第6讲矢量场的通量及散度
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矢量场的通量和散度
divA lim
AdV
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0
V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
பைடு நூலகம்任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
矢量场的通量和散度
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的 量 散度是描述矢量场中任一点发散性质 的量
➢ 本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在矢量场中，取一个有向曲面 S ，则矢量场A 在 S 上的面积分称为矢量 A 穿过曲面 S 的通量，即
Φ
A dS
二、矢量场的散度(divergence)
散度小结：
A 0 (正源) A 0 (负源) A 0 (无源)
3. 在矢量场中，若 A 0 ， 称之为有源场， 称为(通量)源密度；
4. 若场中处处 A 0 ，称之为无源场。
本节要点
➢ 本节的研究目的
寻找能够度量和刻画矢量场变化情况的量 ——散度（分析矢量场的工具之一）
S
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过S 的流量。
v
S
en
Φ v dS S
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
通量与散度(中文)
当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一 定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭 合面的通量一定为负。
前述的源称为正源，而洞称为负源。
<> =3<
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通
量等真于空该介闭电合常面数包围°之的比自，由电荷的电荷量q与
即,
皿E魅=普
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
= D< < > >1
已知真空中磁通密度B沿任一闭合有向曲线l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空
磁导率8 0的乘积。即
/---、
口 B 御=m I I /
式中，电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示 源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
包围的体积。
<> =3<
口
上式表明，散度d是iv一A个= l标im量-A-，--S-它-S--可- 理解为通过包围 单位体积闭合面的通量△。v □ Ay
直角坐标系中散度可表示为
div A = □4 +里+ 吳 因此散度可用算符表示为
div A = 5 □y □z
<> =3<
〈 散度定理
@ divA dV = 0s
2.矢量场的通量与散度
矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A 通过该
中 有向曲面S的通量，以标量 表示，即
=L A -姑
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生
前述的源称为正源，而洞称为负源。
<> =3<
已知真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的 通
量等真于空该介闭电合常面数包围°之的比自，由电荷的电荷量q与
即,
皿E魅=普
当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭 合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的 无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。
= D< < > >1
已知真空中磁通密度B沿任一闭合有向曲线l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度I与真空
磁导率8 0的乘积。即
/---、
口 B 御=m I I /
式中，电流I的正方向与dl的方向构成右旋关系 。 环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但 是 环量代表的是闭合曲线包围的总的源强度，它不能 显示 源的分布特性。为此，需要研究矢量场的旋度。
包围的体积。
<> =3<
口
上式表明，散度d是iv一A个= l标im量-A-，--S-它-S--可- 理解为通过包围 单位体积闭合面的通量△。v □ Ay
直角坐标系中散度可表示为
div A = □4 +里+ 吳 因此散度可用算符表示为
div A = 5 □y □z
<> =3<
〈 散度定理
@ divA dV = 0s
2.矢量场的通量与散度
矢量A沿某一有向曲面S的面积分称为矢量A 通过该
中 有向曲面S的通量，以标量 表示，即
=L A -姑
通量可为正、负或零。
当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产 生
矢量场的通量及散度
f ) z
f
( Fx x
Fy y
Fz z
) (Fx
f x
Fy
f y
Fz
f )
z
f F f F
证明： 设：
R R3 0
R0
F R
f 1 R3
( fF ) f F F f
1 R R 1
Ψ
Fds
s
sFxdydz Fydxdz Fzdxdy
3 散度
如果包围点P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小为点P 时, 通
量与体积之比的极限 lim
Fd s
s
存在,我们就将它定义为P 点处F(r)
的散度（divergence），V 0 V
Fz(x,y,z+z)
+ a3zsincos（ez‧en）] ddz
所以
= 2a2zsin cos ddz
