三角函数定义PPT课件
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2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
人教B版高中数学必修第三册7.2.1三角函数的定义【课件】
π
1
3
【解析】 因为角－ 的终边与单位圆交于点P( ，－ )，
3
2
2
3
1
所以sin α＝－ ，cos α＝ ，tan α＝－ 3.
2
2
3
θ＝－ ，则a的值是(
5
(3)若角θ的终边过点P(a，8)，且cos
)
A．6
B．－6
(1)由定义确定终边位置，结合函数值求解．
C．10
D．－10
(2)在单位圆中确定终边与单位圆的交点求解．
三角函数
sin α
cos α
tan α
定义
x
______
r
定义域
名称
______
R
正弦
______
R
余弦
π
2
{α|α≠kπ＋
，k∈Z}
____________
正切
知识点二
三角函数在各象限的符号
状元随笔 记忆正弦、余弦、正切在各象限的符号有诀窍，口诀记
忆
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”，该口诀表示：第一象限全
是正值，第二象限正弦是正值，第三象限正切是正值，第四象限余弦
是正值．
基 础 自 测
3 1
1．已知角α终边经过P( ， )，则cos
2
2
1
3
A．
B．
2
2
3
1
C．
D．±
3
2
α等于(
)
答案：B
解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为α的余弦值，
故cos α＝
3
.
2
2．已知sin α>0，cos α<0，则角α是(
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
2024/1/26
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
单调性
在各象限内，正弦、余弦 函数的单调性及其变化规 律。
最值问题
利用三角函数的性质求最 值，如振幅、周期等参导公式与恒等 式
REPORTING
2024/1/26
7
诱导公式及其应用
01
诱导公式的基本形式
通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基
8
恒等式及其证明方法
2024/1/26
恒等式的基本形式
两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变 量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法
通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。其中，代数法是通过代数运算和变换 来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函 数的性质和关系来证明恒等式。
化简为简单的形式。
12
三角函数的乘除运算规则
乘积化和差公式
通过乘积化和差公式，可以将两 个三角函数的乘积转化为和差的
形式，从而简化运算。
商的化简
利用同角三角函数的基本关系， 可以将三角函数的商转化为简单
的三角函数运算。
倍角公式
通过倍角公式，可以将三角函数 的乘方运算转化为简单的三角函
数运算。
2024/1/26
建立三角函数与数列、概率统计相关 的数学模型
结合计算机编程和数学软件，实现模 型的数值模拟和可视化
2024/1/26
利用数学分析、高等代数等方法求解 模型
22
PART 06
总结回顾与拓展延伸
REPORTING
2024/1/26
23
本章节知识点总结回顾
三角函数图像
正弦、余弦、正切函数的图像 及其周期性、奇偶性等性质。
30度45度60度角的三角函数值ppt课件
的关系,且它更具有灵活变换的特点,若能予以
掌握,则将有益于智力开发.
随堂练习P128
同角之间的三角函数的关系
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=900,∠A,∠B,∠C的对
边分别是a,b,c.
求证:sin2A+cos2A=1
B
证 : s 明 A i n a ,cA o b s ,a 2 b 2 c 2 , c
本领大不大 悟心来当家
如图,观察一副三角板: 它们其中有几个锐角?分别是多少度?
(1)sin300等于多少? (2)cos300等于多少? (3)tan300等于多少? (4)cot300等于多少?
300
2
2 450 1
3
450 ┌ 600 ┌
1
1
请与同伴交流你是怎么想的?又是怎么做的?
做一做P10 3
∴最高位置与最低位置的高度
差约为0.34m.
随堂练习P128
八仙过海,尽显才能
2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为 300,高为7m,扶梯的长度是多少?
3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
B
∠A,∠B ,∠C的对边分别是 c
a,b,c.求证:sin2A+cos2A=1
友情提示:
A
a
┌
b
C
sin2A+cos2A=1它反映了同角之间的三角函数
a ┌
ac
cb A
b
C
sinA c osA
c b
a b
tanA,
cossA sin A
c a
b a
cotA.
