多元统计分析第二章均值、方差检验

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从图3（t分布图）可以看出，右边的尾概率 不能说是小概率。如果要是拒绝零假设的话， 犯错误的概率就多于 12 ％（ 0.1243 ）了， 因此没有足够证据来拒绝零假设。
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（2）根据来自两个总体的独立样本对其总体均值的 检验 目的是推断两个样本分别代表的总体均数是否相等。 目的是 其检验过程与上述两种t检验也没有大的差别，只是 假设的表达和t值的计算公式不同。 两样本均数比较的t检验,其假设一般为： H0：µ 1=µ 2，即两样本来自的总体均数相等. H1：µ 1>µ 2或µ 1<µ 2，即两样本来自的总体均数不相等， 检验水准为0.05。 计算t统计量时是用两样本均数差值的绝对值除以两 样本均数差值的标准误。
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2.1 均值向量的检验
1、正态总体均值检验的类型 根据样本对其总体均值大小进行检验（ One根据样本对其总体均值大小进行检验（ OneSample T Test ） 如妇女身高的检验。 根据来自两个总体的独立样本对其总体均值的检验 （ Indepent Two-Sample T Test ） 如两个班平均成绩的检验。 配对样本的检验（ Pair配对样本的检验（ Pair-Sample T Test ） 如减肥效果的检验。 多个总体均值的检验
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用 SPSS 处理数据： Spss 选项：Analyze—Compare mean— Analyze— mean— Analyze OneOne-Sample T Test Spss 输出结果：
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输出结果中：p - 值为 0.1243 （计算机输 出的双尾检验的 p - 值除以 2 ），因此， 没有证据否定零假设。 t分布图：
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3 ．关于 “ 临界值 ” 的问题： 过去的统计教科书中，使用临界值的概念进行假设 检验，不计算p - 值。只比较统计量的取值和临界 值的大小。使用临界值而不是p - 值来判断拒绝与 否是前计算机时代的产物。当时计算p - 值不易， 只采用临界值的概念。 现在计算机软件一般都不给出α和临界值，但都给 出p - 值和统计量的实现值，让用户自己决定显著 性水平是多少。
第二章
均值向量和协方差阵的检验
zf
假设检验的基本问题
1、假设检验的基本原理 小概率事件原理 小概率思想是指小概率事件（P<0.01或 小概率思想是指小概率事件（P<0.01或 P<0.05等 在一次试验中基本上不会发生。 P<0.05等）在一次试验中基本上不会发生。 反证法思想是先提出假设(检验假设H 反证法思想是先提出假设(检验假设H0)，再 用适当的统计方法确定假设成立的可能性大 如可能性小,则认为假设不成立；反之， 小，如可能性小,则认为假设不成立；反之， 则认为假设成立。 则认为假设成立。
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见图2的t分布图，在直观上看这也的确是个 小概率事件。
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例2：某汽车厂商声称其发动机排放标准的 一个指标平均低于 20 个单位。在抽查了 10 台发动机之后，得到下面的排放数据： 17.0 、 21.7 、 17.9 、 22.9 、 20.7 、 22.4 、 17.3 、 21.8 、 24.2 、 25.4 。 该样本均值为 21.13 。究竟能否由此认为 该指标均值超过 20 ？ 假设检验问题就是： H0=20 H1大于20
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确定统计量 检验统计量就是作为对均值的标准化 见书： 21页 2.1）（2.2） ）（2.2 见书：第21页（2.1）（2.2） 处理数据： 用 SPSS 处理数据： 命令：Analyze— mean— 命令：Analyze—Compare mean—One Sample T Test
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a. 建立假设 H0：µ =µ 0=72次/分，H0：µ>µ 0，检验水准为单侧0.05。 b. 计算统计量 进行样本均数与总体均数比较的t检验时t值为样本均数与 总体均数差值的绝对值除以标准误的商，其中标准误为标 准差除以样本含量算术平方根的商 3. 确定概率，作出判断 以自由度v(样本含量n减1)查t界值表，0.025<P<0.05，拒 绝H0，接受H1，可认为该山区成年男性的脉搏均数高于一 般成年男性。
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（1）根据样本对其总体均值大小进行检验 设取出一容量为n的样本， 设取出一容量为n的样本，得到均值 X 和标 准差s 准差s，现要透过样本推断总体均值 µ 是否 与某给定值（理论值或标准值） 与某给定值（理论值或标准值）µ0 有无差 别进行检验. 别进行检验.记 H0 : µ = µ0 H1 : µ ≠ µ0 为原假设， 为备择假设， 两者择其一： 称 H0 为原假设 ， H1 为备择假设 ， 两者择其一 ： 接受H 拒绝H 即接受H 接受H0；拒绝H0，即接受H1
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2 σ12 与 σ2 已知时 A、
构造统计量
z=
X −Y
σ 12
n1
+
σ 22
n2
2 σ12 与 σ2 未知但相等时 B、
构造统计量
t=
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X −Y
2 2 (n1 −1)s1 +(n2 −1)s2
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nn2(n1 +n2 −2) 1 n1 +n2
H0
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H1: u不等于160cm的假设称为双尾检验 ； 的假设称为双尾检验 如果备选假设为H1: 如果备选假设为 u大于160cm 或 u小于160cm 则称为单尾检验。 则称为单尾检验。 实际中选择何种备选假设，需根据检验的需要决定。 实际中选择何种备选假设，需根据检验的需要决定。 需要注意的是： 需要注意的是：计算机输出结果中的 p 值是双尾 检验的概率。 检验的概率。 如果备选假设选择的是单尾检验， 如果备选假设选择的是单尾检验，则要将计算机给 值的一半。 的 p 值除以 2 ，即取 p 值的一半。
