列联表独立性分析案例
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k0 3.841 5.024 6.636 7.879
2020/12/11
0.10 2.706
0.001 10.828
独立性检验
随机变量-----卡方统计量 K 2
n(ad bc)2
,
(a b)(c d )(a c)(b d )
临界值表
其中n a b c d为样本容量。
P(K2 k0 ) 0.50
37
85
35
143
72
228
总计 122 178 300
由表中数据计算K2的观测值k 4.514。能够以95%的把握认为高
中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出
结论的依据。
(a b c d)(a b)(c d) K 2
n(ad bc)2
,
(a c)(b d)
(a b)(c d )(a c)(b d )
不患心脏病 175 597 772
总计 389 1048 1437
2020/12/11
例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214 人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏 病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？
0.1%把握认为A与B无关
1%把握认为A与B无关
99.9%把握认A与B有关 99%把握认为A与B有关
10%把握认为A与B无关 90%把握认为A与B有关
没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关
独立性检验的步骤
第一步：H0： 吸烟和患病之间没有关系
第二步：列出2×2列联表
吸烟 不吸烟
总计
患病 a c
不成立，即有99%的把握认为“吸烟
0
与20患20/1肺2/1癌1 有关系”。
判断H 0是否成立的规则
如果k 2 6.635，就判断 H0 不成立，即认为吸烟与
患肺癌有关系；否则，就判断 H0 成立，即认为吸烟 与患肺癌没有关系。
在该规则下，把结论“H0 成立”错判成H“0 不
成立”的概率不会差P过(K 2 6.635) 0.01,
可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且 能较精确地给出这种判断的可靠程度。
a ab c
cd
2020/12/11
具体作法是：
(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值
k
；
0
(2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量 K 2的观测值；
(3)如果 k k0 ，就以(1 P(K 2 k0 )) 100%的把握认为“X
思考
如果K 2 6答.635：，就判断断定H出0不错成立的，概这种率判为断出0.错01的。可能性有多大?
现在观测值k 9965(7775 49 42 2099)2 56.632太大了， 7817 2148 9874 91
在H
成立的情况下能够出现这样的观测值的概率不超过0.01，
0
因此我们有99%的把握认为H
2020/12/11
例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214 人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关 系？你所得的结论在什么范围内有效？
解：根据题目所给数据得到如下列联表：
秃顶 不秃顶
总计
患心脏病 214 451 665
k0 0.455
0.40 0.708
0.25 1.323
0.15 2.072
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K 2 10.828
K 2 6.635
K 2 2.706
K 2 2.706
2020/12/11
因此，K 2 越大， “性别与喜欢数学课程之间有关系”成立的可能性就越大。
另一方面，在假设“性别与喜欢数学课程之间有关系”的前提下，事件
{K 2 3.841} 的概率为 P(K 2 3.841) 0.05,
因此事件A是一个小概率事件。而由样本数据计算得 K 2的观测值k=4.514,即
小概率事件A发生。因此应该断定“性别与喜欢数学课程之间有关系”成立， 并且这种判断结果出错的可能性约为5%。所以，约有95%的把握认为“性 别2与02喜0/1欢2/11数学课程之间有关系”。
的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把k k0 解释为
不能以(1 P(K 2 k)) 100% 的把握认为“两个分类变量
之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量
之间有关系”的充分证据。
2020/12/11
思考：
利用上面的结论，你能从列联表的三维柱形图中 看出两个分类变量是否相关呢？
列联表独来自百度文库性分析案例
2020/12/11
两种变量：
定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。
变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、
宗教信仰、国籍等等。
在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：
例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。
研究两个变量的相关关系：
析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量
K2
n(ad bc)2
,
(a b)(c d )(a c)(b d )
（1）
其中n a b c d为样本容量。
若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。
根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：
k 9965(777549 42 2099）2 56.632 （2） 7817 2148987491
定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、
变量
相关指数R2、残差分析）
分类变量—— 独立性检验
本20节20/12研/11 究的是两个分类变量的独立性检验问题。
探究
列联表
为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机 地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌
患肺癌
总计
2020/1那2/11么这个值到底能告诉我们什么呢？
在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率
P(K 2 6.635) 0.01.
（2）
即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似
于0.01。
也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观 测，观测值超过6.635的频率约为0.01。
k0
时就认为K2的观测
k 如就果认为k“两k个0 ，分就类认变为量“之两间个没分有类关变系量”之。-间---有临关界系值”；否则 0
按照上述规则，把“两个分类变量之间有没关系”错误的判断
为“两个分类变量之间有关系”的概率为KP2( k0 ).
