复变函数第四章习题课

2
ds， 1 2
0
1
其中，曲线
C： x y
2
1, 求 f ' (
)， f ' ( 3 3 i )
4. 判断下列命题是否正确?并说明理由.
1 ) f ( z ) 在简单闭曲线 且函数值不为零，则 C 及所围成的区域 B 上解析，

2
f '(z)
C
dz 0
2)函数 f ( z )
ln( z 3 ) ( z 2)
n
lim z n lim x n i lim y n
n n
解: (1) x n
( 1) , y n
n
n
1 n1
发散
n
lim ( 1 ) 极限不存在。
n
n1 1 1 n 1 n 2 (2) z n e cos( ) i sin( ) n n 2 n 2 1 n 1 n 1 n 1 n lim cos( ) 0 , lim sin( ) 0 x n cos( ), y n sin( ) n n n n 2 2 n 2 n 2
f (z)
3s 4s
2
C ( s z )( s 2 ) 2 2 3s 4s 3z 4z 2 i ( ) 2 i z2 s2 s z
C

3s 4s
2
ds

s2 s z
ds
若点 z 在曲线 C ： 1的外部 z
3s 4s
2
( s z )( s 2 )
f (z)
的二阶导数在
z 2 处不解析。
( 3 ) 若幂级数


c n ( z 2 ) 在 z 0 处收敛，则它在
n
z 3 处必发散。
（4） 幂级数


n0
c n ( z z 0 ) 的和函数在收敛圆内可
n
能存在奇点。
n0
5. 判断下列数列是否收敛？若收敛，计算它们的极限。
n!
( 1 i ) z 的收敛半径。
n
n0
z
( z 1 )( z 2 )
在 z 0 2 处的泰勒展开式，并指
出收敛半径。
9 .求函数 f ( z )
1 ( z 1)
2 2
在 z 0 i 的解析邻域上的罗朗展
开式。
1 .计算积分


z z dz
z 2 和线段 2 x 2 , y 0 组成的闭路
开式。

( 1) n
n
3
n1
(1 i )
n
( 2)
绝对收敛, 收敛
3
n
(2)



[( 1 )
n
1 n
2
i 1 n
2
3
] 3
n
n1
n! i ]
( 1)
n1

n
收敛


n1
n!
收敛

[( 1 )
n
收敛
n1
n!
( 1)
n1
n
1 n
2
绝对收敛
n


3
n
绝对收敛
其中， 是上半圆周

c
f ( z )dz


f [ z (t )] z(t )dt
x x (t) : y y(t) ( t )
设曲线 C 参数方程为
对应的复数方程为
z z (t) x (t) i y(t), t


z z dz
在积分曲线
C 所围成的区域上处处解
析，
根据柯西定理
1
1
f (z)

3s 4s
2
C
( s z )( s 2 )
2
ds ＝0
3 z 12 z 8
2
f ' ( ) 点 在 C 的内部 f ( z ) 2 i f ' ( z ) 2 i 2 2 z2 2 ( z 2) 1 106 f '( ) i 2 9 f ' (3 3i ) 点 ( 3 3 i ) 在 C 的外部 f ( z ) 0 f ' ( 3 3 i ) 0
C1为负方向的闭曲线
4 i

C2
3z 2 z ( z 1)
2
3z 2
dz

C2
z dz ( z 1)
2 i (
dz
3z 2 z
)
z1
2 i
dz


c
3z 2 z ( z 1)
dz

C1
3z 2 z ( z 1)

C2
3z 2 z ( z 1)
在 z 0 2 处的泰勒展开式，并指
出收敛半径。
z 1
收敛半径
R －1 2＝3 －
讨论的解析区域为
: z2 3
所要计算的泰勒展开式
的形式为：
2 n


cn ( z 2)
n
1 1 z
n0
1 z z z
2 z2 1
z 1
z1 1 1 1 z2 n 2 2 ( ) z2 2 2 n0 4 z2 4 ( z 2) 1 4 1 z2 n 1 1 1 1 ( ) z2 3 n0 3 z1 3 ( z 2) 3 1 3
n
n
则 R
1

.
lim
cn1 cn
lim
(1 i )
n1 n
n
(1 i )
lim
n
2
2
收敛半径
R
1 2
8 .求函数 f ( z )
z
解:

( z 1 )( z 2 ) f ( z )的不解析点为： z 1 , z 2 距离 z 0 2 最近的为
n
1 n
2
i
3
n
]
n1
n!
判定复数项级数



z n 收敛：

[1] 级数 z n绝对收敛。 ]判定实数项级数 xn , yn收敛； [2
n 1
n1
判定级数


n 1
n 1
z n 绝对收敛：

n1
[1]定义：判定正项级数 z n 收敛；
[2]判定实数项级数 xn , yn绝对收敛。
D 内解析，
f ( z0 )
2i z z
c
1
f ( z)
0
dz
（或者，f ( z )
2i
1
f ( s) s z
ds 解析函数的积分表达式）
C
3s 4s
2
( s z )( s 2 )
对应的不解析点
s z, s 2
s 2 在积分曲线的外部
若点 z 在曲线 C ： 1的内部 z
所以， f ' ( z ) 存在，且在曲线 C 所围成的闭区域上解析 又因为， f ( z ) 在曲线 C 所围成的闭区域上函数 值不为零，
f '(z) f (z) 在曲线 C 围成的区域上解析
，

