2019-2020年高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A版选修

2019-2020年高中数学第2讲参数方程四渐开线与摆线练习新人教A 版选修一、基础达标1.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( ) A.π B.2π C.3πD.4π解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B. 答案 B2.已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1 解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（t －sin t ），y ＝2（1－cos t ）(t 为参数，0≤t ＜2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A.(π－2，2)，(3π＋2，2)B.(π－3，2)，(3π＋3，2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2，2)，(2π＋2，2)解析 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0.∵t ∈[0，2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2). 答案 A4.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8.答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π85.已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________.解析 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ）y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数).当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2).答案 (π，2)6.给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数).以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数). 7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π2，求A 、B 两点的距离.解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16（13－63）π2－6π－363＋72. 即A 、B 两点之间的距离为16（13－63）π2－6π－363＋72. 二、能力提升8.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ︵、EF ︵、FG ︵、GH ︵…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( ) A.3π B.4π C.5πD.6π解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C9.已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标.解 由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4π.当φ＝π时，y 有最大值4， 平摆线具有周期性，周期为2π.∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2k π，4)(k ∈Z ).10.渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标. 解 由渐开线方程可知基圆的半径为6，则圆的方程为x 2＋y 2＝36. 把横坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2114＋y 236＝1， 对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0).11.如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r2，请推出Q 的轨迹的参数方程.解 设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (r θ，r )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）.当|AQ |＝r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －r θ，y 0＝2y －r ， 代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）. ∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－12sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12cos θ(θ为参数).当AQ ＝3r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r θ＋2x 3，y 0＝r ＋2y 3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）.∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32cos θ(θ为参数).三、探究与创新12.已知一个参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α，如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t ＞0)，它表示半径为t 的圆. (1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程.解 (1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t ＞0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2.(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t （φ－sin φ），y ＝t （1－cos φ）(φ为参数).2019-2020年高中数学第2讲参数方程讲末检测新人教A 版选修一、选择题1.下列点不在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A.(－1，2)B.(2，－1)C.(3，－2)D.(－3，2)解析 直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 答案 D2.以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( ) A.14 B.214 C. 2D.22解析 由题意得，直线l 的普通方程为x －y －4＝0，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为222－（2）2＝2 2.答案 D3.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A.两个圆B.两条直线C.一个圆和一条射线D.一条直线和一条射线解析 ∵(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，∴ρ＝1或θ＝π(ρ≥0).ρ＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，θ＝π(ρ≥0)表示x 轴的负半轴，是一条射线，故选C. 答案 C4.在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是( )A.ρsin θ＝1B.ρsin θ＝ 3C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3解析 因点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，得x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1， 再化为极坐标为ρsin θ＝1，选A. 答案 A5.已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 的倾斜角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92，∴k OA ＝tan α＝y x＝－3，且0≤α＜π， 因些α＝23π.答案 C6.若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，则直线l 的倾斜角的余弦值为( )A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，直线l 的普通方程为4x ＋3y －10＝0.设l 的倾斜角为θ，则 tan θ＝－43.由1cos 2θ＝1＋tan 2θ知cos 2θ＝925.∵π2<θ<π，∴cos θ＝－35，故选B.答案 B7.椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74B.73C.72D.75解析 椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝74.故选A.答案 A 8.若直线y ＝x －b与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0，2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( ) A.(2－2，1)B.[2－2，2＋2]C.(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D.(2－2，2＋2)解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.将y ＝x －b 代入(*)，化简得2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0， 依题意，Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)＞0. 解之得2－2＜b ＜2＋ 2. 答案 D9.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( ) A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分C.抛物线的一部分，且过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 D.抛物线的一部分，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 解析 由y ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ2＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ得x 2－1＝sin θ， ∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D. 答案 D 10.已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0，2)到P 1，P 2两点距离之和是( ) A.4＋ 3 B.2(2＋3) C.4(2＋3) D.8＋3解析 将直线l 参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32t ′y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′，t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16＞0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0，2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3).答案 C 二、填空题11.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________.解析 化参数方程为普通方程，得y 2－x 2＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0. 答案 x ±y ＝012.在极坐标系中，直线过点(1，0)且与直线θ＝π3(ρ∈R )垂直，则直线极坐标方程为________.解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝π3的斜率是3，所求直线是过点(1，0)，且斜率是－13，所以直线方程为y ＝－13(x －1)，化为极坐标方程ρsin θ＝－13(ρcos θ－1)化简得2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1. 答案 2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫或2ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1、()ρcos θ＋3ρsin θ＝113.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝3＋t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，则直线l 与曲线C 的公共点的极径ρ＝________.解析 直线l 的普通方程为y ＝x ＋1，曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ， 联立两方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.所以公共点为(1，2).所以公共点的极径为ρ＝22＋1＝ 5. 答案514.已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点，则|OP |的取值范围是________. 解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋y 24＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)，则|OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ. ∵0≤sin 2φ≤1， ∴1≤1＋3sin 2φ≤4， ∴1≤|OP |≤2. 答案 [1，2] 三、解答题15.已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，求椭圆上一点P到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3ty ＝2＋2t (t为参数)的最短距离.解 由题意，得P (3cos θ，2sin θ)，直线：2x ＋3y －10＝0.d ＝|6cos θ＋6sin θ－10|13＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1013，而62sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－10∈[－62－10，62－10].∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1013∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－6213，10＋6213.∴d min ＝10－6213.即椭圆上的点到直线的最短距离为10－6213.16.已知圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π).(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ＜2π)，平方得x 2＋y 2＝4，∴圆心O (0，0)，半径r ＝2.(2)当θ＝53π时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－ 3.∴点M 的坐标为(1，－3).17.已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点. (1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点. 解 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α).M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π). (2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π).当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点.18.在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程；并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线相交于不同的两点M ，N ，求|PM |＋|PN |的取值范围.解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数). ∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，所以C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入C ：x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16（sin α＋cos α）2－16＞0t 1＋t 2＝－4（sin α＋cos α）t 1·t 2＝4∴sin α·cos α＞0，又α∈[0，π)，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，t 1＜0，t 2＜0. 而|PM |＋|PN |＝（4＋t 1cos α－4）2＋（2＋t 1sin α－2）2＋（4＋t 2cos α－4）2＋（2＋t 2sin α－2）2＝|t 1|＋|t 2|＝－t 1－t 2＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4. ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴22＜sin⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，所以|PM|＋|PN|的取值范围是为(4，42).。