第二章 习题课
习题课(第二章)
建筑工程制图与识图
2.2 求两平面体相交后的投影
4、画出烟囱、虎头窗与屋面的交线，并补全虎头窗的H面投影。
b' a' c'
1'(3') 2'(4')
b ac
34 12
建筑工程制图与识图
2.2 求两平面体相交后的投影
5、完成三棱锥与三棱柱相贯后的投影。
s'
s''
1'
2' 3'
5、已知带缺口的四棱锥台的V、W面投影，作它的H面投影。
建筑工程制图与识图
2.1 求平面立体及其被平面截切后的投影
6、已知带缺口的三棱柱的V面投影，请完成H、W面投影。
1"
1'
2" 2'
6'
5'
3'（4'） 6" (4“)
3"
5"
1（6）
4 3 2（5）
△y △y
建筑工程制图与识图
2.2 求两平面立体相交后的投影
c' a'
c
2
1s
3
1''
2''
b' c''(b'') b
3''
a"
a
建筑工程制图与识图
2.2 求两平面立体相交后的投影
6、补全三角形孔洞的H、W面投影。
1‘（6’）
Z
6"
1"
4‘（5’） 3‘ 2‘（7’）
X
5
第二章传递函数习题与答案
第二章习题课一． 求图示系统结构图的传递函数)()(s R s C ，)()(s N s C ，)()(s R s E ，)()(s N s E 。
二．T 型网络如下图所示，试绘出其动态结构图，并求出传递函数)()(s U s U i o 。
1i三．系统的微分方程组为)()()(1t c t r t x -=)()()(21121t x t x k dtt dx T -=)()()(323t c k t x t x -=)()()(322t x k t c dtt dc T =+式中32121,,,,k k k T T 均为正的常数，系统的输入量为)(t r ，输出量为)(t c ，试画出动态结构图，并求)()(s R s C 。
四．求下图所示系统的传递函数。
五．用结构图化简法求系统传递函数)()(s R s Y 。
)(s六．系统动态结构图如图所示，试确定系统的闭环传递函数)()(s R s C第二章习题课一． 求图示系统结构图的传递函数)()(s R s C ，)()(s N s C ，)()(s R s E ，)()(s N s E 。
1、求)()(s R s C )1(1)1()()(5412152545421G G H G G G G G G G G GG s R s C -++--=2、求)()(s N s C))1)(1()1)(()()(5221545432G G H G G G G G G G G s N s C ++--+=)1(11)()(5412152545254G G H G G G G G G G G G G s R s E -++-+-=)1(1))(1()()(5412152543254G G H G G G G G G G G G G H s N s E -++-+--=二．T 型网络如下图所示，试绘出其动态结构图，并求出传递函数)()(s U s U i o 。
线性代数第2章习题课
一般地， 注：一般地，对于 n 阶方阵 A 有 A = A
.
1 0 0 例6. 设 A = 2 2 0 ，则 (A* )-1 = 3 4 5
A/10
.
第一章
16
知识点6： 知识点 ：矩阵的秩
k 1 1 1 k 1 1 1 k
例7. 设 A =
p.100 习题 习题27
第一章
7
分块矩阵的乘法
p.100 习题31 用分块矩阵乘法求下列矩阵的乘积： 习题31 用分块矩阵乘法求下列矩阵的乘积：
1 −2 0 0 1 −1 1 1 1 0 = A1 (1) A 0 3 2 0 −1 3
A2 B1 B2 A1 B1 = A B A4 O B4 3 1
A1B2 + A2 B4 A3 B2 + A4 B4
p.100 习题32 习题32
第一章
8
知识点2： 知识点 ：转置与对称矩阵
例1. 设 A, B 均为 n 阶对称阵，则下列矩阵中不对称的是 B . 阶对称阵，
(A ) = A
* * n− 2
( A T )T = A
( A −1 ) −1 = A
三种运算符任意两个 任意两个可交换顺序 注：AT , A−1, A* 三种运算符任意两个可交换顺序
第一章
A P102 49
2
二、方阵的逆矩阵
1.方阵可逆的判定 1.方阵可逆的判定: 方阵可逆的判定: n 阶方阵 A 可逆 |A|≠0. A 是非奇异矩阵 . AB=I ( 或 BA =I ). A 与 In 相似， 相似， 即存在可逆阵P 即存在可逆阵 、Q，使得 ，使得PAQ= In. A 可以表示为若干初等矩阵的乘积 . r(A) = n . A 是满秩矩阵 .
第二章 推理与证明习题课
易错提醒
(1)找不准归纳的对象． m 的位置在最高次幂 如
的系数位置． 因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行 归纳； 是 cos2α 的系数， p 所以从 cos2α 的系数入手进行归纳． n 却不能从 cos4α 的系数入手进行归纳，因为第①个式子中没 有 cos4α，缺少归纳的特征项． (2)规律找不准．在 cos2α 的系数：2，－8,，－32，p 的规 律很多考生找不准．事实上，可将各数拆分为 1×2，－2 ×4,3×6，－4×8，即(－1)n＋1· (2n)＝(－1)n＋12n2. n· ∴p＝(－1)6· 2＝50. 2×5
1 1 1 ∴ a+ b+ c = + + bc ca ab 1 1 1 1 1 1 + + + b c + c a + a b = 1 + 1 +1. < 2 2 2 a b c
1 1 1 ∴ a + b + c < + + 成立. a b c
例:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任 何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)等于 n(n-1)/2.
解析 因为 a1＝1，2＝3，3＝6， an＝an－1＋n(n≥2)， a a „， 所以 an－an－1＝n， 于是 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a2－a1)＋a1＝ n(n＋1) n＋(n－1)＋„＋2＋1＝ ， 2 2 010(2 010＋1) 所以 a2 010＝ 2 ＝1 005×2 011＝2 021 055.
