高等代数习题集
高等代数《行列式》部分习题及解答
高等代数《行列式》部分习题及解答例1：决定以下9级排列的逆序数，从而决定它们的奇偶性： 1）.134782695；2）.217986354；3）.987654321. 答：1）. ()134782695=10τ，134782695是一个偶排列；2）. ()217986354=18τ，217986354是一个偶排列； 3）. ()987654321=36τ，987654321是一个偶排列. 例2：写出把排列12435变成排列25341的那些对换.答：()()()()()()()12154,312435214352543125341−−→−−→−−−→.例3：如果排列121...n n x x x x -的逆序数为k ，排列121...n n x x x x -的逆序数是多少？答：()112n n k --例4：按定义计算行列式： 000100201).0100000n n - 010000202).0001000n n -001002003).1000000n n-答：1）.原行列式()()()()1,1,,2,121!1!n n n n n n τ--=-=-2）.原行列式()11!.n n -=-3）.原行列式()()()1221!n n n --=-.例5：由行列式定义计算()212111321111x x x f x x x-=中4x 与3x 的系数，并说明理由. 答：()f x 的展开式中x 的4次项只有一项；2,x x x x ⋅⋅⋅故4x 的系数为2；x 的3次项也只有一项()()213411,x x x τ-⋅⋅⋅故3x 的系数为-1.例6：由111111=0111，证明：奇偶排列各半.证明：由于12n j j j 为奇排列时()()121n j j j τ- 为-1，而偶排列时为1,.设有k 个奇排列和l 个偶排列，则上述行列式()()()()12121212110.n n nnj j j j j j j j j j j j l k ττ=-+-=-=∑∑ 即奇偶排列各占一半.例7：证明1111111112222222222b cc a a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c ++++++=+++. 证明：111111111111111111122222222222222222222222.2b cc a a bac aa baa b a cab c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c b c c a a b a c a a b a a b a c a b c +++-+++++++=-++=++=+++-++++ 例8：算出行列式：121401211).00210003-；1122).321014-的全部代数余子式. 答：111213142122232431323334414243441).6,0;12,6,0;15,6,3,0;7,0,1, 2.A A A A A A A A A A A A A A A A =-====-=====-=-=====-1112132122233132332).7,12,3;6,4,1;5,5, 5.A A A A A A A A A ==-====-=-== 例9：计算下面的行列式：111121131).12254321-；11112112132).1111321112---；01214201213).135123312121035-- 答：1111111111110115011501151).= 1.011400010012012300120001---------==-=-------原式132).12-3).483-. 例10：计算下列n 级行列式： 0000001).;000000x y x y x yyx1112121222122).n nn n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------122222223).;2232222n1231110004)..02200011n n n n-----答：()()110000000000000001).11.000000000000000n n n n xy xy yx y x xy x y x y x y x yy yxxxy++=+-=+-2）.当1n =时，为11a b -；当2n =时，为()()1212a a b b --；当3n ≥时，为零.()12221000222222223).22!223200102220002n n n -==-⋅--（利用第2行（列）的特点）()()11231110001!4).1.02200211n n nn n n---+=---- （从左起，依次将前一列加到后一列） 例11：用克拉默法则解线性方程组1234123412341234232633325323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎪⎨--+=⎪⎪-+-=⎩.答：2132333270031123131d --==-≠----，所以可以用克拉默法则求解.又因16132533270;31124131d --==-----22632353270;33123431d ==---32162335270;31323141d --==----42136333570;31133134d --==----所以此线性方程组有唯一解，解为1234 1.x x x x ====例12：求12121212111222,n nnnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a ∑这里12nj j j ∑是对所有n 级排列求和.答：对每个排列12n j j j ，都有：()()121212121111112122221222121.n n nnj j j n j j j j j j nn n nnnj nj nj a a a a a a a a a a a a a a a a a a τ=- 因为在全部n 级排列中，奇偶排列个数相同，各有!2n 个.所以121212121112220n n nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =∑.例13：计算n 级行列式：12222122221212111.nnn n n nnn n nx x x x x x x x x x x x ---答：作范德蒙德行列式：1212222121111111211211111.n n n n n n n n n n nnn nn n x x x x x x x x D x x x x x x x x ++----++=将这个行列式按最后一列展开，展开式中11n n x -+的系数的()11n n++-倍就是所求行列式D ，因为()111,ji i j n D xx ≤<≤+=-∏所以()()()()11111111.nnn nji k ji k k k i j n i j n D xx x xx x ++==≤<≤+≤<≤+=---=-∑∑∏∏。
高等代数习题集
高等代数习题集##大学数学科学学院高等代数组收集2003, 4,301.设X = ,求X.2.设二次型f<x1, x2, ... , x n>是不定的,证明：存在n维向量X0,使X0'AX0= 0,其中A是该二次型的矩阵.3.设W = {f <x>| f <x> P[x]4, f <2> = 0}.a证明：W是P[x]4的子空间.b求W的维数与一组基.4.在R3中定义变换A：任意 <x1, x2, x3> R3, A<x1, x2, x3> = <2x2 + x3,x-4x2, 3x3>.11,证明：A是Rr3上线性变换,2,求A在基xi1 = <1, 0, 0>, xi2 = <0, 1, 0>, xi3 = <1, 1, 1>下的矩阵.5.设,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.6.设V是数域P上n维线性空间,A是V上可逆线性变换, W是A的不变子空间.证明：W也是A-1的不变子空间.7.设V是n维欧氏空间,A是V上变换. 若任意,V,有 <A, A> =<,>. 证明：A是V上线性变换,从而是V上正交变换.8.设X = ,求X.9.设A是奇数级的实对称矩阵,且| A| > 0, 证明：存在实n维向量X00,使X0'AX0 > 0.10.设A = , W = {|R4, A = 0}.证明：1.[1,]W是4的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.11.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> = BXC.1,证明：A是R2 x 2上线性变换..2,求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.12.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.13.设V为数域P上线性空间,A是V上线性变换, 若 <A2>-1<0> = A-1<0>,证明：V = AV.+A-1<0>.14.设V是n维欧氏空间.A是V上正交变换,W是A的不变子空间. 证明：W也是A的不变子空间.15.设X = ,求X.16.设A是奇数级的实对称矩阵,且| A| > 0, 证明：存在实n维向量X00,使X0'AX0 > 0.17.设A = , W = {|R4, A = 0}.证明：1.[1,]W是4的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.18.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> =BXC.1.[1,]证明：A是R2 x 2上线性变换..2.[2,]求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.19.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.20.设V为数域P上线性空间,A是V上线性变换, 若 <A2>-1<0> = A-1<0>,证明：V = AV.+A-1<0>.21.设V是n维欧氏空间.A是V上正交变换,W是A的不变子空间. 证明：W也是A的不变子空间.22.设X = ,求矩阵X.23.设实二次型f<x1, x2, ... , x n> = X'AX的秩是n,其中A是实对称矩阵. 证明:实二次型g<x1, x2, ... , x n> = X'A-1X与f <x1, x2, ... , x n>有相同的正负惯性指数和符号差 .24.设W = {<a1, a2, ... , a n>| a i R,a i = 0} 证明1.[1,]证明：W是R n的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.25.设B = , B = .在R2中定义变换 : 对任意X R2 x 2,X = BX + XC1.[1,]证明：是V上线性变换.2.[2,]求在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.26.设A = ,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.27.设V为数域P上n维线性空间,V1, V2为其子空间, 且V = V1V2,为V上可逆的线性变换. 证明：V = V1 + V2.28.设V为n维欧氏空间,若A既是V上对称变换且A2 = E. 证明：存在V的一组标准正交基,使得在该基下的矩阵为.29.设X = ,求矩阵X.30.设f<x1, x2, ... , x n> = X'AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果X'AX= 0当且仅当X = 0. 证明：f <x1, x2, ... , x n>的秩为n,符号差是n或- n.31.