二元函数的连续偏导可微

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(整理)二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论.

西安文理学院数学系本科毕业论文开题报告注：此表前4项由学生填写后，交指导教师签署意见，经主管系主任审批后，才能开题。

西安文理学院数学系本科毕业论文进度表分类号：西安文理学院数学系学士学位论文二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论系院名称数学系指导老师胡洪萍学生姓名韩晓莉学生学号 021********专业、班级数学与应用数学06级2班提交时间二〇一〇年五月二十一西安文理学院数学系二元函数连续性、偏导数及可微性的讨论韩晓莉（西安文理学院数学系，陕西西安 710065）摘要：本文对多元函数微分学中连续、偏导数及可微三个概念之间的关系作了较为详细的论述，并给出了简洁全面的证明，同时给出相应的反例加以说明，用实例说明了它们的无关性与在一定条件下所具有的共性.关键词：二元函数；连续；偏导数；可微多元函数微分学的内容与一元函数微分学的内容大体上是平行的，但在注意多元函数与一元函数的共性的同时，特别要注意多元函数所具有的特性.二元函数的连续性、偏导数及可微性是数学分析中的一个重要概念，在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略，比较浅显，本文就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究，对教材内容做一些适当的补充和扩展，为后继课程的学习奠定基础.1 二元函数连续、偏导、可微的定义定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数,0P D ∈(它或者是D 的聚点，或者是D 的孤立点).对于任给的正数ε，总存在相应的正数δ，只要0(;)P U P D δ∈，就有0()(),f P f P ε-< 则称f 关于集合D 在点0P 连续，也称f 在点0P 连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续，则称f 为D 上的连续函数.定义2 设函数()y x f z ,=在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量()()0000,,y x f y x x f -∆+如果极限()()xy x f y x x f x ∆-∆+→∆00000,,lim存在，则称此极限为函数()y x f z ,=在点),(00y x 处对x 的偏导数.如果函数()y x f z ,=在区域D 内每一点()y x ,处对x (或对y )的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x ，y 的函数，称它为函数()y x f z ,=对自变量x （或对y ）的偏导函数.定义3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，对于()0P U 中的点()()y y x x y x P ∆+∆+=00,,,若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 ()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ,,00,其中A,B 是仅与点0P 有关的常数，22y x ∆+∆=ρ，()ρο是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微，并称上式中关于x ∆，y ∆的线性函数A x ∆＋B y ∆为函数f 在点0P 的全微分，记作()y B x A y x df ∆+∆=00, .2 二元函数的连续性一元函数若在某点存在左导数和右导数，则这个一元函数必在这点连续，但对于二元函数()y x f ,来说，即使它在某点()000,y x P 既存在关于x 的偏导数()00,y x f x ，又存在关于y 的偏导数()00,y x f y ，()y x f ,也未必在点()000,y x P 连续.不过，我们却有如下定理：定理1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在()0P U 内有界,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明任取()y y x x ∆+∆+00,∈()0P U , 则()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+= ()()()()00000000,,,,y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+ (1) 由于()y x f x ,在()0P U 存在,故对于取定的y y ∆+0, ()y y x f ∆+0,作为x 的一元函数在以0x 和0x +x ∆为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在θ∈(0 ,1) ,使()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ将它代入(1) 式, 得()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+= ()()()000000,,,y x f y y x f x y y x x f x -∆++∆∆+∆+θ . (2) 由于()∈∆+∆+y y x x 00,θ()0P U ,故()y y x x f x ∆+∆+00,θ有界,因而当()()0,0,→∆∆y x 时, 有()y y x x f x ∆+∆+00,x ∆→0.又据定理的条件知,()y x f ,0在y =0y 连续,故当()()0,0,→∆∆y x 时, 又有()()0000,,y x f y y x f -∆+→0.所以, 由(2) 知, 有lim →∆→∆y o x [()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+] = 0.这说明()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在点()000,y x P 连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义. 若()y x f x ,在()0P U 有界, ()00,y x f y 存在,则()y x f , 在点()000,y x P 连续.证明由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义，若()y x f x ,在点()000,y x P 连续, ()00,y x f y 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界. 又由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续. 同理可证如下的定理2及其推论.定理2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界,()0,y x f 作为x 的一元函数在点x =0x 连续,则()y x f ,在()000,y x P 连续.推论1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义, ()y x f y ,在点()000,y x P 连续, ()0,y x f 作为x 的一元函数在点x =0x 连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义, ()y x f y , 在点()000,y x P 连续, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续. 3 二元函数()y x f ,在点()00,y x 偏导与可微的关系定理3 若二元函数()y x f ,在点()y x P ,可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数存在且为y x f f ,.证明如果函数在点()y x P ,可微，()∈∆+∆+y y x x P ,0P 的某个邻域，则()ρο+B∆+A∆=∆y x z 总成立，当y ∆=0，上式仍成立，此时，x ∆=ρ，()()()x x y x f y x x f ∆+A∆=-∆+ο,,，()()x x f xy x f y x x f =∆-∆+→∆,,lim所以x f 存在，同理可证y f 存在.注意函数()y x f ,在某点()y x ,可微，()y x f ,在该点偏导数必存在;但()y x f ,在某点()y x ,偏导数存在，函数在该点却不一定可微. 例1 证明函数()y x f ,=xy 在原点()0,0存在两个偏导数但不可微.证明由于()0,0x f =()()xf x f x ∆-∆→∆0,00,lim0 =xx ∆→∆0lim 0=0 ()0,0y f =()()yf y f y ∆-∆→∆0,0,0lim=yy ∆→∆0lim 0=0所以函数在原点两个偏导数存在.下证函数在原点不可微，用反证法，设函数在原点可微，于是 df =()0,0x f x ∆+()0,0y f y ∆=0f ∆=f (0+x ∆,0+y ∆)-f (0,0)=y x ∆∆ 特别取x ∆=y ∆，有f ∆=y x ∆∆=2x ∆=x ∆ 22y x ∆+∆=ρ=2x ∆ 所以xx dff x ∆∆=-∆→∆→2limlimρρ=21≠0这说明df f -∆比ρ不是高阶无穷小，（当0→ρ时）此与可微的定义矛盾，故函数()y x f z ,==xy 在原点()0,0不可微.4 二元函数()y x f ,在点()00,y x 可微与连续的关系定理4 若二元函数()y x f ,在其定义域内一点()y x ,可微，则f 在该点必然连续.证明事实上()ρο+B∆+A∆=∆y x z ，0lim 0=∆→z ρ，()()[]()y x f z y x f y y x x f y x ,,lim ,lim 00=∆+=∆+∆+→→∆→∆ρ故f 在()y x ,连续.注意函数()y x f ,在某点()y x ,可微，则()y x f ,在该点连续;但()y x f ,在某点()y x ,连续，函数在该点却不一定可微.例2 证明函数()y x f ,=22sin y x +在()0,0点连续，但在该点不可微. 证明 ()200,R y x ∈∀,有()()2202200sin sin ,,y x y x y x f y x f +-+=- =22sin2cos 2202222022y x y x y x y x +-++++≤22022y x y x +-+ ()()2020y y x x -+-≤则ε∀>0，εδ=∃ ，当()()2020y y x x -+-<δ时，有()()00,,y x f y x f -<ε 则f 在()00,y x 连续，即在()0,0点连续. 又因为()()xx x f x f x x ∆∆=∆-∆→∆→∆sin lim 0,00,lim00不存在()()y y y f y f y y ∆∆=∆-∆→∆→∆sin lim0,0,0lim 00不存在所以f 在()0,0点不存在偏导数，即在该点不可微. 5 二元函数()y x f ,在点()00,y x 连续、偏导、可微的关系对于二元函数可微的充分性条件，一般的数学分析教材如华东师范大学编的《数学分析》是这样叙述的：[]1定理若函数()y x f z ,=的偏导数在点()00,y x 的某邻域内存在，且x f 与y f 在点()00,y x 处连续，则函数f 在点()00,y x 可微.关于二元函数可微的充分性条件，如果完全放弃对两个偏导数的连续性要求，从另一个条件出发，仍可得到可微的充分条件的另一命题.定理5 若函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的邻域G 内()y x f x ,连续，()00,y x f y 存在，则函数f 在点()00,y x 可微.证明对于邻域G 内任意一点()y y x x ∆+∆+00,，函数有全增量 z ∆=()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+=()()()()00000000,,,,y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+由于一元函数()y y x f ∆+0,在点()y y x ∆+00,的邻域G 内满足微分中值定理条件，有()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ（0<θ<1）已知()y x f x ,在点()000,y x P 连续，故有()x y y x x f x ∆∆+∆+00,θ=()x x y x f x ∆+∆α00,（0lim 0=→αρ，22y x ∆+∆=ρ）又由于()00,y x f y 存在，故一元函数()y x f ,0在0y 可导，于是有()()()y y y x f y x f y y x f y ∆+∆=-∆+β000000,,, （0lim 0=→βρ）从而有z ∆=()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+ =()()y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆βα0000,,而 ρβραρβαy x yx ∆⋅+∆⋅≤∆+∆ 0→+≤βα （0→ρ）或 ()ροβα=∆+∆y x ，于是 ()()()ρο+∆+∆=∆y y x f x y x f z y x 0000,, 即函数f 在点()00,y x 可微.注意这个条件是可微的充分条件并非必要条件，即()y x f z ,=在()00,y x 的邻域G 内()00,y x f y 存在但()y x f x ,不连续，但()y x f ,在点()00,y x 也可微.例3 设函数()y x f ,=()⎪⎩⎪⎨⎧++,0,1sin 2222y x y x 002222=+≠+y x y x ，讨论()y x f ,在原点（1）()0,0y f 是否存在（2）x f 是否连续（3）是否可微.解（1）由定义知()0,0y f =()()yf y f y ∆-∆→∆0,0,0lim=yy y y ∆∆∆→∆2201sinlim=0 所以()0,0y f 是否存在.（2）因为当022≠+y x 时，()y x f ,偏导数存在，故()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+=,0,1cos 11sin 2,222222y x y x y x x y x f x 002222=+≠+y x y x ，而()y x f x y x ,lim 00→→不存在，故()y x f ,在原点不连续.（3）因为()22221siny x y x z ∆+∆∆+∆=∆，01sinlim lim2==-∆→→ρρρρρdzz所以()y x f ,在原点可微.对于二元函数()y x f ,在某点()00,y x 的连续性与偏导数存在，两者之间没有必然的联系，即()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.例4 证明函数()y x f ,=22y x +（圆锥）在原点的连续性，但偏导数不存在.证明因为()()()()()220,0,0,0,lim,limy x y x f y x y x +=→→=0 =()0,0f 所以()y x f ,在原点连续.又因为()()xf x f x f x x x ∆-∆=∆∆→∆→∆0,00,lim lim 00=x x x ∆∆→∆0lim=xx x ∆∆→∆0lim此极限不存在，因此()y x f ,在原点关于x 的偏导数不存在，同理可证，()y x f ,在原点关于y 的偏导数也不存在.例5 证明函数()y x f ,=⎪⎩⎪⎨⎧+,0,22y x xy002222=+≠+y x y x ，在原点存在偏导数但不连续.证明由偏导数的定义有()()()xf x f f x x ∆-∆=→∆0,00,lim 0,00 =xx ∆-→∆00lim 0=0同理可证()0,0y f =0，即在原点关于x 与y 的偏导数存在. 又因为当动点()y x ,沿直线mx y =而趋于定点()0,0时，由于此时()()21,,m mmx x f y x f +==所以()()()()mx x f y x f x mxy y x ,lim ,lim 00,0,→=→==21mm+ 此结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于定点时，对应得极限值也不同，故在原点没有极限，从而不连续.以上两例说明()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存,()y x f ,在点()00,y x 可以不连续；()y x f ,在某点()00,y x 连续，()y x f ,在点()00,y x 偏导数也可能不存在.即()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存在与否，与其在该点是否连续无关.结束语本文以上的讨论说明了函数()y x f ,在某点()00,y x 的连续、偏导数及其在该点是否可微之间的关系，它们虽然没有直接的联系，但当偏导数存在且连续时，其可微性、连续性都存在了.[参考文献][1] 华东师范大学数学系. 数学分析（下）[M] . 北京: 高等教育出版社，2001: 100 – 112[2] 吉米多维奇. 数学分析习题集[M] . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-78[3]马振民. 数学分析的方法与技巧选讲[M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 36-54.[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.[5]华东师范大学数学系. 数学分析[M] . 北京: 人民教育出版社, 1981:137-160.[6] 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论[J]. 韶关学院学报（自然科学版）.2002，23（6）: 1-6.[7] 周良正，王爱国. 偏导数存在，函数连续及可微的关系[J]. 高等函授学报（自然科学版）.2005，19（5）: 1-4.[8] 何鹏，余文辉，雷敏敛. 二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究[J]. 南昌高专学报. 2005，61（6）: 1-2.[9] 黄梅英. 浅谈二元函数可微性[J]. 三名师专学报. 2000，17（1）: 1-5.[10] 龚俊新. 二元函数连续、偏导、可微之间的关系[J]. 湖北师范学院学报（自然科学版）.2000，20（3）: 1-3.Dual function continuity, partial derivative anddifferentiability discussionHAN Xiao-li（Department of Mathematics, Xi’an University of Arts and Science, Xi’an710065,China）Abstract：This article to the function of many variables differential calculus in continuously, between the partial derivative and the differentiable three concept's relations has made a more detailed elaboration, and has given the succinct comprehensive proof, simultaneously gives the corresponding counter-example to explain, explained with the example their independency with the general character which has under the controlled condition.Key words：dual function; continuously;partial derivative; differentiable致谢在论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师胡洪萍老师，感谢她的热情关怀和悉心指导。

