ＝152米，在A 处看到着火点的仰角为60°，∠ABC ＝30°，∠BAC ＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？解在△ABC 中，可知∠ACB ＝45°，由正弦定理得：AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC，解得AC ＝15米.又∵∠CAD ＝60°，∴AD ＝30，CD ＝153，sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24. 由正弦定理得：AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC，解得BC ＝15(6＋2)2米. 由勾股定理可得BD ＝BC 2＋CD 2＝155＋3米，综上可知两支水枪的喷射距离至少分别为30米，155＋3米.B 组专项能力提升1.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 表示△ABC 的面积，若a cos B ＋b cosA ＝c sin C ，S ＝14(b 2＋c 2－a 2)，则B 等于________. 答案 45°解析由余弦定理可知a cos B ＋b cos A ＝c ，于是sin C ＝1，C ＝90°，从而S ＝12ab ＝14(b 2＋c 2－a 2) ＝14(b 2＋b 2). 解得a ＝b ，因此B ＝45°.2.在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°.若AC ＝2AB ，则BD ＝________.答案 2＋ 5解析如图，设AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ，则由题设可知BD ＝13a ，CD ＝23a ，根据余弦定理可得b 2＝(2)2＋(23a )2－2×2×23a cos 45°，c 2＝ (2)2＋(13a )2－2×2×13a cos 135°，由题意知b ＝2c ，可解得a ＝6＋35，所以BD ＝13a ＝2＋ 5. 3.某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是__________米.答案 2063解析如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°. 由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°， ∴AO ＝2063(米). 4.在一个塔底的水平面上某点测得该塔顶的仰角为θ，由此点向塔底沿直线行走了30 m ，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔底前进10 3 m ，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔的高度为___ m. 答案 15解析如图所示，依题意有PB ＝BA ＝30，PC ＝BC ＝103，在△BPC中，由余弦定理可得cos 2θ＝(103)2＋302－(103)22×103×30＝32，所以2θ＝30°，4θ＝60°，在Rt △PCD 中，可得PD ＝PC ·sin 4θ＝103·32＝15 m. 5.为维护我国南海主权，我国海军在南海某海域进行了一场军事演习，将小岛E 为中心的7海里以内海域设为警戒水域.点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ(其中sinθ＝2626，0°<θ<90°)且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变船行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.解 (1)如图，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626. 由于0<θ<90°，所以cos θ＝1－(2626)2＝52626. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝105，所以船的行驶速度为10523＝155(海里/小时). (2)方法一如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D .由题设有，x 1＝y 1＝22AB ＝40， x 2＝AC cos ∠CAD ＝1013cos(45°－θ)＝30，y 2＝AC cos ∠CAD ＝1013sin(45°－θ)＝20.所以过点B 、C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，则直线l 的方程为y ＝2x －40.又点E (0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35<7，所以船会进入警戒水域.方法二如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010. 从而sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010. 在△ABQ 中，由正弦定理得AQ ＝AB sin ∠ABC sin (45°－∠ABC )＝402×101022×21010＝40. 由于AE ＝55>40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15.过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离.在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin ∠PQE＝QE ·sin ∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35<7. 所以船会进入警戒水域.6.(2013·江苏)如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量cos A ＝1213，cos C ＝35. (1)求索道AB 的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解 (1)在△ABC 中，因为cos A ＝1213，cos C ＝35，所以sin A ＝513，sin C ＝45. 从而sin B ＝sin [π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝513×35＋1213×45＝6365. 由正弦定理AB sin C ＝AC sin B，得 AB ＝AC sin B ×sin C ＝1 2606365×45＝1 040(m). 所以索道AB 的长为1 040 m.(2)假设乙出发t 分钟后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(100＋50t )m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝(100＋50t )2＋(130t )2－2×130t ×(100＋50t )×1213＝200(37t 2－70t ＋50)，由于0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537min 时，甲、乙两游客距离最短. (3)由正弦定理BC sin A ＝AC sin B，得BC ＝AC sin B ×sin A ＝1 2606365×513＝500(m). 乙从B 出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m 才能到达C .设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过 3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514(单位：m/min)范围内.。

高中三角函数应用题

高中三角函数应用题1. 一架飞机以每小时500公里的速度直线飞行。

从地面上观察，飞机升高的角度为30度。

求飞机升高的速度。

解题思路：飞机升高的速度可以视为飞机在垂直方向上的速度分量，而飞机的速度是以每小时500公里的速度直线飞行，可以视为飞机在水平方向上的速度分量。

根据三角函数的性质，可以得到以下关系式：sin30° = 飞机升高速度 / 飞机速度sin30° = 飞机升高速度 / 500解得：飞机升高速度= 500 * sin30° = 250公里/小时所以飞机升高的速度为250公里/小时。

