3.3圆周角定理(1)
圆周角定理 课件
与圆周角定理有关的线段的计算、角的计算，不仅可 以通过计算弧、圆心角、圆周角的度数来求相关的角、线 段，有时还可以通过三角形相似、解三角形等来计算．
1.如图，直径为 10 的⊙A 经过点 C(0,5)和点
O(0,0)，B 是 y 轴右侧⊙A 弧上一点，则
cos∠OBC 的值为
()
A.12
B.
3 2
解：∵ AB＝ AC ， ∴∠ADB＝∠CDE. 又∵ BD＝ BD，∴∠BAD＝∠ECD. ∴△ABD∽△CED. ∴ACDD＝BEDD， 即63＝E5D. ∴ED＝2.5 (cm)．
3.如图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它 的外接圆于点 E. (1)证明：△A B E ∽△A DC； (2)若△ABC 的面积 S＝1AD·AE， 2 求∠BAC 的大小． 解：(1)证明：由已知条件可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角， 所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC.
C.3
D.4
5
5
解析：法一：设⊙A与x轴另一个交点为D，
连接CD，如图所示．
因为∠COD＝90°，
所以CD为⊙A的直径．
又因为∠CBO 与∠CDO 为圆弧 CO 所对 的圆周角， 所以∠CBO＝∠CDO. 又因为 C(0,5)， 所以 OC＝5. 在 Rt△CDO 中，CD＝10，CO＝5， 根据勾股定理得 OD＝ CD2－OC2＝5 3. 所以 cos∠OBC＝cos∠CDO＝OCDD＝5103＝ 23，故选 B.
利用圆周角定理证明等量关系时，主要是分析圆周 角、圆心角、弧、弦之间的等量关系，有时需添加辅助线 构造等弧、等角、等弦的条件．
[例2] 如图，已知BC为半⊙O的直径， AD⊥BC，垂足为D，BF交AD于点E，且AE＝ BE.
圆周角和圆心角的关系
半圆（或直径）所对的圆周角是直角; 90 的圆周角所对的弦是直径.
2.填空题: (1)如图所示, ∠BAC= ,∠DAC=∠DBC. ∠BDC
A
D
C
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm, C为⊙O上一点,∠BAC=30°, 则BC= cm
B
A
5
●
O C
B
共同分析
1.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD 到C,使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系? 为什么?
●
O
C
BC一定是直径
图(2)
∠BEC =90º
∠BFC =90º
由此你能得出什么结论?
圆周角定理的推论2：
同圆或等圆中，
用于构造直角
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
90°的圆周角所对的弦是直径。
用于判断某条弦 是否是直径
圆周角定理的推论：
推论1
想一想
同圆或等圆中，
同弧或等弧所对的圆周角相等； 相等的圆周角所对的弧也相等.
驶向胜利 的彼岸
老师提示:能否也转化为1的情况?
C
过点B作直径BD.由1可得:
∠ABD =
1 ∠AOD,∠CBD 2 1 = ∠COD, 2
B
●
O
∴
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
你能写出这个命题吗?
在同圆中 同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
议一议
圆周角定理
即
A C
●
驶向胜利 的彼岸
●
驶向胜利 的彼岸
即
你能写出这个命题吗? 同弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半.
圆周角定理 北师大完美版PPT
.O
C
70° x
A
B 35°
D
C 120°
O.
X
A
120° B
C
6A⌒、B与如A图⌒C，B弦的A度B数分之⊙比O为成1两：弧4，，则
弧AB的度数是 72° ，弧ACB的
O
度数是 288° ，∠D=
，
∠C= 36° 。
144°
A
B D
思考与巩固
1.如图,在⊙O中,劣弧⌒AD的度数是50°，优弧B⌒FC
角和圆心角之间有的关系.
A
C
●O
B
探索：圆周角和圆心角的关系
⌒ 位置关系：圆周角∠ABC所对⌒的弧是 AC 。 圆心角∠AOC所对的弧是 AC 。
⌒ ∠ABC 与∠AOC所对的弧是 AC 。 同弧所对的圆周角与圆心角
AD C
24
●O
13
数量关系：连接BO并延长交⊙O于D
B
∠A= ∠1 ∠2= ∠A+∠1=2∠1
B
圆心角∠AOC所对的弧是
。
在如射图门 (2)游,在戏⊙中O(中如,图∠)B,球,∠O员D射,∠中E的球大门小的B有难什易么程关度系与?他为所什处么的? 位O置B对球门AC的张角(∠ABC)有关.
