(完整版)姜启源数学模型第五版-第6章
数学模型姜启源 ppt课件
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
9 五 5－6 6.4种群的相互依存
2
7.1市场经济中的蛛网模型
10 五 5－6 7.2减肥计划-节食与运动
2
8.3层次分析模型
12 五 5－6 8.4效益的合理分配
2
9.2报童的诀窍(讨论课)
13 五 5－6 9.5随机人口模型
2
9.6航空公司的预定票策略
14 五 5－6 10.1牙膏的销售量
数学模型
对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
数学
建立数学模型的全过程
建模 （包括表述、求解、解释、检验等）
2020/11/13
12
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.2 数学建模的重要意义
• 电子计算机的出现及飞速发展； • 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤
1.5 数学模型的特点和分类
1.6 怎样学习数学建模
2020/11/13
8
《数学模型》 姜启源 主编
第一章 建立数学模型
1.1 从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… … ~ 实物模型
水箱中的舰艇、风洞中的飞机… … ~ 物理模型
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
数学模型
2020/11/13
1
《数学模型》 姜启源 主编
数学模型
课程简介
课程名称 数学模型与数学建模 Mathematical Modeling
先修课程 微积分、线性代数、概率论与数理统计 课程简介
数模学习(姜启源笔记)
天大万门数模写在开始今天第一次归纳、复习，整理思路重点，从最后两章（除了“其他模型”）开始，想可能印象比较深刻。
可实际开始总结才发现对于知识的理解和掌握还有很大差距，自己也是自学看书，非常希望各位提出宝贵意见，内容、学习方法经验上的都是~~ 整本书读下来感觉思路、数学都有很大拓展，总结起来有一下几个特点：一，“实际—>模型”的建模过程很关键，本书的模型很多虽然所谓“简单”、“假设多”，但简化分析中，还真难找到比它更合适、更合理、更巧妙的建模、假设了；二，模型求解之后的处理，许多地方似乎求解完毕可以结束，但却都未戛然而止，而是进一步“结果分析”、“解释”，目的不一，要看进程而定，有的促进了模型的改进，有的对数学结果做出了现实对应的解释（这一点建模过程中也经常做，就是做几步解释一下实际意义），也还有纯数学分析的，这些都是很重要的，在我看来，这本书中的许多模型、论文似乎到了“结果分析”这一步才刚刚开始，前面的求解似乎是家常便饭了；三，用各种各样的数学工具、技巧、思想来建模的过程，这本书读下来愈发觉得线性代数、高等数学基础的重要性，同时书中也设计到了一些（虽是浅浅涉及）新的数学知识和技巧，许多我在读的过程中只是试图了解这个思想，而推导过程未能花很多时间琢磨，但即便如此，还是让我的数学知识有了很大的拓展（作为工科专业学生）。
从上周六继续自学《数学模型》开始一周，比预期的时间长了许多，但是过程中我觉得即便如此也很难领会完整这本书的内容。
最近学习任务比较多，所以两天前快看完时到现在一直未能做个小结，从今天起每天做2章的小结，既是复习总结重点，也是请诸位同学指教、提意见交流——毕竟自己领会很有限。
也可以作为未读过、准备读这本书的同学的参考~第1章建立数学模型关键词：数学模型意义特点第1章是引入的一章，对数学模型的意义来源，做了很好的解释。
其实数学模型也是模型的一种，是我们用来研究问题、做实验的工具之一，只不过它比较“理论”、“摸不着”而已。
(完整版)姜启源数学模型第五版-第6章
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
k 1
2
例2 x0 =100(万元), r=0.0655/12, n=1220=240(月) x1=9625元, x240=4189.41(元), A2=1657729.17(元).
与房贷计算器给出的相同
等额本息与等额本金方式的比较
• 等额本息方式简单，便于安排收支. • 等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,
贷款购房——最简 单的差分方程模型
输入必要信息 轻击鼠标即得
单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.70.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
c 20000 0.025
w 8000100
每周每千克体重消耗 20000/100=200kcal 正常代谢消耗相当弱.
