2012年全国高中数学联赛试题及答案
2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题答案
20120122年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题参考答案1.解:327766373636=××+++C C C .填:327.2.解:设其中两段长分别为y x ,,则第三段长为y x −−3,将长为3cm 的线段任意截成三段,可以用点(y x ,)来表示,实验的全部结果所构成的区域为}330,30,30),{(<−−<<<<<=Ωy x y x y x ,面积29=ΩS ,设三段能够组成三角形为事件A,则事件A 所构成的区域为:}3,3,3,330,30,30),{(x y x y y y x x y x y x y x y x y x A >−−+>−−+−−>+<−−<<<<<=面积89=A S ,所以这三段能够组成三角形的概率41)(==ΩS S A P A .填:41.3.解:2===MC MB MA ,所以M 在面ABC 上的射影O 为ABC 的外心,由32,2,22===BC AC AB 知,222BC AC AB =+,即ABC ∆是以A 直角顶点的直角三角形,所以O 是BC 的中点,MO 为所求,122=−=OC MC MO .填:1.4.解:原式可化为o 10tan 322tan2tan1=−αα,两边平方得o 10tan 3222cos2sin 2sin 2cos=−+αααα，o 10tan 322sin 2+=α,oo o o o o o oo o o 50sin 40cos 80sin 40cos 10cos 40sin 210cos 10sin 310cos 10cos 10tan 311sin ====+=+=α.填:o 50.5.解:不妨设d c b a <<<,由图像可知,当40≤<x 时,根据)()(b f a f =可得1=ab ,当4>x 时,根据)()(d f c f =可得12=+d c ,且54<<c ,所以abcd 36)6()12(2+−−=−==c c c cd ,当54<<c 时,3532<<abcd .填:)35,32(.6.解:设数列{}n a 的公比为q ()0>q ,8221234=−−+a a a a 可化为8)2(2122122=+−+a a q a q a ,8)1)(2(212=−+q a a ,182212−=+q a a ,且1>q ,令12−=q t ,则0,12>+=t t q .782a a +=61622q a q a +=t t q q q a a 326612)1(818)2(+=−=+=)133(82t t t +++.设)(t f =)133(82t t t +++,则=)(/t f ))12()1((8)132(8132(8222232tt t t t t t t −+=−+=−+.所以)(t f 在)21,0(上是减函数,在),21(+∞是增函数.54)21()(min ==f t f .填:54.7.解:设长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,且c b a ≤≤,则从A 出发沿长方体的表面到达顶点1C 的最短距离为22)(c b a ++=6,于是36)(22=++c b a ,因为322222222243222)(c b a c ab ab c ab b a c b a ≥++≥+++=++.所以3222124≤c b a ,因此长方体的体积V =312≤abc ,当22,c ab b a ==即32,6,6===c b a 时,等号成立.填:312.8.解:当122+<≤k kx 时,[]k x =2log ,因为204822012210241110=<<=,所以[]1024log 2+[]1025log 2+…+[]2012log 2=9890)10232012(10=−×.[]1log 2+[]2log 2+[]3log 2+…+[]1024log 2=32232221×+×+×+…+929×,设S =32232221×+×+×+…+929×，则2S =432232221×+×+×+…+1029×,32222++=−S +…+921029×−=81942282922101010−=−×−=×−−,8194=S .所以原式=8194+9890=18084.填:18084.二.解:(1)取AB 的中点O ,连接,EO CO .因为2AE EB AB ===∵，所以三角形AEB ∴△为等腰直角三角形,,1EO AB EO ∴⊥=.又,60AB BC ABC =∠=�∵,所以三角形ACB ∴△是等边三角形.CO ∴=,又2,EC =222EC EO CO ∴=+,EO CO ∴⊥EO ABCD ∴⊥平面,又EO EAB ⊂平面,∴平面EAB ⊥平面ABCD .…………………4分(2)以AB 中点O 为坐标原点,以OC 所在直线为x 轴,以OB 所在直线为y 轴,OE 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.则(0,1,0),2,0),(0,0,1)A C D E −−，)0,2,0(),1,0,3(),0,1,3(=−==,.………8分设平面DCE 的法向量),,(z y x =.⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0，即⎩⎨⎧==−0203y z x ,令1=x ,则3=z ,所以)3,0,1(=n .设平面EAC 的法向量=),,(c b a .⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00,即⎩⎨⎧=−=+0303c a b a ,令1=a ,则3,3=−=c b ，m =)3,3,1(− (12)分772,cos ==〉〈n m .所以二面角A EC D −−的余弦值为7.………………………16分三.解:(1)令)(x h =22)1ln(+−+x x x ,22/)2)(1()(x x x x h ++=,…………………5分当0>x 时,0)(/>x h ,所以)(x h 在()+∞,0是增函数,0)0()(=>h x h ,022)1ln(>+−+x xx ,即22)1ln(+>+x x x ,因为0>x ,所以22)1ln(+>+x x x .因此22)(+>x x f .………………………10分(2)解法一:x kxx f ++<11)(可化为0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .令2)1ln()1()(kx x x x x g −−++=，则kx x x g 2)1ln()(/−+=，k xx g 211)(//−+=.当0>x 时,1110<+<x,令12≥k ,则0)(//<x g ,)(/x g 在),0(+∞是减函数,0)0()(//=<g x g ,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=<g x g ,…………………15分所以当21≥k 时,对于0>x ,有0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .当01<<−x 时,111>+x,令12≤k ,则0)(//>x g ,)(/x g 在)0,1(−是增函数,0)0()(//=<g x g ,所以)(x g 在)0,1(−是减函数,因此0)0()(=>g x g .所以当21≤k 时,对于01<<−x ,有0)1ln()1(2<−−++xkx x x x .因此,当21=k 时,在1−>x 且0≠x 时,有xkx x f ++<11)(成立.………………20分解法二:x kxx f ++<11)(可化为01)1(ln(12<++−+xx kx x x .令=)(x g x x kx x ++−+1)1ln(2,则2/)1()12()(x k kx x x g +−+−=当⎩⎨⎧≥−≥0120k k ,即21≥k 时,在),0(+∞上有0)(/<x g 成立,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=<g x g ,所以xkxx f ++<11)(.………………………15分当⎩⎨⎧≤−≤−+−012012k k k ,即21≤k 时,在)0,1(−上有0)(/<x g 成立,所以)(x g 在),0(+∞是减函数,因此0)0()(=>g x g ,所以xkxx f ++<11)(.因此,当21=k 时,在1−>x 且0≠x 时,有xkx x f ++<11)(成立.……………20分四.解:(1))21)(2()21()2(222121112111++−++=++++=+++=+=++n nn n n n n n x x x x x x x a =n n a x 2121211212121211+−++=++−++.…………………5分)221(21212211−+−=−+n n a a ,又44232212112211−=−+=−a .所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧−221n a 是以4423−为首项,2121+−为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式得:1)2121(4423221−+−−=−n n a ,即1)2121(4423221−+−−+=n n a .…………………………………10分(2)因为1211)12(2211−<+−=−−=++n n n n n x x x b b ,所以n n b )12(−<,……………………………………………………15分所以++=21b b S n …nb +()()+−+−<21212…()n12−+=()2222121212212=−−<⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−n .……………………………20分五.解:设点),(n m P ,),(11y x A ,),(22y x B ,则切线PA :1411=+y y x x ,PB :1422=+y y xx ,因为切线PB PA ,都过点P ,所以有1411=+n y m x 和1422=+n y mx 同时成立,于是直线AB 的方程:14=+ny mx..………………………………………………………5分联立直线AB 和椭圆组成的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+141422ny x my x ,消去y 得：0)1616(8)4(2222=−+−+n mx x m n 所以222148m n mx x +=+,2222141616mn n x x +−=,)44(64)1616)(4(4642222222−+=−+−=∆n m n n m n m .又根据14=+ny mx得:)4(444442222121m n m n mx n mx y y +−=−⋅−=,2222121484)(2)(m n n x x m n y y +=+−=+.………10分于是22121221212211)()(),(),(nn y y y y m m x x x x n y m x n y m x ++−+++−=−−⋅−−=⋅=6432022222−+++−n m mn m .………………………15分因为1622=+n m ,所以2216n m −=,代入上式得:⋅=11163442+−n ,又因为1602≤≤n ，所以16,022==m n ，即点)0,4(±P 时,⋅有最小值433,当0,1622==m n ,即点)4,0(±P 时,⋅有最大值16165.………………………20分。
2012年全国高中数学联赛(河北)赛区竞赛试卷