在实际应用中，我们把 k k0解释为有(1 P(K 2 k)) 100%
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域 分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表（称为2x2列 联表）为：
表1-11 2x2联表
y1
x1
a
x2
c
总计
a+c
2020/12/11
y2
总计
b
a+b
d
c+d
b+d a+b+c+d
若要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”，可以 按如下步骤判断H1成立的可能性：
结论的依据。
解：可以有95%以上的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”。
分别用a,b,c,d表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生
人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数。
a
如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例 与女生中喜欢数学课的比例 c 应该相差很多，即
a+c
不患病 b d
b+d
总计 a+b c+d a+b+c+d
第三步：计算 K 2
n(ad bc)2
(a c)(b d)(a b)(c d)
第四步：查对临界值表，作出判断。
P(k≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2020/12/11
反证法原理与假设检验原理
反证法原理：
在一个已知假设 下，如果推出一 个矛盾，就证明 了这个假设不成 立。
假设检验原理：
在一个已知假设 下，如果一个与 该假设矛盾的小 概率事件发生， 就推断这个假设 不成立。
2020/12/11
例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在
某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：
喜欢数学课程 不喜欢数学课程
总计
男
37
85
122
女
35
总计
72
143
178
228
300
由表中数据计算K2的观测值k 4.514。能够以95%的把握认为高
中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出
a ≈ a + b×a + c nn n
其中n = a + b + c + d为样本容量，即
(a+b+c+d)a (a+b)(a+c),
即ad bc
因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。
2020/12/11
独立性检验
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分
有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现
反对H0 的充分证据。
(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的 程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99%,即“两 个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99%.
怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？
值
这仅需要确定一个正数 k0 ，当 k k大。此时相应于k 0 的判断规则为：
解：根据题目所给数据得到如下列联表：
秃顶 不秃顶
总计
患心脏病 214 451 665
不患心脏病 175 597 772
总计 389 1048 1437
根据联表1-13中的数据，得到
K 2 1437 (214597 175 451)2 16.373 6.635. 3891048 665 772
所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。
ab
cd
a c ad bc
(a b c d)(a b)(c d)
a b c d (a b)(c d)
(a c)(b d)
2020/12/11
例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在 某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：
男 女 总计
喜欢数学课程 不喜欢数学课程
不吸烟
7775
42
7817
吸烟
2099
49
2148
总计
9874
91
9965
在不吸烟者中患肺癌的比重是 0.54%
在吸烟者中患肺癌的比重是 2.28%
说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患 肺癌的可能性大。
2020/12/11
上面我们通过分析数据，得到的直观印象是吸烟和患肺癌 有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察 这个问题。
与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系” 的充分证据。
在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：
P(K2 k0 ) 0.50 0.40 0.25 0.15
k0 0.455 0.708 1.323 2.072
P(K2 k0 ) 0.05 0.025 0.010 0.005
不患肺癌
a c a+c
患肺癌
b d b+d
总计
a+b c+d a+b+c+d
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 a c
a+c
患肺癌 b d
b+d
总计 a+b c+d a+b+c+d
在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事
件 件A下和应B该发有生P的(A频)数 a。n+由b 于, P频(B率)接a近n+ c于, 概P率(AB，)所an以. 在H0成立的条
即有99%的把握认为 H0不成立。
独立性检验的定义
上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上 可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两 个分类变量的独立性检验。
2020/12/11
独立性检验的基本思想（类似反证法）
(1)假设结论不成立,即 H0 :“两个分类变量没有关系”.
(2)在此假设下我们所构造的随机变量 K2 应该很小,如果由 观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定可信程度上 说明 H0 不成立.即在一定可信程度上认为“两个分类变量
现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”， 为此先假设
H0：吸烟与患肺癌没有关系.
用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”
等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B).