设= <1, 2, 3, 0>, = <- 1, -2, 0, 3>, = <0, 0, 1, 1>,= <1, - 2, - 1, 0>, W = {k i| k i R}.1.[1,]证明：W是Rr4的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.32.设A三维向量空间V上可逆线性变换,A在基,,下的矩阵是.1.[1,]证明：A的逆变换A-1也是V上线性变换.2.[2,]求A-1的在,,下的矩阵.33.设,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.34.设V为n维欧氏空间,若A既是V上正交变换,又是V上对称变换. 证明：A2是V上的恒等变换.35.设V为数域P上n维线性空间,W为其子空间,A为V上线性变换. 证明：维<AW> +维 <A-1<0> W> =维W.36.设X = ,求矩阵X.37.设W = {A| A R3 x 3, A' = - A}.1.[1,]证明：W是R3 x 3的一个子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.38.设实二次型f <x1, x2, ... , x n> = X'AX的秩为n, 符号差是s.证明：R中存在<n - | s|>维子空间W使任意X0W, X0'AX0 = 0.39.在R[x]3中定义变换A：任意f <x> R[x]3, A<f <x>> = xf'<x>.1.[1,]证明：A是R[x]3上线性变换.2.[2,]求A在基 1, x + 1, x2 + x + 1下的矩阵.40.设A = ,求正交矩阵T,使T'AT成对角形.41.设V为数域P上n维线性空间,A为V上线性变换.证明：维<AV> +维 <A-1<0>> =维V.42.设V为n维欧氏空间,若A是V变换,若任意,V, <A,> = <,A>. 证明：A是V上线性变换,从而为V上对称变换.43.设V = P[x]5,f <x> V ,有f <x> = <x2 - 1>q<x> + r<x>, 其中r<x>= 0或次<r<x>> < 2,1.[1,]证明：f <x> V,令A<f <x>> = r<x>,则A是V的一个线性变换;2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.44.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换,45.设A, B是n x n正定矩阵,证明：A2 + B2是正定矩阵,46.设W = {A| A = <a ij>n P n x n,a ii = 0},1.[1,]证明：W是P n x n的子空间,2.[2,]求W的维数与一组基,47.判别下述结论是否正确,并说明理由,1.[1,]若n x n矩阵A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补,则V= W W, 48.设A为n维欧氏空间V的线性变换, 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量,49.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换,若AB= BA,并且A有n个互异的特征值, 证明：A, B有n个线性无关的公共的特征向量.50.求矩阵A = 的特征值和特征向量.51.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 +5x1x2 -3x2x3的标准型,并写出所用的非退化的线性替换.52.设V是由零多项式和数域上次数小于3的一元多项式的全体组成的P上线性空间.对于任意的f <x> V,定义<f <x>> = f'<x> - f''<x>.证明1.[1,]证明：是V的线性变换.2.[2,]求在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵.53.设V是一个欧氏空间, ,V.证明: || = || < + , -> = 054.设W = {f <x>| f <x> P[x]4, f <2> = 0}.1.[1,]证明：W是P[x]4的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.55.设A为线性空间V上线性变换.证明：A是可逆的线性变换的充要条件是A的特征值一定不等于零.56.设A为n x n实矩阵, A = A', A3 = E n证明：A = E n .57.设X = ,求矩阵X.58.在Rr3中定义线性变换A：<a1, a2, a3> R3, A<a1, a2, a3> = <2a2 +a, a1 -4a2, 3a1>.求在基 {<1, 0, 0>,<1, 1, 0>,<1, 1, 1>}下的矩阵.359.用正交线性替换化二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形60.设V为数域P上n维线性空间,A是V的一个可逆线性变换, W是A子空间.证明：W也是A-1-子空间.61.设A是正定矩阵,证明：A-1, A2都是正定矩阵.62.设V为数域P上n维线性空间,A是V的线性变换,且kerA= kerA2.证明：V = kerA AV.63.设V为n维欧氏空间,A是V上对称变换,且A2 = E. 证明：存在V的一标准正交基,使A在该基下的矩阵是.64.设B P2 x 2,1.[1,]证明：A<X> = BX - XB,X P2 x 2是P2 x 2上一个线性变换；2.[2,]当B = 时,求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵.65.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换.66.设W1= | x, y, z P, W2 = | A,b, c P都是P2 x 2的子空间.1.[1,]求W1W2的维数和一组基；2.[2,]求W1 + W2的维数.67.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]设A是P上n维线性空间V的线性变换,若A有n个不同特征值,则A在某基下的矩阵是对角形.68.判别实二次型f <x1, x2, x3> = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是不是正定的？并说明理由.69.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换. 若A有n个互异的特征值,且A的特征向量都是B的特征向量, 证明：AB = BA.70.设A, B是n阶实对称矩阵,且B是正交矩阵.证明：存在n x n实可逆矩阵T,使T'AT与T'BT同时为对角形.71.设X = ,求矩阵X.72.设B, C = ,在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A<X> = BXC.1.[1,]证明：A是R2 x 2上线性变换.2.[2,]求A在基E11, E12, E23, E22下的矩阵.73.用正交线性替换,化实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形.74.设W = {<a1, a2, ... , a n>| A i Rn, a1 + a2 + ... + a n = 0}.1.[1,]证明：W是Rn的子空间.2.[2,]求W的维数与一组基.75.设V为数域P上n维线性空间,V1, V2为V的两子空间, 且V =V1V2, A是V上可逆线性变换.证明：V = AV1AV2.76.设V是一个欧氏空间, ,V, 证明： || = || + , -> = 0.77.设A是欧氏空间V的一个正交变换, 证明：A的不变子空间的正交补也是A的不变子空间.78.设V = P2 x 2, B V,<1>证明：变换A：X BX - XB是V上一个线性变换；<2>当B = 时,求A在基E ij下的矩阵.79.求f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 -6x2x3的标准形, 并给出所用的非退化线性替换P.80.求k为何值时f<x1, x2, x3> = x12 + <k + 2>x22 + kx32 +2x1x2-2x1x3 -4x2x3是正定的.81.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]设A是P上n维线性空间V的线性变换,若A有n个不同特征值,则A在某基下的矩阵是对角形.82.设W1= | x, y, z P, W2 = | A,b, c P都是P2 x 2的子空间. <1>求W1W2的维数和一组基；<2>求W1+W2的维数.83.设A = ,1.[1,]求A的特征值与特征向量；2.[2,]A是否相似于对角形,为什么？84.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换. 若A有n个互异的特征值,且A的特征向量都是B的特征向量, 证明：AB = BA.85.设A, B是n阶实矩阵,且B是正定矩阵.证明：存在实可逆矩阵P, 使P T AP与P T BP同时为对角形.86.设V = P2 x 2, B V,1.[1,]证明：变换A：X BX,是V上一个线性变换；2.[2,]当B = 时,求A在基E ij下的矩阵.87.求f <x1, x2, x3> = x1x2 + x1x3 + x2x3的标准形, 并给出所用的非退化线性替换.88.f <x1, x2, x3> = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是否正定.为什么？89.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A, B P n x n,若A与B相似,则A, B有相同特征多项式；2.[2,]设A是n维线性空间V的线性变换,若A在某基下的矩阵是对角形, 则A有n个互异特征值.90.设= <1, 0, 1, 1>, = <1, -1, 1, 2>, beta1 = <1, -1, 0, 1>,= <0, 1, 0, 1>, W1 = L<,>,W2 = L<,>.1.[1,]求W1 + W2的维数和一组基；2.[2,]求W1W2的维数.91.设A = ,1.[1,]求A的特征值与特征向量；2.[2,]A是否相似于一个对角矩阵,为什么？92.设A是实对称矩阵,并且A3 = E n.证明：A = E n.93.设A, B是数域上n维线性空间V的两线性变换.若AB = BA,并且A有n个互异的特征值. 证明：A, B有n个线性无关的公共特征向量.94.设V= P[x]5,f<x> V, A<f<x>> = r<x>, 其中f<x> = <x3- 1>q<x>+ r<x>, r<x> = 0或次<r<x>> < 3.1.[1,]证明：变换A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.95.设A =求正交矩阵T使T'AT为对角形.96.设A, B是n x n正定矩阵,证明：A2 + B2是正定矩阵.97.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]设A是n维线性空间V的线性变换,则V = AV kerA；2.[2,]设V为欧氏空间,A是V的一个对称线性变换, ,是A之属不同特征值下的特征向量,则,98.设,是上n维线性空间V的线性变换, W既是-不变子空间,也是-不变子空间.证明:1.[1,]W是+ ,-不变子空间；2.[2,]若是可逆的,则W是-不变子空间,99.设W = {A n x n| TrA = 0}, <其中TrA表示A的主对角线元素的和>.1.[1,]证明：W是一个子空间；2.[2,]求W的维数和一组基.100.