s1 F ds1
/2[a2sincos ( b 2zdz)]d
0
0
a2b2 /2 sincosd a2b2 sin 2 /2 a2b2
则
(
பைடு நூலகம்
f
F)
( x
ex
y
ey
z
ez
)(
fFx
ex
fFy
ey
fFz
ez )
x ( fFx ) y ( fFy ) z ( fFz )
(
f
Fx x
Fx
f ) ( x
f
矢量场的通量和散度
dl =
∫ Pdx + Qdy + Rdz
l
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
Γ=
∫
l
r r A dl =
2π
∫ − ydx + xdy
l
= =
− R sin 3 θ d ( R cos3 θ ) + R cos3 θ d ( R sin 3 θ ) ∫
r r r rot ( µ A) = µ rotA + grad µ × A r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k µ = µ ( x, y , z )
第二章 场论
i j k r ∂ ∂ ∂ rot ( µ A) = ∂x ∂y ∂z µ P µQ µ R r r r = µ[( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k ] r r r +[( R µ y − Q µ z )i + ( P µ z − R µ x ) j + (Qµ x − P µ y )k ] i ∂ =µ ∂x P k i ∂ ∂µ + ∂z ∂x R P r r = µ rotA + grad µ × A j ∂ ∂y Q j ∂µ ∂y Q k ∂µ ∂z R
r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功 r r W = ∫ Ft dl = ∫ F dl
l
磁场强度环路积分
∫
l
r r m H dl = ∑ I k = I
∫ Pdx + Qdy + Rdz
l
例 1 设有平面矢量场A=-yi+xj,L为场中的星型线x=Rcos3θ, y=Rsin3θ,求此矢量场沿L正向的环量
第二章 场论
Γ=
∫
l
r r A dl =
2π
∫ − ydx + xdy
l
= =
− R sin 3 θ d ( R cos3 θ ) + R cos3 θ d ( R sin 3 θ ) ∫
r r r rot ( µ A) = µ rotA + grad µ × A r A = P ( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R ( x, y, z )k µ = µ ( x, y , z )
第二章 场论
i j k r ∂ ∂ ∂ rot ( µ A) = ∂x ∂y ∂z µ P µQ µ R r r r = µ[( Ry − Qz )i + ( Pz − Rx ) j + (Qx − Py )k ] r r r +[( R µ y − Q µ z )i + ( P µ z − R µ x ) j + (Qµ x − P µ y )k ] i ∂ =µ ∂x P k i ∂ ∂µ + ∂z ∂x R P r r = µ rotA + grad µ × A j ∂ ∂y Q j ∂µ ∂y Q k ∂µ ∂z R
r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功 r r W = ∫ Ft dl = ∫ F dl
l
磁场强度环路积分
∫
l
r r m H dl = ∑ I k = I
矢量场的通量和散度
S A endS
A
S
en
一、矢量场的通量
通量的物理意义：不同物理量的通量意义不同。
以流速场为例，流速场 v 的通量表示单位时间 内流体穿过 S 的流量。
v
S
en
Φ S v dS
表示穿出闭合
S面的净流量
en
一、矢量场的通量
根据通量的大小判断闭合面中源的性质：
>0
(有正源)
<0
=0
(有负源) (无源或正负源同时存在)
散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
通量无法说明闭合面内每一点处的性质，怎么办？
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
divA lim S A dS
V 0 V S
矢量场 A 在点
M
M处的散度
V 0
单位体积发出的 通量—通量体密度
二、矢量场的散度(divergence)
1.散度的定义
S
M
V 0
divA lim S A dS
情况的量 散度是描述矢量场中任一点发散性质的量
本节的研究内容
一、矢量场的通量 二、矢量场的散度
一、矢量场的通量
在上矢 的量面场积中 分， 称取 为一 矢个 量有A 向穿曲过面曲面S ，S则的矢通量量场，A即在
S
Φ
A dS
S
V
lim ( A)P V
V 0
V
V 0 V
divA A
二、矢量场的散度(divergence)
A Ax Ay Az x y z
散度小结： 1. 矢量场的散度是一个标量，它是描述矢量场中
任一点发散性质的量； 2. 散度代表矢量场的通量源的分布特性：
矢量场的通量 散度
divA(r ) Ax Ay Az x y z
(ex
x
ey
y
ez
) z
(ex
Ax
ey
Ay
ez
Az )
A(r )
式中：
(ex
x
ey
y
ez
) z
圆柱坐标系下：
1
(er
r
e
r
ez
) zBiblioteka 哈密顿算符A(r ) 1 (rAr ) 1 A Az
r r r z
球面坐标系下：
(er
散度定理的证明
散度定理的证明
从散度定义有：
A(r ) lim s A(r ) dS lim d
V 0 V
V 0 V dV
则在一定体积V内的总的通量为：
V A(r )dV s A(r ) dS
得证！
散度的定义
在场空间 A(r ) 中任意点M 处作一个闭合曲面，所围的体积 为 V ，则定义场矢量 A(r ) 在M 点处的散度为：
divA(r ) lim s A(r ) dS
V 0
V
散度的物理意义 矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性 矢量场的散度是一个标量 矢量场的散度是空间坐标的函数
矢量场的通量 散度
