多元函数连续性的判定
9-1,2-多元函数的概念极限和连续
P → P0
函数 f ( P ) 在点 P0 处连续。 设 P0 是函数 f ( P ) 的定义域的聚点， 的定义域的聚点，如果 f ( P ) 在点 P0 处不连续， 处不连续，则称 P0 是函数 f ( P ) 的间断 点。
故函数在(0,0)处连续.
25
例6 讨论函数
xy 2 2 x2 + y2 , x + y ≠ 0 f ( x, y) = 0, x2 + y2 = 0
在(0,0)的连续性． 的连续性． 解 取 y = kx 2 xy k kx lim 2 = lim 2 = 2 x →0 x + y 2 x→0 x + k 2 x 2 1 + k y→ 0 y = kx 极限不存在． 其值随k的不同而变化， 的不同而变化， 极限不存在． 处不连续． 故函数在(0,0)处不连续 ．
3
(3)连通，区域，有界
(1)如果 E 中的任意两点可以用完全含于 E 的折线段 连接起来， 连接起来，则称其为连通 则称其为连通的 连通的； (2)连通的开集成为区域 连通的开集成为区域(域)，连通的闭集称为闭域 连通的闭集称为闭域； 闭域； (3)无洞的连通区域称为单连通 否则为多连通 无洞的连通区域称为单连通的 单连通的， 否则为多连通的 多连通的； (4) 如果 E 含于某一个 含于某一个(有限个)(圆心在原点的)圆( 的 并集)，则称其为有界 则称其为有界的 有界的，否则称为无界 否则称为无界的 无界的。
1 x− y
y x
3) z =
6-3多元函数的连续性
在D 的边界点 P0 连续
• P0
0, 0, 使得当 PU P0 I D
时, 有 f P f P0 .
D
定理４（有界性定理）
设函数 f P在 有界闭区域 上D连续，则 在 f 上P有 界．D
即存在常数 M 0 使
f P M P D.
都存在 >0, 使得 f U P0 U P0 .
如果在区域Ｄ中每一点都连续，则称 f 在Ｄ
中连续．
４．有界闭区域上连续函数的性质
在一维空间中, 闭区间一定是有界的. 在空间 Rn (n 2) 中, 闭区域不一定有界.
一元连续函数在闭区间上的性质, 推 广到多元函数中应是连续函数在有界闭区 域上的性质.
(x, y)(0, 0) xy
(x,y)(0, 0) xy( xy11)
xy11 lim ( xy11)( xy11)
) xy
(x,y)(0, 0) xy( xy11)
lim
1 1
(x,y)(0, 0) xy11 2
例
求函数 z xy 的间断点. x y
r 0
x0 y0
x2 y2
故函数在点(0, 0)处连续.
例 讨论函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
解 取 y kx
lim
x0
x
2
xy
y
2
y0
lim
x0
x2
kx 2 k2
x2
多元函数的连续性与可微性
多元函数的连续性与可微性多元函数的连续性与可微性是微积分的重要概念。
在解析几何中，我们经常需要研究多元函数的性质，而连续性与可微性是我们理解和分析多元函数的基础。
在本文中，我将讨论多元函数的连续性与可微性的概念、定义以及它们在实际问题中的应用。
首先，我们来定义多元函数的连续性。
假设有一个定义在某个区域D上的多元函数f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量。
我们称函数f在某点(a1, a2, ..., an)处连续，如果当自变量x1, x2, ..., xn逐渐接近(a1, a2, ..., an)时，函数值f(x1, x2, ..., xn)也逐渐接近f(a1, a2, ..., an)。
用数学语言表达，即：lim┬(x→a) f(x) = f(a)其中，lim表示极限的概念。
如果函数f在集合D的每个点都连续，我们称函数f在D上连续。
那么，多元函数的可微性又是什么意思呢？我们称多元函数f(x1,x2, ..., xn)在某点(a1, a2, ..., an)处可微，如果该函数在该点附近的某个区域内有一个线性逼近函数。
这个线性逼近函数被称为多元函数的导数。
用数学语言表达，即：f(x1, x2, ..., xn) ≈ f(a1, a2, ..., an) + ∑┬(i=1)ⁿ ∂f/∂xi (a1, a2, ..., an)(xi - ai)其中，∂f/∂xi表示函数f对自变量xi的偏导数，xi - ai表示自变量与其对应的变化量。
连续性与可微性是密切相关的，一般来说，可微性是连续性的强化形式。
根据数学定义，若一个函数在某点可微，那么它在该点也是连续的。
而连续函数并不一定可微。
多元函数的连续性与可微性在数学中具有广泛的应用。
例如，在物理学中，我们经常需要利用多元函数来描述物体的运动轨迹、能量分布等。
通过研究函数的连续性，我们可以了解物体在不同时刻的位置、速度以及加速度等信息。
多元函数连续,可导,可微之间的关系
多元函数连续,可导,可微之间的关系
函数在数学研究中有重要的作用，是数学的基础，也是理解数学模型的关键。
本文讨论的是多元函数的连续性、可导性和可微性之间的关系。
首先，要弄清楚什么是多元函数。
多元函数是关于多个变量的函数，变量可以是实数或者复数。
例如，函数f(x,y)=x2+y2是一个多元函数，它有两个变量：x和y。
其次，多元函数的连续性是指函数值对于变量的任意改变都没有突然变化的性质。
函数的连续性可以用专业术语称为可接受范围内的可极限性。
任意一个连续函数，其可极限性可以由Rolle定理和哥廷尔不等式来表示。
第三，多元函数的可导性是指函数对变量的改变可以产生新的函数值，该新函数值会受到多个变量变化的影响。
对于可导函数，可以利用微积分来计算其变化，这是一种求解多元函数的重要方法。