解析 由所给函数及其导函数知，偶函数的导函数为 奇函数． 因此当 f(x)是偶函数时， 其导函数应为奇函数， 故 g(－x)＝－g(x)．
线性代数第二章习题课
3. 设A , B为 n 阶方阵，若E – AB 可逆，则E -BA 可 逆。 证：∵ (E – AB )A = A – ABA = A( E – BA ) ∴ (E – AB )A = A( E – BA ) 1 又 E – AB 可逆，上式左乘 (E AB) ∴ A = (E - AB)1 A( E – BA) 而 E = E – BA + BA = E – BA + B (E - AB) A( E – BA) 1 = [E +B (E - AB) A](E – BA ) ∴ E – BA 可逆，且
17. (P80-10) 解法1：直接求
A B B (BA E)
-1
1
1
1
B (B A)A
-1 1 1 -1
1
1
1 1
(A B ) [B (B A)A ]
A(A B) B
验证： (A1 B1 )A(A B) 1 B (E B1A)A-1A (A B) 1 B B1 (B A)E(A B) 1 B E
-1
A B = 6E + B
而A - E =
-1
-1
( A - E ) B = 6E
-1
3
4 7
-
1 0 0 0 1 0 0 0 1
2
=
3 6
∵ |A-1 - B| = 36≠0, ∴ ( A -1 - B)可逆，
故 B=6(A
-1
－1
2
－1
-E) = 6
3
6
=6
3
1 1 2 3 1 6
=
2 1
* *
1 *
1 1 A | A |n2 A | A | |A| |A|
习题课-第二章 热力学第一定律
（2）B为等压过程，则
ΔBU=3.40kJ, ΔBH=5.67kJ
WB′=p3(V3-V2) =2×100×103×(22.4-11.2) ×10-3J =2.27kJ QB=ΔBU+WB′=5.67kJ
（3）C过程只是T1=T3，并不是恒温过程，所以W′ 的求算无现成公式。 利用直线上两点坐标求出直 线方程：
1 8.314 373 J 172 .3J 18.0
Δ1U=Q1- W1′= 2259J-172.3J=2086.7J
（2）可设计为等温相变及等温可逆压缩过程 W2′=p外′ΔV+nRTln0.5=52.9J
Δ2U=Δ1U=2086.7J, Δ2H=Δ1H=2259J
Q2=Δ2U + W2′=2086.7J +52.9J =2139.6J （3）向真空汽化 W3′=0， Q3=Δ3U =Δ1U =2086.7J Δ3H=Δ1H=2259J
过程（1）为恒温可逆压缩过程，可直接用理想气 体求W的公式，另外，由P1V1=P2V2，得V2=50dm3。
过程（2）为恒温恒压下相变过程，显然有40dm3 的水蒸气凝结了，为放热过程。注意水蒸气量的变 化。
始态
n g ,i p1V1 0.5 100000 100 10 3 mol 1.634 mol RT1 8.314 373
总的过程： Q = Q1+ Q2= -56.7kJ W′= W′1+W′2= -7.57kJ Δ U=Δ 1U+Δ 2U = -49.1kJ Δ H=Δ 1H+Δ 2H = -53.1kJ
[例5] 2molNH3(g)理想气体，由300K、2pθ分别经 下 列 两 种 过 程 膨 胀 到 pθ ， 请 求 算 下 述 两 过 程 中 NH3(g) 做的功W′ ，NH3(g)的ΔU、ΔH。 (1)绝热可逆； (2)对抗恒定的pθ做绝热快速膨胀。 已知NH3(g) Cp,m=35.606J⋅K-1⋅mol-1,并为常数。 解析 绝热过程体系从同一始态出发是不可能 通过可逆和不可逆（均在绝热条件下）达到相同的 终态的。因此（1）和（2）终态虽然 pθ相同，但T 是不同的。
自动控制原理及其应用_课后习题答案_2[1]
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uo
2-6-b 用运算放大器组成的有源电网络如 力所示,试采用复数阻抗法写出它们的传 力所示 试采用复数阻抗法写出它们的传 递函数。 C 递函数。
R2 ui R1 －∞ ＋ ＋ R3
uo R4 R5
UO (R2R3SC+R2+R3)(R4+R5) = － UI R1(R3SC+1)R5 R2R3 (R4+R5)(R2+R3)( SC+1) R2+R3 =－ － R1R5(R3SC+1) R5 UO(R3SC+1) R4+ R5 =－ － R2R3SC+R2+R3 R5 R5 UO UO UI R4+ R5 R4+ R5 =－ － R3 R1 R3 R2 ＋ SC R3 SC＋ 1 ＋ R2 ＋ 1 R3 ＋ SC
IL R2 UL sL ＋ Cs UO
-
I
C
UC=UO+UL
2-6-a 用运算放大器组成的有源电网络如图 所示,试采用复数阻抗法写出它们的传递函数 试采用复数阻抗法写出它们的传递函数。 所示 试采用复数阻抗法写出它们的传递函数。 电路等效为: 解:电路等效为 电路等效为 UO =－ R2 ＋R3 R2 SC＋1 UI UO =－ R1 1 R2· SC ＋ 1 R3 R2＋ SC