多元函数的连续性,偏导数存在及可微性之间的关系

１．引言
△“一［＿，二（ｏ，ｏ，ｏ）ａｘ＋（ｏ，ｏ，Ｏ）Ａｙ＋（ｏ，ｏ，ｏ）△胡＝１／√ ＋（△ ）。，故
多元函数微分学是数学专业学习中的一个重点和难点，它涉及的内容实际上是微积分学在多元函数中的体现，其中有关多元函数的连
｛△ 一（ｏ，ｏ，ｏ）Ａｚ．（ｏ，ｏ，Ｏ）Ａｙ（０，ｏ，ｏ）△ ］）＝√２／２￣０。
（２）△ 一，ｙ）ｅ￣ｃ－Ｌ，）△ ，当√（△ｚ）。＋（ａｙ）一。时是无穷
！ｉｍ。Ｌ（ｘｏ＋，ｙｏ＋ａｙ，ｆ２）＝Ｌ（Ｘｏ，ｙｏ，ｚｏ），
小量。
所以，（ｚ０，ｙｏ，０）＋铂＝Ｌ（Ｘｏ＋△＿ｚ，ｏ＋△ ，ｆ２），
３．函数可微性进一步拓展１９８４年Ｈｅｎｌｅ在二元情况下利用向量的方法证明了下列定理
续性，偏导数存在及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点。
当前，多元函数的连续性，偏导数存在及可微性之间的关系研究方
面已经取得了很大的成果，它们三者之间的关系已经得到了普遍的说明，但是，在国内的许多教材中只是对它们三者的定义作了说明，而对它们之间的关系很少提及或没有提到，在一些学术性论文中也只是对二元函数的连续性，偏导数存在及可微性的关系做了具体的说明，因此在
理得：
一
ｆ（ｘｏ＋Ａ：ｃ，Ｙｏ＋△ ，Ｚｏ）－ｆ（ｘｏ＋，Ｙｏ，ｚｏ）＝（ｏ＋Ａｘ，ｆ】，Ｚｏ）Ａｙ，
其中ｆ】在。和＋之间，由，ｙ，２）在点Ｍｏ关于ｚ，Ｙ的

二元函数连续偏导数的关系

二元函数连续偏导数的关系设二元函数 z=f(x,y) 为定义在点集 D\subset R^{2} 上的函数。

二元函数连续性的定义：设 p_{0}\in D （它或者是 D 的聚点，或者是 D 的孤立点）。

对于任给的正数 \varepsilon ，总存在相应的正数 \delta ，只要 p\inU(p_{0},\delta)\cap D ，就有 |f(p)-f(p_{0})|<\varepsilon 则称 f 关于集合 D 在点 p_{0} 连续。

简称 f 在点 p_{0} 处连续。

注：二元函数连续性的定义与一元函数连续性的定义有所不同，在一元函数的连续性的定义中，要求函数 f(x) 必须在x_{0} 的某一邻域 U(x_{0}) 上有定义，并且要求的是\forall\varepsilon>0,\exists\delta>0 ,当 |x-x_{0}|<\delta 时， |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ,则称函数 f(x) 在 x=x_{0} 处连续。

注意到二元函数在定义连续的概念的时候并不是要求函数必须在连续点 x_{0} 的某一邻域U(x_0) 上有定义，只要保证该点是函数的聚点即可，并且对于不是聚点的孤立点仍然可以定义其为连续点（只需要将孤立点带入二元函数连续性的定义加以验证即可发现孤立点也满足该连续性的定义）。

因此在二元函数中，聚点和孤立点是连续点的必要条件，即二元函数的连续点必是该函数的聚点或孤立点中的一种。

二元函数可微的定义：设 p_{0}\in D ,二元函数 z=f(x,y) 在 p_{0} 的某邻域 U(p_{0}) 上有定义，对于 U(p_{0}) 中的点 P(x,y)=(x_0+\triangle x,y_{0}+\triangle y) ,若函数 f 在点 p_{0} 处的全增量 \Delta z 可表示为 \Deltaz=f(x_0+\Delta x,y_{0}+\Delta y)-f(x_{0},y_{0})=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) ，其中 A,B 是仅与点 p_{0} 有关的常数， \rho=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} , o(\rho) 是较 \rho 高阶的无穷小量,则称函数 f 在点 P_{0} 处可微,并称 A\Delta x+B\Delta y 为函数 f 在点 P_{0} 的全微分，记作dz|_{p_{0}}=df(x_{0},y_{0})=A\Delta x+B\Delta y 。

5.2 二元函数的偏导数与全微分

如图
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
（1）几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的斜率.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
例1 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2)处的偏导数. z z 解法1 2x 3y, 3x 2 y x y z z y (1,2) x (1,2) 解法2
z
y2
x2 6x 4
z 记为 y f ， y x x0
y y0 x x0 y y0
， f y ( x0 , y0 ) 或 zy
x x0 y y0
.
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
如果函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点 ( x , y ) 处对 x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 x、 y 的函数，它称为函数 z f ( x , y ) 对自变量 x的偏导函数，简称偏导数. z f 记作，， zx 或 f x ( x, y ) . x x
同理可以定义函数 z f ( x , y ) 对自变量 y 的偏导 z f 数，记作，， zy 或 f y ( x, y). y y
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§5.2 二元函数的偏导数与全微分
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如函数 u f ( x , y, z ) 在点 ( x , y, z ) 处