根据柯西定理

f '(z) f (z)
dz 0
C
2）错误
f (z)
ln( z 3 ) ( z 2)
n 1 n 1

n 1

（1 ）

( 1) n
n
3
( 1) n
n
3

n
3 n
n1
(1 i )
3 n1
n
(1 i )
1 n
n
( 2)



n
3 n
收敛
n1
( 2)
( n 1)
n
lim
( 2) n

3
lim
n
n
2 n1
n
(
)
3

1 2
1
1 n
2

1 .计算积分


c

z z dz
z 2 和线段 2 x 2 , y 0 组成的正向闭曲线。
2
其中， 是上半圆周
2 .计算积分
3z 2 z ( z 1)
dz ，
积分曲线C如右图所示
3 . 设函数 f (z)

3s 4s
2
C
( s z )( s 2 )
i2e d
i

0


0
8e
i
ie d
i



0
8 id 8 i
x t 线段 AB 的参数方程： 2 t 2 y 0
复数方程：
z z (t ) t i 0 t , 2 t 2

z z dz
AB


2 2
t t 1 dt
2 i
3 . 设函数
f (z)

3s 4s
2
C
( s z )( s 2 )
2
ds， 1
其中，曲线
C ： x y 1 , 求 f ' ( )， f ' ( 3 3 i ) 2
2
设 f ( z ) 在简单正向闭曲线 z 0 为 D 内的任一点，那么
C 及其所围成的区域
0
1
验证：（）分子在曲线围成的区域上处处解析； 1 （ ）分母对应的不解析点在曲线的内部 2

c
3z 2 z ( z 1)
dz

C1
3z 2 z ( z 1)
dz

C2
3z 2 z ( z 1)
dz
3z 2

C1
3z 2 z ( z 1)
dz

C1
3z 2 z 1 dz 2 i ( ) |z 0 z z1
c n ( z z 0 ) 收敛的范围： z z 0 R ， R 为收敛半径。

n0


c n ( z 2 ) 在 z 0 处收敛，则收敛半径
n
R 至少为 2。
n0
在z 3处收敛。
（4） 幂级数
幂级数

c n ( z z 0 ) 的和函数在收敛圆内可
n
能存在奇点。
2
不解析点为
: z 2, z x 3
f ( z ) 在点 z 2 处解析
根据推论
f ( z )的二阶导数在点
z 2 处也是解析的。
( 3 ) 若幂级数
幂级数
若幂级数


c n ( z 2 ) 在 z 0 处收敛，则它在
n
n
z 3 处必发散。
n0


3z 4z
4. 判断下列命题是否正确?并说明理由.
1 ) f ( z ) 在简单闭曲线 C 及所围成的区域 则 B 上解析，且函数值不为 dz 0 f '(z)
C
零，

f (z)
2)函数
f (z)
ln( z 3 ) ( z 2)
2
的二阶导数在
z 2 处不解析。
推论：如果一个函数在某点解析,那么它的各阶导函 数存在的，且在该点仍解析. f ( z ) 在曲线 C 所围成的闭区域上解析 ， 1）正确
f (z)
z2 （此时， 1 ） 4
z2 （此时， 1 ） 3
f (z) 1 2


(
z2 4
)
n
1
n0
3

(
z2 3
)
n
z2 3
n0
9 .求函数 f ( z )
1 ( z 1)
2 2
在 z 0 i 的解析邻域上的罗朗展
z i , z i z 0 i 的解析邻域为：
圆内解析。
n0


c n ( z z 0 ) 所对应的和函数在收敛
n
n0
命题错误
5. 判断下列数列是否收敛？若收敛，计算它们的极限。
(1 ) z n ( 1 )
n
i n1
(2) zn
1 n

n 2
i
e
复数数列 { z n }收敛的判定
实部{xn }以及虚部{ yn }对应的实数数列收敛。



n1
n!
[( 1 )
1 n
2
i
3
n
]
n1
n!
绝对收敛
7 . 求幂级数



( 1 i ) z 的收敛半径。
n n
n0
cn1 若 lim cn ( z z0 ) n cn , n0 收敛半径的求法： 或 lim n c n n n c n (1 i ) 解:

2 2
t tdt


0 2
( t ) tdt

2 0
t tdt
0


z z dz 8 i
2 .计算积分

c
3z 2 z ( z 1)
dz ，
C1
dz 2i f ( z0 )
C2
积分曲线C如右图所示 柯西积分公式： c
f ( z) z z0
n i
数列 z n ( 1 )
i
数列 z n
1 n

n 2
i
e
收敛
n
lim z n lim x n i lim y n＝0
n n
6。 判断下列级数是否收敛
（1 ）

？绝对收敛？
(2)
( 1) n
n
3
n1
(1 i )
n


[( 1 )
(1 ) z n ( 1 )
n
i n1

(2) zn
？绝对收敛？
n 3 n
1 n

n 2
i
e
n
6。 判断下列级数是否收敛
（1 ） ( 1) n (1 i )
n
n1
(2)
[( 1 )
n1

n
1 n
2
i
3
]
7 . 求幂级数
8 .求函数 f ( z )



z z dz
C

z z dz
AB
C
0 A
i
x 2 cos 半圆周 C 的参数方程： y 2 sin


B
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复数方程：
z z ( ) 2 cos i 2 sin 2 e , 0
2e
i

z z dz
C

2e
i