随机变量的函数及其分布
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随机变量的函数及其分布
应的概率相加， 随即 机可 变Y得 量 gX的分布. 律
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第二章 随机变量及其分布
§5 随机变量的函数的分布
例 1设离散型随机X变 的量 分布律为
X -2
0
3
P1
1
1
6
3
2
随机Y 变 X 量 1，试 Y的 求分布律．
解： 随机变 YX 量 1的取值 3,为 1,2.
这些取值两两互不相同 ．由此得随机变量 YX1
例 3（续）
Y=(X-1)2 同理,
X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,
P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,
所以，Y=(X-1)2 的分布律为：
Y0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2
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第六章 随机变量的函数及其分布
FY(y)P{Yy}P{X2 y}
y
P{ yX y} y fX(x)dx.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 7（续）
y
FY(y) y fX(x)dx.
(2)利用 FY(y)fY(y)及变限定积分 得求 ：
fY(y) 21y[fX( y)fX( y), y0,
2x, 0x1, fX(X)0, 其它 .
试求 Y=X-4 的概率密度.
解：(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：
F Y(y)P {Yy} P { X 4 y } P { X y 4 }
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第二章 随机变量及其分布
§5
例4 设离散型随机X变的量分布律为
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第二章 随机变量及其分布
§5 随机变量的函数的分布
例 1设离散型随机X变 的量 分布律为
X -2
0
3
P1
1
1
6
3
2
随机Y 变 X 量 1，试 Y的 求分布律．
解： 随机变 YX 量 1的取值 3,为 1,2.
这些取值两两互不相同 ．由此得随机变量 YX1
例 3（续）
Y=(X-1)2 同理,
X -1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4
P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+ 0.4=0.7,
P{Y=4}= P{X= -1}= 0.2,
所以，Y=(X-1)2 的分布律为：
Y0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2
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第六章 随机变量的函数及其分布
FY(y)P{Yy}P{X2 y}
y
P{ yX y} y fX(x)dx.
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第六章 随机变量的函数及其分布
例 7（续）
y
FY(y) y fX(x)dx.
(2)利用 FY(y)fY(y)及变限定积分 得求 ：
fY(y) 21y[fX( y)fX( y), y0,
2x, 0x1, fX(X)0, 其它 .
试求 Y=X-4 的概率密度.
解：(1) 先求 Y =X-4 的分布函数 FY(y)：
F Y(y)P {Yy} P { X 4 y } P { X y 4 }
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第二章 随机变量及其分布
§5
例4 设离散型随机X变的量分布律为
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数将随机事件以数量来标识，即用随机变量描述随机现象的研究方法，它是定义在样本空间上具有某种可预测性的实值函数。
分布函数则完整的表述了随机变量。
一、 随机变量与分布函数(1) 随机变量：取值依赖于某个随机试验的结果（样本空间），并随着试验结果不同而变化的变量，称之为随机变量。
分布函数：[1] 定义：设X 是一个随机变量，对任意实数x ，记作(){}F x P X x ≤=，称()F x 为随机变量X 的分布函数，又称随机变量X 服从分布()F x ，显然，函数()F x 的定义域为(),-∞+∞，值域为[0,1]。
[2] 性质：❶()F x 单调非降。
❷()0F -∞=、()1F +∞=。
❸()(0)F x F x =+，即()F x 一定是右连续的。
❹对于任意两个实数a b <，{}()()P a X b F b F a <≤=-❺对于任意实数0x ，000{}()()P X x F x F x ==-- ❻000{}1{}1()P X x P X x F x >=-≤=- ❼000{}{)lim }(x x P X x P X x x F →-=≤<=-❽000{}1{}1()P X x P X x F x ≥=-<=-- 二、 离散型随机变量与连续型随机变量(1) 离散型随机变量[1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。
其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下：[2] 性质：❶0i p ≥❷11nii p==∑❸分布函数()i i x xF x p ==∑❹1{}()()i i i P Xx F x F x -==-(2) 连续型随机变量[1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有：()()xF x f x d x-∞=⎰则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。
第二章随机变量及其分布函数
28
例2.2.9 设在时间t分钟内通过某交叉路口的汽车 数服从参数与t成正比的泊松分布. 已知在一分钟内 没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟内多于一辆 车通过的概率.
S={红色、白色} ?
将 S 数量化
非数量 可采用下列方法
X ()
红色 白色
S
1 0R
3
即有 X (红色)=1 , X (白色)=0.
1, 红色, X () 0, 白色.
这样便将非数量的 S={红色，白色} 数量化了.
4
实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.
则有
S={1，2，3，4，5，6} 样本点本身就是数量 X () 恒等变换
20
泊松分布是一个非常常用的分布律，它常与 单位时间、单位面积等上的计数过程相联系. 例如一小时内来到某百货公司中顾客数、单位 时间内某电话交换机接到的呼唤次数和布匹 上单位面积的疵点数等随机现象都可以用泊
松分布来描述. 附表 2 给出了不同 值对应的
泊松分布函数的值.
21
泊松分布的取值规律
记 P(k; ) k e ，则
P
1 2
X
5
2
P(X
1 X
2)
P(X 1) P(X 2) 5
9
12
例 2.2.2 一只口袋中有 m 只白球， n m 只黑球.连 续无放回地从这口袋中取球，直到取出黑球为止．设 此时取出了 X 只白球，求 X 的分布律.
