2019-2020年高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修

2019-2020年高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A 版选
修
一、基础达标
1.已知圆的渐开线的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，
y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的
基圆的周长是( ) A.π B.2π C.3π
D.4π
解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B. 答案 B
2.已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ
(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝
π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )
A.π
2
－1 B. 2 C.10
D.
3π
2
－1 解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为
⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π
2代入参数方程中可得⎩⎪
⎨
⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π
2－1，y ＝3，
即A ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2－3，3，∴|AB |＝
⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2－3－3π22
＋（3－2）2＝10.
答案 C
3.摆线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2（t －sin t ），y ＝2（1－cos t ）(t 为参数，0≤t ＜2π)与直线
y ＝2的交点的直角坐标是
( )
A.(π－2，2)，(3π＋2，2)
B.(π－3，2)，(3π＋3，2)
C.(π，2)，(－π，2)
D.(2π－2，2)，(2π＋2，2)
解析 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0.∵t ∈[0，2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π
2.代入参数方程
得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2). 答案 A
4.已知圆的渐开线的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，
y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的
基圆的直径是________，当参数θ＝π
4时对应的曲线上的点的坐标为________.
解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π
8，由此可得对
应的坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫22
＋2π8，22－2π8.
答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2
2＋2π8，22－2π8
5.已知圆的方程为x 2＋y 2
＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐
标为________.
解析 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ）
y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ
为参数).
当φ＝π
2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2).
答案 (π，2)
6.给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.
解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6，
所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，
y ＝3sin φ－3φcos φ
(φ为参数).
以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，
y ＝3－3cos φ(φ为参数). 7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π
2
，求A 、B 两点的距离.
解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩
⎪⎨
⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，
y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，
分别把φ＝π3和φ＝π
2
代入，可得A 、B 两点的坐标分别为
A ⎝
⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝
⎛⎭⎪⎫π2，1.
那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为
|AB |＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫33－π6－12
＝16
（13－63）π2
－6π－363＋72. 即A 、B 两点之间的距离为
16
（13－63）π2
－6π－363＋72. 二、能力提升
8.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ︵、EF ︵、FG ︵、GH ︵
…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( ) A.3π B.4π C.5π
D.6π
解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π
2，继续旋转可得EF ︵是
半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的
1
4圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C
9.已知一个圆的平摆线方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－2sin φ，
y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平
摆线上最高点的坐标.
解 由平摆线方程知，圆的半径为2，
则圆的周长为4π.当φ＝π时，y 有最大值4， 平摆线具有周期性，周期为2π.
∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2k π，4)(k ∈Z ).
10.渐开线方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），
y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆
的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标. 解 由渐开线方程可知基圆的半径为6，则圆的方程为x 2
＋y 2
＝36. 把横坐标伸长到原来的2倍，
得到椭圆方程x 2
4＋y 2
＝36，即x 2114＋y 2
36＝1， 对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0).
11.如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚
动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r
2
，请推
出Q 的轨迹的参数方程.
解 设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (r θ，r )，
则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）.当|AQ |＝r
2时，
有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －r θ，y 0＝2y －r ， 代入⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），
y 0＝r （1－cos θ）. ∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－12sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－12cos θ(θ为参数).
当AQ ＝3r
2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0
＝r θ＋2x 3，y 0
＝r ＋2y 3，
代入⎩
⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0
＝r （1－cos θ）.
∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－32cos θ(θ为参数).
三、探究与创新
12.已知一个参数方程是⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，
y ＝2＋t sin α，如果把
t 当成参数，它表示的图形是直线l (设
斜率存在)，如果把α当成参数(t ＞0)，它表示半径为t 的圆. (1)请写出直线和圆的普通方程；
(2)如果把圆平移到圆心在(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程.
解 (1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t ＞0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2
＋(y －2)2
＝t 2
.
(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝t （φ－sin φ），y ＝t （1－cos φ）(φ为参数).
2019-2020年高中数学第2讲参数方程讲末检测新人教A 版选修
一、选择题
1.下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－2
2
t y ＝2＋2
2t (t 为参数)上的是( )
A.(－1，2)
B.(2，－1)
C.(3，－2)
D.(－3，2)
解析 直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 答案 D
2.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3
(t 为参数)，圆C 的极坐标方程
是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B.214 C. 2
D.22
解析 由题意得，直线l 的普通方程为x －y －4＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2
＋y 2
＝4，则圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|
2
＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为
222
－（2）2
＝2 2.
答案 D
3.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆
B.两条直线
C.一个圆和一条射线
D.一条直线和一条射线
解析 ∵(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，∴ρ＝1或θ＝π(ρ≥0).ρ＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，θ＝π(ρ≥0)表示x 轴的负半轴，是一条射线，故选C. 答案 C
4.在极坐标系中，已知点P ⎝
⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是( )
A.ρsin θ＝1
B.ρsin θ＝ 3
C.ρcos θ＝1
D.ρcos θ＝ 3
解析 因点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，得x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，
即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1， 再化为极坐标为ρsin θ＝1，选A. 答案 A
5.已知O 为原点，当θ＝－π
6时，参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直
线OA 的倾斜角为( ) A.π
6 B.π3 C.2π3
D.5π6
解析 当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－9
2，
∴k OA ＝tan α＝y x
＝－3，且0≤α＜π， 因些α＝2
3π.
