不等式恒成立求参数的范围

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如何求不等式恒成立的参数的取值范围

要条件是：
一
次函数ｆ）ａ（＝ｘ＋ｂ在 ∈［ｎ上恒大ｍ，］
于零的充要条件是：
｛
或＇或＞。，
）ａ＋ｂ恒小于零的条件亦可类似给出。＝ｘ例１对任意的ａ一１１， ∈［，］函数ｆ）＋（＝（４＋ａ一）４—２ｎ的值总大于零，求的取值范围。解：（可变形为ｇ口＝（一２ａ＋一４厂）（）ｚ）ｘ＋
、
利用一次函数的性质
０ ① 在区间，）上恒成立，要求实参数ｋ的范围。
如果能将不等式①化为Ｆｋ ≥Ｇ）或Ｆｋ（）（（（） ≤Ｇ）（）的形式，且可求出Ｇ）区间，上的最（在大（最小），么不等式 ①在区间，恒成立的充值那上
时，有＋ｋｋ一１恒ｘ＞，
ｚ
‘
任何一个一元二次不等式总可以化为ａｘｘ＋ｂ
＋ｃ＞０（０ａ＞）的形式，由二次函数Ｙ＝
论：
＋＋ｃ
求实数ｋ的取值范围。
解：等式可化为不
（ａ＜０的图象和性质，们不难得出以下两个结）我
｛｝。
，ｆ２ａ则 —ｔ＞ｍｘ
①
于是该题就变成：ａ∈［一１１内任意取值当，］时，（）ｇａ恒大于零，求的取值范围。因为ｇｎ是一次函数，以ｇａ在［，］（）所（）一１１上
恒为正，要只
ｒ（）一ｘ＋６，ｇ一１：５＞０Ｌ（） —３ｇ１＝ｘ＋２。＞０

不等式恒成立、能成立问题 (1)

√A.{a|－1≤a≤4}
B.{a|－1<a<4}
C.{a|a≥4，或a≤－1}
D.{a|－4≤a≤1}
解析由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解， ∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0， ∴－1≤a≤4，故选A.
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(2)关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0解集为R，求实数a取值范围.
解 ①若a2－1＝0，即a＝±1时，
若a＝1，不等式变为－1<0，解集为R；
若 a＝－1，不等式变为 2x－1<0，解集为xx<12
，
∴a＝1时满足条件.
微专题2
②若a2－1≠0，即a≠±1时，
5 1＋ <x< 2
5
.
反思感悟
已知参数的取值范围，求变量x的取值范围时，常常把主要变量 x和参数互换身份，构造以参数为变量的函数，根据参变量的取值范围求解x的范围.
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解：令y=－x2＋2x＋3，由题意，a2－3a≥ymax=4,
a2－3a-4≥0, (a-4)(a+1)≥0 a≤－1或a≥4，∴实数a ϵ{a|a≤－1或a≥4}.
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微专题2
分离参数法
4x＋m 例 2 若存在 x∈R，使得x2－2x＋3≥2 成立，求实数 m 的取值范围.
解 ∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立，令y＝2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2，∴m的取值范围为{m|m≥－2}.

不等式中的取值范围求法

不等式中的取值范围求法不等式是高中数学的重要内容，与各部分联系紧密，是历年高考的命题重点，在考查不等式的命题中以求取值范围问题居多，解决此类问题的方法体现了等价转换、函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想。

1、不等式的性质法利用不等式的基本性质，注意性质运用的前提条件。

例1：已知f x ax c f f ()()()=--≤≤--≤≤2411125，且，，试求f ()3的取值范围。

解：由(1)(2)4f a c f a c =-⎧⎨=-⎩解得[][]1(2)(1)31(2)4(1)3a f f c f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴=-=⋅--≤≤∴-≤⋅≤-≤≤-∴≤-⋅≤∴-+≤⋅-≤+-≤≤f a c f f f f f f f f f ()()()()()()()()()()39832531125838324034115353120383538325314032031320ΘΘ，，，即评：解此类题常见的错误是：依题意得-≤-≤--≤-≤4111452a c a c （）（）用（1）（2）进行加减消元，得03173≤≤≤≤a c ，（）由f a c f ()()397327=--≤≤得其错误原因在于由（1）（2）得（3）时，不是等价变形，使范围越加越大。