2012年河北省高中数学竞赛试题一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ解答：因为53[,]42ππθ∈cos sin cos sin θθθθ--+ 2c o s θ=。
正确答案为D 。
2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ） A. 2B. C. 2±D. ±42a =⇒=±。
正确答案为C 。
4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ C ）A.B.C.D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得21243400,3x x x x AB -=⇒==⇒==。
正确答案为C 。
5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ A ） A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。
正确答案为A 。
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）2212231A. 4+52π B. 4+32π C. 4+2π D. 4+π 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2π），所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+。
正确答案为A 。
7．某程序框图如右图所示，现将输出（,)x y 值依 次记为：1122(,),(,),,(,),;n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x =（ B ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．8 答案 经计算32x =。
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。
设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。
由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。
2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。
若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。
2012年全国高中数学联赛广东预赛试题及解答
2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题（考试时间：2012年9月8日上午10∶00—11∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上1. 已知()02014201320112010201222>=⨯⨯⨯+k k ，则=k . 答案： 220122-（或4048142）解: 2222(2)(1)(1)(2)(4)(1)n n n n n n n n +--++=+--24222(54)(2).n n n n =+-+=-2. 函数()sin()sin()cos 366f x x x x ππ=++--+的最小值等于 .答案：1 解：因为()sin coscos sinsin coscos sincos 36666cos 32sin()3,6f x x x x x x x x x πππππ=++--+=-+=-+所以)(x f 的最小值为1.3. 已知 1()2bx f x x a +=+，其中,a b 为常数，且2ab ≠. 若 1()()f x f k x⋅=为常数，则k 的值为 .答案：1.4解：由于222211(1)()()222(4)2bx b x bx b x bk f x f x x a ax ax a x a+++++=⋅=⋅=+++++ 是常数，故2a k b ⋅=，且22(4)1a k b +=+. 将2b ak =代入22(4)1a k b +=+整理得22(4)(14)0k k a k -+-=，分解因式得2(41)(1)0k k a --=. 若410k -≠，则210ka -=，因此222ab ka ==，与条件相矛盾. 故410k -=，即14k =.4. 已知方程2133x x p +-=有两个相异的正实数解，则实数p 的取值范围是 .答案：9(,2).4--解法一：令3x t =，则原方程化为230t t p --=. 根据题意，方程230t t p --=有两个大于1的相异实根.令2()3f t t t p =--，则22(3)40,9(1)1310, 2.431.2p f p p ⎧∆=-+>⎪⎪=-⨯->⇒-<<-⎨⎪⎪>⎩解法二：令3x y =，则原方程化为230y y p --=. 注意到这个关于y 的方程最多有两个解，而由3x y =严格单调递增知每个y 最多对应一个x ，因此所求的p 应当使230y y p --=有两个相异的实数解12,y y ，且满足12123,3x x y y ==的两个实数12,x x 都是正的. 由于12,x x 都是正的，故12,y y 都应大于1. 由于123y y +=，故213y y =-，因此1y 必须满足11y >，131y ->及113y y ≠-. 因此1y 的取值范围为33(1,)(,2)22 . 因此1211(3)p y y y y =-=--的取值范围为9(,2)4--.5. 将25个数排成五行五列：11121314152122232425313233343541424344455152535455a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 已知第一行11a ,12a ,13a ,14a ,15a 成等差数列，而每一列1j a ，2j a ，3j a ，4j a ，5j a （15j ≤≤）都成等比数列，且五个公比全相等. 若244a =,412a =-,4310a =,则1155a a ⨯的值为______.答案：11- 解：可知每一行上的数都成等差数列，但这五个等差数列的公差不一定相等.由412a =-,4310a =知4210(2)42a +-==且公差为6，故4416a =,4522a =. 由244a =,4416a =知公比2±=q .若2=q ，则113214a s -==-,55222411a =⨯=⨯，故115511a a ⨯=-； 若2-=q ，则113214a s -==,5522(2)4(11)a =⨯-=⨯-，故115511a a ⨯=-.6.设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为______.ln 2)-. 函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称. 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d =.设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=.由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d -.7.将2个a 和2个b 共4个字母填在4×4方格表的16个小方格内，每个小方格内至多填一个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法种数共有 .答案：3960解：使得2个a 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，使得2个b 既不同行也不同列的填法有224472C A =种，故由乘法原理，这样的填法共有272种.其中不合要求的有两种情况：2个a 所在的方格内都填有b 的情况有72种；2个a 所在的方格内恰有1个方格填有b 的情况有121691672C A =⨯种.所以，符合条件的填法共有2727216723960--⨯=种.8.一个直角梯形的上底比下底短，该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积为112π，该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为80π，该梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体的体积为156π，则该梯形的周长为 .答案：16+解：设梯形的上底长为a ，下底长为b ，高为h ，则梯形绕上底旋转所得旋转体的体积为22211()(2)33h b h a b h a b πππ+-=+，因此21(2)1123h a b ππ+=，即2(2)336h a b +=. 同理有2(2)240h a b +=，两式相除得2336722405a b a b +==+，去分母化简得3b a =，代入2(2)336h a b +=得248ah =.注意到直角腰长等于高h ，梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台，其体积为221()1563h a ab b ++=. 将3b a =代入化简得236a h =. 结合248ah =可解得3,4a h ==，因此9b =，由勾股定理知另一条腰的长度为=，因此梯形的周长为39416+++=+二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．（本小题满分16分）设椭圆2222+=1x y a b(>>0)a b 的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，O 为坐标原点. 若||=||AP OA ，证明：直线OP 的斜率k满足||k >解法一：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<,(,0)A a -. 由||||AP OA =a =，即22222cos 2cos sin 0a a b θθθ++=. ……4分从而 22222221cos 0,cos 2cos sin sin .a ab a θθθθθ-<<⎧⎨--=<⎩ 所以，1cos 02θ-<<，且2222sin 213cos cos b a θθθ=-->.所以，sin ||cos b k a θθ==> ……16分解法二：设(cos ,sin )(02)P a b θθθπ≤<.则线段OP 的中点(cos ,sin )22a bQ θθ.||=||AP OA 1AQ AQ OP k k ⇔⊥⇔⨯=-.sin sin cos 22cos AQ AQ AQ b k b ak ak a a θθθθ=⇔-=+. ……8分22222222222)cos (sin )(2AQ AQ AQ AQ k a a k a b k b b ak +<+=+⋅+≤⇒θθ||||AQ k k ⇔<⇔> ……16分2．（本小题满分20分） 设非负实数a ，b ，c 满足3=++c b a . 求222222()()()S a ab b b bc c c ca a =-+-+-+的最大值.解：不妨设c b a ≥≥.显然有222b bc c b -+≤，222c ca a a -+≤.……………5分根据AM-GM 不等式可得2222223662255433()()9223344()4()()12.229333ab ab S a b a ab b a ab b ab ab a b a b c a ab b ≤-+=⋅⋅⋅-++++++-+≤=≤=⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……………15分所以S 的最大值为12，这时()()0,1,2,,=c b a .……………20分3．（本小题满分20分）求出所有的函数**:f N N →使得对于所有x ，y*N ∈，2(())f x y +都能被2()f y x +整除.解：根据题目的条件，令1==y x ，则2((1))1f +能被(1)1f +整除. 因此2((1))(1)f f -能被(1)1f +整除，也就是(1)((1)1)f f -能被(1)1f +整除.因为(1)f 与(1)1f +互素，所以(1)1f -能被(1)1f +整除，且(1)1(1)f f+>-，所以(1)10f -=，(1)1f =. ……………10分令1=y ，则2(())1f x +能被21x +整除，因此22(())f x x ≥.从而()f x x ≥，对所有x *N ∈.令1=x ，则1y +能被()1f y +整除.从而()y f y ≥，对所有y *N ∈. 综上所述，()f x x =，对所有x *N ∈.……………20分。
