小波变换理论及应用

2011-2012 学年第一学期2011级硕士研究生考试试卷课程名称：小波变换理论及应用任课教师：考试时间：分钟考核类型：A（）闭卷考试（80%）+平时成绩（20%）；B（）闭卷考试（50%）+ 课程论文（50%）；C（√）课程论文或课程设计（70%）+平时成绩（30%）。

一、以图示的方式详细说明连续小波变换（CWT）的运算过程，分析小波变换的内涵；并阐述如何从多分辨率（MRA）的角度构造正交小波基。

（20分）二、综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，不少于3000字。

（25分）三、运用MATLAB中的小波函数和小波工具箱，分别对taobao.wav语音信号在加噪之后的taobao_noise.wav信号进行降噪处理，要求列出程序、降噪结果及降噪的理论依据。

（25分）四、平时成绩。

（30分）（一）连续小波变换（CWT ）的运算过程及内涵将平方可积空间中任意函数f （t ）在小波基下展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记CWT ）其表达式为t a b t t f a b a f W d )(*)(||1),(⎰∞+∞--=ψψ （ 1.1）其中，a ∈R 且a ≠0。

式（1.19）定义了连续小波变换，a 为尺度因子，表示与频率相关的伸缩，b 为时间平移因子。

其中)(||1)(,a b t a t b a -=ψψ为窗口函数也是小波母函数。

从式（1.1）可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行。

① 选定一个小波，并与处在分析时段部分的信号相比较。

② 计算该时刻的连续小波变换系数C 。

如图1.5所示，C 表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度。

C 愈大，表示两者的波形相似程度愈高。

小波变换系数依赖于所选择的小波。

因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析。

图1.5 计算小波变换系数示意图③ 如图1.6所示，调整参数b ，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复①～②步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间。

④ 调整参数a ，尺度伸缩，重复①～③步骤。

⑤ 重复①～④步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图1.7所示。

图1.6 不同分析时段下的信号小波变换系数计算 图1.7 不同尺度下的信号小波变换系数计算 C =0.2247小波变换的实质是用小波（微小的特定波形）与待分析信号波形分段求内积，所得的系数反映了小波与待分析信号的相似度，相似度越高则系数越高。

通过改变平移因子b 可以实现对信号时频域的分析。

通过改变尺度因子可以改变小波与待分析信号的相似度。

最后由得到的系数和所选小波的特性可以知道待分析信号的特性或是待分析信号某一时段或频段的特征。

（二）从多分辨率（MRA ）的角度构造正交小波基从数值计算数据压缩等角度，我们仍希望减小它们的冗余度，提出了寻找正交基的要求。

多分辨率的理论是指将信号分解到不同的尺度空间，实现在各个尺度上可以有粗及精地观察。

由多分辨率的思想我们可以将任意函数,,(),()j k j k d f t t ψ=<>0()f t V ∈分解为细节部分1W 和大尺度逼近部分1V ,然后将大尺度逼近部分1V 进一步分解。

如此重复就可以得到任意分辨率上的逼近部分和细节部分。

在MRA 理论中同一尺度下小波函数和尺度函数分别满足。

1212()()()Rf t k f t k dt k k δ--=-⎰ 同一尺度下小波函数,j k ψ同尺度函数,j k φ正交 ,,()()0j k j k t t dt ψφ=⎰小波函数()t ψ和尺度函数()t φ在多分辨率分析中满足方程01,0()()()()(2)n n n t h n t h n t n φφφ-==-∑11,1()()()()(2)n n nt h n t h n t n ψφφ-==-∑这两个方程就是二尺度方程。

利用二尺度方程可以构造出小波母函数，通过伸缩平移就得到整个平方可积空间的基。

正交尺度函数{()}k z t k φ∈-构造正交小波基，还有当尺度函数为Riesz 基是构造的正交小波基函数。

所以说MRA 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法提供了理论依据。

（三）小波变换理论与工程应用方面的研究进展摘要：小波变换作为一种数学理论和方法在科学技术界引起了越来越多的关注和重视。

在数学家们看来，基于小波变换的小波分析技术是泛函分析、调和分析、数值分析等半个多世纪以来发展最完美的结晶，是正在发展中的新的数学分支。

在工程应用领域，特别是在信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘测、流体力学、电磁波、CT成像、机器视觉、机械故障诊断。

关键词; 小波变换工程应用引言小波分析(wavelet)是在应用数学的基础上发展起来的一门新兴学科，近十几年来得到了飞速的发展．作为一种新的时频分析工具的小波分析，目前已成为国际上极为活跃的研究领域．从纯粹数学的角度看，小波分析是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶；从应用科学和技术科学的角度来看。

小波分析又是计算机应用，信号处理，图形分析，非线性科学和工程技术近些年来在方法上的重大突破．由于小波分析的“自适应性”和“数学显微镜”的美誉，使它与我们观察和分析问题的思路十分接近，因而被广泛应用于基础科学。