设A = 可逆,其中A1P m x n, W i = {A i X = 0} 之解空间,证明：P n = W1W2.101.设A在基,,下的矩阵是A =求在基= 2 +3 + , = 3 +4 + , =+2 +2下的矩阵.102.设A =求A的特征值,特征向量.A是否相似于对角矩阵？103.设A正定矩阵,证明：A*也正定.104.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]n级实矩阵A是负定的充要条件是A的顺序主子式全小于0；2.[2,]n维欧氏空间V之正交变换把V的正交基变成正交基. 105.设是A之属的特征向量, g<x> = a k x k P[x],证明：是g<A>之属g<>的特征向量.106.设A是n维线性空间V的线性变换,证明下述等价.1.[1,]A可逆；2.[2,] kerA = {0}；3.[3,]A将V的基变成基.107.设X T AX是实二次矩阵,X T BX是正定二次矩阵,其中A, B是对称矩阵, 则存在非退化线性替换X = PY把它们同时变换成标准形.108.设V = P[x]5,f <x> V, A<f <x>> = r<x>, 其中f <x> = <x2 -1>q<x> + r<x>,r<x> = 0或次<r<x> < 2>.1.[1,]证明：变换A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.109.用正交线性替换,把实二次型f <x1, x2, x3> = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形, 并求所用的正交线性替换.110.设A, B是正定矩阵,证明：A + B,A-1都是正定矩阵.111.判别下述结论是否正确,并说明理由.1.[1,]若数域P上n阶矩阵A, B有相同特征多项式,则A与B相似；2.[2,]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补,则V= W W.112.设V1, V2, V3V是有限维子空间,证明：dimV1 + dimV2 + dimV3 = dim<V+ V2 + V3> + dim<V3<V1 + V2>> + dim<V1 + V2>.1113.设A为n维欧氏空间V的线性变换, 证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量.114.设A是n维欧氏空间的一个线性变换, <,>是V的内积.证明：<A<>, A<>>是V的内积A可逆.115.设A = ,求A的逆矩阵.116.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 +5x1x2 -3x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.117.设A= ,求A的所有特征值,特征向量.A是否相似于一个对角矩阵,为什么？118.设A是P上n x n矩阵, W = {f <x> P[x]| f <A> = 0}. 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间.119.设= <1, 2, 1, 0>, = <- 1, 1, 1, 1>, = <2, -1, 0, 1>, = <1, - 1, 3, 7>,求L<,> + L<,>与L<,>L<,> 的维数.120.设V是一个欧氏空间, ,V, 证明： || = || < +, - > = 0.121.设A是n x n实矩阵,证明：A'A是半正定矩阵.122.设A是欧氏空间的一个实对称变换.证明：若A4 = 0,则A = 0.123.设A = ,求A的逆矩阵.124.求二次型f <x1, x2, x3> = 3x12 -5x1x2 +2x1x3 - x32的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.125.设A= ,求A的最小的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.126.设A是P上n x n矩阵, W = {f <A>| f <x> P[x]}. 证明：W 关于通常的加与数乘是一个线性空间.127.设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间,对B V,令A<B> =,其中B'是B的转置.1.[1,]证明：A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基,,,下的矩阵.128.设V是欧氏空间, ,V.证明： <,> = | + |2 - | - |2.129.设A是3 x 3矩阵.若1, 1, - 2是A的特征值,求A2 +2A - 3E3的行列式.130.设A是n x n实对称矩阵.证明：若A3是半正定矩阵,则A是半正定矩阵.131.求矩阵X,使X = . 132.求二次型f <x1, x2, x3> = x12 -6x1x2 +4x1x3 -7x22 + x32的一个标准形, 并写出所有的非退化的线性替换.133.设A= ,求A的最大的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.134.设A是一个p上n x n矩阵,W是所有形为AB<其中B是n x m矩阵>全体所成的集. 证明：W关于通常的加与数乘是一个P上的线性空间. 135.设V是由零多项式和P上次数小于3的一元多项式的全体组成的P 上的线性空间. 对于f <x> V,令A<f <x>> = f'<x> - f''<x>.1.[1,]证明：变换A是一个线性变换.2.[2,]求A在基 {1, x + 1, x2 - x}下的矩阵.136.设V是欧氏空间, ,V.证明：若 | + |2= ||2+ ||2,则与正交.137.设A, B都是n x n正定矩阵.证明：A + B也是正定矩阵. 138.设A是n x n实对称矩阵.证明：若A5 = E n,则A = E n.139.设A = ,求A的逆矩阵.140.求二次型f <x1, x2, x3> = 2x12 + x22 -4x1x2 -4x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.141.设A = ,求A的最小的特征值,并求属于该特征值的全体特征向量.142.设V是欧氏空间,W是V上所有对称变换组成的集合. 证明：W关于通常的加与数乘是一个R上的线性空间.143.设V是P上2 x 2矩阵全体组成的一个线性空间,对B V,令A<B> =B.1.[1,]证明：A是V的一个线性变换.2.[2,]求A在基,,,下的矩阵.144.设V是一个欧氏空间, ,V.证明：若与正交,则 | +|2 - | - |2 = 0.145.设A是n x n矩阵.证明：若0是A的一个特征值,则A不是可逆的.146.设A是n x n实对称矩阵.是A的最大特征值. 证明： < +1>E n - A是正定矩阵.147.求矩阵X,使X = .148.求二次型f <x1, x2, x3> = 2x12 +5x22 +5x32 +4x1x2 -4x1x3 -8x2x3的一个标准形, 并写出所用的非退化的线性替换.149.设A= ,求A的全体实的特征值,并求属于这些特征值的全体特征向量.150.设W = {f <x> P[x]| f <1> = 0}. 证明：W关于通常的加与数乘是一个上P的线性空间.151.设= <1, 2, -1, -2>, = <3, 1, 1, 1>, = <- 1, 0, 1, -1>, = <2, 5, -6, 5>, = <- 1, 2, - 7, - 3>,求L<,,>+ L<,>与L<,,> L<,> 的维数.152.设V是一个欧氏空间, ,V.证明： | + |2+ | - |2=2||2 +2||2.153.设A是3 x 3矩阵.若1, - 1, - 2是A的特征值,求A2 -3A - 10E3的行列式.154.设A是一个n x n实对称矩阵.如果对任意n维列向量〔视为n x 1矩阵〕, 有 <A,> > 0.证明：A是正定矩阵.155.计算向量组, = , = , = , = 的秩.156.计算行列式：.157.求下列线性方程组的一个基础解系和解集.158.证明：如果x1,则= - .159.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f2<x> + 3f <x>g<x> + g3<x>与 4f3<x>g<x>互素.160.设f <x> R[x].证明：如果f <x>在R中有根,则f <x3>在R中有根.161.已知,, ... ,与,, ... ,有相同的秩, 证明：,, ... ,与,, ... ,等价.162.计算向量组, = , = , =, = 的秩.163.计算行列式：.164.求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集item 证明：= a n x n + a n-1x n-1 + ... a1x + a0.165.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f<x> + g3<x>与 <f <x>g<x>>2互素.166.设f <x> R[x].证明：如果f <x>有正根,则f <<x - 1><x - 2>>在R中有根.167.设,, ... ,一组n维向量,如果单位向量,, ... ,可被它们线性表出, 证明：,, ... ,线性无关.168.计算矩阵的A秩, A = .169.计算行列式：.170.求下列线性方程组的导出组的一个基础解系和解集.= <n + a n>a1a2 ... a n-1.172.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f3<x> - 2f <x>g<x> + g2<x>与f2<x>g<x>互素.173.设f <x>, g<x> P[x].证明：如果g<x>次数大于0,f <x>有重因式, 证明：f <g<x>>有重因式.174.已知向量组,, ... ,的秩是r, ,, ... ,是它的一个部分组. 证明：如果,, ... ,线性无关, 则,, ... ,是,, ... ,的一个极大线性无关组.175.计算矩阵的A秩, A = .176.计算行列式：.177.求下列线性方程组的一个基础解系.= <- 1>n<n + 1>a1a2 ... a n.179.设f<x>, g<x> P[x],证明：f<x>与g<x>互素的充要条件是f3<x> + g2<x>与f <x>g3<x>互素.180.设f <x> C[x].证明：如果1是f <x>的一个根,则= +i是f <x3>的一个根.181.已知向量组,, ... ,的秩是r, ,, ... ,是它的一个部分组. 证明：如果,, ... ,线性无关, 则,, ... ,是,, ... ,的一个极大线性无关组.。
高等代数习题课_厦门大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
高等代数习题课_厦门大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.特征值全为0且秩为3的10阶方阵, 互不相似的Jordan有____种.参考答案:32.设A是n阶矩阵，且A的有理标准型只包含一个Frobenius块，下列命题中错误的是____.参考答案:A的特征值两两互异3.设n阶复方阵A的相似于对角矩阵, 则下列叙述中错误的是____.参考答案:A的任一行列式因子没有重根4.以下映射的合成的命题中，正确的有____个。
