2020高考数学二轮复习 专题三 解析几何教学案

专题三 解析几何

[江苏卷5年考情分析]

小题考情分析

大题考情分析

常考点

1.直线与圆、圆与圆的位

置关系(5年4考)

2.圆锥曲线的方程及几

何性质(5年5考)

本单元主要考查直线与椭圆(2015年、2017

年、2018年、2019年)的位置关系、弦长问题、

面积问题等；有时考查直线与圆(如2016年)，经

常与向量结合在一起命题．

偶考点 直线的方程、圆的方程

第一讲 | 小题考法——解析几何中的基本问题

考点(一) 直线、圆的方程

主要考查圆的方程以及直线方程、圆的基本量的计算.

[题组练透]

1．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线y ＝x ＋4

x

(x >0)上的一个动点，

则点P 到直线x ＋y ＝0的距离的最小值是________．

解析：法一：由题意可设P ⎝

⎛⎭

⎪⎫x 0，x 0＋4x

(x 0>0)，则点P 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0＋x 0＋4x 02

＝

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪2x 0＋4x 02

≥

2 2x 0·4

x 0

2

＝4，当且仅当2x 0＝4

x 0

，

即x 0＝2时取等号．故所求最小值是4.

法二：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0＋x 0(x 0>0)，由y ＝x ＋4x 得y ′＝1－4x 2，则曲线在点P 处的切线的斜率为k ＝1－4x 20.令1－4x 20＝－1，结合x 0>0得x 0＝2，∴ P (2，32)，曲线y ＝x ＋4

x

(x >0)上的

点P 到直线x ＋y ＝0的最短距离即为此时点P 到直线x ＋y ＝0的距离，故d min ＝|2＋32|

2

＝4.

答案：4

2．(2019·苏州期末)在平面直角坐标系xOy 中，过点A (1，3)，B (4，6)，且圆心在直

线x －2y －1＝0上的圆的标准方程为________．

解析：法一：根据圆经过点A (1，3)，B (4，6)，知圆心在线段AB 的垂直平分线上，由点A (1，3)，B (4，6)，知线段AB

的垂直平分线方程为x ＋y －7＝0，则由⎩

⎪⎨⎪⎧x －2y －1＝0，

x ＋y －7＝0，得

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即圆心坐标为(5，2)，所以圆的半径r ＝（5－1）2＋（2－3）2

＝17，故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －2)2

＝17.

法二：因为圆心在直线x －2y －1＝0上，所以圆心坐标可设为(2a ＋1，a )，又圆经过点

A (1，3)，

B (4，6)，所以圆的半径 r ＝

（2a ＋1－1）2＋（a －3）2

＝

（2a ＋1－4）2

＋（a －6）2

，解得a ＝2，所以r ＝17，故圆的标准方程为(x －5)2

＋(y －2)2

＝17.

法三：设圆心的坐标为(a ，b )，半径为r (r ＞0)，因为圆心在直线x －2y －1＝0上，且圆经过点A (1，3)，B (4，6)，

所以⎩

⎪⎨⎪⎧ a －2b －1＝0，

（a －1）2＋（b －3）2＝（a －4）2＋（b －62）＝r 2

， 得a ＝5，b ＝2，r ＝17，故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －2)2

＝17. 答案：(x －5)2

＋(y －2)2

＝17

3．(2019·扬州期末)若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则两平行直线l 1，l 2间的距离为________．

解析：法一：若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则有m 1＝－4－2≠3

4

，求

得m ＝2，故两平行直线l 1，l 2间的距离为

|8－3|22

＋（－4）

2

＝5

2

. 法二：若直线l 1：x －2y ＋4＝0与l 2：mx －4y ＋3＝0平行，则有m 1＝－4－2≠3

4

，求得m ＝2，

所以直线l 2：2x －4y ＋3＝0，在l 1：x －2y ＋4＝0上取一点(0，2)，则两平行直线l 1，l 2间的距离就是点(0，2)到直线l 2的距离，即

|0－4×2＋3|22

＋（－4）

2

＝5

2

. 答案：

52

[方法技巧]

1．求直线方程的两种方法 直接法 选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果 待定 系数法

先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数

2．圆的方程的两种求法

几何法

通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和

方程

代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程

考点(二)

直线与圆、圆与圆的位置关系

主要考查直线与圆、圆与圆的位置关系，以及根据直线与圆的位置关系求相关的最值与范围问题.

[典例感悟]

[典例] (1)(2018·无锡期末)过圆O ：x 2

＋y 2

＝16内一点P (－2，3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________．

(2)(2018·南通、泰州一调)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4，0)，B (0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2

＋y 2

＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．

[解析] (1)设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 2

1＝r 2

－⎝ ⎛⎭⎪

⎫

AB 22

，d 2

2

＝r 2

－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以⎝ ⎛⎭

⎪⎫AB 22＝r 2－d 21＝16

－132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB ×CD ＝1

2

×38×38＝19. (2)法一(几何法)：因为A (－4，0)，B (0，4)，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以PC 的方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD 的方程为x 2x ＋y 2y