2. 正常代谢情况下的第一阶段计划 • 吸收热量由20000kcal每周减少1000kcal, 直至达到安全下限10000 kcal/周. c(k) 200001000k, k 1,2, ,10 c(10)= 10000 第一阶段需10周 w(k 1) (1 )w(k) (20000 1000 k)
姜启源数学建模资料
姜启源数学建模资料简单的优化模型3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型生猪的出售时机森林救火最优价格3.5 血管分支3.6 消费者均衡3.7 冰山运输<i>姜启源数学建模资料</i>静态优化模型现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数不是函数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法<i>姜启源数学建模资料</i>问题3.1存贮模型配件厂为装配线生产若干种产品，配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费件生产准备费已知某产品日需求量元每日每件1元试安排该产品的生产计划，每日每件元。
试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
),每次产量多少一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
不只是回答问题，而且要建立生产周期、要不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
求需求量、准备费、贮存费之间的关系。
<i>姜启源数学建模资料</i>问题分析与思考日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件元。
件准备费日需求元贮存费每日每件1元每天生产一次，每次每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费件无贮存费，准备费5000元。
元每天费用5000元元每天费用10天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次1000件，贮存费件贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计元，准备费元总计9500元。
元平均每天费用950元元平均每天费用50天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次5000件，贮存费件贮存费4900+4800+…+100 =*****元，准备费元准备费5000元，总计元总计*****元。
《数学模型》(第五版)-姜启源 第8章
经济收益最大的超额售票模型
1. 飞机容量为n，超额售票数量为q，已订票的 n+q位旅客中不按时登机的数量为r (随机变量).
2. 每位订票旅客不按时登机的概率为p，他们是 否按时登机的行为相互独立，这个假设适用于 单独行动的商人、游客等.
3. 每张机票价格为s1，因飞机满员而无法登机的 每位旅客得到的补偿金额为s2. 飞行费用与旅 客数量关系很小，不予考虑.
为确定s，从工人考虑还是从挂钩考虑，哪个方便？
• 若求出一周期内每只挂钩非空的概率p，则 s=mp
如 设每只挂钩为空的概率为q，则 p=1-q 何 求 设每只挂钩不被一工人触到的概率为r，则 q=rn
概 设每只挂钩被一工人触到的概率为u，则 r=1-u 率
一周期内有m个挂钩通过每一工作台的上方
u=1/m
成立的最小q使E(q)达到最大.
s=s2/s1 ~ 补偿金额s2与机票价格s1之比,
求解
• 飞机容量n=300，每位订票旅客不按时登机的 概率p，补偿金额与机票价格之比s=1/2. 利用Matlab软件逆二项分布函数命令 x = binoinv (y, n, p) 代入数据：y=1/(1+s)=2/3, n=300+q, p=0.05. 从q=1开始运行程序直到 x=q为止 q=17
3）一周期内m个均匀排列的挂钩通过每一工作台 的上方，到达第一个工作台的挂钩都是空的；
4）每人在生产完一件产品时都能且只能触到一只 挂钩，若这只挂钩是空的，则可将产品挂上运走； 若该钩非空，则这件产品被放下，退出运送系统.
模型建立
• 定义传送带效率为一周期内运走的产品数（记作s, 待定）与生产总数 n（已知）之比，记作 D=s /n
• 可以用一个周期内传送带运走的产品数占产品 总数的比例作为衡量传送带效率的数量指标.
(完整版)数学模型姜启源-第三章(第五版)
平均每天费用950元 • 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.
平均每天费用2550元
c2 t1x x
c3 x
其中 c1,c2,c3, t1, ,为已知参数
模型求解 求 x使 C(x)最小
dC 0 dx
x
c t 2 2c t
11
21
2c 2
3
结果解释 x c1t12 2c2t1
2c32
dB
dt
/ 是火势不继续蔓延的最少队员数
x
x 0.45
0.4 0.35
0.3 0.25
0.2 0.15
0.1 0.05
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 a
a
1
空杯质量w2取决于材料 (纸杯、塑料杯、玻璃杯).
设w2=150g 半升啤酒杯w1=500g a=0.3 x=0.3245
一杯啤酒约剩1/3时重心最低，最不容易倾倒！
问题分析与模型假设 x
w1 ~ 啤酒 (满杯) 质量
1
w2 ~空杯侧壁质量, w3 ~空杯底面质量
啤酒杯重心s(x)由啤酒重心和空杯 重心合成.