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
2012年全国高中数学联赛试题及解答
PA ⋅ PB = 1 x - (x + 2) 0 0 x 02 2 PA ⋅ PB = PA PB cos 3π42 2 2 x x A D 0 0 x ⎝ 0 ⎭ 0一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）2012 年全国高中数学联合竞赛第一试 1. 设 P 是函数 y = x + 2(x > 0) 图像上的任意一点，过 P 分别向直线 y = x 和 y 轴作垂线，垂足分别为xA 、B ．则 PA ⋅ PB = ． 答案：-1．解法 1 设 P ⎛ x , x + 2 ⎫，则l: y - ⎛ x + 2 ⎫ = -(x - x ) ，即 y = -x + 2x + 2 ．⎝ 0 ⎭ PA 0 x ⎪ 0 0 x 上式与 y = x 联立解得点 A ⎛ x + 1 , x+ 1 ⎫ ．又点 B ⎛ 0, x + 2 ⎫ ，则 PA = ⎛ 1 , - 1 ⎫ ，PB = (-x ,0) ，0 x 0 x ⎪ 0 x x x ⎪⎝ 0 0 ⎭ 故 (-x ) = -1 ． ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 0 ⎭0 0⎛ 2 ⎫解法 2 如图 3，设 P x 0 , x 0 + ⎝⎪(x 0 > 0) ．则点P 到直线 x - y = 0 和 y x 0 ⎭ PA = = ， PB = x ． 0因为 O 、A 、P 、B 四点共圆，所以， ∠APB = π - ∠AOB = 3π ．4图 3 故= -1． 2. 设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、c ，且满足a cos B - b cos A = 3 c .则 tan A= ．5tan B答案：4．c 2 + a 2 - b 2b 2 +c 2 - a 2 3 2 23 2 解法 1由题设及余弦定理得a ⋅- b ⋅ = c ⇒ a - b = c ．tan A = sin A ⋅ cos B = a ⋅ 2cac 2 + a 2 - b 22ca 2bc 5 5=c + a - b = 故 tan B sin B ⋅ cos A b 2 + c 2 - a 2 b ⋅2bcc 2 + b 2 - a 24 C 解法 2 如图 4，过点 C 作CD ⊥ AB ，垂足为 D .则a cos B = DB ， b cos A = AD ．由题设得 DB - AD = 3c ．B5CD 图 4 又 DB + DA = c ，联立解得 AD = 1 c ， DB = 4c .故tan A = AD = DB = 4 ． 5 解法 3 由射影定理得a cos B + b cos A = c5 tan B CD ADDB 又 a cos B - b cos A = 3 c ，与上式联立解得a cos B = 4 c ， b cos A = 1c5 5 5故 tan A = sin A ⋅ cos B = a cos B = 4 tan B sin B ⋅ cos A b c os AMNABAF BF⎛ 2π ⎫ AB π AF + BF AB AF + BFMN AB AF + BF AF + BF MN AB⎫ 2 3. 设 x 、y 、z ∈[0,1] .则 M =的最大值是 ．答案： +1．解：不妨设0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1.则 M =⇒ M ≤ ( 2 + 2+1．当且仅当 x = 0 ， y = ， z = 1 时，上式等号同时成立．24. 抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，准线为 l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π. 3设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N .则的最大值是 ．答案：1．解法 1 设∠ABF = θ ⎛0 < θ < 2π ⎫ .则由正弦定理得 = = ． 3 ⎪ sin θ ⎝ ⎭ sin ⎝ 3- θ ⎪ ⎭ sin3 sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫3 ⎪ ⎛ π ⎫ 故 = ，即= ⎝ ⎭ = 2 c os θ - ⎪． sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫ sin π sin π ⎝ 3 ⎭ 3⎪ 3 3 ⎝ ⎭如图 5，由抛物线的定义及梯形的中位线定理得： MN =①2 则 = cos ⎛θ - π ⎫ ．故当θ = π 时，取得最大值 13 ⎪ 3 ⎝ ⎭解法 2 同解法 1 得式①在△AFB 中，由余弦定理得AB 2= AF 2+ BF 2- 2 AF BF cos π3= ( AF + BF )2- 3 AF BF⎛ ⎫2≥ ( AF + BF )2 - 3 ⎪⎝ 2 ⎭⎛ 2= 2 ⎪= MN . ⎝ ⎭当且仅当 AF = BF 时，上式等号成立．故 的最大值为 1．2 MN AB⎣⎨ 5. 设同底的两个正三棱锥 P - ABC 和Q - ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P - ABC 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成角的正切值是 ．答案：4．解：如图 6，联结 PQ .则 PQ ⊥平面 ABC ，垂足 H 为正△ABC 的中心，且 PQ 过球心 O ．联结 CH 并延长与 AB 交于点 M .则 M 为边 AB 的中点，且CM ⊥ AB .易知，∠PMH 、∠QMH 分别为正三棱锥 P - ABC 、正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成二面角的平面角．则∠PMH = 45°⇒ PH = MH = 1AH .2由∠PAQ = 90°， AH ⊥ PQ ⇒ AH 2 = PH ⋅ QH1 ⇒ AH 2= AH ⋅ QH2⇒ QH = 2 AH = 4MH .故 tan ∠QMH = QH= 4MH图 66. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时， f (x ) = x 2 ．若对任意的 x ∈[a , a + 2]，不等式 f (x + a ) ≥ 2 f (x )恒成立，则实数 a 的取值范围是．⎧⎪x 2 , x ≥ 0;解：由题设知 f (x ) = 2⇒ 2 f (x ) = f ( 2x )⎪⎩-x , x < 0 故原不等式等价于 f (x + a ) ≥ f ( 2x )．由 f (x ) 在 R 上是增函数知x + a ≥ 2x ⇒ a ≥ ( 2 -1)x ⇒ a ≥ ( 2 -1)(a + 2) ⇒ a ≥ 2. 即 a 的取值范围为 ⎡ 2, +∞)7. 满足 1 < sin π < 1的所有正整数 n 的和是．4 n 3解：由正弦函数的凸性，知当 x ∈(0, π )6 时， 3x < sin x < x ． π 故sin π < π < 1 ， sin π > 3 ⨯ π = 1 ， sin π < π < 1 ， sin π3 π 1 ．> ⨯ = 13 13 4 12 π 12 4 10 10 39 π 9 3因此，满足 1 < sin π < 1的正整数 n 的所有值分别为 10、11、12，其和为 33．4 n 3⎨8. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用 A 种密码.那么，第七周也使用 A 种密码的概率是 （用最简分数表示）． 解：用 P k 表示第 k 周用 A 种密码本的概率.则第 k 周未用 A 种密码的概率为1 - P k ．故P = 1(1 - P )(k ∈ N ) k +1 3 k +⇒ P - 1 = - 1 (P - 1)k +14 3 k 4 ⇒ P - 1 = 3 (- 1)k -1k⇒ P k⇒ P 7 4 4 3 = 3 (- 1)k -1 + 14 3 4= 61 . 243二、解答题（共 56 分）9. （16 分）已知函数 f (x ) = a s in x - 1 cos 2x + a - 3 + 1，其中，a ∈ ，且a ≠ 0 ． 2 a 2（1）若对任意 x ∈ ，都有 F (x ) < 0 ，求 a 的取值范围．（2）若a ≥ 2 ，且存在 x ∈ ，使 f (x ) ≤ 0 ，求 a 的取值范围．解：（1） f (x ) = sin 2 x + a sin x + a - 3 . 令t = sin x (-1 ≤ t ≤ 1) .则 g (t ) = t 2 + at + a - 3a a⎧g (-1) = 1 - 3 ≤ 0, 由题设知⎪ a 3 ⎪g (1) = 1 + 2a - ≤ 0． ⎩⎪ a解得 a 的取值范围为(0,1]．（2）因为a ≥ 2 ，所以， - a≤ -1 ．2故 g (t ) min= g (-1) = 1 - 3 ． a从而， f (x ) min= 1 - 3 ． a 由题设知1 - 3≤ 0 ．a解得0 < a ≤ 3 ．故 a 的取值范围是[2,3]．⎩10. （20 分）已知数列{a n } 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 n 都有(a + a + …+ a )2 = a 3 + a 3 + …+ a 3．12n12n（1）当n = 3时，求所有满足条件的三项组成的数列 a 1 ， a 2 ， a 3 ．（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n } ，使得a 2013 = -2012 ？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．解：（1）当n = 1时， a 2 = a 3 ．由a ≠ 0 ，得a = 1．1111当 n = 2 时， (1+ a )2= 1+ a 3．由a ≠ 0 ，得a = 2 或-1 ．2222当 n = 3时， (1+ a + a )2= 1+ a 3 + a 3．若a = 2 ，得a = 3 或-2 ；若a = -1，得a = 1 ．23232323综上，满足条件的三项数列有三个：1，2，3 或 1，2， -2 或 1， -1 ，1． （2）令 S = a + a + …+ a .