八下数学专题突破：折叠(人教版)
数学人教版八年级下册图形的折叠问题
T D
B
BT BC TC
2 2
2
(10 x) 2 102 (10 x) 2 E 即， 解得 ，
x 2 .5
即. AT 2.5 --------14分
O
图③
C x
∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL） ∴AT＝DT. ----------------12分
九年级 数学 课堂小结
同一个直角三角形
相似 面积
图形的折叠 一题多法 方法二：等面积法
九年级 数学
1 3-x
①
4
④
1
①x
④ ③
4
5
②
3-x
②
x
5
3
3
x
5
SAECD S1 S2 S4
1 3 x 5 (3 x 3) 5 6 x S矩形ABCD S1 S2 S3 S4 2 2 2
解： 2）证明：（如图②）
由题意可知∠1＝∠2. ∵EG∥x轴， ∴∠1＝∠3. ∴∠2＝∠3. ∴EH＝CH. ---------------6分
y A
B D
（m，n） H 10-m 3
A’ F
E O
m
m n 2
1 P
G n C x
3）
m
1 2 n 5. 20
D 3 -----------9 分 2 A
4 ，AF= 1
1 3-x x 3 x
5
4
5 3
5
勾股 相似 面积
九年级 数学
图形的折叠
一题多法
方法一：勾股定理
A
1 x
F
1 3-x x 5
4 5 3
人教版八年级下册数学 第17章 勾股定理 折叠问题专题
人教版八年级下册数学第17章 勾股定理 折叠问题专题一.知识要点（1）折叠的规律是，折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等.（2）利用线段关系和勾股定理，运用方程思想进行计算.二.典例解析（一）三角形的折叠1. 如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6，BC=8，将三角形ABC 折叠,使AB 落在斜边AC 上得到线段AB ’,折痕为AD ，求BD 的长．2. 如图所示，在∆ABC 中，AB=20，AC=12，BC=16，把∆ABC 折叠，使AB 落在直线AC 上，求重叠部分(阴影部分)的面积．3、如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°， D 为AB 上一点，将⊿ABC 沿DE 折叠，使点B 与点A 重合，①若AC=4，BC=8，求CE 的长？②若AC=24，BC=32，求折痕DE 的长？4、如图，Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，D 为BC 上一点，将AC 沿AD 折叠，使点C 落在AB 上，求CD 的长A CB DC ´ A CB D E AC BD EGA ´• D A B CAB D F E C1. 如图，折叠长方形的一边AD ，点D 落在BC 边的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ， 求EC 的长.2. 如图，折叠矩形纸片ABCD ，先折出折痕（对角线）BD ，再折叠，使AD 落在对角线BD 上，得折痕DG ，若AB = 2，BC = 1，求AG 。
3.如图，矩形纸片ABCD ，AB=4cm ，BC=8cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，①求DF 的长； ②求重叠部分△AEF 的面积； ③求折痕EF 的长.4、如图，矩形纸片ABCD 的长AD=9 cm ，宽AB=3 cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长是多少?5、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
2024八年级数学下册练册第4招巧用勾股定理解决折叠问题课件新版新人教版
【证明】由题意知AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE.
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC.∴∠AEF＝∠CFE.
∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF.
∴AE＝AF＝CE＝CF.
(2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出a，b，c三者之间的数
量关系式.
【解】由题意知AE＝CE＝a.
人教版八年级下
第4招
巧用勾股定理解决折叠
问题
利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤： 1.运用折叠图
形的性质找出相等的线段或角； 2.在图形中找到一个直角三
角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的
三边长用数或含有x的式子表示出来；3.利用勾股定理列方程
求出x；4.进行相关计算解决问题.
如图，纸片ABCD为长方形纸片.把纸片ABCD折叠，使点B
在Rt△A'B'E中，A'B'＝AB＝4，A'E＝
AE＝3，
∴B'E 2 ＝A'B' 2 ＋A'E 2 ＝4 2 ＋3 2 ＝25.
∴B'E＝5.∴BF＝B'E＝5.
巧用方程思想求折叠中线段的长
3.[2023·成都七中期中]已知：如图，在边长为12的正方形
ABCD中，点E在边BC上，BE＝2CE，将△DCE沿DE折叠
由勾股定理得x2＋62＝(8－x)2，
解得x＝ .
即CE的长为 .
(2)如图②，如果点B'是AC的中点，求CE的长.
【解】∵点B'是AC的中点，
∴CB'＝ AC＝3.