2. 一辆汽车以匀速行驶，速度为每小时60公里。

从地面上观察，汽车与地面的夹角为45度。

求汽车在水平方向上的速度和垂直方向上的速度。

解题思路：汽车在水平方向上的速度可以视为汽车的速度在水平方向上的分量，而汽车的速度是每小时60公里。

根据三角函数的性质，可以得到以下关系式：cos45° = 汽车在水平方向上的速度 / 60解得：汽车在水平方向上的速度= 60 * cos45° ≈ 42.42公里/小时汽车在垂直方向上的速度可以视为汽车的速度在垂直方向上的分量，根据三角函数的性质，可以得到以下关系式：sin45° = 汽车在垂直方向上的速度 / 60解得：汽车在垂直方向上的速度= 60 * sin45° ≈ 42.42公里/小时所以汽车在水平方向上的速度和垂直方向上的速度都约为42.42公里/小时。

3. 一根高度为20米的杆倾斜，与水平地面的夹角为60度。

从杆的顶端向底部看，底部与杆的夹角为30度。

求杆的实际高度。

解题思路：根据题意可知，底部与杆的夹角为30度，即底部与水平地面的夹角为90度-30度=60度。

所以整个杆与水平地面的夹角为60度+60度=120度。

根据三角函数的性质，可以得到以下关系式：tan120° = 杆的实际高度 / 20解得：杆的实际高度= 20 * tan120° ≈ -34.64米由于角度为120度时的tan值为负数，所以实际高度为-34.64米。

三角函数应用题库(精)

三角函数应用题库选择题:1. 轮船航行到C 处测得小岛A 的方向为北偏西27°，那么从A 观测此时C•处的方向为（）A ．南偏东27°B ．东偏西27°C ．南偏东73°D ．东偏西73°2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=a ，AC=b ，且3a=4b ，则∠A 的度数是（）A ．53.7°B ．53.13°C ．53°13′D ．53°48′3.如果坡角的余弦值为10，那么坡度为（） A ．1．3．1：3 D ．3：14. 若等腰△ABC 的底边BC 上高为2，cotB=12，则△ABC 的周长为（） A ．．．．5. 每周一学校都要举行庄严的升国旗仪式，让我们体会到了国旗的神圣，某同学产生了用所学知识测量旗杆高度的想法，在地面距杆脚5米远的地方，•他用测倾器测得杆顶的仰角为α，且tan α=3，则杆高（不计测倾器高度）为（）A ．10mB ．12mC ．15mD ．20m6. 如图1所示，在锐角△ABC 中，BE ⊥AC ，∠ADE=∠C ，记△ADE 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则12S S =（） A ．si n 2A B ．c os 2A C ．ta n 2A D ．co t 2A(1) (2) (3)7. 已知楼房AB 高50m ，•如图2所示，•电视收视塔塔基距楼房房基的水平距离BD•为50m ，塔高DC为1503m ，则下列结论正确的是（） A ．由楼顶望塔顶仰角为60° B ．由楼顶望塔顶俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°8. 一树的上段CB 被风折断，树梢着地，树顶着地处B 与树根A 相距6m ，则原来的树高是（）（折断后树梢与地面成30°角）。

A 、3mB 、9mC 、33 mD 、m 369. 如图，是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的角∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为（）。

