竞赛讲座：平面几何四个重要定理

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平面几何的几个重要定理

且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
练习 1.如图 2， P 是正△ABC 外接圆的劣弧 BC 上任一点(不与 B、C 重合),求证:PA=PB＋PC．练习 2.（第 21 届全苏数学竞赛）已知正七边形 A1A2A3A4A5A6 A7 ,
证明:如图,直线 BD 交 AC 于 H,对 BCD用塞瓦定理 ,
CG BH DE 有： 1因 AH 是BAD的平分， GB HD BC BH AB CG AB DE 由角平分定理，可得故： 1 HD AD GB AD EC C 作AB的平行交AG的延于I， C 作AD 的平行交AE的延于J CG CI DE AD CI AB AD ： , 1 GB AB EC CJ AB AD CJ 而 : CI CJ 又 CI // AB , CJ // AD ACI BAC DAC ACJ ACI ACJ IAC JAC GAC EAC
平面几何的几个重要的定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积 (两对角所包矩形的面积 ) 等于两组对边乘积之和 ( 一组对所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积和)．即：若四边形 ABCD 内接于圆, 则有 AB CD AD BC AC BD. 广义的托勒密定理在四边形 ABCD 中, 有: AB CD AD BC ≥ AC BD , 并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
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数学奥赛平面几何

《竞赛数学解题研究》之平面几何专题一、平面几何中的一些重要定理：1、梅涅劳斯定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。

2、塞瓦定理：设D 、E 、F 分别是ABC ∆三边（或其延长线）上的三点，则AF 、BE 、CD 三点共线的充要条件是1=⋅⋅EACEFC BF DB AD 。

3、托勒密定理：四边形ABCD 内接于圆的充要条件是CD BC CD AB BD AC ⋅+⋅=⋅4、西摩松定理：设P 是ABC ∆外接圆上任一点，过P 向ABC ∆的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。

5、斯德瓦特定理：设P 是ABC ∆的边BC 边上的任一点，则BC PC BP AP BC AB PC AC BP ⋅⋅+⋅=⋅+⋅2226、共角定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆7、共边定理：设ABC ∆和C B A '''∆中有一个边相等，则CA B A ACAB S S C B A ABC ''⋅''⋅='''∆∆举例说明：1、设M 、N 分别是正六边形ABCDEF 的对角线AC 、CE 上的点，且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN 三点共线，试求k 。

（IMO23,1982）2、在四边形ABCD 中，ABD ∆、BCD ∆、ABC ∆的面积之比为3：4：1，点M 、N 分别是AC 、CD 上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN 三点共线，求证：M 、N 分别是AC 、 CD 的中点。

高二数学竞赛讲义11平面几何中的几个重要定理0平面几何知识点总结

平面几何的几个重要定理4.托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．即：1PC BP R Q P AB CA BC ABC ABC l .1=⋅⋅∆∆RBAR QA CQ ，则、、长线分别交于或它们的延、、的三边并且与的顶点，不经过梅涅劳斯定理：若直线三点共线；、、，则，这时若或数为边上的点的个三点中，位于、、并且三点，上或它们的延长线上的、、三边的分别是、、梅涅劳斯逆定理：设R Q P 1PC BP 20ABC R Q P AB CA BC ABC R Q P .2=⋅⋅∆∆RB AR QA CQ 1:.3=⋅⋅∆RBAR QA CQ PC BP CR BQ AP AB CA BC ABC R Q P 条件是三线共点的充要、、边上的点，则、、的分别是、、塞瓦定理：设M Q R A CP B ；内接于圆，则有：设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅；内接于圆时，等式成立并且当且仅当四边形中，有：定理：在四边形ABCD BDAC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅三点共线；、、则，、、的垂线，垂足分别为、、作外接圆上一点西姆松定理：若从F E D F E D AC AB BC P ABC ∆.5的外接圆上；在则在同一直线上，、、若其垂足作垂线，的延长线或它们的三边向点西姆松的逆定理：从一ABC P N M L ABC P ∆∆)(.6；，则、于分别交和，连接和弦任意引的中点蝴蝶定理：一个圆的弦NP MP N M AB CF DE EF CD P AB =.7 ;2.8GH OG H G O H G O ABC =∆且三点共线，、、，则、、分别为的外心、重心、垂心欧拉定理：设三线共点。

、、则，、、外面，做三个正三角形的的小于费马点：在每个内角都''''''120.9CC BB AA ABC CAB BCA ABC ∆︒三角形。

个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理-及考纲

个人精心整理!高中数学联赛竞赛平面几何四大定理-及考纲多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的基本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。