2、转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。

此方法通常化为一次函数。

例2：若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。

解：原不等式化为 (x 2－1)m －(2x －1)<0 记f(m)= (x 2－1)m －(2x －1) (－2≤m ≤2)根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<=<=01)-(2x -1)-2(x f(2)01)-(2x -1)--2(x f(-2)22 即：⎪⎩⎪⎨⎧<->+01-2x 2x 03-2x 2x 22 解得231x 271+<<+- 所以x的取值范围为 3、化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数，结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。

不等式恒成立问题中参数范围的求解策略

条件
A1#2@
4&= <
( 1#2&>
条件 B1#2&= #2< 4&+C
其中可以判断函数 1#2&是周期为 ,4的周期
函数的条件是
C
D0设函数 1#2&的定义域为 E3任取 2(F
2,F28 G3且 2(5 2,31#2&5H (3给出下列 I
个关系式 :
#(&1#2(@ 2,&= 1#2(&J1#2,&> #,&1#2(J2,&= 1#2(&@ 1#2,&> #’&1#2(< 2,&= (1@ #2(1&#< 2(&11##22,,&&>
每一个 2都成立3其中#45 +365 +3437368
9&: #(&条件 ; 1#2&< 1#< 2&= +> 条件 ?1#4@ 2&= 1#4< 2&> 条件 A1#62@ 7&= 1#< 62< 7&> 条件 B1#2&= #2< 4&+C
其中判断函数 1#2&是偶函数的条件是
又设 25 4 1)%则它是过原点%斜率为 1的直线 9& 在同一直角坐标系下作出
它们的图像-如图 3/&依题意%半圆 8恒在直线 9上方时%只有 1: #时成立%故 1
图3

不等式恒成立求参数的取值范围

不等式恒成立求参数的取值范围武汉市第四十九中学李清华邮政编码；430080一、教学目标1、知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用2、能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力3、情感目标；优化学生的思维品质二、教学重难点1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择三、教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩固练习----学生变式探究---学生总结四、教学过程1、引人高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。

我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。

引入课题2、新课下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成）由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法解法一；分离参数由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ，又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x又因为x∈[-1，1]，所以a<1.解法二；分类讨论、解不等式（x-2）[x-(2-a)]>0当a=0时不等式恒成立当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1所以a<1时不等式恒成立解法三；构造函数求最值设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时-a2<0 不成立，舍弃；当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0a<3 不成立，舍弃；当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1综上得：a<1解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布设x2+(a-4)x+4-2a=0方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1△=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1解法五；数形结合（用动画来演示a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4分别作两函数的图象当x∈[-1，1]时，总有y=a(x-2)的图象在y=-x2+4x-4图象的上方由图象可得a<1归纳总结（由老师板书）1、如果作图较易，也可用数形结合。