一、矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小
矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向
二、矢量场的散度 若矢量场A(r ) 分布于空间中，在
空间中取任意曲面S，定义：
A(r ) dS S
为矢量A(r )沿有向曲面S 的通量。
若S 为闭合曲面
s A(r ) dS
矢量场的通量
r
e
1 r
通量和散度
1.3.3 散度定理（高斯定理）
表达式：
SA d S V A d V
式中S为V的外表面。 物理含义：
矢量A穿过任一封闭曲面S的总通量等于矢量散度在S 所包围体积V内的体积分。
散度定理的证明：
d iv A l V im 0 1 VS A d S d i v A V l i mA d S
【解】若使A成为一个无源场，即要求 A0
Aaz2xb2xy12zcx2xy (a2)z(2c)xb1 0 解得 a2,b1,c2
A ( 2 x z x 2 ) e x ( x y 2 y ) e y ( z z 2 2 x z 2 x y z ) e z
面，则：
内容小结 掌握通量、散度的物理意义
z h 围成的封闭曲面，求矢径r穿出S的柱面部分的通量。
【解】设s1和s2为闭合曲面S的顶部和底部的圆
z
面，则：
r ds r ds r ds
s
s1
s2
s1
rdv
v
s1 (xex yey zez ) (dydzex dxdzey dxdyez )
s2 (xex yey zez ) (dydzex dxdzey dxdyez )
通量指通过该曲面的矢线量，它代表曲面S内存在的通量源。
（3）在矢量场中，若
，称之为有源场， 称为(通量)源密度；
说明流出闭合面的通量小于流入曲面的通量，即闭合面内存在负源（沟）。
矢量场的通量-------通量源
矢量场的通量
1.矢量场的通量-------通量源 （2）散度代表矢量场的通量源的分布特性。
h
3 dv zdxdy zdxdy
v
s1
s2
3πa2h hdxdy 0dxdy
工程数学 矢量场的通量及散度
CQU
作业：1.6、1.7 补充题：试证明
R ∇ ⋅ 3 =0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱR
x0 , y0 , z0
e z
称“
1.3 矢量场的通量及散度
∫
dS [ Fx ( x0 + F= ∆x ∆x , y0 , z0 ) − Fx ( x0 − , y0 , z0 )]∆y∆z + 2 2 ∆y ∆y [ Fy ( x0 , y0 + , z0 ) − Fy ( x0 , y0 − , z0 )]∆x∆z + 2 2 ∆z ∆z [ Fz ( x0 , y0 , z0 + ) − Fz ( x0 , y0 , z0 − )]∆x∆y 2 2 ∂F ∂F ∂F = x ∆x∆y∆z + y ∆x∆y∆z + z ∆x∆y∆z ∂z ∂x ∂y
通量源与漩涡源cqu在直角坐标系中设13矢量场的通量及散度为了定量研究场与源之间的关系需建立场空间任意点小体积元的通量源与矢量场小体积元曲面的通量的关系
1.3 矢量场的通量及散度
定义：对于空间区域 V 内的任意一点 r，若有一个矢量 F(r) 与之对 应，我们就称这个矢量函数 F(r) 是定义于V 的矢量场。 特点：1) F(r)为空间坐标的函数（点函数），显示单值性； 2)占有空间性。 分类：恒稳矢量场F(r) ，时变矢量场F(r , t)。
得直角坐标式的矢量线方程
dx dy dz = = Fx Fy Fz
1.3 矢量场的通量及散度
2、矢量场的通量
问题：如何定量描述矢量场？
= S∫ d = 通量的概念： ψψ
CQU
引入通量的概念。
∫
S
F ⋅ dS =
∫
第6讲矢量场的通量及散度
则通量可写成：
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s
s
例1：设由矢径 r xi yj zk 构成的矢量场中，
有一由圆锥面 x2 y2 z2 及平面 z H(H 0) 所围 成的封闭曲面S,如图，试求矢量场 从S内穿出S的
通量Φ。
解：以 S1 表示曲面S的平面部分，以 S2 表示锥面部分，
面积分： Ands A dS
s
s
叫做矢量A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。
若： 则有：
m
A A1 A2 Am Ai i 1
m
m
m
A dS ( Ai ) dS Ai dS i
s
s i1
的通量 。
解：
S为函数u z x2 3y2 当u取值为0时的一张
等值面。由于矢量场向下穿出S的方向，是z减小的 方向同时也是u值减小的方向，故S朝此方向的单位 法矢量为：
no gradu 2xi 6yj k gradu 4x2 36y2 1
所求通量为：
A n0dS 4x2 6 y2 z dS
已包含点M在内的任一闭曲线△l，设其所包围的平面
区域为△σ，以△S表示其面积，以△Φ表示从其内
穿出△l的通量，若当△σ以任意方式缩向点M时，比
式：
l Andl
S S
的极限存在，则称之为矢量场A(M)在点M处的散度。
即
div A
lim
lim
Andl
l
M S M S
数，（1）求场A穿出使divA=0的等值线的通量； （2）求divA在点M(2,-1)处的方向导数的最大值。
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s
s
例1：设由矢径 r xi yj zk 构成的矢量场中，
有一由圆锥面 x2 y2 z2 及平面 z H(H 0) 所围 成的封闭曲面S,如图，试求矢量场 从S内穿出S的
通量Φ。
解：以 S1 表示曲面S的平面部分，以 S2 表示锥面部分，
面积分： Ands A dS
s
s
叫做矢量A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。
若： 则有：
m
A A1 A2 Am Ai i 1
m
m
m
A dS ( Ai ) dS Ai dS i
s
s i1
的通量 。
解：
S为函数u z x2 3y2 当u取值为0时的一张
等值面。由于矢量场向下穿出S的方向，是z减小的 方向同时也是u值减小的方向，故S朝此方向的单位 法矢量为：
no gradu 2xi 6yj k gradu 4x2 36y2 1
所求通量为：
A n0dS 4x2 6 y2 z dS
已包含点M在内的任一闭曲线△l，设其所包围的平面