人教版初中数学讲义八年级下册第07讲 专题2 平行四边形(特殊的平行四边形)中的折叠问题(解析版)
第07讲专题1平行（特殊）四边形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题类型二：矩形中的折叠问题类型三：菱形中的折叠问题类型四：正方形中的折叠问题类型一：平行四边形中的折叠问题1．如图，在平行四边形ABCD中，将△ABC沿着AC所在的直线折叠得到△AB′C，B′C交AD于点E，连接B′D，若∠B＝60°，∠ACB＝45°，AC＝，则B′D的长是（）A．1B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC＝60°，∴∠CAE＝∠ACB＝45°，∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C，∴∠ACB′＝∠ACB＝45°，∠AB′C＝∠B＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠CAE﹣∠ACB′＝90°，∴AE＝CE＝AC＝，∵∠AEC＝90°，∠AB′C＝60°，∠ADC＝60°，∴∠B′AD＝30°，∠DCE＝30°，∴B′E＝DE＝1，∴B′D＝＝．故选：B．2．如图，将▱ABCD折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，若∠AMF＝50°，则∠A＝65°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN＝∠DMN，∴AB∥CD∥MN，∴∠DMN＝∠FMN＝∠A，∵∠AMF＝50°，∴∠DMF＝180°﹣∠AMF＝130°，∴∠FMN＝∠DMN＝∠A＝65°，故答案为：65．3．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为（）A．66°B．104°C．114°D．124°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC，由折叠的性质得：∠BAC＝∠B′AC，∴∠BAC＝∠ACD＝∠B′AC＝∠1＝22°，∴∠B＝180°﹣∠2﹣∠BAC＝180°﹣44°﹣22°＝114°；故选：C．4．如图，在▱ABCD中，E为边CD上一点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F．若∠B＝52°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为36°．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠D＝∠B＝52°，由折叠的性质得：∠D′＝∠D＝52°，∠EAD′＝∠DAE＝20°，∴∠AEF＝∠D+∠DAE＝52°+20°＝72°，∠AED′＝180°﹣∠EAD′﹣∠D′＝108°，∴∠FED′＝108°﹣72°＝36°；故答案为：36°．5．如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC＝74°，则∠NPB′＝16°．【解答】解：∵点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M，∴∠MPC′＝∠MPC＝74°，∴∠BPB′＝180°﹣∠CPC′＝180°﹣2∠PMC＝180°﹣148°＝32°，∵∠BPN＝∠B′PN，∴∠NPB′＝∠BPB′＝16°，故答案为：16．类型二：矩形中的折叠问题6．如图，矩形ABCD沿对角线BD折叠，已知长BC＝8cm，宽AB＝6cm，那么折叠后重合部分的面积是（）A．48cm2B．24cm2C．18.75cm2D．18cm2【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥CB，∴∠ADB＝∠DBC，∵∠C′BD＝∠DBC∴∠ADB＝∠EBD，∴DE＝BE，∴C′E＝8﹣DE，∵C′D＝AB＝6，∴62+（8﹣DE）2＝DE2，∴DE＝，＝DE×CD÷2＝18.75cm2．∴S△BDE故选：C．7．如图，长方形纸片ABCD，E为CD边上一点，将纸片沿BE折叠，点C落在点C'处，将纸片沿AE折叠，点D落在点D'处，且D'恰好在线段BE上．若∠AEC'＝α，则∠CEB＝（）A．B．C．D．【解答】解：由折叠的性质得：∠AED＝∠AED'，∠CEB＝∠C'EB，∵∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED，∠AED'＝∠AEC'+∠C'EB＝α+∠C'EB，∴∠AED'＝180°﹣∠CEB﹣∠AED'，∴2∠AED'＝180°﹣∠CEB，∴2（α+∠CEB）＝180°﹣∠CEB，∴3∠CEB＝180°﹣2α，∴∠CEB＝60°﹣α，故选：A．8．数学老师要求学生用一张长方形的纸片ABCD折出一个45°的角，甲、乙两人的折法如下，下列说法正确的是（）甲：如图1，将纸片沿折痕AE折叠，使点B落在AD上的点B'处，∠EAD即为所求，乙：如图2，将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点分别落在点B'，D'处，AB'与AD'在同一直线上，∠EAF即为所求，A．只有甲的折法正确B．甲和乙的折法都正确C．只有乙的折法正确D．甲和乙的折法都不正确【解答】解：甲：将纸片沿折痕AE折叠，使B点落在AD上的B'点，得到∠EAB＝∠EAD＝45°；乙：将纸片沿折痕AE，AF折叠，使B，D两点落在AC上的点B'，D'，得到∠EAF＝∠EAB'+∠FAB'＝（∠DAC+∠BAC）＝×90°＝45°；故选：B．9．如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，将△ABM沿AM折叠，使点B落在B'处，若∠AMB＝α，则∠B'AD等于（）A．α﹣90°B．α﹣45°C．90°﹣2αD．90°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∴∠DAM＝∠AMB＝α，∠BAM＝90°﹣α，根据折叠可知，∠B'AM＝∠BAM＝90°﹣α，∴∠B'AD＝∠B'AM﹣∠DAM＝90°﹣α﹣α＝90°﹣2α，故C正确．故选：C．10．如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFG＝37°点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将纸片两端分别沿EF，GH折叠至如图所示的位置，若EF∥GH，则∠KHD 的度数为（）A．