三角函数的应用题试题汇编

2016年12月20日三角函数应用题一．解答题（共30小题）1．甲楼楼高50米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：（1）如果两楼相距50米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（2）小明住在乙楼16m高（地板距地面的距离）的五层楼上，要是冬至中午12时阳光不被挡住，两楼至少距离多少米（结果精确到1m，参考数据：≈1.732）？2．小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB=30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°=1.192）3．如图，现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.6cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知sinα=．（1）求一个矩形卡通图案的面积；（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？4．某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距6米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）5．某小区内因道路较窄，实行机动车单向行驶的措施，所以在车位设计上比较人性化．如图是两个车位的设计示意图，按照实际情况每个车位设计成长5m、宽2.4m的矩形，且满足EF、MN与两个车位所占的矩形ABCD场地的BC边形成的夹角为30°，求BC边的长．6．如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）7．如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）．求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）8．已知：如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．9．如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DE为20m．坝顶宽CD为45m．求大坝的横截面积．10．我市新农村建设中，对乡村道路进行改造，车溪乡公路有一段斜坡长为20米，坡角∠CBM=45°，坡底路面AB与坡顶路面CD平行，如图①．（1）求坡高CM（结果保留根号）；（2）为方便通行，现准备把坡角降为30°，为节约成本，计划把原斜坡BC上的半部分挖去，填到原斜坡BC的下半部分，如图②，点O为原斜坡BC的中点，EF为新斜坡，求原坡顶需要挖掉的长度（即CF的长度，结果精确到0.1米）（参考数据：（，；可以用科学记算器）11．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至B1层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与B1层平行，层高AD为9米，A、B间的距离为6米，∠ACD=20°．（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由．（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台EF∥DC，且AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．【参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36】12．某工厂大楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB 长22m，坡角∠BAD=60°，为了防止山体滑坡，保障安全，工厂决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（2）为确保安全，工厂计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF 至少是多少米？13．如图，在一个坡角为40°的斜坡上有一棵树BC，树高4米．当太阳光AC与水平线成70°角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段AB，求树影AB的长．（结果保留一位小数）（参考数据：sin20°=0.34，tan20°=0.36，sin30°=0.50，tan30°=0.58，sin40°=0.64，tan40°=0.84，sin70°=0.94，tan70°=2.75）14．如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i=1：1.875，同时他测得自己的影长NH﹦336cm，而他的身长MN为168cm，求铁塔的高度．15．如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD=20m，某人在点A处，测得塔底C的仰角为45°，塔顶D的仰角为60°，求山高BC（精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）16．如图，河对岸有一高层建筑物AB，为测其高，在C处由点D用测量仪测得顶端A的仰角为30°，向高层建筑物前进50米，到达E处，由点F测得顶点A的仰角为45°，已知测量仪高CD=EF=1.2米，求高层建筑物AB的高．（结果精确到0.1米，，）17．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．18．如图所示，当一热气球在点A处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B的仰角为45°，看高楼底部点C的俯角为60°，这栋楼高120米，那么热气球与高楼的水平距离为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：）19．如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角为38.5°，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80 ）20．如图，我校九年级某班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在佳山公路上测量“佳山”高AB．