区域为△σ，以△S表示其面积，以△Φ表示从其内
穿出△l的通量，若当△σ以任意方式缩向点M时，比
式：
l Andl
S S
的极限存在，则称之为矢量场A(M)在点M处的散度。
即
div A
lim
lim
Andl
l
M S M S
数，（1）求场A穿出使divA=0的等值线的通量； （2）求divA在点M(2,-1)处的方向导数的最大值。
1.4矢量场的散度
圆柱和圆球坐标系中的散度公式
1 2 1 1 A A 2 (r Ar ) (sin A ) r r r sin r sin
一些常用的散度运算恒等式
1 1 A Az A ( A ) z
(CA) C A (A) A A
( A B) A B
例.求标量函数梯度的散度 解： ˆ ˆ ˆ x y z x y z
S
V 0
V
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
• A= 0 (无源）
• A= 0 (正源)
• A= 0 (负源)
由散度的定义可得
Ax Ay Az divA x y z
Ax Ay Az A x y z
2 2 2 x x y y z z x 2 y 2 z 2
2 2 2 2 2 2 x y z
2
Laplace 算子
1 2 2 ( ) 2 2 2 z
S
矢量穿过封闭面的通量
A(r ) dS
S
0 0 0 Biblioteka 有源，正源、负源通量源
= 0 (无源)
> 0 (有正源)
< 0 (有负源)
二、.散度(divergence)
空间某一点上是否有源？ 散度的定义：
divA lim
A dS
例：求
1 R
2
解：
R 1 2 1 R3 R R
矢量场散度的定义与计算
1.6 矢量场的散度
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3.散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
4.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场表示为：
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz
z
S6
S1
S3
S4
S2
S5
y
x
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
常用坐标系中，散度的计算公式
直角坐标系中： 圆柱坐标系中：
F Fx Fy Fz x y z
F 1 (Fr r) 1 F Fz
rR 2FR R
)
1
Rsin
(F
sin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中： F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
F S
dS
Fxx
Fy y
Fz z
xyz
z
S3 S2
x
S6
S1
S4
S5
y
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
散度： divF
F dS
S
Fx Fy Fz
lim V0 V
x y z
1. 矢量场的矢线（场线） 2. 矢量场的通量 3.散度的定义 4.散度的计算 5.散度定理
1. 矢量场的矢线（场线）：
在矢量场中，若一条曲线上每
一点的切线方向与场矢量在该点的
+
-
方向重合，则该曲线称为矢线。
2. 通量： 定义：如果在该矢量场中取一曲面S， 通过该曲面的矢线量称为通量。
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
4.散度的计算： 在直角坐标系中，如图做一封闭
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。 矢量场表示为：
F Fxaˆx Fyaˆy Fzaˆz
z
S6
S1
S3
S4
S2
S5
y
x
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
常用坐标系中，散度的计算公式
直角坐标系中： 圆柱坐标系中：
F Fx Fy Fz x y z
F 1 (Fr r) 1 F Fz
rR 2FR R
)
1
Rsin
(F
sin
)
1
Rsin
F
正交曲线坐标系中： F
1
Fu1 h 2 h 3
(Fu2
h1h3
F S
dS
Fxx
Fy y
Fz z
xyz
z
S3 S2
x
S6
S1
S4
S5
y
该闭合曲面所包围的体积： V xyz
散度： divF
F dS
S
Fx Fy Fz
lim V0 V
x y z
1.4 矢量场的通量 散度
u r r r r 例1：矢量场 A(r ) = r或r ( x, y, z ) ，计算 A(r ) 穿过一个球心 ： 在原点，半径为a的球面的通量， 在原点，半径为a的球面的通量，并计算此矢量场的散度
∇ ⋅ r (r )
解：在球坐标内
rr r r (r ) = e r r ,
r = a 的球面上各点的矢量为 r (a) = e r a其大小处处相等。 其大小处处相等。
5
同理：在 y方向上,穿过 S3和 S4面的总通量：
r v r v ∂Ay ∫S3 A ⋅ dS3 + ∫S4 A ⋅ dS4 = ∂y ∆x∆y∆z
在 z 方向上,穿过 S5和 S6面的总通量： r v r v ∂AZ ∫S5 A ⋅ dS5 + ∫S6 A ⋅ dS6 = ∂z ∆x∆y∆z 整个封闭曲面的总通量： r v ∂Ax ∂Ay ∂Az S A ⋅ dS = ( ∂x + ∂y + ∂z )∆x∆y∆z ∫ 该闭合曲面所包围的体积： ∆V = ∆x∆y∆z
4
散度的计算
z
S3
S2
在直角坐标系中，如图做一封闭曲面， 在直角坐标系中，如图做一封闭曲面， 该封闭曲面由六个平面组成。 该封闭曲面由六个平面组成。 规定：穿入为负，穿出为正。 规定：穿入为负，穿出为正。
S6
S1
S4
x r v r v r v r v r v r v r v A⋅ dS = ∫ A⋅ dS1 + ∫ A⋅ dS2 + ∫ A⋅ dS3 + ∫ A⋅ dS4 + ∫ A⋅ dS5 + ∫ A⋅ dS6 ∫
11
=( ∂ v ∂ v ∂ v v v v ex + e y + ez ) ⋅ ( Ax ex + Ay e y + Az ez ) ∂x ∂y ∂z r v = ∇ ⋅ A(r )
矢量场的通量及散度.