37°B．74°C．96°D．106°【解答】解：∵EF∥GH，∴∠HGC＝∠EFG＝37°，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠GHD+∠HGC＝180°，∴∠GHD＝143°，根据折叠的性质可得：∠KHG＝∠DHG＝143°，∴∠KHD＝360°﹣∠KHG﹣∠DHG＝360°﹣143°﹣143°＝74°．故选：B．11．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，D分别落在A1，D1的位置，再将△A1EG沿着AB对折，将△GD1N沿着GN对折，使得D1落在直线GH上，则下列说法正确的是（）①GN⊥DC；②GH⊥GD1；③当MN∥EF时，∠AEF＝120°．A．①②B．①③C．②③D．①②③【解答】解：由折叠可知：∠A1GE＝∠EGH，∠D1GN＝∠MGN，∠GMN＝∠D1＝90°，∠A1＝∠EHG＝90°，∠AEF＝∠A1EF，∴EH∥MN，∵∠A1GE+∠EGH+∠D1GN+∠MGN＝180°，∴∠EGN＝90°，∴GN⊥DC；故①正确；∵∠D1GN＝∠MGN不一定为45°，∴GH不一定垂直GD1，故②错误；∵MN∥EF，EH∥MN，∴EH与EF共线，∴∠AEF＝∠A1EF＝2∠GEF，∵∠AEF+∠GEF＝180°，∴∠AEF＝120°，故③正确；故选：B．类型三：菱形中的折叠问题10．如图，在菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C′，且DC′是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：连接BD，如图所示：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分线，∴P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故选：D．11．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∠A+∠ABC＝180°，BD平分∠ABC，∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°，根据折叠可得AB＝BF，∴FB＝BC，∴∠BFC＝∠BCF＝（180°﹣30°）÷2＝75°，故答案为：75°．12．如图，菱形ABCD中，∠D＝120°，点E在边CD上，将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，连接BD′，则∠AD′B＝75°．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC＝BC＝AB，CD∥AB，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠D＝120°，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝30°．∵CD∥AB，∴∠BAD′＝∠DCA＝30°．∵将菱形沿直线AE翻折，使点D恰好落在对角线AC上，∴AD＝AD′，∴AB＝AD′，∴∠AD′B＝∠ABD′＝（180°﹣∠BAD′）＝75°．故答案为75．13．如图，在菱形ABCD中，∠A＝120°，AB＝2，点E是边AB上一点，以DE为对称轴将△DAE折叠得到△DGE，再折叠BE使BE落在直线EG上，点B的对应点为点H，折痕为EF且交BC于点F．（1）∠DEF＝90°；（2）若点E是AB的中点，则DF的长为．【解答】解：（1）由翻折可得∠AED＝∠DEG，∠BEF＝∠HEF，∴∠DEG+∠HEF＝∠AED+∠BEF，∵∠DEG+∠HEF+∠AED+∠BEF＝180°，∴∠DEG+∠HEF＝90°，即∠DEF＝90°．故答案为：90°．（2）∵四边形ABCD为菱形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，由翻折可得AE＝EG，BE＝EH，∠A＝∠EGD，∠B＝∠EHF，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴EG＝EH，即点G与点H重合．∵∠EGD+∠EHF＝∠A+∠B＝180°，∴点D，G，F三点在同一条直线上．过点D作DM⊥BC，交BC的延长线于点M．∵∠A＝120°，AB＝2，∴∠DCM＝60°，CD＝2，∴CM＝CD＝1，DM＝CD＝，由翻折可得BF＝FG，AD＝DG＝2，设BF＝x，则MF＝2﹣x+1＝3﹣x，DF＝2+x，由勾股定理可得，解得x＝，∴DF＝．故答案为：．类型四：正方形中的折叠问题14．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFC＝120°，若将四边形EBCF沿EF 折叠，点B恰好落在AD边上，则∠AEB′为（）A．70°B．65°C．30°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠BEF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝120°，∴∠BEF＝180°﹣∠EFC＝60°，∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，故选：D．15．如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若FN＝3，则正方形纸片的边长为2．【解答】解：设正方形纸片的边长为x，则BF＝AB＝x，BN＝BC＝x，∴Rt△BFN中，NF＝＝x＝3，∴x＝2，故答案为：2．16．如图，在正方形ABCD中，E为边BC上一点，将△ABE沿AE折叠至△AB'E处，BE与AC交于点F，若∠EFC＝69°，则∠CAE的大小为（）A．10°B．12°C．14°D．15°【解答】解：∵∠EFC＝69°，∠ACE＝45°，∴∠BEF＝69+45＝114°，由折叠的性质可知：∠BEA＝∠BEF＝57°，∴∠BAE＝90﹣57＝33°，∴∠EAC＝45﹣33＝12°．故选：B．17．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE，折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，折痕BF与AE交于点H，点F在AD上，若DE＝5，则AH的长为．