s=0
1 s
(2-4-2)
求下列微分方程。 求下列微分方程。
d3y(t) d2y(t) dy(t) 初始条件: 初始条件 3 +4 dt2 +29 dt =29, dt · y(0)=0 , y(0)=17 , · · y(0)=-122 解:
2-5-a 试画题 图所示电路的动态结构图 并 试画题2-1图所示电路的动态结构图 图所示电路的动态结构图,并 求传递函数。 求传递函数。 ＋ uc － 解:ui=R1i1+uo ，i2=ic+i1 duc ic=C dt UI(s)=R1I1(s)+UO(s) I2(s)=IC(s)+I1(s) UI(s)-UO(s) =I1(s) 即: R1
第二章课后习题及答案
第二章心理辅导的理论基础一、理论测试题（一）单项选择题1．（）是根据操作性条件反射原理，强调行为的改变是依据行为后果而定的。
A •强化法B •系统脱敏法C.代币法D •来访者中心疗法2•在对学生进行心理辅导时，常使用的“强化法”属于（）。
A •行为改变技术B •认知改变法C.运动改变法D •精神分析法3•在心理辅导的行为演练中，系统脱敏法是由（）首创。
A .皮亚杰B •沃尔帕C艾利斯D •罗杰斯4•心理辅导老师帮李晓明建立焦虑等级，让他想象引起焦虑的情境，然后逐渐减少焦虑等级，直至完全放松，以缓解其考试焦虑，这种方法是（）。
A •强化法B •系统脱敏法C.理性一情绪疗法D •来访者中心疗法5 •行为塑造法是根据（）的操作条件反射研究结果而设计的培育和养成新反应或行为模式的一项行为治疗技术，是操作条件作用法强化原则的有力应用之一。
A .皮亚杰B •斯金纳C.艾利斯D .奥苏贝尔6．（）就是运用代币并编制一套相应的激励系统来对符合要求的目标行为的表现进行肯定和奖励。
A .强化法B .理性一情绪疗法C.代币法D .来访者中心疗法7.李老师通过奖励小红花来表扬学生的行为，这种心理辅导方法属于（）。
A .系统脱敏法B •代币法C.行为塑造法D .来访者中心疗法8.晓红是韩老师班上的学生，她孤僻、羞涩，当她主动与同学交谈或请教老师时，韩老师就给予肯定或激励。
这种心理辅导方法是（）。
A .强化法B •系统脱敏法C.来访者中心法D .理性一情绪疗法9.（）不是行为改变的基本方法。
A .强化法B .代币法C.自我控制法D .演练法10.小伟过分害怕狗，通过让他看狗的照片，谈论狗，远看狗到近看狗、摸狗、抱狗，消除对狗的惧怕反应，这是行为训练的（）。
A .全身松弛训练B .系统脱敏法C.行为塑造法D .肯定性训练11.当一位胆小的学生敢于主动向教师提问时，教师教师耐心解答并给予表扬和鼓励。
的这种做法属于行为改变方法中的（）。
第二章 原子的结构和性质习题课
第二章习题课主要概念：1、核固定近似（B-O近似）2、中心力场模型3、量子数的物理意义4、屏蔽效应,钻透效应5、原子轨道及电子云的径向分布和角度分布6、自旋量子数和原子的完全态函数7、原子核外电子排布5、态函数的角度分布和电子云的角度分布态函数的角度分布节面数为l电子云的角度分布形状与原子轨道角度分布相似，但没有正负之分原子轨道轮廓图(各类轨道标度不同)7、屏蔽效应8、电子自旋与保里原理自旋量子数：电子运动除了由n 、l 、m 三个量子数确定的轨道运动外，还有另外的且与轨道运动无关的自旋运动，由自旋量子数m s 决定。
m s 只能取±1/2两个数值原子的完全态态函数应是轨道态函数和自旋态函数的乘积：ii jσ=Σσs sn.l.m.m n.l.m m Ψ=Ψη9、原子核外电子排布（1）能量最低原理（2）保里原理（3）洪特规则二、填空题1、在氢原子及类氢原子体系中E 电子决定于。
2、氢原子的E 2简并态为、、、。
3、写出类氢原子的哈密顿算符。
4、4dxy 原子轨道角动量为，径向分布函数节面数为，角度分布节面数为，总节面数为。
5、在n=3、l=1原子轨道中，m 的取值有种，分别为。
6、对于类氢原子，与轨道角动量不同，能量相同的轨道还有；能量与角动量都相同的轨道有；7、的径向分布函数图为；有个峰，个节面；主峰位于离核较的范围。
8、径向分布函数D(r)= ；它表示。
9、n=3，l=2，m=0表示的原子轨道是。
10、n=4 的原子轨道数目为；最多可容纳的电子数为。
11、n=5 时其最大的轨道角动量M 为。
12、写出C 原子的哈密顿算符。
2.1.0Ψ3s Ψ。
线性代数 第2章习题课
存在一组实数 k 1 , k 2 , L , k m , 使 b = k 1 a1 + k 2 a 2 + L + k m a m , 则向量 b 是向量组 A 的线性组合 , 这时称向量 b能 由向量组 A 线性表示 .
定理 向量 b能由向量组 A线性表示的充分必要条
件是矩阵 A = ( a 1 , a 2 , L , a m )的秩等于矩阵 B = ( a 1 , a 2 , L , a m , b )的秩 .