div(cA) cdivA div( A B) div( A B) div( A) divA grad A
xyz e , r xi yj zk 例4 已知 求 div r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功
r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1 s1
Hdxdy H dxdy H 3
x
1
1
r
s2 s1
dS rn dS 0dS 0
s2 s2
r dS r dS H 3
s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ 的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 q n D r 2 4 r 求从内穿出S的电通量Φ
在任一点M(x,y,z)的散度是
divA P q R x y z
第二章 场论
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s s
P q R ( )dV x y z P q R x y z V 根据中值定理有 M 其中M′为在Δ Ω 内的一点，由此
M s
D dS
s
q 4 R 2
r
dS
q 4 R 2
q 2 dS 4 R q 2 4 R s
第二章 场论 2 散度
divA lim lim M V M
xyz e , r xi yj zk 例4 已知 求 div r
第二章 场论 第四节矢量场的环量及旋度 质点沿封闭曲线L运转一周时，场力F所做的功
r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1 s1
Hdxdy H dxdy H 3
x
1
1
r
s2 s1
dS rn dS 0dS 0
s2 s2
r dS r dS H 3
s2
第二章 场论 2)通量为正、为负、为零时的物理意义 在一般的矢量场A(M)中，对于穿出封闭面S的通量Φ ，当其不为 零的时候，我们视其为证或者为负而说S内产生有通量Φ 的正源 或负源对于源的实际意义如何，视具体的物理场而定 例2 在点电荷q所产生的电场中，任何一点M处的电位移矢量为 q n D r 2 4 r 求从内穿出S的电通量Φ
在任一点M(x,y,z)的散度是
divA P q R x y z
第二章 场论
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s s
P q R ( )dV x y z P q R x y z V 根据中值定理有 M 其中M′为在Δ Ω 内的一点，由此
M s
D dS
s
q 4 R 2
r
dS
q 4 R 2
q 2 dS 4 R q 2 4 R s
第二章 场论 2 散度
divA lim lim M V M
矢量场的通量及散度(教案)
1.3矢量场的通量及散度1.3.1矢量场的概念定义：空间区域V 内的某一物理系统的状态，可以用一个矢量函数F (r ，t )来描述。
对于V 中任意一点r ，若F (r ，t )有确定的值与之对应，则称F (r ，t )是定义于V 区域上的矢量场。
矢量场也有两个特点：①F (r ，t )为空间坐标的函数（点函数），显示单值性；②F (r ，t )要占有一个空间。
矢量场也分恒稳矢量场F (r )和时变矢量场F (r , t )。
矢量场F (r ，t )可用矢量线（简称F 线）来形象地描述。
F 线是带有箭头的空间曲线，其上任一点的切线方向即为该处矢量场的方向，F 线的疏密反映矢量场分布的弱或强，矢量线互不相交。
直角坐标系下矢量场可表为：()()()()z z y y x x z y x F z y x F z y x F z y x e ,,e ,,e ,,,,F ++=(1.3.1)F 线上的任一线元矢量d l 总是与该处的F 共线，有 即则F 线的微分方程zy x F zF y F x d d d == (1.3.2) 1.3.2. 矢量场的通量（1）恒稳液流场v (r )液体流动形成液流场，其中每一点的流动特点用流速v （r ）表示，反映单位时间内流过与该处液流方向垂直的单位面积的液体体积的多少。
恒稳之意是指与时间无关恒稳液流场⇔恒稳流速矢量场v （r ）。
2）流量概念面元矢量：对于S 面上的任意面元d S ，指定其正法向方向，设置正法向单位矢量e n ，确定了正法向方向的面元称为面元矢量，表示为d S =d S e n 。
流量：设面元矢量d S 与该处v 间的夹角为θ，则穿过该面元d S 的元流量为ψd = v n d S = v cos θd S = v ‧d S (1.3.3)累加S 面上所有面元的元流量，得穿过S 面的流量⎰⎰⋅==sS v d d ψψ（1.3.4）推广流量的概念，对于任意闭合面，有v （r ）在闭面S 上的闭合面积分⎰⋅=s d s v ψ（1.3.5）规定闭面上各d S 的方向为外法线方向，上式就表示流出闭面S 的净流量。
2.3矢量场的通量与散度
出的通量.
解法1
记
r1
r
2
,
1r表示r平面部r 分r，
表示锥面部分，
2
则通量 Ò A dS A dS A dS,
1
2
1在xoy面上的投影区域D : x2 y2 H 2 , rr
A dS xdydz ydxdz zdxdy Hdxdy H 3
1
曲面
2的外法1 向量nr
4
1 r2
rr0 nr0dS
q
4 R2
Ò dS
q
4 R2
4
R2
q.