A 单射的合成还是单射 B 满射的合成还是满射C 可逆映射的合成还是可逆映射D 线性映射的合成还是线性映射参考答案:45.设A是n阶实对称矩阵，若____，则A必为正定矩阵.参考答案:A的特征值全大于零6.设φ是线性空间V到W的线性映射, 则____.参考答案:φ把V中线性相关向量组变成W中线性相关向量组7.设U, W是n维线性空间V的真子空间, 且V等于U直和W. 又设V中向量α∉U，且α∉W，记S为α生成的子空间. 则dim((U+S)∩(W+S))=____参考答案:2##%_YZPRLFH_%##28.设φ是三维行空间的变换, 下列变换中____不是线性变换.参考答案:φ(a, b, c)=(ab, bc, ac)9.设f(x), g(x)是有理系数多项式, 下列命题成立的有____个.(1) 在有理数域上f(x), g(x)互素的充要条件是在复数域上f(x), g(x)互素(2) 在有理数域上f(x)整除g(x)的充要条件是在复数域上f(x)整除g(x)(3) 在有理数域上f(x), g(x)的最大公因式是d(x)的充要条件是在复数域上f(x), g(x)的最大公因式是d(x)(4) 在有理数域上f(x), g(x)的最小公倍式是k(x)的充要条件是在复数域上f(x), g(x)的最小公倍式是k (x)参考答案:410.设A是n阶复方阵, 则____不是A可对角化的充要条件.参考答案:A有n个不变因子11.两个n阶实对称阵正交相似的充要条件是____.参考答案:它们相似12.设φ是n维线性空间V的线性变换, 若φ是单射，则φ一定是满射.参考答案:正确。
湖南省考研数学复习资料推荐高等代数习题集
湖南省考研数学复习资料推荐高等代数习题集湖南省考研数学复习资料推荐——高等代数习题集高等代数是湖南省考研数学科目中的重要一部分，对于考生来说，掌握高等代数的基本理论和解题技巧至关重要。
在复习过程中，一本优质的高等代数习题集，既可以帮助考生巩固知识点，又能够检验自己的学习成果。
本文将为湖南省考研数学考生推荐几本优秀的高等代数习题集，希望能够对考生的复习备考工作有所帮助。
1.《高等代数习题集》- 王式同编著这本习题集是湖南省考研数学中较为经典的一本教辅资料。
它包含了高等代数的各个知识点，习题难度适中，涵盖了基本概念、性质和解题方法。
作者编著的习题旨在考察学生对高等代数知识点的掌握程度，有助于考生训练解题的思维方式和技巧。
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2.《高等代数习题集与指南》- 李鸣与彭军编著该书是湖南省考研数学中另一本较为知名的习题集。
它从题目的选材和难度上具有一定特色，突出了高等代数中的典型问题和难点。
习题集中的部分题目相对较难，适合对高等代数有一定基础的考生进行深入练习。
此外，习题集的解析详尽，对考生进行了全面的解题指导，有助于考生巩固和拓展知识点。
3.《高等代数习题集》- 朱光编著这本习题集是湖南省考研数学中的经典教材之一，曾经多次被推荐给考生作为复习资料。
它的特点是习题分析透彻，解题方法详细，能够帮助考生理解高等代数中的重难点和解题思路，提高解题能力。
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选择一本合适的高等代数习题集进行练习对于考生来说非常重要。
本文推荐的三本习题集都得到了广大考生的认可，它们分别是《高等代数习题集》- 王式同编著、《高等代数习题集与指南》- 李鸣与彭军编著、《高等代数习题集》- 朱光编著。
这些习题集的特点是题目全面、解析详尽，对考生复习备考起到了很大的帮助。
高等代数习题
多项式习题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ B ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．整系数多项式()f x 在Z 上不可约是()f x 在Q 上不可约的( C ) 条件。
A . 充分 B . 充分必要 C .必要 D ．既不充分也不必要3．下列对于多项式的结论不正确的是（ A ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f4．最小的数域是 有理数域 。
5．设(),()[]f x g x F x ∈，若,))((,0))((m x g x f =∂=∂，则=⋅∂))()((x g x f m 。
6.求用2x -除43()25f x x x x =+-+的商式为 x 3+4x 2+8x +15 ，余式为 35 。
7．用()34g x x =+除()f x 所得的余式是函数值)34(-f 。
8. 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为()g x 。
9.设)(x f 为3次实系数多项式，则 ( B )A. )(x f 至少有一个有理根B. )(x f 至少有一个实根C. )(x f 存在一对非实共轭复根D. )(x f 有三个实根.10. 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得 。
11．多项式32()22f x x x x =+--的有理根是 -1 。
12. 设()p x 是多项式()f x 的一个(1)k k ≥重因式，那么()p x 是()f x 的导数的一个k -1重因式。
(完整版)高等代数习题集
《高等代数》试题库一、 选择题1．在[]F x 里能整除任意多项式的多项式是（ ）。
A ．零多项式B ．零次多项式C ．本原多项式D ．不可约多项式2．设()1g x x =+是6242()44f x x k x kx x =-++-的一个因式，则=k （ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．以下命题不正确的是 （ ）。
A . 若()|(),()|()f x g x f x g x 则；B .集合{|,}F a bi a b Q =+∈是数域；C .若((),'())1,()f x f x f x =则没有重因式；D ．设()'()1p x f x k -是的重因式，则()()p x f x k 是的重因式4．整系数多项式()f x 在Z 不可约是()f x 在Q 上不可约的( ) 条件。
A . 充分B . 充分必要C .必要D ．既不充分也不必要5．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）。
A .如果)()(,)()(x f x g x g x f ，那么)()(x g x f =B .如果)()(,)()(x h x f x g x f ，那么))()(()(x h x g x f ±C .如果)()(x g x f ，那么][)(x F x h ∈∀，有)()()(x h x g x fD .如果)()(,)()(x h x g x g x f ，那么)()(x h x f6． 对于“命题甲：将(1)n >级行列式D 的主对角线上元素反号, 则行列式变为D -；命题乙：对换行列式中两行的位置, 则行列式反号”有( ) 。
A .甲成立, 乙不成立；B . 甲不成立, 乙成立；C .甲, 乙均成立；D ．甲, 乙均不成立7．下面论述中, 错误的是( ) 。
A . 奇数次实系数多项式必有实根；B . 代数基本定理适用于复数域；C ．任一数域包含Q ；D ． 在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒=8．设ij D a =，ij A 为ij a 的代数余子式, 则112111222212.....................n n n n nn A A A A A A A A A =( ) 。
高等数学 高等代数习题集
第一章 多项式§1.1一元多项式的定义和运算1．设),(x f )(x g 和)(x h 是实数域上的多项式．证明：若是(6) 222)()()(x xh x xg x f +=，那么.0)()()(===x h x g x f2．求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式)(),(x g x f 和).(x h3．证明：!))...(1()1(!)1)...(1()1(!2)1(1n n x x n n x x x x x x nn---=+---+--+-§1.2 多项式的整除性1．求)(x f 被)(x g 除所得的商式和余式：( i ) ;13)(,14)(234--=--=x x x g x x x f (ii);23)(,13)(3235+-=-+-=x x x g x x x x f2．证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x3．令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F上的多项式，其中()01≠x f 且()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g4．实数q p m ,,满足什么条件时多项式12++mx x 能够整除多项式.4q px x ++5．设F 是一个数域，.F a ∈证明：a x -整除.n na x -6．考虑有理数域上多项式()()()()()(),121211nkn k nk x x x x x x f ++++++=-++这里k 和n 都是非负整数．证明：()()().11|1n k 1+++++-x x f x x k7．证明：1-dx整除1-n x 必要且只要d 整除.n§1.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式： ( i ) ()();32103,34323234-++=---+=x x x x g x x x x x f(ii)()().1)21(,1)21()42()22(2234i x i x x g i x i x i x i x x f -+-+=----+-+-+=2. 设()()()()()().,11x g x d x g x f x d x f ==证明：若()()(),),(x d x g x f =且()x f 和()x g 不全为零，则()();1),(11=x g x f 反之，若()(),1),(11=x g x f 则()x d 是()x f 与()x g 的一个最大公因式．3.令()x f 与()x g 是][x F 的多项式，而d c b a ,,,是F中的数，并且0≠-bc ad证明：()()()()()()).,(),(x g x f x dg x cf x bg x af =++4． 证明： （i ）h g f ),(是fh 和gh 的最大公因式；（ii ）),,,,(),)(,(212121212211g g f g g f f f g f g f =此处h g f ,,等都是][x F 的多项式。
【教育文档】高等代数习题集
其中 a0 , a1, , an 属于数域 F，称为数域 F上的一元多项式.
2．多项式的运算 （1）加法 设
n
n
∑ ∑ f (x) = an xn + an−1xn−1 + + a0 = ai xi , g(x) = bn xn + bn−1xn−1 + + b0 = bi xi ,
i=0
i=0
（如果二者的次数不相等，则可以在次数小的前面加一些系数为零的项）， 定义 f (x) 与
高等代数习题集
第一章 多项式
一、内容提要
§1.1 数域
数域定义
设 F是由一些复数组成的集合，其中包括 0 和 1. 如果 F中任意两数（这两个数可以相 同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是 F中的数，那么 F就称为一个数域.
§1.2 一元多项式
1． 一元多项式定义
设 n 是一非负整数. 形式表达式 an xn + an−1xn−1 + + a0 ,
d (x) ，且 d (x) 可以表示成 f (x), g(x) 的一个组合，即有 F[x] 中多项式 u(x), v(x) 使
d(x) = u(x) f (x) + v(x)g(x) .
4． 互素定义
设 f (x), g(x) ∈ F[x]，若 ( f (x), g(x)) = 1，则称 f (x) 与 g(x) 互素.
（5）若 ( f (x), g1(x)) = 1, ( f (x), g2 (x)) = 1，则 ( f (x), g1(x)g2 (x)) = 1.
