人教版选修3-2讲义：第4章电磁感应 习题课 电磁感应中的电路、电荷量及图象问题

习题课：电磁感应中的电路、电荷量及图象问题[学习目标] 1.掌握电磁感应现象中电路问题的分析方法和解题基本思路.2.掌握电磁感应电路中感应电荷量求解的基本思路和方法.3.综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决电磁感应中的图象问题．一、电磁感应中的电路问题电磁感应问题常与电路知识综合考查，解决此类问题的基本方法是：(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路．(2)画等效电路图，分清内、外电路．(3)用法拉第电磁感应定律E ＝n ΔΦΔt 或E ＝Bl v 确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向．在等效电源内部，电流方向从负极指向正极．(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解．例1 固定在匀强磁场中的正方形导线框abcd 边长为L ，其中ab 是一段电阻为R 的均匀电阻丝，其余三边均为电阻可以忽略的铜线．磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里．现有一段与ab 段的材料、粗细、长度均相同的电阻丝PQ 架在导线框上(如图1所示)．若PQ 以恒定的速度v 从ad 滑向bc ，当其滑过L3的距离时，通过aP 段的电流是多大？方向如何？图1答案6B v L11R方向由 P 到a 解析 PQ 在磁场中做切割磁感线运动产生感应电动势，由于是闭合回路， 故电路中有感应电流，可将电阻丝PQ 视为有内阻的电源，电阻丝aP 与bP 并联， 且R aP ＝13R 、R bP ＝23R ，于是可画出如图所示的等效电路图．电源电动势为E ＝B v L ，外电阻为 R 外＝R aP R bP R aP ＋R bP ＝29R .总电阻为R 总＝R 外＋r ＝29R ＋R ，即R 总＝119R .电路中的电流为：I ＝E R 总＝9B v L 11R .通过aP 段的电流为：I aP ＝R bPR aP ＋R bPI ＝6B v L 11R ，方向由P 到a .1．“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内电阻”．2．电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极． 针对训练1 用均匀导线做成的正方形线框边长为0.2 m ，正方形的一半放在垂直纸面向里的匀强磁场中，如图2所示．当磁场以10 T/s 的变化率增强时，线框上a 、b 两点间的电势差是( )图2A ．U ab ＝0.1 VB ．U ab ＝－0.1 VC ．U ab ＝0.2 VD ．U ab ＝－0.2 V 答案 B解析 穿过正方形线框左半部分的磁通量变化而产生感应电动势，从而在线框中产生感应电流，把左半部分线框看成电源，设其电动势为E ，正方形线框的总电阻为r ，则内电阻为r2，画出等效电路如图所示．则a 、b 两点间的电势差即为电源的路端电压，设l 是边长，且依题意知ΔB Δt ＝10 T/s.由E ＝ΔΦΔt 得E ＝ΔBS Δt ＝ΔBl 22Δt ＝10×0.222 V ＝0.2 V ，所以U ＝I ·r 2＝E r 2＋r 2·r 2＝0.2r ·r2V ＝0.1 V ．由于a 点电势低于b 点电势，故U ab ＝－0.1 V ，即B 选项正确． 二、电磁感应中的电荷量问题例2 面积S ＝0.2 m 2、n ＝100匝的圆形线圈，处在如图3所示的磁场内，磁感应强度B 随时间t 变化的规律是B ＝0.02t T ，R ＝3 Ω，C ＝30 μF ，线圈电阻r ＝1 Ω，求：图3(1)通过R 的电流方向和4 s 内通过导线横截面的电荷量； (2)电容器的电荷量．答案 (1)方向由b →a 0.4 C (2)9×10－6 C解析 (1)由楞次定律可求得电流的方向为逆时针，通过R 的电流方向为b →a ， q ＝I Δt ＝E R ＋r Δt ＝n ΔBS Δt (R ＋r )Δt ＝n ΔBSR ＋r ＝0.4 C.(2)由E ＝n ΔΦΔt ＝nS ΔBΔt ＝100×0.2×0.02 V ＝0.4 V ，I ＝E R ＋r ＝0.43＋1 A ＝0.1 A ， U C ＝U R ＝IR ＝0.1×3 V ＝0.3 V ， Q ＝CU C ＝30×10－6×0.3 C ＝9×10－6 C.1．