第6讲矢量场的通量及散度
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（2）简单曲面：
设连续曲面参数方程为：
x (u,v), y (u,v), z (u,v)
曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值（u, v）.(闭合
曲面闭合点除外)。简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续 曲面。
1.通量
引例：
设有流速场v(M),流体是不可压缩的，设其密度为1.求单 位时间内流体向正侧穿过有向曲面S的流量Q（如图）。
第二章 场论
第6讲 矢量场的通量及散度
主要内容
1. 通量 2. 散度 3.平面矢量场的通量与散度*
教材：第2章 第3节
简单曲线与简单曲面术语介绍
（1）简单曲线：
设连续曲线参数方程为：
x (t), y (t), z (t)
曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值t.(闭合曲线闭 合点除外)。简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线。
因此，对于总流量
Q v dS
s
一般应理解为：单位时间内流体向正侧穿过曲面S 的正流量与负流量的代数和。
如果S为一封闭曲面，此时积分 一般指沿S的
s
外侧，此时流量表示从内穿出S的正流量与从外穿入S
的负流量的代数和。
若Q>0,那S内必有正源；同理Q<0,S内必有负源。 但是当Q=0时，不能断言S内无源。
通量Φ。
解：以 S1 表示曲面S的平面部分，以 S2 表示锥面部分，
则通量为：
r dS
s
r dS r dS
s1
S2
其中 r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1
s1
Hdxdy H dxdy H H 2 H 3
D1
D1
其中D1为 S1在xOy面上的投影。
等值面。由于矢量场向下穿出S的方向，是z减小的 方向同时也是u值减小的方向，故S朝此方向的单位 法矢量为：
no gradu 2xi 6yj k gradu 4x2 36y2 1
所求通量为：
A n0dS 4x2 6 y2 z dS
s
s 4x2 36y2 1
4x2 6 y2 (x2 3y2 ) 1 4x2 36y2 dxdy
Dxy
4x2 36y2 1
3(x2 y2 )dxdy
2
d
2 3r3dr
0
0
Dxy
24
通量为正负时的物理意义： 对于流速场v(M),设在单位时间内流体向正侧穿过S
的流量为Q，根据前面所述，单位时间内流体向正侧穿
过曲面元素dS的流量为： dQ v dS
其结果是个代数值：若v从曲面的负侧传到曲面 的正侧时，v与n夹角为锐角因此dQ为正流量，如下 图左所示；反之，v与n夹角为钝角dQ为负流量，如 下图右所示：
取微元ds(微元内速度矢量和法矢 量近似看做不变)，则穿过ds的流量 dQ近似等于：
dQ vnds
以 n0 表示点M处的单位法矢量则
流量表示为：
dQ vnds (v n0 )ds v (n0ds)
令 dS n0ds, dS 为在点M处的这样一个矢量，其
方向与法向量n一致，其模等于面积ds。 据此，在单位时间内向正侧穿过S的流量，就
当div A的值为零时，表示该点处无源，由此 称div A≡0的矢量场为无源场。
把矢量场A中每一点的散度与场中的点一一对 应起来就得到一个数量场，称之为由此矢量场产 生的散度场。
散度在直角坐标系中的表达式：
又：
dS nods ds cos(n, x)i ds cos(n, y) j ds cos(n, z)k dydzi dxdzj dydzk,
则通量可写成：
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s
s
例1：设由矢径 r xi yj zk 构成的矢量场中，
有一由圆锥面 x2 y2 z2 及平面 z H(H 0) 所围 成的封闭曲面S,如图，试求矢量场 从S内穿出S的
s
s
叫做矢量A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。
若： 则有：
m
A A1 A2 Am Ai i 1
m
m
m
A dS ( Ai ) dS Ai dS i
s
s பைடு நூலகம்1
