2016-2017学年上海市交大附中高一(下)学期期末数学试卷 (解析版)

2016-2017学年上海市交大附中高一第二学期期末数学试卷

一.填空题

1．无限循环小数0.03⋅6⋅

化成最简分数为 ． 2．函数y ＝2arccos √x −1的定义域是 ．

3．若{a n }是等比数列，a 1＝8，a 4＝1，则a 2+a 4+a 6+a 8＝ ． 4．函数f （x ）＝tan x +cot x 的最小正周期为 ．

5．已知a ，b ∈R 且lim n→∞(an 2

+bn n+1

−n)=3，则a 2+b 2＝ ．

6．用数学归纳法证明“1+12+13+⋯+1

2n −1＜n （n ∈N *，n ＞1）”时，由n ＝k （k ＞1）不

等式成立，推证n ＝k +1时，左边应增加的项数是 ．

7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2√3，c ＝2，A ＝120°，S △ABC ＝ ．

8．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4

，5π6

]的值域为 ．

9．数列{a n }满足

a 12

+

a 222

+⋯+

a n 2n

=2n +5，n ∈N *，则a n ＝ ．

10．设[x ]表示不超过x 的最大整数，则[sin1]+[sin2]+[sin3]+…+[sin10]＝ ． 11．已知25sin 2α+sin α﹣24＝0，α在第二象限内，则cos α

2

的值为 ．

12．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦．B ．曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，如图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是 ．

13．数列{a n }满足：a n ={q n ，n =2k −1

(0.5)n

，n =2k ，k ∈N *，{a n }的前n 项和记为S n ，若lim n→∞

S n ≤1，则实数q 的取值范围是 ．

14．已知数列{a n }满足：a 1＝m （m 为正整数），a n+1

={

a n

2，当a n 为偶数时3a n +1，当a n 为奇数时

若a 6＝1，

则a 5＝ ，m 所有可能取值的集合为 ．

二.选择题

15．设a、b、c是三个实数，则“b2＝ac”是“a、b、c成等比数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

16．若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|≤π）局部图象如图所示，则函数y ＝f（x）的解析式为（）

A．y=3

2

sin(2x+π6)B．y=32sin(2x−π6)

C．y=3

2

sin(2x+π3)D．y=32sin(2x−π3)

17．若数列{a n}对任意n≥2（n∈N）满足（a n﹣a n﹣1﹣2）（a n﹣2a n﹣1）＝0，下面给出关于数列{a n}的四个命题：①{a n}可以是等差数列；②{a n}可以是等比数列；③{a n}可以既是等差又是等比数列；④{a n}可以既不是等差又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

18．若数列{a n}前12项的值各异，且a n+12＝a n对任意的n∈N*都成立，则下列数列中可取遍{a n}前12项值的数列为（）

A．{a3k+1}B．{a4k+1}C．{a5k+1}D．{a6k+1}

三.解答题

19．已知函数f（x）＝﹣a cos2x−√3a sin2x+2a+b（a≠0），x∈[0，π

2

]，值域为[﹣5，1]，

求常数a、b的值．

20．在一次人才招聘会上，有A、B两家公司分别开出了他们的工资标准：A公司允诺第一个月工资为8000元，以后每年月工资比上一年月工资增加500元；B公司允诺第一年月工资也为8000元，以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%，设某人年初被A、B两家公司同时录取，试问：

（1）若该人分别在A公司或B公司连续工作n年，则他在第n年的月工资分别是多少；（2）该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应聘的标准（不计其他因素），该人应该选择哪家公司，为什么？

21．如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB＝1，BC＝2，现要将此铁皮剪出一个等腰三角形PMN，其底边MN⊥BC，点P在边AB上，设∠MOD＝θ；

（1）若θ＝30°，求三角形铁皮PMN的面积；

（2）求剪下的三角形铁皮PMN面积的最大值．

22．在xOy平面上有一点列P1（a1，b1）、P2（a2，b2）、…、P n（a n，b n）、…，对每个

正整数n，点P n位于函数y=1000(a

6

)x（0＜a＜6）的图象上，且点P n、点（n，0）与

点（n+1，0）构成一个以P n为顶角顶点的等腰三角形；

（1）求点P n的纵坐标b n的表达式；

（2）若对每个自然数n，以b n、b n+1、b n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；（3）设B n＝b1b2…b n（n∈N*），若a取（2）中确定的范围内的最小整数，问数列{B n}的最大项的项数是多少？试说明理由．

23．设递增数列{a n}共有k项，定义集合A k＝{x|x＝a i+a j，1≤i＜j≤k}，将集合A k中的数按从小到大排列得到数列{b n}；

（1）若数列{a n}共有4项，分别为a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝6，写出数列{b n}的各项的值；（2）设{a n}是公比为2的等比数列，且0.5＜a1＜2，若数列{b n}的所有项的和为4088，求a1和k的值；

（3）若k＝5，求证：{a n}为等差数列的充要条件是数列{b n}恰有7项．