解 X 的可能取值为 0,1,2,, m ，且事件{X i}意 味着总共取了 i+1 次球，其中最后一次取的是黑球而 前面 i 次取得都是白球.
或 X ~ Bn, p.
二项分布的背景是伯努利试验：如果每次试验中事 件A发生的概率均为p，则在n重伯努利试验中A发生 的次数服从参数为n,p的二项分布。
随机变量及其分布函数
随机变量及其分布函数随机变量是描述随机事件的数学工具，它将随机事件映射到实数上。
我们可以将随机变量理解为一个函数，它将样本空间上的随机事件转化为一个实数。
随机变量的取值通常用大写字母来表示，例如X、Y、Z等，并且随机变量的取值可以是有限个或无限个。
随机变量的分布函数一个随机变量有着不同取值的可能性，而这些可能性可以用概率来描述。
针对一个随机变量而言，其取值在不同的范围内所对应的概率，就被称为该随机变量的分布函数。
分布函数通常用F(x)来表示，其中F是函数符号，x是随机变量的取值。
对于一个随机变量X，其分布函数定义为：F(x) = P(X≤x)其中P(X≤x)指的是随机变量X小于或等于x的概率。
因此，对于小于或等于x的所有可能取值，X的分布函数F(x)均可以计算出来。
随机变量的类型随机变量可以分为两类：离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量离散随机变量是只能取某些特定离散值的随机变量，它们通常意味着某个事件只能发生某些确定的次数。
例如，抛掷一颗骰子的结果就是一个典型的离散随机变量，因为其可能取的值只有1、2、3、4、5、6六种可能。
对于某个离散随机变量而言，它的分布函数是一个阶梯函数，在每个离散值处有一个跳跃，即：F(x) = P(X≤x) = ΣP(X=i)，i≤x其中ΣP(X=i)表示随机变量取i的概率，i≤x表示X取i的所有取值小于或等于x。
例如，对于一个只能取0或1的离散随机变量X，其分布函数F(x)可以表示为：F(x) = P(X≤0) + P(X=1) = P(X=0) + P(X=1)其中P(X=0)和P(X=1)表示X取0和1的概率，因此：F(0) = P(X=0)F(1) = P(X=0)+P(X=1)连续随机变量连续随机变量是指可以取到任意实数值的随机变量，通常用于描述某个事件的结果可以连续变化的场景。
例如，衡量人的身高或体重就是一种典型的连续随机变量。
对于某个连续随机变量而言，由于它可以取到任意实数值，因此其分布函数也是一个连续函数。
第3.3节随机变量的函数及其分布(new)
−∞ −∞
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
pη ( y ) = ∫ p1 ( x) p2 ( y − x)dx
+∞
因此我们有如下定理： 定理：若 ξ1，ξ 2 相互独立，且有密度函 数， 则ξ1 + ξ 2也有密度函数，并且其 密度函数为 ξ1 与ξ 2密度函数的卷积。
例 设随机变数 ξ ， η 独立，同服从 λ = 1的 指数分布，求 ξ + η 的密度函数。 解： ξ + η 的密度函数为 pξ+η ( y ) =
Fη ( y ) = P {η < y} = z1 = x1 令 z 2 = x1 + x 2 上式 = = (∫ ,则
2 x1 + x 2 < y
∫∫
p ( x 1 , x 2 ) dx 1 dx
2
∫ ∫
−∞ +∞ −∞
+∞
y −∞
p ( z 1 , z 2 − z 1 ) dz 1 dz
i =0 k
= ∑ P{ξ = i}P{η = k − i} = ∑ C p q C
i =0 i =0 i n i n −i
k
k
k −i m
p q
k −i
m− k +i
=p q
k
n+ m−k
∑C C
i =0 i n
k
k −i m
=C
k n+m
p q
k
n + m−k
, k = 0,L, n + m
则ξ + η ~ B(n + m, p)
故η的密度函数为 1 p( y) = F′( y) = 2 π(1+ y )
例2的解
概率论 随机变量的函数及其分布
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , 0 y , pY ( y ) 其他 . 0，
1 [ f 1 ( y )] , 0 f 1 ( y ) 1, 其他 . 0, 1 1 , 0 ln y 1, y 其他 . 0, 1 , 1 y e, y 0, 其他 .
证 F ( x )是分布函数
0 F ( x ) 1, 且F ( x )单调不减
依题意， 又知 F ( x )严格单调增加
故 y R,
FY ( y ) P{Y y } P { F ( X ) y }
FY ( y ) P{Y y } P{ F ( X ) y } y 0, P ( ), P{ F ( X ) y }, 0 y 1, P ( ), y 1. y 0, 0, P{ X F 1 ( y )}, 0 y 1, 1, y 1.
且恒有f ( x ) 0(或恒有f ( x ) 0), 则Y f ( X )是连
续型随机变量，其概率 密度为
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , y , pY ( y ) 0, 其它. 其中 f 1 ( y ) 是 f ( x ) 的反函数, ( , )是f 1 ( y )的定义域，
y 0, 0, 0, 0 y 1, FY ( y ) ln y , 1 y e, y e. 1,
从而
d FY ( y ) pY ( y ) dy
1 , 1 y e, y 0, 其他 .