2.散度
设
v A
v A(
x,
y,
z)
C
(1)是一个不可压缩的稳定的流速场，
对于场中任一点M，在点M的某邻域作一张包围M的光
滑封闭曲面 ，取外侧，记 所围的区域为 ，这时，
,
A dS
表示单位时间从
经
流向外侧的流量，
而
()
x,
D2
q
4 r3
y,
D3
q
4 r3
z,
D1 x
q
4
r3
x 3r2 r6
x r
q
4
r2
3x2 r5 ,L
,
r divD
D1
D2
D3
0.
x y z
r
r
r
r
r
例7 设 A 2xyz2 i (x2z2 cos y) j 2x2 yz k，求divA.
利用Hamilton的算子 ，散度及其性质可表述为
注意：∑ 与∑－是不同的曲面.
∑ n
∑－
n
1.3 工程电磁场 矢量场的通量和散度
的积分只剩下 此，当体积 τ 由N
i个小、体积j 外元表组面成上时的，通穿量出，体因积
τ的通量就等于限定它的闭合面 S 上的通量。
N
N
i 1
lim (
i 0
A)
i
i 1
A dS
Si
证毕
即 ( A)d A dS
divA ＝0： 该点无源。
散度是标量。
2019/5/30
7
2 、散度在直角坐标系中的表示式：
divA
Ax
Ay
Az
x y z
矢量微分算子 ： “ ” 读作 nabla 或 del
ex
x
ey
y
ez
z
当作矢量看待
即
divA
(ex
A dS
divA
lim S
0
散度是标量
散度的意义：表示场中任意一点M处，通量对 体积的变化率。也称为 “通量源密度”。
2019/5/30
6
讨论：
divA
lim
A dS
S
0
divA ＞0：该点有发出通量线的正源；
divA ＜0： 该点有吸收通量线的负源；
S
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11
例A ： e设xx球面eySy上 e任z z意, 点求的位SA置 d矢S量. 为
R
解：根据散度定理
Ad A dS
S
而 A的散度为
2.3矢量场的通量及散度
s
A(r ) dS v
v 0
2、散度的物理意义 1) 矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性；
2) 矢量场的散度是一个标量；
3) 矢量场的散度是空间坐标的函数；
4) 矢量场的散度值表征空间中通量源的密度（分布特性）。
某一点的散度是指在以该点为中心的邻域内单位体积中 的通量源----通量源密度。
2. 矢量场的旋度
旋度是一个矢量，
模值等于环量密度的最大值； 方向为最大环量密度的方向。 用 rot A 表示，即：
rot A n lim
c
A dl S
max
S 0
ˆ 表示矢量场旋度的方向； 式中：n
3. 旋度的物理意义
1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数； 旋度完整的反映了矢量场的旋涡在各点上的分布情况。 而某个方向的环量密度是旋度在该方向上的投影。 2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度； 旋度可以反映引起矢量场旋涡的源（旋度源）在空间的 分布情况。
Ax
y
Ay
ˆ A
ˆ y
ˆ z
A
ˆ 1 A
z
Az
1 A r 2 sin r
Ar
ˆ r
ˆ r
rA
r sin A
ˆ r sin
可以看出，旋度是对矢量场的一种微分运算，描述矢量场 在空间的某种变化情况。
通量反映的是大面积上的积分量，不能说明体积内每一点的性质。如果包围点M 的闭合面S所围区域V以任意方式缩小为点M 时, 通量与体积之比的极限存在， 即：
在M 点处的散度为： 为 V ，则定义场矢量 A(r )
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又：
dS nods ds cos(n, x)i ds cos(n, y) j ds cos(n, z)k dydzi dxdzj dydzk,
则通量可写成：
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s
s
例1：设由矢径 r xi yj zk 构成的矢量场中，
有一由圆锥面 x2 y2 z2 及平面 z H(H 0) 所围 成的封闭曲面S,如图，试求矢量场 从S内穿出S的
（2）简单曲面：
设连续曲面参数方程为：
x (u,v), y (u,v), z (u,v)
曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值（u, v）.(闭合
曲面闭合点除外)。简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续 曲面。
1.通量
引例：
设有流速场v(M),流体是不可压缩的，设其密度为1.求单 位时间内流体向正侧穿过有向曲面S的流量Q（如图）。
取微元ds(微元内速度矢量和法矢 量近似看做不变)，则穿过ds的流量 dQ近似等于：
dQ vnds
以 n0 表示点M处的单位法矢量则
流量表示为：
dQ vnds (v n0 )ds v (n0ds)
令 dS n0ds, dS 为在点M处的这样一个矢量，其
方向与法向量n一致，其模等于面积ds。 据此，在单位时间内向正侧穿过S的流量，就
可用曲面积分表示为：
Q vnds v dS
s
