向量的数乘运算及其几何意义PPT优秀课件
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向量数乘运算及其几何意义(公开课课件)
在计算机图形学中的应用
向量数乘运算在计算机图形学中用于描述二维或三维图形的变换， 如旋转、缩放、平移等。
在机器学习中的应用
向量数乘运算在机器学习中用于特征提取和数据降维，可以提高模 型的训练效率和精度。
THANK YOU
感谢聆听
向量数乘运算及其几何意义(公 开课课件)
目
CONTENCT
录
• 向量数乘运算的定义与性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 向量数乘运算的扩展与展望
01
向量数乘运算的定义与性质
定义
向量数乘的定义
数乘运算是一种线性运算，它对向量进行缩放和旋转。具体来说， 对于任意实数k和向量a，数乘运算的结果是ka，其中k是标量，a是 向量。
向量数乘运算的性质
向量数乘运算具有一些重要的性质， 如结合律、交换律、分配律等，这些 性质在解决实际问题中具有广泛的应 用。
向量数乘运算在几何上表示对向量进 行缩放和平移，可以通过图形直观地 理解。向量数乘运算的 Nhomakorabea来发展方向
深入研究向量数乘运算的性质和算法
随着科学技术的不断发展，向量数乘运算在各个领域的应用越来越广泛，需要深入研究 其性质和算法，以提高计算效率和精度。
02
向量数乘运算的几何意义
标量与向量的数乘
标量与向量的数乘定义
标量数乘是指将一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量。这个新的向量的 模长是原向量模长的标量倍，而方向则与原向量相同或相反，取决于标量的正负 。
举例
假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a}$，其模长为2，现在将其与标量3相 乘，得到新的向量$3overset{longrightarrow}{a}$，其模长为6，方向与 $overset{longrightarrow}{a}$相同。
向量数乘运算在计算机图形学中用于描述二维或三维图形的变换， 如旋转、缩放、平移等。
在机器学习中的应用
向量数乘运算在机器学习中用于特征提取和数据降维，可以提高模 型的训练效率和精度。
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向量数乘运算及其几何意义(公 开课课件)
目
CONTENCT
录
• 向量数乘运算的定义与性质 • 向量数乘运算的几何意义 • 向量数乘运算的应用 • 向量数乘运算的扩展与展望
01
向量数乘运算的定义与性质
定义
向量数乘的定义
数乘运算是一种线性运算，它对向量进行缩放和旋转。具体来说， 对于任意实数k和向量a，数乘运算的结果是ka，其中k是标量，a是 向量。
向量数乘运算的性质
向量数乘运算具有一些重要的性质， 如结合律、交换律、分配律等，这些 性质在解决实际问题中具有广泛的应 用。
向量数乘运算在几何上表示对向量进 行缩放和平移，可以通过图形直观地 理解。向量数乘运算的 Nhomakorabea来发展方向
深入研究向量数乘运算的性质和算法
随着科学技术的不断发展，向量数乘运算在各个领域的应用越来越广泛，需要深入研究 其性质和算法，以提高计算效率和精度。
02
向量数乘运算的几何意义
标量与向量的数乘
标量与向量的数乘定义
标量数乘是指将一个标量与一个向量相乘，得到一个新的向量。这个新的向量的 模长是原向量模长的标量倍，而方向则与原向量相同或相反，取决于标量的正负 。
举例
假设有一个向量$overset{longrightarrow}{a}$，其模长为2，现在将其与标量3相 乘，得到新的向量$3overset{longrightarrow}{a}$，其模长为6，方向与 $overset{longrightarrow}{a}$相同。
必修四向量数乘运算及其几何意义课件
02
在几何上，数乘运算可以理解为 将向量$mathbf{a}$按比例放大 或缩小，缩放因子为$|k|$。
几何意义
当$k > 0$时，数乘后的向量 $mathbf{a} times k$与原向量 $mathbf{a}$方向相同，且长度为$|k| times |mathbf{a}|$。
数乘运算可以改变向量的长度和方向 ，但不会改变向量的起点和终点。
进阶练习
应用题解析
设计涉及实际问题的向量数乘运算题目，如速度、加速度等物理量的计算。
