n维向量的概念
向量组的线性表示
a1 x1 a2 x2 an xn b
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１
给定向量组A
:1 , 2 ,
,
，对
m
于任
何一
组实数k1，k2， , km，向量
k11 k2 2 km m
称为向量组的一个线性组合，k1，k2， , km称为这
个线性组合的系数.
例
向量组A
:
a1
1 1
有n个m维列向量
aj
an
a11 a12 a1 j a1n
A
a21
a22 a2 j a2n
am1 am2 amj amn
向量组a1, a2 , , an 称为矩阵A的列向量组.
类似地,
矩阵A
(aij
) mn
又有m个n维行向量
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
a1
a
a2
an
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
1.3、向量空间
向量
解析几何
(n 3)
线性代数
既有大小又有方向的量
坐 标 有次序的实数组成的数组 系
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
T 1
T 2
A ai1 ai2
ain
T i
am1
am2
amn
T m
向量组
T 1
,
T 2
,
…，
T m
称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
(完整版)2.3n维向量的概念
1 n维向量的概念 2 n维向量空间 3 线性相关性
回顾
解析几何 既有大小又有方向的量
几何形象： 可随意 平行移动的有向线段
向量
(n 3)
线性代数
坐 有次序的实数组成的数组
标 代数形象：向量的坐标表示式
(x, y) (x, y, z)
系
一、 n维向量的概念
定义1 n个有次序的数 a1, a2 , , an 所组成的数组称为 n维向量,这n个 数称为该向量的n个分量，第 i 个数称为第 i 个分量。
式 11 2，2 称为向m量m
的线性1 ,组合2 ,。 ,m
若 11 22 mm，则称 能由向量组 1,2, ,m 线性表示。
向量1,2 ,L
,m的所有线性组合11 22 L
m
所组成的
m
集合V是一个向量空间.我们称这个空间为由向量1,2 ,L
,
生成的
m
向量空间,记为 L(1,2 ,L ,m )
解 因为对于V1的任意两个元素 0, a2 ,L , an , 0,b2 ,L ,bn V1, 所以有 0, a2 b2 ,L , an bn V1 且 0, a2 ,L , an V1.
所以 V1是向量空间 . V2不是向量空间 .
因为若 1, a2 ,L , an V2 , 则2 2, 2a2 ,L , 2an V2 ,所以V2 不是向量空间.
三、 线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
定义6 给定向量组A : 1,2 ,L ,m ,如果存在不全为零的数k1, k2 ,L , km 使k11 k22 L kmm 0
则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关．
第二章 n维向量
2
k m
2
m m
1 1 0
0
向量组 1 , 2 , , m 线性相关
.
性质2: 两个向量线性相关 的充要条件是它们的 各对应分量成比例.
证明 : 设两个向量 比例系数为 k,则
1 , 2的各对应分量成比例
,
2
k 1
第二章
n 维向量
§1. n维向量 的概念 §2.向量组的线性相关性 §3.向量组的秩 §4.向量空间
§ 1. n维向量的概念
定义1：n个有顺序的数 a 1 , a 2 , , a n 组成的有 序数组记为 ( a , a , , a ) ，称为n维向量. 数 a ( i 1, 2 , n ) 叫做它的第i个分量. 用小写希腊字母，，，…来表示n 维向量，即 ( a , a , , a ) .
注意:
1. 两个向量只有维数相等,才有相等或不 相等的概念. 例:维数不等的零向量是不相等的. 2. 两个向量只有维数相等,才可能进行加法 或减法运算. 思考:为什么向量不定义向量间的乘除法?