则 S 2 = a 3 + a 3 + …+ a 3 (n ∈ N ) ． n1 2 n n 1 2 n +故(S + a)2= a 3 + a 3 + …+ a3.两式相减并结合a≠ 0 ，得2S = a 2- a ．nn +112n +1n +1nn +1n +1当 n = 1时，由（1）知a 1 = 1； 当 n ≥ 2 时， 2a = 2(S - S ) = (a 2 - a)- (a2 - a )，nnn -1即(a n +1 + a n )(a n +1 - a n -1) =0 ．所以， a n +1 = -a n 或a n + 1 ．又 a 1 = 1， a 2013 = -2012 ，则n +1n +1nn⎧⎪n ,1 ≤ n ≤ 2012; a n = ⎨⎪(-1)n2012, n ≥ 2013. 11. （20 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的边长为 4，且 OB = OD = 6 .（1）证明： OA OC 为定值；（2）当点 A 在半圆 M : (x - 2)2 + y 2 = 4(2 ≤ x ≤ 4) 上运动时，求点 C 的轨迹.解：（1）由 AB = AD = CB = CD ， OB = OD ，知 O 、A 、C 图 7，联结 BD.则 BD 垂直平分线段 AC ．设垂足为 K ， OA OC= ( OK - AK )(OK + AK )故 = OK 2- AK 2= (OB 2- BK2)- ( A B 2- BK 2)= OB 2 - AB 2= 20(定值).（2）设C (x , y ) ， A (2 + 2cos α, 2sin α ) ，其中， α = ∠xMA ⎛ - π ≤ α ≤ π ⎫．2 2 ⎪ ⎝ ⎭则∠xOC = α． 2又 OA 2 = (2 + 2cos α )2 + (2sin α )2 = 8(1 + cos α ) = 16cos 2 α ， 2所以， OA = 4 cos α．2由（1）的结论得 OC cos α= 5 ．2则 x = OC cos α= 5 ．2故 y = OC sin α = 5 t an α∈[-5,5] ．2 2因此，点 C 的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为(5,5) ， (5, -5) ．⎨ ++ 加试一、（40 分）如图 2，在锐角△ABC 中，AB > AC ，M 、N 是边 BC 上不同的两点，使得∠BAM = ∠CAN .设△ABC 和△AMN 的外心分别为O 1 、O 2 .证明： O 1 、O 2 、A 三点共线.图2证明：如图 8，联结 AO 1 、 AO 2 ，过点 A 作 AO 1 的垂线 AP 与 BC 的延长线交于点 P .则 AP 是 O 1 的切线.故∠B = ∠PAC .因为∠BAM = ∠CAN ，所以， ∠AMP = ∠B + ∠BAM = ∠PAC + ∠CAN = ∠PAN ． 从而，AP 是△AMN 外接圆 O 2 的切线.故 AP ⊥ AO 2 ． 因此， O 1 、O 2 、A 三点共线．二、（40 分）试证明：集合 A = {2, 22 ,…, 2n ,…}满足图 8（1）对每个a ∈ A 及b ∈ N + ，若b < 2a -1，则b (b +1) 一定不是 2a 的倍数；（2）对每个a ∈ A （ A 表示 A 在N + 中的补集），且a ≠ 1，必存在b ∈ N + ，b < 2a -1，使b (b +1) 是 2a 的倍数．解：（1）对任意a ∈ A ，设a = 2k (k ∈ N ) .则2a = 2k +1． 若 b 是任意一个小于2a -1的正整数，则b +1 ≤ 2a -1 ．由于 b 与b +1中，一个为奇数，它不含质因子 2，另一个为偶数，它含质因子 2 的幂的次数最多为 k 、因此， b (b +1) 一定不是 2a 的倍数．（2）若a ∈ A ，且a ≠ 1，设a = 2k m ，其中， k ∈ N ，m 为大于 1 的奇数． 则 2a = 2k +1 m ． 下面给出三种证明方法．方法 1 令b = mx ， b +1 = 2k +1 y ．消去 b 得2k +1 y - mx = 1.由(2k +1 , m )= 1，知方程必有整数解⎧⎪x = x + 2k +1t ,⎨ 0⎪⎩ y = y 0 + mt , 其中， t ∈ Z ， (x 0 , y 0 ) 为方程的特解． 记最小的正整数解为(x ', y ') .则 x ' < 2k +1 ．故b = mx ' < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a 的倍数．方法 2 注意到， (2k +1 , m )= 1，由中国剩余定理，知同余方程组⎧⎪x ≡ 0(mod 2k +1 ), ⎪⎩x ≡ m -1(mod m )在区间(0, 2k +1 m ) 上有解 x = b ，即存在b < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a的倍数． 方法 3 由(2, m ) = 1 ，总存在r (r ∈ N + , r ≤ m -1) ，使得2r ≡ 1(mod m )取t ∈ N ，使得tr > k +1 .则2tr≡ 1(mod m ) ． 存在b = (2tr -1)- q (2k +1 m )> 0(q ∈ N ) ， 使得0 < b < 2a -1.此时， m b ，2k +1 (b +1) .从而， b (b +1) 是 2a 的倍数．0 k⎛d ⎫3三、（50 分）设P，P1，…，Pn是平面上n +1 个点，其两两间的距离的最小值为d(d > 0) ．证明：P P P P …P P>d n0 1 0 2 0 n(3)证法1 不妨设PP1≤PP2≤…≤PPn．先证明：对任意正整数 k 都有 P P >.0 k3显然， P P ≥d ≥ 对k = 1, 2 ，…，8 均成立，只有当k = 8 时，上式右边取等号.0 k3所以，只需证明：当k ≥ 9 时，有 P P >即可．0 k3以点P (i = 0,1,…k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切；以点 P 为圆心、 PP +di 2 0 0 k2为半径画圆，此圆覆盖上述k +1 个圆．则π⎛P Pd ⎫2+⎪2>(k +1)π ⎪ ⇒P0P k>d (1)．由k ≥ 9 ，易知>．⎝ 2 ⎭⎝2 ⎭ 2 2 3所以， P P >对k = 9 ，10，…，n 也成立．0 k3综上，对任意的正整数 k 都有 P P >．0 k3⎛d ⎫n故PP1PP2…PPn> ⎪⎝⎭．证法 2 所设同证法1．以P (i = 0,1,…, k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切．i设Q 是2Pi上任意一点．PQ ≤PPi+PiQ由=P P +1d0 i2≤P P +1P P =3P P ,0 k 2 0 k 2 0 k知以P 为圆心、3PP 为半径的圆覆盖上述k +1 个圆．0 2 0 k⎛3 ⎫2 ⎛d ⎫2则π2PPk⎪ > (k + 1)π 2 ⎪ ，即 P0P k>k = 1, 2,…, n)．⎝⎭⎝⎭四、（50 分）设S =1+1+…+1n 是正整数）.证明：对满足0≤a<b≤1的任意实数a、b，数列{S-[S]}（n 2 n n n 中有无穷多项属于(a,b)，（[x]表示不超过实数x 的最大整数）．证法1（1）对任意n ∈N+，S =1 +1+1+…+12n 2 3 2n=1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+1)有 2 21 +1222n-1 +12n>1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+12 22 222n 2n= 1 +1+1+…+1>1n.2 2 2 212iN0 令 N =⎡ 1 ⎤+ 1 ， m = [S]+1.则1< N ，1< b - a ，S< m ≤ m + a ． 0⎢⎣b - a ⎥⎦N 0b - a 0N 0又令 N 1 = 22(m +1) .则 S N = S2( m +1)> m +1 ≥ m + b ．从而，存在n ∈ N + ， N 0 < n < N 1 ，使得m + a < S n < m + b ⇒ S n - [S n ]∈(a ,b ) ．否则，存在 N 0 < k ，使得 S k -1 ≤ m + a ， S k ≥ m + b ．于是 S - S ≥ b - a ，与 S - S = 1 < 1 < b - a 矛盾．k k -1 k k -1k N 0故一定存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,b ) ． （2）假设只有有限个正整数 n 1 ， n 2 ，…， n k ，使得 S n - ⎡S n ⎤ ∈(a ,b )(1 ≤ j ≤ k ) ．j ⎣ j ⎦令c = min {S n j - ⎡S n j⎤}则a < c < b ．1≤ j ≤k⎣ ⎦ 故不存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,c ) 与（1）的结论矛盾．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ． 综上，原命题成立．证法 2 由证法 1，知当 n 充分大时， S n 可以大于任何一个正数．令 N = ⎡ 1 ⎤+ 1 .则 N > 1 ．⎢⎣b - a ⎥⎦b - a当 k > N 时， S - S= 1 < 1 < b - a ．0 k k -1k N 0同证法 1 可证，对于任何大于 S 0m + a < S n < m + b ．的正整数 m ，总存在n > N 0 ，使得 S n - m ∈(a ,b ) ，即令m i = ⎡S N ⎤ + i (i = 1, 2,…).则m i > S N .⎣ 0 ⎦ 0故一定存在n i > N 0 ，使得m i + a < S n < m i + b ．从而， a < S n - m i = S n - ⎡S n ⎤ < b ．i i ⎣ i ⎦这样的 i 有无穷多个．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ．N。
2012年全国高中数学联赛试题[1]
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2012年全国高中数学联赛试题考试时间：2012年10月14日上午8:00-9:20一． 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
把答案填在试卷相应题号的横上。
1. 设P 是函数y =x +2x (x >0)的图像上任意一点，过点P 分别向直线y =x 和y 轴作垂线，垂足分别为A ,B ，则PA �����⃗⋅PB �����⃗的值是______________。
2. 设△ABA 的内角A ,B ,A 的对边分别为a ,b ,c ，且满足a cos B −b cos A =35c ，则tan A tan B 的值是_________________。
3. 设x ,y ,z ∈[0,1]，则M =�|x −y |+�|y −z |+�|z −x |的最大值是____________。
4. 抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ,B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MM ||AB |的最大值是___________。