位置关系：圆周角∠ABC所对的弧是
。
判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。
O
答判在:别射顶下 门点列游在A各戏圆图中心形(，如中两图的边),球角是员是半射不径中是的球圆角门周叫C的角圆难，心易并角程说. 度明A与理他由所。处的位置B对球门ACD 的张角(∠ABC)有关.
B
A E
C
D
答:顶点在圆心，两边是半径的角叫圆心角.
圆周角定理 课件
1.圆周角定理
文字
语言
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
图形
语言
符号
在☉O 中, BC 所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC,∠
1
语言
BOC,则有∠BAC= ∠BOC
作用
确定圆中两个角的大小关系
2
名师点拨定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧,它们才
有上面定理中所说的数量关系.
证明:∵BC是☉O的直径,DA∽Rt△BAC.
∴∠BAD=∠ACB.
∵ = , ∴∠FBA=∠ACB,
∴∠BAD=∠FBA.
∴△ABE为等腰三角形.
∴AE=BE.
反思1.有关圆的题目中,圆周角与它所对的弧经常相互转化,即欲
证明圆周角相等,可转化为证明它们所对的弧相等;要证明线段相
∴ 所对圆心角是360°-150°=210°,
1
2
∴ 所对圆周角∠BCD= × 210°= 105°.
答案:105°
反思同弦或等弦所对的圆周角不一定相等.当弦是直径时,同弦或
等弦所对的圆周角相等,都等于90°;当弦不是直径时,该弦将圆周分
成两条弧:优弧和劣弧,若圆周角的顶点同在优弧上或同在劣弧上,
作用
确定圆弧或圆心角的度数
【做一做 2】 如图,两个同心圆中, 的度数是 30°,
且大圆的半径 = 4, 小圆的半径 = 2, 则 的度数是________.
解析: 的度数等于∠AOB,又 的度数也等于∠AOB,则
的度数是30°.
答案:30°
3.圆周角定理的推论
【做一做1】 如图,在☉O中,若∠BAC=25°,则∠BOC等于(
A.25°
3.3圆周角和圆心角的关系(北师大版)
D
O
B
1.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD到C, 使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系?为什么?
A
●
O
C
D
B
2、AB、AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使 AD=AB，如果∠ADB=350，求∠BOC的度数。
四、思考下列各题,并记住结论： 1.如图，⊙Ｏ的弦AC、BD相交于⊙Ｏ 内一点Ｐ. 求证：
A
O
B
练习：如图，P是△ABC的外接圆上的一点 ∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形 A
P
证明：
∵∠ABC=∠APC=60°
O · C
B
∠BAC=∠CPB=60° (同弧所对的圆周角相等）
∴∠ABC= ∠BAC= ∠ACB= 60°
∴△ABC等边三角形。
1 如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则OC与AD的 位置关系是________。
E
1、证明题的思路寻找方法； 2、等积式的证明方法；
3、辅助线的思考方法。
拓展 化心动为行动
8.在⊙O中,∠A=50°,求∠C的大小.
A O
定理：
D
●
B C
圆内接四边形的对角互补。
拓展 化心动为行动
9.如图,圆O中,AB是直径,半径CO⊥AB,D是 CO的中点,DE∥AB,求∠ABE的度数.
C E A
总结：圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半.