最后，多元函数的可微性是指函数的变化率可以用一阶导数或二阶导数来表示。
通过求解多元函数的一阶导数和二阶导数，可以分析函数的变化规律，并进行灵活的应用。
综上所述，多元函数连续、可导、可微之间存在着密切的联系，都是求解多元函数的关键。
可连续性具有可接受范围内的可极限性，可导性要求函数对变量改变可以产生新函数值，可微性则需要求解多元函数的一阶导数和二阶导数。
因此，只有当多元函数具备这三项基本性质时，才能够分析函数的变化规律，并进行有效的求解。
以上就是本文讨论的多元函数连续、可导、可微之间关系的内容，从而更好地了解多元函数的概念及其特征。
8.2 多元函数的极限与连续
13
8.2
多元函数的极限与连续
x2 x+ y
3− x + y +9 （3） lim x→0 x2 + y2
2 2 y→0
1 （4） lim(1 + ) x →∞ x y →a
1 =− . 解： 3）原式 = lim 2 （ x→0 2 2 2 6 ( x + y )(3 + x + y + 9) y→0
9
8.2
多元函数的极限与连续
若在开区域（或闭区域） D 内某些孤立点，或者沿 D 内 若在开区域（或闭区域） 内某些孤立点， 某些曲线，函数没有定义，但在 D 内其余部分， f ( x , y ) 都 某些曲线，函数没有定义， 内其余部分， 部分 有定义， 有定义，则这些孤立点或这些曲线上的点都是函数 f ( x , y ) 的间断点。 的间断点。
证
y = kx 3 , 取
x3 y x 3 ⋅ kx 3 k lim 6 = lim 6 , = 2 x →0 x + y 2 x →0 x + k 2 x 6 1+ k y→ 0 y = kx 3
的不同而变化， 其值随 k 的不同而变化， 故极限不存在． 故极限不存在．
关于二元函数的极限概念， 关于二元函数的极限概念，可相应地推广到 n 元函数
2．函数 f ( x, y) 在区域 D 上的连续性
如果函数 上任意一点都连续， 如果函数 z = f ( x , y ) 在区域 D 上任意一点都连续，则称
f ( x , y ) 在区域 D 上连续。 上连续。
二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 二元连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面。 连续函数的图形是一个没有任何孔隙和裂缝的曲面
多元函数判断连续
多元函数判断连续多元函数的连续性是指函数在定义域上的变量同时变化时，函数值的变化足够小而不发生突变的性质。
换句话说，如果一个多元函数在某点的函数值与该点处的各个自变量的取值无关，那么我们可以说该函数在该点连续。
对于多元函数f(某₁,某₂,...,某_n)，我们可以根据函数表达式的性质来判断其连续性。
以下是一些常用的方法：1.利用极限的性质进行判断：我们可以通过计算函数在某点的极限是否存在来判断函数在该点是否连续。
具体操作是将该点的自变量值代入函数表达式，然后计算函数在该点的极限。
如果极限存在且与该点函数值相等，那么该函数在该点连续。
2.利用分量函数进行判断：对于多元函数f(某₁,某₂,...,某_n)，我们可以将其拆分为n个分量函数f₁(某₁),f₂(某₂),...,f_n(某_n)。
然后分别对每个分量函数进行判断连续性。
如果每个分量函数在对应的自变量上都连续，那么原函数也是连续的。
3.利用复合函数连续性的性质进行判断：如果一个多元函数是由多个连续函数相互嵌套而成的，那么可以根据复合函数连续性的性质判断它的连续性。
具体方法是先判断每个嵌套的函数是否连续，然后利用复合函数连续性的性质来得出原函数的连续性。
需要注意的是，在判断多元函数的连续性时，我们需要保证函数的定义域是连续的。
如果函数在某些点上的定义域不连续，那么即使函数在每个连续的区间上都是连续的，我们也不能说该函数在整个定义域上是连续的。
综上所述，判断多元函数的连续性需要根据函数表达式的性质、极限的存在性、分量函数的连续性以及复合函数连续性的性质等进行综合考虑。
通过合理的运用这些方法，我们可以判断一个多元函数的连续性。
多元函数判断连续
多元函数判断连续多元函数的连续性是指函数在定义域内，当自变量改变一个很小的量时，函数值的变化也很小。
在一元函数中，连续性可以通过一元函数的极限来判断。
而在多元函数中，连续性的判断需要通过多元函数的极限来进行。
首先，考虑多元函数的极限。
对于一个二元函数，其极限的定义如下：设函数$f(x,y)$在平面上的一些点$(x_0,y_0)$的一个去心邻域内有定义，如果存在一个常数$L$使得对于任意给定的正数$\varepsilon$，总存在正数$\delta$，使得当点$(x,y)$满足$0 < \sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} < \delta$时，有$，f(x,y)-L， < \varepsilon$成立，则称常数$L$为函数$f(x,y)$当$(x,y)$趋于$(x_0,y_0)$时的极限，记作$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = L$。
有了多元函数的极限的定义，我们可以使用该定义进行多元函数连续性的判断。
多元函数在特定点连续的条件是：当$x$和$y$都趋于$a$时，$f(x,y)$以$L$为极限。
即$\lim\limits_{(x,y)\to(a,a)} f(x,y) = L$。
根据多元函数的极限的定义，我们可以得到多元函数连续的充要条件如下：1.二元函数在点$(x_0,y_0)$可导，则二元函数在点$(x_0,y_0)$连续。
