有理数的乘方及科学计数法.docx

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第二章 ⑤有理数的乘方、科学计数法、混合运算

七年级上数学教案基础Ⅰ类第二章、有理数及其运算五、有理数的乘方、科学计数法及混合运算（一）乘方的引入1、看下面的故事：从前，有个“聪明的乞丐”他要到了一块面包。

他想，天天要饭太辛苦，如果我第一天吃这块面包的一半，第二天再吃剩余面包的一半，……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，这样下去，我就永远不要去要饭了！请思考，再算一算，如果把整块面包看成整体“1”，那第十天他将吃到面包的，那么他的想法可行吗？２、拉面馆的师傅用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复多次，就能把这根很粗的面条，拉成许多很细的面条.想想看，捏合次后，就可以拉出３２根面条。

3、一般地，n 个相同因数a 相乘，即个an a a a a ⨯⨯⨯⨯，记作n a ，读作a 的n 次方（或a 的n 次幂），乘方的结果叫做幂。

在n a 中，a 叫做底数，n 叫作指数。

特别地一个数也可以看作这数本身的一次方，如5就是5的一次，即155=，指数为1通常省略不写。

将下列各式写成乘方（即幂）的形式：（-２.３）×（-２.３）×（-２.３）×（-２.３）×（-２.３）＝ .()2008x x x x ⋅⋅⋅⋅个＝思考：（-2）4和-24的意义一样吗？为什么？例1、计算（1）35 （2）43-（）（3）312⎛⎫- ⎪⎝⎭（4）46 从例题1可以知道：正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何非零次幂都是零。

乘方的理解：①乘方是一种运算（乘法运算的特例），即求n 个相同因数连乘的简便形式；②幂是乘方的结果，它不能单独存在，即没有乘方就无所谓幂；③乘方具有双重含义：既表示一种运算，又表示运算的结果；④书写格式：若底数是负数、分数或含运算关系的式子时，必须要用括号把底数括起来，以体现底数的整体性。

计算并记忆下列各数的平方和立方：211= 224= 239= 2416= 2525=2636= 2749= 2864= 2981= 210100= 211121= 212144= 213169= 214196= 215225= 216256= 311= 328= 3327= 3464= 35125= 36216=（二）、科学计数法现实生活中，我们会遇到一些比较大的数，如太阳的半径、光速，日前世界人口等，读写这样大的数有一定的困难，先看10的乘方的特点：210100= 3101000= 610=1000 000 910=1000 000 00010100n =（在1后面有个0）对于一般的大数如何简单地表示出来？3000 000 000 3=×1000 000 000 83=×106960006961000 6.96==××100 000 56.9610=×读作6.96乘10的5次方（幂）像上面这样，把一个大于10的数表示成a ×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n 是整数），使用的是科学记数法，“科学记数”谨记三点：（1）弄清a ×10n 中的a 的取值范围（110≤<a ）（2）正确确定a ×10n 中的n 的值，当所记数绝对值大于10时，n 是正整数，当所记数绝对值小于1时，n 是负整数。

科学计数法

观察和思考
上面的式子中,等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系?
用科学记数法表示一个n位整数,其中10的指数是整数位数减1 ，即 n-1
练习
1、用科学记数法写出下列各数： 10 000， 800 000， 56 000 000， 7 400 000. 2、下列用科学记数法写出的数，原来分别是什么数？ 1×107， 4×103， 8.5×106， 7.04×105，3.96×104。
试一试
将下列各数从小到大排列，并用“＜”连接起来。
9.99×109，1.01×1010，9.9×109，1.1×1010。
解：
9.9×109 ＜ 9.99×109 ＜ 1.01×1010 ＜1.1×1010
小结
本节课我们主要学习了哪些知识？有何体会和收获？
作业
第47页第4题和第5题
1.5 有理数的乘方
科学计数法
太阳的半径约为696 000千米；光的速度约为300 000 000米/秒；们先来观察10的乘方的特点： 102=100 103 =1000 104 =10000
这样就可以利用10的乘方表示一些较大的数。 696 000 =6.96×100000 = 6.96 ×105
300 000 000 =3 ×100000000= 3x108
7 000 000 000 =7 ×1 000 000 000=7x109
归纳总结
把一个大于10的数表示成a×10n 的形式，（其中a大于或者等于1且小于10，n是正整数）, 这种记数方法就叫科学记数法。
对于小于-10的数也可以类似表示. 例如 -567 000 000 =-5.67x108
例题
例：用科学记数法表示下列各数： 1 000 000， 57 000 000， -123 000 000 000。解：1 000 000=106， 57 000 000= 5.7 ×10 000 000 = 5.7×107 -123 000 000 000=-1.23 ×100 000 000 000 = -1.23x1011