于是他们采用了下面的方法：在佳山公路上选择了两个观察点C、D（C、D、B在一条直线上），从C处测得山顶A的仰角为30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，已知测角仪的高CE与DF的高为1.5m，量得CD=450m．请你帮助他们计算出佳山高AB．（精确到1m，，）21．如图，某建筑物BC上有一旗杆AB，小明在与BC相距12m的F处，由E点观测到旗杆顶部A的仰角为52°、底部B的仰角为45°，小明的观测点与地面的距离EF为1.6m．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：≈1.41，sin52°≈0.79，tan52°≈1.28）22．如图，小刚同学在綦江南州广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30°，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE=21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD．（结果保留根号）23．广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬在空中，甲乙二人分别站在E、F处，他们看气球的仰角分别是30°、45°，E点与F点的高度差AB为1米，水平距离CD为5米，FD的高度为0.5米，请问此气球有多高？（结果保留到0.1米）24．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为多少？25．天然气管道铺设工程从B向正东方向进行，如图所示，从B处测得A点位于B点北偏东60°，从B向东前进400m到达D点，在D点测得A点位于北偏东45°方向，以A点为中心，半径为500m的圆形区域为居民住宅区，请计算后回答：天然气管道铺设工程是否会穿过居民住宅区？（≈1.732）26．如图，某公园有一小亭A，它周围100米内是文物保持区，某勘探队员在公园由西向东行走，在B处测得小亭A在北偏东60°的方向上，行走200米后到达C处，此时测得小亭A 在北偏东30°的方向上，若该公园打算沿BC的方向修一条笔直的小路，则此小路是否会通过文物保护区？请通过计算说明．27．马航飞机失联后，海空军部队第一时间赴相关海域开展搜寻工作，某舰船在O地修整时发现在它的北偏西60°，距离它40km的A地有一艘搜索船向正东方向航行，经过2小时后，发现此船已到达它东北方向的B处．问搜索船从A处到B处的航速是多少千米/小时（精确到1千米/小时）？（参考数据≈1.414，≈1.732，≈2.236）28．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，求A，B之间的距离．（取≈1.7，结果精确到0.1海里）．29．某船向正东航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时40海里．求A、D两点间的距离．（结果不取近似值）30．如图，某乡村小学有A、B两栋教室，B栋教室在A栋教室正南方向36米处，在A栋教室西南方向300米的C处有一辆拖拉机以每秒8米的速度沿北偏东60°的方向CF行驶，若拖拉机的噪声污染半径为100米，试问A、B两栋教室是否受到拖拉机噪声的影响若有影响，影响的时间有多少秒？（计算过程中取1.7，各步计算结果精确到整数）2016年12月20日三角函数应用题参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．甲楼楼高50米，乙楼坐落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时，求：（1）如果两楼相距50米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？（2）小明住在乙楼16m高（地板距地面的距离）的五层楼上，要是冬至中午12时阳光不被挡住，两楼至少距离多少米（结果精确到1m，参考数据：≈1.732）？【分析】（1）根据题意得出CD=50m，∠ACD=30°，再利用AD=CDtan30°求出即可；（2）根据题意得出BF=16m，∠ABC=30°，再利用BC=求出即可．【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥AD于点D，由题意可得出：CD=50m，∠ACD=30°，∴AD=CDtan30°=50×≈29（m），∴甲楼的影子落在乙楼上有：50﹣29=21（m）；（2）如图2，过点B作CB⊥AC于点C，由题意可得出：BF=16m，∠ABC=30°，∴AC=50﹣16=34（m），∴BC===34≈59（m），答：要是冬至中午12时阳光不被挡住，两楼至少距离59米．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，三角函数值和边长的关系，根据题意画出图形是解题的关键．2．小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB=30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°=1.192）【分析】过E点作EF⊥OB于F，过D点作DG⊥EF于G．在Rt△CEF中，根据三角函数得到CF，在Rt△DEG中，根据三角函数得到DG=EG，设热气球的直径为x米，得到关于x的方程，解方程即可求解．【解答】解：如图，过E点作EF⊥OB于F，过D点作DG⊥EF于G．在Rt△CEF中，CF=EF•tan50°=AB•tan50°=35.76m，在Rt△DEG中，DG=EG•tan60°=EG，设热气球的直径为x米，则35.76+x=（30﹣x），解得x≈11.9．故热气球的直径约为11.9米．【点评】考查了解直角三角形的应用，三角函数的知识，方程思想，关键是作出辅助线构造直角三角形．3．（2016•路桥区一模）如图，现有一张宽为12cm练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.6cm．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上，已知sinα=．（1）求一个矩形卡通图案的面积；（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印，最多能印几个完整的图案？【分析】（1）如图，在Rt△BCE中，由sinα=可以求出BC，在矩形ABCD中由∠BCD=90°得到∠BCE+∠FCD=90°，又在Rt△BCE中，利用已知求出条件∠FCD=∠CBE，然后在Rt △FCD中，由cos∠FCD=求出CD，因此求出了矩形图案的长和宽；求得面积；（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH=∠CBE．由cos∠DAH=，求出AH，在Rt △CGH中，由tan∠GCH=求出GH，最后即可确定最多能摆放多少块矩形图案，即最多能印几个完整的图案．