2.二元函数在点$(x_0,y_0)$连续，且对于其定义域内的任意一条曲线$C$，若该曲线上的点$(x,y)$趋于点$(x_0,y_0)$时，函数值$f(x,y)$趋于一些极限$L$，则函数在点$(x_0,y_0)$连续。
3. 二元函数在点$(x_0,y_0)$连续，且$(x,y)$以及$(x',y')$都在定义域内。
如果$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = L$，$\lim\limits_{(x',y')\to(x_0,y_0)} f(x',y') = L'$，则$\lim\limits_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)+f(x',y')=L+L'$。
二元函数与多元函数的连续性与一致连续性研究
二元函数与多元函数的连续性与一致连续性研究连续性是数学分析中一个重要的概念，它描述了函数图像在数轴上的连贯性。
在数学中，我们常常研究一元函数的连续性，即定义域和函数值都在实数集上进行的函数。
然而，在现实生活中，我们经常需要考虑多元函数，即定义域和函数值都在多维空间中的函数。
因此，了解二元函数和多元函数的连续性以及一致连续性非常重要。
1. 二元函数的连续性考虑一个定义域为二维平面上的函数f(x,y)，我们可以将其表示为z=f(x,y)。
如果对于每一个点(x₀,y₀)，只要(x,y)足够靠近(x₀,y₀)，那么f(x,y)就会足够靠近f(x₀,y₀)。
换句话说，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当||(x,y)-(x₀,y₀)||<δ时，有|f(x,y)-f(x₀,y₀)|<ε成立。
这就是二元函数在某点连续的定义。
2. 多元函数的连续性对于一个定义域为n维空间上的函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，我们可以将其表示为y=f(x₁,x₂,...,xₙ)。
类似于二元函数的定义，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当||(x₁,x₂,...,xₙ)-(x₁₀,x₂₀,...,xₙ₀)||<δ时，有|f(x₁,x₂,...,xₙ)-f(x₁₀,x₂₀,...,xₙ₀)|<ε成立。
这就是多元函数在某点连续的定义。
3. 二元函数的一致连续性如果对于二元函数f(x,y)，在定义域上的任意两个点(x₁,y₁)和(x₂,y₂)，只要||(x₁,y₁)-(x₂,y₂)||足够小，有|f(x₁,y₁)-f(x₂,y₂)|足够小，那么称f(x,y)在定义域上一致连续。
换句话说，对于任意给定的ε>0，存在δ>0，当||(x₁,y₁)-(x₂,y₂)||<δ时，有|f(x₁,y₁)-f(x₂,y₂)|<ε对于定义域上的所有点都成立。
4. 多元函数的一致连续性类似于二元函数的定义，对于多元函数f(x₁,x₂,...,xₙ)，如果在定义域上的任意两个点(x₁₁,x₂₁,...,xₙ₁)和(x₁₂,x₂₂,...,xₙ₂)，只要||(x₁₁,x₂₁,...,xₙ₁)-(x₁₂,x₂₂,...,xₙ₂)||足够小，有|f(x₁₁,x₂₁,...,xₙ₁)-f(x₁₂,x₂₂,...,xₙ₂)|足够小，那么称f(x₁,x₂,...,xₙ)在定义域上一致连续。
多元函数的极限和连续性
多元函数的极限和连续性在高等数学中，多元函数的极限和连续性是比较基础的概念，对于学习后续的微积分、偏微分方程等内容都有重要的意义，因此本文将从多元函数极限和连续性的定义、求解及其应用等方面进行探讨和阐述。
一、多元函数的极限和连续性的定义在一元函数中，极限的概念是比较容易理解和推广的，而在多元函数中，由于独立变量的个数增加，问题变得更加复杂。
因此，我们需要重新定义多元函数的极限。
1. 多元函数的极限定义设$f(\boldsymbol{x})$是定义在某点$\boldsymbol{x_0}=(x_0,y_0, z_0, ...)$的某一邻域内的多元函数，$\boldsymbol{\alpha}=(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$是任一常数向量，那么当对于任意$\epsilon>0$，都存在$\delta>0$，使得当$0<\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{x_0}\Vert<\delta$时，都有$\vert f(\boldsymbol{x})-f(\boldsymbol{x_0}+\boldsymbol{\alpha})\vert<\epsilon$成立，则称$\boldsymbol{x_0}$是$f(\boldsymbol{x})$的一个极限点，记作$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})=f(\boldsymbol{x_0}+\boldsym bol{\alpha})$。
可以看出，多元函数的极限与一元函数的极限相似，但是需要考虑的变量更多。
在多元函数中，只有当$\boldsymbol{x}$从任意方向趋近于$\boldsymbol{x_0}$时，$\lim\limits_{\boldsymbol{x}\rightarrow\boldsymbol{x_0}}f(\boldsymbol{x})$才存在。
多元函数