随堂练习P128
同角之间的三角函数的关系
平方和关系: s i2n A1c o 2A .s或 siA n1co2A s.
三角函数的概念 课件(39张)
tan cos = × +1× = .
数学
方法总结
诱导公式一的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些
角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值
相等.其作用是可以把任意角转化为0°～360°之间的角.
因为 a<0,所以 a=- ,所以 P 点的坐标为( ,- ),
所以 sin α=- ,cos α= ,
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
数学
[变式训练1-1] 若将本例中“a<0”删掉,其他条件不变,结果又是什么?
解:因为点 P 在单位圆上,则|OP|=1,即 (-) + () =1,解得 a=± .
②若 a<0,则 r=-5a,且 sin α=
-
-
-
=- ,cos α=
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
= .
数学
方法总结
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值
(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦函数、余
弦函数、正切函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点 P(x,y),P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α= ,
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
倍角公式
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
三角函数的定义课件.ppt
掌握作已知角α的正弦线、余弦线和正切线的方法；会利
用三件函数线比较两个同名三角函数值的大小
初中时，我们怎么样利用直角三角形定义锐 角三角函数的呢？
sinα=a/c
cosα=b/c
tanα=a/b
任意角的三角函数定义
单位圆中的三角函数定义：
sinα= y
cosα= x
tanα= y/x
任意角的三角函数的符号
正弦函数的符号
余弦函数的符号正切函数的源自号练一练想一想同学们还能提出什么问题呢？ 互相讨论，对这一章节知识进行总结。
课后作业
练习课本P 20 例题 做课本本章节练习题
学完本章，请同 学们注意课后复 习哦
.
.
三角函数的定义任意角的三角函数课程学习目标理解任意角的三角函数的不同的定义方法掌握任意角的正弦余弦正切的定义掌握三角函数的符号掌握作已知角的正弦线余弦线和正切线的方法
三角函数的定义
任意角的三角函数
课程学习目标
理解任意角的三角函数的不同的定义方法，掌握任意角的
正弦、余弦、正切的定义 掌握三角函数的符号
用三件函数线比较两个同名三角函数值的大小
初中时，我们怎么样利用直角三角形定义锐 角三角函数的呢？
sinα=a/c
cosα=b/c
tanα=a/b
任意角的三角函数定义
单位圆中的三角函数定义：
sinα= y
cosα= x
tanα= y/x
任意角的三角函数的符号
正弦函数的符号
余弦函数的符号正切函数的源自号练一练想一想同学们还能提出什么问题呢？ 互相讨论，对这一章节知识进行总结。
课后作业
练习课本P 20 例题 做课本本章节练习题
学完本章，请同 学们注意课后复 习哦
.
.
三角函数的定义任意角的三角函数课程学习目标理解任意角的三角函数的不同的定义方法掌握任意角的正弦余弦正切的定义掌握三角函数的符号掌握作已知角的正弦线余弦线和正切线的方法
三角函数的定义
任意角的三角函数
课程学习目标
理解任意角的三角函数的不同的定义方法，掌握任意角的
正弦、余弦、正切的定义 掌握三角函数的符号
三角函数的定义ppt课件
(2) 熟 记 几 组 常 用 的 勾 股 数 组 ， 如 (3,4,5) ， (5,12,13) ， (7,24,25)，(8,15,17)，(9,40,41)等，会给我们解题带来很多方便．
(3)若角 α 已经给定，不论点 P 选择在 α 的终边上的什么 位置，角 α 的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角 α 终 边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角 α 的三角 函数值也都是确定的.
∴角 2α 的终边在第一或第二象限或 y 轴的非负半轴上． (2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是π3， ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为 α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π(k∈Z)⇒－37≤k＜178(k∈Z)． ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为27π， 2201π，3241π.