可微偏导连续之间的关系

可微偏导连续之间的关系以可微偏导连续之间的关系为标题，可以从以下几个方面展开论述。

我们需要了解可微偏导的概念。

可微偏导是指一个多元函数在某一点处的偏导数存在且连续。

在数学中，我们常常使用偏导数来描述函数在某一点处的变化率。

而可微偏导的连续性则表明函数在该点附近的所有偏导数都存在且保持一定的关系，这为我们研究函数的性质提供了很大的便利。

可微偏导连续之间的关系可以通过数学表达式来描述。

假设一个函数f(x,y)是定义在一个开区域D上的二元函数，若函数f在D上的所有偏导数都存在且连续，那么我们可以得到以下结论：可微偏导连续。

这个结论是数学分析中的一个重要定理，也是我们研究函数性质的基础。

接下来，我们来探讨可微偏导连续之间的实际意义。

可微偏导连续的条件保证了函数在某一点处的变化率是连续的，这在实际问题中具有很重要的意义。

例如，在经济学中，我们常常使用边际效用来描述某种商品对消费者满足程度的变化。

而可微偏导连续的条件则保证了边际效用的变化是连续的，使得我们能够更好地研究消费者的行为。

可微偏导连续还与极值问题有着密切的关系。

在求解极值问题时，我们往往需要通过求取函数的偏导数来确定极值点。

而可微偏导连续的条件可以保证函数在极值点附近的局部性质，从而为我们找到极值点提供了依据。

这在优化问题中具有很大的应用价值。

我们还可以将可微偏导连续与其他数学概念进行关联。

例如，可微偏导连续与连续函数之间存在一定的关系。

连续函数是指函数在定义域上的每一个点都满足极限存在的条件。

而可微偏导连续的条件则保证了函数在某一点处的偏导数的极限存在。

因此，可微偏导连续的函数在定义域上一定是连续的。

这种关联可以帮助我们更好地理解函数的性质。

可微偏导连续之间存在着紧密的关系。

可微偏导连续的条件保证了函数在某一点处的变化率连续，具有实际意义，并且与极值问题、连续函数等数学概念有着密切的关联。

通过研究可微偏导连续之间的关系，我们可以更深入地理解和应用数学分析中的相关概念，为问题的求解提供更有效的方法和思路。

二元函数可微的一个充分必要条件

、
。
关键词
:
可微
偏导数
,
、
充分必要条件
(
x
。
现行数学分析教材山在点然
,
在证明函数 f
,
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二元函数存在两个偏导数不一定可微
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高数8-2,3

z
z = f ( x, y) y = y0
•
M0
y
z = f ( x, y)
(x0 , y0 ) y x0 • z = f (x , y ) • x y = y0 df ( x, y0 ) ′ ( x0 , y0 ) = 轴的斜率斜率。在点 M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 处的切线对 x 轴的斜率。 f x dx x=x0 类似地, f y ( x0 , y0 ) 在几何上表示空间曲线类似地
存在，存在，则称此极限值为函数 f ( x , y )在点( x 0 , y 0 ) 处对 x的偏导数。的偏导数。
f ( x 0 + ∆x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) lim ∆x → 0 ∆x
∂z , 记作 = ∂x x= x0 y y
0
∂f ∂x
即
f ( x0 + ∆x, y0 ) − f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim ∆x→0 ∆x
∂f ∂x df ( x, y0 ) = x= x0 dx y= y
0
;
x= x0
∂f ∂y
=?
x= x0 y= y0
4
z = x 2 + 3 xy + y 2 在点 (1,2 ) 处的偏导数处的偏导数. 例1 求
∂z ∂z = 3x + 2 y. 解法一： = 2 x + 3 y; 法一： ∂x ∂y ∂z ∂z = 8; = 7. ∂y x =1 ∂ x x =1
3
∂ 3z ∂ ∂2z = 2 = −18 x , 3 ∂y ∂y ∂y
∂ ∂2z ∂3z 2 = 12 xy , = 2 ∂ x ∂ y ∂y ∂ x

一阶偏导连续和可微的关系

一阶偏导连续和可微的关系以二元函数为代表解释他们之间的关系。

1、可导不一定连续，连续不一定可导。

对于二元函数而言：可导是指的是两个偏导数存在，偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。

偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值（仅仅是坐标轴平行的方向），但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点，二元函数本身是一个平面型的，趋于某一定点是从四面八方的，而平行于坐标轴仅仅是其中的一种情况，所以可导不一定连续，同时也不能保证函数在这一点有极限，因为可以想象一下某一立体三维图形平行于坐标轴的切线上的极限值并不能代表整个图形的极值。

至于连续不一定可导可以借鉴一元函数，如若平行于坐标轴方向的函数导数不存在（二元函数连续），也就是偏导数不存在。

2、可微必连续，可微必可导。

反之不成立。

可微的性质最强，若二元函数的某一点可微，说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在，全微分是二元函数所有性质的综合，所以可微必连续，也必可导，但反之，连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件，所以不能通过连续与可导来断定可微。

f(x,y)于x=0,及y=0的切平面的交线都是坐标轴，这两条直线在（0，0）点满足连续可导。

但是f(x,y)与y=x的切平面的交线是一个像y=|x|的函数图像，连续但是在（0，0）点不可导。

所以在（0，0）点不可微。

3、一阶偏导数连续是可微的充分条件至于为什么可微不一定连续可以稍微借鉴以下一元函数中的存在含有第二类间断点（震荡间断点）的导函数。

震荡虽然是间断的但是我们可以把他考虑成一种特殊的连续，当函数具有这种“连续”的极限情况，我们就可以得到可微但是偏导不连续的曲面。

例如函数f(x,y)=x^2sin(1/x)+y^2sin(1/y)个人感觉了解即可，没必要深究。

二元函数连续可微偏导之间的关系解读

三、可微性判别步骤
1.如果f在点(x0,y0处不连续或偏导数不存在,则f在点(x0,y0处不可微。
2.如果f在点(x0,y0处连续,存在f x(x0,y0、fy(x0,y0,则f在点(x0,y0处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式:
(1△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0
=f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+o((△x2+(△y2
4.连续与偏导数存在之间的关系
二元函数连续与偏导数存在之间没有必然的联系。
例3f(x,y=x2+y2
(圆锥在点(0,0连续但在该点不存在偏导数。更值得注意的是,即使函数在某点存在对所有自变量的偏导数,也不能保证函数在该点连续。
例4.f(x,y
xy
x2+y2
,x2+y2≠0
0,x2+y2=
$
在点(0,0不连续,但
三、巧妙设计变式训练,促进灵活迁移
所谓“变式”,是指在教学中变化引用的材料内容和形式,从不同角度、用不同方法进行教学,使思维的“触须”伸向不同方位和不向领域。因此,通过变式训练可以实现知识的有效迁移。教师要充分运用“变式”教学,通过“一题多变”、“一图多问”、“多题重组”等形式从多个方面构造问
题,使学生养成多角度、多方位处理问题的习惯。教师提出的问题越多,学生思维越发散,理解越深刻,并通过对所提问题的解答而达到灵活迁移的目的。例如,函数与方程、不等式的结合向来是中考或高考的热点,教师可以通过设计变式训练把三者结合的恰到好处:
(2△z=f(x0+△x,y0+△y-f(x0,y0
=f x(x0,y0△x+f y(x0,y0△y+ε((△x2+(△y2

连续性与可微性及导函数存在之间的关...

( x, y ) (0, 0 )
!0
f ( x, y)
∀ 80 ∀
因此函数 z= f (x, y )在点 (x, y )处连续。反之, 如果函数 z = f ( x, y )在点 (x, y )处连续, 则由二元函数连续的定义得
lmi f (x + x, y + y ) = f ( x, y)
( x, y ) ( 0, 0 )
个极限为函数 y = f (x )在点 x0 处的导数, 记为 f (x0 ), 即
f
( x0 ) =
lmi
x0
y x
=
lmi f (x0 +
x0
x ) - f (x0 ) x
=
f lmi
x x0
(
x) x
-
f ( x0 x0
)
如果函数 y = f (x )在开区间 I 内的每一点处都可导, 则称
函数 f (x)在开区间 I内可导。
x0
x
x0 x
当 x< 0时, lmi x = - 1; 当 x > 0时, lmi x
x 0-
x
x 0+
x
= 1, 所以 f (x) = x 在 x= 0处不可导。
性质 1: 一元函数在某点可导, 则函数在该点必连续; 反之不一定成立。
2 一元函数可导性与可微性的关系
首先, 设函数 y= f (x )在点 x0 可微, 则由可微的定义有
y= A x + o( x)
在上式两端同除以 x 得
y x
=
A
+
o(
x) x
∀ 79 ∀
当
x