• s2=1/2 •xs(x) 液面 • s1=x/2 0
液面高度x时啤酒质量w1x, 啤酒重心位置 s1=x/2
忽略空杯底面质量w3 空杯重心位置 s2=1/2
数学模型课后答案姜启源
数学模型课后答案姜启源【篇一：姜启源《数模》习题选解】方案模型构成：以阈值0,1分别标记“不在”和“在”，记第k次渡河前此岸的人阈值为xk，猫阈值为yk，鸡阈值为zk，米阈值为wk，将四维向量sk=(xk,yk,zk,wk)定义为状态，xk,yk,zk,wk=0,1。
安全渡河条件下的状态集合为允许状态集合，记作s。
以穷举法得到s：s={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0),(0,1,0,1),(0,0,1,0),( 0,1,0,0),(0,0,0,1),(0,0,0,0)} 记第k次渡船上四个对象（人、猫、鸡、米）的阈值分别为ak,bk,ck,dk，并将四维向量ek=(ak,bk,ck,dk)定义为决策。
允许决策集合记作e={(a,b,c,d)|0≤b+c+d≤1，a=1，b,c,d=0,1}因为k为奇数时，船从此岸驶向彼岸，k为偶数时船由彼岸驶向此岸，所以，状态sk随决策ek变化的规律是sk+1=sk+(-1)kek该式称状态转移律，该问题就转换成多步决策模型：求决策∈?? ??=1,2,?,?? ，使状态∈??按照转移律，由初始状态s1=(1,1,1,1)经有限步n到达状态sn+1=(0,0,0,0)。
模型求解：本解答试尝用图解法，由于无法利用平面来表达四维坐标系，所以采取其投影即三维空间的方法来构建模型。
把人的阈值xk抽离出来，分别标记0系坐标系（即当xk=0时，(yk,zk,wk)的空间坐标），和1系坐标系，可允许状态点如下标示（红色点）：由于a=1是恒成立的，所以，决策是0系坐标系和1系坐标系的点集间的连接，而非任意坐标系内部的连接。
如图1所示，两正方体中心重合，且对应顶点的连线通过中心，称为二合正方体（四维空间不具有包性，即a/b两正方体并没有包含的关系）。
二合正方体的一个顶点为（a,b），称为共顶点，即二合正方体共有8个共顶点。
数学模型姜启源-(第五版)名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
例2 奶制品旳生产销售计划 在例1基础上深加工
12h 1桶 牛奶 或
3kgA1 1kg 2h, 3元
获利24元/kg 0.8kgB1
获利44元/kg
8h
4kgA2
50桶牛奶, 480h
1kg 2h, 3元
获利16元/kg 0.75kgB2
获利32净利润最大
Objective value:
3460.800
Total solver iterations:
2
Variable
Value Reduced
Cost
X1 0.000000
1.680000
X2 168.0000
0.000000
X3 19.20230
0.000000
X4 0.000000
0.000000
O
c l5
l3 D x1
z=0 z=2400
在B(20,30)点得到最优解.
目的函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成旳凸多边形 目旳函数旳等值线为直线
最优解一定在凸多边 形旳某个顶点取得.
模型求解
软件实现
LINGO
model: max = 72*x1+64*x2; [milk] x1 + x2<50; [time] 12*x1+8*x2<480; [cpct] 3*x1<100; end
决策 变量
目的 函数
8h
4kg A2
1kg
2h, 3元
出售x1 kg A1, x2 kg A2，
获利16元/kg
0.75kg B2
获利32元/kg
x3 kg B1, x4 kg B2
姜启源 数学模型第五版-第1章
模型求解 一种简单的证明方法
1）令 h()= f()–g(), 则 h(0)>0，h(/2)<0.
2）由 f, g 连续可得 h连续.