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互 化．
2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的含义． 3.借助单位圆中理解三角函数线。
一．角及有关概念
1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线 OA 叫做角的 始边 ，旋转终止时的射线 OB 叫做角的终边 ，按逆 时针 方向旋转所形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转所形成的 角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零
(2)若 θ 是第二象限角，则csoinsscions2θθ的符号是什么？ [分析] (1)由点 P 所在的象限，知道 sinθ·cosθ，2cosθ 的 符号，从而可求 sinθ 与 cosθ 的符号． (2)由 θ 是第二象限角，可求 cosθ，sin2θ 的范围，进而把 cosθ，sin2θ 看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在 的象限，从而 sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号可定．
(3)若角 α 已经给定，不论点 P 选择在 α 的终边上的什么 位置，角 α 的三角函数值都是确定的；另一方面，如果角 α 终 边上一点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角 α 的三角 函数值也都是确定的.
∴角 2α 的终边在第一或第二象限或 y 轴的非负半轴上． (2)在(0，π)内终边在直线 y＝ 3x 上的角是π3， ∴终边在直线 y＝ 3x 上的角的集合为 α|α＝π3＋kπ，k∈Z.
(3)∵θ＝67π＋2kπ(k∈Z)，∴θ3＝27π＋2k3π(k∈Z)． 依题意 0≤27π＋2k3π＜2π(k∈Z)⇒－37≤k＜178(k∈Z)． ∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角为27π， 2201π，3241π.
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互 化．
2．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的含义． 3.借助单位圆中理解三角函数线。
一．角及有关概念
1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到
另一个位置所成的图形．旋转开始时的射线 OA 叫做角的 始边 ，旋转终止时的射线 OB 叫做角的终边 ，按逆 时针 方向旋转所形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转所形成的 角叫做负角．若一条射线没作任何旋转，称它形成了一个零
(2)若 θ 是第二象限角，则csoinsscions2θθ的符号是什么？ [分析] (1)由点 P 所在的象限，知道 sinθ·cosθ，2cosθ 的 符号，从而可求 sinθ 与 cosθ 的符号． (2)由 θ 是第二象限角，可求 cosθ，sin2θ 的范围，进而把 cosθ，sin2θ 看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所在 的象限，从而 sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号可定．
高中数学 第一章 三角函数 1.2.三角函数的定义课件
12/12/2021
第二十页，共五十页。
(2)因为角 α 的终边过点(a,2a)(a≠0)， 所以 r＝ 5|a|，x＝a，y＝2a.
当
a>0
时，sinα＝yr＝
2a ＝2 5a
5 5，cosα＝xr＝
a＝ 5a
55，tanα
＝yx＝2aa＝2；
当
a<0
时，sinα＝yr＝－2a5a＝－2 5
5，cosα＝xr＝－ a
原点的距离为 r，则 sinα＝
y r ，cosα＝
x r ，tanα＝
y x.
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[答一答] 1．三角函数值的大小与点 P 在终边上的位置是否有关？
提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与 点 P(x，y)在终边上的位置无关，只与角 α 的终边位置有关，即 三角函数值的大小只与角有关．
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第六页，共五十页。
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知识点一 三角函数的定义
[填一填] (1)单位圆：圆心是 原点 ，半径长为
单位长度 ．
(2)定义：设任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)，则 sinα
＝
y ，cosα＝
x ，tanα＝ yx(x≠0) ．
(3)一般地，设角 α 终边上任意一点 P 的坐标为(x，y)，它与
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第二十三页，共五十页。
[变式训练 1] (1)如果角 α 的终边经过点 P－ 23，12，则 sinα
＝
1 2
，cosα＝
－
3 2
，tanα＝
－
3 3
湘教版高中数学《任意角三角函数的定义》同步课件
y都可以作线段来表示.具体作图方法如下：
如图5.2-5，设单位圆的圆心为直角
坐标系的原点O，角α的终边与单位圆交
于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D.
(1)
(2)
(3)
图5.2-5
(4)
二 用有向线段表示三角函数
由三角函数的定义可知，三角函数值sin α＝y，cosα＝x有正负之分，若仅用
线段DP，OD来分别表示它们还不够，需引入方向. 为此，我们规定：
任意角三角函数的定义
CONTENTS
目
1
用比值定义三角函数
录
2 用有向线段表示三角函数
一 用比值定义三角函数
一
用比值定义三角函数
如图5.2-1，在平面上建立直角坐标系．以锐角 α 的顶点为原点O，角α的始边
为x轴的非负半轴．在α的终边OM上任取不同于原点O的点P(x，y)，则OP的长度
为 r x2 y2 .