多元函数1.多元函数的极限设函数()y x f ,的定义域为D ,点()000,y x P 是()y x f ,的某个定义域的内点或边界点.如果存在常数A ,使得对于任意给定的正数ε (不论它多么小),总存在正数δ,只要D 内的点()y x P ,适合不等式()()δ<-+-=<202000y y x x PP ,对应的函数值()y x f ,就都满足不等式()ε<-A y x f ,,那么就称常数A 为函数()y x f ,当()()00,,y x y x →时的极限,记作()()()A y x f y x y x =→,lim00,,或()A y x f y y x x =→→,lim 00,也可记作()()0,→→ρA y x f ,这里0PP =ρ.2.多元函数的连续性设函数()y x f ,在区域或闭区域D 内有定义, ()000,y x P 是D 的内点或边界点且D P ∈0.如果()()()()00,,,,lim00y x f y x f y x y x =→,则称函数()y x f ,在点()000,y x P 连续.3.多元函数的最大值和最小值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数()P f ,在该区域上至少取得它的最大值和最小值各一次.这就是说,在D 上至少有一点1P 及一点2P ,使得()1Pf 为最大值而()2P f 为最小值: ()()()()D P P f P f P f ∈≤≤12.4.多元函数的介值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数()P f ,如果取得两个不同的函数值,则它在该区域上取得介于这两个值之间的任何值至少一次.特殊地,如果μ是在函数的最小值m 和最大值M 之间的一个数,则在D 上至少有一点Q ,使得()μ=Q f 5.偏导数的求法 求xz∂∂时,只要把y 看作常量而对x 求导数; 求yz∂∂时,只要把x 看作常量而对y 求导数. 6.高阶偏导数(1) ()y x f ,对x 的二阶偏导数:()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x z x z y x f xz xx xx ,,22或(2) ()y x f ,对y x ,的二阶混合偏导数: ()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂x z y z y x f y x z xy xy ,,2或(3) ()y x f ,对x y ,的二阶混合偏导数: ()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂y z x z y x f x y z yx yx ,,2或 (4) ()y x f ,对y 的二阶偏导数: ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂y z y z y x f y z yy yy ,,22或 定理 如果函数()y x f z ,=的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z ∂∂∂2在区域内连续,那么在该区域D 内这两个二阶混合偏导数必相等. 7.全微分如果函数()y x f z ,=的偏导数yzx z ∂∂∂∂,在点()y x ,连续,则函数在该点的全微分存在.并且dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=.[偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件] 应用:求近似值()()()()y y x f x y x f y x f y y x x f y x ∆+∆+≈∆+∆+,,,,. 8.多元复合函数的求导法则情形1.如果函数()()x v x u φϕ==,都在点x 可导,函数()v u f z ,=在对应点()v u ,具有连续偏导数,则复合函数()()[]x x f z φϕ,=在点x 可导,且有dxdvv z dx du u z dx dz ∂∂+∂∂=. 情形 2.如果函数()()y x v y x u ,,,φϕ==都在点()y x ,具有对x 及对y 的偏导数,函数()v u f z ,=在对应点()v u ,具有连续偏导数,则复合函数()()[]y x y x f z ,,,φϕ=在点()y x ,的两个偏导数存在,且有.;yv v z y u u z y z x v v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 情形3.设()()()y v y x u v u f z φϕ===,,,,复合成二元函数()()[]y y x f z φϕ,,=,那么在与情形2类似的条件下,z 关于x 和y 的偏导数均存在,且有.;dydv v z y u u z y z x u u z x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂∂∂=∂∂ 9.隐函数的求导公式隐函数存在定理 1 设函数()y x F ,在点()00,y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数,且()(),0,,0,0000≠=y x F y x F y 则方程()0,=y x F 在点()00,y x 的某一邻域内能唯一确定一个可导且具有连续导数的函数()x f y =,它满足条件()00x f y =,且有yx F F dx dy-= 隐函数存在定理2设函数()z y x F ,,在点()000,,z y x P 的某一邻域内具有连续的偏导数,且()(),0,,,0,,000000≠=z y x F z y x F z 则方程()0,,=z y x F 在点()000,,z y x 的某一邻域内能唯一确定一个具有连续偏导数的函数()y x f z ,=,它满足条件()000,y x f z =,且有.,zy z x F F y z F F x z-=∂∂-=∂∂ 10.