把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表
不吸烟 吸烟 总计
2020/12/11
2020/12/11
0.10 2.706
0.001 10.828
独立性检验
随机变量-----卡方统计量 K 2
n(ad bc)2
,
(a b)(c d )(a c)(b d )
临界值表
其中n a b c d为样本容量。
P(K2 k0 ) 0.50
37
85
35
143
72
228
总计 122 178 300
由表中数据计算K2的观测值k 4.514。能够以95%的把握认为高
中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出
结论的依据。
(a b c d)(a b)(c d) K 2
n(ad bc)2
,
(a c)(b d)
(a b)(c d )(a c)(b d )
不患心脏病 175 597 772
总计 389 1048 1437
2020/12/11
例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214 人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏 病是否有关系？你所得的结论在什么范围内有效？
0.1%把握认为A与B无关
1%把握认为A与B无关
99.9%把握认A与B有关 99%把握认为A与B有关
10%把握认为A与B无关 90%把握认为A与B有关
没有充分的依据显示A与B有关，但也不能显示A与B无关
独立性检验的步骤
第一步：H0： 吸烟和患病之间没有关系
第二步：列出2×2列联表
吸烟 不吸烟
总计
患病 a c
不成立，即有99%的把握认为“吸烟
0
与20患20/1肺2/1癌1 有关系”。
判断H 0是否成立的规则
如果k 2 6.635，就判断 H0 不成立，即认为吸烟与
患肺癌有关系；否则，就判断 H0 成立，即认为吸烟 与患肺癌没有关系。
在该规则下，把结论“H0 成立”错判成H“0 不
成立”的概率不会差P过(K 2 6.635) 0.01,
可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且 能较精确地给出这种判断的可靠程度。
a ab c
cd
2020/12/11
具体作法是：
(1)根据实际问题需要的可信程度确定临界值
k
；
0
(2)利用公式(1)，由观测数据计算得到随机变量 K 2的观测值；
(3)如果 k k0 ，就以(1 P(K 2 k0 )) 100%的把握认为“X
思考
如果K 2 6答.635：，就判断断定H出0不错成立的，概这种率判为断出0.错01的。可能性有多大?
现在观测值k 9965(7775 49 42 2099)2 56.632太大了， 7817 2148 9874 91
在H
成立的情况下能够出现这样的观测值的概率不超过0.01，
0
因此我们有99%的把握认为H
2020/12/11
例1 在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214 人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关 系？你所得的结论在什么范围内有效？
解：根据题目所给数据得到如下列联表：
秃顶 不秃顶
总计
患心脏病 214 451 665
k0 0.455
0.40 0.708
0.25 1.323
0.15 2.072
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K 2 10.828
K 2 6.635
K 2 2.706
K 2 2.706
2020/12/11
因此，K 2 越大， “性别与喜欢数学课程之间有关系”成立的可能性就越大。
另一方面，在假设“性别与喜欢数学课程之间有关系”的前提下，事件
{K 2 3.841} 的概率为 P(K 2 3.841) 0.05,
因此事件A是一个小概率事件。而由样本数据计算得 K 2的观测值k=4.514,即
小概率事件A发生。因此应该断定“性别与喜欢数学课程之间有关系”成立， 并且这种判断结果出错的可能性约为5%。所以，约有95%的把握认为“性 别2与02喜0/1欢2/11数学课程之间有关系”。
的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把k k0 解释为
不能以(1 P(K 2 k)) 100% 的把握认为“两个分类变量
之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量
之间有关系”的充分证据。
2020/12/11
思考：
利用上面的结论，你能从列联表的三维柱形图中 看出两个分类变量是否相关呢？
列联表独来自百度文库性分析案例
2020/12/11
两种变量：
定量变量：体重、身高、温度、考试成绩等等。
变量 分类变量：性别、是否吸烟、是否患肺癌、
宗教信仰、国籍等等。
在日常生活中，我们常常关心分类变量之间是否有关系：
例如，吸烟是否与患肺癌有关系？ 性别是否对于喜欢数学课程有影响？等等。
研究两个变量的相关关系：
析，我们构造一个随机变量-----卡方统计量
K2
n(ad bc)2
,
(a b)(c d )(a c)(b d )
（1）
其中n a b c d为样本容量。
若 H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应很小。
根据表3-7中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值为：
k 9965(777549 42 2099）2 56.632 （2） 7817 2148987491
定量变量——回归分析（画散点图、相关系数r、
变量
相关指数R2、残差分析）
分类变量—— 独立性检验
本20节20/12研/11 究的是两个分类变量的独立性检验问题。
探究
列联表
为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机 地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）
吸烟与肺癌列联表
不患肺癌
患肺癌
总计
2020/1那2/11么这个值到底能告诉我们什么呢？
在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率
P(K 2 6.635) 0.01.
（2）
即在H0成立的情况下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似
于0.01。
也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观 测，观测值超过6.635的频率约为0.01。
k0
时就认为K2的观测
k 如就果认为k“两k个0 ，分就类认变为量“之两间个没分有类关变系量”之。-间---有临关界系值”；否则 0
按照上述规则，把“两个分类变量之间有没关系”错误的判断
为“两个分类变量之间有关系”的概率为KP2( k0 ).