推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。 推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角； 90度的圆周角所对的弦是直径。
推论3： 圆内接四边形对角互补。 对角互补的四边形内接于圆。
九年级圆周角定理知识点
九年级圆周角定理知识点圆周角是在数学几何中的一个重要概念，它与圆形的内角和外角有着密切的关系。
在九年级的几何学学习中，圆周角定理是一个不可或缺的内容。
在本文中，将详细介绍九年级圆周角定理的知识点。
1. 圆周角的定义在一个圆上，连接圆心和圆上两点，所对的角被称为圆周角。
圆周角的尺寸是以弧度为单位进行度量的。
一个完整的圆周角等于360°或2π弧度。
这意味着一个圆周角的度数恰好等于所对弧的弧度数。
2. 圆周角定理圆周角定理是指，在同一个圆中，对应于相同弧的圆周角相等。
换句话说，如果两个圆周角对应于同一个圆上的相同弧，那么这两个角的大小是相等的。
圆周角定理可以用数学表达式来表示：∠AOC = ∠ABC其中∠AOC和∠ABC分别表示对应于相同弧AC的两个圆周角的度数。
3. 圆周角的相关性质除了圆周角定理，还有一些与圆周角相关的性质需要了解。
（1）圆周角定理的逆定理：如果两个角对应于同一个圆上的不同弧，那么这两个角的度数是不等的。
（2）圆周角等于直径角：一个圆上的直径所对应的圆周角恰好等于180°或π弧度。
（3）圆周角的其他性质：圆周角与圆上的弧长有关，根据圆周角的度数可以计算对应的弧长。
4. 圆周角定理的应用圆周角定理是解决各种几何问题的重要工具。
通过应用圆周角定理，我们可以求解关于弧长、角度和半径之间的问题。
例如，可以通过已知弧长计算对应的圆周角，或者通过已知角度计算对应的弧长。
在现实生活中，圆周角定理也有一些实际应用。
例如，在建筑工程中，可以利用圆周角定理来测量圆形表面的角度和长度。
在天文学中，圆周角定理也被广泛用于计算天体的运动轨迹和距离。
总结：本文详细介绍了九年级圆周角定理的知识点。
圆周角的定义和圆周角定理是理解和应用圆周角的基础。
此外，我们还学习了圆周角的其他性质和一些实际应用。
通过掌握这些知识，我们能够更好地理解和解决与圆周角相关的几何问题。
圆周角定理速记方法
圆周角定理速记方法圆周角定理是几何学中一个重要的概念，它与圆的角度有关。
在本文中，我们将探讨圆周角定理的速记方法，帮助你更轻松地记忆和应用这一定理。
1. 圆周角定理的定义和原理圆周角是指以圆心为顶点的角，它的度数等于所对弧所对应的圆心角的度数。
该定理可以简记为：圆周角 = 弧度。
2. 圆周角的应用圆周角定理在解决很多相关问题时都起到了关键作用。
在求解圆的弦的长度或圆的半径时，我们常常会用到圆周角定理。
通过将圆周角与所对弧相等，我们可以轻松地得出所需的结果。
3. 速记方法一：角度计算为了更好地记忆圆周角定理，我们可以采用一种速记方法。
将圆周角的计算分为两步，先求圆心角，再计算所对弧的角度。
这种方法可以帮助我们更清晰地理解和应用圆周角定理。
步骤如下：3.1 给定弧所对应的圆心角的度数，记作X度。
3.2 根据圆周角定理，圆周角的度数与圆心角相等，所以圆周角的度数也为X度。
3.3 根据圆周角与所对弧相等的原理，弧所对应的角度也为X度。
通过这个速记方法，我们可以快速、准确地计算圆周角，并在解决相关问题时提高效率。
4. 速记方法二：图形形状除了角度计算，我们还可以利用图形形状来记忆圆周角定理。
在一个圆的周围，可以构造一个正六边形，每个顶点都是圆的切点。
这个正六边形的内角都是120度，而每个角所对应的圆周角也都是120度。
通过这个图像，我们可以直观地记忆和理解圆周角定理。
5. 个人观点和理解在学习圆周角定理的过程中，我深刻认识到这个定理在解决圆相关问题时的重要性。
它不仅帮助我们计算角度，还可以衍生出其他有趣的几何关系，如余弦定理、正弦定理等。
通过灵活运用圆周角定理，我们可以更好地理解和解决与圆相关的实际问题。
总结回顾：通过本文，我们详细介绍了圆周角定理的速记方法。
我们从角度计算和图形形状两个方面，提供了记忆和应用圆周角定理的技巧。
这些方法将帮助你更轻松地掌握和运用圆周角定理，并在解决相关问题时提高效率。
圆周角定理在几何学中具有广泛的应用，它不仅是解决圆相关问题的重要工具，还能引导我们更深入地理解几何学的其他定理和概念。
初三数学教案-302018§3.3圆周角(1) 精品
备课人
课型
备课编号
级部主任签字
备注
§3.3圆周角（1）
孙建涛
新授课
3006
第一课时
教学目标
(一)教学知识点
1．掌握圆周角定理几个推论的内容．
2．会熟练运用推论解决问题．
(二)能力训练要求
1．培养学生观察、分析及理解问题的能力．
2．在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．
求证：∠ACB=2∠BAC
二．学习体会
三．自我测试
1．一条弧所对的圆周角有（）个，而这条弧所对的圆周角的度数有（）个，但一条弦所对的圆周角的度数有（）个
2．一条弦分圆为1：4两部分，求这弦所对的圆周角的度数？
四．自我提高
1.如图:已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？
板
书
设
(三)情感与价值观要求
培养学生的探索精神和解决问题的能力.
