随机变量的函数及其分布

因为FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}，设Ig={x|g(x)≤y}
则 FY y P X Ig Ig fX (x)dx g(x)y fX (x)dx
再由FY(y)进一步求出Y的概率密度
fY y FY( y)
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从区间(0，1)上的均匀分布.试求Y=X2 的密度函数.
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从参数λ=1的指数分布，求随机变量 函数Y=eX的密度函数
解 由于X服从参数为1的指数分布，因此其密度函数为
f
x
e
x
0
x 0; 其他
函数y=ex为一个单调增加且有一阶连续导数的函数， 其反函数 x=h(y)=lny,h’(y)=1/y
1 yb fY ( y) k fX ( k )
y
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
即
fY
(
y)
|
1 k
|
yb 2
1
e
k 2 2
2
y(b k )2
1
1
e 2(k )2
| k | 2
y
所以 Y=kx+b~N(kμ+b , k22 )
特别，在上例中取 k=1/ , b= -μ/ 得 Y X ~ N (0,1)
6.2 二维随机变量的函数的分布
一、(X,Y)为二维离散型随机变量
例 设二维随机变量( X,Y )的概率分布为
X -1 1 2
Y
-1
5 20 2 20 6 20
2
3 20 3/ 20 1 20
求 X Y, X Y, XY,Y X 的概率分布
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：
P 5 / 20 2 / 20 6 / 20 3/ 20 3/ 20 1/ 20
解 当y<0时,P(X2≤y)=0 FY ( y) 0
当y≥0时,P(X2≤y)=
FY ( y)
y y
fX
(x)dx
0
y
1 dx 1,
于是Y分布函数为
y, 0 y 1 其他
0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
(
y)
FY'
(
y)
1, 2y
y0
0, 其他
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
解 X的密度函数为
f x 1 ex2 / 2
2
( x )
于是Y分布函数为
FY y P(Y
y) P( X
P(y
y)
0,
X
y),
y
1 y
x2
P( y X y) y f X (x)dx y
解: (1) V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，3，4，5
P{V=0}=P{X=0,Y=0}=0；
P{V=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0} +P{X=1,Y=1} =0.01+0.01+0.02=0.04；
所以V的分布律为
V 01 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
二、连续型随机变量
于是得Y的概率密度
fY
(
y)
f
X
h( y)h(
0
y)
y
其他
若g(x)<0, 同理可证
fY
(
y)
f
X
h( y)
0
h(
y)
y
其他
合并两式，即得证。 若ƒ(x)在有限区间[a，b]以外等于零，则只需假
设在[a，b]上恒有g(x)>0(或恒有g(x)<0)，
此时 min{g(a) , g(b)} , max{g(a), g(b)}
e 2 dx
2
因此
fY
(
y)
FY'
(
y)
2 y2 e 2, y0
0, 其他
y 0; y 0.
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，我们有下 面一般结果
2. 特殊方法
定理 设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数 g(x)单调（恒有g(x)>0 或恒有g(x)<0) ，且处处
数).
6.1 一维随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量
设X为离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散 型随机变量。
X的分布律为
X x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi …
g(x)是一个已知函数，Y=g(X)是随机变量X的 函数，则随机变量Y的分布律为
Y=g(X) g(x1) g(x2) … g(xi) … P (Y=g(xi)) p1 p2 … pi …
1
P(Y=20)= P(10≤X≤12
Φ (12 11) Φ (10 11)
1
1
Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为 Y -5 -1 20 p 0.16 0.16 0.68
6.2 二维随机变量的函数的分布
引言
上节的内容可推广到多维随机变量: (X1,…,Xn)为n维随机变量,Y是X1,…,Xn的函数
一、离散型随机变量
例: 设离散型随机变量X的分布律为
X -1 0 1 2 5/2 P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10
求 (1)Y=X-1; (2)Y=-2X; (3)Y=X2 的分布律
6.1 一维随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量
解: 由X的分布律可得下表
P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 5/2 X-1 -2 -1 0 1 3/2 -2X 2 0 -2 -4 -5 X2 1 0 1 4 25/4
P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
W=0
YX 0 00
W=1 W=2
12
0.01 0.03
W=3 W=4 W=5
(2) U=Min(X,Y)的可能取值为：0，1，2，3
P{U=i}=P{X=i,Y≧i}+P{X>i,Y=i},i=0,1,2,3.