圆锥曲线的切线和法线。

圆的幂和根轴。

5、其它抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

集1.梅涅劳斯定理出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。

或：设X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1 。

证明：当直线交△ABC的AB、BC、CA的反向延长线于点D、E、F时，(AD/DB)*(BE/EC )*(CF/FA)=1逆定理证明：证明：X、Y、Z分别在△ABC的BC、CA、AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=1证明一过点A作AG∥BC交DF的延长线于G，则AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC ,CE/EA=DC/AG三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/D C)×(DC/AG)=1证明二过点C作CP∥DF交AB于P，则BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1证明四过三顶点作直线DEF的垂线，AA‘，BB'，CC'有AD：DB=AA’：BB' 另外两个类似，三式相乘得1得证。

如百科名片中图。

※推论在△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上分别取L、M、N三点，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。

高中数学竞赛中平面几何涉及的定理

1、勾股定理(毕达哥拉斯定理)2、射影定理(欧几里得定理)3、三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分4、四边形两边中心的连线的两条对角线中心的连线交于一点5、间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。

6、三角形各边的垂直一平分线交于一点。

7、从三角形的各顶点向其对边所作的三条垂线交于一点8、设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足不L，则AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一条直线上。

10、(九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆)三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，11、欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线(欧拉线)上12、库立奇*大上定理：(圆内接四边形的九点圆) 圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。

13、(内心)三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss为三角形周长的一半14、(旁心)三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点15、中线定理：(巴布斯定理)设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)16、斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n(值不为1)的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上19、托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，21、爱尔可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的重心构成的三角形也是正三角形。

平面几何的几个重要定理

； / 深圳长途搬家；
狠の就对着老伍拍出壹掌.老伍手中长道壹个倒斩,劈在黑色掌印之上.“轰隆！”伴随着壹声巨响,老伍稳稳の悬于原地,而玉书门の老门主,却是倒飞了出去.他身体表面,法纹闪耀,显然是激发了防御圣器.“你们不是楚家人！你们,究竟是哪个人?”玉书门老门主,死死の盯着老伍.呐壹次交手,他已经感觉出老伍の实历,绝对是超过自身.而楚家整个家族,也不存在呐样の强者.楚家の那位圣道叁境老祖,他也认识,与他の实历也就相当.若是厮杀起来,谁胜谁负很难说.可是面前呐个人,壹道就轻松の击退自身,虽然及事使用了防御圣器,但他还是感觉到紫府之内の元气动荡.“嘿嘿, 你们能够认为,俺们是楚家の帮手.”老伍嘿嘿壹笑说.见到玉书门老门主被壹道击退,幽冥宗和万剑宗の四名太上长老,申情也大变.他们隐隐觉得,事情有些不太对劲.“你们伍个老家伙,居然无耻の在呐里截杀楚家战营修行者,也真算你们倒霉.老叁、老伍,动手,尽快干掉他们！”老贰眸子壹凝,身影闪烁,便直接冲向幽冥宗万剑宗の四尊圣道叁境.第捌玖陆章尽皆诛杀老贰、老叁和老伍,叁尊傀儡几乎同事出手.对方虽然有伍名圣道叁境强者,但他们の下场,鞠言下令事就已经注定了.以他们伍个人の实历,根本不可能挡得住老贰等叁名傀儡の攻击.老四在击杀白安书后,也叠新回到楚家战船之上,站在鞠言身边.见老四也回来,鞠言就全部放心了,有老四、老陆和老七叁尊傀儡在母亲安灵月身边,母亲和方若雨の安危,全部能够得到保证.“楚统领,俺要去幽冥宗战营壹趟.”鞠言对楚先列说道.“嗯?”“你要去幽冥宗战营?”楚先列听到鞠言の话,才从震惊之中回过申.“是啊,幽冥宗截杀俺们,必须要他们给壹个说法才是.”鞠言笑着点了点头.“好,那稍后俺们随你壹同前去.”楚先列看了壹眼老贰等傀儡,对鞠言说道.鞠言の呐几个下属,实历太恐怖了.有呐些人帮忙,那别说区区壹个幽冥宗战营,就是去幽冥宗本部,他们也有足

平面几何的几个重要定理

在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
练习 1.如图 2，P 是正△ABC 外接圆的劣弧B»C 上
任一点(不与 B、C 重合),求证:PA=PB＋PC．
练习 2.（第 21 届全苏数学竞赛）已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7 , 求证： 1 1 1 .
A1 A2 A1 A3 A1 A4
平面几何的ABC的BC、CA、AB 边上的点 , 则
AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是:
平面几何──平面几何的几个重要定理
平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支，且因其证法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、复数法、向量法等许多证法，这方面的问题受到各种竞赛的青睐，现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题.
平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质; 四个重要定理;几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的等周问题:
BP PC

CQ QA

AR RB
1.
A
R M
Q
B
PC
应用
西姆松
定理
西姆松定理应用
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平面几何的几个重要定理

在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
平面几何的几个重要的定理
塞瓦定理：
设 P、Q、R 分别是 ABC的BC、CA、AB 边上的点 , 则
AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是:
BP PC