例6 设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布
随机变量及其分布
A = {ω | X(ω) ∈ L} = {X ∈ L}
也可以是等式或是不等式。 X ∈ L 也可以是等式或是不等式。
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 如在掷骰子试验中， 表示出现的点数, A=“出现偶数点”可表示为： X=2} X=4} X=6} A=“出现偶数点”可表示为：{X=2}∪ {X=4} ∪{X=6} 出现偶数点 B=“出现的点数小于４ 可表示为： 4} {X≤ B=“出现的点数小于４”可表示为：{X< 4}或{X≤3} 出现的点数小于
F(x) = P( X ≤ x)
为随机变量X的分布函数 随机变量X
F(x)是一个 F(x)是一个 普通的函数！ 值域为 值域为 ［０，１］。
定义域为 定义域为
（－∞，＋ ）； （－ ，＋∞）； ，＋
分布函数的性质
单调不减性 右连续性 非负有界性 规范性
若x1 < x2 , 则F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
2)
∑p
k =1
∞
k = 1, 2,
k
=1
设离散型随机变量X的分布律为 例3 设离散型随机变量 的分布律为 P（X= xi） = pi i = 1、2、… （ 、 、 其中 0 ＜ p ＜1 ，求 p 值。
解：
1= ∵ ∑ P ( X = xi )
i =1
+∞
p =∑p = 1 p i =1
i
一般地， 一般地，对离散型随机变量 X～P（X= xk）＝ k, k＝1, 2, … ～ （ ）＝p ＝ 其分布函数为
F ( x) = P ( X ≤ x ) =
k : xk ≤ x
∑
pk
分布律确定事件的概率 例2中，得到 的分布律为 中 得到X的分布律为
也可以是等式或是不等式。 X ∈ L 也可以是等式或是不等式。
如在掷骰子试验中，用X表示出现的点数,则 如在掷骰子试验中， 表示出现的点数, A=“出现偶数点”可表示为： X=2} X=4} X=6} A=“出现偶数点”可表示为：{X=2}∪ {X=4} ∪{X=6} 出现偶数点 B=“出现的点数小于４ 可表示为： 4} {X≤ B=“出现的点数小于４”可表示为：{X< 4}或{X≤3} 出现的点数小于
F(x) = P( X ≤ x)
为随机变量X的分布函数 随机变量X
F(x)是一个 F(x)是一个 普通的函数！ 值域为 值域为 ［０，１］。
定义域为 定义域为
（－∞，＋ ）； （－ ，＋∞）； ，＋
分布函数的性质
单调不减性 右连续性 非负有界性 规范性
若x1 < x2 , 则F ( x1 ) ≤ F ( x2 )
2)
∑p
k =1
∞
k = 1, 2,
k
=1
设离散型随机变量X的分布律为 例3 设离散型随机变量 的分布律为 P（X= xi） = pi i = 1、2、… （ 、 、 其中 0 ＜ p ＜1 ，求 p 值。
解：
1= ∵ ∑ P ( X = xi )
i =1
+∞
p =∑p = 1 p i =1
i
一般地， 一般地，对离散型随机变量 X～P（X= xk）＝ k, k＝1, 2, … ～ （ ）＝p ＝ 其分布函数为
F ( x) = P ( X ≤ x ) =
k : xk ≤ x
∑
pk
分布律确定事件的概率 例2中，得到 的分布律为 中 得到X的分布律为
随机变量的函数分布
解
因为v
g(θ)
A sin θ
在
π 2
,
π 2
上恒有
g(θ) Acosθ 0,
所以反函数为 θ h(v) arcsin v , A
h(v) 1 , A2 v2
15
又由Θ
~
U
π 2
,
π 2
,
知
Θ
的概率密度为
f
(θ
)
1 π
,
π θ π,
2
2
0, 其他.
由定理得V Asin Θ 的概率密度为
如何根据已知的随机变量 X 的分布求得随机 变量 Y f ( X ) 的分布?
2
例1 设 X 的分布律为
X 1 0 1 2 1111
p 4444 求 Y X 2 的分布律.
解 Y 的可能值为 (1)2 , 02 , 12 , 22;
即 0, 1, 4. P{Y 0} P{ X 2 0} P{ X 0}
1, 4
3
P{Y 1} P{X 2 1} P{(X 1) ( X 1)}
P{X 1} P{X 1} 1 1 1 , 44 2
P{Y 4} P{ X 2 4} P{ X 2} 1 , 4
故Y 的分布律为 Y p
014 111
424
由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法.
数的概率密度的方法.
11
定 理 设随机变量 X 的具有概率密度 fX ( x), 其 中 x , 又设函数 g( x)处处可导, 且恒有 g( x)
0 (或恒有g( x) 0), 则称Y g(Y )是连续型随机
变量, 其概率密度为
fY
(
y)
f
第六章随机变量的函数及其分布
定理1 正态分布的线性函数仍服从正态分布
设X ~ N ( , ), Y aX b(a 0), 则
2
Y ~ N (a b, (a ) )
2
推论 正态分布的标准化方法 X 2 若X ~ N ( , ), 则 ~ N (0, 1)
定理2 若随机变量X及其函数Y = g(X)的密度函 数分别为fX (x), fY (y), 且g(x)是严格单调 函数，则： fY ( y) f X [(G( y)] G( y) 其中x = G(y)为y = g(x)的反函数.