i1 s
i 1
通量是可叠加的。
在直角坐标系中，设
A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j r(x, y, z)k,
q
4R2
s
r0 dS
q
4R2
s
dS
q
4R2
4R2
q
2.散度
散度定义：设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个领域内 作一包含M点在内的任一闭曲面△S，设其所包围的空间 区域为△Ω，以△V表示其体积，以△Φ表示从其内穿 出S的通量，若当△Ω以任意方式缩向点M时，比式：
S
A dS
V V
的极限存在，此极限为矢量场A(M)在点M处的散度。
记作div A,
div A
lim
lim
A dS
S
M V M V
散度div A为一数量，表示在场中一点处通量对 体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来 说所穿出的通量，称为该点处源的强度。
div A的符号为正表示该点处有散发通量的正源， 反之则有吸收通量的负源。其绝对值| div A |表 示该点处散发或吸收通量的强度。
在 S2 上有 r n 则：
r dS rnds 0ds 0
s2
s2
s2
所以： r dS H 3
s
例2：设S为曲面 z x2 3y2被围在圆柱面 x2 y2 4
内的部分，求矢量场 A 2xi yj zk 向下穿出S
的通量 。
解：
S为函数u z x2 3y2 当u取值为0时的一张
例3：在点电荷q所产生的电场中。任何一点M处的电位
移矢量为
D
q
4r 2
r0
其中r是点电荷q到点M的距离，r 0 是从点电荷q
指向点M的单位矢量。设S为以点电荷为球心，R为半
径的球面，求从内穿出S的电通量 。
解：
如图，在球面S上恒有r=R ,且法矢量n与 r 0
的方向一致，所以
e
D dS
s
可用曲面积分表示为：
Q vnds v dS
s
s
又如：在电位移矢量D分布的电场中，穿过曲面S的
电通量：
e Dnds D dS
s
s
在磁感应强度矢量B分布的电场中，穿过曲面S的
磁通量： m Bnds D dS
s
s
通量定义：
设有矢量场A(M),沿其中有向曲面S某一侧的曲
面积分： Ands A dS
设连续曲面参数方程为：
x (u,v), y (u,v), z (u,v)
曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值（u, v）.(闭合
曲面闭合点除外)。简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续 曲面。
1.通量
引例：
设有流速场v(M),流体是不可压缩的，设其密度为1.求单 位时间内流体向正侧穿过有向曲面S的流量Q（如图）。
第二章 场论
第6讲 矢量场的通量及散度
主要内容
1. 通量 2. 散度 3.平面矢量场的通量与散度*
教材：第2章 第3节
简单曲线与简单曲面术语介绍
（1）简单曲线：
设连续曲线参数方程为：
x (t), y (t), z (t)
曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值t.(闭合曲线闭 合点除外)。简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线。
因此，对于总流量
Q v dS
s
一般应理解为：单位时间内流体向正侧穿过曲面S 的正流量与负流量的代数和。
如果S为一封闭曲面，此时积分 一般指沿S的
s
外侧，此时流量表示从内穿出S的正流量与从外穿入S
的负流量的代数和。
若Q>0,那S内必有正源；同理Q<0,S内必有负源。 但是当Q=0时，不能断言S内无源。
通量Φ。
解：以 S1 表示曲面S的平面部分，以 S2 表示锥面部分，
则通量为：
r dS
s
r dS r dS
s1
S2
其中 r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1
s1
Hdxdy H dxdy H H 2 H 3
D1
D1
其中D1为 S1在xOy面上的投影。
等值面。由于矢量场向下穿出S的方向，是z减小的 方向同时也是u值减小的方向，故S朝此方向的单位 法矢量为：
no gradu 2xi 6yj k gradu 4x2 36y2 1
所求通量为：