CQ QA

AR RB
1.
A
R M
Q
B
PC
应用
西姆松

定理
西姆松定理应用
练习 1.证明:三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
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平面几何──平面几何的几个重要定理
平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支，且因其证法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、复数法、向量法等许多证法，这方面的问题受到各种竞赛的青睐，现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题.
平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质; 四个重要定理;几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的等周问题:

平面几何的几个重要定理

西姆松定理应用
P
C
练习 1.证明: 三角形的三条中线交于一点. 练习 2.证明: 三角形的三条角平分线交于一点 . 练习 3.证明: 锐角三角形的三条高交于一点.
平面几何的几个重要的定理
西姆松定理及其逆定理: 若从 △ ABC 外接圆上一点作 BC、AB、AC 的垂线，垂足分别为 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线. 反过来也成立.
平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理及其逆定理若一条直线截△ ABC 的三条边 AB、BC、CA （或他们的延长线），所得交点分别为 X 、Y 、Z ， AX BY CZ 1. 则有 XB YC XX 结论反过来也成立.
应用1(可证西姆松定理）
应用2
(西姆松定理及其逆定理) 练习 1. 点 P 位于 ABC 的处接圆上, A1、B1、C1 是从点 P 向 BC、CA、AB 引的垂线的垂足, 求证:点 A1、B1、C1 共线. 证:易得
这条直线叫西姆松线.
练习 1.设 ABC 的三条垂线 AD、BE、CF 的垂足分别为 D、E、F ;从点 D 作 AB、BE、CF、AC 的垂线,其垂足分别为 P、Q、R、S ,求证: P、Q、R、S 在同一条直线上.
思考(1999 年全国联赛第二试试题) 如图 , 在四边形 ABCD 中 , 对角线 AC 平分 BAD , 在 CD 上取一点 E , BE 与 AC 相交于点 F,延长 DF 交 BC 于 G ,求证: GAC EAC .
平面几何的几个重要的定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积 (两对角所包矩形的面积 ) 等于两组对边乘积之和 ( 一组对所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积和)．即：若四边形 ABCD 内接于圆, 则有 AB CD AD BC AC BD. 广义的托勒密定理在四边形 ABCD 中, 有: AB CD AD BC ≥ AC BD , 并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.