在实际应用中，我们把 k k0解释为有(1 P(K 2 k)) 100%
一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的值域 分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表（称为2x2列 联表）为：
表1-11 2x2联表
y1
x1
a
x2
c
总计
a+c
2020/12/11
y2
总计
b
a+b
d
c+d
b+d a+b+c+d
若要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”，可以 按如下步骤判断H1成立的可能性：
结论的依据。
解：可以有95%以上的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”。
分别用a,b,c,d表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生
人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数。
a
如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例 与女生中喜欢数学课的比例 c 应该相差很多，即
a+c
不患病 b d
b+d
总计 a+b c+d a+b+c+d
第三步：计算 K 2
n(ad bc)2
(a c)(b d)(a b)(c d)
第四步：查对临界值表，作出判断。
P(k≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2020/12/11
反证法原理与假设检验原理
反证法原理：
在一个已知假设 下，如果推出一 个矛盾，就证明 了这个假设不成 立。
假设检验原理：
在一个已知假设 下，如果一个与 该假设矛盾的小 概率事件发生， 就推断这个假设 不成立。
2020/12/11
例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在
某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：
喜欢数学课程 不喜欢数学课程
总计
男
37
85
122
女
35
总计
72
143
178
228
300
由表中数据计算K2的观测值k 4.514。能够以95%的把握认为高
中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐述得出
a ≈ a + b×a + c nn n
其中n = a + b + c + d为样本容量，即
(a+b+c+d)a (a+b)(a+c),
即ad bc
因此|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。
2020/12/11
独立性检验
为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分
有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现
反对H0 的充分证据。
(3)根据随机变量K2的含义,可以通过评价该假设不合理的 程度,由实际计算出的,说明假设合理的程度为99%,即“两 个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99%.
怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？
值
这仅需要确定一个正数 k0 ，当 k k大。此时相应于k 0 的判断规则为：
解：根据题目所给数据得到如下列联表：
秃顶 不秃顶
总计
患心脏病 214 451 665
不患心脏病 175 597 772
总计 389 1048 1437
根据联表1-13中的数据，得到
K 2 1437 (214597 175 451)2 16.373 6.635. 3891048 665 772
所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。
ab
cd
a c ad bc
(a b c d)(a b)(c d)
a b c d (a b)(c d)
(a c)(b d)
2020/12/11
例2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在 某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下联表：
男 女 总计
喜欢数学课程 不喜欢数学课程
不吸烟
7775
42
7817
吸烟
2099
49
2148
总计
9874
91
9965
在不吸烟者中患肺癌的比重是 0.54%
在吸烟者中患肺癌的比重是 2.28%
说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患 肺癌的可能性大。
2020/12/11
上面我们通过分析数据，得到的直观印象是吸烟和患肺癌 有关，那么事实是否真的如此呢？这需要用统计观点来考察 这个问题。
与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系” 的充分证据。
在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值：
P(K2 k0 ) 0.50 0.40 0.25 0.15
k0 0.455 0.708 1.323 2.072
P(K2 k0 ) 0.05 0.025 0.010 0.005
不患肺癌
a c a+c
患肺癌
b d b+d
总计
a+b c+d a+b+c+d
不吸烟 吸烟 总计
不患肺癌 a c
a+c
患肺癌 b d
b+d
总计 a+b c+d a+b+c+d
在表中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b和a+c恰好分别为事
件 件A下和应B该发有生P的(A频)数 a。n+由b 于, P频(B率)接a近n+ c于, 概P率(AB，)所an以. 在H0成立的条
即有99%的把握认为 H0不成立。
独立性检验的定义
上面这种利用随机变量K2来确定在多大程度上 可以认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两 个分类变量的独立性检验。
2020/12/11
独立性检验的基本思想（类似反证法）
(1)假设结论不成立,即 H0 :“两个分类变量没有关系”.
(2)在此假设下我们所构造的随机变量 K2 应该很小,如果由 观测数据计算得到K2的观测值k很大,则在一定可信程度上 说明 H0 不成立.即在一定可信程度上认为“两个分类变量
现在想要知道能够以多大的把握认为“吸烟与患肺癌有关”， 为此先假设
H0：吸烟与患肺癌没有关系.
用A表示不吸烟，B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”
等价于“吸烟与患肺癌独立”，即假设H0等价于 P(AB)=P(A)P(B).
把表中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表
不吸烟 吸烟 总计
2020/12/11