【解答】解：（1）如图，在Rt△BCE中，∵sinα=，∴BC===1∵矩形ABCD中，∴∠BCD=90°，∴∠BCE+∠FCD=90°，又∵在Rt△BCE中，∴∠EBC+∠BCE=90°，∴∠FCD=∠CBE．在Rt△FCD中，∵cos∠FCD=，∴CD==1.5∴卡通图案的面积为1.5cm2．（2）如图，在Rt△ADH中，易求得∠DAH=∠CBE．∵cos∠DAH=，∴AH==1.25在Rt△CGH中，∠GCH=∠CBE．∵tan∠GCH=，∴GH=0.45又∵10×1.25+0.45＞12，9×1.25+0.45＜12，∴最多能印9个完整的图案．【点评】此题主要考查矩形的性质、解直角三角形等知识，难度较大，是一个综合性很强的题目，有利于培养同学们钻研和探索问题的精神．4．（2015•鄂城区模拟）某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距6米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=6米，即可得出关于x的方程，解出即可．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，设CD=x，在Rt△ACD中，∠CAD=30°，则AD=CD=x，在Rt△BCD中，∠CBD=45°，则BD=CD=x，由题意得x﹣x=6，解得：x═3（+1）≈8.2．答：生命所在点C的深度为8.2米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数知识表示出相关线段的长度，注意方程思想的运用．5．（2014•江南区校级模拟）某小区内因道路较窄，实行机动车单向行驶的措施，所以在车位设计上比较人性化．如图是两个车位的设计示意图，按照实际情况每个车位设计成长5m、宽2.4m的矩形，且满足EF、MN与两个车位所占的矩形ABCD场地的BC边形成的夹角为30°，求BC边的长．【分析】由题意可根据已知线段和三角函数分别得出BE、EM和CM的长度，将它们的长度相加即可得到BC边的长．【解答】解：在Rt△AHG中，HG=2.4m，∴AH=HG•tan30°=0.8m，在Rt△ABE中，AE=（5+0.8）m，∴BE=AE•sin30°=（2.5+0.4）m，在Rt△EFM中，EF=2.4m，∴EM=EF÷cos30°=0.8m，在Rt△MNC中，MN=2.4m，∴MC=MN•cos30°=1.2m，∴BC=BE+EM+CM=（2.5+2.4）m．答：BC边的长是（2.5+2.4）m．【点评】考查了解直角三角形的应用，本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．6．（2013•呼和浩特）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）【分析】过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC﹣（AD+BD）即可求解．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，∵AC=10，∠A=30°，∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5，在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC=5，则用AC+BC﹣（AD+BD）=10+5﹣（5+5）=5+5﹣5（千米）．答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，难度适中，解答本题的关键是作三角形的高建立直角三角形幷解直角三角形．7．（2013•清河区校级模拟）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE；而当光线与地面的夹角是45°时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）．求教学楼AB的高度．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈）【分析】首先构造直角三角形△AEM，利用tan22°=，求出即可教学楼AB的高度．【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x（m）．∵Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+13；∵在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，∴tan22°=，=，x=12．即教学楼的高为12m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知得出tan22°=是解题关键．8．（2013•崇明县一模）已知：如图，在△ABC中，AB=6，BC=8，∠B=60°．求：（1）△ABC的面积；（2）∠C的余弦值．【分析】（1）首先作AH⊥BC，再利用∠B=60°，AB=6，求出BH=3，AH=3，即可求出答案；（2）利用Rt△ACH中，AH=3，CH=5，求出AC进而求出∠C的余弦值．【解答】解：（1）作AH⊥BC，垂足为点H．在Rt△ABH中，∵∠AHB=90°，∠B=60°，AB=6，∴BH=3，AH=3，∴S△ABC=×8×3=12，（2）∵BC=8，BH=3，∴CH=5．在Rt△ACH中，∵AH=3，CH=5，∴AC=2．∴cosC===．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构建直角三角形得出是解题关键．9．如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DE为20m．坝顶宽CD为45m．求大坝的横截面积．【分析】利用三角函数求出AE、BF的长，又知道，DC=EF，求出EF的长，利用梯形面积公式即可解答．【解答】解：∵=，DE=20，∴=，∴AE=30，∵=，CF=20，∴=，∴FB=15，∴AB=AE+EF+FB=30+45+15=90（米），∴S=×（45+90）×20=1350（平方米）．∴大坝的横截面积为1350平方米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣坡度坡角问题，熟悉三角函数和梯形面积公式是解题的关键．10．我市新农村建设中，对乡村道路进行改造，车溪乡公路有一段斜坡长为20米，坡角∠CBM=45°，坡底路面AB与坡顶路面CD平行，如图①．（1）求坡高CM（结果保留根号）；（2）为方便通行，现准备把坡角降为30°，为节约成本，计划把原斜坡BC上的半部分挖去，填到原斜坡BC的下半部分，如图②，点O为原斜坡BC的中点，EF为新斜坡，求原坡顶需要挖掉的长度（即CF的长度，结果精确到0.1米）（参考数据：（，；可以用科学记算器）【分析】（1）根据勾股定理就可以直接求出CM即可；（2）作FN⊥EM于点N，根据矩形的性质可以得出FN的值，由勾股定理就可以求出EN 的值，从而求出EB的值，再由△EBO≌△FCO就可以求出结论．