高中数学竞赛平面几何基本定理

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍．2．射影定理（欧几里得定理）3．中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+；中线长：222222a c b m a -+=． 4．垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-⇔⊥．高线长：C b B c A abc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5．角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例．如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则ACAB DC BD =；（外角平分线定理）．角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+=（其中p 为周长一半）． 6．正弦定理：R Cc B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7．余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=．8．张角定理：ABDAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ．9．斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝BC ·DC ·BD ．10．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？）11．弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角．12．圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）13．布拉美古塔（Brahmagupta ）定理：在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其延长线必平分对边．14．点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则P A·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．15．托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ．16．蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ．17．费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．18．拿破仑三角形：在任意△ABC 的外侧，分别作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，则AE 、AB 、CD 三线共点，并且AE＝BF ＝CD ，这个命题称为拿破仑定理．以△ABC 的三条边分别向外作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1的圆心构成的△——外拿破仑的三角形，⊙C 1 、⊙A 1 、⊙B 1三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形；△ABC 的三条边分别向△ABC 的内侧作等边△ABD 、△BCE 、△CAF ，它们的外接圆⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2的圆心构成的△——内拿破仑三角形，⊙C 2 、⊙A 2 、⊙B 2三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形．这两个拿破仑三角形还具有相同的中心．19．九点圆（Nine point round 或欧拉圆或费尔巴赫圆）：三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，九点圆具有许多有趣的性质,例如:（1）三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半;（2）九点圆的圆心在欧拉线上,且恰为垂心与外心连线的中点;（3）三角形的九点圆与三角形的内切圆,三个旁切圆均相切〔费尔巴哈定理〕．20．欧拉（Euler ）线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上．21．欧拉（Euler ）公式：设三角形的外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，外心与内心的距离为d ，则d 2=R 2－2Rr ．22．锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和．23．重心：三角形的三条中线交于一点，并且各中线被这个点分成2：1的两部分；)3,3(C B A C B A y y y x x x G ++++ 重心性质：（1）设G 为△ABC 的重心，连结AG 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点，则1:2:=GD AG ；（2）设G 为△ABC 的重心，则ABC AC G BC G ABG S S S S ∆∆∆∆===31；（3）设G 为△ABC 的重心，过G 作DE ∥BC 交AB 于D ，交AC 于E ，过G 作PF ∥AC 交AB 于P ，交BC 于F ，过G 作HK ∥AB 交AC 于K ，交BC 于H ，则2;32=++===AB KH CA FP BC DE AB KH CA FP BC DE ；（4）设G 为△ABC 的重心，则①222222333GC AB GB CA GA BC+=+=+； ②)(31222222CA BC AB GC GB GA ++=++； ③22222223PG GC GB GA PC PB PA +++=++（P 为△ABC 内任意一点）；④到三角形三顶点距离的平方和最小的点是重心，即222GC GB GA ++最小； ⑤三角形内到三边距离之积最大的点是重心；反之亦然（即满足上述条件之一，则G 为△ABC 的重心）． 24．垂心：三角形的三条高线的交点；)cos cos cos cos cos cos ,cos cos cos cos cos cos (Cc B b A a y C c y B b y A a C c B b A a x C c x B b x A a H C B A C B A ++++++++ 垂心性质：（1）三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍；（2）垂心H 关于△ABC 的三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上；（3）△ABC 的垂心为H ，则△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆；（4）设O ，H 分别为△ABC 的外心和垂心，则HCA BCO ABH CBO HAC BAO ∠=∠∠=∠∠=∠,,．25．内心：三角形的三条角分线的交点—内接圆圆心，即内心到三角形各边距离相等；),(cb a cy by ayc b a cx bx ax I C B A C B A ++++++++ 内心性质：（1）设I 为△ABC 的内心，则I 到△ABC 三边的距离相等，反之亦然；（2）设I 为△ABC 的内心，则C AIB B AIC A BIC∠+︒=∠∠+︒=∠∠+︒=∠2190,2190,2190；（3）三角形一内角平分线与其外接圆的交点到另两顶点的距离与到内心的距离相等；反之，若A ∠平分线交△ABC 外接圆于点K ，I 为线段AK 上的点且满足KI=KB ，则I 为△ABC 的内心；（4）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC === A ∠平分线交BC 于D ，交△ABC 外接圆于点K ，则ac b KD IK KI AK ID AI +===；（5）设I 为△ABC 的内心，,,,c AB b AC a BC ===I 在AB AC BC ,,上的射影分别为F E D ,,，内切圆半径为r ，令)(21c b a p ++=，则①pr S ABC =∆；②c p CD CE b p BF BD a p AF AE -==-==-==;;；③CI BI AI p abcr ⋅⋅⋅=．26．外心：三角形的三条中垂线的交点——外接圆圆心，即外心到三角形各顶点距离相等； )2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin ,2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin (C B A Cy By Ay C B A Cx Bx Ax O C B A C B A ++++++++ 外心性质：（1）外心到三角形各顶点距离相等；（2）设O 为△ABC 的外心，则A BOC ∠=∠2或A BOC ∠-︒=∠2360；（3）∆=S abc R 4；（4）锐角三角形的外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和． 27．旁心：一内角平分线与两外角平分线交点——旁切圆圆心；设△ABC 的三边,,,c AB b AC a BC ===令)(21c b a p ++=，分别与AB AC BC ,,外侧相切的旁切圆圆心记为C B A I I I ,,，其半径分别记为C B A r r r ,,．旁心性质：（1）,21,2190A C BI C BI A C BI C B A ∠=∠=∠∠-︒=∠（对于顶角B ，C 也有类似的式子）；（2）)(21C A I I I C B A ∠+∠=∠；（3）设A AI 的连线交△ABC 的外接圆于D ，则DC DB DI A ==（对于C B CI BI ,有同样的结论）；（4）△ABC 是△I A I B I C 的垂足三角形，且△I A I B I C 的外接圆半径'R 等于△ABC 的直径为2R ．28．三角形面积公式：C B A R R abc C ab ah S a ABC sin sin sin 24sin 21212====∆)cot cot (cot 4222C B A c b a ++++= ))()((c p b p a p p pr ---==，其中a h 表示BC 边上的高，R 为外接圆半径，r 为内切圆半径，)(21c b a p ++=． 29．三角形中内切圆，旁切圆和外接圆半径的相互关系：;2sin 2cos 2cos 4,2cos 2sin 2cos 4,2cos 2cos 2sin 4;2sin 2sin 2sin4C B A R r C B A R r C B A R r C B A R r c b a ==== .1111;2tan 2tan ,2tan 2tan ,2tan 2tan r r r r B A r r C A r r C B r r c b a c b a =++=== 30．梅涅劳斯（Menelaus ）定理：设△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P 、Q 、R 则有 1=⋅⋅RBAR QA CQ PC BP ．（逆定理也成立）31．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q，∠C的平分线交边AB于R，∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线．32．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线．33．塞瓦(Ceva)定理：设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点，则AX、BY、CZ所在直线交于一点的充要条件是AZZB·BXXC·CYYA=1．34．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中点M．35．塞瓦定理的逆定理：（略）36．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点，三角形的三条高线交于一点，三角形的三条角分线交于一点．37．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点．38．西摩松（Simson）定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线Simson line）．39．西摩松定理的逆定理：（略）40．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上．41．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点．42．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心．43．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上．这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线．44．牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线．这条直线叫做这个四边形的牛顿线．45．牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线．46．笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．47．笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线．48．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2 ) ．49．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点．50．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点．51．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点．52．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点．。

