工程制图_04线面、面面相对位置与投影变换

不平行 b'
c'
f'
e'
a'
d'
X
平行 a
d bc
O
e f
[例] 过点A作水平线AB平行于 CDE，AB长20mm. 在三角形内作一水平线DF（df, d’f’），并过点a作
ab平行于df，使ab长为20mm, 并求出a’b’。
a'
b' c'
d'
f'
e'
X
O
bc f
e
a
d
平行
JK系列
例
JK系列
平面与平面平行
两三角形平面互相平行
直线与平面垂直
直线与一般面垂直 几何条件：若一直线 (相交
或交叉)垂直于平面上的任意两 条相交直线，则此直线必垂直 于该平面。
在投影图上作平面的垂线 时，可作出平面的水平线和正 平线作为面上的相交二直线。 此时所作垂线与水平线所夹的 直角，其H投影仍为直角；垂 线与正平线所夹的直角，其V 投影仍为直角。
b1' X1
c'1
c'
B
C
X
c
b
a
换 面
H
法
旋转法
投影体系不动，空间几何元素绕一 轴线旋转，使之达到有利于解题的位置。
JK系列
旋 转 法
V α
a'1
b' 正平线
a'
B
一般位置直线
αα
A1
O
A
O b a1
aH
换面法的基本规定
JK系换列面 法的 规定
（1） 每次只能更换一个投影面，且新投影面必须与原体系
c'
C
A
AB CD AB EFG
a'
X a
PH
b' g' d'
c'
f'
e' e bc
O f d
g
c dPH a AB平行于P a'
b
H b'
X
O
PH
b
a
平行
[例] 判断直线AB与 CDE是否平行。
JK系列
例
在三角形内作df平行于ab，求出d’f’,因d’f’不平行于a’b’,
可知AB与 CDE不平行。
面 面
平
行
几何条件：若平面内有两条相交直线与另一平面内的两条相
交直线对应平行，则这两平面平行。
当两个投影面垂直面相互平行时，它们的积聚投影也互相平
行。
a'
C P D Q b'
AB F E
X
f' e' c' d' O X
H
b
cd
QH
O PH
PQ
af
e
两平面的积聚投影平行
两平面平行
QP
平面与平面平行
例 JK系列
ba
a' c'
k'
l'
a' k'
b'
d'
c
c
a k
k(l)
b
b
a(l)(b) a(b)
l' c' b'
c' a'
b' k' d'
e'
d'k' a'
g'
b' e' l' c'
f'
a(k)(b) c
k
d距离
cc
l
实长 a
l b
a
d
d(g) k b
b ke a
c l e(f)
JK系列
当直线或平面处于一般位置时，要解决空间几何元素间的 度量问题和定位问题，解题步骤繁复，图线也很杂乱。
例
平 行
b a
投影面平行线换成投影面垂直线
一次换面
（新轴应垂直于直线的实长投影）
V
X1
b'
O1X1 a' b'
X1 V H1
b'
JK系列平 行
线 换 成 垂 直 线
a1
(b1)
a'
a1 （b1）
a'
B
O1
A
O1
H1 V
X
H
a
b
H
a
b
一般线换成投影面垂直线
CE和正平线AD，并过m及m’点 分别作mn ce，m’n’ a’d’，则
a'
直线MN ABC。
X
2 求MN与 ABC的交点K，
并判断其投影的可见性。
b'
n’
d'
e' k’
m’
bm e
JK系列
例
c'
O
a
k
d
n
c
直线与平面垂直（续）
[例] 求点A到直线MN的距离。
距
离
实 长
m'
1. 过点A作水平线AB MN，
JK系列点 的 换 面 规 律
（2）点的新投影到新轴的距离等于被替换的投影到旧轴的距离.
V
X1
ax1
a'
ax X
A a
一
次百度文库
换
a1
面
H1
H
保留投影 a'
X1 V
H1
新投影 a1
ax1
新轴
X V ax H
旧轴
a 替换投影
点的二次换面
（所谓二次换面，实质上就
H2
是进行两次“二次换面”） V
a2
a'
a'
X
一次换面
5. 投影面垂直面变换成新投影面平行面；
6. 一般面变换成新投影面平行面。 二次换面
JK系列六 个 基 本 作 图 问 题
换面法的应用 明确题意，进行空间分析， 弄清要求解决的定位、
度量问题的特殊表现形式，再设立新投影面。
一般线换成投影面平行线
（新轴应平行于直线的任一投影）
[例] 求线段的实长及倾角 。 （设立平面V1平行于线段AB，则新轴O1X1∥ab）
于另一平面 , 则这两个平面相互垂直.