重点难点
教学重点
圆周角定理的几个推论的应用．
教学难点
理解几个推论的“题设”和“结论”．
教学方法
指导探索法
教学过程来自一．学前准备二．1．圆心角的概念
2．圆心角的度数等于它的度数
三．自学，合作探究
（一）自学，相信自己
1．自学课本87页到88页，写下疑惑摘要：（培养看书质疑的好习惯）
2．圆周角的概念
3．圆周角定理
4．判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．
（二）思索，交流
1．如图，A、B、C、D、E是⊙O上的五个点，则图中共有个圆周角，分别是．
3．如图，在⊙O中，∠BOC=50°，求∠BAC的度数。
4．如图，在⊙O中，∠A=40°，求∠OBC的度数。
3.3 圆周角和圆心角的关系(1)圆周角定理
类比圆心角探知圆周角
在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？
A A A
C
●
C
●
C
O
O
B
●
O
B
B
为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周 角和圆心角之间有的关系.
议一议 P100 4
圆周角和圆心角的关系
如图,观察圆周角∠ABC与圆心角∠AoC,它们的大小有什么 关系? 说说你的想法,并与同伴交流. A A A C C C
拓展 化心动为行动
驶向胜利 的彼岸
1.如图(1),在⊙O中,∠BAD=50°,求∠C的大小.
A B
●
D
C E A
O
B C (1)
D
●
O C
●
O
B
A
(2)
(3)
2.如图(2),在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关系? 为什么? 3.如图(3),AB是直径,你能确定∠C的度数吗?
独立作业P103 12
A C
●
A
2
A C C B
●
O
●
O
O
B
老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
B
随堂练习P103 9
思考与巩固
驶向胜利 的彼岸
1.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
1 = ∠BOC = 25°. 2
A B C
●
解: ∠A
O
2.举出生活中含有圆周角的例子.
猜一猜P103 10
挑战自我
圆周角定理ppt课件
∴∠A=∠C ．
o
又 ∠AOB=∠A+∠C，
B A
∴∠AOB=2∠C. 即
类比转化 考虑两种一般情况：
2.圆心O在圆周角的内部： C
.O
3.圆心O在圆周角的外部:
.C
O
A
B
D
c o
D AB
B A
圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半．
符号表示：
∵ A⌒B 所对的圆周角为∠ACB
A⌒B 所对的圆心角为∠AOB
圆周角和圆心O的位置关系：
①圆心在圆周角 ②圆心在圆周 的一条边上； 角的内部；
C
O·
A
B
C
O·
A
B
③圆心在圆 周角的外部.
C
O·
B A
证 明 1.圆心在圆周角的一条边上：
（
已知：在⊙O中，AB 所对的圆周角是 ∠C，圆心
角是 ∠AOB. 求证： ∠C = 1 ∠AOB. 2
c
证明： ∵OA=OC ，
如图, 足球课上,教练在球门前画了一个圆圈进行无人防 守的射门训练，甲，乙,丙三名同学分别在B,D,E三处，他 们都说在自己所在位置所对球门AC的张角大，你认为他们 谁说的对？
回顾圆心角的定义，给下图中像∠ACB这样的角下定义.
1.顶点在圆心的角叫 圆心角 ;
2.顶点在圆上，并且两边都和 圆相交的角叫做 圆周角 .
辨一辨 下列各图中，哪些是圆周角？
探 究 同弧（弧AB）所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的关系
1.画一画，量一量
C
在⊙O上任取一条弧，作
出这条弧所对的圆周角和
圆心角， 测量它们的度数，
圆周角定理完美版PPT
0
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
C E . D、120°
都在⊙O上，∠C＝30 °，AB＝2，
B
D
C
顶点在圆心的角叫圆心角。
ADC ~ ABE . 考考你：你能仿照圆心角的定义，
作业 • P26:习题1，2题
• 祝你成功!
应用
例 1.如, 图 AB中 ,C AB A,C AB外 C接 O圆 的A 弦 交 EB于 C D 点 ,求:证 A2 BAD A.E
A
O
B
D
C
E
例题
例 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平
分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．
改变圆周角的大小,这12 种关系会改变吗?