s
又如：在电位移矢量D分布的电场中，穿过曲面S的
电通量：
e Dnds D dS
s
s
在磁感应强度矢量B分布的电场中，穿过曲面S的
磁通量： m Bnds D dS
s
s
通量定义：
设有矢量场A(M),沿其中有向曲面S某一侧的曲
面积分： Ands A dS
例3：在点电荷q所
4r 2
r0
其中r是点电荷q到点M的距离，r 0 是从点电荷q
指向点M的单位矢量。设S为以点电荷为球心，R为半
径的球面，求从内穿出S的电通量 。
解：
如图，在球面S上恒有r=R ,且法矢量n与 r 0
的方向一致，所以
e
D dS
s
记作div A,
div A
lim
lim
A dS
S
M V M V
散度div A为一数量，表示在场中一点处通量对 体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来 说所穿出的通量，称为该点处源的强度。
div A的符号为正表示该点处有散发通量的正源， 反之则有吸收通量的负源。其绝对值| div A |表 示该点处散发或吸收通量的强度。
因此，对于总流量
Q v dS
s
一般应理解为：单位时间内流体向正侧穿过曲面S 的正流量与负流量的代数和。
如果S为一封闭曲面，此时积分 一般指沿S的
s
外侧，此时流量表示从内穿出S的正流量与从外穿入S
的负流量的代数和。
若Q>0,那S内必有正源；同理Q<0,S内必有负源。 但是当Q=0时，不能断言S内无源。
q
4R2
s
r0 dS
q
4R2
s
dS
q
4R2
4R2
q
2.散度
散度定义：设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个领域内 作一包含M点在内的任一闭曲面△S，设其所包围的空间 区域为△Ω，以△V表示其体积，以△Φ表示从其内穿 出S的通量，若当△Ω以任意方式缩向点M时，比式：
S
A dS
V V
的极限存在，此极限为矢量场A(M)在点M处的散度。
s
s
叫做矢量A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。
若： 则有：
m
A A1 A2 Am Ai i 1
m
m
m
A dS ( Ai ) dS Ai dS i
s
s i1
i1 s
i 1
通量是可叠加的。
在直角坐标系中，设
A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j r(x, y, z)k,
通量Φ。
解：以 S1 表示曲面S的平面部分，以 S2 表示锥面部分，
则通量为：
r dS
s
r dS r dS
s1
S2
其中 r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1
s1
Hdxdy H dxdy H H 2 H 3
D1
D1
其中D1为 S1在xOy面上的投影。
Dxy
4x2 36y2 1
3(x2 y2 )dxdy
2
d
2 3r3dr
0
0
Dxy
24
通量为正负时的物理意义： 对于流速场v(M),设在单位时间内流体向正侧穿过S
的流量为Q，根据前面所述，单位时间内流体向正侧穿
过曲面元素dS的流量为： dQ v dS
其结果是个代数值：若v从曲面的负侧传到曲面 的正侧时，v与n夹角为锐角因此dQ为正流量，如下 图左所示；反之，v与n夹角为钝角dQ为负流量，如 下图右所示：
等值面。由于矢量场向下穿出S的方向，是z减小的 方向同时也是u值减小的方向，故S朝此方向的单位 法矢量为：
no gradu 2xi 6yj k gradu 4x2 36y2 1
所求通量为：
A n0dS 4x2 6 y2 z dS
s
s 4x2 36y2 1
4x2 6 y2 (x2 3y2 ) 1 4x2 36y2 dxdy
当div A的值为零时，表示该点处无源，由此 称div A≡0的矢量场为无源场。
把矢量场A中每一点的散度与场中的点一一对 应起来就得到一个数量场，称之为由此矢量场产 生的散度场。
散度在直角坐标系中的表达式：
第二章 场论
第6讲 矢量场的通量及散度
主要内容
1. 通量 2. 散度 3.平面矢量场的通量与散度*
教材：第2章 第3节
简单曲线与简单曲面术语介绍
（1）简单曲线：
设连续曲线参数方程为：
x (t), y (t), z (t)
曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值t.(闭合曲线闭 合点除外)。简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线。
在 S2 上有 r n 则：
r dS rnds 0ds 0
s2
s2
s2
所以： r dS H 3
s
例2：设S为曲面 z x2 3y2被围在圆柱面 x2 y2 4
内的部分，求矢量场 A 2xi yj zk 向下穿出S
的通量 。
解：
S为函数u z x2 3y2 当u取值为0时的一张
dS nods ds cos(n, x)i ds cos(n, y) j ds cos(n, z)k dydzi dxdzj dydzk,
则通量可写成：
A dS Pdydz Qdxdz Rdxdy
s
s
例1：设由矢径 r xi yj zk 构成的矢量场中，
有一由圆锥面 x2 y2 z2 及平面 z H(H 0) 所围 成的封闭曲面S,如图，试求矢量场 从S内穿出S的
（2）简单曲面：