[例] 判断平面P是否垂直于 ABC。
c'
A
e'
n'
P1 P2
Q
B H
d' b' X
a' p'
m'
O n ap m
AB Q P1 Q P2 Q
b
e
MN ABC
d
c
平面P ABC
[例] 判断平面P与 ABC是否垂直。
JK系列
例
因过 ABC上的M点所作的P平面的垂线MN不在 ABC 内，所以两平面不垂直。
[例] 判断 ABC与 DEF是 否平行。
过 DEF内的任意点 K的水平投影k作km ab， 作kn cb，并求出相应的 k’m’,k’n’;
由图中可看出，k’m’ a’b’, k’n’ c’b’, 所以 两三角形互相平行。
b'
e'
c' n'
m'
a' X
d' k'
f' O
a
c
k
f
dn
m
b
e
KM AB KN CB
[例] 求点到平面的距离 解题步骤：
1. 过点K作直线KE垂直于△ABC; 2 . 求直线KE与△ABC的交点H; 3 . 求直线KH的实长即为点到平面
的距离。
有什么办法将 一般位置的几 何元素转化为 特殊位置，以 利于解题呢？
k' c'
n'
a'
e'
d'
h'
b' me''
an
d
TL
h
e c
e
m kb
s'
PV
b' a'
(f')
c' d' (e')
JK系列
例
fe
a sd
bc
直线与平面平行
JK系列
线面平 行
几何条件：若直线平行于平面内一直线，则直线 与平面平行。
若直线与投影面垂直面平行，则该平面的投影面垂直面的积聚投 影与该直线的同面投影平行。
B AB CD
AB P A C
D
V d'
b'
D a' B
二垂直面相 交
交线垂直 于H面
AQ P
H
QH B PH
a’ 交线是
RV S V
铅垂线
c’
b’
（d’）
X
OX
O
a
（b）
QH
PH
d 交线是
正垂线 c
JK系列
平面与平面相交 关键是求平面与平面的公有线——交线
一般面与投影面垂直面相交 可利用平面有积聚性的投影求出两平面的交线。
垂直面与一般面 相交
[例] 求铅垂面P与三角形ABC的交线，并判断其投影的可见性。
旋转法（绕投影面垂直线旋转）
JK系列
目 录
JK系列
当直线或平面处于特殊位置时，要解决空间几何元素间的
特
殊
线
面
的
度量问题和定位问题，均可从其投影图上直接解答。例如：
几 何 问 题
a' b' a'
TL
b' a'
b' c' a'

b' c' k'
a' k' a' l' b' l' b'
a (b) a
可见性判断：线面相交， 交点把直线AB分为AK和BK 两 段。由水平投影可看出，AK 在平面之前，所以a k 为可 见，b k 与平面重影部分为 不可见（用虚线画出）。
JK系列
Vc
垂直
面与
a
一般 线相
交
d
b
k'
C
eA E
K
BD
e
b d ck
aH
c'
a'
d'
k'
e'
X b'
O
b
e
ck a d
直线与平面相交
投影变换
概述
概述
投影变换 — 将处于一般位置的空间几何元素 变换为处于有利于解题的位置， 以达到简化解题的目的。
投影变换：介绍换面法和旋转法两种。
JK系列
换面法
JK系列
空间几何元素不动，设立新的投影面代替原 有的一个投影面，使几何元素在新投影体系中处 于有利于解题的位置。
a'1 V1
V a'
A b'
中的一投影面垂直；
（2）新投影面必须使空间几何元素处于有利于解题的位置。
点的一次换面
替换投影 a'
V 替换投影面
新投影面
a'
V1
X
V H
A
a'1
ax 旧轴 a 新轴
X ax H a
保留投影面 X1
ax1 a1'
保留投影
V1 新投影
X1
ax1 a1'
新投影
点的换面规律
（1） 点的新投影与保留投影的连线垂直于新投影轴；
利用直线有积聚性的投影求线面交点
JK系列
垂直线与一 般面相交
[例] 求铅垂线AB与平面CDE的交点。
因交点的H面投影与直线 AB的积聚投影重合，又因交 点也属于平面，故可用平面
内取点的方法，求交点的V 面投影。过a（b）作辅助线 df，并求出d’f’与a’b’的交点k’。 d'
可见性判断：
X
a' c'
a
AB是水平线
JK系列
QV d'
c'
X
O
c
d
CD是正平线
直的直线必为水平线；与正 垂面垂直的直线必为正平线。 p' b' a'
d' a' e'
b'
B P
A
X pb
OXa
c' O
e
c d
Hb
a
a AB是水平线
b DE是正平线
直线与平面垂直（续）
[例] 过M点作一直线MN垂
直