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝12，∠BAD＝∠D＝90°，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠FAH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠FAH，∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝5，在Rt△ABF中，BF＝＝＝13，＝AB•AF＝BF•AH，∵S△ABF∴12×5＝13AH，∴AH＝，故答案为：．18．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点D落在边AB上的D'处，点C落在C'处，若∠AD'M＝50°，则∠MNC'的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【解答】解：四边形CDMN与四边形C′D′MN关于MN对称，则∠DMN＝∠D′MN，且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°故选：B．。
人教版勾股定理专题训练-折叠问题
变式1
变式2：
如图，小颍同学折叠一个 如图，在矩形ABCD中，
直角三角形的纸片，使A与 BC=8，CD=4，将矩形沿BD
B重合，折痕为DE，若已 折叠，点C落在C′处，求
知AC=10cm，BC=6cm,你 ：重叠部分△BED的面积
能求出CE的长吗？
C’
D
B
AE
D
E
B
C
如图,把长方形纸片ABCD折叠,使
人教版八年级数学下册 《勾股定理专题训练-折叠问题》
教材分析学情分析教/学法分析教学程序
五 教学反思 四 教学程序 三 教、学法分析 二 学情分析 一 教材分析
说教材
本节教材是人教版数学八年级下册第18 章内容，是在掌握勾股定理及逆定理的 基础上对勾股定理的应用之一。教材注 重培养学生的动手操作能力和分析问题 的能力。通过分析，使学生获得较为直 观的印象,了解勾股定理在实际生活中的 广泛应用。折叠问题在中考中的应用也 日趋突出。（举例）
化思想的理解与应用。
B 教师适当引导
HF
C
G
台阶中的最值问题
例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、
宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台
阶立的足两于个学相生对的的认端知点基，础A来点选上择有身一边只的蚂素蚁材，想到B 点进去行吃教可学口，的将食立物体.图请形你转想化一为想平，面这图只形蚂构蚁从A点 出成发直，角沿三着角台形阶，面利爬用到勾B股点定，理最解短决线问路题是，多少？
在现实情境中捕捉折叠三角形和四 边形，构造直角三角形，在实际问题中 学会运用勾股定理转化为方程的思想来 解决问题。
说教法、学法
1、教法
根据本课内容特点和八年级学生思维活动特 点，我采用了合作探究教学法，逐步渗透教 学法和师生共研相结合的方法。
人教版初二数学下册《图形的折叠问题(专题)——特殊四边形之翻折 》教学设计
《图形的折叠问题(专题）——特殊四边形之翻折 》教学设计2017年6月9日一.教材分析：图形的折叠问题是图形变换的一种，折叠型问题立意新颖，变幻巧妙，对培养学生的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力非常有效。
有关折叠问题在近几年各地中考中也频频出现，主要是考查学生的自主探索能力与空间想象能力以及判断推理能力。
二.教学目标：1.知识与技能目标：把握图形折叠问题的实质，分清折叠前后哪些元素没变，哪些元素变化，理解折叠前后关于折痕成轴对称图形。
2.通过动手操作掌握寻找折痕条数的规律、掌握图形折叠后求折痕长度的方法、掌握图形剪拼的方法3.理解数学思想方法的综合运用：方程思想、数形结合思想、勾股定理，结合运用成为具体策略。
4．过程与方法：采用小组合作探究与动手实践相结合的教学模式，使学生学会与他人交流思维过程和结果，在动手实践中使学生的逆向思维和发散思维的到发展，自主探索能力与空间想象能力以及判断推理能力 得以提高。
5.情感态度与价值观：在小组的讨论与交流中培养学生的合作意识，在动手实践中激发学生兴趣，通过折叠问题的研究，使学生明确事物的变化与统一，理解事物的联系与区别。
三、教学重点：把握折叠与拼图的实质，并利用它与轴对称、全等三角形、相似三角形、勾股定理、矩形的判定等联系在 一起，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
四、教学难点：把握折叠的变化规律，运用所学知识合理、有序、全面的解决问题五、教学方法：在教学过程中注重学生的亲身实践，注重学生能力的培养，采用小组合作探究与动手实践相结合的教学模式，充分尊重学生的主体地位。
六、学法指导数与形是一对孪生姐妹，要学好数学就要学生的数与形结合起来，把动手得到的图形转变成几何图形 七、设计理念：21世纪的教育要以人为本，在教学过程中充分尊重学生的主体地位，注重学生的亲身实践，注重学生能力的培养。
本节课我始终让学生分组合作和动手实践，使学生在合作中思维过程得以展现，思维结果得以肯定。
人教版数学八年级下册17.1.2用勾股定理解决折叠问题(教案)
一、教学内容
人教版数学八年级下册17.1.2用勾股定理解决折叠问题。本节课主要内容包括：
1.理解折叠问题的基本概念，掌握折叠过程中边长、角度的变化规律。
2.运用勾股定理解决实际问题，如折叠后的形状的边长计算、角度计算等。
3.通过实际操作，观察折叠前后的形状变化，培养学生的空间想象能力。
在讲授过程中，我特别强调了勾股定理在折叠问题中的运用和折叠过程中的边长、角度变化这两个重点。通过举例和图示，我希望能够帮助学生突破这些难点。然而，从学生的反馈来看，我意识到在今后的教学中，需要更加注重引导学生从直观到抽象的思维过渡。
实践活动和小组讨论环节，学生们表现出了很高的热情。他们积极参与讨论，提出自己的观点，并在小组内展开激烈的辩论。这让我看到，学生们具备一定的团队合作能力和问题解决能力。但同时，我也注意到，部分学生在讨论过程中仍然存在依赖心理，需要加强独立思考能力的培养。
3.培养学生逻辑思维和推理能力，让学生在解决问题的过程中，学会分析、归纳、总结，提高数学逻辑素养。
4.培养学生合作交流、分享成果的意识，提高学生的团队协作素养，使学生能在团队中发挥个人优势，共同解决问题。