不等式恒成立求参数范围问题的解法初探

摘要：已知不等式恒成立，求参数范围是近几年高考热点问题；常出现填空，选择和简答题，难度较大；为了对恒成立问题有一个全新的认识，面推进新课程标准的发展，何探求恒成立问题中参数取值范围，文对此类问题的求解作一些探讨与研究，全如本特归纳四种类型，大家参考。供关键词：等式恒成立；数范围；法不参解
１一次函数的性质３利用函数的最值（值域）或（）（）ｍ对任意ｘ１，都成立甘， ≥ｍ；（）（）（）ｍ对任意ｘ成立甘 ≥，一。２，都（简单计作： “ 大则大于最大的，则小于最小的” 小。本类问题实质上是一类求函数的最值问题，（叫分离参数法）也；分离参数法实际上是应用函数思想及不等式的有
对于一次函数ｆ（）ｘ＋ｂ ∈【ｎ有：ｘ＝ｋ，ｍ，］
，）。立§１（）０（＞恒成Ｉｍｆ＞
厂）０（＞
，
ｆ＜成甘；（０立｛恒）
将要求的参数分离出来，进而求出其取值范围，它一般适用于在给出的含有两个变量的不等式中，学生习惯把变量ｘ看成是主关知识，元（知数）而把另一个变量ａ成参数，未，看在有些问题中这样的解题过参数易于分离的＇ｇ。ＮＯ－．例４已知函数ｆ１＾（中ａｂ常量，ａＯａ）图像经：ｆ＿ａ其ｘｂｘ，为切＞，≠１的程繁琐。如果把已知取值范围的变量作为主元，把要求取值范围的变量看作参数，可简化解题过程。（主换元）则变过点Ａ１）（，）（，，３４．６Ｂ２（）１试确定ｆ）（ｘ例１：若不等式２～＞ａ１对满足一ａ１ｘ１（一）ｘ１的所有ａ都成立，求ｘ范围。的（）不等式（＋１ｆ￣ｍ在ｘ一１２若１（ｂｘ／＞（，时恒成立，数ｍ的１求实解：们可以用改变主元的办法，ａ为主变元，元不等式取值范围。我将视即将解：１ｂａ６＊＾２－ａ２＝所以ｆ）３２ｘ（）＊＿，ａ３４＝，３－ｂ＝￣＞ｂ－（－＊＾ｘ化为：（一）（ｘ１０；，＝ａ１（一）贝 — ａ１，由０ａ１２一），）（一）２１０１时，＜ｘ一＜令ｘｘ，（（）＾３在（，）２２ｘ＾，ｘ一１上单调递增且匣正，以ｆ）１ｌ＾所（＝／ｘ／ｘｘ２＋３在（ｏ，）一。１上单诃递减，ｆ）／，趋于＋时，＾３都趋于０又（＝６ｘ１５２ｘ＾，ｘ，ｆ）（趋于＋ｘ ∞。ｆ）域为［６＋。，以ｍ＝／（的值ｘ５，。）／所＜５６ ∈ （掣，３）例５（）求使不等式ａｓｘＣＳ，［７恒成立的实数ａ：１＞ｉ — ＯＸ０ｒｎ ∈ ，］的范２利用一元二次函数的判别式围。，解：于函。一。。“－ ’一卜，，然函由ｍｃ＿（，；ｏ √ｉｘ显数有２１对于一元二次函数，）ａｘｃ０Ｒ．（＝ｘ＋ｂ＋（，）有：ａ ∈ （）（）在 ∈Ｒ上恒成立铮口且Ａ＜０；１厂＞０＞０最大值、．／＞√ 。（）（）在 ∈Ｒ上恒成立甘ｎＡＡ＜０２ｆｘ＜０＜０如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：例２：若不等式一１＋（一１＋２）ａ）ｘ＞０的解集是Ｒ，ａ的范求围。解析：应用上面的结论，得保证是二次的，判别式，要想就才有但二解：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的次项系数含有参数ａ所以要讨论ａ１，一是否是０一。取值范围的变化，这样使得ｙｉｘｏｘｓ —ｃｓ的最大值取不到、，ａｎ／即（）ａｌＯ，不等式化为２０１当－＝时元＞恒成立，满足题意；

不等式恒成立求取值范围

不等式恒成立求取值范围【最新版】目录1.引言：不等式恒成立的概念和重要性2.不等式恒成立的求解方法3.求取值范围的步骤和技巧4.实际应用案例分析5.总结：不等式恒成立求取值范围的意义和应用正文1.引言不等式在数学中占据着非常重要的地位，它不仅涉及到各种数学问题的求解，还与实际生活息息相关。