应用科学，尤其是信息科学，信号分析的方方面面.本文将介绍小波分析的基本理论，产生背景及其在一些工程方面的应用。

最后展望了小波分析应用研究的发展趋势。

1小波理论所涉及的基础数学知识:小波理论所涉及的基础数学知识包括泛函分析、傅里叶分析、信号与系统、数字信号处理等方面的内容。

在这里主要介绍泛函分析的基础知识：泛函分析是上世纪初开始发展起来的一个重要数学分支，它是以集合论为基础的现在分析的一个基本组成部分。

在泛函研究中，一个重要的基本概念是函数空间。

所谓函数空间，即由函数构成的集合。

下面列出几个简单的函数空间的定义。

1.1距离空间设X是一个非空集合，如果X中任意两个元素x与y，都对应一个实数p(x,y)而且满足:(1)非负性:p(x,y)>=0,当且仅当x=y时，p(x,y)=0。

(2)对称性：p(x,y)= p(y,x)。

(3)三角不等式: 对于任意的X中的x,y,z ，p(x,z)<=p(x,y)+p(y,z)都成立1.2线性空间设X为一非空集合，若在X中规定了线性运算——元素的加法和元素的数乘运算，并满足相应的加法或数乘的结合律及分配律，则称X为一线性空间或向量空间。

对于线性空间的任一向量我们用范数来定义其长度。

1.3平方可积空间L2(μ(X))表示X 上所有在几乎处处（almost everywhere）意义下平方可积（square-integrable）的复值的可测函数的集合。

平方可积表示该函数的绝对值的平方的积分是有限的。

1.4巴拿赫空间Banach Space巴拿赫空间是一个完备的赋范矢量空间Normed Vector Space，它是希尔伯特空间的推广。

巴拿赫空间定义为完备的线性赋范矢量空间。

即是说，它是一个实数或复数的矢量空间并且有一个完备的范数||·|| ，即其每个柯西Cauchy序列都是收敛列。

2重要的小波理论;2.1小波变换的提出傅里叶变换在平稳信号分析中可以知道信号所含有的频率信息，但是不能知道这些频率信息究竟出现在那些时间段上，可见若要提取局部时间段（或瞬间）的频域特征信息，傅里叶变换已经不再适用了。

1946年Carbor 提出了加窗的Fourier 变换。

其基本思想是取时间函21/4/2g()t t e π--= 作为窗口函数，用g()t τ-同待分析函数()f t 相乘，然后在傅里叶变换：',(,)()()()()j t f RG f t g t e dt f t g t ωωτωττ--=<∙>⎰ （2．1） ',()()()jwt jwt g t g t eg t e ωτττ--=-=- （2．2） 这一加窗变换使得我们可以分析出一个信号在任意局部范围的频率特征，这是比傅里叶变换优越之处。

这一类加窗变换Fourier 变换统称为短时傅里叶变换（Short Time Fourier Transform ，简称为STFT ）。

但是其时频窗口不随频率和时间的变化而变化，使它的灵活性与普遍性运用受到限制。

2.2小波变换基本理论为了使得短时傅里叶变换的时，频窗口均随频率的变化而变化，以实现对低频分量采用大时窗，对高频分量采用小时窗的符合自然规律的分析方法。

我们设计一组连续变化的伸缩平移基,()a t τψ，()t ψ称为连续小波基函数，来代替STFT 中的',()()jwt g t g t e ωττ-=-。

小波函数的确切定义为：设()t ψ为一平方可积函数，也即2()L R ψ∈，若傅里叶变换()ωψ满足条件：2()r d ωωωψ<∞⎰ （2．3）则()t ψ称为一个基本小波或小波母函数，并称式（2.3）为小波函数的可容许性条件。

连续小波变换：将任意平方可积空间中的f （t ）在小波基下进行展开，称这种展开为函数f （t ）的连续小波变换（Continue Wavelet Transform ，简记为CWT ）其表达式为,()(,)(),()()()f a Rt WT a f t t f t dt a τττψψ-=<>=（2．4） 由表达式可知小波变换也是类似于傅里叶变换，但小波变换与STFT 本质不同的是，小波变换是一种变分辨率的时频联合分析方法，当分析低频信号时，其时间窗很大，而当分析高频信号时，其时间窗很小。

这与实际问题中的高频信号的持续时间短、低频信号持续时间较长的自然规律相符合，这种对信号有“自适应”使得小波变换广泛的应用于时频联合分析及目标识别领域。

因为CWT 得冗余性较大计数值实现的需要,我们常采用离散型式。

对某一确定的尺度因子001,0a b >>,我们选择:相000,,,m m a a b nb a m n Z ==∈应的离散小波为/2m,n 000()m m a a x nb ψψ-=-。

对ψ和0a ,0b 做某些特殊的选择,则m,n ψ可以构成2()L R 的标准正交基。

所谓小波就是小的波形,”小”即在时频域都具有紧支集。

通常选取紧支集或近似紧支集的具有正则性的实数或复数函数作为小波母函数，以使小波母函数在时频域有较好的局部性。

“波”是指具有波动性。

小波分析优于傅里叶变换分析在于：（ａ）在时频域同时具有良好的局部性：小波的“自适应”能力正好符合低频信号变化缓慢而高频变化快的特点，特别适合处理瞬变信号。