5.激发学生数学学习兴趣，让学生在探索折叠问题的过程中，体验数学的乐趣，培养数学情感素养。
三、教学难点与重点
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理是指在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。它在几何学中有着极其重要的作用，可以帮助我们解决许多实际问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们折叠一个直角三角形纸片，如何通过勾股定理计算折叠后的形状的边长？这个案例将展示勾股定理在实际中的应用。
2023年人教版八年级下册数学专题二利用勾股定理解决折叠与展开问题 同步典型例题精讲课件
2.如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，
1
使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( C )
2
3
4
5
A.12 cm2
B.10 cm2
C.6 cm2
D.15 cm2
解析：∵四边形ABCD是长方形，∴∠BAE＝90°.∵将此长方形折叠，使
6
点D与点B重合，∴BE＝ED.∵AD＝9＝AE＋DE＝AE＋BE，∴BE＝9－
6
专题二 利用勾股定理解决折叠与展开问题
1
5.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该
U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆
2
柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径
为2.5 m 的半圆，其边缘AB＝CD＝20 m.小明
3
要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点
E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最
3
由勾股定理，得GB2＝GF2＋BF2＝122＋82＝208.
4
在Rt△AGB中，由勾股定理，得
AG＝ AB2＋GB2＝ 302＋208＝2 277(cm)，
5
∴能放入木棒的最大长度是 2 277 cm.
6
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2
镜(如图).在三棱镜的侧面上，从顶点A到顶点A′镶有一圈
金属丝，已知此三棱镜的高为9 cm，底面边长为4 cm，
3
则这圈金属丝的长度至少为( D )
A.8 cm
B.10 cm
C.5
解析：将三棱柱沿AA′展开，其展开图
6
如图，则AA′＝ 92＋122 ＝15(cm)，
即这圈金属丝的长度至少为15 cm.
5
八年级数学人教版下册第十八章专题矩形中的折叠问题教学设计
1.激发学生对数学学习的兴趣，使其感受数学在生活中的实际应用。
2.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强其解决问题的信心。
3.引导学生认识到矩形折叠问题在实际生活中的意义，体会数学的价值。
4.培养学生严谨、细致的学习态度，使其形成良好的学习习惯。
二、教学内容
1.矩形的基本性质复习：引导学生回顾矩形的定义、性质和判定方法。
6.课堂小结：总结本节课所学知识，强调矩形折叠问题的解决方法和技巧。
三、教学方法
1.采用启发式教学，引导学生主动探究折叠问题。
2.运用实际问题，激发学生的学习兴趣。
3.采用小组合作、讨论交流等形式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.注重学生个体差异，因材施教，提高教学效果。
四、教学评价
1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、积极性和合作意识。
3.实践题：请同学们自己设计一个矩形折叠问题，并给出解题过程和答案。要求问题具有一定的挑战性，能够充分体现矩形折叠的特点。
实践题旨在培养学生的创新意识和问题设计能力。
4.小组合作题：分组讨论以下矩形折叠问题，共同完成解题过程。
（1）已知矩形ABCD，沿对边AD和BC折叠，使得点A和C重合，求证：折叠后的图形是等腰梯形。
4.作业完成后，请同学们认真检查，确保无误。
（二）过程与方法
1.通过动手操作、观察、讨论等教学活动，引导学生发现矩形折叠问题中的规律和性质。
2.引导学生运用数学语言表达折叠问题的解决过程，培养其数学表达能力和逻辑思维能力。
3.指导学生运用画图、列式、计算等方法，解决折叠问题，提高解决问题的能力。
4.通过小组合作、交流分享，培养学生团队协作能力和沟通能力。
人教版八年级数学下教学案(新)折叠问题(期末复习)教案导学案课时作业试卷同步练习含答案解析
A B C D M N PQ 折叠问题（专题复习）一、计算角度1．点E 是矩形ABCD 的边CD 上的点，沿着AE 折叠矩形ABCD ，使D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF ＝60°，则∠DEA ＝____________．2．如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝ 度. 2．如图，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A 的直线为折痕折叠纸片，使点B 恰好落在AD 边上，折痕与BC 边交于点E （如图②）；（2）以过点E 的直线为折痕折叠纸片，使点A 落在BC 边上A 1，折痕EF 交AD 边于点F （如图③）；（3）将纸片收展平，则∠AFE ＝____________．3．如图，一张长方形纸沿AB 对折，以AB 中点O 为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD 剪开，使展开后为正五角星（正五边形对角线所构成的图形）.则∠OCD ＝____________．二、折出特殊的四边形1．如图，一张矩形纸片，腰折出一个最大的正方形.小明把矩形的一个角沿折痕AE 翻折上去，使AB 和AD 边上的AF 重合，则四边形ABEF 就是一个最大的正方形.他判定的方法是_________________.2．如图，把一张矩形的纸ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点E 处，BE 与AD 交于点F ． ⑴求证：△ABF ≌△EDF ；⑵若将折叠的图形恢复原状，点F 与BC 边上的点M 正好重合，连接DM ，试判断四边形BMDF 的形状，并说明理由．