§2.向量组的线性相关性
1 , 2 , , m , 都是n维向量，如果 设 存在一组数 k 1 , k 2 , , k，使得 m
即
k , 1不全为零
k 1 ( 1) 2 0
, 1 , 2 线性相关
.
k1 , k 2 ,
反之 , 设 1 , 2 线性相关 使得
, 按定义 , 有不全为零的数
2
k 1 1 k 2
k2 k1
0,
不妨设 k 1 0 , 则 1
2 , 证毕
线性代数[第三章n维向量]山东大学期末考试知识点复习
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线性代数[第三章n维向量]⼭东⼤学期末考试知识点复习第3章 n维向量⼀、n维向量的概念1．n维向量的定义由n个数a1，a2，…，a n所组成的⼀个有序数组α=(a1，a2，…，a n)称为⼀个n维向量，其中第i个数ai称为向量α的第i个分量(i=1，2，…，n)．向量常⽤希腊字母α，β，γ，…来表⽰，其分量常⽤⼩写拉丁字母a，b，c，…来表⽰．2．零向量所有分量都是零的向量称为零向量．3．负向量向量α中的每个分量都变号后得到的向量，称为α的负向量，记为-α．4．向量相等两个向量相等的充要条件是它们的对应分量相等．⼆、向量的线性运算1．向量的加法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，定义α+β为这两个向量的对应元素相加所得到的向量，即α+β=(a1+b1，a2+b2，…，a n+b n)，并称其为向量的加法．2．数与向量的乘法设α=(a1，a2，…，a n)，k∈R，则kα=(ka1，ka2，…，ka n)3．向量的减法设α=(a1，a2，…，a n)，β=(b1，b2，…，b n)，则α-β=(a1-b1，a2-b2，…，a n-b n)．4．向量的线性运算向量的加法以及数与向量的乘法称为向量的线性运算．向量的线性运算满⾜以下⼋条运算规律：(1)α+β=β+α；(2)(α+β)+γ=α+(β+γ)；(3)α+θ=α；(4)α+(-α)=θ；(5)1.α=α；(6)(kl)α=k(lα)；(7)k(α+β)=kα+kβ；(8)(k+l)α=kα+lα三、向量的线性组合1．向量的线性组合的定义设β，α1，α2，…，αn是⼀组m维向量，如果存在数k1，k2，…，k n使得关系式β=k1α1+k2α2+…+k nαn成⽴，则称卢是向量组α1，α2，…，αn的线性组合，或称β可由向量组α1，α2，…，αn线性表⽰．2．⼏个常⽤结论(1)零向量可由任意同维向量组线性表⽰；(2)向量组中的任⼀向量可由该向量组线性表⽰；(3)任⼀n维向量α=(a1，a2,…，a n)都可由n维单位向量组ε1，ε2，…，ε线性表⽰，且α=a1ε1+a2ε2+…+a nεn．n四、向量组的等价1.定义设有两个向量组α1，α2，…，αm，(1)β1，β2，…，βn．(2)若向量组(1)中每个向量可以由向量组(2)线性表⽰，则称向量组(1)可由向量组(2)线性表⽰．若向量组(1)与向量组(2)可互相线性表⽰，则称两向量组等价，记作{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}．2．向量组的等价性质向量组的等价满⾜反⾝性、对称性、传递性．五、向量组线性相关与线性⽆关1．定义设α1，α2，…，αn为n个m维向量，如果存在⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，使得k1α1+k2α2+…+k nαn=θ成⽴，则称向量组α1，α2，…，αn线性相关；否则，称向量组α1，α2，…，αn线性⽆关．线性⽆关的⼏种等价定义：(1)对任意⼀组不全为零的数k1，k2，…，k n，都有k1α1+k2α2+…+k nαn≠θ(2)k1α1+k2α2+…+k nαn=θ当且仅当k1，k2，…，k n全为零．2．⼏个常⽤结论(1)由⼀个向量α构成的向量组线性相关的充要条件是α=θ．(2)由两个向量构成的向量组线性相关的充要条件是其对应分量成⽐例．(3)含有零向量的任⼀向量组线性相关．(4)若⼀个向量组中有⼀个部分向量组线性相关，则该向量组线性相关；反之，若⼀个向量组线性⽆关，则它的任⼀部分组都线性⽆关．