二重积分变量变换

D D
f (x , y )d xd y f (r cos , r sin )rd rd
cos (x , y ) | | sin (r , ) r sin r cos r
x r cos 由: y r sin
d xd y r d r d
{xv v, yv v}
M 2 {x u u , y u u } M1
M 2 M1 M 4 | | M 1
M 4 {x (u, v v ) x (u, v ), y (u, v v ) y (u, v )} M1
y
y y
b

a
f ( x )dx f ( ( t )) ( t )dt .


(1)
当 (即 ( t ) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1 ( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成

X
u u
u M4
M1
v v
y
D
M3 M2
v
x y | M 1M 2 M 1M 4 |
M3
y
u u
u M4
v v
x,(x u, v) ,x y , y (u , v )y Tx : x y , y 1
在同一坐标系下不同曲线网下的小区域的面积分别是：
T 1 : x , x x , y , y y
x y
T 2 : u , u u , v , v v
的反函数） 下的二重积分。
xu (x , y ) | |?| yu (u, v )
xv yv
|
v M (x (u, v ), y (u, v )) , M (x (u u, v ), x (u u, v )) 1 2 y y D T 2 : u , u u , v , v v y (x (u u, v v ), y (u u, v v )) M2 M3 M1 其中： u u(x, y ) , v v(x, y ) o x x x x M (x (u, v v ), y (u, v v )) 4
x v du y v dv
vv
S
u A( u0 , v 0 )
B

u
C S uu
B
A( x0 , y0 )
O
O
x
dxdy
dx 0
0 dy

xu yu
x v du yv 0
(x , y ) dudv dv (u, v )
二重积分的变量变换 与反常二重积分
二重积分的变量变换公式, 并对常用的 极坐标变换作详细的讨论.
一、二重积分的变量变换公式
二、二重积分的广义极坐标变换 三、反常二重积分
一、二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x ) 在区间 [a , b]上连续, x ( t ) 当 t 从 变到 时严格 单调地从a 变到 b, 且 ( t ) 连续可导, 则
当 (即 ( t ) 0 )时,公式(1)又可写成 f ( x )dx 1 f ( ( t )) ( t )dt (2) X (Y ), Y 1 ( X )
(X)
当 (即 ( t ) 0 )时, (1)式可写成

X
f ( x )dx



f (x (u, v ), y (u, v )) ? dudv
dx x udu x vdv dy y udu y vdv
v
C
v
dx x u dy y u
y
x x ( u , v ) y y ( u ,v ) u u ( x , y ) v v ( x ,y )
0
(x , y ) d xd y | |d ud v (u, v )
x x ( u ,v ), y y ( u ,v ),( u ,v )

如:
D
f (x , y )dxdy



f (x (u, v ), y (u, v )) ? dudv
(x , y ) | 可以证明, 在一定的条件下, 上式中的? = | (u , v )
(X)
1
f ( ( t )) ( t )dt .
(3)
故当 ( t ) 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可 统一写成如下的形式:

即类比:
X
f ( x )dx
(X)
1
f ( ( t )) | ( t ) |dt .
(4)
下面要把公式(4)推广到二重积分的场合.
x x ( u ,v ), y y ( u ,v ),( u ,v )

D
f (x , y )dxdy



f (x (u , v ), y (u , v )) ? dudv
x x ( u ,v ), y y ( u ,v ),( u ,v )
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D
f (x , y )dxdy
下面我们从两种不同角度加以分析上述等式,并导出 二重积分换元法的一般公式。
推广一般
: f (x, y )d xd y
D
f (x (u, v), y(u, v)) |
D
(x, y ) | d ud v (u, v )
我们将上述等式视为同一坐标系下不同曲线网
T 1 : x , x x , y , y y T 2 : u , u u , v , v v 其中： u u(x, y ) , v v(x, y ) （且 x x (u, v) , y y(u, v) 为 u u(x, y ) , v v(x, y )