复杂计算挑战
提供涉及多个步骤的向量数乘运算题目，要求学生准确、快速地完成。
综合练习
知识融合
将向量数乘与其他向量知识融合，如向量加法、减法、数乘等，考查学生的综合 运用能力。
几何意义应用
设计涉及向量在几何图形中的数乘运算题目，要求学生理解并解释其几何意义。
数乘的结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，有λ * (μ * a) = μ * (λ * a)。
实例解析
实例1
设向量a = [1, 2]，实数λ = -3，则λ * a = [-3, -6] 。
实例2
设向量a = [2, -1]，实数λ = 2，μ = -1，则(λ + μ) * a = [1, -4] + [-2, 2] = [1, -2]。
实数与向量的数乘
对于任意实数λ和向量a，数乘运 算的结果是λ * a，其中λ * a的长 度为|λ| * |a|，方向由实数λ的正 负决定。
性质
01
02
03
标量积性质
对于任意实数λ和向量a， 有(λ + μ) * a = λ * a + μ * a。
分配律
在几何上，数乘运算可以理解为 将向量$mathbf{a}$按比例放大 或缩小，缩放因子为$|k|$。
几何意义
当$k > 0$时，数乘后的向量 $mathbf{a} times k$与原向量 $mathbf{a}$方向相同，且长度为$|k| times |mathbf{a}|$。
数乘运算可以改变向量的长度和方向 ，但不会改变向量的起点和终点。
进阶练习
应用题解析
设计涉及实际问题的向量数乘运算题目，如速度、加速度等物理量的计算。
复杂计算挑战
提供涉及多个步骤的向量数乘运算题目，要求学生准确、快速地完成。
综合练习
知识融合
将向量数乘与其他向量知识融合，如向量加法、减法、数乘等，考查学生的综合 运用能力。
几何意义应用
设计涉及向量在几何图形中的数乘运算题目，要求学生理解并解释其几何意义。
数乘的结合律
对于任意实数λ、μ和向量 a，有λ * (μ * a) = μ * (λ * a)。
实例解析
实例1
设向量a = [1, 2]，实数λ = -3，则λ * a = [-3, -6] 。
实例2
设向量a = [2, -1]，实数λ = 2，μ = -1，则(λ + μ) * a = [1, -4] + [-2, 2] = [1, -2]。
实数与向量的数乘
对于任意实数λ和向量a，数乘运 算的结果是λ * a，其中λ * a的长 度为|λ| * |a|，方向由实数λ的正 负决定。
性质
01
02
03
标量积性质
对于任意实数λ和向量a， 有(λ + μ) * a = λ * a + μ * a。
分配律
《向量数乘运算及其几何意义课件(人教A版必修)》课件
解：如图 → → ∵AD＝2DB， → → → → 2→ ∴CD＝CA＋AD＝CA＋ AB 3 → 2 → → 1→ 2→ ＝CA＋ (CB－CA)＝ CA＋ CB. 3 3 3 → 1→ → 又∵CD＝ CA＋λCB， 3 2 ∴λ＝ . 3
共线向量定理的应用
→ → BC 例3 (本题满分 9 分)已知向量AB＝a＋5b， → ＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D
③|λa|＝|λ|a；④|λa|＝λ|a|. 解析：实数λ与向量a的积λa也是一个向量,所 以①错,②正确;|λa|＝|λ||a|,所以③④错. 想一想 向量与实数可以求积，那么向量和实数可以 进行加减运算吗？ 提示：不可以．向量与实数不能进行加减运 算，如1＋a和λ－a无法运算．
2.共线向量定理 向量 a(a≠0) 与 b 共线，当且仅当有唯一一个 b＝λa 实数λ，使____________ ． 做一做 已知向量 a ， b 不共线，则 c ＝ a － 2b 与 d ＝－ 2a＋4b的位置关系是什么？ 提示：d＝－2c，故c＝ AB ＋ BM ＝ a＋ BC ＝ a＋ (b－ a)＝ (a 2 2 2 ＋b)． → 2→ ∵△ADN∽△ABM，AD＝ AB， 3 → 2→ 1 ∴AN＝ AM＝ (a＋b)． 3 3
变式训练
→ 2.在△ABC 中， 已知 D 是 AB 边上一点， 若AD → → 1→ → ＝2DB，CD＝ CA＋λ CB，求 λ 的值． 3
→ → 证明：∵CB＝2a－8b，CD＝3a－3b， → → → 又∵AC＝AB＋BC＝－a＋13b， → ∴CA＝a－13b.