-3-
高等代数习题集
§1.5 因式分解定理
z f (x) | f (x) ；
高等代数习题线性变换
所以 α + β ∈ W 。 (σ − λ ) n (kα ) = k ((σ − λ ) n α ) = 0 ， 所以 kα ∈ W ,W 是 V 的子空间。 又对于 α ∈ W (σ − λ ) n (σα ) = σ (σ − x ) n (α ) = σ (0) = 0
∴σ (α ) ∈ W
= ( 2 x1 + x2 − x3 , x2 , x3 ) 。 (σ − τ )( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1, x 2 , x3 ) − τ ( x1, x2 , x3 )
= ( x1 , x 2 , x1 + x 2 ) − ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 )
２
即 λE − B ( A − tE) = λE − ( A − tE) B ，也就是 ( λE − BA) + tB = ( λE − AB) + tB ，对 于每一个固定的 λ 值，上式两端是两个关于 t 的次数不超过 n 的多项式。当 t > t 0 时，它们的值相等，由于 t 的个数大于 n ，所以上式两个关于 t 的多项式恒等，当
∴ 存在 u ( x ), v( x ) 使 u ( x ) f1 ( x ) + v ( x ) f 2 ( x ) = 1 ，从而有
u (τ ) f1 (τ ) + v (τ ) f 2 (τ ) = ε ∀α ∈ ker( f1 (τ ))
所以 u (τ ) f 1 (τ ) = ε （因为 f 2 (τ ) = 0 ） 得 α = 0 即 ker( f 1 (τ )) = {0}
第七章 线性变换
例 1. 在向量空间 R3 中，线性变换σ, τ 如下： σ (x1 , x2 , x3 )＝(x1 , x2 , x1 ＋x 2 ) τ (x 1 , x2 , x 3 )＝(x 1 ＋x2 －x 3 , 0, x3 －x 1 －x2 ) (1) 求στ, τσ, σ2 ； (2) 求σ＋τ, σ －τ, 2σ。 解: (1) στ ( x1, x2 , x3 ) = σ ( x1 + x2 − x3 ,0, x3 − x1 − x2 ) = ( x1 + x2 − x3 , 0, x1 + x2 − x3 ) = τ ( x1, x2 , x3 ) ,∴ στ = τ . τσ ( x1, x2 , x3 ) = τ ( x1 , x2 , x1 + x2 ) = (0,0,0) ,∴ τσ = 0
高等代数学习题集
高等代数学习题集一、线性方程组1. 解下列线性方程组：（1）$3x+2y=7$$2x-3y=4$（2）$2x-y+z=4$$x+3y-2z=5$$2x-y+z=1$（3）$3x+y=5$$4x-y=8$2. 通过矩阵表示以下线性方程组，并求出其解：（1）$4x+2y=6$$-2x+y=3$（2）$x-2y+3z=1$$2x+y+3z=9$$3x+2y+4z=12$（3）$x+y+z=0$$x+2y+3z=1$$x-3y+2z=2$二、矩阵运算与性质1. 计算以下矩阵的乘积：$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$2. 求下列矩阵的逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 3 \end{bmatrix}$3. 判断下列矩阵是否可逆，并求其逆矩阵：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 1 & -3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{bmatrix}$4. 求矩阵的转置：（1）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix}$三、特征值与特征向量1. 求矩阵的特征值与特征向量：$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$2. 计算以下矩阵的迹：（1）$\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$四、向量空间1. 判断向量组是否线性相关：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$2. 求以下向量组的一个极大线性无关组：（1）$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$（2）$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$五、线性变换1. 判断以下线性变换是否为一一映射：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x+y \\ 3y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y \\ y+z \\ x+z \end{bmatrix}$2. 求下列线性变换的矩阵表示：（1）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} 2x-y \\ 3x+2y \end{bmatrix}$（2）$T\left(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\right)=\begin{bmatrix} x+y+z \\ 2x+3y-z \\ 3x-2y+2z\end{bmatrix}$六、二次型1. 对以下二次型进行分类：（1）$f(x,y)=2x^2+3y^2-4xy$（2）$f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-2xy+4xz$2. 将以下二次型化为标准形：（1）$f(x,y,z)=3x^2+4y^2+2z^2+4xy+4xz-8yz$（2）$f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2-2xy+6xz$以上为《高等代数学习题集》的内容，希望对你的学习有所帮助。
高等代数和解析几何第七章(1~3习题集)线性变换和相似矩阵答案解析
第七章线性变换与相似矩阵习题7.1习题7.1.1判别下列变换是否线性变换？（1）设是线性空间中的一个固定向量，（Ⅰ），，解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。
（Ⅱ），；解：当时，显然是的线性变换；当时，有，，则，即此时不是的线性变换。
（2）在中，（Ⅰ），解：不是的线性变换。
因对于，有，，所以。
（Ⅱ）；解：是的线性变换。
设，其中，，则有，。
（3）在中，（Ⅰ），解：是的线性变换：设，则，，。
（Ⅱ），其中是中的固定数；解：是的线性变换：设，则，，。
（4）把复数域看作复数域上的线性空间，，其中是的共轭复数；解：不是线性变换。
因为取，时，有，，即。
（5）在中，设与是其中的两个固定的矩阵，，。
解：是的线性变换。
对，，有，。
习题7.1.2在中，取直角坐标系，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换，以表示空间绕轴由轴向方向旋转900的变换。
证明（表示恒等变换），，；并说明是否成立。
证明：在中任取一个向量，则根据，及的定义可知：，，；，，；，，，即，故。
因为，，所以。
因为，，所以。
因为，，所以。
习题7.1.3在中，，，证明。
证明：在中任取一多项式，有。
所以。
习题7.1.4设，是上的线性变换。
若，证明。
证明：用数学归纳法证明。
当时，有命题成立。
假设等式对成立，即。
下面证明等式对也成立。
因有，即等式对也成立，从而对任意自然数都成立。
习题7.1.5证明（1）若是上的可逆线性变换，则的逆变换唯一；（2）若，是上的可逆线性变换，则也是可逆线性变换，且。
证明：（1）设都是的逆变换，则有，。
进而。
即的逆变换唯一。
（2）因，都是上的可逆线性变换，则有，同理有由定义知是可逆线性变换，为逆变换，有唯一性得。
习题7.1.6设是上的线性变换，向量，且，，，都不是零向量，但。
证明，，，线性无关。
证明：设，依次用可得，得，而，故；同理有：，得，即得；依次类推可得，即得，进而得。
高等代数习题及答案
高等 代数试卷一、判断题（以下命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每题1 分，共 10分）1、 p( x) 若是数域 F 上的不可以约多项式，那么 p( x) 在 F 中必然没有根。
（）2、若线性方程组的系数行列式为零，由克莱姆法规知，这个线性方程组必然是无解的。
（ ）3、实二次型 f (x 1 , x 2 , , x n ) 正定的充要条件是它的符号差为 n 。
（ ）4、 Wx 1 , x 2 , x 3 x iR, i 1,2,3; x 1x 2x 3 是线性空间 R 3 的一个子空间。
（）5、数域 F 上的每一个线性空间都有基和维数。
（ ） 6、两个 n 元实二次型能够用满秩线性变换互相转变的充要条件是它们有相同的正惯性指 数和负惯性指数。
（ ） 7、零变换和单位变换都是数乘变换。
（ ） 8、线性变换的属于特色根0 的特色向量只有有限个。
（ ）9、欧氏空间 V 上的线性变换 是对称变换的充要条件为关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。
（ ）nn10、若1, 2,, n 是欧氏空间 V 的标准正交基，且xi i，那么x i 2 。
i 1i 1（ ）二、单项选择题（从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后边的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每题1 分，共 10 分） 1、关于多项式的最大公因式的以下命题中，错误的选项是（ ） ① f n x , g n x f x , g x n ；② f 1 , f 2 , , f n1f i , f j 1, ij ,i , j 1,2,, n ；③ f x , g x f x g x , g x ；④若 f x , g x1f xg x , f xg x1 。
2、设 D 是一个 n 阶行列式，那么（ ）①行列式与它的转置行列式相等；② D 中两行互换，则行列式不变符号； ③若 D 0 ，则 D 中必有一行全部是零； ④若 D 0 ，则 D 中必有两行成比率。
高等代数(下)_习题集(含答案)
《高等代数（下）》课程习题集一、填空题1 1. 若31x -整除()f x ，则(1)f =( )。
2. 如果24211()|x A x B x -++，则A =（ ），B =（ ）。
3. 多项式)(),(x g x f 互素的充要条件是 .4. 多项式)(x f 没有重因式的充要条件是5. )(x p 为不可约多项式，)(x f 为任意多项式，若1))(),((≠x f x p ，则 。
6. 如果方阵A 的行列式0=A ，则A 的行向量组线性（ ）关。
7. 设m ααα,,,21 是一组n 维向量，如果nm >.，则这组向量线性（ ）关8. 如果齐次线性方程组0=AX有非零解，则A 的列向量组线性（ ）关9. 设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=403212221A ，11k α⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若αA 与α线性相关，则=α（ ）10. 向量α线性无关的充要条件是（ ）11. 每一列元素之和为零的n 阶行列式D 的值等于（ ）。
12. 设行列式014900716=--k ，则=k （ ）13. 行列式2235007425120403---的元素43a 的代数余子式的值为（ ）14. 设A 为3阶矩阵，51=A ，则12--A=（ ）15. 设A 为4级方阵，3-=A ，则=A 2（ ）16. 已知：s ααα,,,21 是n 元齐次线性方程组0=Ax的基础解系，则系数矩阵A 的秩=)(A R （ ）17. 设00A XC ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，已知11,A C --存在，求1X-等于（ ）18. 已知1211A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1121B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且3A B C A B +=+，则矩阵C =（ ）。