我们可把这个结论简单地记为“部分相关，整体相关；整体⽆关，部分⽆关”．(5)⼀个线性⽆关的向量组中的每个向量按相同的位置随意增加⼀些分量所得到的⾼维向量组仍线性⽆关．逆否命题：⼀个线性相关的向量组中的每个向量按相同的序号划去⼀些分量所得的低维向量组仍线性相关．(6)n维向量组α1，α2，…，αn线性⽆关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)≠0；n维向量组α1，α2，…，αn线性相关的充要条件是D=det(α1，α2，…，αn)=0．(7)向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性相关的充要条件是其中⾄少有⼀个向量是其余s-1个向量的线性组合．(8)若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，⽽α1，α2，…，αs，β线性相关，则向量β可由向量组α1，α2，…，αs线性表⽰，且表⽰法惟⼀．(9)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，且s>t，则向量组α1，α2，…，αs线性相关．逆否命题：若向量组α1，α2，…，αs线性⽆关，且可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则s≤t．(10)m个n维向量组(m>n)必线性相关．(11)两个等价的线性⽆关的向量组必含有相同个数的向量．六、向量组的极⼤线性⽆关组1．极⼤线性⽆关组的概念向量组α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs的部分组α1，α2，…，αr是极⼤⽆关组(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中每个向量可由α1，α2，…，αr 线性表⽰．(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)α1，α2，…，αr，αr+1，…，αs中任意r+1个向量线性相关．2．关于极⼤线性⽆关组的常⽤结论(1)含⾮零向量的任⼀向量组⼀定存在极⼤⽆关组．(2)线性⽆关向量组的极⼤⽆关组是其⾃⾝、．(3)任何向量组均与其极⼤⽆关组等价．(4)⼀个向量组的任意两个极⼤⽆关组都含有相同个数的向量．七、向量组的秩1．向量组的秩的定义向量组α1，α2，…，αs的任⼀极⼤⽆关组所含向量的个数称为这个向量组的秩，记为r(α1，α2，…，αs)．2．关于向量组的秩的常⽤结论(1)对任何向量组α1，α2，…，αs均有0≤r(α1，α2，…，αs)≤s；(2)向量组α1，α2，…，αs线性⽆关?r(α1，α2，…，αs)=s；(3)向量组α1，α2，…，αs线性相关?r(α1,α2，…，αs)(4)若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βt线性表⽰，则r(α1，α2，…，αs)≤r(β1，β2，…，βt)．特别地，若两向量组等价，则它们的秩相同；反之不真．(5)若向量组的秩为r，则其任何含r个向量的线性⽆关的部分组都是其极⼤线性⽆关组．⼋、矩阵的⾏秩与列秩1．定义矩阵A的⾏(列)向量组的秩称为A的⾏(列)秩．2．矩阵秩的性质(1)对任何矩阵A，都有A的⾏秩=A的列秩=r(A)；(2)r(AB)≤min{r(A)，r(B)}；(4)r(A+B)≤r(A)+r(B)．九、极⼤⽆关组的求法1.矩阵的初等⾏(列)变换不改变其列(⾏)向量间的线性关系2．求向量组α1，α2，…，αs的⼀个极⼤⽆关组的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B，设r(B)=r，且B中第j1，j2，…，j r列有⼀个r阶⼦式不等于零，则αj1，αj2，…，αjr 即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组．3．