6 向量组的秩
定义 设有向量组 A, 如果在 A中能选出 r个向量 a 1 ,
a 2 ,L , a r , 满足
(1)向量组 A 0 : a 1 , a 2 , L , a r 线性无关 ; ( 2)向量组 A中任意 r + 1个向量(如果 A中有 r + 1
个向量的话 )都线性相关 , 那么称向量组 A0 是向量组 A的一个最大线性
n 维向量写成列的形式 , 称为列向量 , 即 a1 a2 a= M an
n 维向量写成行的形式 , 称为行向量 , 即
T a = (a 1 , a 2 , L , a n )
向量的相等 设 a T = ( a 1 , a 2 , L , a n ), b T = ( b 1 , b 2 , L , b n ) 则 a T = b T a i = b i ( i = 1, 2 , L , n ) 零向量 分量全为0的向量称为零向量． 分量全为0的向量称为零向量． T a = O a i = 0( i = 1,2,L , n) T a ≠ O a i 中至少有一个不为 0 , ( i = 1, 2 , L , n ) 负向量 向量 a T = (a 1 , a 2 ,L , a n )的负向量记作 a T , 且 a T = ( a 1 , a 2 ,L , a n ). 数乘向量 数 k 与向量 a T 的乘积 , 称为向量的数量乘法
高中物理(新人教版)选择性必修二课后习题：第二章 电磁感应中的动力学、能量和动量问题【含答案及解析】
第二章电磁感应习题课:电磁感应中的动力学、能量和动量问题课后篇素养形成必备知识基础练1.(多选)如图所示,有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道,间距为l,上端接有可变电阻R,下端足够长,空间有垂直于轨道平面的匀强磁场,磁感应强度为B。
一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下,经过足够长的时间后,金属杆的速度会趋于一个最大速度v m,除R外其余电阻不计,则()A.如果B变大,v m将变大B.如果α变大,v m将变大C.如果R变大,v m将变大D.如果m变小,v m将变大金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应电动势E=Blv,在闭合电路中形成电流I=BlvR,因此金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力外还受安培力F作用,F=BIl=B 2l2vR,先用右手定则判定感应电流方向,再用左手定则判定出安培力方向,如图所示。
根据牛顿第二定律,得mg sin α-B 2l2vR=ma,当a=0时,v=v m,解得v m=mgRsinαB2l2,故选项B、C正确。
2.(多选)如图所示,两足够长的平行金属导轨固定在水平面上,匀强磁场方向垂直导轨平面向下,金属棒ab、cd与导轨构成矩形闭合回路且都可沿导轨无摩擦滑动,两金属棒ab、cd的质量之比为2∶1。
用一沿导轨方向的恒力F水平向右拉金属棒cd,经过足够长时间以后()A.金属棒ab、cd都做匀速运动B.金属棒ab上的电流方向是由b向aC.金属棒cd所受安培力的大小等于2F3D.两金属棒间距离保持不变ab、cd进行受力和运动分析可知,两金属棒最终将做加速度相同的匀加速直线运动,且金属棒ab速度小于金属棒cd速度,所以两金属棒间距离是变大的,由楞次定律判断金属棒ab 上的电流方向是由b到a,A、D错误,B正确;以两金属棒整体为研究对象有F=3ma,隔离金属棒cd分析F-F安=ma,可求得金属棒cd所受安培力的大小F安=23F,C正确。
3.如图所示,纸面内有一矩形导体闭合线框abcd,ab边长大于bc边长,置于垂直纸面向里、边界为MN 的匀强磁场外,线框两次匀速完全进入磁场,两次速度大小相同,方向均垂直于MN。
离散数学-第2章 习题课
A(a) B(a) C(a) D(b) E(b) F (a, b)
24
谓词公式与翻译
例12 从数学分析中极限定义为：任给小正数s，则 存在一个正数z，使得当0<|x-a|<z时有|f(x)-b|<s。 此时称 lim f ( x ) b
x
解： P(x,y)表示“x大于y”，Q(x,y)表示“x小于y”， 故 lim f ( x ) b 可以表示为：
16
谓词公式与翻译
例7 用谓词公式写出下式。 若x<y和z>0,则xz>yz
解：设G(x,y):x大于y。则有
(x)(y)(z)(G( y, x)G(0, z) G( xz, yz))
17
谓词公式与翻译
例8 自然数共有三个公理： a)每个数都有唯一的一个数是它的后继数。 b)没有一个数，使数1是它的后继。 c)每个不等于1的数，都有唯一的一个数是它的直接 先行者。 用两个谓词表达上述三条公理
27
变元的约束
例14 对 (x)( P( x) R( x, y)) Q( x, y) 换名
( 解：可以换名为： z)( P( z) R( z, y)) Q( x, y) ， 但可以改名为： (y)( P( y) R( y, y)) Q( x, y)以 及 (z)( P( z) R( y, y)) Q( x, y)。因为后两种更改 都将使公式中量词的约束范围有所变动。
( P(a) Q(a)) ( P(b) Q(b)) ( P(c) Q(c)) d) (x)P( x) (x) P( x)
(P(a) P(a) P(a)) ( P(a) P(a) P(a))
29
第二章课后习题与答案
第2章人工智能与知识工程初步1. 设有如下语句，请用相应的谓词公式分别把他们表示出来：s(1)有的人喜欢梅花，有的人喜欢菊花，有的人既喜欢梅花又喜欢菊花。
解：定义谓词dP(x)：x是人L(x,y)：x喜欢y其中，y的个体域是{梅花，菊花}。
将知识用谓词表示为：(∃x )(P(x)→L(x, 梅花)∨L(x, 菊花)∨L(x, 梅花)∧L(x, 菊花))(2)有人每天下午都去打篮球。
解：定义谓词P(x)：x是人B(x)：x打篮球A(y)：y是下午将知识用谓词表示为：a(∃x )(∀y) (A(y)→B(x)∧P(x))(3)新型计算机速度又快，存储容量又大。
解：定义谓词NC(x)：x是新型计算机F(x)：x速度快B(x)：x容量大将知识用谓词表示为：(∀x) (NC(x)→F(x)∧B(x))(4)不是每个计算机系的学生都喜欢在计算机上编程序。
解：定义谓词S(x)：x是计算机系学生L(x, pragramming)：x喜欢编程序U(x,computer)：x使用计算机将知识用谓词表示为：¬(∀x) (S(x)→L(x, pragramming)∧U(x,computer))(5)凡是喜欢编程序的人都喜欢计算机。
解：定义谓词P(x)：x是人L(x, y)：x喜欢y将知识用谓词表示为：(∀x) (P(x)∧L(x,pragramming)→L(x, computer))2请对下列命题分别写出它们的语义网络： (1) 每个学生都有一台计算机。
解：(2) 高老师从3月到7月给计算机系学生讲《计算机网络》课。
解：(3) 学习班的学员有男、有女、有研究生、有本科生。
解：参例2.14(4) 创新公司在科海大街56号，刘洋是该公司的经理，他32岁、硕士学位。
解：参例2.10(5) 红队与蓝队进行足球比赛，最后以3：2的比分结束。
解：2.19 请把下列命题用一个语义网络表示出来： (1) 树和草都是植物； 解：(2) 树和草都有叶和根； 解：(3) 水草是草，且生长在水中； 解：(4) 果树是树，且会结果； 解：(5) 梨树是果树中的一种，它会结梨。
电路第二章习题
u2
R2 R3 R2 R3is Nhomakorabeai2
u2 R2
R2 R3 R2 R3
is
R2
R3 R2 R3
is
2若电阻R1增大,对电阻R2 , R3 , R4
及电压源上的电压与电流都没有
R1
is
i2 +
R2 u_2
R3
影响, R1上的电压增大而电流不变, 而电流源流出的电流不变 , 但其电压
要发生改变,其两端的电压要减增少加.