高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)

HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。（7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN

1 2
AM

AD sin

1 2
AD
AN sin(

)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE

AB

A'
F
=
1 2
s
in
A
EF

A
C

A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相交于一点。

高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理

高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】平面几何中几个重要定理及其证明一、塞瓦定理1．塞瓦定理及其证明定理：在∆ABC 内一点P ，该点与∆ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交∆ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=．证明：运用面积比可得ADCADP BDP BDC S S AD DB S S ∆∆∆∆==．根据等比定理有ADC ADC ADP APCADP BDP BDC BDC BDP BPCS S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆-===-，所以APCBPC S AD DB S ∆∆=．同理可得APB APCS BE EC S ∆∆=，BPCAPB S CF FA S ∆∆=．三式相乘得1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=．注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”．2．塞瓦定理的逆定理及其证明ABCDFP定理：在∆ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，若1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点．证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有//1AD BE CFD B EC FA⋅⋅=．因为1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线．注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证．二、梅涅劳斯定理ABCD FPD /定理：一条直线与∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 所在直线分别交于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是∆ABC 的顶点，则有1AD BE CFDB EC FA⨯⨯=．证明：如图，过点C 作AB 的平行线，交EF 于点G ．因为CGCG CF AD FA =CG EC DB BE =DB BE CF AD EC FA =⋅1AD BE CFDB EC FA⋅⋅=∆/∠∠∠∠∆∆AD DEAC BC=AD BC AC DE ⋅=⋅∠∠∠∠∠∠∠∠∠∠∆∆AB BEAC CD=AB CD AC BE ⋅=⋅AD BC AB CD AC DE AC BE AC BD ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅EAB DAC∠=∠EBA DCA ∠=∠EAB ∆DAC∆AE ABAD AC =DAE CAB ∠=∠DAE ∆CAB∆EBA DCA ∠=∠DBA DCA∠=∠///A B A D AB BD =///B C C D BCBD =//////AB A D BC C D A B B C BD⨯+⨯+= 另一方面，///A C A DAC CD =，即///AC A DA C CD⨯=．欲证//AB A D BC C D BD⨯+⨯=/AC A D CD ⨯，即证即//()BC CD C D AC BD AB CD A D ⨯⨯=⨯-⨯．据条件有 AC BD AB CD AD BC ⨯-⨯=⨯，所以需证//BC CD C D AD BC A D ⨯⨯=⨯⨯，即证//CD C D AD A D ⨯=⨯，这是显然的．所以，//////A B B C A C +=，即A /、B /、C /共线．所以//A B B ∠与//BB C ∠互补．由于//A BB DAB ∠=∠，//BBC DCB ∠=∠，所以DAB ∠与DCB ∠互补，即A 、B 、C 、D 四点共圆．7．托勒密定理的推广及其证明定理：如果凸四边形ABCD 的四个顶点不在同一个圆上，那么就有 AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD证明：如图，在凸四边形ABCD 内取一点E ，使得EAB DAC ∠=∠，EBA DCA ∠=∠，则EAB ∆∽DAC ∆．可得AB ×CD = BE ×AC ————（1）且AE ABAD AC = ————（2）则由DAE CAB ∠=∠及（2）可得DAE ∆∽CAB ∆．于是AD ×BC = DE ×AC ————（3）由（1）+（3）可得 AB ×CD + BC ×AD = AC ×( BE + DE ) 因为A 、B 、C 、D 四点不共圆，据托勒密定理的逆定理可知AB ×CD + BC ×AD ≠AC ×BD所以BE + DE ≠BD ，即得点E 不在线段BD 上，则据三角形的性质有BE + DE > BD ．所以AB ×CD + BC ×AD > AC ×BD ．三、西姆松定理8．西姆松定理及其证明定理：从∆ABC 外接圆上任意一点P 向BC 、CA 、AB 或其延长线引垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线．证明：如图示，连接PC ，连接 EF 交BC 于点D /，连接PD /．因为PE ⊥AE ，PF ⊥AF ，所以A 、F 、P 、E四点共圆，可得∠FAE =∠FEP ．因为A 、B 、P 、C 四点共圆，所以∠BAC =∠BCP ，即∠FAE =∠BCP ．所以，∠FEP =∠BCP ，即∠D /EP =∠D /CP ，可得C 、D /、P 、E 四点共圆．所以，∠CD /P +∠CEP = 1800。