求解电路中通过的电荷量时，一定要用平均感应电动势和平均感应电流计算．2．设感应电动势的平均值为E ，则在Δt 时间内：E ＝n ΔΦΔt ，I ＝E R ，又q ＝I Δt ，所以q ＝n ΔΦR .其中ΔΦ对应某过程磁通量的变化，R 为回路的总电阻，n 为电路中线圈的匝数．针对训练2 如图4所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a 的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B .一半径为b (b ＞a )，电阻为R 的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合．当内、外磁场同时由B 均匀地减小到零的过程中，通过导线环截面的电荷量为( )图4A.πB |b 2－2a 2|RB.πB (b 2＋2a 2)RC.πB (b 2－a 2)RD.πB (b 2＋a 2)R答案 A解析 开始时穿过导线环向里的磁通量设为正值，Φ1＝B πa 2，向外的磁通量则为负值， Φ2＝－B ·π(b 2－a 2)，总的磁通量为它们的代数和(取绝对值)Φ＝B ·π|b 2－2a 2|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律得平均感应电动势为E ＝ΔΦΔt，通过导线环截面的电荷量为q ＝ER ·Δt ＝πB |b 2－2a 2|R ，A 项正确．三、电磁感应中的图象问题 1．问题类型(1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图象． (2)由给定的图象分析电磁感应过程，求解相应的物理量． 2．图象类型(1)各物理量随时间t 变化的图象，即B －t 图象、Φ－t 图象、E －t 图象和I －t 图象． (2)导体切割磁感线运动时，还涉及感应电动势E 和感应电流I 随导体位移变化的图象， 即E －x 图象和I －x 图象．3．解决此类问题需要熟练掌握的规律：安培定则、左手定则、楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律、欧姆定律等．例3 将一段导线绕成图5甲所示的闭合回路，并固定在纸面内，回路的ab 边置于垂直纸面向里的匀强磁场Ⅰ中．回路的圆环区域内有垂直纸面的磁场Ⅱ，以向里为磁场Ⅱ的正方向，其磁感应强度B 随时间t 变化的图象如图乙所示．用F 表示ab 边受到的安培力，以水平向右为F 的正方向，能正确反映F 随时间t 变化的图象是 ( )图5答案 B解析 由题图乙可知0～T 2时间内，磁感应强度随时间线性变化，即ΔBΔt ＝k (k 是一个常数)，圆环的面积S 不变，由E ＝ΔΦΔt ＝ΔB ·SΔt 可知圆环中产生的感应电动势大小不变，则回路中的感应电流大小不变，ab 边受到的安培力大小不变，从而可排除选项C 、D ；0～T2时间内，由楞次定律可判断出流过ab 边的电流方向为由b 至a ，结合左手定则可判断出ab 边受到的安培力的方向向左，为负值，故选项A 错误，B 正确．本类题目线圈面积不变而磁场发生变化，可根据E ＝n ΔBΔt S 判断E 的大小及变化，其中ΔBΔt为B －t 图象的斜率，且斜率正、负变化时对应电流的方向发生变化．例4 如图6所示，在x ≤0的区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xOy 平面(纸面)向里．具有一定电阻的矩形线框abcd 位于xOy 平面内，线框的ab 边与y 轴重合．令线框从 t ＝0时刻起由静止开始沿x 轴正方向做匀加速运动，则线框中的感应电流i (取逆时针方向的电流为正)随时间t 的变化图象正确的是( )图6答案 D解析 因为线框做匀加速直线运动，所以感应电动势为E ＝Bl v ＝Blat ，因此感应电流大小与时间成正比，由楞次定律可知电流方向为顺时针．1. 如图7所示，由均匀导线制成的半径为R 的圆环，以速度v 匀速进入一磁感应强度大小为B 的匀强磁场．当圆环运动到图示位置(∠aOb ＝90°)时，a 、b 两点的电势差为( )图7A.2BR vB.22BR v C.24BR v D.324BR v答案 D解析 设整个圆环电阻是r ，则其外电阻是圆环总电阻的34，而在磁场内切割磁感线的有效长度是2R ，其相当于电源，E ＝B ·2R ·v ，根据欧姆定律可得U ＝34r r E ＝324BR v ，选项D 正确．2．