+ 4V _
2 i
7
由KVL有i 9 4 0.5A 1 2 7
例2 求图示电路a、b两端的等效电阻Rab。 解：在a、b两端外加一个电压源，
则有：
Rab
us i
3
i1 0.5i
3i1 5i1 us 0
us 8i1 4i
3
Rab
us i
4
_ 5i1 + a
i1
3
b
_ 5i1 +
+ us _
R4
2-4 e) 求图示电路的等效电阻Rab。
R R
R
R
a
R
R R
R R
R
b R
R
解：由于电路的对称性， e
所以c与d是等电位点，
e、f和g是等电位点,
h和i是等电位点，等 电位点可以用一导线 连接起来。电路就可
R c
R a
以等效为图示电路。
则可以求出其等效电
h
R
R
R
R
f
R
R
R
R
d
R
R3
2u3
R1 R2
第一、二章习题课(概率论)
第二章 随机变量及其分布
♦1. 基本概念：随机变量，离散型随机变量，连续型随 基本概念：随机变量，离散型随机变量，
机变量 ♦2.离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量及其分布律 （1）如何求解 ） 设离散型随机变量X的可能取值为 的可能取值为x 设离散型随机变量 的可能取值为 k (k=1,2,…),事 事 件 发生的概率为 pk ,
P ( A) = 0.3, P ( B ) = 0.8, P (C ) = 0.6, P ( A U B ) = 0.9,
n−1
P ( AC ) = 0.1, P ( BC ) = 0.6, P ( ABC ) = 0.1.
试求： 试求：（1） P ( AB ) ） (2) P ( A U B U C )
1.若事件 若事件A,B是互不相容的 且 P ( A) > 0, P ( B ) > 0 是互不相容的,且 若事件 是互不相容的 则事件A,B一定不相互独立 一定不相互独立. 则事件 一定不相互独立 2. 若事件 若事件A,B相互独立 且 P ( A) > 0, P ( B ) > 0 相互独立,且 相互独立 则事件A,B一定相容 一定相容. 则事件 一定相容
事件A发生但事件 不发生 称为事件A与事件 与事件B的 事件 发生但事件B不发生 称为事件 与事件 的 发生但事件 不发生, 差事件。 差事件。 A B
S
显然有： 显然有：
A− B −
对于任意两事件A， 总有如下分解 总有如下分解： 对于任意两事件 ，B总有如下分解：
5 AI B =∅
0
则称A和 是互不相容的或互斥的 指事件A与 不 是互不相容的或互斥的,指事件 则称 和B是互不相容的或互斥的 指事件 与B不 可能同时发生。 可能同时发生。
高中数学新教材同步必修第一册 第2章 习题课 不等式恒成立、能成立问题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
3.已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是
√A.{a|－4≤a≤4}
C.{a|a≤－4或a≥4}
B.{a|－4<a<4} D.{a|a<－4或a>4}
解析 由题意得，Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为
√A.{a|－1≤a≤4}
C.{a|a≥4或a≤－1}
B.{a|－1<a<4} D.{a|－4≤a≤1}
解析 由题意知，－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解， ∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
9.∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围.
解 由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1，
因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>;x2－1 x，
1234
4.定义运算ac
db＝ad－bc，则不等式a1x
1 x＋1<0
对任意
x∈R
恒成立，
则实数 a 的取值范围是_－__4_<_a_≤__0__.
解析 原不等式为ax(x＋1)－1<0， 即ax2＋ax－1<0，a＝0时，不等式为－1<0，符合题意， 当 a≠0 时，有aΔ<＝0，a2＋4a<0 ⇒－4<a<0， 综上所述，a的取值范围是－4<a≤0.