二 用有向线段表示三角函数
同理，我们将OD看作有方向的线段，O为起点，D为终点：当OD指向x轴的 正方向时，取正实数值x；当OD指向x轴的负方向时，取负实数值x；当它的长度 为0时，取零值．在所有这些情况下都有
OD＝x＝cos α. 由单位圆与角α的交点P作出的这条带方向的线段DP，它的方向和长度分别代 表了sin α的符号和绝对值，DP代表的实数就是角α的正弦，故DP称为角α的正弦 线.同理，我们将有向线段OD称为角α的余弦线. 那么，如何用有向线段来表示角α的正切呢？
图5.2-2是否可以把这种思想推广到 直角坐标系中任意角的三角函数呢？
图5.2-2
一
用比值定义三角函数
如图5.2-2，设α是一个任意角，在角α的终边OM上任取不同于原点O的点P， 利用点P的坐标(x，y)定义：
数学人教A版必修第一册5.2.1三角函数的概念课件
(3) y 叫做的正切,记作 y tan(x 0);
x
x
注 : 当x 0,即 k (k Z )时, y tan无意义.
2
x
正弦函数 : y sin x , x R x为角的弧度
三角函数 余弦函数 : y cos x , x R y为角的三角函数值
正切函数 :
y
tan
x
,
x
2
k
(2)
cos2
1 2 sin2
的值是
___
.
分子为1
(3)5cos2 3sin2 的值是 ____ . 暗含：分母为1
1 sin2 cos2
(4)sin cos的值是 ____ . 暗含：分母为1
原式
sin cos sin2 cos2
tan tan2 1
2 5
[变式]已知 sin 2 cos 2,则sin cos的值为 ____ . sin cos
(其中k Z )
公式一（角度制）
sin( k 360) sin cos( k 360) cos tan( k 360) tan
(其中k Z )
巩固：公式一的运用（求值）
[例5]求下列三角函数值 :
(1) cos 9 ; (2) tan 3 (3)sin ( 11 ) (4) tan(1050)
新知：同角三角函数的基本关系
sin2 cos2 1 cos2 1 sin2 (1 sin )(1 sin )
tan sin cos
(sin cos )2 1 2sin cos sin4 cos4 sin2 cos2
求5cos 4 tan的值.
解 : 由sin2 cos2 1得 cos2 1 sin2 1 ( 3)2 16 .
三角函数的概念_课件
长，r为半径. ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制.比值 与所取的r的大 小无__关_____ 仅与角__的__大__小__有___关____. ④弧度与角度的换算: 360°=_2__π___弧度; 180°=_π______ 弧度. ⑤弧长公式: ____l＝___|α__|r_____. 扇形面积公式: S扇形=______________=______________.
知识梳理
若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα， tanα对应的函数值分别等于什么？
例题精讲
牛小试
已知角的终边过点P（－3，－4），求角的正弦、余弦和正切 值.
例题精讲
例题精讲
随堂练习
随堂练习
随堂练习
3.已知角θ的终边过点P(-12，5)，求角θ的三角函数 值.
知识梳理
设α是一个任意角，α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x，
（y1).）y叫做α的正弦，记做sinα,即
s（in2α）=xy叫. 做α的余弦，记做cosα,即
cosα=x.
正切
思考4：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的 sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否惟一？
知识梳理
教学难点
三角函数的符号判断 ； 同角公式的灵活运用 ．
前情回顾1
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为_正__角___、_负__角___、零角
______.
象限角 轴线角
②按终边位置不同分为________ 和________.
α＋
(2)终边相同的角
k·360°(k∈Z)
终边与角α相同的角可写成__________________.