3）据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0< 0 < /2) , 使h(0)=0, 即 f(0) = g(0) . 4）因为 f(0) • g(0)=0, 所以 f(0) = g(0) = 0.
vmax=11.1(m/s)
2 a1 a2
最小二乘法 c1=0.4536，c2=-0.6084，s=65.5556 (m)
路障间距建模过程的基本、关键步骤 • 作出简化、合理的假设(等加速和等减速行驶). • 利用问题蕴含的内在规律(时间、距离、速度、
加速度之间的物理关系). • 根据测试数据估计模型的参数(加速度和减速度).
数学建模的一般步骤
模型准备
模型假设
模型检验
模型分析
模型构成 模型求解
模型应用
模 了解实际背景 明确建模目的 形成一个
型
比较清晰
准 搜集有关信息 掌握对象特征 的问题 备数学建模的一般步骤模针对问题特点和建模目的
型
假
作出合理的、简化的假设
设 在合理与简化之间作出折中
模
用数学的语言、符号描述问题
型 构
数学方法 初等数学、微分方程、规划、统计、…
表现特性 建模目的
确定和随机
静态和动态
离散和连续
线性和非线性
描述、优化、预报、决策、…
了解程度 白箱
灰箱
黑箱
1.8 怎样学习数学建模—— 学习课程和参加竞赛
数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术.
《数学模型》(第五版)-姜启源 第9章
早产率
H0: q0=q1, H1: q0≠q1
检验结果(α=0.05)
拒绝H0, 接受H1 拒绝H0, 接受H1(t=4.0304) 拒绝H0, 接受H1 接受H0, 拒绝H1(t=0.5663)
• 吸烟孕妇的新生儿体重比不吸烟孕妇的低、且 新生儿体重低的比例高，在统计学上有显著意义.
• 吸烟与不吸烟孕妇孕期和早产率的差别难以肯定 是显著的(若α将接受怀孕期均值相等的假设)
x1
1.0000 0.0809 -0.0534 0.0705 0.0237 -0.0603
x2
1.0000 -0.3510 0.0435 -0.0964 -0.0096
x3
1.0000 -0.0065 0.1473 -0.0678
x4
1.0000 0.4353 0.0175
x5
1.0000 -0.0603
X2
-3.28762 -3.0933 0.0020
X3
-0.00895031 -0.1043 0.9170
X4
1.15497 5.6415 0.0000
X5
0.0498335 1.9910 0.0467
X6
-10 -8 -6 -4 -2
0
2
-8.3939 -8.8248 0.0000
RMSE
16.5
X5
X6
-10 -8
-6
-4
-2
0
2
Coeff. t-stat 0.451168 15.2000 -3.26733 -3.0320 0.104543 1.2775
1.31198 7.1138 0.118183 5.2127
-8.3744 -8.6027
《数学模型》(第五版)-姜启源-第2章
初等模型
• 研究对象的机理比较简单
• 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的
可以利用初等数学方法来构造和求解模型
如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果
差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.
尽量采用简单的数学工具来建模
第
二
章
初
等
模
型
双层玻璃窗的功效
划艇比赛的成绩
实物交换
汽车刹车距离与道路通行能力
外
T2
墙
T1 Ta
Ta Tb k Tb T2
Q1 k1
k2
1
d
d
l
T1 T2
k1
l
Q1 k1
, sh , h
d ( s 2)
k2
d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2
T1 T2
Q1 k1
Q2 k1
d ( s 2)
2d
室
内
T1
2d
Q2
Q1
1
l
, h
Q2 8h 1
d
取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2
即双层玻璃窗与同样多材
料的单层玻璃窗相比，可
减少97%的热量损失.
结果分析
Q1/Q2
0.06
0.03
0.02
O
2
4
Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系
数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.
房间通过天花板、墙壁、…损失的热量更多.