5. 设同底的两个正三棱锥P −ABA 和Q −ABA 内接于同一个球。
若正三棱锥P −ABA 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q −ABA 的侧面与底面所成角的正切值是_____________。
6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=x 2。
若对任意的x ∈[a ,a +2]，不等式f (x +a )≥2f (x )恒成立，则实数a 的取值范围是_______________。
7. 满足14<sin πn <13的所有正整数n 的和是________________。
8. 某情报站有A ,B ,A ,D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
设第1周使用A 种密码，那么第7周也使用A 种密码的概率是______________。
2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题(含答案解析)
2012年全国高中数学联赛河南省预赛（高二）试题本试卷满分140分一．填空题（满分64分）1.在小于20的正整数中，取出三个不同的数，使它们的和能够被3整除，则不用的取法种数为_________.2.将长为的线段任意截成三段，则这三段能够组成三角形的概率为_________________.3.在ABC ∆中，26C B ππ∠=∠=，，2AC =，M 为AB 中点，将ACM ∆沿CM 折起，使,A B之间的距离为M 到面ABC 的距离为_________________. 4.若锐角α=+α的度数为________________.5.函数22|log |,04()2708,433x x f x x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,,a b c d 互不相同，且()()()f a f b f c === ()f d ，则abcd 的取值范围是_________________.6.各项均为正数的等比数列{}n a 中，4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______ _.7.一只蚂蚁由长方体1111ABCD A B C D -顶点A 出发，沿着长方体的表面达到顶点1C 的最短距离为6，则长方体的体积最大值为______________.8.[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则[][][][]2222log 1log 2log 3log 2012++++= _ _.二.（本题满分16分）如图，已知四棱锥E ABCD -的地面为菱形，且3ABC π∠=，2AB EC ==，AE BE ==.（1）求证：平面EAB ABCD ⊥平面；（2）求二面角A EC D --的余弦值.三.（本题满分20分）已知函数ln(1)()x f x x+=. （1）当时0x >，求证：2()2f x x >+； （2）当1x >-且0x ≠时，不等式1()1kx f x x +<+成立，求实数的值.四.（本题满分20分）数列{}n x 中，11x =且1111n n x x +=++. （1）设n a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n b x =-，数列{}n b 的前n 项的和为n S，证明：2n S <.五.（本题满分20分） 已知椭圆2214x y +=，P 是圆2216x y +=上任意一点，过P 点作椭圆 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，求PA PB ⋅的最大值和最小值.。
2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题及答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法正确的是（）A．在平面内到一个定点的距离等于到定直线距离的点的轨迹是抛物线B．在平面内到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆C．在平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线D．在平面内到一定点距离等于定长（不等于零）的点的轨迹是圆2．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=3，则该双曲线方程为（）A． B. C. D.3．双曲线上的一点P到它一个焦点的距离为4，则点P到另一焦点的距离是（）A．2 B.10 C.10或2 D.144．直线与圆的位置关系是（）A．相交且过圆心 B. 相交但不过圆心 C. 相切 D. 相离5．如右图所示的不等式的区域为（）A．B．C．D．6．椭圆，点M在椭圆上，等于-2，则△F1MF2的面积等于（）A．1 B． C．2 D．7．已知对称中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线的渐近线为，则此双曲线的离心率为（）A． B. C. 或 D.8．已知直线交抛物线于、两点，则△ ( )A．为直角三角形B．为锐角三角形C．为钝角三角形D．前三种形状都有可能二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．9．抛物线x2= -y的焦点为________，准线是_________________.10．过双曲线的右焦点，且倾斜角为45°的直线交双曲线于点A、B，则|AB|= ______. 11．过点（0,4）可作__________条直线与双曲线有且只有一个公共点.12．已知F为抛物线y2 = 4x的焦点，过此抛物线上的点M作其准线的垂线，垂足为N，若以线段NF为直径的圆C恰好经过点M，则圆的标准方程是________________________.13．如图，过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若，则椭圆离心率的取值范围是____________. xkb1三、解答题：本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．14．（本题满分12分）求下列圆锥曲线的标准方程（1）以双曲线的顶点为焦点，离心率e= 的椭圆（2）准线为，且a+c=5的双曲线（3）焦点在y轴上，焦点到原点的距离为2的抛物线15．（本题满分12分）已知圆，圆，点P满足（1）求动点P的轨迹方程；（2）过点Q（1,2）能否做直线AB与P的轨迹交于A、B两点，并且使Q是AB的中点？如果存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由。
2012年全国高中数学联赛试题详细解析
2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值是 ．2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45o，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； （2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++L L（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时， 求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案2012年全国高中数学联赛一试及加试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．21.设P 是函数y x （x 0 ）的图像上任意一点，过点P 分别向x直线y x 和y 轴作垂线，垂足分别为 A B ，则PA PB 的值是_____________. 32.设ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c ，且满足a cos B b cos A c ，5 tan A则的值是_____________. tan B3.设x y z 01 ，则M x y y z z x 的最大值是_____________.4.抛物线y 2 px p 0 的焦点为F ，准线为l ， A B 是抛物线上的2两个动点，且满足AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，3 MN 则的最大值是_____________. AB 5．设同底的两个正三棱锥P ABC 和Q ABC 内接于同一个球．若正三棱锥P ABC 的侧面与底面所成的角为45 ，则正三棱锥Q ABC 的侧面与底面所成角的正切值是_____________.6.设f x 是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时，f x x ．若对任意的x a a 2 ，不等式f x a 2 f x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 1 17．满足sin 的所有正整数n 的和是_____________. 4 n 38．某情报站有A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用 A 种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．1 3 19．（本小题满分16分）已知函数 f x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2（1）若对任意x R ，都有f x 0 ，求 a 的取值范围；（2）若 a 2 ，且存在x R ，使得f x 0 ，求a 的取值范围．10．（本小题满分２０分）已知数列an 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有a1 a2 an 2 a13 a2 an 3 3（1）当n 3 时，求所有满足条件的三项组成的数列a1 a2 a3 （2）是否存在满足条件的无穷数列an ，使得a2013 2012 若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为 4 ，OB OD 6 ．且（1）求证：OA OC 为定值；（2）当点A在半圆x 2 y 4 （2 x 4 ）上运动时，求2 2点C 的轨迹．2012 年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40 分）如图，在锐角ABC 中，AB AC M N 是BC 边上不同的两点，使得BAM CAN . 设ABC 和AMN 的外心分别为O1 O2 ，求证：O1 O2 A 三点共线。
2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准