思考2：对于确定的角α， 上述三个比值是否随点P在 角α的终边上的位置的改变 而改变呢？为什么？
知识梳理
若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα， tanα对应的函数值分别等于什么？
例题精讲
牛小试
已知角的终边过点P（－3，－4），求角的正弦、余弦和正切 值.
例题精讲
例题精讲
随堂练习
随堂练习
随堂练习
3.已知角θ的终边过点P(-12，5)，求角θ的三角函数 值.
知识梳理
设α是一个任意角，α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x，
（y1).）y叫做α的正弦，记做sinα,即
s（in2α）=xy叫. 做α的余弦，记做cosα,即
cosα=x.
正切
思考4：对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的 sinα，cosα，tanα的值是否存在？是否惟一？
知识梳理
教学难点
三角函数的符号判断 ； 同角公式的灵活运用 ．
前情回顾1
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为_正__角___、_负__角___、零角
______.
象限角 轴线角
②按终边位置不同分为________ 和________.
α＋
(2)终边相同的角
k·360°(k∈Z)
终边与角α相同的角可写成__________________.
思考2：对于确定的角α， 上述三个比值是否随点P在 角α的终边上的位置的改变 而改变呢？为什么？
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x
{| k , k Z }
2
教学过程
图形展示结论——形象记忆
y
++ x
_O _
_
y
+
x
_O +
sinα的符号
cosα的符号
总结归纳——口诀记忆
_
y
+
x
O
+
_
tanα的符号
一全正、二正弦、三正切、四余弦
巩固练习
例4：确定下列各三角函数值的符号：
(1) cos 2600；(2) sin( )；(3) tan(672020')；(4) tan 10 .
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
3
3
负
负
正
正
归纳小结
1.三角函数的定义
角的余弦：cos x
r
角的正弦：sin y
r
角的正切：tan y
x
2.三角函数在各象限的符号
一全正、二正弦、 三正切、四余弦
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
y
余弦cos = x
r
正割：sec r
x
正切tan = y ，
x
余切：cot x
y
教学过程
【问题5】三角函数的自变量是什么？根据 三角函数定义，确定它们的定义域。
三角函数
sin
cos
tan
定义域
R R
巩固练习
例1.已知终边过点P（2，- 3），求的六个三角函数值。
解：因为x=2，y=-3，所以 r x2 y2 13
角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜边AB之间的
比值来定义角A的三角函数.
B
对边
sinα=
对
斜边
边
cosα= 邻边
α
邻边
斜边 tanα= 对边
A
C
邻边
教学过程
【问题2】锐角三角函数如何用点P的坐标表示？
sin = y
r
cos = x
r
tan = y
x
教学过程 【问题3】 （1）当点P位置改变时，三个函数值有无变化？ （2）当角的大小改变时，三个函数值有无变化？
教学过程
【问题4】现在角的范围扩大了．在这样的 环境下，你认为，对于任意角α，sinα， cosα，tanα怎样来定义好呢？
sin = y
r
cos = x
r
tan = y
x
r x2 y2
学生探究活动：小组讨 论给出任意角的三角函 数定义。
教学过程
角的其他三种函数
正弦sin = y
r
余割：csc r
三角函数值。
解：因为x=a,y=-3a, 所以 r x2 y2 10a2 10 a
分情况讨论：a>0和a<0两种情况
教学过程
【问题6】已知角的三角函数值，你能确定
终边位置吗？
学生探究活动：小组讨 论分析不同象限这三个 常用三角函数值的符号
正弦sin = y
r
余弦cos = x
r
正切tan = y ，
1.2.1 三角函数的定义
学习目标： 1、理解任意角的三角函数的定义； 2、掌握三角函数（正弦、余弦、正切） 的定义域； 3、学会运用任意角三角函数的定义求 相关角的三角函数值； 4、掌握三角函数在各象限的符号。
教学过程
【问题1】锐角三角函数是怎样定义的？
பைடு நூலகம்
在直角三角形ABC中，角C是直角，角A为锐
于是 sin y 3 3 13
r
13
13
cos x 2 2 13
r
13
13
tan y 3 , cot 2
x
2
3
sec 13 , csc 13
2
3
巩固练习
例2：求0,，3 的六个三角函数值。
2
解：（1）sin0=0,
cos0=1, tan0=0,
csc0不存在，sec0=1, cot0不存在；
（2）sin =0, cos =-1, tan =0, csc不存在， sec =-1, cot 不存在;
（3）sin
3
2
=-1,
3 csc 2 =-1，
3 cos 2 =0,
3 tan 2
不存在,
3
3
sec 2 不存在, cot 2 =-1；
巩固练习
例3：已知角 终边过点P(a,-3a)(a 0),求角 的六个
{| k , k Z }
2
教学过程
图形展示结论——形象记忆
y
++ x
_O _
_
y
+
x
_O +
sinα的符号
cosα的符号
总结归纳——口诀记忆
_
y
+
x
O
+
_
tanα的符号
一全正、二正弦、三正切、四余弦
巩固练习
例4：确定下列各三角函数值的符号：
(1) cos 2600；(2) sin( )；(3) tan(672020')；(4) tan 10 .