求向量组α1，α2，…，αs的极⼤⽆关组并将其余向量⽤该极⼤⽆关组表出的⽅法(1)以α1，α2，…，αs为列向量作矩阵A；(2)对A施以初等⾏变换化成阶梯形矩阵B；(3)再通过初等⾏变换化为⾏简化阶梯形矩阵C，设矩阵C的第j1，j2，…，j r列为单位向量，则αj1，αj2，…，αjr即为所求向量组的⼀个极⼤⽆关组，且C 中列向量间的线性关系即为A中相应列向量间的线性关系．⼗*、向量空间1.向量空间的定义设V是⾮空的n维向量的集合，若集合V对于加法及数乘两种运算封闭，则称V是向量空间．2．向量空间的⽣成3．向量空间的相等若{α1，α2，…，αm}≌{β1，β2，…，βn}，则span(α1，α2，…，αm)=span(β1，β2，…，βn)．4．向量空间的⼦空间设有向量空间V1，V2，若V1?V2，则称V1是V2的⼦空间．5．向量空间的基及其维数设V是向量空间，如果存在r个向量α1，α2，…，αr∈V，满⾜(1)α1，α2，…，αr线性⽆关；(2)V中任⼀向量都可由α1，α2，…，αr线性表⽰；则称α1，α2，…，αr为V的⼀个基，r称为V的维数．⼗⼀、重点难点（⼀）重点(1)向量的线性运算可以看做是特殊矩阵的线性运算，它是后⾯讨论向量的线性组合、线性相关性等概念的基础，必须熟练掌握．(2)向量的线性组合、线性相关、线性⽆关的概念、性质及三者之间的关系定理是本章的重点，要熟练掌握三个概念及有关结论，详见内容提要；要深刻理解概念、定理的本质，熟练掌握线性相关和线性⽆关的有关性质及判别法，并能灵活应⽤．(3)向量组的极⼤⽆关组是特别重要的概念，它在向量组线性相关性的证明中往往能起到重要的作⽤；此外，还应当掌握求向量组的极⼤⽆关组的⽅法．(4)理解并掌握向量组的秩的概念，理解矩阵的秩与其⾏(列)向量组的秩的关系，熟练掌握求向量组的秩的⽅法，并能通过秩这⼀重要⼯具来判断向量组的线性相关性．（⼆）难点(1)向量组的线性相关性的证明．常见的⽅法有：定义法、利⽤有关结论及定理、利⽤齐次线性⽅程组有⽆⾮零解、利⽤向量组的秩与向量组所含向量的个数关系等．(2)向量组的秩与线性⽅程组有关理论的证明．。
第一节n维向量与向量组[1]
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三、线性相关性的判定
定理1.向量组 1 , 2 ,, m （当 m 2 时）线性相关 的充分必要条件是 1 , 2 , , m 中至少有一个向 量可由其余 m 1个向量线性表示．
证明 充分性 设 a1 , a2 , , am 中有一个向量(不妨设 能由其余向量线性表示. 即有
α x α x
1 1 2
2
αx
n
n
β
方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
定义１ 给定向量组A : 1 , 2 ,, m，对于任何一
向量 组实数k1，k2， , km， k1 1 k 2 2 k m m
k1，k 2， , k m 称为这 称为向量组的一个 线性组合， 个线性组合的系数 .
T m
T 2
T 1
T i T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构 成一个矩阵.
m个n维列向量所组成的向量 组1 , 2 ,, m , 构成一个 n m矩阵
A ( 1 , 2 ,, m )
m 个n维行向量所组成 的向量组 1 , 2 , m ,
故方程组只有零解 x1 x2 x3 0，所以 向量组
1 , 2 , 3线性无关.
定理3 (1) 若 向量组 A： 1 , 2 ,, m 线性相关, 则
向量组 B : 1 ,, m , m 1 也线性相关.反言之, 若向 量组B 线性无关, 则向量组A也线性无关 .
亦即 （ x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0, 因 1， 2， 3线性无关，故有 x1 x 3 0, x1 x 2 0, x x 0. 2 3
n维向量
n维向量
一、 n 维向量的概念
定义1 n 个有次序的数 a1 , a2 , , an 所组成的数 组称为n维向量，这n个数称为该向量的 个分量， n
第i个数a i 称为第i个分量 .