二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论

编号：Xxxxxxxx学校本科毕业论文二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的讨论院系：数学科学系姓名：XXXX学号：XXX专业：XXXX年级：2008级指导教师：XXX职称：讲师完成日期：2012年5月摘要二元函数微分学是高等数学的重点之一,理清其基本概念之间的相互关系对于认识二元函数的性质有重要的意义,只有这样才能弄清楚二元函数连续、偏导数及可微之间的关系,才能更好地加以利用.本论文将重点对它们之间的关系加以总结和探讨,并给以证明和应用举例.本论文正文主要介绍了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的基本知识.对它们分别进行了总结证明和进一步讨论,还总结二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的简单关系,并举出的例子加以论证支撑.关键词：二元函数；连续；偏导数；可微AbstractBinary Function Differential Calculus is one of the priorities of the higher mathematics, to clarify the basic concepts of the relationship between the significance for understanding the nature of the binary function, the only way to figure out the binary function continuous partial derivatives and differentiability the relationship between, in order to better take advantage of this paper will focus on the relationships between them to be summarized and discussed, and give proof of application example.In this thesis, the text introduces binary function continuity, partial derivatives of the Existence and differentiability of basic knowledge. Them a summary of the proof and further discussion, and also summarizes the continuity of the binary function, the partial derivatives exist and micro of simple relations, citing the examples to demonstrate support.Key words：Dual function; Continuously; Partial derivative; Differentiable目录摘要IABSTRACT II引言21 二元函数的连续、偏导数及可微三个概念的定义31.1二元函数的连续性31.2二元函数的可微性31.3二元函数的偏导数42 二元函数三个概念的结论总结及证明52.1二元函数连续性的结论总结及证明52.2二元函数可微性的结论总结及证明72.3二元函数偏导数存在性的结论总结113 二元函数三个概念之间关系的总结123.1二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证123.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明123.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明123.2二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证133.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明133.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明154 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图22结束语 23参考文献 24致谢 25引言二元函数微分学是一元函数微分学的推广,因此它保留了一元函数微分学的许多性质.但由于自变量由一个增加到两个,从而产生了某些本质上的新的内容.如一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点可微,反之亦然.但在二元函数微分学中,函数在某点偏导数存在,推不出它在这点可微.又如,一元函数微分学中,函数在某点可导,则它在这点必连续.但在二元函数微分学中,函数在某点的偏导数都存在,却推不出它在这点连续.同时二元函数微分学是高等数学教学中的一个重难点,它涉及的内容实际上是微积分学内容在二元函数中的体现,其中有关二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系是学生在学习中容易发生概念模糊和难以把握的一个重要知识点.当前,二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系研究方面已经取得了一定的成果,但是,在国内的许多教材中只是对它们三者的定义作了说明,而对它们之间的关系很少提及或没有提到,在一般的教材中对于该部分内容的介绍比较粗略浅显,在一些学术性论文中也只是对二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性的个别关系做了具体的说明,因此在让学生学习这方面的知识时能达到对这方面知识可以做到全面的掌握让是当前教学中的一大难题.本文具体就二元函数的连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系通过实例作深入的探讨,就二元函数连续性、偏导数及可微性在教材相关内容的基础上进行进一步的探讨、研究,对教材内容做一些适当的补充和扩展,为后继课程的学习奠定基础.然后总结有关二元函数微分学中这关于二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这三个概念之间的关系,并对二元函数具体的实例详细加以证明,建立他们之间的关系图.这样对有效理解和掌握多元函数微积分学知识将起到重要作用.1 二元函数的连续、偏导数及可微性概念二元函数的连续、偏导数及可微的概念都是用极限定义的,不同的概念对应不同的极限.考虑函数()y x f ,在点),(00y x 的情形,它们分别为： 1.1 二元函数的连续性定义1 设f 为定义在点集2D R ⊂上的二元函数,0P D ∈(它或者是D 的聚点,或者是D 的孤立点).对于任给的正数ε,总存在相应的正数δ,只要0(;)P U P D δ∈ ,就有 0()(),f P f P ε-<则称f 关于集合D 在点0P 连续,在不致误解的情况下,也称f 在点0P 连续.若f 在D 上任何点都关于集合D 连续,则称f 为D 上的连续函数. 由上述定义知道：若0P 是D 的孤立点,则0P 必定是f 关于D 的连续点；若0P 是D 的聚点,则f 关于D 在0P 连续等价于()()00lim P f P f DP P P =∈→1.2 二元函数的可微性与一元函数一样,在二元函数微分学中,主要讨论二元函数的可微性及其应用,我们首先建立二元函数可微性概念.定义 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,对于()0P U 中的点()()y y x x y x P ∆+∆+=00,,,若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为:()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ,,00,其中A ,B 是仅与点0P 有关的常数,22y x ∆+∆=ρ,()ρο是较ρ高阶的无穷小量,则称函数f 在点0P 处可微,并称上式中关于x ∆,y ∆的线性函数A xB y ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分,记作y B x A y x df dz P ∆+∆==),(|000 .由上可知dz 是z ∆的线性主部,特别当x ∆,y ∆充分小时,全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值,即()())()(,,0000y y B x x A y x f y x f -+-+≈在使用上,有时也把()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z ,,00写成如下形式y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα,这里()()()()0lim lim 0,0,0,0,==→∆∆→∆∆βαy x y x1.3 二元函数的偏导数由一元函数微分学知道：若()x f 在点0x 可微,则函数增量()()()x x A x f x x f ∆++∆=-∆+ο00,其中()0x f A '=.同样,若二元函数f 在点),(00y x 可微,则f 在),(00y x 处的全增量可由()()()ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z 0000,,表示.现在讨论其中A 、B 的值与函数f 的关系.为此,在式子y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα中令)0(0≠∆=∆x y ,这时得到z ∆关于x 的偏增量z x ∆,且有x x A z x ∆+∆=∆α或者α+=∆∆A xzx 现让0→∆x ,由上式得A 的一个极限表示式()()xy x f y x x f x z A x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆000000,,lim lim,容易看出,上式右边的极限正是关于x 的一元函数()0,y x f 在0x x =处的导数.类似地,令)0(0≠∆=∆y x , 由yx y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα又得到()()yy x f y y x f yz B y y x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆00000,,l i mlim ,它是关于y 的一元函数()y x f ,0在0y y =处的导数.综上所述,可知函数()y x f z ,=在点),(00y x 处对x 的偏导数,实际上就是把y 固定在0y 看成常数后,一元函数()0,y x f z =在点0x 处的导数,同样,把x 固定在0x ,让y 有增量y ∆,如果极限存在,那么此极限称为函数()y x f z ,=在),(00y x 点处对y 的偏导数.记作()00,y x f y .因此,二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自变量的导数称为偏导数,可定义如下：定义3 设函数()y x f z ,=,(,)x y D ∈.若00(,)x y D ∈,且()0,y x f 在0x 的某一邻域内有定义,则当极限()()()xy x f y x x f x y x f x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆00000000,,lim ,lim存在时,称这个极限为函数f 在点()00,y x 关于x 的偏导数,记作()00,y x f x 或),(00|y x x f∂∂ 注意 1 这里符号x ∂∂,y ∂∂专用于偏导数算符,与一元函数的导数符号dxd 相仿,但又有差别.注意 2 在上述定义中,f 在点()00,y x 存在关于x （或y ）的偏导数,f 至少在{}δ<-=00,|),(x x y y y x （或{}δ<-=00,|),(y y x x y x ）上必须有定义.若函数()y x f z ,=在区域D 上每一点()y x ,都存在对x （或对y ）的偏导数,则得到函数()y x f z ,=在区域D 上对x （或对y ）的偏导数（也简称偏导数）,记作()y x f x ,或x y x f ∂∂),(（()y x f y ,或yy x f ∂∂),(）,也可简单地写作x f ,x z 或x f ∂∂（y f ,y z 或yf∂∂）. 2 二元函数三个概念的进一步研究2.1 二元函数连续性的进一步研究一元函数若在某点存在左导数和右导数,则这个一元函数必在这点连续,但对于二元函数()y x f ,来说,即使它在某点()000,y x P 既存在关于x 的偏导数()00,y x f x ,又存在关于y 的偏导数()00,y x f y ,()y x f ,也未必在点()000,y x P 连续.