A n0dS 4x2 6 y2 z dS
s
s 4x2 36y2 1
4x2 6 y2 (x2 3y2 ) 1 4x2 36y2 dxdy
Dxy
4x2 36y2 1
3(x2 y2 )dxdy
2
d
2 3r3dr
0
0
Dxy
24
通量为正负时的物理意义： 对于流速场v(M),设在单位时间内流体向正侧穿过S
的流量为Q，根据前面所述，单位时间内流体向正侧穿
过曲面元素dS的流量为： dQ v dS
其结果是个代数值：若v从曲面的负侧传到曲面 的正侧时，v与n夹角为锐角因此dQ为正流量，如下 图左所示；反之，v与n夹角为钝角dQ为负流量，如 下图右所示：
取微元ds(微元内速度矢量和法矢 量近似看做不变)，则穿过ds的流量 dQ近似等于：
dQ vnds
以 n0 表示点M处的单位法矢量则
流量表示为：
dQ vnds (v n0 )ds v (n0ds)
令 dS n0ds, dS 为在点M处的这样一个矢量，其
方向与法向量n一致，其模等于面积ds。 据此，在单位时间内向正侧穿过S的流量，就
当div A的值为零时，表示该点处无源，由此 称div A≡0的矢量场为无源场。
把矢量场A中每一点的散度与场中的点一一对 应起来就得到一个数量场，称之为由此矢量场产 生的散度场。
散度在直角坐标系中的表达式：
又：
dS nods ds cos(n, x)i ds cos(n, y) j ds cos(n, z)k dydzi dxdzj dydzk,
则通量可写成：
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s
s
例1：设由矢径 r xi yj zk 构成的矢量场中，
有一由圆锥面 x2 y2 z2 及平面 z H(H 0) 所围 成的封闭曲面S,如图，试求矢量场 从S内穿出S的
s
s
叫做矢量A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。
若： 则有：
m
A A1 A2 Am Ai i 1
m
m
m
A dS ( Ai ) dS Ai dS i
s
s பைடு நூலகம்1
i1 s
i 1
通量是可叠加的。
在直角坐标系中，设
A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j r(x, y, z)k,
q
4R2
s
r0 dS
q
4R2
s
dS
q
4R2
4R2
q
2.散度
散度定义：设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个领域内 作一包含M点在内的任一闭曲面△S，设其所包围的空间 区域为△Ω，以△V表示其体积，以△Φ表示从其内穿 出S的通量，若当△Ω以任意方式缩向点M时，比式：
S
A dS
V V
的极限存在，此极限为矢量场A(M)在点M处的散度。
记作div A,
div A
lim
lim
A dS
S
M V M V
散度div A为一数量，表示在场中一点处通量对 体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来 说所穿出的通量，称为该点处源的强度。
div A的符号为正表示该点处有散发通量的正源， 反之则有吸收通量的负源。其绝对值| div A |表 示该点处散发或吸收通量的强度。
在 S2 上有 r n 则：
r dS rnds 0ds 0
s2
s2
s2
所以： r dS H 3
s
例2：设S为曲面 z x2 3y2被围在圆柱面 x2 y2 4
内的部分，求矢量场 A 2xi yj zk 向下穿出S
的通量 。
解：
S为函数u z x2 3y2 当u取值为0时的一张
例3：在点电荷q所产生的电场中。任何一点M处的电位
移矢量为
D
q
4r 2
r0
其中r是点电荷q到点M的距离，r 0 是从点电荷q
指向点M的单位矢量。设S为以点电荷为球心，R为半
径的球面，求从内穿出S的电通量 。
解：
如图，在球面S上恒有r=R ,且法矢量n与 r 0
的方向一致，所以
e
D dS
s
可用曲面积分表示为：
Q vnds v dS
s
s
又如：在电位移矢量D分布的电场中，穿过曲面S的
电通量：
e Dnds D dS
s
s
在磁感应强度矢量B分布的电场中，穿过曲面S的
磁通量： m Bnds D dS
s
s
通量定义：
设有矢量场A(M),沿其中有向曲面S某一侧的曲
面积分： Ands A dS