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
例如
(1,2,3,, n) (1 2i ,2 3i ,, n ( n 1)i )
T
所有分量都为零的向量称为零向量，记作 0
T
n维向量作为特殊的矩阵也有向量的线性运算， 运算法则和矩阵的相同。
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
A (a1 , a2 ,, an )
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
n维实向量 n维向量的表示方法
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 a ,b , , 等表示，如：
a1 a2 a a n
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 T T T T 等表示，如： 矩阵，通常用 a , b , ,
(b1 , b2 ,, bn )T 都是 定义 设 (a1 , a2 ,, an ) n维向量，当且仅当ai bi (i 1, 2,, n) 时，称向 量 和 相等，记作
T
向量 (a1, a2 , , an ) 称为向量 (a1 , a2 , , an ) 的负向量记作
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
第四章 向量组的线性相关性
b = λ1α1 + λ2α2 + L+ λmαm
则向量 b是向量组 A的线性组合，这时称 向量 b 能 的线性组合， 线性表示． 由向量组 A 线性表示．
例如 : α1 = (1, 2, 3), α 2 = (1, 3,1), b = (0, −1, 2) 则b = α1 − α 2 , 即b可由α1, α 2线性表示.
设 α j = (a1 j , a2 j , L , amj )T ( j = 1,2,L , n)
α x +α x +
1 1 2 2
L +
α x =b
n n
三、向量组的线性组合
1、 给定向量组 A : α 1 , α 2 , L , α m , 对于任何一
组实数 k1 , k 2 , L , k m ,
定理 3 设向量组 B : b1 , b2 , L bl能由向量组 A : a1 , a 2 , L a m 线性表示，则 线性表示， R(b1 , b2 , L bl ) ≤ R(a1 , a 2 , L a m ).
例2 设n维向量组 A : a1 , a 2 ,L a m 构成n × m 矩阵 A = (a1 , a 2 ,L a m )，n阶单位矩阵 E = (e1 , e2 , L en ) 的列向量叫做 n维单位坐标向量 . 证明： 证明： n维单位坐标向量组 e1 , e2 ,L en能由向量组 A 线性表示的充分必要条 件是R( A) = n.
分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为实数的向量称为实向量， 实向量 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为复数的向量称为复向量. 复向量
例如
(1,2,3,L, n)
n维实向量 维实向量 n维复向量 维复向量
n维向量空间
第 三
aT (a1 ,a2 ,,an )
章
n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列
n
维 矩阵，通常用 a,b, , 等表示，如：
向 量
a1 Hale Waihona Puke 空 间aa2
或 a (a1, a2 ,, an )T
an
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
定理
向量空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是： L对于V中的线性运算封闭．
维
向 量
若 L, L, 则 L;
空 间
若 L, R, 则 L.
1 任何一个子空间至少包含一个零向量 2 {0}, Rn 都是 Rn 的子空间。称为平凡子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
空 间
飞机重心在空间的位置参数 P (x, y, z)
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
a ( x, y, z, , , )
杨建新
第一节 n 维向量空间
第 三
有问题可通过Email询问:
章
n
维 向
mathgaoshu@
量
空
间
杨建新
n
维 向
事实上， 0 V1 ,0 V2, 0 V1 V2
量 空 间
任取 , V1 V2, 即 , V1,且 , V2,
则有 V1, V2, V1 V2
同时有 k V1,k V2, k V1 V2, k P
故 V1 V2 为V的子空间.