七年级数学-有理数的乘方、混合运算、科学记数法

一、选择题1、下列运算中正确的是（）. A. a 2·a 3=a 6 B.=2 C. |（3-π）|=－π－3 D. 32=-92、下列各判断句中错误的是（） A.数轴上原点的位置可以任意选定B.数轴上与原点的距离等于317个单位的点有两个C.与原点距离等于-2的点应当用原点左边第2个单位的点来表示D.数轴上无论怎样靠近的两个表示有理数的点之间，一定还存在着表示有理数的点。

3、a 、b 是有理数，若a ＞b 且b a ，下列说法正确的是（）A.a 一定是正数B.a 一定是负数C.b 一定是正数D.b 一定是负数 4、两数相加，如果比每个加数都小，那么这两个数是（）A.同为正数B.同为负数C.一个正数，一个负数D.0和一个负数 5、两个非零有理数的和为零，则它们的商是（）A.0B.-1C.+1D.不能确定 6、一个数和它的倒数相等，则这个数是（）A.1B.-1C. ±1D. ±1和0 7、如果|a|=-a ，下列成立的是（）A.a>0B.a<0C.a>0或a=0D.a<0或a=0 8、（-2）11+（-2）10的值是（）A.-2B.（-2）21C.0D.-2109、已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水一瓶，现有16个矿泉水空瓶，若不交钱，最多可以喝矿泉水（） A. 3瓶 B. 4瓶 C. 5瓶 D. 6瓶 10、在下列说法中，正确的个数是（） ⑴任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 ⑵数轴上的每一个点都表示一个有理数 ⑶任何有理数的绝对值都不可能是负数 ⑷每个有理数都有相反数A 、1B 、2C 、3D 、411、如果一个数的相反数比它本身大，那么这个数为（） A 、正数 B 、负数C 、整数D 、不等于零的有理数12、下列说法正确的是（）A 、几个有理数相乘，当因数有奇数个时，积为负；B 、几个有理数相乘，当正因数有奇数个时，积为负；C 、几个有理数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；D 、几个有理数相乘，当积为负数时，负因数有奇数个；二、填空题 1、在有理数-7，43-，-（-1.43），312--，0，510-，-1.7321中，是整数的有_____________，是负分数的有_______________。