在解决不等式问题时，我们经常会遇到一个关键问题，那就是如何求解不等式恒成立的问题。

本文将从不等式恒成立的概念入手，探讨如何求取值范围，并结合实际应用案例进行分析。

2.不等式恒成立的求解方法不等式恒成立，指的是对于所有的变量值，该不等式都成立。

求解不等式恒成立的问题，通常需要运用到数学中的各种不等式性质和恒等式。

这里我们简要介绍两种常用的方法：（1）利用不等式的基本性质，如加减、乘除、倒数等性质，将原不等式转化为一个容易求解的形式。

（2）利用恒等式将原不等式转化为一个恒成立的形式。

例如，对于不等式 |x| + |y| ≥ |x - y|，可以利用绝对值不等式得到 |x| + |y| ≥|x - y| 恒成立。

3.求取值范围的步骤和技巧求取值范围是解决不等式恒成立问题的关键，通常需要按照以下步骤进行：（1）分析题目给出的不等式形式，确定需要求解的变量范围。

（2）利用不等式的基本性质和恒等式，将原不等式转化为一个容易求解的形式。

（3）根据转化后的不等式，求解变量的取值范围。

（4）将求得的取值范围代入原不等式，验证不等式是否恒成立。

在求取值范围的过程中，还需要运用到一些技巧，如合理运用不等式的基本性质，灵活运用恒等式等。

4.实际应用案例分析假设我们有一个不等式：x^2 + y^2 ≥ 2x + 2y，要求求解该不等式恒成立的 x 和 y 的取值范围。

（1）利用不等式的基本性质，将原不等式转化为：(x - 1)^2 + (y - 1)^2 ≥ 2。

（2）根据转化后的不等式，求解变量的取值范围：(x - 1)^2 ≥ 0，(y - 1)^2 ≥ 0，因此，x ∈ R，y ∈ R。

数列型不等式恒成立条件下确定参数范围问题解题策略

２／ … ＞ｍ，（）＜ｍ恒成立（）＜ｍ此方法特别）ｆ／２２／… ．
于ｎ的最小值１令＿＜， Ⅱ １００ ÷ ．，１解得＞或＜＜
１一ｒ上Ｚ
适用于解厂ｎ的最值容易求出的数列不等式恒成立题型．（）例１已知数列｛满足０ Ⅱ｝Ｊ＝５／，：＝５ｎ＋＝。２，＋
解由题设０＝ｒ一＝ｏ．＝ｎｇ＝ｎｇ．上× ，。ｂｌａ口ｌａ
若ｂ＞ｂ， … 则
ｂ＋１一ｂ＝（凡＋１ｒｌ。一ｎｇ）上ｇｎｌｎ
【键词】等式恒成立问题；列；数范围问题关不数参
在高考压轴题中，与函数恒成立问题既有类似之处，有它又些差别，生容易出错，至不知所措．里通过几个例学甚这子归纳这类问题的几种常用解法和需要注意的问题．
一
的等比数列，ｂ令＝ａｌａ（）若数列｛中的每一ｎｎＥＮ＋．ｇｂ｝项总小于它后面的项，。的取值范围．求
解题技巧与方法嚣
稻啦
。
．～＿
篝童俦纛戚篆
【要】等式的恒成立问题是学生较难理解和掌握的摘不
一
参魏
７６０）４００
只需ｍ≥６．
鼷
曦
◎ 马健（肃省陇南市武都区两水中学甘

五种策略巧解不等式中恒成立问题的参数范围

二、量分离策略变变量分离策略即将参数与未知量分离于表达式的两边．
时【Ｊ・＇
由于原不等式在Ｘ∈［ｌ１一，］恒成立，故以上各情形取交集，以ａ４所＝．五、造函数策略构此种策略在综合题中很是常见．据题意设出所
周宇
（睢宁县王集中学，苏睢宁江２１０）２２０
五种策略巧解不等式中恒成立问题的参数范围
摘要：观近几年全国高考试题，解不等式中恒成纵求立问题的参数范围的题型经常出现。本文详细介绍了五种行之有效的解此类题的策略。关键词：等式恒成立问题解题策略不不等式中恒成立问题涉及一次函数、次函数的性质、二图像，透着换元、渗化归、形结合、数函数与方程等思想方法．此类问题综合性强。辑能力要求高，法灵活，点考查学生逻解重的分析问题、决问题能力．握以下几种常规策略，实战解掌在中定能收到很好的效果，面一一介绍．下
一
进行研究的方法．种方法让我们有 “ 重水复疑无路，暗花此山柳明又一村 ” 的感觉．使我们的思路清晰化、捷化，效地提可简有高解题效率．

不等式恒成立求参数范围问题的再思考

讯（下），２０１１（９）．■
高中版十。？擞－？
教
参
解法探究
＞３或＜０．． …・
、
发挥初始解法的价值
至此，学生有了想放弃的念头，因为运算已超出了学生最初接触此类问题是在学习了解一元二次不等式之后，例如，不等式Ｘ２－（ｍ＋１）ｘ＋４＞０在 ∈［０，３］上恒成他们力所能及的范围，并体会到：若孤立地从不等式的立，求ｍ的取值范围．学生独立思考后，大都想到这样的解
２０１３年１２月
解法探究
学
谋
不等式恒成立求参数范围问题的再思考
⑩浙江省绍兴市高级中学阮伟强
在近几年全国各地的高考试题中，不等式恒成立求参数范围的问题非常活跃，且常以压轴题的形式出现．随之而来的是对其解法研究的相关文章，频频见诸于报刊、
解集为
≠２｝不满足；当Ａ＞０ｔ￣，不等式的解集是
｛｝＜ — — 二 — 二＿～戥＿ △ ＞＞一ｍ＋ｌ＋Ｎ／￣－一｝，要赞使便［Ｌ０ｕ，３ｊ］ｊ是定它匕的酬子丁
集，必需满足生２
Байду номын сангаас
／
／Ｒ０ ‘
线．
线段尺的中点，即ｆＯＲ【＝ｆＯＴ１．
（２）Ｎｋ￣ｋ产一ｌ＿［１ｋ．．＝旦，于是，

不等式恒成立求参数的范围

不等式恒成立求参数的范围一、最值的直接应用例1、已知函数f(X)= (x-k)29⑴求/(x)的单调区间；⑵若对于任意的都有/求k的取值范围.例久已知函数f(x)=x + - + b(x^0)9其中a^beR.x⑴若曲线y = /(Q在点P(2,/⑵)处切线方程为＞'=3x +1,求函数/⑴的解析式;(2)讨论函数/⑴的单调性；⑶若对于任意的占訶，不等式几讥1°在刖上恒成立，求b的取值范围.例3、已知函数f(x) = (x 2-a)e\⑴若“ =3,求/W 的单调区间；⑵已知X p X 2是/(A)的两个不同的极值点， 33/(") <(e+-a 2-3a + b 恒成立，求实数的取值范围。

二、恒成立之分离常数例4.已知函数/(x) = - + lnx-l,« e R ・ x(1)若.v = fW 在P(l,儿)处的切线平行于直线y = -x + \ 间； ⑵ 若G>0,且对.2 (0,2刃时，/(A ) > 0恒成立，求实数"的取值范围.且 1召 +x 21>1^%21 ,若求函数y = /(X )的单调区Y"例5、已知函数f(x ) = e x - — -ax-i,(其中"ER,为自然对数的底数).⑴当« = 0时,求曲线y = /(劝在(0,/(0))处的切线方程；(2)当x Ml 时,若关于x 的不等式/(A ) M0恒成立，求实数Q 的取值范围.(1) 求/(x)的单调区间；(2) 求/(x)的取值范围；(3) 已知2占＞仁+ 1)川对任意"(7°)恒成立，求实数加的取值范围。

例人已知函数/(劝=匕旦.(I )若函数在区间(G4 + 】)其中">0,上存在极值，求实数&的取值范围;2(H)如果当x>\时，不等式fM>^-恒成立，求实数励取值范围；例6. 设函数/(A)=(x + l)ln(x + l) 2—1且心0)x + 1例&已知函数f(x) = x2+bx + c(b,ceR).对任意的xeR.恒有广(x)W/(x).⑴证明：当/(x)^(x + c)2;(2)若对满足题设条件的任意从6不等式f(c)-/0)WM(c2-庆)恒成立，求确最小值。

求不等式恒成立问题中参数的取值范围的两种途径

思路探寻∵sin C =sin ()A +B =sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ，∴cos A =12，∵a sin A =b sin B =c sin C，∴bc =B C =163sin B sin æèöø2π3-B =83sin æèöø2B -π6+43，∵0＜B ＜2π3，∴-π6＜2B -π6＜7π6，当2B -π6=π2，即B =π3时，bc 取最大值4，∵S △ABC =12bc sin A ≤3，∴△ABC 面积的最大值为3.解答本题，需先运用正弦定理进行边角互化，将a cos B =()2c -b cos A 等价转化为sin A cos B =(2sin C -)sin B cos A ，求得角A ，再根据正弦定理求得bc ，便可根据公式S =12ab sin C 求得三角形面积的表达式，最后根据三角函数的有界性求得最值.可见，求解与三角形有关的最值问题，关键要运用正余弦定理进行边角互化，求得角、周长、面积的表达式，然后运用基本不等式、三角函数的有界性来求得最值.一般地，可运用正弦定理来将角化为边，运用余弦定理来将边化为角.在解题的过程中，要注意挖掘一下隐含条件：（1）三角形的内角和为180o ；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3）三角形的三边、三角均为正数.这些条件都是隐含在题目当中，若没有挖掘出来，便会缺少解题的条件，得出错误的答案.（作者单位：安徽省蚌埠第二中学）在学习中，我们经常会遇到求不等式恒成立问题中参数的取值范围.此类问题一般较为复杂，通常要求根据含有参数的不等式、方程、函数求使不等式恒成立时参数的取值范围.由于这类问题涉及的知识点较多，所以其求解途径多种多样.本文结合例题，谈一谈求参数的取值范围的两种常用途径：分离参数、数形结合.一、分离参数分离参数法是求不等式恒成立问题中参数的取值范围的重要方法.其大致的解题步骤为：①对含有参数的不等式、方程、函数进行变形，使参数单独置于一侧，变量置于另一侧，如a ≥f ()x 、a ≤f ()x ；②将问题转化为函数的最值问题，如a ≥f ()x 等价于a ≥f ()x max ，a ≤f ()x 等价于a ≤f ()x min ；③根据函数的单调性求得其最值；④建立新不等式，求出参数的取值范围.例1.已知f ()x =x ln x +a x，g ()x =x -e x -1+1.若∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2恒成立，则实数a 的取值范围为______.解：由题意可知，∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2等价于f ()x 1min ≥g ()x 2max ，∵g '()x =1-ex -1，当g '()x =0时，x =1，当x 2∈()-∞,1时，g '()x >0，g ()x 单调递增；当x 2∈()1,+∞时，g '()x <0，g ()x 单调递减，∴g ()x 2max =g ()1=1，∴f ()x =x ln x +a x ≥1在x ∈éëùû12,3上恒成立，即a ≥x -x 2ln x 在x ∈éëùû12,3上恒成立，令h ()x =x -x 2ln x ，x ∈éëùû12,3，朱红玉48思路探寻∴实数a 的取值范围为a >1.在解答该题时，需首先对函数f ()x =x 3+2判断出函数的单调性，求得其最值，这样便可将问题转化为在x ∈()0,+∞上ax >e x -1恒成立.然后构造-1，画出其图象，O。

不等式恒成立问题中的参数求解技巧

不等式恒成立问题中的参数求解技巧在不等式中，有一类问题是求参数在什么范围内不等式恒成立。

恒成立条件下不等式参数的取值范围问题，涉及的知识面广，综合性强，同时数学语言抽象，如何从题目中提取可借用的知识模块往往捉摸不定，难以寻觅，是同学们学习的一个难点，同时也是高考命题中的一个热点。

其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解。

本文通过实例，从不同角度用常规方法归纳，供大家参考。

一、用一元二次方程根的判别式有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。

例1 对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

解：不妨设，其函数图象是开口向上的抛物线，为了使，只需，即，解得。

变形：若对于x∈R，不等式恒成立，求实数m的取值范围。

变形：此题需要对m的取值进行讨论，设。

①当m=0时，3>0，显然成立。

②当m>0时，则△<0。

③当m<0时，显然不等式不恒成立。

由①②③知。

关键点拨：对于有关二次不等式（或<0）的问题，可设函数，由a的符号确定其抛物线的开口方向，再根据图象与x轴的交点问题，由判别式进行解决。

例2 已知函数，在时恒有，求实数k的取值范围。

例2 解：令，则对一切恒成立，而是开口向上的抛物线。

①当图象与x轴无交点满足△<0，即，解得－2<k<1< span="">。

</k<1<>②当图象与x轴有交点，且在时，只需由①②知关键点拨：为了使在恒成立，构造一个新函数是解题的关键，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。

二、参数大于最大值或小于最小值如果能够将参数分离出来，建立起明确的参数和变量x的关系，则可以利用函数的单调性求解。

恒成立，即大于时大于函数值域的上界。

专题：不等式恒成立、能成立、恰成立问题

专题：不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用恒成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内总是成立的,例如:x ²≥0，在实数范围既x∈R 内恒成立能成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内存在值使这个代数式成立,使代数式成立的值有可能是一个,两个或是无穷多个,即个数是不定的,而在这个给定的范围内可以存在使这个代数式不成立的值,也可以不存在这样的值,例如:x+1>0在x>-2上能成立. 恰成立,也就是一个代数式在某一个给定的范围内恰好是成立的,或是说这个代数式只有在这个范围内成立,在这个范围外的值都不能使这个代数式成立,而这个代数式里面的值均能使这个代数式成立.例如:(x-1)²=0，在x=1时恰成立.可以说恰成立时恒成立的一种特例,在给定的范围内恰成立肯定是恒成立的,但是恒成立的条件中还有可能符合代数式的在给定的范围之外,即恒成立不一定包含了满足这个代数式的所有的值,但是恰成立包含了满足这个代数的值,并且给定的范围也全都满足这个代数式.例如:x+1>0在x>-5上是能成立的,在x>-1上是恰成立也是恒成立的.而在-1<x<9上是恒成立但不是恰成立.常见关键词列表如下：1、转换求函数的最值：（1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，⇔()f x 的下界大于A &（2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A类型一：一次函数类型—用一次函数的性质对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有：⎩⎨⎧<<⇔<⎩⎨⎧>>⇔>0)(0)(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立类型二：二次函数类型—用二次函数的图像设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a 。

二次不等式在给定区间恒成立的常见解法

“二次不等式在给定区间恒成立”的常见解法内江市翔龙中学朱学均“已知二次不等式在给定区间上恒成立，求其中所含参数的取值范围”，是一类较为常见的题型。

这是一类牵涉到二次函数、二次不等式、二次方程、函数最值的综合性问题，解决的切入点多、方法灵活，是一类考查学生运用所学知识解决问题，训练学生解题能力的好题型。

下面，笔者将通过对一个典型例题的解法的探讨，以飨读者。

题目：已知不等式x 2－2mx －1>0对一切13x ≤≤都成立，求参数m 的取值范围。

解法（一）：设A={}2/210x x mx --,则由条件可知[]1,3A ⊆ 2440m ∆=+{/A x x m x m ∴=><1m ∴+………………① 或3m ………………②1m <-,该不等式等价于不等式组2210100121m m m m m m m -><⎧⎧⇒⇒<⎨⎨<+<-+⎩⎩ 解3m <-,该不等式等价于不等式组2233031692m m m m m m m >⎧->⎧⎪⇒⇒∈∅∴⎨⎨<+<-+⎩⎪⎩综上所述可知:m<0 解法（二）：由条件可知，[]{}21,3/210x x mx ⊆-->，且2440m ∆=+>221031x mx ∴--=方程的两根均大于或均小于又12212101111012100(1)00x x x mx m m m m m f m =-∴--=⎧<<<⎧⎧⎪⇒⇒⇒<⎨⎨⎨--><⎩⎩⎪>⎩∴<2的两根均小于设f(x)=x -2mx-1,则有2m 2参数m 的范围为解法（三）：[]2x ≤≤∴-2mx-1>0对一切1x 3都成立.12m<x-在1,3内成立.x[][]∈∴≤≤≤≤∴∴1令g(x)=x-,x 1,3则可知:g(x)在1,3内单调递增.x1g(1)g(x)g(3) 即0x-1x2m<0 即m<0m 的范围为m<0解法（四）：[][]≤≤∴∉∴⎧⎧⎧⎪∴⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎩⎩⎪⎩∴2222设f(x)=x -2mx-1,则f(m)=-m -1<0x -2mx-1>0对一切1x 3都成立.对称轴x=m 1,3f(x)=x -2mx-1在1,3内单调递减.m<0f(1)>01-2m-1>0m<049-6m-1>0f(3)>0m<3m 的范围为:m<0解法（五）：设f(x)=x 2-2mx-1,则由x 2-2mx-1>0对一切13x ≤≤都成立可知，在[]1,3上有f(x)min >0由f(x)=(x-m)2-m 2-1可知①若m<1,则f(x)min =f(1)=1-2m-1>0 ∴m<0 ②若13m ≤≤,则f(x)min =f(m)= -m 2-1<0这与条件矛盾∴13m ≤≤不符题意③若m.>3,则f(x)min =f(3)=9-6m-1>0 ∴m<43这与m.>3矛盾 ∴m>3不符题意综上所述,m 的范围为m<0 解法（六）：由x 2-2mx-1>0可知2mx<x 2-1 x []1,3∈ 令f(x)=x 2-1,g(x)=2mx 则在[]1,3内，f(x)的图象必在g(x)的图象的上方 ∴m<0。