vm
vm=vf/2 ~最大流量时的速度
0
km
kj
密度k
0
数学建模,姜启源第六章 稳定性模型
x(t ) x ky g 模型 y(t ) lx y h
kl
1) 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张。 2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 > kl 下 x(t), y(t)0,
模型
x1 x2 x1 (t ) r1 x1 1 N 1 N 1 2
x1 x2 x2 (t ) r2 x2 1 2 N1 N 2
模型 t 时x (t ), x (t )的趋向 (平衡点及其稳定性) 1 2 分析
都有
lim x(t ) x0 , 称x0是方程(1)的稳定平衡点 t
x F ( x0 )(x x0 ) (2)
不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程
F ( x0 ) 0 x0稳定(对(2), (1)) F ( x0 ) 0 x0不稳定(对(2), (1))
平衡点 P0(0,0)稳定
平衡点 P0(0,0)不稳定
军备竞赛
平衡点 稳定性判断 系数 A l 矩阵
x(t ) x ky g 模型 y(t ) lx y h
kh g x0 , kl
k
l g h y0 kl
lim x2 (t ) x , 称P0是微分方程的稳定平衡点 t
0 2
判断P0 (x10,x20) 稳定 性的方法——直接法 (1)的近似线性方程
0 0 0
1
x1 (t ) f ( x1 , x2 ) x2 (t ) g ( x1 , x2 ) (1)
数学模型(第五版)-姜启源(9)[文字可编辑]
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检验结果(α=0.05)
拒绝H0, 接受H1 拒绝H0, 接受H1(t=4.0304) 拒绝H0, 接受H1 接受H0, 拒绝H1(t=0.5663)
? 吸烟孕妇的新生儿体重比不吸烟孕妇的低、且 新生儿体重低的比例高，在 统计学上有显著意义 .
? 吸烟与不吸烟孕妇孕期和早产率的差别 难以肯定 是显著的 (若α=0.01将接受怀孕期均值相等的假设 )
? 不吸烟孕妇怀孕期增加一天， 新生儿体重平均只增加 0.32oz.
? 对吸烟孕妇是增加约 0.6oz，二者相差很大！
将吸烟状况作为另一自变量， 建立新生儿体重与 2 个自变量的回归模型 ，利用全体孕妇数据进行分析 .
多元线性回归分析
模型 y=b0+b1x1+b2x2+ε
y~新生儿体重 , x1~孕妇怀孕期 , x2=0,1 ~不吸烟, 吸烟.
一元线性回归模型 y=b0+b1x+ε 怀孕期x, 新生儿体重 y
模
? 吸烟孕妇怀孕期增加一天，
型
新生儿体重平均增加约 0.6 oz.
解
? 不是x=0时y的估计, 只能在数
释
据范围内 (x=220~340天) 估计.
模 型 预 测
? 模型精度不高导致预测区间如此之大！
一元线性回归模型 y=b0+b1x+ε 怀孕期x, 新生儿体重 y
模型 y=b0+b1x1+b2x2+ε
增加乘积项 x1x2 ~ x1 和x2对y的综合影响
y=b0+b1x1+b2x2+b3x1x2+ε
系数 系数估计值 系数置信区间
b0 34.0925 [15.4605 52.7244]
姜启源数学建模资料
姜启源数学建模资料姜启源数学建模资料第三章简单的优化模型3.1 3.2 3.3 3.4 存贮模型生猪的出售时机森林救火最优价格3.5 血管分支 3.6 消费者均衡 3.7 冰山运输姜启源数学建模资料静态优化模型现实世界中普遍存在着优化问题静态优化问题指最优解是数不是函数静态优化问题指最优解是数(不是函数不是函数) 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数求解静态优化模型一般用微分法姜启源数学建模资料问题3.1存贮模型配件厂为装配线生产若干种产品，配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。
该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费件生产准备费已知某产品日需求量元每日每件1元试安排该产品的生产计划，每日每件元。
试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
),每次产量多少一次(生产周期),每次产量多少，使总费用最小。
不只是回答问题，而且要建立生产周期、要不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系。
求需求量、准备费、贮存费之间的关系。
姜启源数学建模资料问题分析与思考日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件元。
件准备费日需求元贮存费每日每件1元每天生产一次，每次每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费件无贮存费，准备费5000元。
元每天费用5000元元每天费用 10天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次1000件，贮存费件贮存费900+800+…+100 =4500 准备费5000元，总计元，准备费元总计9500元。
元平均每天费用950元元平均每天费用 50天生产一次，每次天生产一次，天生产一次每次5000件，贮存费件贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费元准备费5000元，总计元总计127500元。
(完整版)数学模型姜启源-第七章(第五版)
标准化第1步：区分
费用型属性 效益型属性
价格X1
性能X2, 款式X3
对费用型的属性值dij作倒数变换 ——将全部属性统一为效益型.
