高中数学第四章数系的扩充与复数的引入2.2复数的乘法与除法练习北师大版选修1-2

2.2 复数的乘法与除法

明目标、知重点

1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.

2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.

3.理解共轭复数的概念．1．复数的乘法法则

设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，

则z1·z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

2．复数乘法的运算律

对任意复数z1、z2

3.共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数用z 表示．即z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i. 4．复数的除法法则

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. [情境导学]

我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？

探究点一 复数乘除法的运算 思考1 怎样进行复数的乘法？

答 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2

换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

思考2 复数的乘法与多项式的乘法有何不同？

答 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2

换成－1. 例 1 计算：(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)； (2)(3＋4i)(3－4i)； (3)(1＋i)2

.

解 (1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)＝(11－2i)(－2＋i) ＝－20＋15i ；

(2)(3＋4i)(3－4i)＝32

－(4i)2

＝9－(－16)＝25； (3)(1＋i)2

＝1＋2i ＋i 2＝2i.

反思与感悟 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等． 跟踪训练1 计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2

. 解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2

＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2

＝1＋4i ＋(2i)2

＝1＋4i ＋4i 2

＝－3＋4i. 思考3 如何理解复数的除法运算法则？

答 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共

轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．

例 2 计算：(1)4－3i 4＋3i ＋4＋3i

4－3i ；

(2)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i

.

解 (1)原式＝

4－3i

2

4＋3i 4－3i

＋

4＋3i 2

4－3i 4＋3i

＝

16－9－24i 42＋32＋16－9＋24i

42＋3

2

＝7－24i 25＋7＋24i 25＝14

25； (2)方法一 原式＝[

1＋i 2

2]6

＋

2＋3i

3＋2i 3

2

＋

2

2

＝i 6

＋

6＋2i ＋3i －6

5

＝－1＋i.

方法二 (技巧解法)

原式＝[1＋i 2

2

]6

＋

2＋3i i 3－2i

i

＝i 6

＋

2＋3i i

2＋3i

＝－1＋i.

反思与感悟 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数．

跟踪训练2 计算：(1)7＋i 3＋4i ；(2)－1＋i 2＋i

－i

.

解 (1)7＋i 3＋4i ＝7＋i 3－4i 3＋4i 3－4i ＝25－25i

25＝1－i.

(2)－1＋i 2＋i －i ＝－3＋i －i ＝－3＋i ·i －i·i ＝－1－3i.

探究点二 共轭复数及其应用

思考1 像3＋4i 和3－4i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？

答 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．通常记复数z 的共轭复数为z .虚部不等于0的两个共轭复数也叫作共轭虚数． 思考2 复数a ＋b i 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？

答 复数a ＋b i 的共轭复数可表示为a －b i ，由于 (a ＋b i)·(a －b i)＝a 2

＋b 2

，所以两个共轭复数之积为实数．

思考3 共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？ 答 (1)在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．

(2)实数的共轭复数是它本身，即z ＝z ⇔z ∈R ，利用这个性质可证明一个复数为实数． (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数． 思考4 z ·z 与|z |2

和|z |2

有什么关系？ 答 z ·z ＝|z |2

＝|z |2

.

例 3 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2

＋b 2

＝1，即a 2

＋b 2

＝1.① 因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.② 由①②联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝45

，b ＝3

5，

或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝－4

5，b ＝－3

5.

所以z ＝45－35i ，或z ＝－45＋3

5

i.

反思与感悟 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点． 跟踪训练3 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2

＋b 2

， ∴a 2

＋b 2

＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2

＋b 2

－2b ＋2a i ＝8＋6i ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝82a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝3

b ＝1

，

∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.

1．设复数z 满足i z ＝1，其中i 为虚数单位，则z 等于( ) A ．－i B ．i C ．－1 D ．1 答案 A

解析 z ＝1

i

＝－i.

2．已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z 等于( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i 答案 C

解析 由M ∩N ＝{4}得z i ＝4，z ＝4

i

＝－4i.

3．复数i －2

1＋2i 等于( )

A ．i

B ．－i

C ．－45－35i

D ．－45＋35i

答案 A

4．复数z ＝2－i 2＋i

(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )