二次根式的运算(1)PPT课件
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二次根式的乘除法PPT课件
二次根式的乘除法PPT 课件contents •二次根式基本概念与性质•二次根式乘法运算规则•二次根式除法运算规则•乘除混合运算及简化方法•在实际问题中应用举例•错题集锦与答疑环节目录二次根式基本概念与01性质二次根式定义及表示方法定义形如$sqrt{a}$（$a geq0$）的式子叫做二次根式。
表示方法对于非负实数$a$，其算术平方根表示为$sqrt{a}$。
乘法定理$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$bgeq 0$）。
非负性$sqrt{a} geq 0$（$a geq 0$）。
除法定理$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 0$，$b > 0$）。
二次根式性质介绍例1解析例3解析例2解析计算$sqrt{8} times sqrt{2}$。
根据乘法定理，$sqrt{8} times sqrt{2} = sqrt{8 times 2} = sqrt{16} = 4$。
计算$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}}$。
根据除法定理，$frac{sqrt{20}}{sqrt{5}} = sqrt{frac{20}{5}} = sqrt{4} = 2$。
化简$sqrt{18}$。
首先将18进行质因数分解，得到$18 = 2 times 9 = 2 times 3^2$，然后根据二次根式的性质，$sqrt{18} = sqrt{2 times 3^2} = 3sqrt{2}$。
典型例题解析二次根式乘法运算规02则同类二次根式乘法法则两个同类二次根式相乘，把他们的系数相乘，根式部分不变，再根据根式的乘法法则，化简得到结果。
如：√a ×√a = a (a≥0)同类二次根式相乘，结果仍为同类二次根式。
不同类二次根式乘法法则两个不同类二次根式相乘，先把他们的系数相乘，再根据乘法公式展开，化简得到结果。
二次根式的乘除 课件1
（2） 4a b 4 a b
2 3
2
3
2 a b b
2
2a b b 2ab b
2
想一想？
(4) (9) (4) (9)
成立吗？为什么？
ab
(4) (9) 36 6
a b
(a 0, b 0)
非 负 数
例题３ 计算：
3 3 5 15 解法2.. 5 5 5 5
在二次根式的运算中， 最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式.
2 3 2 3 2 2 3 6 3 27 3 3 3 3
3
8 8 2a 4 a 2 a 2a a 2a 2a 2a
(2) 最后结果中的二次根式 要求写成最简的二次根式 的形式.
a 因为 4 b 12
课堂小结：
1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。 2. 二次根式的除法有两种常用方法： （1）利用公式： a
b = a (a ≥0，b > 0) b
（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理 化运算。 3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。
例1 : 计算 1 3 5 、 1 2、 3
(a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算 术平方根
3 5 15
1 27 9 3 27 3
练习:计算
(1) 6 7
解:
1 ( 2) 32 2
(1) 6 7 6 7 42
1 1 ( 2) 32 32 16 4 2 2
ab (1) bc
解:
2
沪科版八下18-2《二次根式的运算》ppt课件
沪科版八下18-2《二次根式的运 算》ppt课件
contents
目录
• 二次根式基本概念回顾 • 加减运算中二次根式应用 • 乘法运算中二次根式应用 • 除法运算中二次根式应用 • 复杂表达式中二次根式处理技巧 • 总结与提高：掌握核心知识点，提升解
题能力
01 二次根式基本概念回顾
二次根式定义及性质
简化规则
03
对于最简二次根式，被开方数中不含分母且不含能开得尽方的
因数或因式。
典型例题分析与解答
例题1
化简二次根式√48。
解答
√48 = √(16 * 3) = 4√3
例题2
计算(√5 + √3) * (√5 - √3)。
解答
利用平方差公式，原式= (√5)^2 - (√3)^2 = 5 - 3 = 2
二次根式除法公式
介绍二次根式除法的基本公式， 如
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}=sqrt{fra c{a}{b}}$（$b neq 0$）。
公式推导过程
详细阐述公式的推导过程，包括 分子分母同时乘以相同的二次根
式等步骤。
公式证明
通过具体例子或代数运算证明公 式的正确性和适用性。
除法运算中简化策略
有理化分母
对于分母中含有二次根式的分式，可 以采用有理化分母的方法，将其转化 为不含二次根式的分式，便于计算。
实际应用问题中加减运算
长度、面积、体积等计算
在几何问题中，经常需要计算长度、面积、体积等，这些计算往 往涉及到二次根式的加减运算。
物理问题中的运算
在物理问题中，如力学、电学等领域，也经常需要进行二次根式的 加减运算，以解决实际问题。
公式证明
contents
目录
• 二次根式基本概念回顾 • 加减运算中二次根式应用 • 乘法运算中二次根式应用 • 除法运算中二次根式应用 • 复杂表达式中二次根式处理技巧 • 总结与提高：掌握核心知识点，提升解
题能力
01 二次根式基本概念回顾
二次根式定义及性质
简化规则
03
对于最简二次根式，被开方数中不含分母且不含能开得尽方的
因数或因式。
典型例题分析与解答
例题1
化简二次根式√48。
解答
√48 = √(16 * 3) = 4√3
例题2
计算(√5 + √3) * (√5 - √3)。
解答
利用平方差公式，原式= (√5)^2 - (√3)^2 = 5 - 3 = 2
二次根式除法公式
介绍二次根式除法的基本公式， 如
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}}=sqrt{fra c{a}{b}}$（$b neq 0$）。
公式推导过程
详细阐述公式的推导过程，包括 分子分母同时乘以相同的二次根
式等步骤。
公式证明
通过具体例子或代数运算证明公 式的正确性和适用性。
除法运算中简化策略
有理化分母
对于分母中含有二次根式的分式，可 以采用有理化分母的方法，将其转化 为不含二次根式的分式，便于计算。
实际应用问题中加减运算
长度、面积、体积等计算
在几何问题中，经常需要计算长度、面积、体积等，这些计算往 往涉及到二次根式的加减运算。
物理问题中的运算
在物理问题中，如力学、电学等领域，也经常需要进行二次根式的 加减运算，以解决实际问题。
公式证明
二次根式课件ppt
计算过程。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
பைடு நூலகம்
03
二次根式的应用
求解实际问题
求解最优化问题
二次根式可以用于求解最优化问题， 例如在投资组合、生产计划等领域， 通过二次根式求解最优解，以实现最 大利润或最小成本。
求解面积和体积问题
二次根式可以用于求解一些几何图形 的面积和体积，例如在计算矩形、三 角形、球体等的面积和体积时，可以 使用二次根式进行计算。
有界性
当$a \geq 0$时，$\sqrt{a} \leq \sqrt{a + b}$（$b > 0$）。
正定性
当$a > b > 0$时，$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。
05
二次根式的综合题
与方程有关的综合题
总结词
二次根式与方程的结合，涉及解方程、方程的根、根的判别式等。
详细描述
01
02
03
性质1
二次根式被开方数必须是 非负数，否则无意义。
性质2
二次根式的被开方数中不 能含有分母，否则不能化 简。
性质3
二次根式的被开方数中不 能含有能开得尽方的因数 或因式，否则也不能化简 。
二次根式的运算
加减运算
同类二次根式可以合并， 不同类二次根式不能合并 。
乘除运算
二次根式相乘除时，只需 将被除式与除式同时平方 再约分即可。
乘法法则
$(a\sqrt{b}) \times (c\sqrt{d}) = ac\sqrt{bd}$（$a,b,c,d \geq 0$）。
除法法则
$\frac{(a\sqrt{b})}{(c\sqrt{d})} = \frac{a}{c}\sqrt{\frac{b}{d}}$（$a,b,c,d \geq 0$，$bd \neq 0$）。
《二次根式》PPT课件(第一课时)
取值范围是__3___x___0
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 a1有意义,那么A(a, a) 在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
思考题
已知 2x 1 1 2x y 3,
再 见
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
求代数式 xy的值.
解：依题意得，
2x 1 0 1- 2x 0
解得，x 1 2
y 3
xy 1 3 3 22
课堂练习
一艘轮船先向东北方向航行2小时,再向西 北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米. 1)用关于t的代数式表示船离开出发地的距离; 2)求当t=3时,船离开出发地多少千米？(精确
第二十一章二次根式
21.1 二次根式(1)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个
数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用 a (a 0)表示.
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 a1有意义,那么A(a, a) 在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
n为3，8，11，12
思考题
已知 2x 1 1 2x y 3,
再 见
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果
例1.下列各式是二次根式吗?
(1) 32 , (2) 6, (3) 9,
(4) 12 , (5) m m 0 ,
(6) xy x, y异号 , (7) a2 ,(8) 3 5.
求代数式 xy的值.
解：依题意得，
2x 1 0 1- 2x 0
解得，x 1 2
y 3
xy 1 3 3 22
课堂练习
一艘轮船先向东北方向航行2小时,再向西 北方向航行t小时.船的航速是每小时25千米. 1)用关于t的代数式表示船离开出发地的距离; 2)求当t=3时,船离开出发地多少千米？(精确
第二十一章二次根式
21.1 二次根式(1)
知识回顾
什么叫做平方根? 一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个
数叫做a的平方根.
什么叫算术平方根? 正数的正平方根和零的平方根,统称算术平
方根.
用 a (a 0)表示.
塔座
50米 ?米 a米
塔座所形成的这个直角三角形的斜边长为 ____a_2___2_5_0_0___米.
②分母中有字母时,要保证分母不为零.
15.1 二次根式 - 第1课时课件(共17张PPT)
新知探究
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点1 二次根式的概念
一起究
1.（1）2，18，（2）非负数m，p+q，t2-1的算术平方根又是怎样表示的？
2.学校要修建一个占地面积为S ㎡的圆形喷水池，它的半径应为多少米？如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a ㎡的环形绿化带，那么所成的大圆的半径应为多少米？
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.
15.1 二次根式第1课时
第十五章 二次根式
学习目标
1.了解二次根式的概念.2.能根据二次根式的意义确定被开方数中字母的取值范围.3.掌握二次根式的双重非负性及其应用.
学习重难点
掌握二次根式的概念.
难点
重点
掌握二次根式的双重非负性及其应用.
复习巩固
一个正数有两个平方根，它们互为相反数.0只有一个平方根，是0本身.负数没有平方根.正数a的算术平方根是
二次根式特征
1.外貌特征：含有“ ”.2.内在特征：被开方数3.内在特征：a可以是数，也可以是含有字母的式子.
知识点2 二次根式的几个性质
例题解析
例1 化简：
随堂练习
C
A
A
3.下列计算正确的是（ ）.
拓展提升
D
3.做一个面积为300 cm3的长方形镜框，使它长与宽的比为3：2.镜框的宽应为多少厘米？
归纳小结
二次根式
定义
性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
《二次根式》PPT(第1课时)
，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
a
表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
a
≥0.
典例精析
例3
若
a2
b 3 (c 4) 2 0，
求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
在学习中，我们会遇到这样的表达式：
问题： 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2， S
，
h
5
．
归纳总结
一般地，我们把形如
a ( a 0)
的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“
”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
（2） − 2 − 2 − 3.
解：(1)∵无论x为何实数，− 2 + 2 − 1 = − − 1
2
≤ 0，
∴当x=1时， − 2 + 2 − 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论为何实数，- 2-2-3=-(+1)2-2＜0，
∴无论 为何实数，
− 2 − 2 − 3
在实数范围内都无意义.
1 − 1;
(2ሻ 2 + 3
3
解： (1ሻ ∵ −1 ≥ 0， ∴ ≥ 1.
3
(2ሻ ∵ 2 + 3 ≥ 0， ∴ ≥ − .
2
3 ∵ − ≥ 0， ∴ ≤ 0.
(4ሻ ∵ 5 − ＞0， ∴ ＜5.
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2）
a
表示一个数或式的算术平方根，可知
二次根式的被开方数非负
二次根式的双重非负性
二次根式的值非负
a
≥0.
典例精析
例3
若
a2
b 3 (c 4) 2 0，
求a -b+c的值.
解： 由题意可知 a-2=0，b-3=0，c-4=0,
在学习中，我们会遇到这样的表达式：
问题： 这些式子有什么共同特征？
①根指数都为2;
②被开方数为非负数.
2， S
，
h
5
．
归纳总结
一般地，我们把形如
a ( a 0)
的式子叫做二
次根式. “
”称为二次根号.
注意：a可以是数，也可以是式.
①外貌特征：含有“
”
两个必备特征
②内在特征：被开方数a ≥0
典例精析
（2） − 2 − 2 − 3.
解：(1)∵无论x为何实数，− 2 + 2 − 1 = − − 1
2
≤ 0，
∴当x=1时， − 2 + 2 − 1在实数范围内有意义.
(2)∵无论为何实数，- 2-2-3=-(+1)2-2＜0，
∴无论 为何实数，
− 2 − 2 − 3
在实数范围内都无意义.
1 − 1;
(2ሻ 2 + 3
3
解： (1ሻ ∵ −1 ≥ 0， ∴ ≥ 1.
3
(2ሻ ∵ 2 + 3 ≥ 0， ∴ ≥ − .
2
3 ∵ − ≥ 0， ∴ ≤ 0.
(4ሻ ∵ 5 − ＞0， ∴ ＜5.
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3
回顾:
你会计算吗? (1) 0.4 10 (2) 0 . 03
3
有简便的方法吗?根据什么?
积和商的二次根式的性质: ab a b , (a0,b0)
a a bb
(a0,b0)
反过来:
二次根式乘除运算法则
a b a(a b o ,b 0 ),aa (a 0 ,b 0 ) bb
2020年10月2日
例3
一个正三角形路标如图所示:若它的边长为2 2 个单
位,求这个路标的面积.
A
解：如图,作AD ⊥BC于点D,则
1
BD=CD= 2 BC= 2
在直角三角形ACD中,
AD= AC2AD2
B
C
D
(22)2( 2)26
S△ABC=
1 BCAD 2
12 2
2
62
3(平方单位
答:这个路标的面积为
2020年10月2日
（2）尽量化简。
2020年10月2日
6
归纳法则
二次根式有下面运算法则
a • b a b （a ≥0 ， b≥0）
a
a
（a ≥0 ， b＞0）
b
b
2020年10月2日
7
想一想 你能用二次根式上面 运算的性质来计算吗？
(1 ) 2 6
( 2 ) 1000 0 . 1
(3) 3 2 23
( 4 ) 24 3
4
归纳1
二次根式的乘法运算法则是什么？用文字 语言怎么表达？对于运算的结果有什么要 求？
（1） 二次根式相乘：被开方数相乘， 根指数不变；
（2） 尽量化简。
2020年10月2日
5
归纳2
二次根式的除法运算法则用文字语言怎 么表达？对于运算的结果有什么要求？
（1）二次根式相除：被开方数相除， 根指数不变；
2020年10月2日
11
Байду номын сангаас
4 7
5 1
6
5
6 3105
2.7 103
2020年10月2日
12
例2 计算：
⑴ 12 5
3
9
6 ；⑵ 2 0
；
⑶
1
（精确到0.1)
2 3
1 （4） 2 2 3
（5） ( 3 3 3 ) 6 8
强调：二次根式的乘法与整式的乘法类似，当二次根式的乘法 2020年用10月乘2日法公式时，我们可以运用乘法公式进行计算。 13
2020年10月2日
1
复习归纳
二次根式的性质：
（1） ( a ) 2 a （a≥0） （2） a 2 |a|= a （a≥0）
-a （a≤0）
2020年10月2日
2
复习归纳
二次根式的性质：
（3） a b a • b（a ≥0 ， b≥0）
（4） a b
a （a ≥0 ， b＞0） b
2020年10月2日
2020年10月2日
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二次根式乘除运算法则
a b ab(ao,b0), a a(a0,b0) bb
2020年10月2日
19
布置 作业
1: 作业本（2） 2：课本P13页 作业题第1、2、 3、4、5、6。
2020年10月2日
20
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to download!
D B
E C
16
能力小测验
1 223 （精 0 .0） 确 1 到
24 927 （结4 个 果有 保
(3)解方程: 2 2x24
2020年10月2日
17
拓展练习：
先化简，再求值。
（1）已知 x 1 , y 2 ,求xy2的值.
2 1
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（2）已知 x12, y 3,求 xy 的值. x y
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14
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B
2020年10月2日
15
引申与提高：
如图，架在消防车上的云梯AB长为15m， AD：BD=1 ：0.6，云梯底 A 部离地面的距离BC为2m。 你能求出云梯的顶端离地 面的距离AE吗？
2020年10月2日
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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8
计算：
(1) 32 (2) 50
2
10
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例1 计算：
你能归纳一下二次根式 乘除法的运算步骤吗?
(1)
12 3
27 10
(2) 5.2 10 7
1.3 10 9
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二次根式乘除运算的一般步骤： 1.运用法则,化归为根号内的实数运算; 2.完成根号内相乘,相除(约分)等运算; 3.化简二次根式.