不过,我们却有如下定理：定理1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,()y x f x ,在()0P U 内有界,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明任取()y y x x ∆+∆+00,∈()0P U , 则()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+()()()()00000000,,,,f x x y y f x y y f x y y f x y =+∆+∆-+∆++∆- (1) 由于()y x f x ,在()0P U 存在,故对于取定的y y ∆+0, ()y y x f ∆+0,作为x 的一元函数在以0x 和0x +x ∆为端点的闭区间上可导,从而据一元函数微分学中的拉格朗日中值定理,存在θ∈(0 ,1) ,使()()()x y y x x f y y x f y y x x f x ∆∆+∆+=∆+-∆+∆+000000,,,θ将它代入(1) 式, 得()()0000,,y x f y y x x f -∆+∆+()()()000000,,,x f x x y y x f x y y f x y θ=+∆+∆∆++∆- (2)由于()∈∆+∆+y y x x 00,θ()0P U ,故()y y x x f x ∆+∆+00,θ有界,因而当()()0,0,→∆∆y x 时, 有00(,)0f x x y y x +∆+∆⋅∆→.又据定理的条件知,()y x f ,0在y =0y 连续,故当()()0,0,→∆∆y x 时, 又有0000(,)(,)0f x y y f x y +∆-→.所以, 由(2) 知, 有[]000000lim (,)(,)0x y f x x y y f x y ∆→∆→+∆+∆-=.这说明()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f ,0作为y 的一元函数在点0y y =连续,()y x f x ,在点()000,y x P 连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界,因而据定理1 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义. 若()y x f x ,在()0P U 有界, ()00,y x f y 存在,则()y x f , 在点()000,y x P 连续.证明由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点y =0y 连续,从而据定理1可得 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 内有定义,若()y x f x ,在点()000,y x P 连续, ()00,y x f y 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.证明由于()y x f x ,在点()000,y x P 连续,故()y x f x ,必在点()000,y x P 的某邻域内有界. 又由于()00,y x f y 存在,故()y x f ,0作为y 的一元函数在点0y y =连续,因而据定理1可得出 ,()y x f ,在点()000,y x P 连续.同理可证如下的定理2及其推论.定理 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界,()0,y x f 作为x 的一元函数在点x =0x 连续,则()y x f ,在()000,y x P连续.推论 1 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义, ()y x f y ,在点()000,y x P 连续, ()0,y x f 作为x 的一元函数在点0x x =连续,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 2 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域内()0P U 有定义,()y x f y ,在()0P U 内有界, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.推论 3 设函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的某邻域()0P U 有定义, ()y x f y , 在点()000,y x P 连续, ()00,y x f x 存在,则()y x f ,在点()000,y x P 连续.2.2 二元函数可微性的进一步研究众所周知,一元函数中,可微性与可导是一回事,但在二元函数中情况就不同了.定理 3 函数(,)f x y 在点00(,)P x y 可微的充分必要条件是(,)f x y 在点00(,)P x y 的俩个偏导数都存在,且对0ε∀>,0δ∃>,当0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε--+≤00()x x y y -+-.证明必要性已知函数(,)f x y 在点00(,)P x y 可微,故00(,)x f x y 与00(,)y f x y 存在,且00000000(,)(,)(,)()(,)()()x y z f x y f x y f x y x x f x y y y ορ∆=-=-+-+, 其中00()()x x y y ρ=-+-. 即0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y --+[]000000(,)()(,)(,)x f x y x x f x y f x y =---+ []00000000(,)(,)()(,)(,)()y y f x y f x y y y f x y f x y ορ+---+于是,当00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y x x y y --+-+-000000(,)(,)(,)x f x y f x y f x y x x x x ρ--⋅--≤000000(,)(,)(,)()y f x y f x y f x y y y y y ορρρ--⋅--++000000(,)(,)(,)x f x y f x y f x y x x -≤--000000(,)(,)()(,)0(0)y f x y f x y f x y y y ορρρ-+-+→→-从而当0ρ→（即00(,)(,)x y x y →）时,000000(,)(,)(,)(,)0f x y f x y f x y f x y x x y y --+→-+-即0ε∀>,0δ∃>,当0x x δ-<与0y y δ-<且00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y x x y y ε--+<-+-所以,0ε∀>,0δ∃>,当0x x δ-<与0y y δ-<且00(,)(,)x y x y ≠时,有0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ε--+≤ 00()x x y y -+-.充分性已知函数(,)f x y 在点00(,)P x y 两个偏导数存在,0ε∀>,0δ∃>,当0x x δ-<与0y y δ-<且00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)(,)(,)(,)()f x y f x y f x y f x y x x y y ε--+≤-+-令00()()x x y y ρ=-+-,则当0ρ→时,有0000(,)(,)(,)(,)0f x y f x y f x y f x y ρ--+→于是当00(,)(,)x y x y ≠时,有000000(,)()(,)()x y y z f x y x x f x y f y y ∆--+-[]000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)()f x y f x y f x y f x y f x y f x y x x x x ⎡⎤---++-⎢⎥-⎣⎦0000000(,)(,)(,)()y f x y f x y f x y y y y y ⎡⎤-+--⎢⎥-⎣⎦从而有000000(,)()(,)()x y y z f x y x x f x y f y y ρ∆--+-=0000(,)(,)(,)(,)f x y f x y f x y f x y ρ--++0000000(,)(,)(,)()x f x y f x y x x f x y x x ρ⎡⎤---+⎢⎥-⎣⎦ 0000000(,)(,)(,)()0(0)x f x y f x y y y f x y x x ρρ⎡⎤---→→⎢⎥-⎣⎦ 所以,函数(,)f x y 在点00(,)P x y 可微.证毕.定理 4 若函数()y x f z ,=在()00,y x 点处,()y x f x ,连续()00,y x f y 存在（或()00,y x f x 存在,()y x f y ,连续）,则函数()y x f z ,=在()00,y x 处可微.由此定理的条件仍有对一个偏导数（二元）连续性的要求.因而用来判断函数的可微性仍有较大的局限性.例如：对于函数2221sin (,)0,x x y f x y ⎧⎪+=⎨⎪⎩002222=+≠+y x y x , ())0(1cos )(21sin 2,2222222322≠+++-+=y x yx y x x y x x y x f x 有 ())0(1cos )(2,22222222≠+++-=y x yx y x y x y x f y ())0(1cos 21sin20,22≠-=x xx x x x f x 从而())0(21cos 21,2≠-=x xx x x f y 由于)0,(lim 0x f x x →和),(lim 0x x f y x →都不存在,因而),(y x f x 和),(y x f y 在点)0,0(都不连续.关于),(y x f 在点)0,0(的可微性,无论是根据教材中所介绍的定理,还是根据上述定理都不能给出肯定的结论.本文给出另一个可微的充分条件,它完全放弃对两个偏导数（二元）连续性的要求,因而对某些函数可微性的判定有独到的作用.为了叙述方便,引入如下概念.定义如果对于函数),(y x f z =存在0>η,使得当η<∆y 时,),(00y y x f x ∆+存在,且当0→∆x 时,变量000000(,)(,)(,)(0),(,)0(0),x f x x y y f x y y f x y y x x y xx α+∆+∆-+∆⎧-+∆∆≠⎪∆∆=∆⎨⎪∆=⎩ 关于y ∆一直趋向于0,即对任意的0>ε,存在0>δ,当δ<∆<x 0时,对任意y ∆（y η∆<）都有(,)x y αε∆∆<成立,我们就称函数(,)z f x y =在点00(,)x y 关于y 对x 一致可导.类似地可定义),(y x f z =在点),(00y x 关于x 对y 一致可导.定理 5 若函数),(y x f z =在点),(00y x 有：),(00y x f y 存在,),(y x f 关于y 对x 一致可导,且),(y x f o x 在0y 连续,则),(y x f z =在点),(00y x 可微.证明: 因),(00y x f y 及),(00y y x f x ∆+)(η<∆y 存在,故有),(),(),(000000y x f y y x x f y x y -∆+∆+=∆),(),(),(),(00000000y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+=[][]y y y x f x y x y y x f y x ∆∆++∆∆∆+∆+=)(),(),(),(0000βαy y y y x f x y x x y y x f y x ∆∆+∆+∆∆∆+∆∆+=)(),(),(),(0000βα（3）其中),(y x ∆∆α如前述定义,而0)(→∆y β（)0,0→∆→∆y x ）, 于是有0)(lim22=∆+∆∆⋅∆→∆→∆yx yy y x β （4）又因为),(0y x f x 在0y 连续,故有),(),(lim 000000y x f y y x f x y x x =∆+→∆→∆ （5）再由),(y x ∆∆α所具备的性质知,对任意0>ε,存在)(0ηδδ<>,当δδ<∆<∆y x ,且022≠∆+∆y x 时,有εα<∆∆),(y x 此即0),(lim 00=∆∆→∆→∆y x y x α从而0),(lim220=∆+∆∆∆∆→∆→∆yx xy x y x α （6）综合（3）——（6）式即得[]0),(),(),(lim2200000000=∆+∆∆+∆-∆→∆→∆y x yy x f x y x f y x f y x y x可见),(y x f 于),(00y x 可微.