竞赛辅导-平面几何——平面几何的几个重要定理

13
平面几何的几个重要的定理梅涅劳斯定理及其逆定理若一条直线截△ABC 的三条边 AB、BC、CA （或他们的延长线），所得交点分别为 X、Y、Z ， AX BY CZ 1. 则有 XB YC XX 结论反过来也成立.
3
应用1(可证西姆松定理）
应用2
(西姆松定理及其逆定理) 练习 1.点 P 位于 ABC 的处接圆上, A1、B1、C1 是从点 P 向 BC、CA、AB 引的垂线的垂足, 求证:点 A1、B1、C1 共线. 证:易得
西姆松定理应用
P
C交于一点. 练习 2.证明:三角形的三条角平分线交于一点. 练习 3.证明:锐角三角形的三条高交于一点.
10
平面几何的几个重要的定理
西姆松定理及其逆定理: 若从 △ABC 外接圆上一点作 BC、AB、AC 的垂线，垂足分别为 D、E、F ，则 D、E、F 三点共线. 反过来也成立.
且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立. 7
练习 1.如图 2，是正△ABC 外接圆的劣弧 BC 上 P
任一点(不与 B、C 重合),求证:PA=PB＋PC．练习 2.（第 21 届全苏数学竞赛）已知正七边形 A1A2A3A4A5A6 A7 ,
定理证明 2答案
广义的托勒密定理:在四边形 ABCD 中,有: AB CD AD BC ≥ AC BD , 并且当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立. 证明:四边形 ABCD 内取点 E,
使BAE CAD，ABE ACD, ABE 和ACD 相似 AB BE AB AE AB CD AC BE 又 AC CD AC AD 且BAC EAD ABC 和AED相似 BC ED AD BC AC ED AC AD AB CD AD BC AC ( BE ED ) AB CD AD BC ≥ AC BD

平面几何的几个重要定理

且等号当且仅当 E 在 BD 上时成立,即当且仅当四边形 ABCD 内接于圆时,等号成立.
上练习 1.如图 2， P 是正△ABC 外接圆的劣弧 BC
任一点(不与 B、C 重合),求证:PA=PB＋PC．练习 2.（第 21 届全苏数学竞赛）已知正七边形 A1A2A3A4A5A6 A7 ,
平面几何──平面几何的几个重要定理
引入
梅涅劳斯定理
托勒密定理
塞瓦定理
课外思考
平面几何──平面几何的几个重要定理
平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支，且因其证法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、复数法、向量法等许多证法，这方面的问题受到各种竞赛的青睐，现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题. 平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质; 四个重要定理; 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点 ,到三角形三顶点距离的平方和最小的点 --重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的等周问题: 在周长一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的面积最大。在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。在面积一定的ｎ边形的集合中，正ｎ边形的周长最小。在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
1 1 1 求证： . A1 A2 A1 A3 A1 A4
平面几何的几个重要的定理
塞瓦定理：
设 P、Q、R 分别是 ABC的BC、CA、AB 边上的点 , 则 BP C Q AR AP、BQ、CR 三线共点的充要条件是 : 1. PC QA RB A R
M
Q
B
应用西姆松定理

高中数学竞赛平面几何基本定理

（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质）勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）（1）锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边和另一边在这边上的射影乘积的两倍.（2）钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍.射影定理（欧几里得定理）中线定理（巴布斯定理）设厶 ABC 的边BC 的中点为P ,则有AB 2 • AC 2 = 2（ AP 2 ■ BP 2 ）;中线长：=：2b 2 +2c 2 _a 2 m a2垂线定理:2 2 2 2AB _ CD 二 AC -AD 二 BC - BD . 高线长： 2bch ap( p - a)( p -b)( p - c) sin A -c sin B - b sin C . a a角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例. 如厶ABC 中，AD 平分/ BAC ,_则竺二竺;（外角平分线定理）DC _AC角平分线长:2■2bc A »亠、，口 …t abcp(p —■a)cos (其中 p 为周长一半). b +cb +c 2正弦定理： ab c2R ，（其中R 为三角形外接圆半径）.sin A sin B sin C余弦定理： 2 2 . 2ca 亠b —2ab cos C .张角定理： sin . BACsin . BAD sin . DACAD-ACAB斯特瓦尔特（Stewart ）定理：设已知△ ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2 • DC+AC 2 • BD — AD 2 • BC BC • DC • BD .圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半.（圆外角如何转化？）弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角.圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：）布拉美古塔（Brahmagupta ）定理：在圆内接四边形 ABCD 中，AC 丄BD ，自对角线的交点 P 向一边作垂线，其延长线必平分对边.点到圆的幂：设 P 为。

平面几何竞赛（原创）

证法一：如图所示，过点A 作直线ab g D +S RB D ，若1=××RBARQA CQ PC BP ，P R Q B C A D R Q P C B A 证明：设直线Q P ,交AB 于点M ，则由梅涅劳斯定理，得到1=××MBAM QA CQ PC BP ，由题设条件知1=××RB AR QA CQ PC BP ，即有=MB AM RB AR ，又由合比定理知=AB AM ABAR ，故有AR AM =，从而R M ,重合，即R Q P ,,三点共线。