ABABOOCDE3．在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE＝∠DAC，∠ACF＝∠ACB的方法得到菱形AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？4A BCDA B CD E三、计算长度及面积1．如图，已知：点E 是正方形ABCD 的BC 边上的点，现将△DCE 沿折痕DE 向上翻折， 使DC 落在对角线DB 上，则EB ∶CE ＝_________．2．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC ＝45°，把△ADC 沿AD 对折，点C 落在C ´的位置， 若BC ＝2，则BC ´＝_________．3．有一矩形纸片ABCD ，AB =9cm ，BC =12cm ，将纸片沿EF 折叠，使B 与D 重合.求折痕EF 的长.4．如下图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，045=∠DBC .翻折梯形ABCD ，使点B 重合与点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E .若AD =2，BC =8， 求BE 的长；5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 的E 点上，BG =10．(1)当折痕的另一端F 在AB 边上时，求△EFG 的面积．(2)当折痕的另一端F 在AD 边上时，如图，证明四边形BGEF 为菱形，并求出折痕GF 的长．AB CD E F G H (A)(B)6．（1）观察与发现小明将三角形纸片()ABC AB AC >沿过点A 的直线折叠，使得AC 落在AB 边上，折痕为AD ，展开纸片（如图①）；再次折叠该三角形纸片，使点A 和点D 重合，折痕为EF ，展平纸片后得到AEF △（如图②）．小明认为AEF △是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．（2）实践与运用将矩形纸片ABCD 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，折痕为BE （如图③）；再沿过点E 的直线折叠，使点D 落在BE 上的点D '处，折痕为E G （如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中α∠的大小．7．已知：如图，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在x 轴、y 轴上． 点A 坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以AB 为轴对折后，使C 点落在D 点处，求D 点坐标．8．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB =33，BC =6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE =30°． ⑴ 求BE 、QF 的长．⑵ 求四边形PEFH 的面积． 9．在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 翻折后得△AB ′E ，求△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积．四、综合型问题1．将两块全等的含30°角的三角尺如图(1)摆放在一起，它们的较短直角边长为3．A 图① A 图② F EE D CF B A 图③ E D C A B FG ' D ' A D E C B F G α 图④ 图⑤(1) 将△ECD 沿直线l 向左平移到图(2)的位置，使E 点落在AB 上，则CC ′=______；(2) 将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图(3)的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C 旋转的度数=______； (3) 将△ECD 沿直线AC 翻折到图(4)的位置，ED ′与AB 相交于点F ，求证AF =FD ′．2．如图，把一个等腰直角△ABC 沿斜边上的中线CD (裁剪线)剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形A ′BCD ，如示意图(1)。
数学人教版八年级下册图形的折叠问题
E F x
反思提高
折叠问题
本质：轴对称（全等性，对称性） 关键：根据折叠实现等量转化 （1）根据勾股定理得方程。 （2）根据相似比得方程。
作业
（2013中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠B = 30°，BC = 3. 点D是BC边上一动点（不与点B，C重合）， 过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠B沿直线DE翻折，点 B落在射线BC上的点F处. 折叠
填空题 图形的折叠 填空题 图形的折叠
矩形的性质及折叠；角平分 线的性质；勾股定理
矩形的性质及折叠；直角三 角形的判定；勾股定理 三角形的折叠；直角三角形 的判定；相似三角形的判定
1、探究折叠的性质 2、解决中考中常见的折叠问题
3、体会数学中的方程思想、转化思想、 数形结合思想
图形的折叠问题
应用题
几何变式
坐标几何综合 分式的化简求值专题 一次函数图像信息专题
图形的折叠问题专题
考情分析
题 号 9 分 值 3
年份 2016 3模 2015 2模 2014 4模 2013 2模
题型
考点
考查内容 正方形的性质及折叠；等腰 三角形的判定；勾股定理
填空题 图形的折叠
15
15 15
1 或2 的长为__________.
愿同学们中考 金榜题名！
（一）活动探究
动手折一折
1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺 平，• 得到的图形是（ C ）
(第1题)
动手折一折
2、如图将矩形纸片ABCD沿一对角线 BD折叠一次，画出几何图形
A
D
B
C
合作探究 问题1:在图中你能得到哪些相等的线段和角?