杨建新
第一节 n 维向量空间
第
n
三 章
kA ka1 kb1 0 0 0 kc1
线性代数2.2n维向量
06
单位元存在性
存在一个零向量，使得对任意向量a，都有 a+0=a；同时存在一个单位元e，使得对任意 标量k和任意向量a，都有 ke=k(a+0)=ka+0=ka。
向量空间的性质
1 2
线性组合
向量空间中的任意两个向量可以线性组合成一个 新的向量，且结果仍属于该向量空间。
线性无关
向量空间中的一组向量是线性无关的，当且仅当 这组向量不能被其他向量线性表示。
3
子空间
如果一个向量空间的非空子集满足向量的加法和 标量乘法的封闭性，则称这个子集为子空间。
向量空间的应用
几何学
向量空间是几何学中研究图形和变换的基础，例 如向量的加法对应于图形的平移和旋转。
工程学
向量空间在工程学中广泛应用于信号处理、图像 处理、控制系统等领域。
物理学
向量空间在物理学中用于描述物理量的方向和大 小，例如力、速度和加速度等。
要点二
详细描述
向量的点积是将两个向量对应分量相乘后求和，得到一个 标量。点积的结果可以用来判断两个向量的相似程度，如 果两个向量的点积为零，则它们垂直；如果点积为正，则 两个向量方向相同；如果点积为负，则两个向量方向相反 。
向量的叉积
总结词
叉积是向量的另一种基本运算，它表示两个向量的垂直 关系。
详细描述
03
向量空间的基
如果一个向量组是线性无关的，并且 该向量组可以生成整个向量空间，则 该向量组被称为该向量空间的基。
线性组合的应用
矩阵运算
矩阵运算中经常涉及到向量的线性组合，如矩阵乘法、 向量点乘等。
线性方程组
通过向量的线性组合，可以将线性方程组转化为矩阵 形式，便于求解。
3.1n维向量概念及其线性运算
( 3)α + 0 = α ; (4)α + ( −α ) = 0 (5)1 × α = α ;
8( （ ）kl )α = k ( lα ). 数乘向量结合律） （数乘向量结合律）
例1
设 α = ( 2,1,3), β = ( −1,3,6), γ = ( 2,−1,4).求向量
2α + 3β − γ .
是数， 向量运算的8条运算律：设 α , β , γ都是n维向量 , k , l是数，则 向量运算的8条运算律：
(1)α + β = β + α ; (加法交换律 ) ( 2)(α + β ) + γ = α + ( β + γ ); (加法结合律 )
(6)k (α + β ) = kα + kβ ; (数乘分配律 ) (7)( k + l )α = kα + lα （数乘分配律） ; 数乘分配律）
的线性组合， （ β 能否表示成 α 1， α 2， α 3的线性组合，取决于该 方 程组是否有解。 程组是否有解。对它的 增广矩阵施行初等行变 换，得
( A, β ) 1 → 0 0 1 0 2 − 1 3 1 = (α 1 , α 2 , α 3 , β ) = 2 1 3 4 6 5 1 0 0 2 2 − 1 − 1 → 0 1 − 1 1 −1 3 3 0 0 4 0 8 4 − 4
≠
（2，1） ， ）
2．n维零向量 ． 维零向量 3．负向量 ．
0 = (0, 0,L , 0)
α = (a1 , a2 ,L , an ), −α = (−a1 , −a2 ,L , −an )
第二章 n维向量
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
4. 矩阵等价与向量组等价
a11 a 21 A= ⋯ a m 1 a12 ⋯ a1n b11 初等行 b21 a 22 ⋯ a 2 n 初等行变换 B= ⋯ ⋯ ⋯ 初等行变换 初等行 ⋯ a m 2 ⋯ a mn bm 1
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
二. 向量组之间的关系 1. 给定两个向量组 A: α1, α2, …, αr B: β1, β2, …, βs 若B组中的每个向量都能由A组中的向 组中的每个向量都能由A 量线性表示, 则称向量组B 量线性表示, 则称向量组B能由向量组 A线性表示. 线性表示. 2 , 3 1 , 0 能由 例如: 例如: 线性表示, 线性表示, 0 0 0 1 1 , 0 2 , 3 不能由 但 线性表示. 线性表示. 0 1 0 0
ε1 =
1 0 … … 0
, ε2 =
0 1 … … 0
, …, εn =
0 0 … … 1
.