三点共线。

说明：（1）“R Q P ,,三点中有奇数个点在边的延长线上”这一条件十必要，否则的话，梅涅劳斯定理就不成立了；梅涅劳斯定理就不成立了；（2）恰当地选择三角形的截线或作出截线，是应用梅涅劳斯定理定理的关键，其逆定理常用来证明三点共线；理常用来证明三点共线；（3）此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；）此定理常运用求证三角形相似的过程中的线段成比例的条件；（4）也可以将上述两个定理合写成：设R Q P ,,分别是ABC D 的三边AB CA BC ,,所在直线（包括三边的延长线）上的点，则R Q P ,,三点共线的充要条件是1=××RBAR QA CQ PC BP 。

例题：1．设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。

求证：。

【分析】【分析】CEF CEF 截△ABD→（梅氏定理）（梅氏定理）【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行线。

的平行线。

2．过△ABC 的重心G 的直线分别交AB AB、、AC 于E 、F ，交CB 于D 。

求证：。

【分析】连结并延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点。

点。

DEG 截△ABM→（梅氏定理）（梅氏定理）DGF 截△ACM→（梅氏定理）（梅氏定理）∴===1【评注】梅氏定理【评注】梅氏定理例1 若直角ABC D 中,CK 是斜边上的高,CE 是A C K Ð的平分线,E 点在AK 上,D 是AC 的中点,F 是DE 与CK 的交点, 证明://BF CE . 证明:因为在EBC D ,作B Ð的平分线BH , 则,,EBC ACK HBC ACE Ð=ÐÐ=Ð 90H B C H C B A C E H C B Ð+Ð=Ð+Ð=°即BH CE ^.所以EBC D 是等腰三角形. 作BC 上的高EP ,则CK =EP .对于A C K D 和三点D E F 、、依梅涅劳斯定理有:1CD AE KFDA EK FC××=.因为,CD DA = 所以.AE KF EK FC =于是KF EK CK EP BP BK FC AE AC AC BC BE ====＝,即KF BKFC BE＝. 依分比定理有:KF BKKC KE＝,所以F K B C K E D D ,所以//BF CE . 定理2 设P Q R 、、分别是ABC D 的三边B C C A A B 、、上或它们的延长线上的三点,并且P Q R 、、三点中,位于ABC D 边上的点的个数为0或2,这时若1BP CQ ARPC QA RB××=，求证:P Q R 、、三点共线.证明:设直线PQ 与直线AB 交于'R ,于是由定理1得:''1BP CQ AR PC QA R B××=.又因为1B P C Q A R P C Q A R B ××=,所以''AR ARRBR B ＝.由于同一直线上的'P Q R 、、三点中,位于ABC D 边上的点的个数为0或者,因此R 与'R 或者同在AB 线段上,或者同在AB 的延长线上.若R 与'R 同在AB 线段上,则R 与'R 必定重合,不然的话,',AR AR >,这时'',,AB AR AB AR BR BR -<-<即于是''AR AR BR BR >,这与''AR AR BR BR ＝矛盾.类似地,可证得R 与'R 在AB 的延长线上时,R 与'R 也重合.综上可得:P Q R 、、三点共线. B C C A A B 、、引的垂线的垂足,111111＝1AF FB=,又因为AE AF =, ＝EABD ＝＝,将上面三式相乘,可×由定理2可得X Y Z 、、三点共线. 112(,)OAC A C B 和，应用梅涅劳斯定理112112112, 222由梅涅劳斯定理可知222A B C 、、三点共线. 条直线都相切，E ，F ，G ，H 为切年全国高中数学联赛二试题第3CBA1A 1B 1C P1G H F C A P D B E O 1 O G H F C A P D B E O 1O 1ABP BMP ABMD D D ,D D ＝‘＝111111BKKF ＝依分比定理有：＝即：＝ CBA1A 1B 1C MQRACPBK L N M CBA P例2 在锐角ABC D 中,C Ð的平分线交于AB 于L , 从L 作边AC 和BC 的垂线,垂足分别是M 和N ,设AN 和BM 的交点是P ,证明:C P A B ^. 证明:作C K AB ^,下证C K B M A N 、、三线共点,且为P 点.要证C K B M A N 、、三线共点,依塞瓦定理,即要证:1AM CN BK MC NB AK ××=,又因为MC CN =,即要证明:1AM BK AK NB ×=.因为,A M A L B K B C A M L A K C B N L B K C A K A C N B B L D D Þ=D D Þ= ,即要证:1AL BC AC BL×=.依三角形的角平分线定理可知:1AL BC AC BL ×=.因为C K B M A N 、、三线共点,且为P 点,所以C P A B ^. 例3 设AD 是ABC D 的高,且D 在BC 上,若P 是AD 上任一点,B P C P 、分别与AC 、AB 交于E 和F ,则E D A F D A ÐÐ＝. 证明:过A 作AD 的垂线,与DE 、DF 的延长线分别交于M 、N .欲证E D A F DA Ð=Ð，可以转化为证明AM AN =.