→ → → 设CA＝xCB＋yCD＝2xa－8xb＋3ya－3yb ＝(2x＋3y)a－(8x＋3y)b＝a－13b，
人教版必修4 数学2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件(24张)精选ppt课件
1．化简下列各式： (1)2(3a－2b)＋3(a＋5b)－5(4b－a)； (2)16[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]． 解：(1)原式＝6a－4b＋3a＋15b－20b＋5a＝14a－9b. (2)原式＝16(4a＋16b－16a＋8b)＝16(－12a＋24b) ＝－2a＋4b.
用已知向量表示其他向量 如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点 M，且A→B＝ a，A→D＝b，你能用 a、b 表示M→A、M→B、M→C和M→D吗？
[解] 分别作向量O→A、O→B、O→C，过点 A、C 作直线 AC(如 图)．由图猜想 A、B、C 三点共线． 因为A→B＝O→B－O→A
＝a＋2b－(a＋b)＝b， 而A→C＝O→C－O→A ＝a＋3b－(a＋b)＝2b， 于是A→C＝2A→B. 所以，A、B、C 三点共线．
(1)证明三点共线，通常转化为证明这三点构成的其中两个 向量共线，两个向量共线的充要条件是解决向量共线问题 的依据． (2)若 A，B，C 三点共线，则向量A→B，A→C，B→C在同一直 线上，因此必定存在实数，使得其中两个向量之间存在线 性关系，而向量共线定理是实现线性关系的依据．
[解] (1)原式＝3a＋3b－2a＋2b－a＝5b. (2)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＝－a＋5b－2c. (3)原式＝12(2a＋32b)－a－34b＝a＋34b－a－34b＝0.
向量的数乘运算方法 (1)向量的数乘运算类似于代数的多项式的运算，其解题方 法为“合并同类项”“提取公因式”，“同类项”“公因式”指的是 向量，实数与向量数乘，实数可看作是向量的系数． (2)向量的求解可以通过列方程来求，将所求向量作为未知 量，通过解方程的方法求解．
解：由三角形中位线定理， 知 DE 綊12BC，
2.2.3向量数乘运算及其几何意义(免费课件)
A
D
C
B
1 思考： （1）若将条件改为 DC = AB ， 3
（2）若将条件改为 AD
其形状如何？加以证明。梯形
BC ， AB AD ，
其形状如何？加以证明。
矩形
小结:
一、①λ a 的定义及运算律
②向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
C
a
b
3b 2b b A,B,C三点共线
B
小结:
证明三点共线的方法:
A
AB=λBC
且有公共点Ｂ
a
O
例 3、已知四边形 ABCD 满足条件 AB DC ， 试判断其的形状，并证明。
解： AB DC AB DC 且 AB//DC ｜ ｜｜ ｜
ABDC是平行四边形
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则: 起点相同,对角为和
B
首尾相接，再连首尾
C
a
ab b
ab
A
b
C
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则:
共起点，连终点，指向前终点
a b
O
b
B
a
BA a b
(3) (a b) a b. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 2、计算： 解： （1） (4) 5a ；20a 【 （2） 5(a 5a ；a b) b ； 2、计算： （1） (4) b) 3( 预 a 5b 3a 3b b 5 习 （3） 5(a b) 3(a2(a ) b ；3c) ) b 2b 2a 7b c （2） (3 (5 a (5 1) 3) 3 b 自 （3） (3a b c) 2(a 2b 3c) 测 3a b c 2a 4b 6c 】 (3 2)a (1 4)b (1 6)c a 5b 7c