【解答】解：（1）∵CM⊥BM，∴∠CMB=90°．∵∠CBM=45°，∴∠BCM=45°，∴∠BMC=∠BCM，∴BM=CM．在Rt△BMC中，由勾股定理，得BC2=CM2+BM2，∴400=2CM2，∴CM=10．答：CM=10；（2）作FN⊥EM于点N，∴∠FNB=90°．∵AB∥CD，∴∠EBO=∠FCO，∠BEO=∠CFO，∠FCM=∠BMC=90°，∴四边形CMNF为矩形，∴CM=FN=10，∵∠FEN=30°，∴EF=2FN=20．在Rt△EFN中，由勾股定理，得EN=10．∴EB=10﹣10∵点O为BC的中点，∴BO=CO．在△EBO和△FCO中，∴△EBO≌△FCO（AAS），∴BE=CF，∴CF=10×2.499﹣10×1.414≈10.9米．答：原坡顶需要挖掉的长度CF为10.9米．【点评】本题考查了勾股定理的运用，等腰直角三角形的运用，直角三角形的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用勾股定理求解是关键．11．某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至B1层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与B1层平行，层高AD为9米，A、B间的距离为6米，∠ACD=20°．（1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在B处会不会碰到头？请说明理由．（2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台EF∥DC，且AE段和FC段的坡度i=1：2，求平台EF的长度．【参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36】【分析】（1）先过点B作GB⊥AB，交AC于点G，根据∠ACD=20°，AB∥CD，得出∠BAG=20°，再根据正切定理求出BG的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案；（2）根据AD的长求出CD，再过点F作FM⊥CD，垂足为点M，过点E作EN⊥AD，垂足为点N，设FM=x，则AN=9﹣x，根据AE段和FC段的坡度i=1：2，求出CM和NE的长，最后根据EF=CD﹣（CM﹣NE），即可求出答案．【解答】解：（1）过点B作GB⊥AB，交AC于点G，∵∠ACD=20°，AB∥CD，∴∠BAG=20°，∴BG=tan20°×6=0.36×6=2.16＞1.9∴不会碰到头部；（2）∵AD=9，∴CD==25，过点F作FM⊥CD，垂足为点M，过点E作EN⊥AD，垂足为点N，设FM=x，则AN=9﹣x，∵AE段和FC段的坡度i=1：2，∴CM=2x，NE=2（9﹣x）=18﹣2x，∴CM+NE=2x+18﹣2x=18，∴EF=CD﹣（CM﹣NE）≈25﹣18=7（米）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意做出辅助线，构造直角三角形．12．（2014•泰兴市二模）某工厂大楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB长22m，坡角∠BAD=60°，为了防止山体滑坡，保障安全，工厂决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE的长；（2）为确保安全，工厂计划改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F点处，问BF 至少是多少米？【分析】（1）已知AB=22，∠BAD=60°利用sin60°可求出BE=AB•sin60°=11；（2）作FG⊥AD，G为垂足，连接FA，则FG=BE利用tan45°求出AG的长11m，利用cos60°求出AE长，让AG减AE即可．【解答】解：（1）作BE⊥AD，E为垂足，则BE=AB•sin60°=22sin60°=（m）．（2）作FG⊥AD，G为垂足，连结FA，则FG=BE．∵AG==（m），AE=AB•cos60°=22cos60°=11（m），∴BF=AG﹣AE=（m），即BF至少是（）m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，主要考查分析问题，综合利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力．13．（2014•市北区二模）如图，在一个坡角为40°的斜坡上有一棵树BC，树高4米．当太阳光AC与水平线成70°角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段AB，求树影AB的长．（结果保留一位小数）（参考数据：sin20°=0.34，tan20°=0.36，sin30°=0.50，tan30°=0.58，sin40°=0.64，tan40°=0.84，sin70°=0.94，tan70°=2.75）【分析】本题可通过构造直角三角形来解答，过B点作BD⊥AC，D为垂足，在直角三角形BCD中，已知BC的长，可求∠BCD的度数，那么可求出BD的长，在直角三角形ABD 中，可求∠DAB=70°﹣40°=30°，前面又得到了BD的长，那么就可求出AB的长．【解答】解：过B点作BD⊥AC，D为垂足，在直角三角形BCD中，∠BCD=180°﹣70°﹣90°=20°，BD=BC•sin20°=4×0.34=1.36米，在直角三角形ABD中，∠DAB=70°﹣40°=30°，AB=BD÷sin30°=1.36÷≈2.7米．答：树影AB的长约为2.7米．【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．14．（2014•日照一模）如图，在夕阳西下的傍晚，某人看见高压电线的铁塔在阳光的照射下，铁塔的影子的一部分落在小山的斜坡上，为了测得铁塔的高度，他测得铁塔底部B到小山坡脚D的距离为2米，铁塔在小山斜坡上的影长DC为3.4米，斜坡的坡度i=1：1.875，同时他测得自己的影长NH﹦336cm，而他的身长MN为168cm，求铁塔的高度．【分析】作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．利用勾股定理和相似三角形的性质求出DF，FE，从而得到BE的长，再用相似三角形的性质求出AB即可．【解答】解：作AC的延长线交BD的延长线于E，作CF⊥DE，垂足为F．在Rt△CFD中，i=1：1.875，即CF：DF=1：1.875=8：15；设CF=8x米，则DF=15x米，由勾股定理可得，（8x）2+（15x）2=CD2，∴CD=17x=3.4，∴x=0.2，∴DF=15×0.2=3米，CF=8×0.2=1.6米．