1 在于 AABBCC，内并任求作其水垂平足线。
V H
ax
ax
A
X a
a
ax1
ax2
a2
H
H X1
V1
a'1
换去V面
H2 换去H面 V1
X2
JK系列点 的 两 次 换 面
X2
V1
a'1
ax1
X1
换面法的六个基本作图问题
1. 一般线变换成新投影面平行线；
一次换面
2. 投影面平行线变换成新投影面垂直线；
3. 一般线变换成新投影面垂直线。 二次换面
4. 一般面变换成新投影面垂直面；
k' f' 重影点 e'
m（’ n’）
b'
O
（利用重影点m’和n’来判断）
n
e
从H投影可看出,m在前，
d
（m）（k）
n在后，故b’k’可见，a’k’与
a(b) f
平面的重影部分为不可见。
C
平面与平面相交
关键是求平面与平面的公有线——交线 两投影面垂直面相交 交线是一条垂直于该投影面的垂直线。
JK系列
O b
平面与平面相交
[例] 求正六棱锥被正垂 面PV 截切后的截交线。 只需分别求出正垂面PV 与正六棱锥各棱面的交线。 为求交线，可求出PV 与各 条棱线的交点后依次连之。
注意应画出H 投影中仍 存在的棱线。
AB是PV与左前棱面的交线 BC是PV与前棱面的交线 CD是PV与右前棱面的交线 DE是PV与右后棱面的交线 EF是PV与后棱面的交线 FA是PV与左后棱面的交线
分别过ac与p的交点m和 bc与p的交点n向上作垂线， 与a’c’和b’c’分别相交于m’ 和n’；连接m’n’即为交线。
从H投影可知，amnb在平 面p之前，所以V投影a’m’n’b’ 为可见。m’c’n’ 与p’的重影 部分为不可见。
不 可 见
p’ a’ m’
c’
n’
X
c
n
pH m a
可 见 b’
b1'
V
V1
b1' a'
b'
α
a'
O1
a1' α
B α
a1'
A O1
X V1
X1
a Hb
X1 H
平行
a
JK系列一
般 线 换 成 平 行 线
b'
V HX
b
[例] 求线段AB的实长及倾角β。
a1
（应设立平面V1平行于线
β
b1
段AB，则新轴O1X1∥a’b’。）
O1 a' O
H1 X1 V
b'
V H
X
JK系列
作正平线AC MN，则平面
ABC
a'
MN2。 求直线MN与平面ABC的 X
交点K。
3 用直角三角形法求AK的 a
实长。
m
JK系列
例
c'
k' b'
n' nO c k
b
直线与平面垂直（续）
[例] 已知AB BC，补全H投影。 1. 过点B作水平线BD AB，
d’
作正平线BE AB，则平面BDE
f'
n'
p' e'
b'
X p
c'
a'
m'
b
O
ABC 平面P
e a
c m
n
[例] 判断 ABC与铅垂面P是否垂直。
因过 ABC内能作直线AD 平面P，所以两平 面相互垂直。
b’
a'
d' p'
c'
X
O
a cp
ABC 平面P
bd
JK系列
例
投影变换
换面法
1. 点的换面规律 2. 把一般线换成新投影面的平行线 3. 把投影面的平行线换成新投影面的垂直线 4. 把一般线换成新投影面的垂直线 5. 把一般面换成新投影面的垂直面 6. 把投影面的垂直面换成新投影面的平行面 7. 把一般面换成新投影面的平行面
M
P A1
C1
C
A DK
E D1
E1
H
JK系列
线面垂直
MK AE MK CD MK 平面P
m'
c'
a' Xa
k' e'
d' b'
O
MK ABC
dk c e
mb
直线与平面垂直（续）
b' 线面垂直
a'
直线与投影面垂直面垂直
直线垂直于某投影面的 垂直面时，它必然是该投影 面的平行线。即与铅垂面垂
X
O
b
PH
JK系列
直线与平面、平面与平面
目 录
的相对位置
直线与平面相交 平面与平面相交 直线与平面平行 平面与平面平行 直线与平面垂直 平面与平面垂直
直线与平面相交
利用平面有积聚性的投影求 线面的交点
[例] 求直线AB与铅垂面 CDE 的交由点AB。与平面CDE的交点， 向上作垂线，与a b 交于k ， 则点K（k，k）即为交点。
AB 2. 连d’e’。d’e’与b’c’交于
c'
e'
f’，在de边上作出对应点f，连 bf并延长与c’的垂直投影线相 交得c点。
X
d
A
D
c
空间解决
B
FC
f
e
E
JK系列
例
b' a'
O
a b
平面与平面垂直
JK系列 二平 面垂 直
几何条件 : 若一个平面通过另一个平面的一条垂线 , 那么
这两个平面相互垂直。 也就是说 , 一平面上如有一直线垂直