D
C
B
1 思考： （1）若将条件改为 DC = AB ， 3
（2）若将条件改为 AD
其形状如何？加以证明。梯形
BC ， AB AD ，
其形状如何？加以证明。
矩形
小结:
一、①λ a 的定义及运算律
②向量共线定理 向量a (a≠0)与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 且有公共点Ｂ 3. 证明 两直线平行: AB=λCD AB∥CD
C
a
b
3b 2b b A,B,C三点共线
B
小结:
证明三点共线的方法:
A
AB=λBC
且有公共点Ｂ
a
O
例 3、已知四边形 ABCD 满足条件 AB DC ， 试判断其的形状，并证明。
解： AB DC AB DC 且 AB//DC ｜ ｜｜ ｜
ABDC是平行四边形
2.2.3 向量数乘运算 及其几何意义
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则: 起点相同,对角为和
B
首尾相接，再连首尾
C
a
ab b
ab
A
b
C
b
A
a
B
O
a
3.向量减法三角形法则:
共起点，连终点，指向前终点
a b
O
b
B
a
BA a b
(3) (a b) a b. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 2、计算： 解： （1） (4) 5a ；20a 【 （2） 5(a 5a ；a b) b ； 2、计算： （1） (4) b) 3( 预 a 5b 3a 3b b 5 习 （3） 5(a b) 3(a2(a ) b ；3c) ) b 2b 2a 7b c （2） (3 (5 a (5 1) 3) 3 b 自 （3） (3a b c) 2(a 2b 3c) 测 3a b c 2a 4b 6c 】 (3 2)a (1 4)b (1 6)c a 5b 7c
必修四向量数乘运算及其几何意义课件
定义向量类
在程序中定义一个向量类，包括 向量的坐标数据和向量数乘运算 的方法。
实现向量数乘运算方法
在向量类中实现向量数乘运算的 方法，可以采用分配律和结合律 等方法进行优化。
实例化向量对象
在程序中实例化两个向量的对象， 并输入向量的坐标数据。
利用向量代数解决物理问题
建立物理模型
根据实际问题建立物理模型，采用向量的形式描述物体运动和受力情况。
$k(l\overset{\longrightarrow}{a}+m\overset{\longrightarrow}{b})=kl\overset{\longrightarrow}{a}+km\o verset{\longrightarrow}{b}$，即向量数乘满足分配律，可以分配任意两个数乘操作。
02
向量数乘运算的代数表示
向量数乘运算的符号表示
01
向量数乘运算的符号表示为在向 量前加上一个系数。例如，如果 有一个向量a，那么2a就是a的数 乘，表示为2 × a。
02
数乘运算满足交换律和结合律， 即对于任何实数k和l，以及向量a 和b，有(k+l)a=ka+la和 k(a+b)=ka+kb。
05
向量数乘运算的优化与提升
利用计算器进行向量数乘运算
手动输入数据
在计算器中手动输入向量的坐标数据。
1
选择向量数乘运算功能
2
在计算器的菜单中选择向量数乘运算的功能。
3 得出结果
根据向量数乘运算的规则，计算出结果。
通过编程实现向量数乘运算的优化
选择编程语言
选择适合的编程语言，如Python、 C等。
• 对于二维向量，数乘运算可以用一个2x2的矩阵表示。假设向量a的坐标为(x, y)， 乘以实数k后得到的新向量的坐标为(kx, ky)，那么这个过程可以用矩阵表示为
向量数乘运算及其几何意义(课件)新
在数学中的应用
描述向量的缩放
向量数乘可以用来描述向量的缩放，即通过乘以一个标量 系数来改变向量的长度或方向。这在数学中常用于向量的 标准化和归一化。
解决线性方程组
向量数乘可以用于解决线性方程组。通过将方程组中的向 量进行数乘运算，可以化简方程组的形式，便于求解。