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
3
3
负
负
正
正
归纳小结
1.三角函数的定义
角的余弦：cos x
r
角的正弦：sin y
r
角的正切：tan y
x
2.三角函数在各象限的符号
一全正、二正弦、 三正切、四余弦
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
y
余弦cos = x
r
正割：sec r
x
正切tan = y ，
x
余切：cot x
y
教学过程
【问题5】三角函数的自变量是什么？根据 三角函数定义，确定它们的定义域。
三角函数
sin
cos
tan
定义域
R R
巩固练习
例1.已知终边过点P（2，- 3），求的六个三角函数值。
解：因为x=2，y=-3，所以 r x2 y2 13
角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜边AB之间的
比值来定义角A的三角函数.
B
对边
sinα=
对
斜边
边
cosα= 邻边
α
邻边
斜边 tanα= 对边
A
C
邻边
教学过程
【问题2】锐角三角函数如何用点P的坐标表示？
sin = y
r
cos = x
r
tan = y
x
教学过程 【问题3】 （1）当点P位置改变时，三个函数值有无变化？ （2）当角的大小改变时，三个函数值有无变化？
教学过程
【问题4】现在角的范围扩大了．在这样的 环境下，你认为，对于任意角α，sinα， cosα，tanα怎样来定义好呢？
sin = y
r
cos = x
r
tan = y
x
r x2 y2
学生探究活动：小组讨 论给出任意角的三角函 数定义。
教学过程
角的其他三种函数
正弦sin = y
r
余割：csc r
三角函数值。
解：因为x=a,y=-3a, 所以 r x2 y2 10a2 10 a
分情况讨论：a>0和a<0两种情况
教学过程
【问题6】已知角的三角函数值，你能确定
终边位置吗？
学生探究活动：小组讨 论分析不同象限这三个 常用三角函数值的符号
正弦sin = y
r
余弦cos = x
r
正切tan = y ，
1.2.1 三角函数的定义
学习目标： 1、理解任意角的三角函数的定义； 2、掌握三角函数（正弦、余弦、正切） 的定义域； 3、学会运用任意角三角函数的定义求 相关角的三角函数值； 4、掌握三角函数在各象限的符号。
教学过程
【问题1】锐角三角函数是怎样定义的？
பைடு நூலகம்
在直角三角形ABC中，角C是直角，角A为锐
于是 sin y 3 3 13
r
13
13
cos x 2 2 13
r
13
13
tan y 3 , cot 2
x
2
3
sec 13 , csc 13
2
3
巩固练习
例2：求0,，3 的六个三角函数值。
2
解：（1）sin0=0,
cos0=1, tan0=0,
csc0不存在，sec0=1, cot0不存在；
（2）sin =0, cos =-1, tan =0, csc不存在， sec =-1, cot 不存在;
（3）sin
3
2
=-1,
3 csc 2 =-1，
3 cos 2 =0,
3 tan 2
不存在,
3
3
sec 2 不存在, cot 2 =-1；
巩固练习
例3：已知角 终边过点P(a,-3a)(a 0),求角 的六个