例：设(X, Y)的联合分布律为： Y 0 1 2 X 1 1 3 1 12 12 12 1 1 2 0 2 12 12 2 2 3 0 12 12 请求出：(1) X+Y的分布律； (2) X-Y的分布律； (3) X2+Y-2的分布律.
解：由(X, Y)的联合分布律可得如下表格
1 1 ( , 2) ( , 1) (3, 2) ( X , Y ) ( 1, 2) ( 1, 1) ( 1, 0) 2 2
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12 X-Y 1 0 -1 5/2 3/2 5 3
概率 1/12 1/12 3/12 2/12 1/12 2/12 2/12
X2+Y-2
-3
-2
-1
-15/4 -11/4
5
7
概率
1/12 1/12 3/12 2/12 1/12
2/12 2/12
或
两个独立随机变量的和的分布 如果X与Y相互独立，则： X P (1 ) (1) X Y P (1 2 ) Y P ( 2 )
随机变量的函数及其分布
一、二维离散型r.v.函数的分布 例1 设二维r.v. ( X, Y ) 的概率分布为 Y X -1 2 求X Y, X Y , 的概率分布.
-1
1
2
5 20 2 20 6 / 20
3 20 3 20 1 20
XY , Y X , max( X , Y )
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：
一般，若 X 是离散型 r.v ，X 的分布列为
X x1 P p1 x2 L xn p2 L p n
g ( x1 ) g ( x2 ) L g ( xn ) 则 Y=g(X) ～ p2 L pn p1
如果 g(xk) 中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
连续型随机变量函数的分布
i 1
i
设X 和Y 的联合密度为 p(x, y), 求Z=XY 的密度.
P ( Z z ) P ( XY z ) P ( X x , Y z / x ) p( x , z / x )dx | d ( z / x ) |
( z / x) p( x , z / x )dx | | dz z 1 p( x , z / x ) dx dz x
一般地，若 X 为连续型随机变量，其密度函数为 p(x)，求Y = g(X) 的概率密度。
(1)
若 g(x) 严格单调，其反函数有连续导函数，
则 Y = g(X ) 具有密度函数
p[ g ( y )] | [ g ( y )] |;
1 1
(2)
若 g(x) 在不相重叠的区间 I1, I2, … 上逐
1 pZ ( z ) p( x, z / x ) dx x
随机变量函数的分布
(296)
其中Cx{ t | g(t)x}
而P{XCx}往往可由X的分布函数FX(x)来表达或用其密
度函数fX(x)的积分来表达
P{X Cx} Cx fX (t)dt
进而 Y的密度函数 可直接从FY(x)导出
(297)
6
例228 设X是一个连续型随机变量 其分布函数F(x)是严 格单调递增的 则F(X)服从[0 1]上的均匀分布
10
(x)
FY(
x)
1 x
0(
x), x
当x0时
FY (x) P{X 2 x} P{
x
fXY
(x)
xF}Y(2x) 0(
1xx)010(,
x),
0, x 0,
x 0,
x0
(x) P{X 2 x} P{ x X
x X x} 20( x)1
x} 20(
x
) 1 fY (x)
1
e
x 2
§25 随机变量函数的分布
一、随机变量的函数 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布
1
一、随机变量的函数
随机变量的函数
如果存在一个函数g(x) 使得随机变量X Y满足
Yg(X)
(289)
则称随机变量Y是随机变量X的函数
如何从自变量X的统计规律导出其函数Yg(X)的统计规
律呢？
对任意区间(或区间的并)B 令C{x|g(x)B} 则
{YB}{g(X)B}{XC}
(290)
从而
P{YB}P{g(X)B}P{XC}
(291)
(291)说明 X的统计规律确实决定了Y的统计规律
2
例226 设X是一随机变量 且YX2 则对任意α0 有
2-1随机变量及其分布函数
7
分布函数 F(x) 的基本性质. 性质 1.1 设 F(x) 为任一分布函数，总有 0 F(x) 1 ．
性质 1.2 设 F(x) 为任一分布函数，则有
lim F(x) 0 ， lim F(x) 1 ，
x
x
简记为 F() 0 ， F () 1．
性质 1.3 设 F(x) 为任一分布函数，则 F(x) 单调不减， 即对于任意实数 x1, x2 ，当 x1 x2 时， F (x1) F (x2 ) ．
例如在抛一枚硬币 的随机试验中，令
0, “出现反面”, X 1, “出现正面”,
则 X 为随机变量．
例如：掷骰子出现的点数， 一批产品中的次品个数， 等车所需的时间等等
均为随机变量．
3
引入随机变量后，可利用随机变量的某种逻辑关系表示
随机事件．一般地，设 X 为一随机变量， L 为某实数集，则 {X L}表示一个随机事件．
0,
F
(x)
1 2
,
1,
x 0, 0 x 1,
x 1.
不难发现， F(x) 在区间 (, 0) ， (0,1) 和 (1, ) 内均连
续，而点 x 0 和 x 1均为 F(x) 的跳跃间断点．事实上，F(x) 在点 x 0 和 x 1处均右连续，而不左连续．
10
例 1.2 已知随机变量 X 的分布函数为 F(x) a b arctan x ，
P{a X b} P{X b} P{X a} F(b) F(a)
即可证得
推论 1.1 设 x0 为任一给定实数，则有 P{X x0} F (x0 ) F (x0 0) ．
6
【注】利用定理 1.1 和推论 1.1
P{X a} 1 F(a) ， P{X a} 1 F(a 0) ，
分布函数 F(x) 的基本性质. 性质 1.1 设 F(x) 为任一分布函数，总有 0 F(x) 1 ．
性质 1.2 设 F(x) 为任一分布函数，则有
lim F(x) 0 ， lim F(x) 1 ，
x
x
简记为 F() 0 ， F () 1．
性质 1.3 设 F(x) 为任一分布函数，则 F(x) 单调不减， 即对于任意实数 x1, x2 ，当 x1 x2 时， F (x1) F (x2 ) ．
例如在抛一枚硬币 的随机试验中，令
0, “出现反面”, X 1, “出现正面”,
则 X 为随机变量．
例如：掷骰子出现的点数， 一批产品中的次品个数， 等车所需的时间等等
均为随机变量．
3
引入随机变量后，可利用随机变量的某种逻辑关系表示
随机事件．一般地，设 X 为一随机变量， L 为某实数集，则 {X L}表示一个随机事件．
0,
F
(x)
1 2
,
1,
x 0, 0 x 1,
x 1.
不难发现， F(x) 在区间 (, 0) ， (0,1) 和 (1, ) 内均连
续，而点 x 0 和 x 1均为 F(x) 的跳跃间断点．事实上，F(x) 在点 x 0 和 x 1处均右连续，而不左连续．
10
例 1.2 已知随机变量 X 的分布函数为 F(x) a b arctan x ，
P{a X b} P{X b} P{X a} F(b) F(a)
即可证得
推论 1.1 设 x0 为任一给定实数，则有 P{X x0} F (x0 ) F (x0 0) ．
6
【注】利用定理 1.1 和推论 1.1
P{X a} 1 F(a) ， P{X a} 1 F(a 0) ，
第3.3节随机变量的函数及其分布(1)
3.3 随机变量的函数及其分布一、博雷尔函数与随机变量的函数二、单个随机变量的函数的分布律三、随机向量的函数的分布律四、随机向量的变换五、随机变量函数的独立性一、博雷尔函数与随机变量的函数1引例在实际应用问题中，有时需要研究多维随机变量的函数的概率分布. 例如，鱼雷在水下运动时，其速度的三个分量都是随机变量，若已知的联合分布，如何计算其动能的分布.,,x y z v v v ,,x y z v v v 2221()2x y z E m v v v =++2 博雷尔函数() y g x R R R B =1111设有是到上的一个映照，若对于一切中的博雷尔点集均义有定 3.3.1{:()}x g x B ∈∈11()R g x σ11其中为上的博雷尔域，则称尔测数是一元博雷（可）函 注所有的连续函数与单调函数都是博雷尔函数(,,,) n n y g x x x R R R B =11211 设有是到上的一个映照，若对于一切中的博雷尔点集均有义定 3.3.2{(,,,):(,,,)}n n nx x x g x x x B ∈∈12121 (,,,)nn n R g x x x n σ12 其中为上的博雷尔域，则称是尔测数元博雷（可）函 3 随机变量的函数(,,)()()(,,)P g x g P ξξΩΩ若是概率空间上的随机变量，而是一元博雷尔函数，则是上的随机变量.问题g =()?如何根据已知的随机变量的分布求得随机变量的分布ξηξ4 离散型随机变量的函数的分布=2.设的分布律为求的分布律ξηξξp2101-41414141例一维离散型随机变量的函数的分布g =,().如果是离散型随机变量其函数也是离散型随机变量若的分布律为ξηξξξkpkx x x 21kp p p 21g =()则的分布律为ηξk k g x p (),.若中有值相同的应将相应的合并g =()ηξkp k g x g x g x 12()()()k p p p 21二维离散型随机变量函数的分布ξη12--1-21312312112101211221220122(,)设随机变量的分布律为ξη例+-(1),(2).求的分布律ηξξη结论的联合分布律为若二维离散型随机变量i j ij P x y p i j ===={,},,1,2,ξη g =(,)则随机变量函数的分布律为ψξηk k P z P g z ==={}{(,)}ψξη k i j ij z g x y p k ===∑()1,2,.例设相互独立的两个随机变量x与h具有同一分布律,且x的分布律为ξP1 05.0 5.0=:max(,).试求的分布律ζξη卷积公式k k a b =+{}{}, 设与是相互独立的随机变量，它们非负整数值，其概率分别为与，则的分布律为ξηζξηζr r r r c P r P r P r P r a b a b a b -=====+==-++===+++0110{}{0,}{1,1}{,0} ζξηξηξη称此计算公式为离散卷积公式例设且相互独立，求的分布律。
高等数学3.3 随机变量及其函数分布
注 (1) 以上结论必须在 X 与 Y 相互独立的前提下 才能成立, 否则无此结论 . (2) 结论可推广到 n 个相互独立随机变量的情况 .
即设 X 1 , X 2 , … , X n 是 n 个相互独立的
随机变量, 它们的分布函数分别为
FXi ( xi ) (i = 1, 2, , n ) , 则
X Z= 的分布函数为 Y
FZ ( z ) = P Z z =
=
从而有
x z y
f ( x, y ) dxdy
0
0
zy
f ( x, y ) dxdy +
zy
f ( x, y ) dxdy .
fZ (z) =
0
y f ( zy, y )dy +
0
( y ) f ( zy, y )dy
于是
FZ ( z ) =
z
f ( u y, y ) dudy
= f (u y, y )dy du , z
故 Z 的密度函数为
fZ (z) =
f ( z y, y )dy ,
由 X 与Y 的对称性知, f Z ( z )又可写成
z
z =1/y
0 zy 1 , 0 y 1 . 如图所示
1
O
1
y
于是有
(1) 0 z 1 时 , (2) z 1 时 ,
于是得
1 f Z ( z ) = ydy = ; 0 2 1 1 z f Z ( z ) = ydy = 2 . 0 2z
随机变量函数的分布
1 1 2
三、连续型随机变量函数的分布 一般 地，连续型随机变量的函数不一定是连续型随 机变量， 但我们主要讨论连续型随机变量的函数还 是连续型随机变量的情形， 此时我们不仅希望求出 随机变量函数的分布函数， 而且还希望求出其概率 密度函数. 设已知 X 的分布函数 FX ( x ) 或概率密度函数 f X ( x ), 则随机变量函数 Y g( X ) 的分布函数
1 y b fX ( ). k k
例
设X ~ N ( , 2 ), Y aX b,(a, b为常数, 且a 0), 则Y ~ N (a b, a 2 2 ).
f X ( x)
1 2
1
e
( x )2 2 2
,( x )
1 2 a
2
P{Y x } P{ X 2 x } P{ X x } P{ X x }.
完
二、离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量， 其概率分布已知。 Y g( X )为X的函数.
若X 为D.r .v.
问题
Y g( X ) 为D.r .v .
如何根据随机变量 X 的分布 求得随机变量 Y g( X )的分布 ?
一、随机变量的函数 主要 我们讨论变量间的函数关系时， 在微积分中， 注： 研究函数关系的确定性特征， 例如： 导数、积分等. 而 在概率论中，我们主要研究的是随机变量函数的随机
即由自变量 X 的统计规律性出发研究因变量 Y 特征，
的统计性规律. 一般地， 对任意区间 I , 令 C { x | g( x ) I }, 则
( y ( a b ))2 2 a 2 2
1 yb 1 fY ( y ) fX ( ) k k a
3-1-随机变量及分布函数
P ( a b ) F ( b ) F ( a 0)
概率论-第三章
0 x0 2010年考研题 1 设随机变量X的分布函数为F ( x ) 2 0 x 1 x 求P ( X 1) 1 e x1
解
P ( X 1) P ? ( X 1) P ( X 1)
( ) 称为是样本空间 上的(实值)随机变量，称
F ( x ) P ( ( ) x ) , x (, )
是随机变量 ( )的分布函数
注意： F(x)
是一个普通 概率论-第三章 的函数！
作业 186页 1,7
分布函数的性质
(1) 单调性 若x1 x2 , 则F ( x1 ) F ( x2 )
注意： 离散
型用分布列简 单
概率论-第三章
F ( x 0) F ( x ) P ( x )
事件的概率均可以用分 布函数F ( x )表示
必须记住， P ( b) F (b 0) 考研常考！ P ( b) 1 F (b 0) P ( b) P( b) P( b) F ( b ) F ( b 0) P (a b) F ( b ) F ( a )
1 1 1 1 e e 2 2
1
注意：随机变量为混合型
概率论-第三章
设F1 ( x )与F2 ( x ) 分别为任意两个随机变量分布函数，
B 中”这一事件为 B , 则上述等可能 无关”.如果记”落入
l d c B •104页意味着 P ( B ) 几何概 ba ba 率 如果投在 [a , b]中的点的坐标为 (a b) ,令 ( ) (a b) ( )为随机变量 显然它的可能取值充满整个区间 [a , b .] •不是离 如何描述 ( )的统计规律性？ 散型随
随机变量及其分布函数
试说明F(x)能否作为某个随机变量X的 分布函数．
3）引进分布函数 F ( x ) 后，事件的概率 可以用 F ( x ) 的函数值来表示。
(1) P{ X b} F (b)
( 2) P{a X b} P{ X b} P{ X a } F (b) F (a )
(3) P{ X b} 1 P{ X b} 1 F (b)
随机变量
离散型
可能值为离散可列个点， 如，次品数
连续型 可能值为某个区间， 如，年降水量
练习1：设随机变量X的分布律为:
X pk -1 0.3 0 0.2 2 0.5
求X的分布函数 F ( x ),并作图 . 练习2：设有函数
sinx, 0 x F ( x) 0, 其他
（2）随机变量取任意一个数值或取任何数值范围内 的概率是多少？ 问：怎样可以描述随机变量的取值规律呢？
二. 分布函数 不妨将r.v.X 看成数轴上一个随机点的坐标 1， P{ X 1}与 1 对应 2， P{ X 2}与 2 对应
x,
x
P{ X x}与 x 对应
x
从而， P ( X x )为 x 的函数 1. 定义 分布函数
0 （ a ] b
性质 （1）有界
0 F ( x) 1
（2）单调增加 x1 x2 , 则 F ( x1 ) F ( x2 )
F ( ) lim F ( x ) 1
x
F ( ) lim F ( x ) 0
x
（3）右连续
F ( a 0) lim F ( x ) F ( a )
第二章 随 机 变 量
在上一章中，我们把随机事件看作样本空
3）引进分布函数 F ( x ) 后，事件的概率 可以用 F ( x ) 的函数值来表示。
(1) P{ X b} F (b)
( 2) P{a X b} P{ X b} P{ X a } F (b) F (a )
(3) P{ X b} 1 P{ X b} 1 F (b)
随机变量
离散型
可能值为离散可列个点， 如，次品数
连续型 可能值为某个区间， 如，年降水量
练习1：设随机变量X的分布律为:
X pk -1 0.3 0 0.2 2 0.5
求X的分布函数 F ( x ),并作图 . 练习2：设有函数
sinx, 0 x F ( x) 0, 其他
（2）随机变量取任意一个数值或取任何数值范围内 的概率是多少？ 问：怎样可以描述随机变量的取值规律呢？
二. 分布函数 不妨将r.v.X 看成数轴上一个随机点的坐标 1， P{ X 1}与 1 对应 2， P{ X 2}与 2 对应
x,
x
P{ X x}与 x 对应
x
从而， P ( X x )为 x 的函数 1. 定义 分布函数
0 （ a ] b
性质 （1）有界
0 F ( x) 1
（2）单调增加 x1 x2 , 则 F ( x1 ) F ( x2 )
F ( ) lim F ( x ) 1
x
F ( ) lim F ( x ) 0
x
（3）右连续
F ( a 0) lim F ( x ) F ( a )
第二章 随 机 变 量
在上一章中，我们把随机事件看作样本空
随机变量的函数及其分布
FY(y)=P{Y≤y}=0； 当y≥β时， FY(y)=P{Y≤y}=1； 当α<y<β时，
FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y} =P{X≤h(y)}
hy
f X x dx
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
于是得Y的概率密度
fY
(
y)
于是Y分布函数为
y, 0 y 1 其他
0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
(
y)
FY'
(
y)
1, 2y
y0
0, 其他
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
可导，则Y=g(x)的概率密度为
fY
y
f
X
h
0
y
h y
其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，
y
其他
min g , g , max g , g
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+ ∞)严 格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格 单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。 因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，
2
因此
fY
(
y)
FY(y)=P{Y≤y}=P{g(x)≤y} =P{X≤h(y)}
hy
f X x dx
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
于是得Y的概率密度
fY
(
y)
于是Y分布函数为
y, 0 y 1 其他
0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
(
y)
FY'
(
y)
1, 2y
y0
0, 其他
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从正态分布，X~N(0，1)，试求随机 变量函数Y=|X|的密度函数
可导，则Y=g(x)的概率密度为
fY
y
f
X
h
0
y
h y
其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，
y
其他
min g , g , max g , g
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+ ∞)严 格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格 单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。 因为Y=g(X)在(α，β)取值，故当y≤α时，
2
因此
fY
(
y)
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6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例: 设随机变量XN(μ，σ2),试证明X的线性函数
Y=kX+b(k≠0)也服从正态分布。
证明：X的概率密度为
f X x
1
e x 2 / 2 2
2
x
现在y=g(x)=kx+b，由这一式子解得
x=h(y)=(y-b)/k
由定理得Y=kX+b的概度密度为
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：设随机变量X服从参数λ=1的指数分布，求随机变量 函数Y=eX的密度函数
解 由于X服从参数为1的指数分布，因此其密度函数为
f
x
e
x
0
x 0; 其他
函数y=ex为一个单调增加且有一阶连续导数的函数， 其反函数 x=h(y)=lny,h’(y)=1/y
1
P(Y=20)= P(10≤X≤12
Φ (12 11) Φ (10 11)
1
1
Φ (1) Φ (1) 0.68
综合得Y的分布律为 Y -5 -1 20 p 0.16 0.16 0.68
6.2 二维随机变量的函数的分布
引言
上节的内容可推广到多维随机变量: (X1,…,Xn)为n维随机变量,Y是X1,…,Xn的函数
X-Y
-3 -2 0 1 3
P 6 / 20 2 / 20 6 / 20 3/ 20 3/ 20
故得
XY P
-2 -1 1 2 4
3/ 20 2 / 20 5 / 20 9 / 20 1/ 20
X/Y
-2 -1 1/2 1 2
P 3/ 20 2 / 20 6 / 20 6 / 20 3/ 20
例: 设(X,Y)的联合分布律为
解 当y<0时,P(X2≤y)=0 FY ( y) 0
当y≥0时,P(X2≤y)=
FY ( y)
y y
fX
(x)dx
0
y
1 dx 1,
于是Y分布函数为
y, 0 y 1 其他
0,
FY
(
y)
y,
1,
y0 0 y1
其他
因此
fY
(
y)
FY'
(
y)
1, 2y
y0
0, 其他
6.1 一维随机变量的函数及其分布
Y=g(x1, x2,…, xn)
是一维随机变量.现在的问题是如何由(X1,…,Xn) 的分布,
来求出Y 的分布.