显然,调换定理条件中x f 和y f 的位置,结论仍然成立.指出,尽管定理5已完全放弃对两个偏导数的（二元）连续性要求,但它所给出的条件仍然不是可微的必要条件.因此,如何用两个偏导数所应具备的性质来等价地刻画二元函数的可微性,就需要进一步的探讨,这对以后仍是大我们还要有裨益的.1. 若果f 在点),(00y x 处不连续或偏导数不存在,则f 在点),(00y x 处不可微.2. 若果f 在点),(00y x 处连续,存在),(00y x f x 、),(00y x f y ,则f 在点),(00y x 处可微的充分必要条件是满足下列等价的任一式：（1） ),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆220000(),(),(y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=ε其中0→ε（当0,0→∆→∆y x ）（2） ),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆y x y y x f x y x f y x ∆=∆+∆+∆=210000),(),(εε 其中120,0εε→→（当0,0→∆→∆y x 时）推论 4 若二元函数(,)z f x y =在00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y ,00(,)y f x y 均存在,且00(,)xy f x y 或者00(,)yx f x y 存在,则函数(,)f x y 在00(,)x y 处可微.证明不妨设00(,)xy f x y 存在（00(,)yx f x y 存在的情形可作类似证明）.因为000000(,)(,)(,)limx x xy y y f x y f x y f x y y y →-=-所以000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →=,即0(,)x f x y 在0y y =处连续.根据定理3可知函数(,)f x y 在00(,)x y 处连续. 2.3 二元函数偏导数存在性进一步研究二元函数()y x f ,在点),(0o y x 的两个偏导数有明显的几何意义：设)),(,,(00000y x f y x M 为曲面),(y x f z =上的一点,过0M 作平面0y y =,截此曲面得一曲线,此曲线在平面0y y =上的方程为),(0y x f z =,则导数0|),(0x x y x f dxd→, 即偏导数),(00y x f x ,就是这曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率.同样,偏导数),(00y x f y 的几何意义是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率.我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续.但对于二元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点P 沿着平行于坐标轴的方向趋于0P 时,函数值)(p f 趋于)(0p f ,但不能保证点P 按任何方式趋于0P 时,函数值)(p f 都趋于)(0p f .3 二元函数三个概念之间关系的总结3.1 二元函数连续性与偏导数存在性的关系及例证对一元函数来说,可导必连续.但对二元函数来说,即使x f ,y f 存在但f 也不一定连续.事实上,对于二元函数来说,函数在一点处的偏导数存在和函数在该点处连续是没有必然联系的.下面加以说明这个问题. 3.1.1 二元函数连续,但偏导不一定存在的举例证明例 1 讨论函数()22,y x y x g +=在点()0,0处的连续性和偏导数是否存在？解：由()()()()()220,0,0,0,lim,lim y x y x g y x y x +=→→0=(0,0)g =可知函数()22,y x y x g +=在点()0,0连续. 而由偏导数定义：0(0,0)(0,0)(00)limx x g x g f x∆→+∆-=∆2001,0lim lim 1,0x x x x x x x x ∆→∆→∆>∆⎧∆===⎨-∆<∆∆⎩该极限()0,0x g 不存在,同理可证()0,0y g 也不存在. 所以函数),(y x g 在()0,0点的偏导数不存在. 由此说明,二元函数在一点连续,偏导数未必存在. 3.1.2 二元函数偏导存在,但不一定连续的举例证明例 2 函数()22,,1,x y f x y ⎧+=⎨⎩ 00≠=xy xy 在点()0,0处()0,0x f ,()0,0y f存在,但不连续.证明由偏导数定义：()()()xf x f f x x ∆-∆+=→∆0,00,0lim 0,00 0lim x x ∆→=∆0= 同理可求得 ()0,00y f = 因为()()()()()()()22,0,0,0,0lim,lim00,01x y x y f x y x y f →→=+=≠=故函数()22,,1,x y f x y ⎧+=⎨⎩00≠=xy xy 在点()0,0处不连续.综上可见,对于二元函数()y x f ,在某点()00,y x 的连续性与偏导数存在,两者之间没有必然的联系,即()y x f ,在某点()00,y x 偏导数存在与否,与其在该点是否连续无关.但如果假定函数的各个偏导数有界,即有下面命题：命题 1 如果二元函数f 在点00(,)P x y 的某邻域()U P 内的偏导数x f ,y f 有界,则f 在()U P 内连续.证明由x f ,y f 在()U P 内有界,设此邻域为1(,)U P δ,存在0M >,使x f M <,y f M < ,在1(,)U P δ内成立,由于12(,)(,)(,)(,)x y Z f x x y y f x y f x x y y x f x y y y M x M yθθ∆=+∆+∆-=+∆+∆∆++∆∆≤∆+∆（其中120,1θθ≤≤）.所以对任意的正数ε,存在1,2(1)M εδδ⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭,当,x y δδ∆<∆<时,有(,)(,)f x x y y f x y ε+∆+∆-<,故f 在(,)U P δ内连续.3.2 二元函数可微性与偏导数存在性的关系及例证 3.2.1 可微与偏导存在关系的举例证明定理 6 （可微的必要条件）若二元函数()y x f z ,=在其定义域内一点()000,y x P 处可微,则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且()()()000000|,,,x x d x y f x y dx f x y dy =+ ,()00,y x f A x =,()00,y x f B y =. 证明由于()y x f ,在点),(000y x P 可微,则())(),(,0000ρο+∆+∆=-∆+∆+=∆y B x A y x f y y x x f z其中,y x ∆∆,为自变量y x ,的该变量,B A ,仅与点),(000y x P 有关,而与y x ∆∆,无关,22y x ∆+∆=ρ.若令0y y =即0=∆y ,于是x ∆=ρ,故)(x x A z ∆+∆=∆ο可见xx A x z∆∆+=∆∆)(ο,Axx A x zy x f x y x x =∆∆+=∂∂=→∆))((lim |),(0),(0000ο,即()A y x f x =00,,类似可证()B y x f y =00,.可见,对于二元函数,偏导数的存在是函数),(y x f z =可微分的必要条件.但是偏导数的存在不是函数可微分的充分条件.事实上,当一个二元函数),(y x f z =在点),(y x 处的偏导数yzx z ∂∂∂∂,都存在时,尽管形式上可以写成式子y y zx x z ∆∂∂+∆∂∂,但是它与z ∆之间可以不是22y x ∆+∆=ρ的高阶无穷小,因而由定义,此时函数),(y x f z =在点),(y x 处是不可微的.注 1：定理5的逆命题不成立.即二元函数()y x f ,在点()000,y x P 处的偏导数即使存在也不一定可微.下面用例3说明函数在一点的偏导数存在,但函数在该点却不可微.例 3 证明函数()22,,0,xy x y f x y ⎧⎪+=⎨⎪⎩002222=+≠+y x y x 在原点两个偏导数存在,但不可微.证明由偏导数的定义：()()()xf x f f x x ∆-∆+=→∆0,00,0lim0,00=000lim0x x∆→-=∆同理可证()0,00y f =,即在原点关于x 与y 的偏导数存在. 下面利用可微的定义来证明其不可微用反证法：若函数f 在原点可微,则())(()()00,00,00,00,0y f df f x y f f dx f dy ⎡⎤⎡⎤∆-=+∆+∆--+⎣⎦⎣⎦ 22x y x y∆∆=∆+∆应是较22y x ∆+∆=ρ的高阶无穷小量,为此考察极限2200limlimy x yx dff ∆+∆∆∆=-∆→→ρρρ当动点()y x ,沿直线mx y =趋于()0,0时, 则()()()()220,0,220,0,11lim limm mm m y x xy y x mx y y x +=+=+→=→ 这一结果说明动点沿不同斜率m 的直线趋于原点时,对应的极限值也不同,因此所讨论的极限不存在.故函数f 在原点不可微. 3.2.2 偏导连续与可微关系的举例证明定理 7 （可微的充分条件）若二元函数()y x f z ,=的偏导在点()000,y x P 的某邻域内存在且x f 与y f 在点()000,y x P 处连续,则函数()y x f ,在点()000,y x P 可微.可微的充分条件可以改进：如果函数()y x f z ,=满足以下条件： 1. (,)x f x y 在点00(,)x y 处存在；2. (,)y f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内存在；3. (,)y f x y 在点00(,)x y 处连续；则(,)f x y 在点00(,)x y 处可微.证明由于00(,)x f x y 存在,即有：0000000(,)(,)lim (,)x x f x x y f x y f x y x ∆→+∆-=∆ 即：0000(,)(,)(,)x f x x y f x y f x y xα+∆-=+∆（其中0lim 0x α∆→=）则000000(,)(,)(,)x f x x y f x y f x y x x α+∆-=⋅∆+⋅∆由于(,)x f x y 在点00(,)x y 的某个邻域内存在,不妨设(,)y f x y 在ω={01(,)|x y x x ψ-<且02y y ψ-<}内存在设0()(,)g y f x x y =+∆并规定1x ψ∆<则()g y 在20|2y y y ψ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭上每一点都存在,从而()g y 在20|2y y y ψ⎧⎫-≤⎨⎬⎩⎭上每一点都连续,规定：22y ψ∆≤则根据中值定理存在1y ,使得：001()()()g y y g y g y y +∆-=∆（其中10y y y -≤∆）即：000001(,)(,)(,)y f x x y y f x x y f x x y y +∆+∆-+∆=+∆⋅∆当220x y ∆+∆→且0y ∆→ 从而有00x x x +∆→,10y y →又由于0100(,)(,)y y f x x y f x y +∆=在点00(,)x y 处连续0100(,)(,)y y f x x y f x y β+∆=+其中220lim 0x y β∆+∆→=则000000(,)(,)(,)y f x x y y f x x y f x y y y β+∆+∆-+∆=⋅∆+⋅∆综上所述有：0000(,)(,)f x x y y f x y +∆+∆-[][]00000000(,)(,)(,)(,)f x x y y f x y f x x y y f x y =+∆+∆-++∆+∆- 0000(,)(,)x y f x y x x f x y y y αβ=∆+⋅∆+∆+⋅∆又由于2222lim0x y x yx yαβ∆+∆→⋅∆+⋅∆=∆+∆故(,)f x y 在点00(,)x y 点可微.证毕.教材中关于二元函数的微分一般只是分别给出了必要条件和充分条件,对可微的充要条件涉及比较少.偏导数的存在是函数可微的必要条件而不是充分条件,但是,如果在假设函数的各个偏导数连续,则函数是可微的.但此条件给的太强,于是我们总结了判别二元函数在某点可微的一个充分条件,可对此定理的条件进行减弱,得出：定理 8 若函数()y x f z ,=在点()000,y x P 的邻域G 内()y x f x ,连续,()00,y x f y存在,则函数f 在点()00,y x 可微.