2012年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题参考解答及评分标准一、选择题（每小题6分，共36分） 1、选B.解：2222222221(1)()()111a b a b x x x x a b a b a b x x x x x x-+=+-+=++⋅+⋅≥+---. 当ax a b=+时，取得最小值2()a b +.2、选C.解：令1x =，得 231012122223n n n a a a a +++++=++++=-.又由1a 是x 的系数，n a 是n x 的系数知：1(1)1232n n a n +=++++=，1n a =，从而 1021(1)(1)6023122n n n n n n a a a +-++-=+++=---，故 1264n +=， 5n =. 3、选A.解：由已知得1)0()1()2(,1)1()0()1(,0)0(,1)1(-=-=-=--===-f f f f f f f f ，而函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f （2012）= f （2）=－1, 故选A . 4、选D.解：由题设知()f x 为偶函数，则考虑在11≤≤-x 时，恒有 ()2(1232012)20122013f x =⨯++++=⨯．所以当21321a a -≤-+≤，且111a -≤-≤时，恒有2(32)(1)f a a f a -+=-．由于不等式21321a a -≤-+≤的解集为3322a +≤≤，不等式 111≤-≤-a 的解集为20≤≤a ．因此当2253≤≤-a 时，恒有 2(32)(1)f a a f a -+=-. 故满足条件的a 值有无数多个.5、选B.解：因为2012536018032=⨯++，所以，sin(sin32)sin(sin32)0a =-=-<；sin(cos32)sin(cos32)0b =-=-<； cos(sin32)cos(sin32)0c =-=>；cos(cos32)cos(cos32)0d =-=>． 又sin 32cos32<，故.c d a b <<<故选B. 6、选B.解：将1～5如图排列，123451,4,3,2,5a a a a a =====，此时最大数5两边是1,2，次大数4两边是1,3，所求和值1223344551a a a a a a a a a a ++++最小，任何调整都将使“和值”变大；此时1234515a a a a a ++++=，但是要和为17，因此还得增加2，由于5个数两两不同，故2增加在最大数5上，此时“和值”最小，最小值为：1223344551144332277143a a a a a a a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.二、填空题（每小题9分，共54分） 1、 120 .解：0151670)5()3(22=-+⇒=-⋅+b b a a b a b a （1）22(4)(72)073080a b a b a ab b -⋅-=⇒-+= （2） （1）-（2）化简得221b b a =⋅ ；（3）（1）×15+（2）×8化简得22b a =；（4）22222·2)-(.b b b a a b a b a =+-==- 设a b b -与的夹角为θ，则21··)(-=--=bb a bb a Cos θ，120θ=.2、38.解：在 11D A 的延长线上取一点 H ，使 114A H =. 易证，1||HE B G ，||HE 平面1B FG ． 故 1111B EFG E B FG H B FG G B FH V V V V ----===．而 198B FHS ∆=，G 到平面 1B FH 的距离为 1． 故 138B EFG V -=．3、13.解：画树状图可得 1(3P A =4染蓝色)=12.4、625.解： 由已知及韦达定理，有 1235x x x ++=，1223315x x x x x x ++=，1231x x x =-，从而代数式222222112222333311()()()x x x x x x x x x x x x ++++++=333333233112122331x x x x x x x x x x x x ---⋅⋅--- =232323223333111122122331(551)(551)(551)(551)(551)(551)x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---------------⋅⋅--- =122331125(1)(1)(1)x x x x x x +-+-+- =312125(4)(4)(4)x x x --- =625. 5解：易知2a =，ce =. 而渐近线方程为0202x y bx y b ±=⇒±=.又右焦点到渐近线的距离为d b =，故b b e =⇒=⇒==.6、90 .解：由6514233=+=+=+及题设知，个位数字的选择有5种.因为321=+7610=+-，故（1） 由321=+知，首位数字的可能选择有2510⨯=种；（2） 由37610=+-及54123=+=+知，首位数字的可能选择有248⨯=种. 于是，符合题设的不同点的个数为5(108)90⨯+=.三、解答题（每小题20分，共60分） 1、解：（I ）若5a 为偶数，则21255=⇒=a a ， (i)若4a 为偶数，则42244=⇒=a a[1]若3a 为偶数，则84233=⇒=a a……………………………5分(1)若2a 为偶数，则168222=⇒=a a①若1a 为偶数，则3216211==⇒=a m a符合②若1a 为奇数，则516131==⇒=+a m m 符合 (2)若2a 为奇数，则378122=⇒=+a 3a ，但不论m 是奇数还是偶数，均不会使2a 的分母出现3. ……………………10分 [2]若3a 为奇数，则14133=⇒=+a 3a(1)若2a 为偶数，则21222=⇒=a a ①若1a 为偶数，则42211==⇒=a m a符合②若1a 为奇数，则312131==⇒=+a m m 舍去(2)若2a 为奇数，则01122=⇒=+a 3a ，但不论正整数m 是奇数还是偶数，均不会使2a 等于0. ……………………………15分(ii)若4a 为奇数，则312144=⇒=+a 3a ，但从正整数m 递推不可能使4a 的分母出现3（II ）若5a 为奇数，则011355=⇒=+a a ，但不论正整数m 是奇数还是偶数，均不会使5a 等于0.综上所述m 所有可能的取值为{32，5，4}. …………………………20分2、证明：如图，连结PA 、PB ，分别取PA 、PB 的中点E 、F ，则四边形PEMF 是平行四边形. …………………………5分 于是，得PEM PFM ∠=∠, 又由12ME BP CF ==，12MF AP DE ==，MD MC =, 从而 DEM ∆≌MFC ∆，DEM MFC ∠=∠. ……………………10分 故 PED DEM PEM MFC PFM PFC ∠=∠-∠=∠-=∠，又 2PED PAD ∠=∠，2PFC PBC ∠=∠，得 PAD PBC ∠=∠， 由于 290PQA PDA ∠=∠=，290PQB PCB ∠=∠=，从而 P 、Q 、A 、D 和P 、Q 、B 、C 分别四点共圆.……………………15分 于是，PQD PAD ∠=∠，PQC PBC ∠=∠，故 PQC PQD ∠=∠ ……………………………………20分3、解：(1) 以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6. ………………5分因为 1||||182||||236||||2|)||(|||||26||||cos 22222--=--+=-+=CB CA a CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA C又 22)22(||||a a CB CA =≤⋅，所以 2181cos a C -≥，由题意得 25,25718122==-a a. 此时，|PA|=|PB|，P 点坐标为 P(0，±4).所以C 点的轨迹方程为)0(1162522≠=+y y x ………………………………10分 (2) 不妨设A 点坐标为A(-3，0)，M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).当直线MN 的倾斜角不为900时，设其方程为 y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 0)1169(83)16251(2222=-+++k x k x k 显然有 △≥0， 所以 222122212516400225,2516150kk x x k k x x +-=+-=+ 而由椭圆第二定义可得25165311442553125251614453125251614481251645025259)(325)535)(535(||||22222222212121+-⋅+=+-+=+-+++=++-=--=⋅k k kk k k k k x x x x x x BN BM ………………15分只要考虑251653114422+-k k 的最小值，即考虑2516531144251612++-k 取最小值. 当k=0时，||||BN BM ⋅取最小值16.当直线MN 的倾斜角为900时，x 1=x 2=-3,得 16)534(||||2>=⋅BN BM . 但 在22102516x y y +=≠上，故0≠k ，这样的M 、N 不存在，即||||BN BM ⋅的最小值的集合为空集. ……………………20分。
2012年全国高中数学联赛加试试题(B卷)参考答案及评分标准
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因此， Ｐ Ａ Ｍ＝ Ｐ Ａ＋ Ｍ Ｂ ． 所以 Ａ Ｍ＝ Ｍ Ｂ １ ０分 故Ｍ Ｎ Ｂ ． ⊥Ａ 连结 Ｑ Ｉ 并延长， 交Ａ Ｎ于 Ｃ ， 则Ｃ Ｑ Ｂ ． ⊥Ａ １ １ 因而 Ｍ Ｎ Ｑ ２ ０分 ∥Ｃ １ 因此， Ｃ Ｑ＝ Ｎ Ｍ＝ Ｐ Ｑ ． ∠Ａ ∠Ａ ∠Ａ １ 故Ａ 、 Ｐ 、 Ｃ 、 Ｑ四点共圆 ３ ０分 １ 从而∠Ａ Ｐ Ｃ １ ８ ０ ° － Ｑ Ｃ ９ ０ ° ＝ Ｐ Ｃ ． ∠Ａ ∠Ａ １＝ １＝ 所以点 Ｃ 即Ｃ 、 Ｉ 、 Ｑ三点共线 １ 与点 Ｃ重合， 二、 （ 本题满分 ４ ０分） 给定整数 ｎ ＞ １ ， 设ａ ， ａ ， …， ａ 记集合 １ ２ ｎ 是互不相同的非负实数， Ａ＝{ ａ ａ Ｂ＝{ ａ ａ }， } │１ ≤ｉ ≤ｊ ≤ｎ │１ ≤ｉ ≤ｊ ≤ｎ． ｉ＋ ｊ ｉ ｊ 求 │Ａ │ 的最小值． 这里， │Ｘ │表示集合 Ｘ中元素的个数． │Ｂ │
２ ０ １ ２年全国高中数学联赛加试试题（ Ｂ卷） 参考答案及评分标准
说明：
１ 、 评阅试卷时， 请严格按照本评分标准的评分档次给分； ２ 、 如果考生的解答方法和本解答不同， 只要思路合理， 步骤正确， 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评 分， １ ０分为一个档次， 不要再增加其他中间档次．
一、 （ 本题满分 ４ ０分） 如图， 圆Ｉ 内切于圆 Ｏ ， 切点为 Ｐ ， 圆 Ｏ的弦 Ａ Ｂ切圆 Ｉ 于点 Ｑ ， Ｐ Ｑ的延长线交圆 Ｏ于点 Ｍ， Ｍ Ｎ为圆 Ｏ的直径． 过点 Ｐ作 Ｐ Ａ的 垂线交 Ａ Ｎ于点 Ｃ ． 求证： Ｃ 、 Ｉ 、 Ｑ三点共线． 证明： 作圆 Ｏ ， 圆Ｉ 的公切线 Ｐ Ｄ ， 则∠Ｍ Ｐ Ｄ＝ Ｑ Ｐ ． ∠Ａ
２ ｜ ｘ １－ Ａ ｜ ｎ － １＋ ｜ ｘ Ａ ｜ ＝｜ ｘ ＋ １－ Ａ ｜ ＝ ０分 ３ ｎ－ ｎ － １ 槡 ｘ １＋ Ａ ｎ － １＋ 槡 ２ 由 Ａ满足方程①知， １－ Ａ ＝－ Ａ ． 又槡 ｘ １＋ Ａ＞ Ａ＞ １ ， ｎ － １＋
2012年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案
．
2012 年全国高中数学联赛江苏赛区复赛参考答案第 1 页 共 5 页
答案：4
10
；由三角形的面积公式得
1 2
·AC·BCsinC＝
1 2
×3×10＝15，
所以 AC·BC ≥30.当且仅当∠C＝90º时，等号成立，即 AC2+BC2＝100，
所以 (AC+BC)2＝AC2+BC2+2AC·BC＝160，即 AC+BC＝4 10 .