空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程为()()()t z t y t x ωφϕ===,,切线方程:()()()000000'''t z z t y y t x x ωφϕ-=-=- 法平面方程:()()()()()()0'''000000=-+-+-z z t y y t x x t ωφϕ 另:如果空间曲线Γ的参数方程为()()x z x y φϕ==,切线方程:()()0000''1x z z x y y x x φϕ-=-=- 法平面方程: ()()()()()0''00000=-+-+-z z x y y x x x φϕ 11.曲面的切平面与法线 (1).曲线方程()0,,=z y x F切平面方程:()()()()()()0,,,,,,000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 法线方程:()()()000000000000,,,,,,z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=- (2).曲线方程()y x f z ,=切平面方程: ()()()()0000000,,y y y x f x x y x f z z y x -+-=- 法线方程:()()1,,0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x 12.多元函数的极值及最值a.多元函数的极值存在的条件(1).必要条件:设函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微分,且在点()00,y x 处有极值,则在该点的偏导数必然为零:()().0,,0,0000==y x f y x f y x(2).充分条件:设函数()y x f z ,=在点()00,y x 的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数,又()()0,,0,0000==y x f y x f y x ,记()()(),,,,,,000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===则()y x f ,在点()00,y x 处是否取得极值的条件如下:(1) 02>-B AC 时具有极值,且当0<A 时有极大值, 当0>A 时有极小值; (2) 02<-B AC 时没有极值;(3) 02=-B AC 时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论. b.函数的极值求法:一. 解方程组()(),0,,0,==y x f y x f y x 求得一切实数解,即可求得一切驻点. 二. 对于每个驻点()00,y x ,求出二阶偏导数的值.,C B A 和三. 定出2B AC -的符号,按充分条件的结论判定()00,y x f 是不是极值,是极大值还是极小值.c.函数的最值求法:将函数()y x f ,在D 内的所有驻点处的函数值及在D 的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数()y x f ,的最大值(最小值)一定在区域D 的内部取得,且函数在D 内只有一个驻点,那么据此就可以肯定该驻点处的函数值就是函数()y x f ,在D 上的最大值(最小值). d.条件极值拉格郎日乘数法:令()()(),,,,y x y x f y x F λϕ+=则()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0,0,,0,,y x y x y x f y x y x f y y x x ϕλϕλϕ 由方程组解出,,λ及y x 则其中y x ,就是函数()y x f ,在约束条件()0,=y x ϕ下的可能极值点的坐标.(做多元函数的题目要灵活运用公式) 执笔：缪张华。
72多元函数的极限与连续性
例 证明：极限 lim xy +1 −1 不存在。 ( x, y)→(0,0) x + y
( ) 分析： ∵ xy +1 −1 =
xy
x + y ( x + y) xy +1 +1
证： P( x, y)沿任意直线 y = kx(k ≠ −1) 趋于
(0,0) 时，
则称 A 为函数 f ( x, y) 当 ( x, y) → ( x0 , y0 ) 时的
极限， 记为
lim f ( x, y) = A
( x, y )→( x0 , y0 )
或
f ( x, y) → A (( x, y) → ( x0 , y0 )),
也可记为
lim f (P) = A 或
P → P0
是其聚点且 P0 ∈ D,
如果 lim P → P0
f (P) =
f (P0 ),
则称 n元函数 f (P)在 点 P0处连续。
设 P0 是函数 f (P) 的定义域的聚点，如果
f (P)在点 P0 处不连续，则称 P0是函数 f (P)的
间断点。
若函数 f (P) 在 D内每一点都连续， 则称
函数 f (P)在 D上连续。
1 在(0,0)的连续性．
0 解 lim f ( x, y) =
-1 ( x, y)→(0,0)
⎛
(
x
,
lim
y )→( 0,0 )
⎜⎝
x sin
1 y
+
y sin
1 ⎞1 0x.5⎟⎠
-1
=-(0x.,5yl)i→m(0,0)
浅析多元函数一致连续性的判定定理
浅析多元函数一致连续性的判定定理多元函数的一致连续性是微积分中一个重要的内容，它极大地拓宽了函数的表达范围及其应用。
