《计算方法》教学大纲

《计算方法》教学大纲

一、课程名称

《计算方法》

二、课程性质

数学与应用数学专业限选课

三、教学目的

本课程是应用数学专业的一门专业限选课，他研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论，它是从实际问题建立数学模型到数值计算，进而进行程序设计执行程序结果的计算机解决科学计算问题过程中的一个重要环节，是一门与计算机紧密结合的实用性很强的数学分支。是应用数学专业所必须理解与掌握的知识。通过对《计算方法》的学习，掌握数值计算的基本概念和基本理论，深入理解方法的设计原理与处理问题的技巧，重视误差分析与收敛性，数值稳定性，注重计算机进行科学计算能力的培养。

四、课程教学原则与教学方法

以课堂讲授为主要形式，以上机操作为辅助形式，二者紧密结合。注重培养学生的能力与素质。

五、课程总学时66课时

六、课程教学内容要点及建议学时分配

第一章绪论（4课时）

一、教学目的

(1) 了解误差来源以及舍入误差、截断误差的定义

（2）掌握绝对误差、相对误差、误差限和有效数字的定义和相互关系

（3）掌握函数计算的误差估计，理解误差分析的一些基本原则和数值稳定性概念。

二、课程内容

（1）误差的来源

（2）误差、误差限和有效数字

（3）相对误差和相对误差限

（4）误差的传播

（5）在近似计算中需要注意的一些现象

第二章插值法（10课时）

一、教学目的

（1）掌握插值多项式存在唯一性条件，并由此条件求插值多项式，计算函数近似值及估计误差

（2）掌握带导数的Hermite插值多项式的构造以余项表达式，能根据给定条件构造插值多项式

（3）理解高次多项式插值不具有收敛性和稳定性的缺陷，掌握分段线性插值公式及其收敛性

（4）熟练掌握三次样条函数及三次样条插值多项式的条件，理解样条插值的收敛性及误差估计

二、课程内容

（1）线性插值

（2）二次插值

（3）n次插值

（4）分段线性插值

（5）Hermite插值法

（6）分段三次Hermite插值法

（7）样条插值函数

第三章函数逼近与计算（10课时）

一、教学目的

（1）理解最佳一致逼近与最佳平方逼近的概念

（2）能正确应用法方程组，获得最佳平方逼近函数

（3）掌握最小二乘法原理作曲线拟合的方法及计算步骤，能正确算出线性模型及能转化为线性模型的最小二乘拟合曲线

二、课程内容

（1）引言与预备知识

（2）最佳一致逼近多项式

（3）最佳平方逼近

（4）正交多项式（选讲）

（5）函数按正交多项式展开（选讲）

（6）近似最佳一致逼近多项式（选讲）

（7）曲线拟合的最小二乘法

第四章数值积分（10课时）

一、教学目的

（1）熟练掌握求积公式代数精确度的定义，能应用定义确定求积公式的系数和节点，并能判断一个求积公式的代数精确度

（2）理解插值求积公式原理和Newton-Cotes求积公式，掌握梯形公式和Simpson公式及其余项的表达式和代数精确度

（3）熟练掌握复合梯形公式和复合Simpson公式及其余项，能应用这些求积公式计算积分近似值并估计误差，还能根据误差要求确定求积分式积分区间的等分数

（4）掌握外推原理和Romberg求积方法

二、课程内容

（1）牛顿－柯特斯公式

（2）梯形求积公式和抛物型求积公式的误差估计

（3）复化公式及其误差估计

（4）逐次分半加速收敛

（5）龙贝格算法

（6）高斯公式（选讲）

第五章解线性方程组的直接法（8课时）

一、教学目的

（1）理解Gauss消去法原理及实现条件，掌握Gauss消去法和列主元消去法求解方程组的算法，并能计算行列式的值

（2）掌握用三角分解法求解线性方程组

（3）熟练掌握向量和矩阵范数的定义及其性质

（4）掌握矩阵条件数定义，能应用条件数估计解方程组直接法的误差

二、课程内容

（1）高斯消去法

（2）高斯主元素消去法

（3）直接三角法与平方根法

（4）向量和矩阵的范数

（5）误差分析

第六章解线性方程组的迭代法（8课时）

一、教学目的

（1）理解向量序列及矩阵序列极限

（2）掌握迭代法的构造和迭代法收敛的充分必要条件，并能判断具体迭代法是否收敛

（3）掌握矩阵范数判断迭代法收敛的充分条件及其证明

（4）掌握每种方法的计算公式、矩阵表达式及迭代矩阵表达式

二、课程内容

（1） Jacobi迭代与Gauss-Seidel迭代

（2）迭代法的收敛性

（3）超松弛迭代法

（4）收敛的速率（选）

第七章非线性方程的数值解法（8课时）

一、教学目的

（1）了解如何确定方程的有根区间及用二分法求一个足够好的近似根

（2）熟练掌握不动点迭代法及其收敛性定理，能灵活应用不动点迭代法求方程的根，并判断迭代序列的收敛性

（3）掌握收敛解的定义，能确定迭代法的收敛阶

（4）熟练掌握Newton法求根及其局部收敛性与收敛阶定理

二、课程内容

（1）根的搜索

（2）迭代法及其加速收敛

（3）牛顿法

（4）弦截法

第八章常微分方程数值解法（8课时）

一、教学目的

（1）熟练掌握Euler法、改进Euler法的基本公式，并能正确应用这些公式求微分方程数值解

（2）理解显式Runge-Kutta法的基本思想，掌握二阶Runge-Kutta法的