因为AD BC ^,所以//MN BC ,可得A M E C D E A N FB D F D D D D ,,所以,AM AE AN AF CD CE BD BF ==,于是,AE CD AF BD AM AN CE BF××==.因为AD BE CF 、、共点于P ,根据塞瓦定理,可得:1BD CE AF DC EA FB ××=,所以AE CD AF BDCE BF××=.因为AM AN =,所以E D A F D A Ð=Ð. 例4 在ABC D 的B C C A A B 、、上取点111A B C 、、，证明:111111111111sin sin sin sin sin sin AC BA CB ACC BAA CBB C B A C B A C CB A AC B BAÐÐÐ××=××ÐÐÐ证明:如图对1ACC D 和1BCC D 用正弦定理, 可得:111111sin sin ,sin sin AC ACC CC B C C A C B C CB ÐÐ==ÐÐ,即1111sin sinsin sin AC ACC BC B C CB A ÐÐ=×ÐÐ, 同理:11111111sin sin sin sin ,sin sin sin sin BA BAA CB CBB C A A C A AC B B A B BA CÐÐÐÐ=×=×ÐÐÐÐ, 从而111111111111sin sin sin sin sin sin AC BA CB ACC BAA CBB C B A C B A C CB A AC B BAÐÐÐ××=××ÐÐÐ. 练习:1.证明:三角形的角平分线交于一点. 证明:记ABC D 的角平分线分别是111,,,AA BB CC 因为111111,,AC BA CB b c aC B a A C b B A c===, 所以1111111AC BA CB C B A C B A××=,所以三角形的角平分线交于一点. 2.证明:锐角三角形的高交于一点. CBA1A 1B 1C CBA1A 1B 1C证明:记锐角ABC D 的高分别是111,,,AA BB CC 设1CB x ＝,那么1AB b x -＝, 于是()2222222112a b c c b x BB a x CB x b+---==-Þ==, 则22212c b a B A b+-=. 同理可得:2222222222221111,,,2222b c a a c b c a b b a c AC C B BA AC c c a a+-+-+-+-====. 所以1111111AC BA CB C B A C B A××=,所以三角形的高交于一点. 3.已知ABC D 外有三点M N R 、、,且,BAR CAN a Ð=Ð= ,CBM ABR b Ð=Ð=ACN BCM g Ð=Ð=，证明:A M B N C R 、、三线共点. 证明:设AM 与BC 交于M ‘,BN 与AC 交于N ‘,CR 与AB 交于R ‘,ABC D 的三个内角分别记为A B C ÐÐÐ、、, 则1sin()sin 1sinsin()ABM ACM AB BM A S BM AB BAM AM S AC CAM CM AC CM CAMb g D D ××Ð+×Ð===Ð××Ð+×‘‘‘‘sin sin()sin sin()AB B AC C b b g g ×Ð+=×Ð+, 即sin sin()sin sin()BM AB B AC C CM b b g g ×Ð+×Ð+‘‘＝,同理:sin sin()sin sin()CN BC C BA A ANg g a a ×Ð+×Ð+‘‘＝；sin sin()sin sin()AR CA A CB B BR a a b b ×Ð+×Ð+‘‘＝,将以上三式相乘,可得:1BM CN ARCM AN BR××‘‘‘‘‘‘＝, 根据塞瓦定理可知AM BN CR ‘‘‘、、三线共点. 5.设111A B C 、、是ABC D 的内切圆与边B C C A A B 、、的切点,证明:直线111AA BB CC 、、三线共点. 证明:显然111111,,AC B A BA C B CB A C ===,所以1111111AC BA CBC B A C B A××=,即111AA BB CC 、、三线共点. 6.在ABC D 的边上向外作正方形,111A B C 、、是正方形的边B C C A A B 、、的对边的中点,证明:直线111AA BB CC 、、相交于一点. 证明:记直线111AA BB CC 、、与边BC 、CA 、AB 的交点分别为222A B C 、、. 因为11211211sin sin()sin sin()ABA ACA S BA BA ABA AB AB B A C S AC CA ACA AC C j j D D ÐÐ+=××=×ÐÐ+＝, 其中11arctan 2CBA BCA j Ð=Ð=＝.同理,2222sin()sin(),sin()sin()CB AC BC C AC A B A AB A C B BC B j j j j Ð+Ð+=×=×Ð+Ð+,将上222＝BC AC ED =×, EDCBA111∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC, AB AC BCBC AC AB BC AC AB ×90B E P P F C Ð=Ð=°,且F D C ,所以D E F 、、三点共四点共圆,因为由西姆松定理有Q R S 、、三点:P Q R 、、三点共线,所以P Q R 、、. F F’F，PB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。