下面我们来分析多元函数一致性的原理及其判定定理。
一致性的定义是，当代表函数的多元函数在每个域上都是连续函数时，就称此函数是一致性的。
比如在实数域上，当 $f(x_1,x_2,...,x_n)$ 函数在每一个自变量上都是连续函数时，函数就具有一致连续性.多元函数一致连续性的判定定理是：如果函数 f 在多元空间的每一点处都是连续的，即$f(x_1,x_2,...,x_n)$ 的双分派在点 (x1,x2,...,xn) 周围每一点处都连续，那么函数f 就具有一致连续性。
它的理论特征就是：n个变量x1,x2,...,xn中，任选其一个变量xi，其他变量取任一定值 $\overset{\widetilde{}}{x_i}$使得x1,x2,...,xi-1,xi+1,...,xn构成多元函数f (x1,x2,...,xi-1,xi+1,...,xn) 式，这时再证明函数f (x1,x2,...,xi-1,xi+1,...,xn) 对变量xi有着良好的利处，也就是说它在变量-$xi$的每一点处都是连续的，也就是说，变量xi周围的点构成的分支的极限一定等于f (x1,x2,...,xn).它的特殊情况就是：n 个变量x1,x2,...,xn 中，任选其一个变量xi，其余变量取任一定值 $\overset{\widetilde{}}{x_i}$, 如果函数f (x1,x2,...,xi-1,xi+1,...,xn) 对变量xi有着良好的利处，也就是此函数在变量xi的每一点处仍然是连续的，那么此函数就具有一致连续性。
总之，多元函数一致连续性是一个重要的内容，它有两个特征，一是多元函数在每个域上都是连续函数；二是有至少一个变量，当该变量在变化过程中，函数仍然连续。
多元函数一致性的判定定理具有重要的理论意义，也提高了多元函数的实际应用，有着重大的现实意义。
多元函数可导与可微与连续的关系
多元函数可导与可微与连续的关系首先，我们来定义这三个概念：1.连续：一个函数在一些固定点x=a处连续，或者在一些区间(a,b)内连续，是指当x接近a时，f(x)也会接近f(a)。
直观上来说，就是函数在这个点或这个区间上是没有跳跃的，没有突变的。
2. 可导：对于一个一元函数，在一些固定点 x=a 处可导，是指存在一个极限，即 f'(a)=lim(f(x)-f(a))/(x-a) 存在。
这个极限表示了函数在这个点处的斜率，也就是切线的斜率。
3. 可微：对于多元函数，函数 f(x1,x2,...,xn) 在一些点(a1,a2,...,an) 上可微，是指存在一个线性函数g(x1,x2,...,xn)=f(a1,a2,...,an)+∑(∂f/∂xi)(xi-ai)（i=1,2,...,n），其中 (∂f/∂xi) 表示函数 f 对于变量 xi 的偏导数。
这个线性函数g(x1,x2,...,xn) 做为原函数 f 在点 (a1,a2,...,an) 处的近似，称为函数 f 在该点处的全微分。
接下来，我们来探讨这三个概念之间的关系。
首先，连续与可导的关系：对于一个一元函数，如果在一些点x=a处可导，那么在该点处一定是连续的。
因为函数在可导的点处，其极限值存在，这意味着函数在该点的两侧都趋于同一个值，从而满足了连续的定义。
在多元函数的情况下，连续与可导的关系仍然成立。
如果一个多元函数在一些点处可导，那么在该点处一定是连续的。
这是因为多元函数的可导性可以通过各个偏导数的存在和连续性来判断。
假设函数 f 在点(a1,a2,...,an) 的每个偏导数 (∂f/∂xi) 都存在且在该点处连续，那么根据一元函数连续与可导的关系，可以得知每个偏导数在该点处都是连续的，因此函数 f 在该点也是连续的。
其次，可导与可微的关系：对于一元函数，在一些点x=a处可导，那么在该点处一定是可微的。
可微性是可导性的更进一步的要求，可微性要求函数在特定点处的全微分在该点附近近似于函数本身。
多元函数的连续性判定
多元函数的连续性判定连续性是数学中一个重要的概念，尤其在多元函数中的应用更为广泛。
本文将探讨多元函数连续性的判定方法，并给出一些实际问题的例子。
一、多元函数的定义在介绍多元函数的连续性判定之前，我们首先需要了解多元函数的定义。
多元函数是指依赖于多个自变量，并将其映射到一个或多个因变量的函数。
一般来说，多元函数可以表示为f(x1, x2, ..., xn)，其中x1, x2, ..., xn为自变量，f为因变量。
二、连续函数的定义在单变量函数中，连续性的定义是：如果一个函数在某一点x=a的附近，当自变量x趋近于a时，函数值f(x)也趋近于f(a)，那么该函数在点x=a处连续。
推广到多元函数，连续性的定义如下：如果一个多元函数在某一点(x1=a1, x2=a2, ..., xn=an)的附近，当自变量(x1, x2, ..., xn)趋近于(a1, a2, ..., an)时，函数值f(x1, x2, ..., xn)也趋近于f(a1, a2, ..., an)，那么该函数在点(x1=a1, x2=a2, ..., xn=an)处连续。
三、多元函数连续性判定方法在单变量函数中，我们可以通过观察函数的图像、计算极限、使用导数等方法判断函数的连续性。
在多元函数中，由于变量的增多，图像难以绘制，计算也更为复杂，因此我们主要依靠极限的性质来判定多元函数的连续性。
1. 极限存在首先，我们需要判断多元函数在某一点是否存在极限。
对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，如果(x1, x2, ..., xn)趋近于(a1, a2, ..., an)时，f(x1,x2, ..., xn)趋近于L，则我们可以说f(x1, x2, ..., xn)在点(x1=a1, x2=a2, ..., xn=an)处存在极限L。