证明全增量()),(,0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆[][]),(),(),(),(00000000y x f y y x f y y x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+=这里第一个括号是当y y y ∆+=0时函数关于x 的增量,而第二个括号则是当0x x =时函数关于y 的增量,对于它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理,得()y y y x f x y y x x f z y x ∆∆++∆∆+∆+=∆),(,200010θθ )1,0(21<<θθ 由于()y x f x ,,()00,y x f y 在点()00,y x 连续,因而有()αθ+=∆+∆+),(,00010y x f y y x x f x x ,()βθ+=∆+),(,00200y x f y y x f y y , 其中当)0),((→∆∆y x 时,0,0→→βα.所以()()y x y y x f x y y x f z y x ∆+∆+∆+∆=∆βα0000,, 令22y x ∆+∆=ρ,则当0→ρ时,ερρβραρβα⋅=∆+∆=∆+∆)(yxy x 是关于ρ的高阶无穷小.事实上,由于βαρβραε+≤∆+∆=yx而当0→ρ时0→ε,即)(ροερβα=⋅=∆+∆y x .这就证明了),(y x f z =在点),(00y x 是可微的.例 4 求证21sin ,0(,)0,0x e y y y f x y y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点(0,0)可微.证明因为0(,)(,)(,)lim x f f x x y f x y x y x x∆→∂+∆-=∂∆22011sin sin limx x x x e y e y y yx+∆∆→-=∆201sin (1)limx xx e y e yx∆∆→-=∆21sin(0)x e y y y=≠0(,)(,)limy f f x y y x y x y∆→∂+∆=∂∆ 22011()sin sin limx x y e y y e y y y yy∆→+∆-+∆=∆11112sincos (2sin cos )x x x e y e e y y y y y=-=-.(0)y ≠ 00(,0)(,0)00(,0)lim lim 0x x f f x x f x x x xx ∆→∆→∂+∆--===∂∆∆同理(0,)0fy y∂=∂ 即21sin ,0(,)0,0x e y y f y x y x y ⎧≠∂⎪=⎨∂⎪=⎩ 11(2sin cos ),0(,)0,0xe y yf y y x y x y ⎧-≠∂⎪=⎨∂⎪=⎩于是(0,0)(0,0)0x y f f == 又2001lim sin0x x y e y y∆→X →=, 所以(,)x f x y 在点(0,0)连续. 但0011lim (2sincos )x x y e y y y∆→X →-不存在,即(,)y f x y 在(0,0)点不连续. 又定理8可知(,)f x y 在点(0,0)可微.显然,与传统的判别方法相比,这个充分条件更加减弱了判别条件,进一步阐明了二元函数偏导数与可微性的关系,使适用范围扩大,适用性加强.注意这个条件是可微的充分条件并非必要条件,即()y x f z ,=在()00,y x 的邻域G 内()00,y x f y 存在但()y x f x ,不连续,但()y x f ,在点()00,y x 也可微.下面我们用例5说明函数在一点可微,但它的偏导数在该点却不连续. 例 5 求函数()()22221sin ,,0,x y x y f x y ⎧+⎪+=⎨⎪⎩ 002222=+≠+y x y x ,在原点()0,0处,（1）()0,0y f 是否存在（2）x f 是否连续（3）是否可微.解（1）由定义知()()()0,0,00,0limx y f y f f y∆→∆-=∆221sinlim 0y y y y∆→∆∆==∆所以()0,0y f 存在.（2）因为当022≠+y x 时,()y x f ,偏导数存在,故()⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+=,0,1cos 11sin 2,222222y x y x y x x y x f x 002222=+≠+y x y x , 而()y x f x y x ,lim 00→→不存在,故()y x f ,在原点不连续.（3）法 1：因()()200,00,01(0,0)limlim sin 0x x x f x f f x x x→→-=== ()()2000,0,01(0,0)limlim sin 0y y y f y f f y y y→→-=== 则()()0,00,00x y df f dx f dy =+=()22221,(0,0)()sinf f x y f x y x y∆=-=++ 221sinρρ=（()22,:0x y x y ∀+≠）从而2221sin1limlimlim sin0f dfρρρρρρρρρ→→→∆-===即函数(),f x y 在点()0,0可微.法 2：(0,0)0x f =,(0,0)0y f =,(0,)(0,0)(0,0)lim00x x xy y f y f f y →-==-即(0,0)x f ,(0,0)y f 存在,且(0,0)xy f 存在.根据推论4可知题设所给函数(,)f x y 在(0,0)处可微.3.3 二元函数连续性与可微性的关系及例证类似于一元函数的连续性与可导性间的关系,即二元函数(),f x y 在点()000,P x y 可微,则必连续.反之不然.定理 9 若二元函数()y x f ,在其定义域内一点()y x ,可微,则f 在该点必然连续.证明事实上()ρο+B∆+A∆=∆y x z ,0lim 0=∆→z ρ,()()[]()y x f z y x f y y x x f y x ,,lim ,lim 0=∆+=∆+∆+→→∆→∆ρ故f 在()y x ,连续.注意函数()y x f ,在某点()y x ,可微,则()y x f ,在该点连续;但()y x f ,在某点()y x ,连续,函数在该点却不一定可微.例 6 证明函数(),||f x y xy =在点()0,0连续,但它在点()0,0不可微.证明（1）因为()()000lim ,lim ||00,0x x y y f x y xy f →→→→===,故函数(),||f x y xy =在点()0,0连续.（2）因为(0,0)(0,0)||||f f x y f x y ∆=+∆+∆-=∆∆()()0,00,00x y df f dx f dy =+=所以 2200||||limlim()()x y x y f dfx y ρρ→∆→∆→∆∆∆-=∆+∆当动点(),x y 沿直线y x =趋于()0,0时,有2200||||1lim02()()x y x y x y ∆→∆→∆∆=≠∆+∆ 即0lim0f dfρρ→∆-≠,故(),f x y 在原点()0,0不可微.例 7 函数y x y x f +=),(在点)0,0(处连续,但在)0,0(点不可微. 解：因为()()()()())0,0(0)(lim ,lim0,0,0,0,f y x y x f y x y x ==+=→→所以y x y x f +==),(在点)0,0(处连续. 又因为xx x f x f f x x x ∆∆=∆-∆+=→∆→∆00l i m )0,0()0(l i m)0,0(,此极限不存在；同理)0,0(y f 的极限也不存在.因此不能把)(ρο+∆+∆=∆y B x A z 的形式.4 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性关系的概图如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 可微分,则函数在该点必连续,反之不一定成立.如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 可微分,则函数在该点的偏导数必存在,反之一定成立.如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 连续,则偏导不一定存在. 如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 偏导存在,则不一定连续.如果函数(),z f x y ∆=在点(,)x y 偏导连续,则函数在该点必可微,反之不一定成立.综上所述二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的关系如下图所示.偏导连续可微连续偏导存在结束语本文对二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间关系的讨论,根据分析可以看出二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系比一元函数连续、导数存在及可微之间的关系要复杂的多,究其原因主要在于二元函数极限比一元函数极限对自变量的要求更高、更复杂.如0lim ()x x f x →只要求在x 从0x 的左右俩侧趋向于0x 时,()f x 趋于同一值.而对()()()00,,lim,x y x y f x y →要求点(),x y 以任何方式趋向于点()00,x y 时,(),f x y 都趋向于同一极限,任何方式包含了x 与y 的不同关系以及趋向时的不同路径,从而导致二元函数产生了二重极限与累次极限的区别,正是由于二元函数极限的这种复杂性导致了二元函数诸多关系的复杂性.依据本文的分析得出它们三者之间的关系,不但对学习是一种积极的推动作用,有助于使学生对这方面的知识不会产生干扰,能较好地辨别它们之间的本质区别,使得原有知识更加牢固,也同时抓住了函数的本质.这方面的知识繁多,证明的方法难易悬殊,使用技巧各异,而且同一问题也可用多种不同方法来解决. 二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间关系的知识是人类智慧最伟大的成就之一,是数学上的伟大创造,它现在广泛影响着生产技术和科学的发展,如今已是广大科学工作者以及技术人员不可缺少的工具.以上我从比较初等的方法入手,进而对二元函数连续性、偏导数存在性及可微性的若干概念、定理、性质等内容这一方面的内容作了浅显的论述,将初等数学和高等数学的有关内容衔接起来,从而在整体上更好地理解有关这方面的知识.至于解决具体问题时个人可依据知识的储备、问题的要求来进行方法的选择.本文列举了二元函数连续性、偏导数存在性及可微性这方面的知识和证明方法,根据证明方法、举例、适用范围进行了归纳总结,力求有理论依据、有例题参考、有实用价值．从定义出发证明是最“原始”的做法,不易被人想到,但它在证明中确有其优势.证明的方法应该还有很多,对于其它新的方法有待于进一步探索与研究.为此,我们有必要学习好、掌握好二元函数连续性、偏导数存在性及可微性之间的关系这方面的知识,配以先进的管理观念和现代化的通信、网络、计算机技术,尽可能的把这些知识灵活运用推广,满足其他行业对这些知识的需要,创造更好的经济效益和社会效益.参考文献[1] 华东师范大学数学系. 数学分析（下）[M] . 北京: 高等教育出版社,2001: 100 –112[2] 吉米多维奇. 数学分析习题集[M] . 北京: 人民教育出版社, 1958: 62-78[3]马振民. 数学分析的方法与技巧选讲[M]. 兰州: 兰州大学出版社, 1999: 36-54.[4] 裴礼文. 数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京: 北京高等教育出版社, 1993: 86-97.[5] 华东师范大学数学系. 数学分析[M] . 北京: 人民教育出版社, 1981: 137-160.[6] 李超. 有关多元函数连续性的几个新结论[J]. 韶关学院学报（自然科学版）.2002,23（6）: 1-6.[7] 周良正,王爱国. 偏导数存在,函数连续及可微的关系[J]. 高等函授学报（自然科学版）.2005,19（5）: 1-4.[8] 何鹏,余文辉,雷敏敛. 二元函数连续、可偏导、可微等诸条件间关系的研究[J]. 南昌高专学报. 2005,61（6）: 1-2.[9] 黄梅英. 浅谈二元函数可微性[J]. 三名师专学报. 2000,17（1）: 1-5.[10] 龚俊新. 二元函数连续、偏导、可微之间的关系[J]. 湖北师范学院学报（自然科学版）.2000.23-24.[11] 同济大学数学教研室主编.高等数学（下册）（第四版）[M]. 高等教育出版社,.2000,20（3）: 1-3.[12] 张郑严. 关于二元函数可微性定理的探讨[J]. 西北建筑工程学院报,.1993.4,46-48.[13] 高敏艳. 二元函数可微性定理的一个新的证明[J]. 天津师范大学学报（自然科学版）,1999,19（3）: 71-72.[14] 吴良森,等. 数学分析学习指导书.高等教育出版社, 2004.9.[15] 刘玉琏,傅沛仁. 数学分析讲义（三版）.高等教育出版社, 2001.2.[16] 刘玉琏,等. 数学分析讲义学习辅导书（二版）.高等教育出版社, 2004.7.[17] 罗炳荣. 《数学》（报考理工科研究生复习指导丛书）.湖南科学技术出版社,.高等教育出版社,1985.327.。