总体方差σ 已知
2
H0
H1
统计量 z=
X − µ0
总体方差σ 未知
2
σ
统计量 t =
X − µ0 s n
在显著水平α 下拒绝 H0，若 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
n
µ = µ0
µ = µ0
µ ≠ µ0 µ > µ0 µ < µ0
z >u
1−
α
2
t >t
1−
α
2
(n − 1)
z > u1−α z < −u1−α
t > t1−α (n − 1) t < −t1−α (n − 1)
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与此同时必须提出对立假设，如妇女身高均 ≠ 值不等于 160 cm 。对立假设又称为备选假 设或备择假设（ alternative hypothesis ） 记为 H 1 。 形式上，上面的关于总体均值的 H 0 相对 于 H 1 的检验记为： H0: u=160cm H1: u不等于160cm
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（4）计算检验统计量的值并进行判断 根据样本观测值计算统计量的观测值，并与临 界值进行比较，从而在检验水平条件下对拒绝 或接受原假设H0作出判断. 根据数据计算检验统计量的实现值（ t 值或F 值）和根据这个实现值计算 p值 如果p - 值小于或等于α，就拒绝零假设，这 时犯错误的概率最多为α；如果p - 值大于α， 就不拒绝零假设，因为证据不足。
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实际上，多数计算机软件仅仅给出 p - 值，而不 给出 α 。这有很多方便之处。比如 α= 0.05 ， 而假定所得到的 p - 值等于 0.001 。这时如果采 用 p - 值作为新的显著性水平，即新的 α= 0.001 ；于是就可以说，在显著性水平为 0.001 时，拒绝零假设。这样，拒绝零假设时犯错误的概 率实际只是千分之一而不是旧的 α 所表明的百分 之五。 在这个意义上， p - 值又称为观测的显著性水平 （ observed significant level ）。在统计软件 输出 p - 值的位置，有的用 “ p-value ” ，有 的用 significant 的缩写 “Sig”
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（2）确定检验统计量 1 有了两个假设，就要根据数据来对它们进行判断： 选择适当的统计量，并在原假设H0成立的条件下确 定该统计量的分布。 （3）确定显著性水平α 根据样本所得的数据来拒绝零假设的概率应小于 0.05 ，当然也可能是 0.01 ， 0.005 ， 0.001 等等。 根据统计量的分布查表，确定对应于α的临界值.
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500g 例1：如果你买了一包标有 500g 重的一包 红糖，你觉得份量不足。 红糖，你觉得份量不足。于是你找到监督部 门；当然他们会觉得一包份量不够可能是随 机的。 机的。于是监督部门就去商店称了 50 包红 ）；其中均值 其中均值（ 糖（数据在 sugar.sav ）；其中均值（平 均重量） 498.35g 500g 均重量）是 498.35g ；这的确比 500g 少， 但这是否能够说明厂家生产的这批红糖平均 起来不够份量呢？于是需要统计检验。 起来不够份量呢？于是需要统计检验。
H1
2 方差 σ 12 , σ 2 已知 统计量 z
2 方差σ 12 , σ 2 未知但相等 统计量t
在显著水平α 下拒绝 H0，若 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
µ1 = µ 2 µ1 = µ 2 µ1 = µ 2
µ1 ≠ µ 2 µ1 > µ 2 µ来自百度文库 < µ 2
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显著性水平就是小概率水平，但小概率并不 能说明不会发生，仅仅是发生的概率很小罢 了。拒绝正确零假设的错误常被称为第一类 第一类 错误（ 错误（ type I error ）。 有第一类错误，就有第二类错误：那是备选 假设正确时反而说零假设正确的错误，称为 第二类错误（ 第二类错误（ type II error ）。
µ = µ0
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如根据大量调查，已知健康成年男性的脉搏 均数为72次/分，某医生在一山区随即抽查 了25名健康男性，求得其脉搏均数为74.2次 /分，标准差为6.0次/分，问是否能据此认 为该山区成年男性的脉搏均数高于一般成年 男性。
上述两个均数不等既可能是抽样误差所致，也有可能真是环境差 异的影响，为此，可用t检验进行判断，检验过程如下：
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2、假设检验的步骤 （1）提出一个原假设和备择假设 例如：要对妇女的平均身高进行检验， 例如：要对妇女的平均身高进行检验，可以 先假设妇女身高的均值等于 160 cm ）。这种原假设也称为零假设 （u=160cm ）。这种原假设也称为零假设 ），记为 （ null hypothesis ），记为 H 0 。
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A、总体方差已知 用u检验 u检验，检验的拒绝域为 W ={ z > u α } 即 W = {z < −u1−α 或z > u1−α } 1−
2
2 2
B、总体方差未知 用样本方差 2 代替总体方差 σ 2 ，这种检验 s 叫t检验 t检验.
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首先，可以画出这些重量的直方图（图1）
判断样本是否服从正态分布
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提出假设 由于厂家声称每袋 500g （标明重量），因 此零假设为总体均值等于 500g （被怀疑对 被怀疑对 象总是放在零假设）；而且由于样本均值少 象总是放在零假设 于 500g （这是怀疑的根据），把备选假设 定为总体均值少于 500g （这种备选假设为 单向不等式的检验为单尾检验，）。 即，H0：u=500 H1: u小于500
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Spss 输出结果 :t=-2.696 （也称为 t 值） , 同时得到 p- 值为 0.005 （由于计 算机输出的为双尾检验的 p- 值，比单尾的 大一倍，应该0.010除以 2 ）
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在0.5％的条件下，红糖标记重量为 500g 是不能接受的，实际上平均起来要少于 500g 。