2. 极限与函数值相等如果多元函数在某一点的极限存在，并且该极限与函数在该点的取值相等，即lim f(x1, x2, ..., xn) = f(a1, a2, ..., an)，那么我们可以说该函数在点(x1=a1, x2=a2, ..., xn=an)处连续。
多元函数的极限与连续
可以将多元函数的极限与连续性应用于实际问题中，如 物理、工程、经济等领域的问题，以促进数学与实际应 用的结合。
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稳定性分析
在研究微分方程的解的稳定性时，需要用到多元函数的极限和连续 性，例如在分析解的收敛性和发散性时。
解的存在性和唯一性
在证明微分方程的解的存在性和唯一性时，需要用到多元函数的极 限和连续性。
在实变函数中的应用
测度论
在实变函数中，测度论是一个重 要的分支，而测度的定义和性质 与多元函数的极限和连续性紧密 相关。
如果函数在某点的极限值等于该点的 函数值，则称函数在该点连续。
02
多元函数的极限
极限的定义
极限的直观定义
当自变量趋近某一值时，函数值趋近于某一确定的数。
极限的精确定义
如果对于任意给定的正数$varepsilon$，存在一个正数$delta$，使得当$||xa||<delta$时，有$|f(x)-L|<varepsilon$，则称$f(x)$在点$a$处的极限为$L$。
多元函数的基本概念
多元函数
极限
连续
设$D$是$n$维欧几里得空间的一个 子集，对于每一个$x in D$，都对应 一个实数$f(x)$，则称$f$是一个定义 在$D$上的多元函数。
设函数$f(x)$在点$x_0$的某去心邻域内有定义， 如果存在一个确定的常数A，对于任意给定的 正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得 当$x$满足$0 < |x - x_0| < δ$时，对应的函数 值$f(x)$都满足$|f(x) - A| < ε$，那么常数A就 叫做函数$f(x)$在点$x_0$处的极限。
多元函数连续,可导,可微之间的关系
多元函数连续,可导,可微之间的关系在数学领域，多元函数的性质是一个重要而有趣的课题，而这其中最重要的特性是连续性、可导性和可微性。
这三种性质之间的关系及其研究，对于研究许多数学问题有重要意义。
第一，多元函数连续性是指多元函数在其定义域上存在连续地特性，即任意一点受到极小的影响都不会使函数的结果发生变化。
在多维空间中，任意一点处的值受到其邻域的影响，函数的值在任意一点上会存在一定的平滑度。
因此，可以将多元函数理解为一种平滑的曲线，在其定义域上的任意一点受到的影响都会使函数的值保持连续不变。
第二，多元函数可导性是指多元函数在每个点处都可以导出一个方向导数。
换言之，该多元函数可以从每个点处可以唯一确定一个方向导数，从而可以求得函数在该点处的割线(tangent line)。
在多元空间中，可以求得更多的方向导数，从而得到函数的割平面(tangent plane)。
只有当函数在每个点处都可导，也就是说函数在每个点处都可以导出一个方向导数，函数才能够可导。
第三，多元函数可微性是指多元函数存在微分性，即该函数可以求得偏导数，从而可以求得函数的极值点。
可微性是判断函数结构及其性质最重要的条件之一。
只有当函数在所有点处皆可微，该函数才能满足可微条件。
从上面我们可以知道，多元函数的连续性、可导性以及可微性之间有着密切的联系。
连续性是必要的前提，因为只有多元函数在任意一点都具有一定的平滑度，才能够满足可导性的条件。
而可导性是基础，因为多元函数只有在任意一点都可以导出方向导数，才能进而满足可微性的条件。
另外，可微性也是必须的，因为只有当多元函数在任意一点都具有微分性，才能够求出函数的极值点，进而用来研究诸如最优化、非线性方程等问题。
因此，多元函数的连续性、可导性以及可微性之间是相互作用的，这三种性质之间的相互关系及其研究，在多元函数的研究中是重要的。
未来，将会有大量的研究工作去探究多元函数连续，可导和可微之间的关系，以此为基础，去研究多元函数，从而为其他数学问题奠定基础。
多元函数连续的条件
多元函数连续的条件现实世界中，有些经济活动、生产过程或自然现象之所以需要计量，是因为其规模很大，涉及到多个变量，而且这些变量之间存在着密切的关系。
对于这种现象的研究就称之为多元函数关系。
如果我们需要用多元函数来描述现象，那么，至少应该满足以下条件： 1.每个单元中所含的各个变量都要满足对应关系； 2.每个单元中的各个变量取值应该互不相同； 3.每个单元中的各个变量取值之间应该有必然的联系。
一、在指定的区间，多个变量的真值有可能会落在两个或多个不同的值域中，这时需要将各个单元连接起来，得到一个区间。
连接的方法有好几种，如果要求简单，那么采用平移的方法。
如果对各个单元的连接条件要求较高，还可以采用新旧单元交替使用的方法。
二、在指定的区间内，当存在两个或多个不同的变量，其取值落在同一个区间时，也需要将它们连接起来，得到一个区间。
三、将区间中所有变量的取值连接起来，便形成了关于一个区间的函数。
在上述的基础上，就可以通过判断函数的单调性、最大值和最小值等特征来刻画函数。
注意，这里的多个变量既包括函数自身，也包括自变量和因变量。
此外，如果想对函数进行单调性分析，还必须明确是哪些变量落在哪个区间，哪些变量在这个区间外，从而使函数的分析更为简化。
4。
一般来说，单调函数的图像在闭区间内总是开放的。
但也存在例外，如果存在闭区间f，使得f的任何邻域中都包含开区间，那么f就称为开区间的凸函数，记为con1，这样的函数在图像上总是以折线的形式表示出来。
综上所述，多元函数的连续性要求是针对整个区间而言的。
下面再看一下有关多元函数的连续性要求的应用。
例1：已知某国的经济增长率。