第二章 热力学第一定律-习题课习题
第二章热力学第一定律习题课自测题1.判断题。
下述各题中的说法是否正确？正确的在图后括号内画“√”，错误的画“×”（1）隔离系统的热力学能U是守恒的。
（）（2）理想气体的完整定义是：在一定T、P下既遵守pV=nRT又遵守(∂U/∂V)T =0的气体叫做理想气体。
（）（3）1mol 100℃、101325Pa下的水变成同温同压下的水蒸气，该过程的△U=0.（）2. 选择题。
选择正确答案的编号，填在各题题后的括号内：(1) 热力学能U是系统的状态函数，若某一系统从一始态出发经一循环过程又回到始态，则系统热力学能的增量是：（）（A）△U=0 ; （B）△U>0; (C) △U<0(2) 当系统发生状态变化时，则焓的变化为：△H=△U+△（pV），式中△（pV）的意思是：（）(A) △(PV)= △P△V; (B) △(PV)=P2V2- P1V1(C) △(PV)=P△V+V△P(3) 1mol理想气体从P1、V1、T1分别经（a）绝热可逆膨胀到P2、V2、T2；（b）绝热恒外压膨胀到P’2、V’2、T’2，若P2= P’2，则（）。
（A）T’2=T2, V’2=V2; (B) T’2> T2 , V’2< V2;(C) T’2> T2, V’2> V23.填空题。
在以下各小题中画有“______”处或表格中填上答案（1）物理量Q（热量）、T(热力学温度)、V（系统体积）、W（功），其中用于状态函数的是__________________；与过程有关的量是________________；状态函数中用于广延量的是______________________；属于强度量的是____________。
(2) Q v=△U应用条件是____________;______________;_________________。
（3）焦耳—汤姆逊系数μJ-T_____________________，μJ-T>0表示节流膨胀后温度_______节流膨胀前温度。
第二章 热力学第二定律习题课
第二章 热力学第二定律一．判断题：正确划(√)，错误划(×)( ) 1．某化学反应的熵变可用反应热效应Δr H m 被反应温度除求得，即TH S m r ∆=∆ 。
( ) 2．在压力为101.325KPa 下，110℃的水变成水蒸气，所吸收的热为Q ，则此过程的熵变为TQ S =∆。
( ) 3．①若ΔS<0，则此过程不能进行。
( ) ②若ΔS > 0，则此过程一定能进行。
( ) ③若ΔS = 0，则此过程为可逆过程。
( ) 4．苯的熔点为278.7K ，则在φP 下，苯(l, 278.7K) → 苯(s, 278.7K)的ΔG < 0。
( ) 5．1mol 理想气体在300K ，由10p ︒定温膨胀到p ︒，其ΔG = -5.7kJ ，则该过程一定为不可逆过程。
( ) 6．①根据熵增加原理，当系统达到平衡时，其熵值最大。
( ) ②物质气化时，熵值增加，因此，气态比液态稳定。
( ) 7．对于理想气体的自由膨胀，由于是定温过程，故d U = 0，又因为其外压等于零，故p d V = 0，根据d U = T d S – p d V ，因此T d S = 0，即该过程是等熵过程。
( ) 8．101325 Pa 、373.2 K 下的1 mol 水向真空容器气化，最后成为101325 Pa,373.2 K 的水汽，这是一个热力学不可逆过程，因是定温定压过程， 故ΔG < 0。
( ) 9．某体系从始态经过一个绝热不可逆过程到达终态，为了计算某些热力学函数的变量，可以设计一个绝热可逆过程，从同一始态出发到达同一终态。
10．判断下列各过程的运算公式是否正确：( ) ① 理想气体向真空膨胀：12lnV V nR S =∆ ( ) ② 水在298K ，p ︒下蒸发：TG H S ∆-∆=∆ ( ) ③ 定温定压可逆电池反应TH S ∆=∆二、选择题：( ) 1．某体系进行不可逆循环过程时(A) ΔS (系统) >0， ΔS (环境)< 0(B) ΔS (系统) >0， ΔS (环境) >0(C) ΔS (系统) = 0， ΔS (环境) = 0(D) ΔS (系统) = 0， ΔS (环境) >0( ) 2．N 2和O 2混合气体的绝热可逆压缩过程中(A) ΔU = 0 (B) ΔA = 0 (C) ΔS = 0 (D) ΔG = 0( ) 3．单组分体系，在正常沸点下汽化，不发生变化的一组量是(A) T ，P ，U (B) H ，P ，U (C) S ，P ，G (D) T ，P ，G( ) 4．封闭体系中，W / = 0，定温定压下进行的化学反应，可用下面哪个公式计算系统的熵变(A) ΔS = Q P /T (B) ΔS = ΔH /T(C) ΔS = (ΔH -ΔG ) /T (D) ΔS = nR T ln V 2/V 1( ) 5．要计算298 K ，标准压力下，水变成水蒸汽(设为理想气体)的ΔG ，需知道的条件是(A) m p C ⋅(H 2O 、l) 和m p C ⋅ (H 2O 、g)(B)水的正常沸点下汽化热ΔH v,m 及其熵变(C) m v C ⋅(H 2O 、l) 和m p C ,(H 2O, g) 及ΔH v ,m(D) m p C ⋅(H 2O 、l) 和m v C ,(H 2O, g) 及ΔH v, m( )6．由热力学基本关系可以导出n mol 理想气体B 的()T S V∂∂为 (A) nR/V (B) –nR/p (C) nR (D) R/p( ) 7．某化学反应在300K 、p ︒下，在试管中进行时，放热6×104 J ，若在相同条件下，通过可逆电池进行反应，则吸热6×103 J ，该化学反应的熵变 ΔS 系统为(A) -200 J ·K -1 (B) 200 J ·K -1 (C) -20 J ·K -1 (D) 20 J ·K -1( ) 8．上题反应在试管中进行时，其环境的熵变ΔS 环为(A) 200 J ·K -1 (B) -200 J ·K -1 (C) -180 J ·K -1 (D) 180 J ·K -1( ) 9．在题7中，该反应系统可能做的最大非膨胀功为(A ) -66000 J (B) 66000 J (C) -54000 J (D) 54000 J( ) 10．在383 K 、p ︒下，1 mol 过热水蒸气凝聚成水，则体系、环境及总的熵变为(A) ΔS系统< 0 ΔS系统< 0 ΔS系统< 0(B) ΔS系统< 0 ΔS系统> 0 ΔS系统>0(C) ΔS系统> 0 ΔS系统> 0 ΔS系统>0(D) ΔS系统< 0 ΔS系统>0 ΔS系统<0三、简答题：1．如何将下列不可逆过程设计为可逆过程？(1) 理想气体从压力为p1，向真空膨胀至p2。
大一高数课件第二章 2-习题课-1
y = f (x)
y
y = f (x)
o
x
o
x0
x
3、基本导数公式 （常数和基本初等函数的导数公式） 常数和基本初等函数的导数公式）
(C )′ = 0 (sin x ) ′ = cos x (tan x ) ′ = sec 2 x (sec x ) ′ = sec xtgx ( a x ) ′ = a x ln a 1 (log a x ln a 1 ′= (arcsin x ) 1− x2 1 (arctan x ) ′ = 1+ x2 x )′ =
4、求导法则 函数的和、 (1) 函数的和、差、积、商的求导法则
可导， 设 u = u( x ), v = v ( x )可导，则 是常数), ） （1）( u ± v )′ = u′ ± v ′ , （2）(cu)′ = cu′ ( c 是常数 ）
′ ′ ） （3）( uv )′ = u′v + uv ′ , （4）( u )′ = u v −2 uv (v ≠ 0) . ） v v ′ ′
第二章 导数与微分 习题课
• 一、主要内容 • 二、例题与练习
关
dy = y′ ⇔ dy = y′dx ⇔ ∆y = dy + o(∆x) 系 dx
导 数 基本公式 导数 微 分
∆y lim ∆x→0 ∆x
dy = y′∆x
( x0 ) ∆y y′ x= x0 = lim = lim . ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x 1.左导数 左导数: 1.左导数:
f −′ ( x 0 ) = lim
x → x0 − 0
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → −0 x − x0 ∆x f ( x ) − f ( x0 ) f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 ) ; = lim ∆x → + 0 x − x0 ∆x
高数 第二章 习题课二
(定数)
10
可见对任意 x (a , b) , f ( x) K , 即得所证 .