＝
1 2
b2
(1
cos C )
+
1 2
c2
(1
cos
B)
+
1 2
bc(1+cosB)(1+cosC)－
1 2
bc
sinBsinC
＝ 1 b2+ 1 c2+ 1 b(bcosC+ccosB)+ 1 c(bcosC+ccosB) + 1 bc+ 1 bccos(B+C) ……8 分
2 22
2
22
＝ 1 b2+ 1 c2+ 1 ab+ 1 ac + 1 bc－ 1 bccosA
解法二：b2cos2
C 2
＋c2cos2
B 2
＋2bccos
B 2
cos
C 2
sin
A 2
＝4R2(sin2Bcos2
C 2
＋sin2Ccos2
B 2
＋2sinBsinCcos
B 2
cos
C 2
sin
A 2
)
＝16R2
cos2
B 2
2012全国高中数学联赛贵州省初赛试题参考答案及评分标准
2012全国高中数学联赛贵州省初赛试题参考答案及评分标准一、填空题：（每小题8分，共64分）1．函数22011||2012y x x =-+的图象与x 轴交点的横坐标之和为_____________． 解：0原问题可转化为求方程22011||20120x x -+=①的所有实根之和． 若实数0x 为方程①的根，则其相反数0x -也为方程①的根．所以，方程的所有实根之和为0，即函数的图象与x 轴交点的横坐标之和为0． 2．一个3元集S 的所有子集的元素的和的总和等于2012（空集的元素的和认为是零），则S 的元素之和等于______________． 解：503设{,,}S a b c =，则有22()2012a b c ++=，故503a b c ++=．3．已知0x ≥，0y ≥，并且221x y +=，则()x x y +的最大值是___________．解：12设cos x θ=，sin y θ=，[0,]2πθ∈，则1cos 21()cos (cos sin )sin 222x x y θθθθθ++=+=+1sin(2)242πθ=++∴当8πθ=时，()x x y +取最大值12． 4．记()S n 表示非负整数n 的各个数位上的数字之和，如(1997)199726S =+++=，则(1)(2)S S ++(2012)S +=______________．解：28077先计算(0)(1)(2)(1999)S S S S S =++++，则2(1999)2000S =+++⨯故28000S =又(2000)(2001)(2012)213(129)[1(11)(12)]S +++=⨯+++++++++2645577=++= 所求的各位数字之和为28077． 5．在ABC ∆中，若321AB BC BC CA CA AB⋅⋅⋅==，则tan A =______________．由已知得222222222321c a b a b c b c a +-+-+-==，则222::5:3:4a b c =由余弦定理得cos tan A A =⇒=6．已知正四面体ABCD 的棱长为2，所有与它的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面积之和为_____________．解：3这样的截面分两类：（1）截面的一侧有一个顶点，另一侧有三个顶点，如图a 中的111B C D ∆，其中1B 、1C 、1D 分别是棱AB 、AC 、AD的中点，这样的截面共有四个，每个截面的面积为4； （2）截面的两侧各有两个顶点，如图b 中的四边形MNPQ ，其中M 、N 、P 、Q 分别是棱AB 、BC 、CD 、AD 的中点，这样的截面共有三个，都是正方形，每个截面的面积为1，综上所述，所有截面的面积之和为3图a 图b7．从{1,2,3,,100}中任取5个数（可以相同），则取到合数的个数的数学期望是____________．解：3710BB{1,2,3,,100}中合数共有74个，设ξ为取到合数的个数，则557426()()()100100i i iP i C ξ-==（05i ≤≤），故ξ服从二项分布． 因此，7437510010E ξ=⨯=． 8．已知cos coscos cos221cos()cos()22βααββααβ+=--，则cos cos αβ+的值等于____________． 解：由题意得cos()cos()cos()cos()22222cos()cos()22ββααααβββααβ++-++-+=--．即cos()cos()22cos()cos()22βααββααβ++=---． 由合比定理，得cos cossin sin22sin sincos cos22βααββααβ=，即2sinsincos 22cos 2sinsin22αβααβα=故22cos cos 4sin sin (1cos )(1cos )22αβαβαβ==--故cos cos 1αβ+=．二、解答题：（16分20+分20+分）9．设数列{}n a 满足13a =，28a =，2122n n n a a a ++=+，*n N ∈，求数列{}n a 的通项公式． 解：对应的特征方程是222x x =+，特征根为11x =，21x = …………4分于是12(1(1n n n a A A =+， …………8分 由初始条件得122212(1(13(1(18A A A A ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ …………12分解得1A =2A = 故数列{}n a的通项公式为n n n a =+． …………16分 10．设正实数x 、y 、z 满足1xyz =．试求(,,)(1)(1)(1)f x y z yz z zx x xy y =-+-+-+的最大值及此时x 、y 、z 的值．解：注意到1010yz z xz x -+<⎧⎨-+<⎩11x xz y xy +<⎧⇔⎨+<⎩ …………5分 ()()1x xz y xy ⇒++<20x xy x y ⇔++<矛盾．故1yz z -+、1zx x -+、1xy y -+中最多只有一个为负． …………10分不妨设三式都为正．由(1)(1)(1)()()()yz z zx x xy y x xyz xz y xyz xy z xyz yz -+-+-+=-+-+-+ (1)(1)(1)x xz y xy z yz =-+-+-+，则22(,,)[(1)(1)(1)]f x y z yz z xz x xy y =-+-+-+=[(1)(1)(1)][(1)(1)(1)]yz z xz x xy y x xz y xy z yz -+-+-+⋅-+-+-+ …15分 222222[(1)][(1)][(1)]z yz x xz y xy =------ 2()1xyz ≤= 当1x y z ===时，等号成立所以max (,,)1f x y z =． …………20分11．如图，已知A 、B 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点，P 、Q 是该椭圆上不同与顶点的两点，且直线AP 与QB 、PB 与AQ 分别交于点M 、N ． （1）求证：MN AB ⊥；（2）若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．解：（1）设(cos ,sin )P a b αα，(cos ,sin )Q a b ββ，由(,0)A a -，(,0)B a 得AP l ：(1cos )sin ()a y b x a αα+=+，①QB l ：(cos 1)sin ()a y b x a ββ-=-，② …………5分联立①、②消去y 得sin (cos 1)()sin (1cos )()x a x a αββα-+=+-⇔[sin (cos 1)sin (1cos )][sin (1cos )sin (1cos )]x a αββααββα--+=--+⇔[sin()sin sin ][sin sin sin()]x a αβαβαββα---=--+ ⇔cos(sinsin)cos(sinsin)222222x a αβαβαβαβαβαβ--++-+-=-⇔cos2cos2M a x αβαβ+=-（因P 、Q 不同于顶点） 同理，cos2cos2N a x αβαβ+=-，故M N x x =，所以MN AB ⊥； …………10分 （2）注意到2(cos ,sin )F P a c b αα=-，2(cos ,sin )F Q a c b ββ=- 由P 、2F 、Q 三点共线⇒2F P 与2F Q 共线sin (cos )sin (cos )a c a c βααβ⇒-=-sin()(sin sin )a c αβαβ⇒-=- …………15分sincoscossin2222a c αβαβαβαβ--+-⇒⋅=⋅cos cos22a c αβαβ-+⇒= 2cos 2cos 2M N a a x x c αβαβ+⇒===-，因此直线MN 的方程为2a x c =． …………20分。
2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题及参考答案
()()()()()()()()222222222221.201220102011201320140, .:20122010201120132014201220121201212012220122 20122012120124 20122,20122404k k k k k +⨯⨯⨯=>==+⨯⨯⨯=+-⨯+⨯-⨯+=+-⨯-=-=-=若则解所以8142.