高中数学第2轮总复习 专题5 第2课时 函数的综合应用 文

由 上 可 知 ， 实 数 a的 取 值 范 围 是 {a | a 2或 a 2}， 故 选 D.
【思维启迪】本题解答时注意两点：1根据奇 偶性判断函数f x在区间[0， )上的单调性； 2 因为a的范围不确定，因此须注意参数a的
分类讨论．另外可考虑利用偶函数的特性
f x f x f | x |进行转化，可减少繁
例1:若x1满足2x2x 5，x2
满足2x2log2x15，那么x1x2 ( )
A. 5
B． 3 C.7
2
2
D． 4
分析:对两个方程变形可得2x1 x5和 2
log2
x1x5.易发现两个方程在结构上
2
类似，然后令t x1，再利用数形结合解决．
解析:令t x 1，则x t 1，且t＞1，
所以t1满足2t
知 点 C是 AB的 中 点 ， 故 xA
xB
3 2
，
即
t1
t2
3， 2
所 以 x1
1
x2
1
3 2
，
即
x1
x2
7 ，故选C. 2
【思维启迪】本题实际是求解方程根的 问题．解答此类题型时要充分抓住反函 数与原函数的互换性与图象的对称性等 知识，沟通两个函数之间的联系，进而 使问题得解．如果所给两个方程在结构 上的类似不明显，常常须进行变形．
4． 复 合 函 数
1 定 义 ： 设 y f u 的 定 义 域 为 A， u g x 的 值 域 为 B， 若 B A， 则 y 关 于 x函 数 y f g x
叫 做 函 数 f 与 g的 复 合 函 数 ， u叫 中 间 量 ， f 称 为 外 层 函 数 ， g称 为 内 层 函 数 ．
2性 质 ：
①复合函数的单调性：规律还可总结为： “同性复合得增，异性复合得减”，即 “同增异减”． ②复合函数的奇偶性：内外函数中至少
有 一 个 为 偶 函 数 时 ， y f g x 为 偶 函
数，只有当内外两个函数均为奇函数时，
y f g x 奇 函 数 ．
考点1 函数与方程的综合
1定 义 ： 在 函 数 的 定 义 域 内 ， 对 于 自 变 量 的
不同取值范围，有着不同的解析式，这样的 函数叫做分段函数．
2定义域：分段函数的定义域是自变量的各段
取值范围的并集．
3函 数 值 ： 求 分 段 函 数 的 函 数 值 f x0 时 ， 应 该
首 先 判 断 x0所 属 的 取 值 范 围 ， 然 后 再 把 x0代 入 到相应的解析式中进行计算．
考点2 函数与不等式的综合
例2:函数y f x是R上的偶函数，且在
(，0]上是增函数，若f a f 2，则实
数a的取值范围是( )
A．a 2
B．a 2
C．2 a 2
D．a 2或a 2
分 析:由 于 参 数 a的 取 值 不 确 定 ， 因 此 对 a分 a0和 a＜ 0进 行 讨 论 ， 同 时 可 根 据 奇 偶 性
3.周 期 函 数
1定 义 ： 对 于 函 数 y f x ， 如 果 存 在 一 个 不
为 零 的 常 数 T， 使 得 当 x取 定 义 域 内 的 每 一 个
值 时 ， f x T f x都 成 立 ， 那 么 就 把 函 数 y f x叫 做 周 期 函 数 ， 不 为 零 的 常 数 T叫 做
t
32，t2满足log2t
t
3. 2
设函数y
3 2
t的图象与y
log 2t，
y 2t的图象的交点依次是A、B，如图所示．
因为y 2t和y log2t互为反函数， 其图象关于y x对称．
又 由 于 函 数 y t和 y 3 t的 图 象 交 于 一 点 C ( 3 ，3 )，
2
44Biblioteka 根据反函数与原函数的对称关系
杂的讨论过程．
变式题：若f x是偶函数，其定义域为(， )，
且在[0， )上是减函数，则f ( 3)与f (a2 2a 5)
这个函数的周期．
2性 质 ： ① 若 T (T 0)是 f x 的 周 期 ， 则 T 也 是 f x
的周期．
② 若 T (T 0)是 f x 的 周 期 ， 则 nT (n为 任 意 非 零 整 数 )也 是 f x 的 周 期 ． ③ 若 f x有 最 小 正 周 期 T， 那 么 kT (k Z， k 0)也 是 f x 的 周 期 ．
4函 数 图 象 ： 分 段 函 数 的 图 象 由 各 段 上 图 象 组 成 ．
2． 抽 象 函 数
1 抽 象 函 数 是 指 没 有 给 出 具 体 的 函 数 解 析 式 ， 而
只是给出该函数所具备的某些性质的函数．
2 常 见 的 以 初 等 函 数 为 模 型 的 抽 象 函 数 有 ( 见 下 表 )
确 定 fx在 [0， )上 的 单 调 性 ．
解析 :函数y f x是偶函数，
且 在 ( ，0]上 是 增 函 数 ，
所 以 函 数 y f x 在[0， )上 是 减 函 数 ． 当 a 0时 ， 由 f a f 2 ， 得 a 2； 当 a＜0时 ， 由 于 y f x 是 偶 函 数 ， 所 以 f 2 f 2， 则 f a f 2， 所 以 a 2.
变 式 题 ： 关 于 x的 方 程 x24x3a0有 三 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 实 数 a的 值 是 ______．
解 析 ：令 y x 2 4 x 3 与 y a， 则在同一坐标平面作出函数 y x 2 4x 3 与 y a的 图 象 ， 如 右 图 ． 由 图 象 知 直 线 y 1与 y x2 4x 3 的 图 象 有 三 个 交 点 ， 即 方 程 x2 4x 3 1， 也 就 是 方 程 x2 4x 3 1 0有 三 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 因 此 a 1.
专题五
函数与导数
函数综合题：通常是将函数的定义域、值域、 图象的作法及变换、函数的单调性、奇偶性、 周期性、对称性、反函数等全部或部分知识 交织在一起，要求解决相关问题的一种综合 性试题．同时还必须透彻理解高考中常涉及 到的四种特殊函数——分段函数、抽象函数、 周期函数、复合函数． 1． 分 段 函 数