U的分布律为
V0
1
P 0.28 0.30
U=0
YX 0 00 1 0.01 2 0.01 3 0.01
U=1 U=2
12 0.01 0.03 0.02 0.04 0.03 0.05 0.02 0.04
可导，则Y=g(x)的概率密度为
fY
y
f
X
h
0
y
h y
其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，
y
其他
min g , g , max g , g
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+ ∞)严
格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格单
6.1 一维随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量
注：
一般地，我们先由X的取值xi，i=1，2，…求出Y 的取值yi=g(xi)，i=1，2… ① 如果诸yi都不相同，则由P{Y=yi}=P{X=xi}可得
Y的分布律； ② 如果诸yi中有某些取值相同，则把相应的X的取值
的概率相加。
6.1 一维随机变量的函数及其分布
V=0 V=1 V=2 V=3 V=4 V=
YX 0 1 2 3 4 5
5
0 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09
1 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08
2 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06
3 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例: 设随机变量XN(μ，σ2),试证明X的线性函数
Y=kX+b(k≠0)也服从正态分布。
证明：X的概率密度为
f X x
1
e x 2 / 2 2
2
x
现在y=g(x)=kx+b，由这一式子解得
x=h(y)=(y-b)/k
由定理得Y=kX+b的概度密度为
6.1 一维随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量
(1) Y=X-1的分布律为
Y -2 -1 0
1
3/2
P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10
(2) Y=-2X的分布律为
Y 2 0 -2
-4
-5
P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 (3) Y=X2的分布律为
Y0 1
4 25/4
调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。 因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，
FY(y)=P{Y≤y}=0； 当y≥β时， FY(y)=P{Y≤y}=1； 当α<y<β时，
FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y} =P{X≤h(y)}
hy
f X x dx
6.1 一维随机变量的函数及其分布
因此
fY ( y)
f X h( y) | (h'( y)) |
1 y2
,
0,
y 1 y 1
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：假设由自动线加工的某种零件的内径（单位:mm） 服从正态分布N（11，1），内径小于10或者大于12 为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利， 销售每件不合格品则亏损，已知销售利润Y（单位：元） 与销售零件的内径X有如下关系：
第六章 随机变量的函数及其分布
一维随机变量的函数及其分布 二维随机变量的函数的分布
6.1 一维随机变量的函数及其分布
引言
在分析问题时，经常要用到由一些随机变 量经过运算或变换而得到的某些新变量—随机 变量的函数，它们也是随机变量.
随机变量的函数的分布:若X是随机变量，求
Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一个实值函
P 1/10 3/10 3/10 3/10
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
设X为连续型随机变量，其概率密度函数为fx(x)， g(x)是一个已知的连续函数，Y=g(X)是随机变量X的函 数，考虑求出Y的分布函数FY(y)及密度函数fY(y).
1．一般方法 可先求出Y的分布函数FY(y)：
Y=g(x1, x2,…, xn)
是一维随机变量.现在的问题是如何由(X1,…,Xn) 的分布,
来求出Y 的分布.
设(X,Y)为二维随机变量, g(x,y)为二元函数，那么 Z=g(X,Y) 是一维随机变量,且由（X，Y）的分布就可 定出Z的分布.
6.2 二维随机变量的函数的分布
一、(X,Y)为二维离散型随机变量
( X,Y ) (-1,-1) (-1,1) (-1,-2) (2,-1) (2,1) (2,2)
X +Y -2 0 1 1 3 4
X -Y
0 -2 -3 3 1 0
XY
1 -1 2 -2 2 4
Y/X
1 -1 1/2 -2 2 1
故得
X+Y -2 0 1 3 4
P 5 / 20 2 / 20 9 / 20 3/ 20 1/ 20
设(X,Y)为二维离散型随机变量,其分布律为 pij=P(X=xi,Y=yj) (i,j=1,2,…)
g(x,y)是一个二元函数，Z=g(X,Y) 是二维随机变量 (X,Y)的函数，则随机变量Z的分布律为：
P(Z=g(xi,yj))=pij (i,j=1,2,…)
注 g(xi,yj)取相同值对应的那些概率要合并相加
YX 0 00 1 0.01 2 0.01 3 0.01
12 0.01 0.03 0.02 0.04 0.03 0.05 0.02 0.04
34
5
0.05 0.07 0.09
0.05 0.06 0.08
0.05 0.05 0.06
0.06 0.06 0.05
求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分 布律。
X-Y
-3 -2 0 1 3
P 6 / 20 2 / 20 6 / 20 3/ 20 3/ 20
故得
XY P
-2 -1 1 2 4
3/ 20 2 / 20 5 / 20 9 / 20 1/ 20
X/Y
-2 -1 1/2 1 2
P 3/ 20 2 / 20 6 / 20 6 / 20 3/ 20
例: 设(X,Y)的联合分布律为
2
3
0.25 0.17
U=3
34
5
0.05 0.07 0.09
0.05 0.06 0.08
0.05 0.05 0.06
0.06 0.06 0.05
Байду номын сангаас
(3) W=X+Y的可能取值为：0,1,2,3,4,5,6,7,8.
i
P{W i} P{ X k,Y i k} k 0
W的分布律为
W0 1 2 3 4 5 6 7 8
1, X 10;
Y
20,
10
X
12;
5,
X 12.
试求Y的分布律
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
解 P(Y=-5)= P(X>12)=1-P(X≤12)
1Φ
12 (
11 )
1
Φ
(1)
1
0.84
0.16
1
P(Y=-1)= P(X<10)
Φ (10 11) Φ (1) 1Φ (1) 1 0.84 0.16