19. 若A 为方阵，则A 可逆的充要条件是——（ ）。
20. 设A 为3级方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且31=A ，则=--1*A A （ ）。
21. 线性空间 V 的变换A 如果满足条件 ，则称A 为线性变换。
《高等代数》习题与参考答案
《高等代数》习题与参考答案数学系第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β,在n R 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间； 2) 求单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵；3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。
解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数，且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =， (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =，(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+， (4) ∑='A =ji j i ijy x a,),(αααα，由于A 是正定矩阵，因此∑ji j i ij y x a,是正定而次型，从而0),(≥αα，且仅当0=α时有0),(=αα。
2)设单位向量)0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε，的度量矩阵为)(ij b B =，则)0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a aa a a a a a ΛM O MM ΛΛ212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛M M =ij a ，),,2,1,(n j i Λ=， 因此有B A =。
4) 由定义，知∑=ji ji ij y x a ,),(βα，α==β==故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义)，设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β， 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β， 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。
《高等代数》第三章习题及答案
习题3.1计算下列行列式：①5312--+a a ②212313121+----a a a解 ①5312--+a a =(a+2)(a-5)+3=a 2-3a-7②212313121+----a a a =(a-1)(a-1)(a+2)-3-12+2(a-1)-3(a-1)+6(a+2)= a 3+2a习题3.2求从大到小的n 阶排列(n n-1 … 2 1)的逆序数． 解 τ(n n-1 … 2 1)=(n-1)+(n-2)+…+1+0=2)1(-n n 习题3.31.在6阶行列式中，项a 23a 31a 42a 56a 14a 65和项a 32a 43a 14a 51a 66a 25应各带有什么符号？解 因为a 23a 31a 42a 56a 14a 65=a 14a 23a 31a 42a 56a 65，而τ(4 3 1 2 6 5)=3+2+0+0+1+0=6，所以项a 23a 31a 42a 56a 14a 65带有正号．又因为项a 32a 43a 14a 51a 66a 25=a 14a 25a 32a 43a 51a 66，而τ(4 5 2 3 1 6)=3+3+1+1+0+0=8，所以项a 32a 43a 14a 51a 66a 25带有正号． 2.计算：000400010002000300050000 解 因为a 15a 24a 33a 42a 51的逆序数为τ(5 4 3 2 1)=5×4/2=10，带有正号，所以000400010002000300050000=5×3×2×1×4=120 习题3.4计算：6217213424435431014327427246-解 6217213424435431014327427246-=6211003424431001014327100246-=100×621134244*********1246-=-294×105习题3.51.计算下列行列式：①1723621431524021----- ②6234352724135342------解 ①1723621431524021-----=1374310294111120001------=137410291111-----=-726②6234352724135342------=1035732130010313410------=0105731331310---- =05723133710----=-5×72337--=-1002. 计算下列n 阶行列式（n ≥2）：①ab ba b a b a 000000000000 ②1210010010011110-n a a a③n n n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+④111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n n n n --------- 解 ① n n a b b a b a b a ⨯000000000000=)1()1(00000000000-⨯-⨯n n a b a b a b a a+)1()1(1000000000000)1(-⨯-+⨯-n n n b a b b ab b=a n+(-1)n+1b n② D n =1210010*********-n a a a=a n-1×D n-1+(-1)n+1×)1)(1(2100000000001111---n n n a a= a n-1D n-1+(-1)n+1×(-1)1+(n-1)×)2)(2(232100000000----n n n n a a a a=a n-1D n-1-a 1a 2…a n-2=a n-1(a n-2D n-2-a 1a 2…a n-3)-a 1a 2…a n-2 =a n-1a n-2D n-2-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 …= a n-1a n-2…a 2D 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2= a n-1a n-2…a 21110a -a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2=-a n-1a n-2…a 2-a n-1a n-2…a 3a 1-…-a n-1a n-2a 1a 2…a n-4-a n-1a 1a 2…a n-3-a 1a 2…a n-2 =-∑---11211)...(n i in a a a a ③ D n =nn n n x x x x x x a a a a x a 1322113211000000000-----+=112111...)1()1(---++-⨯-n n n n n n D x x x x a =a n x 1x 2…x n-1+x n D n-1=a n x 1x 2…x n-1+x n (a n-1x 1x 2…x n-2+x n-1D n-2) =a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+x n x n-1D n-2 …=a n x 1x 2…x n-1+x n a n-1x 1x 2…x n-2+…+x n x n-1…x 4a 3x 1x 2+x n x n-1…x 4x 3D 2=a n x 1x 2...x n-1+x n a n-1x 1x 2...x n-2+...+x n x n-1...x 4a 3x 1x 2+x n x n-1...x 4x 3[(a 1+x 1)x 2+a 2x 1] =)( (1)1121121∑=+--+ni n i i i n n x x a xx x x x x x④D n+1=111)()1()()1()()1(111n a a a n a a a n a a a n n n nn n ---------=nn n n n n n n a a a n a a a n a a a )1()1()()1()()1(111)1(1112)1(----------+=)1()]}1([)2)(1)]{(()2)(1[()1(2)1(---------+ n n n n=2!3!...n!3.计算下列n 阶行列式（n ≥1）：①n a a a a ++++1111111111111111321②ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n nn ----- 321321321321解 ① D n =na a a a ++++1111111111111111321=na a a a +++++++11110111*********11321=1111111111111111321a a a ++++na a a a111011101110111321+++ =110010010321a a a +1-n n D a =a n D n-1-a 1a 2…a n-1=a n (a n-1D n-2-a 1a 2…a n-2)-a 1a 2…a n-1 =a n a n-1D n-2-a n a 1a 2…a n-2-a 1a 2…a n-1 =n ni n i i a a a a a aa 211111)(+∑=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑=ni i n a a a a 12111 (a i ≠0) ②D n =a x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -----321321321321=ax x x x x a x x x x a x a x x x x x a x n n n n -+-+--+- 321321321321000=n n n n x x x x x a x x x x a x a x x x x x a x 321321321321----+ax x x a x x x a x a x x x x a x -----321321321321000 =x n (-a)n-1(x 1+x 2+…+x n )+(-a)n4.证明：n 阶行列式yz z x y y x z xzz zz y y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 其中z ≠y ．解 D n =xzz zzy y x z z yy y x z x y zx00--=(x-z)D n-1-(y-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y z=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(111-⨯-n n x z z y y x y yy=(x-z)D n-1-(y-x)z)1()1(10010001-⨯-----n n y x yz y z y x=(x-z)D n-1-(y-x)z(x-y)n-2=(x-z)D n-1+z(x-y)n-1即有D n =(x-z)D n-1+z(x-y)n-1(1)又D n =xzz zy y x z yy y x x z yy y y y x--=(x-y)D n-1-(z-x))1()1(-⨯-n n x zz zy y x zy y y y=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(1111-⨯-n n x z z z yy x z=(x-y)D n-1-(z-x)y)1()1(001111-⨯-----n n z x z y z y z x=(x-y)D n-1-(z-x)y(x-z)n-2即有D n =(x-y)D n-1+y(x-z)n-1(2) 联立式（1）和式（2）得yz z x y y x z xzz zzy y x z z yy y x z yy y y x nn ----=)()( 习题3.61.设A,B,P ∈Mat n ×n (F)，并且P 是可逆的，证明：如果B=P -1AP ，则|B|=|A|．