八年级数学折叠问题(二)(人教版)(专题)(含答案)
折叠问题（二）（人教版）（专题）一、单选题(共6道，每道12分)1.当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”．如图，已知矩形纸片ABCD（矩形纸片要足够长），我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：（1）以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在AD上，折痕与BC交于E；（2）将纸片展平后，再一次折叠纸片，以E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF 交AD于F．则∠AFE=( )A.60°B.67.5°C.72°D.75°答案：B解题思路：动手操作，根据题意，画出符合题意的图形，如图所示，由折叠可知，∠BAE=∠FAE=45°，∵∠B=90°,∴∠AEB=45°∴∴∠AEF=∠CEF=67.5°∵AD∥BC∴∠AFE=∠CEF=67.5°故选B试题难度：三颗星知识点：略2.如图，在长方形ABCD中，AB=1，BC=，点P在线段AD上，若将△DCP折叠，使点D落在线段AC上的D′处，则DP的长为( )A. B.C.1D.答案：D解题思路：如图，依题意作出图形，点D的对应点为D′由题意得，在长方形ABCD中，∠D=90°，AB=CD=1，AD=BC=∴在Rt△ADC中，∠D=90°，CD=1，AD=由勾股定理得，AC=2∴∴∠DAC=30°由折叠知，∠PD′C=∠D=90°，PD′=PD，CD′=CD=1∴AD′=AC-CD′=1在Rt△AD′P中，∠PD′C=90°，∠D′AP=30°，AD′=1∴由折叠知：DP=PD′∴故选D．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，若点P在AD边上，连接BP，PC，△BPC是以PB 为腰的等腰三角形，则PB的长为( )．A.2或5B.2或6C.5或6D.2或5或6答案：C解题思路：①如图，BP=BC此时BP=6②如图，PB=PC此时点P在线段BC的垂直平分线上，已知P在AD边上∴P为AD的中点在Rt△ABP中，由勾股定理可得，BP=5故选C试题难度：三颗星知识点：略4.已知：如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA 的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则P点的坐标为( )A.（3，4）或（2，4）B.（3，4）或（8，4）C.（2，4）或（8，4）D.（3，4）或（2，4）或（8，4）答案：D解题思路：∵OA=10，点D是OA的中点，∴OD=5当△ODP是腰长为5的等腰三角形时①如图，OD=OP=5此时CP=3P（3，4）②DO=DP=5此时点P的位置有两个如图，P在左边时，此时QD=3，OQ=2P（2，4）如图，P在右边时，此时QD=3，OQ=8P（8，4）③OP=OD=PD=5时，不成立故选D试题难度：三颗星知识点：略5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处．当为直角三角形时，BE的长为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：略6.如图，正方形ABCD的边长为8，E为BC上一定点，BE=6，F为AB上一动点，把△BEF沿EF折叠，点B落在点B′处，当△AFB′恰好为直角三角形时，B′F的长为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：△AFB′为直角三角形时，分三种情况①如图，∠A B′F=90°此时，A，B′，E、三点在一条直线上，在Rt△ABE中，可得AE=10，由折叠B′E=BE=6所以AB′=4，设B′F=x，则BF=x，AF=8-x在Rt△A B′F中，由勾股定理得，x=3，即B′F=3；②如图，∠A F B′=90°由折叠可知，四边形BFB′E为正方形，此时FB′=BE=6③∠AF B′=90°不符合题意。
数学人教版八年级下册图形的折叠问题
勾股定理专题----图形的折叠问题
北京市海淀区教师进修学校附属实验学校黄冰
一、教学目标
知识与技能：
1.让学生通过折纸和画出折叠后的图形，体会折叠的作用，找到解题的突破口。
2.在折叠过程中，能借助勾股定理建立方程求出线段长；
过程与方法：
通过让学生经历具体的操作，获得对折叠本质的认识，并积累解决折叠问题的活动经验，感受数学知识对解决问题的价值。
情感态度与价值观：
在解决图形折叠问题的过程中，感受转化、数形结合等数学思想，体验问题解决带来的快乐。
教学重点:
利用勾股定理建方程求线段长。
教学难点:
结合图形折叠的特点，寻找线段之间的等量关系；
学情分析：
图形折叠问题涉及的知识点多。
不仅将图形的变换与学生的实际操作能力紧密联系起来，而且与代数、几何均有联系。
常通过观察图形中的变与不变,灵活应用平面图形的基本性质及定理解决问题。
学生虽然已经学习轴对称的性质，但由于对折叠的实质理解不够透彻,所以不能借助勾股定理建方程解决问题。
本节课通过对矩形折叠问题的探究，引导学生找到解决此类问题的方法。
教师提出问题：折叠的作用是什么？
点拨：折叠的实质是轴对称，根据轴对称的性质，轴
对称前后的图形相等，所以折叠的作用：
折痕是对称轴，对称轴有什么性质？
点拨：折痕是对应点连线的垂直平分线。
八下数学专项拔高：折叠专题(人教版)
A
D
F E
B′ D
1
C 2
B
C
A
B
第 1 题图
第 2 题图
2. 如图，将□ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点 B′处，若∠1=∠2=48°，则∠B 的度数为（ ）
A．118°
B．98°
C．72°
D．108°
3. 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，E 在边 AD 上，把△DCE 沿 CE 所在直线折叠，点 D 落在点 D′的位
AP
D
E
A
D
B'
B
C
第 11 题图
B
E
C
第 12 题图