()()2.sin sin cos 3 .66:sin sin cos 366 2sin coscos 36cos 32sin 36 f x x x x f x x x x x x x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭函数的最小值为解() 1,2,,3sin sin 1.66x k k Z f x x x ππππ≥=-+∈⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时等号成立即函数的最大值为()()()()()()()()()2222222222113.,,,2,, .2111:,222421 0,2421,220,24bx f x a b ab f x f k k x ax bx b x b bx b x f x f k x x a ax ax a x abx b x bx k ax a x ab b ab a b a a +⎛⎫=≠⋅== ⎪+⎝⎭+++++⎛⎫⋅=⋅== ⎪+++++⎝⎭+++∀≠=++++=--=+设是常数且若是常数则解若对于均有是常数则有即()()()22222,2,1111 ,.244242ab a b bx b x b b f x f k x a ax a x a ≠=+++⎛⎫⋅==== ⎪+++⎝⎭因为所以于是即()()21224.33, .:31,30, 3,120, 390,2492.4x x x p p t t t p f t t t p f p f p p +-==>--==--=-->⎧⎪⎨⎛⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎩-<<-若方程有两个不相等的正实数根则的取值范围为解令则设于是解得()()1112131415212223242531323334354142434445515253545512345123455.55,,,,,15,,,,,15,i i i i i j j j j j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a i a a a a a j ⨯≤≤≤≤如图是一个的数表其中成等差数列成等比数列每一列的24414311554442424144434544244244111554531155,4,2,10, .:6,4,16,22,2 4,2,1,22,211.a a a a a a a d a a d a a d a a d aq q aa a a a q qa a==-=⨯=-===+==+==+====±===⋅=±⨯=-公比都相等且则解于是从而于是可得所以()()()()()()()()()16.,ln 2, .21:ln 2,2,ln 2 1ln 2,1,0,1,0;1,,0; x x P y e Q y x PQ y e y x y x Q y x x x d f x xx f x xx f x x f x ======-=='=-=-''∈<∈+∞>若点在曲线上点在曲线上则的最小值为解注意到与的图像关于直线对称只需考虑点到直线的距离其中令则若则若则于()()())0,min 11ln 2,min 2min 1ln 2.x f x f PQ d ∈+∞==-==-是因此)7.441622,,, .:,16,,9,169,72,2,1,, a b a a a b b a b ⨯⨯=在一个的个小方格中填入个和个每个小方格至多填一个字母若相同的字母既不在同一行也不在同一列共有种排列方式解先填入第一个有种填法再填入第二个有种排法考虑到两个是相同的共有种排法现在填入第一个若第一个填入后两个分别与第一个同行或同列则第二))929,9,22,,888,32,23,,747,14255,,7255=3960.b b a b b b a b b ⨯=⨯=⨯=⨯个有种填法此时有种填法若第一个填入后有且仅有一个与第一个同行或同列则第二个有种填法此时有种填法若第一个填入后两个均与第一个不同行且不同列则第二个有种填法此时有种填法,这里共有种填法根据乘法原理共有种填法()()222228.,,80,112,156, .:,,,180,31112,313a b h h a h b a h b h b a a ab ππππππππππ+-=+-=+在一个直角梯形中上底长小于下底长若以它的下底为轴旋转所得旋转体的体积为以上底为轴旋转所得体积为以直角腰为轴旋转所得体积为则直角梯形周长为解设上底长为下底长为高为则有()2156,3,9,4, 16b h a b h π+====+解得从而非直角腰的长为于是直角梯形周长为二、解答题：本大题共3小题，共56分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.()()()22221.161,0,,,,,,,::cos ,sin ,, ,, x y a b A B a bP A B AP OA OP k P a b OP a OA AP a OP OA AP OAP OPA θθ+=>>=>===<=∠<∠=本小题分已知椭圆点分别为椭圆的左右顶点是椭圆上异于的一点满足证明直线的斜率满足证明设点坐标为则又于是从而,,3,,2322 tan tan AOP OAP OAP OAP OPA OPA k OPA πππππθ∠∠<-∠-∠∠=>∠=<==∠>可知于是所以()()()()()22222222222222222222222.20,,,3,.,,, ,9 3,,4,224 a b c a b c S a ab b b bc c c ca a a b c b bc c b c ca a a S a b a ab b a b a b c a b p ab q p q S a b a ab ++==-+-+-+≥≥-+≤-+≤≤-++++⎛⎫⎛⎫+=≤=≤≤=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤-本小题分令是非负实数求的最大值解:不妨设则于是设且于是()()()()()()()[)()()()()9222220,393, 93,92,9 0,2,0;2,,0,4 max 212, 12,2,1,0.q b q p q q q f q q q f q q q q f q q f q f q f S a b c ⎡⎤∈⎣⎦+=-≤-'=-=-⎛⎤''∈>∈< ⎥⎝⎦=====令则若则若则从而于是的最大值为在及其轮换时取得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()222223.20:**,,*,.1,11|11|, 11|111,11,11,11|11,11,1,*,1|1,11,f N N x y N f x y f y x x y f f a b b a f f f f f f f f x y n n N f n f n f n f n f n →∈++==+++-⎡⎤⎣⎦+=+-===∈+++≤+≤本题满分分求所有函数使得对任意均有被整除解:令可得这里表示被整除即显见从而 只能是 令 可得 从而即()()()()()()()()()()222,*,1*,1|1,11,,,,*.n x n n N y n N f n f n f n f n f n n f n n f x x x N =∈=∈+++≥+≥==∈ 又令 可得 从而即 于是 经检验满足题意。
2012年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析
2012年全国高中数学联赛江苏赛区试题解析一、填空题1. 当[3,3]x ∈-时,函数3()3f x x x =-的最大值为_______2. 在△ABC 中 ,已知12,4AC BC AC BA ⋅=⋅=-,则AC=_____3.从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数,这3个数可以构成等差数列的概率是_______4. 已知a R ∈,方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实数根是b ,则a bi +的值为______5. 在平面直角坐标系 XOY 中,双曲线221124x y -=的右焦点为F,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A,B 两点。
若△FAB 的面识为l 的斜率为________6. 设为a 正实数, lg a k a =，则k 的取值范围是_________7. 在四面体ABCD 中,AB= AC=AD=DB=5,BC=3,CD =4,该四面体的体积为_____ 8.已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足: 113a b +=，227a b +=，3315a b +=，4435a b +=，则n n a b +=________9. 将27，37，47，48，55，71，75这 7个数排成一列,使任意连续4个数的和为3的倍数则这样的排法有____ 种。
10．三角形的周长为31，三边为,,a b c 均为整数且 a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为________二、解答题11.在∆ABC 中,角A,B,C 对应的边分别为a,b,c,证明：(1) cos cos b C c B a +=； ⑵22sin cos cos 2C A Ba bc+=+12．已知,a b 为实数, 2a >，函数()ln (0)af x x b x x=-+>，若(1)1f e =+ (2)ln 212ef =-+ (1)求实数,a b ； (2)求函数()f x 的单调区间； (3)若实数,,c d 满足,1c d cd >=,求证：()()f c f d <13. 如图,半径为1的圆O 上有一定点M, A 为圆O 上动点，在射线OM 上有一动点B,AB=1,OB>1. 线段AB 交圆O 于另一点C,D 为线段OB 的中点，求线段CD 长的取值范围M BDOA14. 设,,,a b c d 是正整数，,a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两根，证明：存在边长是正整数且面积为ab 的直角三角形。
2012年全国高中数学联赛(河北)赛区竞赛试卷
1 2 2 1
2 2
正视图
侧视图
A. 4+ B. 4+ C. 4+ D. 4+
俯视图（圆和正方形）
解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分
（），所以该几何体的体积为。正确答案为A。 7．某程序框图如右图所示，现将输出（值依 次记为：若程序运行中
输出的一个数组是 则数组中的（ B ） A．64 B．32 C．16 D．8
A. B. C. D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为代入椭圆方程得 。正确答案为C。 5. 函数，则该函数为（ A ）
A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数 C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案 为A。 6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）
答案 经计算。正确答案为 B。 8. 在平面区域上恒有，则动点所形成平面区域的面积为（ A ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32 解答：平面区域的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—
1），（1，1）满足，即有 由此计算动点所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。 9. 已知函数在上有两个零点，则m的取值范围为（ C ）
20. 已知椭圆，过其左焦点作一条直线交椭圆于A，B两点，D为右侧一
点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过 ，
求 a的值。
解答：。
设，由 得设。由M、A、D共 Nhomakorabea。 又，得=整理得 。
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--------------17分