A
A
结论： ∠BAC=1/2∠BOC
●O
A
C
B
问题：圆心角与圆周角的位置关系.
A C
●O
B
A C
A C
●O
●O
B
B
圆周角和圆心角的关系
1.首先考虑一种特殊情况：
当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角
∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系.
A
∵∠AOC是△ABO的外角，
C
∴∠AOC=∠B+∠A.
∵OA=OB，
●O
∴∠A=∠B.
∴∠AOC=2∠B.
B
即
∠ABC
=
1 2
∠AOC.
一条弧所对的圆周角等于它所 对的圆心角的一半.
圆周角定理
提示:注意圆心与圆周角的位置关系 .
合作探究
☞
圆周角和圆心角的关系
• 1.首先考虑一种特殊情况： • 当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的一边(BC)上时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系. 证明:∵∠AOC是△ABO的外角 ∴∠AOC=∠B+∠A. ∵OA=OB， ∴∠A=∠B. ∴∠AOC=2∠B. 即
合作探究
☞
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 3.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的外部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
提示:用类比能否也转化为1的情况? 证明：过点B作直径BD.由1可得:
A C
●
它所对的圆心角的一半. 你能写出这个命题吗?
1 ∠ABC = ∠AOC. 2
A C
理解并掌 握这个模 型.
●
O
B
你能写出这个命题吗?
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
合作探究
☞
圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样?
在同圆或等圆中，
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
我们把顶点在圆心的周角等 分成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。 因为同圆中相等的圆心角所 对的弧相等，所以整个圆也被 等分成360份。我们把每一份这 样的弧叫做1°的弧。
B O
.
C
在同圆或等圆中，圆心角的度数和它所对的 弧的度数相等。
想一想
证明：
1 ∵∠ACB= ∠AOB 2 1 ∠BAC= ∠BOC
3.3圆周角定理1
3.3圆周角和圆心角的关系（第一课时）导读——评价单班级：学生：日期：学习目标1.理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征；能够分清圆周角和圆心角。
2.理解在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等。
3.理解一条弧所对的圆心角和它所对的圆周角之间的关系。
学习过程：Ⅰ、回顾引入：1、圆心角的定义：顶点在的角叫圆心角.2、圆心角，弧，弦之间的等量关系：Ⅱ、探究新知：一、圆周角的定义的学习1．阅读P108内容，并类比圆心角的定义给出圆周角的定义：顶点在,并且都和圆的角叫圆周角.2．圆周角的特点：①在圆上；②都与圆相交34.指出图15.二、圆周角定理的学习请在下图中画出圆心角与圆周角的位置关系，并讨论圆周角和圆心角的数量关系。
●O●O●OBAO .70°xAO .X 120°你能用一句话概括刚才证明的结论吗？ 三、分层练习 （一）判断1、顶点在圆上的角叫圆周角。
2、圆周角的度数等于所对弧的度数的一半。
（二）计算1.求圆中角X 的度数2.如图，在直径为AB 的半圆中，O 为圆心，C 、D 为半圆上的两点，∠COD=500，则∠CAD=_________3.半径为R 的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是4.如右图，已知圆心角∠AOB=100°， 求圆周角∠ACB=_____、∠ADB=______学生评价 ：(A B C ) 小组评价：(A B C ) 老师评价：(A B C )。
3.3圆周角1-圆周角定理
（2）在图 3-24 ① 中，AB 是⊙O 的直径，连接 OC，你发现∠BOC 与∠BAC有什么位置关系和数量关 系？
（3）能将问题（2）中的结论推广到图3-24 ② ③ 吗？由此你猜想圆周角与它所对弧上的圆心角有怎 样的数量关系？怎样证明你的结论？
已知：如图3-25，A，B，C是⊙O上的任意三点. 求证：∠BAC=1/2∠BOC
证明 （1）当圆心O在∠BAC的一条边上时（图3-25 ①）. 在△OAB中， ∵OA=OB，∴∠BAO=∠OBA . ∵∠BOC=∠BAO +∠OBA， ∴∠BOC=2∠BAO ∴∠BAC=1/2∠BOC
（2）当圆心O在∠BAC的内部时，作直径AD（图 325 ②）. 由（1）的结论，得 ∠BAD=1/2∠BOD，∠DAC=1/2∠DOC . ∴∠BAD+∠DAC= 1/2∠BOD+1/2∠DOC . ∵∠BAD+∠DAC=∠BAC， 1/2∠BOD+1/2∠DOC=1/2（∠BOD+∠DOC）=1/2∠BOC， ∴∠BAC=1/2∠BOC
随堂练习
思考与巩固
驶向胜利 的彼岸
• 3.如图,在⊙O中,∠BOC=50°,求∠A的大小.