现要求推算在什么年份经济增长率最大，在什么年份经济增长率最小。
解：多元函数中的第一变量代表gdp，可以用y表示。
由于gdp与全社会的消费、投资、净出口、储蓄等均有关，故而可以作为总体来考察。
显然，在全社会的消费和投资增长率均较低时，全社会的消费、投资、净出口等均处于不利的状况，在此情况下， gdp的增长率也较低，反之，则较高。
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连续，且对其中一个变量单调，则 Ｓ （ ｘ ， Ｙ ） 在 Ｄ内
连续 。
证明：不妨设／ ， Ｙ ）对ｘ 单调递增 （ 单调减的情形证法类似）。 设Ｘ ｏ ， Ｙ 。 ） ∈ Ｄ，由己知，存在 ５ １ ＞ ０ ，当ｌ Ｘ － Ｘ ｏ ｌ ＜ 时，
二 、命题
命题 １ 设 ｒ （ ｘ ， Ｙ ） 在区 域 Ｄ内对ｘ 连续， 而关于 ｘ 对ｙ 是一致连续， 则ｒ （ ｘ ， Ｙ １ 在Ｄ内 连续。
一
多元 函数 的 自变 量多于一 个 ，相应 地连续情 况也 就不 像一元 函数那 么简单 ，且教材 中对 多元 函数 连续 的情况 讨论较 少。正 因为多元 函数极 限 与连 续 的复杂性 ，导 致初 学者只停 留在 定义的表 面形式 ，不能深入挖 掘。以二元 函数为例 ，若 厂 ， ） 在点 Ｍ（ ｘ 。 ， Ｙ 。 ） 连续 ，那 么一元 函数Ｓ （ ｘ ， Ｙ 。 ） 和 ／ （ ｇ ｏ ， ） 也分别在 ｏ 和 。点连续 。反之 ，由于二 元 函数的极限 中 ｏ 的方式是任意的 ，而不是 以特殊的方式 ，因此 ，由这 两个一 元 函数厂 ， Ｙ 。 ） 和 ｆ （ ｘ ） 分 别在 ０ 和 ｏ 点连续 ，并不能断定厂 ， ｙ ） 在
又 由单调 性， 有
致连 续的概念 在教材 中只是选学 内容 ，涉 及 较少 。鉴于有些 专业以 后可能要 用到 ，或 有考
， ｌ ， ） 一 厂 。 ， 。 】 ＜ 。又 存在 ＞ ｏ ，当 ｌ ｙ — 。 Ｉ ＜ 时，
ｌ ／ （ ｘ 。 ， ） 一 ｆ （ ｘ ｏ ， 】
作者 简介 ：杨淑荣 （ １ ９ ６ ３ － ） ，女 ，汉族 ，天津河东人 ，烟台南 山学院工学院 ，副教授 。
第 １ ３卷 第 ４期
杨淑荣 一 多元 函数连 续性 的判定
２ ０１ ６年 １ ２月
多元 函数连续性 的判定
杨 淑 荣
（ 烟 台 南 山学院 ，山东 烟 台 ，２ ６ ５ ７ ０ ６ ）
摘要 ：从 多 元 函 数 的 连 续性 定 义 出发 ， 给 出判 断 多元 函 数 连 续 的一 些 命题 。 这 对在 校 大 学
。取定 Ｘ ｏ ， 但使 — ｘ 。 ｌ ≤ ，
２ ９
第 １ ３卷 第 ４期
烟 台 南 山 学 院 学 报
一
２ ０１ ６年 １ ２月
则存 在 ） ， ０ ， 当Ｉ 一 Ｉ 时， Ｉ ｓ （ ｘ ， ） 一 ＿ 厂 （ － ， 。 】 。 取 ＝ ｍ ｉ ｎ （ ４， ２ ， ） ，则当０ 一 ＜ ， ０ ＜ ｙ － Ｙ 。 ＜ 时
’
别连续误认为 ／ （ ｘ ， Ｙ ） 也连续 ， 导致错误 。
例 如ｆ （ ｘ ， ｙ ） ： ｛
，
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＝ ｍ ｉ ｎ ， ） ，当 一 。 ｌ ＜ ５， ｌ ｙ － ｙ 。 ｌ ＜ 时
Ｉ Ｓ （ ｘ ， ） 一 ｆ （ ｘ ｏ ， Ｙ ｏ 】 ＝ Ｉ ｆ （ ｘ ， ｙ ） 一 ｓ （ ｘ ， Ｙ ｏ ） ＋ ｆ （ ｘ ， ｙ ｏ ） 一 ｆ （ ｘ ｏ ， Ｙ ｏ ｌ
Ｙ 。 ） 点连续 。而初学者往往பைடு நூலகம்容易将厂 ， ） ’ ） 对 及
ｆ ， ，
Ｉ ｆ （ ｘ ， Ｙ ） 一 ｆ （ ｘ ， ｙ － ＜ Ｌ ｌ ｙ 一 Ｙ Ｉ ，Ｌ为正常数。则 ｆ （ ｘ ， ． ｙ ） 在区
域 Ｄ 内连续 。
证明：任取 Ｘ ｏ ， Ｙ 。 ） ｅ Ｄ，￣ Ｊ ｆ （ ｘ ， ｙ ） 对 满足李普 希兹 条件， 所以 当
ｌ ， ， ） ， ） 一 ｓ （ ｘ 】 ＋ ｌ ｉ （ ｘ ， ｙ ｏ ） 一 ， ， 。 】 ＋ 要 ＝
’
即已证出／ （ ｘ ， Ｙ ） 在点 。 ， 。 ） 连续。
命题 ２ 设ｆ （ ｘ ， ｙ ） 在区域 Ｄ内对 Ｘ 连续， 对ｙ
满足李普希兹条件 ，即对任何 ｘ ， Ｙ ） Ｄ ，ｘ ， Ｙ ） Ｄ有
１ ￣ｌ ｓ （ ｘ ， ） 一 ｆ （ ｘ ｏ ， Ｙ 。 】 ＜ ｓ 。 即Ｓ （ ｘ ， ｙ ） 在区 域Ｄ内连 续。
在【 ０ ， ０ ） 点不连续 。 以下给出几个命题 ，从不同角度给 出多元函数 连续性的判断 ，使学习者对此有一更深入的认识 。
命题 ３ 设 ／ （ ， Ｙ ） 在 区域 Ｄ内对 ｘ和 ｙ分别
ｙ － ￣ － Ｏ
］ Ｙ － Ｙ ｏ ［ ＜ 时 ， Ｉ ／ （ ｘ ， ） 一 ｓ （ ｘ ， ｌ ｃ 上 ｌ 一 Ｉ ＜ 疋＝ ， 又 因 ， ， 。 ）
Ｘ Ｃ ｘ 连 续 ， 所 以 当 一 ｘ ｏ ｌ ＜ 时 ， Ｉ ／ （ ｘ ， 。 ） 一 ＿ 厂 ， 】 ＜ ； 。 于 是 由 命 题
，
ｌ ＜ 时， ｌ ， ， ｙ 。 ） － ｆ （ Ｘ ｏ ， Ｙ 。 】 ＜ ， 又因 ， ， ｙ ） ￣ － Ｙ － ｘ ｆ Ｉ ｙ 一 致
连续。 所以， 当Ｉ ｙ － Ｙ 。 Ｉ 时， ￣ ｉ ｌ ｆ （ ｘ ， ） 一 ， ， Ｙ 。 】 ＜ 。于 是取
生尤其对 立志 考， ｅ ｔ － ￣学生来说 ， 学 习多元函数连续这一 内容有着重要 实际意 义。
关键词 ：多元 函 数 ； 连续； 一致连 续。
中图分类号 ：０ １ ９ ３ 文献标识码 ：Ａ
一
、
引 言
证 明 ：任 取 。 ， Ｙ 。 ） ∈ Ｄ， 因， ， Ｙ 。 ） 对 连 续 ， 所 以 当