∵FE：CF=NH：NM，∴FE：1.6=336：168，∴FE=3.2，∴BE=BD+DF+FE=2+3+3.2=8.2米．∴AB：BE=MN：NH，∴AB：8.2=168：336，∴AB=4.1米．答：铁塔高度为4.1米．【点评】本题考查了坡度与坡角及相似三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．15．（2009•遵义）如图，山顶建有一座铁塔，塔高CD=20m，某人在点A处，测得塔底C 的仰角为45°，塔顶D的仰角为60°，求山高BC（精确到1m，参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】易得BC=AB，那么利用60°的正切值即可求得山高BC．【解答】解：由题意可知：BD⊥AB于B，∠CAB=45°，∠DAB=60°，CD=20m．设CB为x．在△CAB中，∵∠CBA=90°，∠CAB=45°，∴CB=BA=x．在Rt△BDA中，∠DBA=90°，∠DAB=60°，∴tanDAB=，∴AB=．∵CD=20，BD=CB+CD，∴x=．解得：x≈27．答：山高BC约为27米．【点评】两个直角三角形共边，应设这边为未知数，利用相应的三角函数值求解．16．（2000•杭州）如图，河对岸有一高层建筑物AB，为测其高，在C处由点D用测量仪测得顶端A的仰角为30°，向高层建筑物前进50米，到达E处，由点F测得顶点A的仰角为45°，已知测量仪高CD=EF=1.2米，求高层建筑物AB的高．（结果精确到0.1米，，）【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形；本题涉及到两个直角三角形Rt△ADG、Rt△AFG，应利用其公共边AG，DF=DG﹣FG构造方程关系式，进而可解即可求出答案．【解答】解：延长DF与AB交于G，设AG=x，在Rt△ADG中，有AG=DG×tan30°=DG．∴DG=x．在Rt△AFG中，有FG=AG÷tan45°=x，∵DF=DG﹣FG=50米，∴x=25（+1）≈68.3米．∴AB=AG+GB=69.5米．答：AB的高约为69.5米．【点评】本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．17．（2015•甘南州）如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．【分析】在图中两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．【解答】解：由已知，得∠ECA=30°，∠FCB=60°，CD=90，EF∥AB，CD⊥AB于点D．∴∠A=∠ECA=30°，∠B=∠FCB=60°．在Rt△ACD中，∠CDA=90°，tanA=，∴AD==90×=90．在Rt△BCD中，∠CDB=90°，tanB=，∴DB==30．∴AB=AD+BD=90+30=120．答：建筑物A、B间的距离为120米．【点评】解决本题的关键是利用CD为直角△ABC斜边上的高，将三角形分成两个三角形，然后求解．分别在两三角形中求出AD与BD的长．18．（2013•香洲区校级一模）如图所示，当一热气球在点A处时，其探测器显示，从热气球看高楼顶部点B的仰角为45°，看高楼底部点C的俯角为60°，这栋楼高120米，那么热气球与高楼的水平距离为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：）【分析】过A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=120﹣x，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出AD，则可解出x的值，继而得出答案．【解答】解：过A作AD⊥BC于点D，设BD=x，则CD=120﹣x，在Rt△ABD中，∠BAD=45°，BD=x，则AD=BD=x，在Rt△ACD中，∠CAD=60°，CD=120﹣x，则AD=CDcot∠CAD=（120﹣x）×，则（120﹣x）×=x，解得：x≈43.9，即热气球与高楼的水平距离为距离为43.9米．答：热气球与高楼的水平距离为距离约为43.9米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，注意掌握仰角、俯角的定义，难度一般．19．（2012•锦州）如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角为38.5°，爬到楼顶A处测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD 的长．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，sin38.5°≈0.62，cos38.5°≈0.78，tan38.5°≈0.80 ）【分析】过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x，分别在Rt△BCD中和Rt△ACE 中，用x表示出CD和CE=AE，利用CD﹣CE=DE得到有关x的方程求得x的值即可．【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x（不设未知数x也可以）∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=∴CD=BD tan 38.5°≈0.8x∵在Rt△ACE中，tan∠CAE=∴CE=AE tan 22°≈0.4x∵CD﹣CE=DE∴0.8x﹣0.4x=16∴x=40即BD=40（米）CD=0.8×40=32（米）答：塔高CD是32米，大楼与塔之间的距离BD的长为40米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用直角三角形的性质进行解答．20．（2012•花山区校级模拟）如图，我校九年级某班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在佳山公路上测量“佳山”高AB．于是他们采用了下面的方法：在佳山公路上选择了两个观察点C、D（C、D、B在一条直线上），从C处测得山顶A的仰角为30°，在D处测得山顶A的仰角为45°，已知测角仪的高CE与DF的高为1.5m，量得CD=450m．请你帮助他们计算出佳山高AB．（精确到1m，，）【分析】连接EF并延长交AB于H，则可得到△AEH、△AFH均为直角三角形，在Rt△AFH中，根据∠AFH=45°得到AH=FH，最后设AH=FH=x （m），则EH=450+x 利用在Rt △AEH中，利用30°的正切值列出有关x的方程即可求解．【解答】解：连接EF并延长交AB于H，。