多元函数连续,偏导,可微关系

多元函数的连续性、偏导数和可微性之间的关系是微积分中的重要概念。

首先，我们定义这些概念：
1.连续性：如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当∣x−a∣<δ时，有∣f(x)−
f(a)∣<ε，则称函数f(x)在点a处连续。

2.偏导数：对于多元函数f(x1,x2,…,xn)，如果∂xi∂f存在，则称其为f关于xi的偏导数。

3.可微性：如果f(x)在点a处的偏导数都存在，并且f′(x)在点a处连续，则称f(x)在
点a处可微。

现在，我们讨论这些概念之间的关系：
•如果f(x)在点a处可微，则f(x)在点a处连续，并且偏导数存在。

这是可微性的定义直接给出的。

•反之，如果f(x)在点a处连续，并且偏导数存在，并不一定意味着f(x)在点a处可微。

这是因为连续性和偏导数存在并不能保证偏导数在a处连续。

综上所述，连续性、偏导数存在性和可微性之间的关系是：可微性是连续性和偏导数存在的必要条件，但不是充分条件。

偏导函数连续和可微的关系

偏导函数连续和可微的关系偏导函数是数学分析学科中十分重要的概念。

通常情况下，一元函数可以被看作是一种特殊的偏导函数，它存在的意义是帮助求出多元函数在某个固定方向的变化率。

在研究多元函数时，我们通常将其看作是一个空间中的曲面，而偏导函数则是该曲面上某点处的切线斜率。

如果某个函数的偏导函数在某点处连续，那么我们可以说它在该点处可微。

从实际应用来看，偏导函数在各类工程学科中具有十分广泛的应用，比如在机械设计、化学反应、经济学、统计学等诸多领域都有其独特的作用。

举例来说，当我们在处理一种二元函数时，如果需要在其中找到某个局部最小值或最大值，那么就需要使用偏导函数来帮助我们快速求解。

如果我们希望知道某个物理系统在不同状态下的能量变化，那么也可以通过求这个系统的偏导函数来实现。

总体来说，就偏导函数的连续和可微性而言，下面向读者介绍一些基本的概念和结论：第一，对于一个多元函数f(x1, x2, …, xn)，如果它在某个点x（x1, x2, …, xn）处存在偏导数，那么我们可以将其写作如下的形式：∂f(x)/∂xi。

其中xi代表自变量中的第i个分量。

第二，如果我们希望求出在某个点x0处的偏导数，那么一个常见的技巧是将多元函数f(x1, x2, …, xn)置于一个以x0为中心的小区域中，通过将xi的取值分别向x0推进一个微小的量h来求出函数f 在x0处的偏导数，如下所示：∂f(x0)/∂xi = [f(x1, …, xi + h, …, xn) –f(x1, …, xi, …, xn)] / h。

这样一来，我们针对每个自变量xi都能得到一个偏导数，如果这些偏导数都在点x0处存在且连续，那么我们可以进一步说这个函数在该点处可微。

第三，对于一个多元函数，如果它在某点处所有偏导数都存在并且连续，那么它就是在该点处可微的。

如果一个函数在某处可微，则该函数在该点处连续，但反之并不一定成立。

总之，从数学的角度来讲，只有当一个多元函数在某一点处的偏导数连续，它才是在这个点处可微。

浅谈二元函数几个重要概念之间的关系

浅谈二元函数几个重要概念之间的关系发表时间：2018-05-14T17:07:13.010Z 来源：《教育学》2018年2月总第137期作者：孙海青[导读] 本文主要介绍二元函数极限、连续、偏导数存在及可微四者之间的关系。

天津电子信息职业技术学院300350摘要: 正确理解二元函数几个重要概念及其关系是学好高等数学的基础。

本文主要介绍二元函数极限、连续、偏导数存在及可微四者之间的关系。

关键词：极限连续偏导数数学概念是数学知识体系的核心部分，是数学推理论证的基础，也是学生学好高数的关键。

所以正确理解高数相关概念之间的关系对学生学好高数有很大的帮助。

本文主要介绍高数中二元函数中的一些容易混淆的概念之间的关系，即函数极限、连续、可偏导与可微四者之间的关系，旨在帮助学生认清这些概念的本质。

一、二元函数极限与连续的关系连续极限性质1：如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)有极限，反之不成立。

根据二元函数连续性定义可归纳出连续的三个要素：1.函数f(x,y)在点(x0,y0)有定义。

2.当x→x0，y→y0时，lim f(x,y)=A存在。

3.极限值等于该点函数值，即 lim f(x,y)=A=f(x0,y0)。

因此二元函数在某点连续则极限一定存在，但极限存在不一定连续。

例1：f（x，y）=e sin ，函数在（0，0）没有定义不连续，但 lim e sin =0极限存在。

二、可偏导与连续的关系偏导数存在连续性质2：函数在某点可偏导不一定连续，反之函数在某点连续其偏导数也不一定存在。

例2：f（x，y）= x2+y2，显然 lim f（x，y）= lim x2+y2=0=f（0，0）在点（0，0）连续但 z`x（0，0）=lim=lim =lim =因此z`x（0，0）不存在，同理z`y（0，0）不存在，所以函数连续其偏导数不一定存在。

三、可微与连续的关系可微连续性质3：如果函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续，反之不成立。

高数二多元函数连续、可导、可微的关系完美版

f (0, 0).
从而函数 f ( x, y) 在点 (0, 0) 连续；
（2）当 x2 y2 0 时
f

x
(
x,
y)

2 xy3 x2 y2 2
f

y
(
x,
y)

1

3
x2 x2
y2
y2
y4
2
当 x2 y2 0 时，有
f

x
(0,
0)

lim
x0
f ( x,0) x
,
x2 y2 0,
0,
x2 y2 0.
（1）讨论函数 f ( x, y)在点 (0,0)的连续性；
（2）讨论函数
f ( x, y) 偏导数
f

x
(
x,
y),
f

y
(
x,
y)
以及在点 (0, 0)的偏导数.
（3）证明偏导数在点 (0,0) 不连续.
（4）证明 f ( x, y) 在点 (0,0) 不可微.
分析：由于 f (x, y)是分段函数，需要从定义出发讨论。
解:（1）当 x2 y2 0 时，有
f (x, y) =
x2 y x2 y2
，又
xy 1 x2 y2 2 ,
所以
x2 y
xy
lim
( x，y )(0,0)
x2
y2

lim
( x，y )(0,0)
x

x2

y2
0
f (0, 0)
0
同理
f

二元函数连续左右偏导可微题型

二元函数连续左右偏导可微题型一、初步概念1.1 二元函数的定义在数学中，二元函数是指自然数或实数域两个集合中元素之间的对应关系。

二元函数常用 f(x, y) 或 z = f(x, y) 表示。

1.2 连续函数的定义在某一区间上的函数，如果满足任意ε > 0，存在δ > 0，使得对于该区间上所有满足|x - c| < δ的x值，都有|f(x) - f(c)| < ε成立，则称该函数在x = c处连续。

1.3 左右偏导数的定义当二元函数在点(x, y)的邻域内有定义时，如果极限lim┬(h→0⁺)⁡[(f(x+h,⁡y)-f(x,⁡y))/h]存在，那么称该极限为f(x,⁡y)在点(x,⁡y)处对x的右偏导数。

同理，若极限lim┬(h→0⁻)⁡[(f(x+h,⁡y)-f(x,⁡y))/h]存在，那么称该极限为f(x,⁡y)在点(x,⁡y)处对x的左偏导数。

二、题型分类经过初步了解，我们可以将二元函数连续左右偏导可微题型分为以下几个大类：2.1 二元函数的连续性问题这类题型主要考察了解二元函数在一定条件下的连续性，能够通过极限求解，以及借助连续函数的性质进行证明。

2.2 二元函数的偏导数问题这类题型主要考察对二元函数的偏导数的理解和求解，包括了连续左右偏导数的概念和求解方法。

2.3 二元函数的可微性问题这类题型主要考察连续函数的偏导数存在的条件，并结合连续性和偏导数的定义进行分析和探讨，其中也包括了二元函数在某点处可微的充分条件。

2.4 二元函数的综合问题这类题型将连续性、偏导数和可微性融合在一起，考察对这些概念的理解和应用。

3. 解题思路对于二元函数连续左右偏导可微题型，我们可以采取以下解题思路：3.1 确定题型类型在解题之前，首先要明确题目所属的类型，包括连续性、偏导数、可微性，或者是综合型题目。

3.2 绘制图形或图像对于部分题型，可以通过绘制图形或图像来直观地理解函数的性质，从而更好地解题。

偏导在某点连续且存在可推出可微的问题

f(x,y)=x2y2/(x2 y2)3/2；x2+y2不为0；f(x,y)=0; x2+y2=0;证明f(x,y)在（0,0）点连续且偏导存在，但是不可微。

即同济第六版高数下第九章课后习题第八题。

既然f(x,y)在（0,0）连续且偏导存在为什么会不可微呢，定理2不是说偏导在(x,y)存在且连续就可以推出可微吗。

希望大家积极解惑，我在此先谢谢了！！！定理说的是两个偏导数要连续，谢谢。

手贱了。

点错了，末怪gwlf1205 发表于2013-5-15 15:02 定理说的是两个偏导数要连续，谢谢。

能帮忙怎么证明偏导连续，为什么偏导值等于函数值不能说明函数连续以二元函数为例，以x偏导数为例，它求完偏导数还是一个二元函数（当然也可能是个一元函数，连续那就不用多说吧），还是抓定义，连续有两种表达式，完了自己去看课本，这里就用第二种，那就是证明，一般到这里就结束了。

还不行的话，再根据极限定义，也就是用证明，说了半天也就是多元函数连续性问题。

第二个问题，我不知道你在说什么。

连续是这样定义的吗？估计你要问的应该是为什么偏导数存在不能说明函数可微？本帖最后由gwlf1205 于2013-5-15 19:25 编辑believe-myself 发表于2013-5-15 16:18 能帮忙怎么证明偏导连续，为什么偏导值等于函数值不能说明函数连续哎。

看得越多我觉得我已经够浆糊了，你加油吧。

数学课本和定义很重要，好像考过证明拉格朗日中值定理的大题，你说不看课本坑不吭。

看得太细时间怕不够，我现在也纠结得很。

gwlf1205 发表于2013-5-15 19:07 以二元函数为例，以x偏导数为例，它求完偏导数还是一个二元函数（当然也可能是个一元函数，连续那就不用多说...亲，能说的细一点吗，我还是不怎么懂怎么证明偏导连续，这个题在（0,0）点两个偏导数都等于0，不能说明偏导连续吗gwlf1205 发表于2013-5-15 19:22 哎。