12. 如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8，点 E 是 BC 边上一点，连接 AE，把∠B 沿 AE 折叠，使点 B 落在点 B′处，当△CEB′为直角三角形时，BE 的长为___________．
2
13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC，BC= 2 1，点 M，N 分别是边 BC，AB 上的动点，沿 MN 所 在的直线折叠∠B，使点 B 的对应点 B′始．终．落在边 AC 上．若△MB′C 为直角三角形，则 BM 的长为 ____________． A
D
C
M
A′
A
N
B
16. 如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 边的中点，点 F 是 BC 边上一个动点，把△BEF 沿 EF 向正方形 内部折叠，点 B 的对应点为 B′，当 B′D 的长最小时，BF 的长为（ ）
A． 5 2
B． 5 1
C． 5 1 2
D． 5 1 2
A
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折叠专题
➢知识点睛
折叠（轴对称）的思考层次
（1）全等变换：对应边相等、对应角相等．
（2）对应点与对称轴：对称轴所在直线是对应点连线的垂直平分线．（对应点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴上的点到对应点的距离相等）
（3）常见组合搭配：矩形背景下的折叠常出现等腰三角形．
（4）应用，作图（构造）
核心是确定对称轴和对应点，一般先确定对应点和对称轴，然后再补全图形．特征举例：
①折痕运动但过定点，则折叠后的对应点在圆上；
②对应点确定，折痕为对应点连线的垂直平分线．
➢精讲精练
1.如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，设重叠部分为△EBD，则下列
说法错误的是（）
A．AB=CD B．∠BAE=∠DCE C．EB=ED D．∠ABE 一定等于30°
第1 题图第2 题图
2.如图，把平行四边形ABCD 折叠，使点C 与点A 重合，这时点D 落在点D1，
折痕为EF，若∠BAE=55°，则∠D1AD= ．
3.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6 cm，BC=8 cm，点D 在BC
边上，将直角边AC 沿直线AD 折叠，点C 恰好落在斜边AB 上的点E 处，则线段CD 的长为．
1
3
3 4.如图，在矩形ABCD 中，AB=5 cm，在DC 上存在一点E，将△AED 沿直线
AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，若△ABF 的面积为30 cm2，则EF 的长为．
第4 题图第5 题图
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，
点P 为边AB 上一点，∠CPB=60°，沿CP 折叠正方形，折叠后，点B 落在平面内点B′处，则点B′的坐标为（）
A．(2，2 ) B．(
3
，2 -) C．(2，4 - 2
2
) D．(
3
，4- 2 )
2
6.如图，将一块边长为12 的正方形纸片ABCD 的顶点A 折叠至DC 边上的点
E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ 的长为（）
A．12 B．13 C．14 D．15
第6 题图第7 题图
7.如图，在长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点D 与点B
重合，折痕为EF，则EF 的长为．
8.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC 沿直线l 翻折，点A
落在边BC 的中点D 处，直线l 与边AC 交于点E，则AE 的长为．33
9.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点P 在线段AC 上．若将
△PBC 沿PB 折叠，使点C 的对应点C′落在AB 边上，则BP 的长为．
第9 题图第10 题图
10.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 是BC 边的中点，E 是
AC 边上的任意一点，△DCE 和△DC′E 关于直线DE 对称，若点C′恰好落在△ABC 的中位线上，则CE 的长度为．
11.如图，在□ABCD 中，AB=4，AD=2，且AD⊥BD，点P，Q 分别在边DC，
BC 上，连接PQ．将△CPQ 沿PQ 折叠，点C 落在点C'处，若点C'在对角线BD 上，则点C'在水平方向上可移动的距离为．
第11 题图第12 题图
12.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，AC=4，E 为斜边AB 的中
点，点P 是射线BC 上的一个动点，连接AP，PE，将△AEP 沿着边PE 折叠，折叠后得到△EPA′，当折叠后△EPA′与△BEP 的重叠部分的面积恰好为△ABP 面积的四分之一，则此时BP 的长为．
13.如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE，把
∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点B′处．当△B′CE为直角三角形时，BE 的长为．
14. 如图，在Rt△ABC 中，∠A=90°，∠B=30°，BC= 1，点E，F 分别是BC，
AC 边上的动点，沿EF 所在直线折叠∠C，使点C 的对应点C′始终落在边AB 上，若△BEC′是直角三角形，则BC′的长为．
15. 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC≤BC，将△ABC 沿EF 折叠，使点A 落
在直角边BC 上的点D 处，设EF 与AB，AC 分别交于点E，F，如果折叠后△CDF 与△BDE 均为等腰三角形，那么∠B= ．
3。