设连续曲面参数方程为：
x (u,v), y (u,v), z (u,v)
曲面上的每一点都只对应唯一的一个参数值（u, v）.(闭合
曲面闭合点除外)。简单曲面的一般特征是一条没有重点的连续 曲面。
1.通量
引例：
设有流速场v(M),流体是不可压缩的，设其密度为1.求单 位时间内流体向正侧穿过有向曲面S的流量Q（如图）。
取微元ds(微元内速度矢量和法矢 量近似看做不变)，则穿过ds的流量 dQ近似等于：
dQ vnds
以 n0 表示点M处的单位法矢量则
流量表示为：
dQ vnds (v n0 )ds v (n0ds)
令 dS n0ds, dS 为在点M处的这样一个矢量，其
方向与法向量n一致，其模等于面积ds。 据此，在单位时间内向正侧穿过S的流量，就
可用曲面积分表示为：
Q vnds v dS
s
s
又如：在电位移矢量D分布的电场中，穿过曲面S的
电通量：
e Dnds D dS
s
s
在磁感应强度矢量B分布的电场中，穿过曲面S的
磁通量： m Bnds D dS
s
s
通量定义：
设有矢量场A(M),沿其中有向曲面S某一侧的曲
面积分： Ands A dS
例3：在点电荷q所
4r 2
r0
其中r是点电荷q到点M的距离，r 0 是从点电荷q
指向点M的单位矢量。设S为以点电荷为球心，R为半
径的球面，求从内穿出S的电通量 。
解：
如图，在球面S上恒有r=R ,且法矢量n与 r 0
的方向一致，所以
e
D dS
s
记作div A,
div A
lim
lim
A dS
S
M V M V
散度div A为一数量，表示在场中一点处通量对 体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来 说所穿出的通量，称为该点处源的强度。
div A的符号为正表示该点处有散发通量的正源， 反之则有吸收通量的负源。其绝对值| div A |表 示该点处散发或吸收通量的强度。
因此，对于总流量
Q v dS
s
一般应理解为：单位时间内流体向正侧穿过曲面S 的正流量与负流量的代数和。
如果S为一封闭曲面，此时积分 一般指沿S的
s
外侧，此时流量表示从内穿出S的正流量与从外穿入S
的负流量的代数和。
若Q>0,那S内必有正源；同理Q<0,S内必有负源。 但是当Q=0时，不能断言S内无源。
q
4R2
s
r0 dS
q
4R2
s
dS
q
4R2
4R2
q
2.散度
散度定义：设有矢量场A(M)，于场中一点M的某个领域内 作一包含M点在内的任一闭曲面△S，设其所包围的空间 区域为△Ω，以△V表示其体积，以△Φ表示从其内穿 出S的通量，若当△Ω以任意方式缩向点M时，比式：
S
A dS
V V
的极限存在，此极限为矢量场A(M)在点M处的散度。
s
s
叫做矢量A(M)向积分所沿一侧穿过曲面S的通量。
若： 则有：
m
A A1 A2 Am Ai i 1
m
m
m
A dS ( Ai ) dS Ai dS i
s
s i1
i1 s
i 1
通量是可叠加的。
在直角坐标系中，设
A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j r(x, y, z)k,
通量Φ。
解：以 S1 表示曲面S的平面部分，以 S2 表示锥面部分，
则通量为：
r dS
s
r dS r dS
s1
S2
其中 r dS xdydz ydxdz zdxdy
s1
s1
Hdxdy H dxdy H H 2 H 3
D1
D1
其中D1为 S1在xOy面上的投影。
Dxy
4x2 36y2 1
3(x2 y2 )dxdy
2
d
2 3r3dr
0
0
Dxy
24
通量为正负时的物理意义： 对于流速场v(M),设在单位时间内流体向正侧穿过S
的流量为Q，根据前面所述，单位时间内流体向正侧穿
过曲面元素dS的流量为： dQ v dS
其结果是个代数值：若v从曲面的负侧传到曲面 的正侧时，v与n夹角为锐角因此dQ为正流量，如下 图左所示；反之，v与n夹角为钝角dQ为负流量，如 下图右所示：
等值面。由于矢量场向下穿出S的方向，是z减小的 方向同时也是u值减小的方向，故S朝此方向的单位 法矢量为：
no gradu 2xi 6yj k gradu 4x2 36y2 1
所求通量为：
A n0dS 4x2 6 y2 z dS
s
s 4x2 36y2 1
4x2 6 y2 (x2 3y2 ) 1 4x2 36y2 dxdy
当div A的值为零时，表示该点处无源，由此 称div A≡0的矢量场为无源场。
把矢量场A中每一点的散度与场中的点一一对 应起来就得到一个数量场，称之为由此矢量场产 生的散度场。
散度在直角坐标系中的表达式：
第二章 场论
第6讲 矢量场的通量及散度
主要内容
1. 通量 2. 散度 3.平面矢量场的通量与散度*
教材：第2章 第3节
简单曲线与简单曲面术语介绍
（1）简单曲线：
设连续曲线参数方程为：
x (t), y (t), z (t)
曲线上的每一点都只对应唯一的一个参数值t.(闭合曲线闭 合点除外)。简单曲线的一般特征是一条没有重点的连续曲线。
在 S2 上有 r n 则：
r dS rnds 0ds 0
s2
s2
s2
所以： r dS H 3
s
例2：设S为曲面 z x2 3y2被围在圆柱面 x2 y2 4
内的部分，求矢量场 A 2xi yj zk 向下穿出S
的通量 。
解：
S为函数u z x2 3y2 当u取值为0时的一张