例6
(a , b) 可导，且a 0, 设 f ( x) 在 [a , b] 连续，
代入上式
1 原式＝－ 6
12
四、 导数应用
1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率
2. 解决最值问题
• 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ;
证明不等式 ; 研究方程实根等.
13
1、利用函数的单调性证明不等式 例1. 证明
有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧.
5
2x 2 arctan x , 例1：证明 arcsin 2 1 x 2x 证： 令 f x arcsin 2 arctan x 2 1 x , f x 0 f x c
0
e
1 e
在 [ 1 , ) 只有唯一的极大点 x e , 因此在
处
又因 中的最大项 .
也取最大值 .
22
例9 求曲线 x y 2 上点 A(1,1) 处的曲率半径。 解 方程两边对 x 求导
4
4
4 x 4 y y 0
方程两边再对 x 求导
3
3
x y y 0
5、利用泰勒公式证明不等式 例7. 设函数 f ( x) 在 [0 ,1] 上具有三阶连续导数 ,
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2. 试讨论线形聚异戊二烯可能有哪些不同的构型， 假定不考虑键接结构（画出结构示意图）。 解：聚异戊二烯可能有6种有规立构体，它们是： ① 顺1,4加成 ② 反1,4加成 ③ 1,2加成全同 立构
④ 3,4 加 成 全 同立构
⑤ 1,2加成间同 立构
⑥ 3,4加成间同 立构
3. 在聚乙烯醇(PVA)溶液中加入HIO4，假定1、2－乙二醇 结构全都与HIO4作用使分子链断裂．在加入前测得PVA 的数均相对分子质量为35 000，作用后相对分子质量为 2 200。试求PVA中头头相接结构的百分数(即每100个结构 单元中头头结构数)。
（2）聚异戊二烯：由于双键上的侧基（或原子）数目 较单键少，键角120°大于一般单键的109.5°，所以孤 立双键邻近的单键内旋转位垒较少，分子链也非常柔顺。 （3）聚乙烯：具有一定柔顺性。
（4）聚苯乙烯：侧基较大，由于空间位阻对内旋转不利， 从而刚性比聚乙烯大。 （5）硝化纤维素：主链上的六元环结构使内旋转困难。 而且分子间能形成氢键，侧硝酸酯基也有极性，这些因 素都大大增加分子刚性。
错误分析：“前者是交替共聚物”。交替共聚物的结构规则性也很 好，也易结晶。
10、为什么得不到对称性高的晶系？
答： 高分子在结晶中所采取的构象一般为平面锯 齿形构象或螺旋构象，这样导致分子链只能采取 使其主链的中心轴相互平行的方式排列，在这方向 上，原子间有化学键合，而在空间的其他两个方向， 则只有分子间力。由于各个方向的受力不同，就产 生了各向异性。因此在合成高聚物的晶体中不出现 对称性高的立方晶系。
PET在接近 进行拉伸，由于拉伸使得大分子链或 链段在外力的方向上取向而呈现一定的有序性，使之容 易结晶。由于结晶，使之由透明变为混浊。拉伸有利于 结晶，在热力学上是这样解释的：根据
Tg
G H ห้องสมุดไป่ตู้TS
已知结晶过程是放热和有序排列的过程，所以 H <0，
17. （1）将熔融态的聚乙烯（PE）、聚对苯二甲酸乙二醇酯 （PET）和聚苯乙烯（PS）淬冷到室温，PE是半透明的， 而PET和PS是透明的。为什么？ （2）将上述的PET透明试样，在接近玻璃化温度 T
还可用于求取溶度参数。
8、乙烯是塑料，全同PP也是塑料，为什么乙烯与丙烯的 共聚物可以制成橡胶？
答：如果将乙烯与丙烯制成丙烯含量较高的无规共聚物， 丙烯上的甲基在分子链上是无规排列的，这样在晶格 中分子链难以堆砌整齐，所以得到一个无定型的橡胶 状的透明聚合物。
这说明，不同的共聚物结构，对材料性能的影响也各不 相同。在无规共聚物的分子链中，两种单体无规排列，既 改变了结构单元的相互作用，也改变了分子间的相互作用。
w c
解：（1）对无规PS本体和溶液分别进行中子小角散射 实验，从高聚物本体测得的均方旋转半径和溶液中测得 的结果相近，从而证明了无规PS本体为无规线团构象。 （2）在PS本体和溶液中，分别用高能辐射使高分子发 生分子内交联。实验结果并未发现本体体系发生内交联 的倾向比溶液中更大，说明本体中并不存在诸如紧缩的 线团或折叠链等局部有序结构。
7、何谓内聚能密度（CED），有何用途？
答：单位体积的内聚能，而内聚能则是为克服分子间 作用力，将1mol凝聚体汽化时所需要的能量。
内聚能密度的用途：是评价分子间作用力大小的一
个物理量，主要反映基团间的相互作用。一般来说，