如图8所示，将一半径为r 的金属圆环在垂直于环面的磁感应强度为B 的匀强磁场中用力握中间成“8”字形(金属圆环未发生翻转)，并使上、下两圆环半径相等．如果环的电阻为R ，则此过程中流过环的电荷量为( )图8A.πr 2BRB.πr 2B 2RC ．0 D.34－πr 2B R答案 B解析 流过环的电荷量只与磁通量的变化量和环的电阻有关，与时间等其他量无关，ΔΦ＝B πr 2－2·B π⎝⎛⎭⎫r 22＝12B πr 2，因此，电荷量为q ＝ΔΦR ＝πr 2B 2R. 3．如图9所示，一底边为L ，底边上的高也为L 的等腰三角形导体线框以恒定的速度v 沿垂直于磁场区域边界的方向穿过长为2L 、宽为L 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里．t ＝0时刻，三角形导体线框的底边刚进入磁场，取沿逆时针方向的感应电流为正，则在三角形导体线框穿过磁场区域的过程中，感应电流I 随时间t 变化的图象可能是( )图9答案 A一、选择题(1～8题为单选题，9～10题为多选题)1．如图1所示，设磁感应强度为B ，ef 长为l ，ef 的电阻为r ，外电阻为R ，其余电阻不计．当ef 在外力作用下向右以速度v 匀速运动时，则ef 两端的电压为( )图1A ．Bl v B.Bl v R R ＋r C.Bl v r R ＋r D.Bl v r R答案 B2．如图2所示，将一个闭合金属圆环从有界磁场中匀速拉出，第一次速度为v ，通过金属圆环某一截面的电荷量为q 1，第二次速度为2v ，通过金属圆环某一截面的电荷量为q 2，则( )图2A ．q 1∶q 2＝1∶2B ．q 1∶q 2＝1∶4C ．q 1∶q 2＝1∶1D ．q 1∶q 2＝2∶1答案 C解析 由q ＝I ·Δt ＝ΔΦΔtR·Δt 得q ＝ΔΦR ＝B ·SR，S 为圆环面积，故q 1＝q 2.3．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如图所示，则在移出过程中线框一边a 、b 两点间的电势差绝对值最大的是( )答案 B解析 在磁场中的线框与速度垂直的边等效为切割磁感线产生感应电动势的电源．四个选项中的感应电动势大小均相等，回路电阻也相等，因此电路中的电流相等，B 中a 、b 两点间电势差为路端电压，为电动势的34，而其他选项则为电动势的14.故B 正确．4. 如图3所示，竖直平面内有一金属圆环，半径为a ，总电阻为R (指拉直时两端的电阻)，磁感应强度为B 的匀强磁场垂直穿过环平面，与环的最高点A 用铰链连接长度为2a 、电阻为R2的导体棒AB ，AB 由水平位置紧贴环面摆下，当摆到竖直位置时，B 点的线速度为v ，则这时AB 两端的电压大小为( )图3A.Ba v 3B.Ba v 6C.2Ba v 3 D ．Ba v答案 A解析 摆到竖直位置时，AB 切割磁感线的瞬时感应电动势E ＝B ·2a ·(12v )＝Ba v .由闭合电路欧姆定律有U AB ＝ER 2＋R 4·R 4＝13Ba v ，故选A. 5. 物理实验中，常用一种叫做“冲击电流计”的仪器测定通过电路的电荷量．如图4所示，探测线圈与冲击电流计串联后可用来测定磁场的磁感应强度．已知线圈的匝数为n ，面积为S ，线圈与冲击电流计组成的回路电阻为R .若将线圈放在被测匀强磁场中，开始时线圈平面与磁场垂直，现把探测线圈翻转180°，冲击电流计测出通过线圈的电荷量为q ，由上述数据可测出被测磁场的磁感应强度为( )图4A.qR SB.qR nSC.qR 2nSD.qR 2S答案 C解析 q ＝I ·Δt ＝E R ·Δt ＝n ΔΦΔt R Δt ＝n ΔΦR ＝n 2BSR ，所以B ＝qR2nS.6．如图5(a)，线圈ab 、cd 绕在同一软铁芯上．在ab 线圈中通以变化的电流，用示波器测得线圈cd 间电压如图(b)所示．已知线圈内部的磁场与流经线圈的电流成正比，则下列描述线圈ab 中电流随时间变化关系的图中，可能正确的是( )图5答案C7．如图6所示的区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.一个电阻为R、半径为L、圆心角为45°的扇形闭合导线框绕垂直于纸面的O轴匀速转动(O轴位于磁场边界)，周期为T，t＝0时刻线框置于如图所示位置，则线框内产生的感应电流的图象为(规定电流顺时针方向为正) ()图6答案A解析在本题中由于扇形导线框匀速转动，因此导线框进入磁场的过程中产生的感应电动势是恒定的．注意线框在进入磁场和离开磁场时，有感应电流产生，当完全进入时，由于磁通量不变，故无感应电流产生．