描述向量的旋转
向量数乘可以用于描述向量的旋转。通过乘以一个旋转角 度的余弦值和正弦值，可以将一个向量旋转一定的角度。
负向量的数乘
负向量的数乘结果为该向量 的反方向。
向量数乘的运算规则
结合律
向量数乘满足结合律，即(k1 * k2) * v = k1 * (k2 * v) = k1 * k2 * v。
分配律
向量数乘满足分配律，即k * (v1 + v2) = k * v1 + k * v2。
单位元
任何非零标量都可以作为单位元，即e * v = v * e = v，其中e是单位元。
向量数乘运算及其几 何意义
目录
CONTENTS
• 向量数乘运算的定义与性质 • 向量数乘的几何意义 • 向量数乘的应用 • 向量数乘的扩展知识
01
向量数乘运算的定
义与性质
向量数乘的定义
向量数乘的定义
向量数乘运算是一种线性运算， 通过将标量与向量相乘，得到一 个新的向量。标量可以是实数或 复数。
02
向量数乘的几何意
义
向量数乘的长度变化
01
当数乘的系数为正数时，向量的长度会增大或缩小，但方向 保持不变。
02
当数乘的系数为负数时，向量的长度同样会增大或缩小，但 方向会反向。
03
数乘运算不会改变向量的起点和终点，因此向量数乘的长度 变化是相对的。
人教A版必修四 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 课件(37张)
rr 和(- a )+(- a
)+(-
r a
)分
别如何简化其表示形式？
提示: ＋ ＋ 记为3 ，
（－ ）＋（－ ）＋（－ ）记为－3 .
r
r
r
思考3：向量3 a 和－3 a 与向量 a 的大小和方向有
什么关系？
r
a
rr
r
aa
a
OA
B
C
r
r
r
a
a
a
P
N
M
O
思考4：设
r a
为非零向量，那么
r
2 3
x，y，λ(x
r a
±y
r b
）可转化为什么运算？
提示:
rr
r
r
λ(x a ±yb ）=λx a ±λyb .
【即时训练】
已知A→B＝a＋5b，B→C＝－2a＋8b，C→D＝3(a－b)，则( B ) A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．A，C，D 三点共线 D．B，C，D 三点共线
可分别转化为什么运算？
提示:
r
r
-2× (5 a )= -10 a ；
r 2a＋
(3＋
2
2
r b
=
2(
r a
+
)
r a
=3
ar＋
br )r； 2a.
r 思考2：一r般地，设rλ，r μ为实数，则λ(μa )， (λ＋μ) a ，λ( a ＋b )分别等于什么？
=
提示:
（1）(ar ) ()ar
r a,
br，试作
uuur OA
rr a＋b，
《向量数乘运算》课件
《向量数乘运算》ppt课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
向量数乘运算及其几何意义 课件
2
2
22
MC MD
12MABC121aDB12b，1
a
1
b
.
2
22
例3. 如图， ABCD 中，点 M 在 AB 的延长线上 ，且
BM 1 AB ，点 N 在 BC 上 ，且 BN 1 BC .
2
3
求证 ：M 、N 、D三点共线 . 证明：设 AB e1 ，AD e2 ，则
D A
C
BC
AD e2 ，
求证：AD BE CF 0 .
C
证明：
AD AC CD
AD AB BD
E
D
2AD AC AB CD BD AC AB 0 AC AB A
G
F
B
同理 2BE BA BC ，2CF CA CB
2( AD BE CF ) 2AD 2BE 2CF AC AB BA BC CA CB 0
新课讲述：
数乘运算
向量
.
加法
减法
数乘
.
例1 计算： (1) (3) 4a ； (2) 3(a b) 2(a b) a ； (3) (2a 3b c) (3a 2b c) . 解：(1) (3) 4a (3 4)a 12a ；
(2) 原式 3a 3b 2a 2b a 5b；
求证：A，B，D 三点共线 .