设(X,Y)为二维随机变量, g(x,y)为二元函数，那么 Z=g(X,Y) 是一维随机变量,且由（X，Y）的分布就可 定出Z的分布.
6.2 二维随机变量的函数的分布
一、(X,Y)为二维离散型随机变量
P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05
W=0
YX 0 00
W=1 W=2
12
0.01 0.03
W=3 W=4 W=5
一、离散型随机变量
例: 设离散型随机变量X的分布律为
X -1 0 1 2 5/2 P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10
求 (1)Y=X-1; (2)Y=-2X; (3)Y=X2 的分布律
6.1 一维随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量
解: 由X的分布律可得下表
P 1/5 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 5/2 X-1 -2 -1 0 1 3/2 -2X 2 0 -2 -4 -5 X2 1 0 1 4 25/4
可导，则Y=g(x)的概率密度为
fY
y
f
X
h
0
y
h y
其中x=h(y)为y=g(x)的反函数，
y
其他
min g , g , max g , g
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
证：我们只证g(x)>0的情况。此时g(x)在(-∞,+ ∞)严
格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在(α，β)严格单
数).
6.1 一维随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量
设X为离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散 型随机变量。
X的分布律为
X x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi …
g(x)是一个已知函数，Y=g(X)是随机变量X的 函数，则随机变量Y的分布律为
Y=g(X) g(x1) g(x2) … g(xi) … P (Y=g(xi)) p1 p2 … pi …
解: (1) V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，3，4，5
P{V=0}=P{X=0,Y=0}=0；
P{V=1}=P{X=0,Y=1}+P{X=1,Y=0} +P{X=1,Y=1} =0.01+0.01+0.02=0.04；
所以V的分布律为
V 01 2 3 4 5 P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28
1, X 10;
Y
20,
10
X
12;
5,
X 12.
试求Y的分布律
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
解 P(Y=-5)= P(X>12)=1-P(X≤12)
1Φ
12 (
11 )
1
Φ
(1)
1
0.84
0.16
1
P(Y=-1)= P(X<10)
Φ (10 11) Φ (1) 1Φ (1) 1 0.84 0.16
1 yb fY ( y) k fX ( k )
y
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
即
fY
(
y)
|
1 k
|
yb 2
1
e
k 2 2
2
y(b k )2
1
1
e 2(k )2
| k | 2
y
所以 Y=kx+b~N(kμ+b , k22 )
特别，在上例中取 k=1/ , b= -μ/ 得 Y X ~ N (0,1)
6.2 二维随机变量的函数的分布
一、(X,Y)为二维离散型随机变量
例 设二维随机变量( X,Y )的概率分布为
X -1 1 2
Y
-1
5 20 2 20 6 20
2
3 20 3/ 20 1 20
求 X Y, X Y, XY,Y X 的概率分布
解 根据( X,Y )的联合分布可得如下表格：
P 5 / 20 2 / 20 6 / 20 3/ 20 3/ 20 1/ 20
( X,Y ) (-1,-1) (-1,1) (-1,-2) (2,-1) (2,1) (2,2)
X +Y -2 0 1 1 3 4
X -Y
0 -2 -3 3 1 0
XY
1 -1 2 -2 2 4
Y/X
1 -1 1/2 -2 2 1
故得
X+Y -2 0 1 3 4
P 5 / 20 2 / 20 9 / 20 3/ 20 1/ 20
P 1/10 3/10 3/10 3/10
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
设X为连续型随机变量，其概率密度函数为fx(x)， g(x)是一个已知的连续函数，Y=g(X)是随机变量X的函 数，考虑求出Y的分布函数FY(y)及密度函数fY(y).
1．一般方法 可先求出Y的分布函数FY(y)：
e 2 dx
2
因此
fY
(
y)
FY'
(
y)
2 y2 e 2, y0
0, 其他
y 0; y 0.
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，我们有下 面一般结果
2. 特殊方法
定理 设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数 g(x)单调（恒有g(x)>0 或恒有g(x)<0) ，且处处
因此
fY ( y)
f X h( y) | (h'( y)) |
1 y2
,
0,
y 1 y 1
6.1 一维随机变量的函数及其分布
二、连续型随机变量
例：假设由自动线加工的某种零件的内径（单位:mm） 服从正态分布N（11，1），内径小于10或者大于12 为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利， 销售每件不合格品则亏损，已知销售利润Y（单位：元） 与销售零件的内径X有如下关系：
二、连续型随机变量
于是得Y的概率密度
fY
(
y)
f
X
h( y)h(
0
y)
y
其他
若g(x)<0, 同理可证
fY
(
y)
f
X
h( y)
0
h(
y)
y
其他
合并两式，即得证。 若ƒ(x)在有限区间[a，b]以外等于零，则只需假
设在[a，b]上恒有g(x)>0(或恒有g(x)<0)，
此时 min{g(a) , g(b)} , max{g(a), g(b)}
6.1 一维随机变量的函数及其分布
一、离散型随机变量
注：
一般地，我们先由X的取值xi，i=1，2，…求出Y 的取值yi=g(xi)，i=1，2… ① 如果诸yi都不相同，则由P{Y=yi}=P{X=xi}可得
Y的分布律； ② 如果诸yi中有某些取值相同，则把相应的X的取值