三角函数的三角方程实际应用题

三角函数的三角方程实际应用题三角函数是数学中的重要概念之一，广泛应用于实际问题的求解中。

三角方程是一类含有三角函数的方程，解决三角方程可以帮助我们了解各种实际问题。

本文将通过几个例子来探讨三角函数的三角方程的具体实际应用。

例题一：射击问题某射击运动员站在水平的地面上，距离射击目标水平距离为300米，射击点处的仰角为30°，射击点处与目标的直线距离与仰角之间的关系可表示为tanθ=300/x，其中x为射击点高度。

求射击点的高度x。

解题思路：根据题意，我们可以得到三角方程tanθ=300/x，将其变形得到x=300/tanθ。

其中θ为仰角，x为射击点的高度。

我们可以利用三角函数的计算工具，查表或使用计算器，得到仰角为30°时的tan值。

将其代入方程可得到结果。

例题二：农田渠道问题农田的田地是一个矩形，长为300米，宽为100米。

田地中央有一条渠道，以田地的长边为基准，渠道与长边的夹角为α。

根据实测数据，渠道与田地的宽边相交的距离为150米，渠道的入口与田地的边界距离为50米。

求α的值和渠道的长度。

解题思路：设渠道的长度为L，根据题意可得到三角方程cosα=150/L。

将方程进行变形可得到L=150/cosα。

其中α为渠道与田地长边的夹角。

同样地，我们可以使用三角函数的计算工具来解决这个方程，并得到结果。

例题三：地球上的航海问题假设地球是一个完美的球体，直径为12756km。

一艘船从A点出发，向东航行x km，再向南航行y km，到达B点。

求船的航行距离s和航行方向的角度θ。

解题思路：根据题意，我们可以将航行的过程分解为东方向和南方向。

根据三角形的性质可得，s² = x² + y²。

同时，我们可以利用正弦和余弦函数来求得θ的值。

根据正弦函数的定义，sinθ = y / s，可得θ = arcsin(y / s)。

同理，根据余弦函数的定义，cosθ = x / s，可得θ = arccos(x / s)。

解答题三角函数应用(针对河南中考18题)

像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，
他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4 m，在A
处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结
果精确到0.1 m.参考数据：sin 37.5°≈0.61，cos 37.5°≈0.79，tan 37.5°≈0.77）.
在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，

＝
.
tan34° tan34°
∴EH＝
∵EF＝15，∴EH－FH＝15，

－x＝15.
tan34°
即
解得x≈30.5.
∴DC≈30.5＋1.5＝32.
答：拂云阁DC的高度约为32 m.
方法总结
解锐角三角函数实际应用题的一般步骤
1.正确画出平面图或截面示意图，并通过图形找出已知量和未知量.
端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5 m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同
一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1 m.参考数据：sin 34°≈0.56，cos
34°≈0.83，tan 34°≈0.67）.
解：延长EF交DC于点H，由题意知，EH⊥DC.
设DH＝x m，在Rt△DHF中，∠DFH＝45°，∴FH＝DH＝x.
∴BC＝
≈25，
sin53°
∴x＝
∴B船到达C船处约需时间：25÷25＝1（小时）.
在Rt△ADC中，AC＝ 2x≈1.41×20＝28.2，
∴A船到达C船处约需时间：28.2÷30＝0.94（小时），
而0.94＜1，所以C船至少要等待0.9ห้องสมุดไป่ตู้小时才能得到救援.

三角函数应用题高中

三角函数应用题高中
1.一个直角三角形的斜边长为10，其中一个锐角的正弦值为0.6，求另一个锐角的余弦值。

2. 一艘船向北航行，船首与东偏北方向成35度角，速度为10m/s。

在这个速度下，船向北航行了多少米后，航向与正北方向成50度角？
3. 已知正弦函数y=sin(x)在区间[0,π]上单调递增，且在x=
π/4处的函数值为1/√2，求该函数在区间[π/4,π/2]上的最大值。

4. 已知直角三角形的一个锐角的正切值为2，求另一个锐角的
正弦值。

5. 在一个等腰三角形ABC中，角B的大小为120度，BC=5，以BC为底边作一圆的内切四边形ADEG，求该四边形的面积。

6. 一根长为10m的杆，竖直放置在地面上，其顶端与地面的夹
角为30度，现在在杆的顶端固定一根细线，细线的另一端系在地面上，线与地面的夹角为45度，求细线的长度。

7. 已知正切函数y=tan(x)在区间[0,π/2)上单调递增，且在x=π/4处的函数值为1，求该函数的反函数在点y=1处的取值。

8. 在一个正方形的ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，求∠EFG。

9. 已知正弦函数y=sin(x)在区间[0,π/2]上单调递增，且在x=π/6处的函数值为1/2，求该函数在区间[0,π/3]上的最小值。

10. 在一个直角三角形ABC中，∠A=90度，AC=6，BC=8，以BC
为底边作一圆的内切四边形ADEG，求该四边形的面积。