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
任何一个n 任何一个n维向量
α=
a1 a2 an … …
都能由ε1, ε2, …, εn线性表示. 事实上, 线性表示. 事实上,
α = a1
1 0 … … 0
第二章 n维列向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
推论2.4. 推论2.4. 若α1, α2, …, αs线性相关, 线性相关, 则α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt也线性相 关. 反之, 反之, 若α1, α2, …, αs, αs+1, …, αt线性 无关, 无关, 则α1, α2, …, αs也线性无关. 线性无关.
n维向量
n 维向量空间§3.1 n 维向量的定义 1. 定义定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a , 称为n 维行向量．i a –– 称为向量 的第i 个分量 R i a –– 称 为实向量 C i a –– 称 为复向量 零向量：)0,,0,0(负向量：),,,()(21n a a a列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作n a a a 21 , 或者T21),,,(n a a a , 称为n 维列向量．零向量：000 负向量： n a a a 21)( 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为1212()(,,,)...T n n a aa a a aL 列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。
说明1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算；3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量。
行向量可看作是列向量的转置。
零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同)负向量 12(,,,)T n a a a L 。
向量相等设1212(,,,)(,,,)T Tn n a a a b b b L L ，，若,1,2,,i i a b i n L 则 。
向量运算规律：①② ()()③ 0 （0是零向量，不是数零）④ ()0 ⑤ 1⑥ ()()() ⑦ () ⑧ ()满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。
1． 内积的概念定义1：n 维实向量n n b b b a a a 2121, ，称n n b a b a b a 2211),(T n n b b b a a a2121,,,为 和 的内积。
线性代数ppt第二章 n维向量
第二章 n维列向量
§2.1 n维向量及其运算
(6) k(l ) = (kl) , (7) (k + l) = k + l , (8) k( + ) = k + k . 五. 线性组合(linear combination)
n维向量: 1, 2, …, s
数(scalars): k1, k2, …, ks 线性组合: k11+k22+…+kss
根据推论2.1可知 1, 2, …, s线性相关.
第二章 n维列向量
§2.3 向量组线性相关性的等价刻画
推论2.4. 若1, 2, …, s线性相关, 则1, 2, …, s, s+1, …, t也线性相 关. 反之, 若1, 2, …, s, s+1, …, t线性 无关, 则1, 2, …, s也线性无关.
…
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
r(1, 2, …, s) s r(1, 2, …, s) < s r(1, 2, …, s) = s
1, 2, …, s
线性相关
(linearly dependent)
1, 2, …, s
线性无关
(linearly independent)
第二章 n维列向量
§2.2 向量组的秩和线性相关性
推论2.2. 若向量组1, 2, …, t与向量组1, 2, …, s等价, r(1, 2, …, t) = r(1, 2, …, s).
推论2.3. 若向量组1, 2, …, s 和1, 2, …, t 都线性无关, 并且这两个向量组等价, 则s = t.
线性代数 第三章3.2
αm 是其余向量的线性组合
定理4.1 向量组 α1,α2 ,L,αm (m≥ 2) 线性相关 定理
向量组中至少有一个向量是其余向量的线性组合
若 αm 是其余向量的线性组合
αm = k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 k1α1 + k2α2 +L+ km−1αm−1 + (−1)αm = 0
（Ⅱ）
β 1β 2 L β s
线性表示， 若（Ⅰ）中每一个向量都能由向量组（Ⅱ）线性表示， 则称向量组（ 线性表示. 则称向量组（Ⅰ）可由向量组（Ⅱ）线性表示. 若向量组（Ⅰ） 与向量组（Ⅱ）可以互相线性表示， 则称向量组（ 等价. 则称向量组（Ⅰ）与向量组（Ⅱ）等价. 向量组之间的等价关系具有以下性质： 向量组之间的等价关系具有以下性质： 性质
b1 b2 称为行向量 例如:① 例如 ① α = (a1, a2 ,L, an )称为行向量, β = M 称为 bn 列向量.
称为零向量 ②分量全为零的向量 (0, 0, L , 0) ,称为零向量. 称为 ③
等表示向量. 小写希腊字母 α, β ,γ 等表示向量
L 其中是 ε1，ε2， ，εn ，n维单位行向量组.