分子中所含基团的极性越大，分子间的作用力就
越大，则相应的内聚能密度就越大；反之亦然。
9. 有两种乙烯和丙烯的共聚物，其组成相同（均为65％乙烯和35％ 烯），但其中一种室温时是橡胶状的，一直到稳定降至约－70℃时 才变硬，另一种室温时却是硬而韧又不透明的材料。试解释它们内 在结构上的差别。
解：前者是无规共聚物，丙烯上的甲基在分子链上是无规排列的， 这样在晶格中难以堆砌整齐，所以得到一个无定形的橡胶状的透 明聚合物。 后者是乙烯和有规立构聚丙烯的嵌段共聚物，乙烯的长嵌段堆砌 入聚乙烯晶格，而丙烯嵌段堆砌入聚丙烯晶格。由于能结晶从而 是硬而韧的塑料，且不透明。
11、晶态高聚物在X射线衍射图中出现的衍射环 为什么每每有弥散现象？
答：由于X射线会在晶面上产生衍射现象，形成各自的 衍射锥，这些不同级数的衍射锥会在图上形成衍射 环；弥散现象则是非晶物质在X射线照射下的特有 现象。晶态高聚物既存在衍射环又有弥散现象，这 说明晶态高聚物中存在着一定的非晶区。
12. 透明的聚酯薄膜在室温二氧六环中浸泡数分钟就变为 不透明，这是为什么? 解：称溶剂诱导结晶，有机溶剂渗入聚合物分子链之间 降低了高分子链间相互作用力，使链段更易运动，从而 Tg降低至室温以下而结晶。
5. 名词解释 热塑性弹性体：thermoplastic elastomer，简记：TPE ， 是指在常温下具有加硫橡胶的性质（即 弹性体的性质），在高温下又可以塑化 变形之高分子材料。
6、为什么高聚物不存在气态，且交联高聚物甚至不存在液态？
答：因为分子间作用力与分子量有关，而高分子的分子 量很大，致使分子间作用力加和超过化学键的键能， 当温度升高达到气化温度以前，就发生主链的断裂 或分解，从而破坏了高分子化合物的化学结构，因 此高聚物不存在气态。 对于交联高聚物而言，分子链之间通过化学键交联 成网状结构，无法以分子分散状态溶解在溶剂中， 不能加热熔融，因此不存在液态。
平均每根链上头－头结构数 头－头结构百分数＝ 平均每根链的链节数
35000 1 2200 1.88% 35000 1 44
注意：－1是因为断裂一个头－头结构会产生两段链，于是头－头 结构数总是比链数少1。分母的“－1”可以忽略，因为链节总数很大 ，但分子的“－1”不可忽略，因为总共只有16段。
4. 下表数据说明了什么?试从结构上予以分析： 聚合物的刚性因子
聚二甲基硅氧烷 1．4～1．6 聚异戊二烯 1．5～1．7 聚乙烯 1．83 聚苯乙烯 2．2～2．4 硝化纤维素 4．2 解：刚性因子
h h
2 0
2 f ,r
1
2
σ 越大，说明分子链刚性越大，或柔性越小。 （1）聚二甲基硅氧烷：由于Si－O键中氧原子周围没有侧基，而且
不能直接通过，故两相并存的结晶高聚物通常呈乳白色，不 透明或半透明，如聚乙烯、尼龙等。当结晶度减小时，透明 度增加。 对于完全非晶的高聚物，光线能通过，通常是透明的，如有 机玻璃、聚苯乙烯等。另外结晶性高聚物要满足充要条件 （化学结构的规整性和几何结构的规整性，温度和时间）才 能结晶，否则是不可能的。PE由于结晶能力特别强，用液氮 （-193℃）将其熔体淬冷也得不到完全非晶体，总是晶区与非 晶区共存，因而呈现半透明。PET是结晶能力较弱的聚合物， 将其熔体淬冷，由于无足够的时间使其链段排入晶格，结果 得到的是非晶态而呈透明性。 PS没加任何说明都认为是无规立构的。无规立构的PS在任何 条件下都不能结晶，所以呈现透明性。
g
下进行拉伸，发现试样外观由透明变为混浊，试从热力学观点来解 释这一现象。 解：（1）当光线通过物体时，若全部通过，则此物体是透明的。 若光线全部被吸收，则此物体为黑色。对于高聚物的晶态结构总 是晶区与非晶区共存，而晶区与非晶区的密度不同，物质的折光 率又与密度有关，因此，高聚物的晶区与非晶区折光率不同。光 线通过结晶高聚物时，在晶区界面上必然发生折射、反射和散射，
1. 以下化合物，哪些是天然高分子化合物，哪些是 合成高分子化合物 （1）蛋白质，（2）PVC，（3）酚醛树脂，（4）淀粉， （5）纤维素，（6）石墨，（7）尼龙66，（8）PVAc， （9）丝，（10）PS，（11）维尼纶，（12）天然橡胶， （13）聚氯丁二烯，（14）纸浆，（15）环氧树脂 解：天然（1）（4）（5）（6）（9）（12）（14）， 合成（2）（3）（7）（8）（10）（11）（13）（15）
缓慢冷却的涤纶结晶度高，因此强度和脆性都增加；迅 速冷却时得到的是无定型的涤纶，经过拉伸可以发生取 向，因此具有很好的韧性。
13、
~ 1.42 2.96 0.51 V 1.105 cm 3 g 试样的比容 1.94
因为
其中，Vc为晶胞体积，由所给条件计算 每个晶胞中含有原子量为Ai的原子有Ni个。
∴
Va V 1.176 1.105 X 0.651 Va Vc 1.176 1.068