由右手定则可判断导线框进入磁场时，电流方向为逆时针，故A正确．8. 如图7所示，在空间中存在两个相邻的、磁感应强度大小相等、方向相反的有界匀强磁场，其宽度均为L.现将宽度也为L的矩形闭合线圈，从图示位置垂直于磁场方向匀速拉过磁场区域，则在该过程中，能正确反映线圈中所产生的感应电流或其所受的外力随时间变化的图象是()图7答案D解析当矩形闭合线圈进入磁场时，由法拉第电磁感应定律判断，当线圈处在两个磁场中时，两个边切割磁感线，此过程中感应电流的大小是最大的，所以选项A、B是错误的．由楞次定律可知，当矩形闭合线圈进入磁场和离开磁场时，磁场力总是阻碍线圈的运动，方向始终向左，所以外力F始终水平向右．安培力的大小不同，线圈处在两个磁场中时安培力最大．故选项D是正确的，选项C是错误的．9．如图8甲所示，一个闭合线圈固定在垂直纸面的匀强磁场中，设磁场方向向里为磁感应强度B的正方向，线圈中的箭头指向为电流I的正方向．线圈中感应电流i随时间变化的图线如图乙所示，则磁感应强度B随时间变化的图线可能是()图8答案CD10. 如图9所示是测量通电螺线管内部磁感应强度的一种装置：把一个很小的测量线圈放在待测处(测量线圈平面与螺线管轴线垂直)，将线圈与可以测量电荷量的冲击电流计G 串联，当将双刀双掷开关K 由位置1拨到位置2时，测得通过测量线圈的电荷量为q .已知测量线圈的匝数为N ，横截面积为S ，测量线圈和G 串联回路的总电阻为R .下列判断正确的是( )图9A ．在此过程中，穿过测量线圈的磁通量的变化量ΔΦ＝qRB ．在此过程中，穿过测量线圈的磁通量的变化量ΔΦ＝qRNC ．待测处的磁感应强度的大小为B ＝qR NSD ．待测处的磁感应强度的大小为B ＝qR2NS答案 BD解析 由E ＝N ΔΦΔt ，E ＝IR ，q ＝I Δt ，得q ＝N ΔΦR ，得ΔΦ＝qR N ，B 正确；ΔΦ＝2BS ，得B ＝qR2NS ，D 正确． 二、非选择题11. 如图10所示，面积为0.2 m 2的100匝线圈A 处在磁场中，磁场方向垂直于线圈平面．磁感应强度B 随时间变化的规律是B ＝(6－0.2t ) T ，已知电路中的R 1＝4 Ω，R 2＝6 Ω，电容 C ＝30 μF ，线圈的电阻不计，求：图10(1)闭合S 一段时间后，通过R 2的电流大小及方向．(2)闭合S 一段时间后，再断开S ，S 断开后通过R 2的电荷量是多少？ 答案 (1)0.4 A 由上向下通过R 2 (2)7.2×10－5 C解析 (1)由于磁感应强度随时间均匀变化，根据B ＝(6－0.2t ) T ，可知⎪⎪⎪⎪ΔB Δt ＝0.2 T/s ，所以线圈中感应电动势的大小为E ＝n ΔΦΔt＝nS ·⎪⎪⎪⎪ΔB Δt ＝100×0.2×0.2 V ＝4 V.通过R 2的电流大小为I ＝E R 1＋R 2＝44＋6 A ＝0.4 A由楞次定律可知电流的方向自上而下通过R 2.(2)闭合S 一段时间后，电容器充电，此时两板间电压U 2＝IR 2＝0.4×6 V ＝2.4 V.再断开S ，电容器将放电，通过R 2的电荷量就是电容器原来所带的电荷量Q ＝CU 2＝30× 10－6×2.4 C ＝7.2×10－5 C.12. 匀强磁场的磁感应强度B ＝0.2 T ，磁场宽度l ＝4 m ，一正方形金属框边长为l ′＝1 m ，每边的电阻r ＝0.2 Ω，金属框以v ＝10 m/s 的速度匀速穿过磁场区，其平面始终保持与磁感线方向垂直，如图11所示．求：图11(1)画出金属框穿过磁场区的过程中，各阶段的等效电路图；(2)画出金属框穿过磁场区的过程中，金属框内感应电流的i －t 图线；(要求写出作图依据) (3)画出ab 两端电压的U －t 图线．(要求写出作图依据) 答案 见解析解析 (1)如图(a)所示，金属框的运动过程分为三个阶段：第Ⅰ阶段cd 相当于电源；第Ⅱ阶段cd 和ab 相当于开路时两并联的电源；第Ⅲ阶段ab 相当于电源，各阶段的等效电路图分别如图(b)、(c)、(d)所示．(2)、(3)第Ⅰ阶段，有I 1＝E r ＋3r ＝Bl ′v 4r ＝2.5 A.感应电流方向沿逆时针方向，持续时间为 t 1＝l ′v ＝0.1 s.ab 两端的电压为U 1＝I 1·r ＝2.5×0.2 V ＝0.5 V在第Ⅱ阶段，有I 2＝0，ab 两端的电压U 2＝E ＝Bl ′v ＝2 Vt 2＝l －l ′v ＝4－110 s ＝0.3 s在第Ⅲ阶段，有I 3＝E4r ＝2.5 A感应电流方向为顺时针方向ab 两端的电压U 3＝I 3·3r ＝1.5 V ，t 3＝0.1 s规定逆时针方向为电流正方向，故i －t 图象和ab 两端U －t 图象分别如图甲、乙所示．。