证 因为|P -1||P|=1，所以|B|=|P -1AP|=|P -1||A||P|=|A|． 2*.仿照例3.6.1，试用分块初等变换，证明定理3.6.1． 证 设A ，B 都是n ×n 矩阵，则nE BA -0=B A B A A E B n n n n=-=--+)1(0)1(另一方面，对nE BA -0的第2行小块矩阵乘以A 加到第一行上去，有nE BA -0=AB E BAB n=0所以B A AB =．习题3.71.求下列矩阵的伴随矩阵和逆矩阵①⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1112 ②⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--325436752解 ①设原矩阵为A ，则A 11=-1，A 21=-1，A 12=1，A 22=2，伴随矩阵A *=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2111，|A|=-2+1=-1，所以，A -1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---211111=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2111②设原矩阵为A ，则A 11=3243--=-9+8=-1，A 21=3275---=-（-15+14）=1，A 31=4375=20-21=-1，A 12=3546--=38，A 22=3572-=-41，A 32=4672-=34， A 13=2536-=-27，A 23=2552--=29，A 33=3652=-24伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----242927344138111，|A|=-18-84+100-105+16+90=-1，所以，A -1=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------24292734413811111=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2429273441381112.证明：上三角形矩阵是可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．证 因为矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零，而上三角形矩阵的行列式等于它的主对角线上所有元的乘积，所以上三角形矩阵的行列式不为零的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零，故上三角形矩阵可逆矩阵的充分必要条件是：它的主对角线元全不为零．3.设A 是n ×n 矩阵．证明：A 是可逆的，当且仅当A *也是可逆的．证 因为 AA *=|A|E ，两边取行列式得|A||A *|=|A|n．若A 可逆，则A 的行列式|A|≠0，从而有|A *|=|A|n-1≠0，所以A *可逆．反之，若A *可逆，设A *的逆阵为(A *)-1．用反证法，假设A 不可逆，则A 的行列式|A|=0，所以AA *=|A|E=0，对AA *=0两边同时右乘(A *)-1，得A=0，从而A 的任一n-1阶子式必为零，故A *=0，这与A *可逆相矛盾，因此A 可逆． 4.证明定理3.7.2的推论1．推论1的描述：设A 是分块对角矩阵，A=diag(A 1,A 2,…,A s )，证明：A 可逆当且仅当A 1,A 2,…,A s 均可逆，并且A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．证 A 可逆，当且仅当A 的行列式|A|≠0，而|A|=|A 1||A 2|…|A s |，所以|A|≠0当且仅当|A 1|，|A 2|，…，|A s |都不为零，即A 1,A 2,…,A s 均可逆．令B=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)，则有AB=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S A A A21⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11211s A A A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛S E E E21=E 故A -1=diag(A 1-1,A 2-1,…,A s -1)．4.设A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 是实矩阵（实数域上的矩阵），且a 33=-1．证明：如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则|A|=1．证 如果A 的每一个元都等于它的代数余子式，则A 的伴随矩阵A *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =A T ．所以|A *|=|A|，又AA *=|A|E ，两边取行列式得|A|2=|A|3． 由a 33=-1，得AA *=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111a a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12313322212312111a a a a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++1232231a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛||000||000||A A A比较最后一个等式两端第3行3列的元素知|A|=a 312+a 322+1≠0，对|A|2=|A|3两边同时除以|A|2得|A|=1．6.设A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，有两个线性方程组（Ⅰ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++u x c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222212111212111)（Ⅱ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn nn n n n n n n (221122112222211211221111)如果（Ⅰ）有解．证明：当且仅当u =v 时，（Ⅱ）有解．证 设方程组（Ⅰ）的解为x 1*, x 2*,…, x n *，代入方程组（Ⅰ）得（Ⅲ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++ux c x c x c bx a x a x a b x a x a x a b x a x a x a n n n n n nnn n n n n **2*1**2*12*2*22*211*1*12*11................................................ (212)12121 当u =v 时，因为 A=(a ij )是n ×n 可逆矩阵，A 的行列式不等于零，根据克莱姆法则，方程组（Ⅱ）的前n 个方程作为一个线性方程组，它有唯一解，记该解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入方程组（Ⅱ）的前n 个方程中得（Ⅳ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++----nnn n n n nn n n n n c x a x a x a cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n nn ****2**11**1**12**112**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅳ）中第1个等式的两端同时乘以x 1*,第2个等式的两端同时乘以 x 2*,…, 第n个等式的两端同时乘以 x n *，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅲ）式，可得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=c 1x 1*+ c 2x 2*+…+ c n x n *=u由u =v ，得b 1x 1**+b 2x 2**+…+b n x n **=u即x 1**, x 2**,…, x n **也满足（Ⅱ）中最后一个方程．所以方程组（Ⅱ）有解．反之，若方程组（Ⅱ）有解，设其解为x 1**, x 2**,…, x n **，代入（Ⅱ）得到（Ⅴ）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++-vx b x b x b cx a x a x a c x a x a x a c x a x a x a n n n n n n nn n n n n ****2**11****2**12**2**22**121**1**21**11......................................................21212121 对等式组（Ⅲ）中第1个等式的两端同时乘以x 1**,第2个等式的两端同时乘以 x 2**,…,第n 个等式的两端同时乘以 x n **，然后将n 各等式的左边全部相加，也将右边全部相加，并利用（Ⅴ）式，可得c 1x 1*+c 2x 2*+…+c n x n *=b 1x 1**+ b 2x 2**+…+ b n x n **将上式左端与（Ⅴ）式中最后一个等式比较，将上式右端与（Ⅲ）式中最后一个等式比较，得 u =v ．7.设A 是n ×n 矩阵．证明：|A *|=|A|n-1证 因为AA *=|A|E ，两边取行列式得 |A||A *|=|A|n ．如果|A|≠0，两边除以|A|，得|A *|=|A|n-1如果|A|=0，也可写成|A *|=|A|n-1，总之，有|A *|=|A|n-1成立．。
湖北省考研高等代数习题集精选
湖北省考研高等代数习题集精选在湖北省考研高等代数复习中，练习习题是提高理解和应用能力的重要方法。
为了帮助考生更好地复习，本文整理了一些湖北省考研高等代数习题，并对其中的一些重要知识点进行了解析和讲解。
一、线性代数1. 设A为n阶方阵，k为非零实数，若kA的秩为r，证明rA的秩也为r。
解析：由于kA的秩为r，说明kA的列向量组线性无关，而kA的列向量组是rA的列向量组的倍数，故rA的列向量组也线性无关。
因此，rA的秩也为r。
2. 设A为n阶方阵，若A可逆，证明A的转置矩阵也可逆，并且(A的转置矩阵)的逆等于(A的逆)的转置矩阵。
解析：设B为A的逆矩阵，则AB=BA=I。
对两边同时取转置得到(B的转置矩阵)(A的转置矩阵)=(A的转置矩阵)(B的转置矩阵)=I。
由此可见，A的转置矩阵也可逆，并且(A的转置矩阵)的逆等于(A的逆)的转置矩阵。
二、群论1. 设G为群，H为G的一个子群，证明H的幺元是G的幺元。
解析：设e1是H的幺元，e2是G的幺元。
由于H是G的子群，H 是G的子集，故e1也是G的元素，且满足e1e2=e2e1=e2。
由此可见，H的幺元也是G的幺元。
2. 设G为有限群，n为正整数，证明：G中阶数为n的元素的个数是G的正除子的数目。
解析：设G中阶数为n的元素为a，设G的正除子的个数为m。
由拉格朗日定理可知，n|m。
另外，设G的正除子为H1、H2、…、Hm，则由于H1、H2、…、Hm两两不相交且都包含单位元e，故每个Hk与G的交集只含有一个元素，即Hk中恰好有一个幺元。
由此可得，G中阶数为n的元素的个数等于G的正除子的数目。
三、域论1. 设F为有限域，n为正整数，证明：F中具有n个元素的子域存在且唯一。
解析：设F中具有n个元素的子域为K，则根据域的定义，K满足所有域的性质，且K是F的子集，故K是F的子域。
另外，设存在另一个F中具有n个元素的子域L，由于L是F的子集，故L中的元素也属于K，而K中的元素也属于L，故K与L相等。
高等代数第三版习题答案
高等代数第三版习题答案高等代数是一门研究线性代数、多项式、群、环、域等代数结构及其性质的数学分支。
第三版的高等代数教材通常会包含大量的习题，旨在帮助学生更好地理解和掌握代数的基本概念和技巧。
以下是一些习题的答案示例，请注意，这些答案仅为示例，具体习题的答案需要根据实际的题目来确定。
第一章：线性空间习题1：判断下列集合是否构成线性空间，并说明理由。