25 9 7
D 18
7
7
12 5 5
1/ 25 9 7
D 1/18
7
7
1/12 5 5
1）决策矩阵及其标准化
R (rij )mn , 0 rij 1
标准化第2步：对dij作比例尺度变换
rij
dij
m
dij
i 1
rij
dij
i
max
1, 2 ,
m
dij
rij
dij
m
di2j
i 1
R的列和为1 ~归一化
R的列最大值 为1~最大化
R的列模为1 ~模一化
R~标准化的决策矩阵 当且仅当dij=0时才有rij=0
比例变换假定: 属性的重要性随属性值线性变化.
2.决策矩阵 3.属性权重 4.综合方法. 1. 确定属性集合的一般原则： • 全面考虑, 选取影响力(或重要性) 强的. • 属性间尽量独立(至少相关性不太强) • 不选难以辨别方案优劣的(即使影响力很强). • 尽量选可量化的, 定性的也要能明确区分档次. • 若数量太多(如大于7个), 应将它们分层.
WP
0.3067 0.3364 0.3569
TOPSIS
0.2411 0.2840 0.4749
SAW(R归一化, 最大化), WP结果差别很小,
TOPSIS结果差别稍大. 优劣顺序均为A3 , A2 , A1
• 简单、直观的加权和法(SAW)是人们的首选.
姜启源 数学模型第五版-第1章
分析
建立馅、皮与数学概念的联系：
馅——体积，皮——表面积
体积V、面积S 一个大饺子
体积v、面积s
n个小饺子
S
s s…s
V
vv
v
V和 nv 哪个大? 定性分析 V比 nv大多少? 定量结果
假设 1.皮的厚度一样 2.饺子的形状一样
建模
S ns (1)
两个 k1 (及k2) 一样
体积与面积的联系——半径（特征半径 ）
结论：在模型假设条件下，将椅子绕中心旋转， 一定能找到四只脚着地的稳定点.
1.6 数学建模的基本方法和步骤
数学建模的基本方法
机理分析 对客观事物特性的认识 内部机理的数量规律
白箱
测试分析
对量测数据的统计分析 与数据拟合最好的模型
二者结合 机理分析建立模型结构, 测试分析确定模型参数.
黑箱 灰箱
机理分析主要通过案例研究学习.建模主要指机理分析.
路障间距的设计
假设 相邻路障之间汽车作等加速运动和等减速运动.
加速度、减速度： 方法一 查阅资料 方法二 进行测试
加速行驶的测试数据
速度（km/h） 0
时间（s）
0
10 20 30 40 1.6 3.0 4.2 5.0
减速行驶的测试数据
速度（km/h） 40
30
20 10
0
时间（s）
0
2.2 4.0 5.5 6.8
f() , g()是连续函数
椅子在任意位置 至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
椅子旋转900, 对角 线AC和BD互换
g(0)=0，f(0) > 0， f(/2)=0, g(/2)>0.
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a=7485.2(元), A1=1796447.27(元)
与房贷计算器给出的相同
等额本息贷款和等额本金贷款
例２ “房贷计算器”选择等额本金还款, 输入: 商业 贷款总额100万元, 期限20年, 年利率6.55%. 点击“开 始计算”得到: 还款总额1657729.17元, 每月还款金额 由第１月的9625元逐月递减, 最后１月为4189.41元.
a =3000, r =0.035/12, n =125 (月) xn= 196,012.50
等额本息贷款和等额本金贷款
房贷计算器的选项 • 贷款类别：商业贷款, 公积金, 组合型 年利率不同 • 计算方法：根据贷款总额或面积、单价计算. • 按揭年数：可选１至30年. 选择20年.