答案 C
6.若直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，
y ＝2－4t (t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为( )
A.－45
B.－35
C.35
D.45
解析 由题意知，直线l 的普通方程为4x ＋3y －10＝0.设l 的倾斜角为θ，则 tan θ＝－43.由1cos 2θ＝1＋tan 2θ知cos 2
θ＝925.∵π2<θ<π，∴cos θ＝－35，故选B.
答案 B
7.椭圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，
y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )
A.74
B.73
C.
72
D.
75
解析 椭圆⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝7
4.故选A.
答案 A 8.若直线y ＝x －b
与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，
y ＝sin θθ∈[0，2π)有两个不同的公共点，则实数
b
的取值范围是( ) A.(2－2，1)
B.[2－2，2＋2]
C.(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)
D.(2－2，2＋2)
解析 由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2
＝1.
将y ＝x －b 代入(*)，化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2
＋3＝0， 依题意，Δ＝[－(4＋2b )]2
－4×2(b 2
＋3)＞0. 解之得2－2＜b ＜2＋ 2. 答案 D
9.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θ
y ＝cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( ) A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分，且过点⎝
⎛⎭⎪⎫－1，12 D.抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 解析 由y ＝cos 2⎝ ⎛⎭
⎪⎫π
4－θ2＝
1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪
⎫
π2－θ2＝
1＋sin θ
2
，
可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ得x 2
－1＝sin θ， ∴参数方程可化为普通方程x 2
＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D. 答案 D 10.已知直线l ：⎩⎨
⎧x ＝3t ，y ＝2－t
(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2
＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则
点A (0，2)到P 1，P 2两点距离之和是( ) A.4＋ 3 B.2(2＋3) C.4(2＋3) D.8＋3
解析 将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3
2
t ′y ＝2＋1
2t ′
(t ′为参数)，代入y 2
＝2x ，得t ′2
＋4(2＋
3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16＞0.
由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0，2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋
t 2′|＝4(2＋3).
答案 C 二、填空题
11.双曲线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝tan φ，
y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________.
解析 化参数方程为普通方程，得y 2－x 2
＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 答案 x ±y ＝0
12.在极坐标系中，直线过点(1，0)且与直线θ＝
π
3
(ρ∈R )垂直，则直线极坐标方程为
________.
解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π
3
的斜率是3，所求直线是过点(1，0)，且斜率是－
13
，所以直线方程为y ＝－13
(x －1)，化为极坐标方程
ρsin θ＝－
1
3
(ρcos θ－1)化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1. 答案 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1⎝ ⎛⎭
⎪⎫或2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1、()ρcos θ＋3ρsin θ＝1
13.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，
y ＝3＋t
(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为
极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2
θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.
解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2
＝4x ， 联立两方程，得⎩⎪⎨
⎪
⎧y ＝x ＋1，y 2
＝4x ，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝1，
y ＝2.
所以公共点为(1，2).
所以公共点的极径为ρ＝22
＋1＝ 5. 答案
5
14.已知P 为椭圆4x 2
＋y 2
＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________. 解析 由4x 2
＋y 2
＝4，得x 2
＋y 2
4＝1.
令⎩⎪⎨
⎪
⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ
(φ为参数)，
则|OP |2
＝x 2
＋y 2＝cos 2
φ＋4sin 2
φ＝1＋3sin 2
φ. ∵0≤sin 2
φ≤1， ∴1≤1＋3sin 2
φ≤4， ∴1≤|OP |≤2. 答案 [1，2] 三、解答题
15.已知椭圆的参数方程⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，
y ＝2sin θ(θ为参数)，求椭圆上一点
P
到直线⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2－3t
y ＝2＋2t (t
为参数)的最短距离.
解 由题意，得P (3cos θ，2sin θ)，直线：2x ＋3y －10＝0.
d ＝
|6cos θ＋6sin θ－10|13
＝
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1013
，
而62sin ⎝
⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10∈[－62－10，62－10].
∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪
62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1013∈⎣
⎢
⎡
⎦
⎥⎤10－6213，10＋6
213.
∴d min ＝10－62
13
.
即椭圆上的点到直线的最短距离为10－62
13
.
16.已知圆O 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ
y ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π).
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π
3
，求点M 的坐标.
解 (1)由⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ
y ＝2sin θ(0≤θ＜2π)，
平方得x 2＋y 2
＝4，
∴圆心O (0，0)，半径r ＝2.
(2)当θ＝5
3π时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－ 3.
∴点M 的坐标为(1，－3).
17.已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，
y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与
t
＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点. (1)求M 的轨迹的参数方程；
(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，
因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α).
M 的轨迹的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π). (2)M 点到坐标原点的距离
d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π).
当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点.
18.在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)写出直线l 的参数方程；并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；
(2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围.
解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨
⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数). ∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，
所以C ：x 2＋y 2＝4x .
(2)直线l 的参数方程为⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16（sin α＋cos α）2－16＞0t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）t 1·t 2＝4
∴sin α·cos α＞0，又α∈[0，π)，
所以α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，t 1＜0，t 2＜0. 而|PM |＋|PN |＝
（4＋t 1cos α－4）2＋（2＋t 1sin α－2）2
＋（4＋t 2cos α－4）2＋（2＋t 2sin α－2）2
＝|t 1|＋|t 2|＝－t 1－t 2＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. ∵α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4
，3π4，
∴
2
2
＜sin
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
α＋
π
4
≤1，
所以|PM|＋|PN|的取值范围是为(4，42).。