解: ∠A = ∠BOC = 25°.
B C
A
●O
A
2
●O
B
1
D
C
4.如图(2),在⊙O中,∠BAD=80°,
求∠C的大小.
5.如图所示， ∠DCB=120°则 ∠AOB= 120°学科网
D
C 120°
O.
A
●O
C
B
A
CBΒιβλιοθήκη ACAC
B B
圆周角的特征：
3.3圆周角定理(1)
90 ∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
0
A
O
B
峻青初中
例题讲解
例1 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外 接圆直径。求证：AB×AC=AE× AD
A
峻青初中
O
B
DC
E
课堂练习
如图, ⊙O的直径 AB 为10cm,弦 我 AC为6cm,∠ACB 的平分线交 能 ⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长. 行
C
A
O
B
峻青初中
D
挑战自我
思考题?
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，
AB AF ，BF和AD相交于E，求证：AE=BE。
请同学们完成以下证明过程.
A
证明：连接AB、AC
AB AF
∴∠ ABE=∠ACD.
又∵BC是圆O的直径
∴∠BAC= 90 0
E
F
B
． DO
C
∴∠BAE=900—∠ DAC.
B O
，
弧AB所对的,谁理解?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
C
C
D
C
D
E
E D
⑴√
ED
C
⑵√
E
⑶
×
⑷×
峻青初中
想一想?
C
j
如图,观察圆周角∠ACB与 圆心角∠AOB,它们的大小有 什么关系?
A
O
B
※ ∠ACB
=
1_ ∠AOB
2
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
峻青初中
填一填
A
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，
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B O
，
A
看一看,谁理解?
下列各图中的∠CDE哪些是圆周角?
C C C E D E D E C D D E
⑴
√
⑵
√
⑶×
⑷×
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想一想?
C
j
如图,观察圆周角∠ACB与
圆心角∠AOB,它们的大小有 什么关系?
O
A
B
圆周角定理：
1 _ ※ ∠ACB = 2 ∠AOB
一条弧所对的圆周角等于 它所对的圆心角的一半.
填一填
1、如图，∠A是⊙O的圆周角，
A O B C
∠BOC=82°，则∠A=
，
2、如图，∠E=48°
则∠DOC=_____,∠OCD=______. D O C
E
圆周角定理的推论1：
圆周角的度数等于它所对弧的度数一半。
圆周角定理的推论2：
同弧或等弧所对的圆周角 ；同圆或等 圆中，相等的圆周角所对的弧也 。 比一比，看谁最快！ A ※ 1.如图相等的圆周角有哪些？ 78 B 1 答案：∠1=∠4 ， ∠2=∠8 ， 2 。 ∠3=∠6 ， ∠5=∠7
2、如上题图， 若∠3=∠7，则____=____. C
3 4
D
圆周角定理的推论3： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角 ， 90°的圆周角所对的 ∠AC1B=∠AC2B=∠AC3B=
C3 O B
90
0
A
例题讲解
例1 如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外 接圆直径。求证：AB×AC=AE× AD A
O B E D C
课堂练习
如图, ⊙O的直径 AB 为10cm,弦 AC为6cm,∠ACB 的平分线交 ⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.
C
我 能 行
B
A
O
D
挑战自我
AB AF
思考题?
3.如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，
，BF和AD相交于E，求证：AE=BE。 请同学们完成以下证明过程. A 证明：连接AB、AC
∴∠ ABE=∠ ACD . 又∵BC是圆O的直径 ∴∠BAC= 90 0 ∴∠BAE=900—∠ DAC. 又∵AD⊥BC ∴∠ACD=900—∠ DAC . ∴∠ABE =∠ BAE . ∴AE=BE
AB AF
B
E ． D O
F C
3.3 (1) 圆周角定理
学习目标： 1、理解圆周角定理、圆心角定理以及两个 推论； 2、会利用圆周角定理、圆心角定理以及 两个推论进行计算、证明。
考考你?
什么叫做圆周角？圆心角呢?
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角 叫做圆周角。
C j
顶点在圆心的角叫做圆心角。 右图中弧AB 所对的圆周角是 弧AB所对的圆心角是 .