α1 =(1, 2,3)T， （ ） 例. 证明向量 β = −1,1,5 是向量组
T
将β 用向量组 α1，α2，α3 线性表出.
的线性组合,并具体 α 3 = ( 2 , 3 , 6 ) T 的线性组合 并具体 α 2 = 0,1, 4）， = β ⇔ ai = bi (i = 1, 2,L, n)
线性代数课件-3.2 n维向量
定义36 对于给定的向量组 β , α 1 , α 2 , , α n 定义 若存在一组数
k 1 , k 2 , , k n ,使得
β = k1α 1 + k 2α 2 + + k nα n
线性表示. 则称向量 β 可由向量组α 1 ,α 2 ,,α n 线性表示. 或向量 β 是向量组 α 1 ,α 2 ,,α n 的线性组合. 的线性组合.
线性表示. 线性表示.
证明: 证明:
1 0 0 0 a1 a1 0 0 a 0 a 0 1 0 2 2 = + + ∵要证:存在一组数 +, k = …,k +,使 + + a n α = 要证:存在一组数k12, a1 n a 2 使 0 0 1 a a 0 0 ε n n α = k + k ε + + k ε
α + β = β +α α + ( β + γ ) = (α + β ) + γ α +0 =α α + ( α ) = 0
( k + t )α = k α + t α k (α + β ) = k α + k β ( kt )α = k ( t α ) 1α = α
改书P 改书 100
【例2】 已知四维向量 α 1 , α 2 , β 满足关系 】
=β
线性方程组的向量表达式: 线性方程组的向量表达式: x 1α 1 + x 2 α 2 + + x n α n = β 或
α 1 x1 + α 2 x 2 + + α n x n = β
三,向量间的线性关系
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n维向量的概念
n维向量的引入，能够帮助我们去理解一些不能用一个 数来刻画的事物及其性质.例如，在解析几何中，用二元有序 实数组(x,y)可以刻画平面上的一个点或向量，用三元有序数 组(x,y,z)刻画空间中的一个点或向量；在力学中，速度和加 速度也同时具有大小和方向，用四元数组(x,y,z，w)刻画速 度或加速度，其中前三个数(x,y,z)表示速度或加速度的方向， 第四个数w表示其大小；在解线性方程组的过程中，方程组 的解是由n个有顺序的数组成的，即是一个n元有序数组，这 是一个整体，分开去看是没有意义的.这样的例子是很多的， 这里所定义的n维向量是所有具体例子的抽象.
n维向量的概念
n维向量的概念
定义3-1
由n个数a1,a2,…,an所组成的有序数组α称为n维 向量，简称为向量.其中n称为向量的维数，第i （i=1,2,…,n）个数ai称为n维向量α的第i个分量，并 且把n个分量均为实数的向量称为实向量；把n个分量 均为复数的向量称为复向量.
n维向量可以写成一行形式 αT=(a1,a2,…,an)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ维向量的概念
事实上，n维向量是解析几何中向量概念的推广. 在解析几何中，我们称“既有大小又有方向的量”为 向量，并且用具有方向的线段来表示向量.取定直角 坐标系以后，2维向量空间R2可以表示平面上向量的 全体，而3维向量空间R3可以表示空间中向量的全体. 因此，当n=2,3时，n维向量是以平面或空间的有向 线段为具体形象的.
谢谢聆听
n维向量的概念
也可以一列的形式
这就是n维的行向量和列向量，或者说成行矩阵和列矩阵，通常用 黑体希腊字母α,β,…表示列向量，而用符号αT,βT,…表示行向量.在本书 中，如果没有特别说明，所有涉及的向量均指分量为实数的列向量， 即列形式的实向量.将所有n维实向量的全体记为Rn，即
Rn={(a1,a2,…,an)T|ai∈R,i=1,2,…,n} 并将其称为n维向量空间.