证明： AD AB BC CD 2e1 3e2 6e1 23e2 4e1 8e2 12e1 18e2 6(2e1 3e2 ) 6 AB .
AD 与 AB 共线.
又 AD 与 AB 有共同的起点A， A，B，D 三点共线 .
例2 如图， ABCD 的两条对角线相交于点 M，且
显 然 3 a 的 方 向 与 a 的 方 向 相 同 ，3| 3a a的| 长3 度| a 是| . a 的 长 度 的 3 倍 ，
向量数乘运算及其几何意义(上课优秀课件)
速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的向量，向量数乘运算有助于理解它们的几何意义。
详细描述
在物理学中，速度和加速度是描述物体运动状态的向量。通过向量数乘运算，可以方便地表示出速度 和加速度在不同方向上的分量，以及它们之间的变化关系。例如，在匀变速直线运动中，加速度的大 小和方向可以通过向量数乘运算来表示。
题目二
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1, - 1,2)$，$overset{longrightarrow}{b} = (3,0, - 1)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的模。
04
向量数乘运算的实例
力的合成与分解实例
总结词
力的合成与分解是向量数乘运算在实际问题中的重要应用。
详细描述
在物理学中，力的合成与分解是常见的操作。通过向量数乘运算，可以方便地表示出合力与分力之间的关系，以 及它们在不同方向上的分量。例如，当有两个力同时作用于一个物体时，可以通过向量数乘运算来计算它们的合 成效果。
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也是通过向量数乘运算来建立的。
05
向量数乘运算的练习题及答案
向量数乘运算的练习题
题目一
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (1,2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 2, - 4, - 6)$，求 $lambdaoverset{longrightarrow}{a} + muoverset{longrightarrow}{b}$的坐标。
向量数乘运算及其几何意义PPT优秀课件
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
（1）|λ a|=|λ ||a|；
（2）λ >0时,λ a与a方向相同； λ <0时,λ a与a方向相反； λ =0时,λ a =0.
思DAu为uDu考r B与6C：的DuuM如中uur 图点分，，别设那有点么什M向么为量关△系BuAuDuB？r C与的Bu重uCur 心，，
A
uuur BD
=
1
uuur BC
例2 如图，已知任意两个非零向量a，
b，试作 =aO＋A b， =aO＋B 2b， O C =a＋3b.你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
3b
B
b a
2b
A
b
u u u r u u u r O a A C = 2 A B ? A 、 B 、 C 共 线
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
（1）|λ a|=|λ ||a|；
（2）λ >0时,λ a与a方向相同； λ <0时,λ a与a方向相反； λ =0时,λ a =0.
思DAu为uDu考r B与6C：的DuuM如中uur 图点分，，别设那有点么什M向么为量关△系BuAuDuB？r C与的Bu重uCur 心，，
A
uuur BD
=
1
uuur BC
例2 如图，已知任意两个非零向量a，
b，试作 =aO＋A b， =aO＋B 2b， O C =a＋3b.你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
3b
B
b a
2b
A
b
u u u r u u u r O a A C = 2 A B ? A 、 B 、 C 共 线
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CD1CACB，则 等于（ A）
3
2 A.
1 B.
C. 1
3
3
3
D.
2 3
4.根据下列各小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，
并给出证明。 (1)ADBC;
(2)AD1BC 3
(3)ABDC,且AB AD
课堂作业
5.如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，
点N在线段BD上，且有BN= 1 BD，求证：M、N、C
2.证明:若u P u C u r u P u A u r ( 1 ) u P u B u r ，则A,B,C三点共线。
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
向量数乘运算及其几何意义
问题：一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细 绳上做匀速直线运动，若蚂蚁向东方向一秒 钟的位移对应的向量为 a，那么它在同一方
向 又3a上怎吗样3？秒表若钟示蚂的？蚁位是向移西3对a3吗应秒?的钟你向的能量位用怎移图样对形表应表示的示？向吗是量？
和探( 究a ) ：( a 已) 知( 非a )零.你向能量说说a它，们作的出几a 何 意a 义a 吗？
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
(2 )已 知 : 3 x (x a ) 3 a 2 (x 4 b 2 a ) 4 (x a b ) 0求 x .