• 银行利率：基准利率、利率上限或下限. 选择商业 贷款的基准利率6.55%.
k=n递推 至k=2
xk
x0 n
x0 (1
k
1)r, n
k 1,2, n
等额本金还款模型
x0 ~贷款总额 r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款金额
xk
x0 n
x0 (1
k
1)r, n
k 1,2, n
A2 ~还款总额
n
n 1
A2 xk x0 x0r
型
6.1 贷款购房 6.2 管住嘴迈开腿 6.3 市场经济中的物价波动 6.4 动物的繁殖与收获 6.5 信息传播 6.6 原子弹爆炸的能量估计 6.7 CT技术的图像重建 6.8 等级结构 6.9 中国人口增长预测
6.1 贷款购房
贷款购房需考虑的问题
网上的房贷计算器
买多大的房子
一共贷多少钱
每月还多少钱
贷款到期时xn=0
a
x0r
(1 r)n (1 r)n
1
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额 r ~月利率 n ~贷款期限(月)
a~每月还款金额
a
x0r
(1 r)n (1 r)n 1
A1 ~还款总额
(1 r)n A1 na x0rn (1 r)n 1
例1 x0 =100(万元), r=0.0655/12, n=1220=240(月)
建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率 n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
单位本金、同一利率r、同一存期n计算单利和复利：
单利本息：1Βιβλιοθήκη nr复利本息：(1+r)n >1+nr 利滚利！
单利和复利 按单利计算的业务——零存整取
零存整取 ~ 每月固定存额，约定存款期限，到期 一次支取本息的定期储蓄. 方式：5元起存，多存不限，存期1年、3年、5年.
例 每月存入3000元，存期５年（年利率3.5%） 零存整取 累计存入金额180,000元
k 1
2
例2 x0 =100(万元), r=0.0655/12, n=1220=240(月) x1=9625元, x240=4189.41(元), A2=1657729.17(元).
与房贷计算器给出的相同
等额本息与等额本金方式的比较
• 等额本息方式简单，便于安排收支. • 等额本金方式每月还款金额前期高于等额本息方式,
第六章 差分方程与代数方程模型
• 差分方程~若干离散点上未知变量数值的方程. • 描述离散时间段上客观对象的动态变化过程. • 现实世界中随时间连续变化的动态过程的近似. • 差分方程与代数方程都是离散模型的数学表述，
二者有着类似的向量-矩阵表达形式，求解过程 也存在相互联系.
第 六 章
差代 分数 方方 程程 与模
• 还款方式：等额本息还款或等额本金还款.
等额本息贷款和等额本金贷款
等额本息还款~每月归还本息(本金加利息)数额相同. 等额本金还款~每月归还本金数额相同, 加上所欠本金 的利息. 所欠本金逐月减少 每月还款金额递减
例1 “房贷计算器”选择等额本息还款, 输入: 商业贷 款总额100万元, 期限20年, 年利率6.55%. 点击“开始 计算”得: 还款总额1796447.27元, 月均还款7485.2元.
将公布的年利率折换为一个还款周期的利率. • 不同还款周期一次还款金额和还款总额都不一样.
周期越短还款总额越小？
计算器 到期本息总额196,012.50元
勤俭节约、科学理财
单利和复利 按单利计算的业务——零存整取
a~每月存入金额, r ~月利率, n ~ 存期(月) xk ~存入k个月后的本息 x1=a+ar x2= x1+a+a2r
xk= xk-1+a+akr, k＝2,3,…, n k=n递推至k=１ xn= na+ar(1+2+…+n)
贷款购房——最简 单的差分方程模型
输入必要信息 轻击鼠标即得
单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.75%, 到期后本 息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
建立等额本金还款方式的数学模型, 并作数值计算.
等额本金还款模型
x0 ~贷款总额 r ~月利率 n ~贷款期限(月)
每月归还本金x0/n
第1月还款金额
x1
x0 n
x0r
还款金额逐月减少归还本金x0/n所产生的利息x0r/n
xk ~第k月还款金额
xk
xk 1
x0r n
,
k 2,3, , n
后期低于等额本息方式, 适合当前收入较高人群. • 等额本息方式还款总额大于等额本金方式.
等额本息方式前期还款额较少, 所欠本息的利息逐月
归还, 所以利息总额较大.
还款总额A1>A2
例1 例2： A1=1796447.27(元) , A2=1657729.17(元).
小结与评注 • 贷款购房两种基本还款方式：等额本息、等额本金. • 要点: 明确利息计算, 列出差分方程, 利用递推关系. • 模型适用于任何还款周期(半月、一季度等)——