- 解：集合\{(x, y) ∈ R^2 | x + y = 1\}不构成线性空间，因为它不满足加法封闭性。
例如，取两个元素(1, 0)和(0, 1)，它们的和(1, 1)不在集合中。
习题2：证明线性空间的基具有唯一性。
- 解：设{v1, v2, ..., vn}和{w1, w2, ..., wm}是线性空间V的两个基。
根据基的定义，任何向量v ∈ V都可以唯一地表示为v =c1*v1 + c2*v2 + ... + cn*vn和v = d1*w1 + d2*w2 + ... + dm*wm。
由于表示是唯一的，我们可以得出n = m，并且存在一个可逆矩阵P，使得[v1, v2, ..., vn] = [w1, w2, ..., wn]P。
这意味着两个基是等价的，从而证明了基的唯一性。
第二章：线性变换习题1：确定线性变换T: R^3 → R^3，定义为T(x, y, z) = (x + y, x - y, z)的核和像。
- 解：核N(T)是所有满足T(v) = 0的向量的集合。
设(x, y, z) ∈ N(T)，则(x + y, x - y, z) = (0, 0, 0)。
解这个方程组，我们得到x = 0，y = 0，z可以是任意实数。
因此，核是一维的，由向量(0, 0, 1)生成。
习题2：证明线性变换的复合是线性的。
- 解：设T: V → W和S: W → X是两个线性变换。
对于任意的v1, v2 ∈ V和任意的标量c，我们需要证明(S ∘ T)(cv1 + v2) = c(S∘ T)(v1) + (S ∘ T)(v2)。
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高等代数习题集高等代数习题集苏州大学数学科学学院高等代数组收集2003, 4,301.设X = ，求X。
2.设二次型f(x1, x2,... , x n)是不定的，证明：存在n维向量X0，使X0'AX0= 0，其中A是该二次型的矩阵。
3.设W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}。
a证明：W是P[x]4的子空间。
b求W的维数与一组基。
4.在R3中定义变换A：任意 (x1, x2, x3) R3, A(x1, x2, x3) = (2x2 + x3,x-4x2, 3x3)。
11，证明：A是Rr3上线性变换，2，求A在基xi1 = (1, 0, 0), xi2 = (0, 1, 0), xi3 = (1, 1, 1)下的矩阵。
5.设，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
6.设V是数域P上n维线性空间，A是V上可逆线性变换，W是A的不变子空间。
证明：W也是A-1的不变子空间。
7.设V是n维欧氏空间，A是V上变换。
若任意,V，有 (A, A)= (,)。
证明：A是V上线性变换，从而是V上正交变换。
8.设X = ，求X。
9.设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0，证明：存在实n维向量X00，使X0'AX0 > 0。
10.设A = ，W = {|R4, A = 0}。
证明：1.[1，]W是4的一个子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
11.设B，C = ，在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A(X) = BXC。
1，证明：A是R2 x 2上线性变换。
2，求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。
12.用正交线性替换，化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。
13.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明：V = AV.+A-1(0)。
14.设V是n维欧氏空间。
A是V上正交变换，W是A的不变子空间。
证明：W也是A的不变子空间。
15.设X = ，求X。
16.设A是奇数级的实对称矩阵，且| A| > 0，证明：存在实n维向量X00，使X0'AX0 > 0。
17.设A = ，W = {|R4, A = 0}。
证明：1.[1，]W是4的一个子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
18.设B，C = ，在R2 x 2中定义变换A：任意X R2 x 2, A(X) = BXC。
1.[1，]证明：A是R2 x 2上线性变换。
2.[2，]求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。
19.用正交线性替换，化实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形。
20.设V为数域P上线性空间，A是V上线性变换，若 (A2)-1(0) = A-1(0)，证明：V = AV.+A-1(0)。
21.设V是n维欧氏空间。
A是V上正交变换，W是A的不变子空间。
证明：W也是A的不变子空间。
22.设X = ，求矩阵X。
23.设实二次型f (x1, x2, ... , x n) = X'AX的秩是n,其中A是实对称矩阵.证明:实二次型g(x1, x2, ... , x n) = X'A-1X与f (x1, x2, ... , x n)有相同的正负惯性指数和符号差。
24.设W = {(a1, a2, ... , a n)| a i R,a i = 0} 证明1.[1，]证明：W是 R n的子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
25.设B = , B = .在 R2中定义变换 : 对任意X R2 x 2,X = BX + XC1.[1，]证明：是V上线性变换。
2.[2，]求在基E 11, E12, E21, E22下的矩阵。
26.设A = ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
27.设V为数域P上n维线性空间，V 1, V2为其子空间，且V= V1V2,为V上可逆的线性变换. 证明：V = V+ V2。
128.设V为n维欧氏空间，若A既是V上对称变换且A2= E。
证明：存在V的一组标准正交基，使得在该基下的矩阵为。
29.设X = ，求矩阵X。
30.设f (x1, x2, ... , x n) = X'AX是实二次型,其中A是实对称矩阵.如果X'AX = 0当且仅当X = 0。
证明：f (x, x2, ... , x n)的秩为n，符号差1是n或- n.31.设= (1, 2, 3, 0), = (- 1, -2, 0, 3)， = (0, 0, 1, 1),= (1, - 2, - 1, 0)，W = {k i| k i R}。
1.[1，]证明：W是Rr4的子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
32.设A三维向量空间V上可逆线性变换，A在基,,下的矩阵是。
1.[1，]证明：A的逆变换A-1也是V上线性变换。
2.[2，]求A-1的在,,下的矩阵。
33.设，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
34.设V为n维欧氏空间，若A既是V上正交变换，又是V上对称变换。
证明：A2是V上的恒等变换。
35.设V为数域P上n维线性空间，W为其子空间，A为V上线性变换。
证明：维(AW) +维 (A-1(0) W) =维W。
36.设X = ，求矩阵X。
37.设W = {A| A R3 x 3, A' = - A}。
1.[1，]证明：W是R3 x 3的一个子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
38.设实二次型f (x1, x2, ... , x n) = X'AX的秩为n，符号差是s。
证明：R中存在(n - | s|)维子空间W使任意X0W，X'AX0 = 0。
39.在R[x]3中定义变换A：任意f (x) R[x]3, A(f (x)) = xf'(x)。
1.[1，]证明：A是R[x]3上线性变换。
2.[2，]求A在基 1, x + 1, x2 + x + 1下的矩阵。
40.设A = ，求正交矩阵T，使T'AT成对角形。
41.设V为数域P上n维线性空间，A为V上线性变换。
证明：维(AV) +维 (A-1(0)) =维V。
42.设V为n维欧氏空间，若A是V变换，若任意,V， (A,) =(, A)。
证明：A是V上线性变换，从而为V上对称变换。
43.设V = P[x]5,f (x) V，有f (x) = (x2 - 1)q(x) + r(x)，其中r(x) = 0或次(r(x)) < 2,1.[1，]证明：f (x) V,令A(f (x)) = r(x)，则A是V的一个线性变换;2.[2，]求A在基 1, x, x2, x3, x4下的矩阵.44.用正交线性替换，把实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形，并求所用的正交线性替换,45.设A, B是n x n正定矩阵，证明：A2 + B2是正定矩阵,46.设W = {A| A = (a ij)n P n x n,a ii = 0},1.[1，]证明：W是P n x n的子空间,2.[2，]求W的维数与一组基,47.判别下述结论是否正确，并说明理由,1.[1，]若n x n矩阵A, B有相同特征多项式，则A与B相似；2.[2，]若W是n维欧氏空间V的子空间W的正交补，则V= WW,48.设A为n维欧氏空间V的线性变换，证明：A是对称变换的充要条件是A有n个两两正交的特征向量,49.设A, B是数域P上n维线性空间V的两线性变换,若AB = BA，并且A有n个互异的特征值, 证明：A, B有n个线性无关的公共的特征向量.50.求矩阵A = 的特征值和特征向量。
51.求二次型f (x1, x2, x3) = x12 +5x1x2 -3x2x3的标准型，并写出所用的非退化的线性替换。
52.设V是由零多项式和数域上次数小于3的一元多项式的全体组成的P上线性空间。
对于任意的f(x) V,定义(f(x)) = f'(x) - f''(x).证明1.[1，]证明：是V的线性变换。
2.[2，]求在基 1, x + 1, x2 - x下的矩阵。
53.设V是一个欧氏空间，,V。
证明: || = || ( + ,- ) = 054.设W = {f (x)| f (x) P[x]4, f (2) = 0}.1.[1，]证明：W是P[x]4的子空间。
2.[2，]求W的维数与一组基。
55.设A为线性空间V上线性变换。
证明：A是可逆的线性变换的充要条件是A的特征值一定不等于零.56.设A为n x n实矩阵，A = A', A3 = E n证明：A = E n。
57.设X = ,求矩阵X。
58.在Rr3中定义线性变换A：(a 1, a2, a3) R3, A(a1, a2, a3) = (2a2 +a, a1 -4a2, 3a1)。
求在基 {(1, 0, 0),(1, 1, 0),(1, 1, 1)}下的矩3阵.59.用正交线性替换化二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 -2x2x3为标准形60.设V为数域P上n维线性空间，A是V的一个可逆线性变换，W是A子空间。
证明：W也是A-1-子空间。
61.设A是正定矩阵，证明：A-1, A2都是正定矩阵。
62.设V为数域P上n维线性空间，A是V的线性变换，且kerA = kerA2。
证明：V = kerA AV。
63.设V为n维欧氏空间，A是V上对称变换，且A2= E。
证明：存在V的一标准正交基，使A在该基下的矩阵是.64.设B P2 x 2，1.[1，]证明：A(X) = BX- XB,X P2 x 2是P2 x 2上一个线性变换；2.[2，]当B = 时，求A在基E11, E12, E21, E22下的矩阵。
65.用正交线性替换，把实二次型f (x1, x2, x3) = 2x1x2 +2x1x3 +2x2x3化为标准形，并求所用的正交线性替换。
66.设W1 = | x, y, z P, W2 = |A, b, c P都是P2 x 2的子空间。
1.[1，]求W 1W2的维数和一组基；2.[2，]求W1 + W2的维数。
67.判别下述结论是否正确，并说明理由。
1.[1，]设A, B P n x n，若A, B有相同特征多项式，则A与B相似；2.[2，]设A是P上n维线性空间V的线性变换，若A有n个不同特征值，则A在某基下的矩阵是对角形。
68.判别实二次型f (x1, x2, x3) = 3x12 +4x22 +5x32 +2x1x2 -4x2x3是不是正定的？并说明理由。