总结：
向量的加、减、数乘你几运能何算说 意r 统说义r 称其吗为? 向量 的线性运算.对于任意向量 a 、b ，以及任
意实数 、 1、2 ，恒有： (1 a 2 b ) 1 a 2 b
思考：你能解释上述运算律的几何意义吗？
特别地：( (a ) a b ) (a a ) b ( a )
例题讲解
例1：计算：r
（1）(3r)4ra ； rr r
（2）3 (a r b r ) 2 r (a b r ) a rr
D
C
M
b
A
r a
B
12课..计若堂算向：量作1 3 方 业程1 22 (2 x a 3 (x 8 b 2 )a )( 4 0 a ，则2b 向) 量 x 等2b于（a6a）
3.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若 AD2DB，a ຫໍສະໝຸດ oaA
a a
B C
a a a
N
M
QP
OC OAABBC a a a 3a
PN PQQMMN ( a ) ( a ) ( a )
3(a)3a
（1）3a与 a 方向相同, 且 3a 3a ；
（定2义）：3a实与数a 与方向向量相反a,且的积你几3 ：a 能何 说意3 说义a 其吗. ?
实 （ （由数12（））1与）a向00得时时量，，a a 0的；时aa积与与，是a a a 一方方 个向向向0 相相量.反同，；；记作：a.
三点共线。
3
提示：设
ABa，
BC b
则 MN … 1 a 1b
63
MC … 1 ab 2
A
D
C
N
MB
一课、堂①小a结的：定义及运算律
b ② 向量a 共 线向 定理(a a 与 0b ) 量 共线
二、 定理的应用：
本节课你体会到
1. 证明 向量共线； 了哪些数学思想?
2. 证明 三点共线:
ABBCA,B,C三点共线
3. 证明 两直线平行:
AAB与 BCC D 不D在同一条 直直 线线 A上 ∥B直线CD
课外作业：
P92 A组习题11、12
课后思考：
1.证明:若A,B,C三点共线,则
u u u r u u u r u u u r P C P A ( 1 ) P B
问题：引入向量数乘运算后，你能
发现数乘向量与原向量之间的位置关 系吗？
定理：
向唯量一一b个与实非数零向量，使a得共线b当且仅a。当有
思考:
1) a 为什么要是非零向量?
2) b可以是零向量吗?
3) 怎样理解向量平行？与两
直线平行有什么异同？
例题讲解:
rr
uuur r r
（ 解3：）（( 2 1）a 原3 式b = c ) r1 2( ar3 a r 2 rb （ c 2) ）原式=
5
r b
（3）原式= a5b2c
巩计 算 固： 练（ 习1 ） ：（ 22 a r 6 b r 3 c r) 3 ( 3 a r 4 b r 2 c r);1a 3 rr r r rrr r r
例2.如图，已知任意两个向量 a、b ，试作 OAab,
u u u rr ru u u rr r
O B a 2 b ,O C a 3 b .你能判断A、B、C三点之
间的位置关系吗？为什么？
C
r
r
a
b
r
3b
B
r
2b
A
r
b
r
a
O
例题讲解:
uuu r ruuur r
例3.如 你图能，用YarA、BbrC来D表的示两条M u u u A 对r 、 M u 角u u B 线r 、 M u 相u u C u 交r和 于M u 点u u D u Mr，。且 ABa,ADb，
口答：
C在线段AB上，且 AC 5 则
CB 2
5
AC 7 AB BC 2 AB
7
数乘向量运算定律 :
结合律：(a ) ()a ;
第第一二分分配配律律：：((a ) b a ) a a a b ; .