7年级上册§3有理数的乘方与科学记数法

§3.有理数的乘方与科学记数法一、知识要点 1.乘方的意义an na a a a 个⋅=n (为正整数).2.乘方的符号规律（1）正数的n 幂恒为正数；（2）负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负；（3）0的n 闪幂为0. 3.乘方的运算性质（1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()n n nb a ab =；（4）n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛)0(≠b .4.有理数的混合运算法则先算三级运算——乘方，再算二级运算——乘除，最后算一级运算——加减，如果有括号，要最先算括号里面的. 5.科学记数法（1）当10≥N 时，110-⨯=整数位数a N )101(<≤a .（2）当10<<N 时，)(10个数第一个有数字前的零的-⨯=a N )101(<≤a .二、考点演练题型一：乘方的意义 1.计算2013323333++++ 所得结果的末位数字是（）A.0B.1C.3D.72.按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是________.【答案】365题型二：乘方运算3.计算5433414132621⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛.4.计算)2()3(]2)4[()3()2(223-÷--+-⨯-+-.5.计算25.01)2()5(]1)3(54[33222÷-⨯----÷-----.题型三：乘方的综合应用6.阅读材料：求20133222221+++++ 的值.解：设20133222221+++++= S ，将等式两边同时乘以2得：2014432222222+++++= S .将下式减去上式得1222014-=-S S ，即122014-=S ，即12222212014201332-=+++++ .请你仿照此法计算：20133233331+++++ n (为正整数).7.如图，ABC ∆的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点11,B A ，则四边形11ABB A 的面积为43，再分别取C B C A 11,的中点22,B A ，C B C A 22,的中点33,B A ，…依次取下去，利用这一图形，计算n 4343434332++++ .题型四：科学记数法8.据统计，1959年南湖革命纪念馆成立以来，约有2500万人次参观了南湖红船(中共一大会址)，将2500万用科学记数法表示为________.9.一种纤维的截面直径约0.0000003024米，将0.0000003024用科学计算法表示为________.12 3专题演练一、选择题1.下列各式中正确的是（）A.33a a -= B.33)(a a -=C.32a a -=-D.22)(a a -=2.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个；2小时后分裂成6个并死去1个；3小时后分裂成10个并死去1个；……按此规律，5小时后细胞存活的个数为（）A.31个B.33个C.35个D.37个二、填空题3.若44)3(-=x ，则=x ________.4.如图所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形；拼第2个正方形需要9个小正方形；…按照这样的方法拼下去. （1）第n 个大正方形比第)1(-n 个大正方形多________小正方形；（2）若第m 个大正方形比)1(-m 个大正方形多17个小正方形，则=m________.三、解答题 5.计算1281814121++++ .6.观察下列三行数：1- 2 4- 8 16- 32 … 2- 4 8- 16 32- 64 …0 6 6- 18 30- 66 …（1）求第1行第n 个数；（2）取每行的第n 个数，则这3个数的和能否等于1278-？如果能，指出是每行的第几个数，并求出这3个数；如果不能，请说明理由.§3.有理数的乘方与科学记数法一、知识要点 1.乘方的意义an na a a a 个⋅=n (为正整数).2.乘方的符号规律（1）正数的n 幂恒为正数；（2）负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负；（3）0的n 闪幂为0. 3.乘方的运算性质（1）nm nma a a +=⋅；（2）()mnn m a a=；（3）()nnnb a ab =；（4）n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛)0(≠b .4.有理数的混合运算法则先算三级运算——乘方，再算二级运算——乘除，最后算一级运算——加减，如果有括号，要最先算括号里面的. 5.科学记数法（1）当10≥N 时，110-⨯=整数位数a N )101(<≤a .（2）当10<<N 时，)(10个数第一个有数字前的零的-⨯=a N )101(<≤a .二、考点演练题型一：乘方的意义 1.计算2013323333++++ 所得结果的末位数字是（）【答案】CA.0B.1C.3D.72.按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是________.【答案】365【解析】第1个图案为2201+块；第2个图案为2212+块；第3个图案为2223+；……；第14个图案为365131422=+块.题型二：乘方运算3.计算5433414132621⎪⎭⎫⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛.【解析】63104.4.计算)2()3(]2)4[()3()2(223-÷--+-⨯-+-. 【解析】2115-5.计算25.01)2()5(]1)3(54[33222÷-⨯----÷-----.【解析】43题型三：乘方的综合应用6.阅读材料：求20133222221+++++ 的值.解：设20133222221+++++= S ，将等式两边同时乘以2得：2014432222222+++++= S .将下式减去上式得1222014-=-S S ，即122014-=S ，即12222212014201332-=+++++ .请你仿照此法计算：20133233331+++++ n (为正整数).【解析】设S=1+3+32+33+34+…+3n ，两边乘以3得3S=3+32+33+34+…+3n +3n+1，下式减去上式得3S ﹣S=3n+1﹣1，即S=（3n+1﹣1），则1+3+32+33+34+…+3n =（3n+1﹣1）.7.如图，ABC ∆的面积为1，分别取AC 、BC 两边的中点11,B A ，则四边形11ABB A 的面积为43，再分别取C B C A 11,的中点22,B A ，C B C A 22,的中点33,B A ，…依次取下去，利用这一图形，计算n 4343434332++++ .【解析】∵正△ABC 面积为1，11,B A 分别为AC 、BC 两边的中点，∴S △A1B1C =41S △ABC=41 ， ∴S 四边形ABB 1A 1=3S △A 1B 1C=3×41，同理S △A 2B 2C=41S △A 1B 1C= 41×41 = 241， ∴S 四边形A 1B 1B 2A 2=3S △A 2B 2C=3×241， …… 以此类推S四边形A n-1B n-1B n A n =3S △A nB n C=3×n 41，S △A n B n C= n 41， ∵S △ABC=S 四边形ABB 1A 1+S 四边形A 1B 1B 2A 2+…+S 四边形A n-1B n-1B n A n +S △A n B n C=1，即3×41 +3×241 +…+3×n 41+n 41 =1， ∴n n 4114343434332-=++++ .题型四：科学记数法8.据统计，1959年南湖革命纪念馆成立以来，约有2500万人次参观了南湖红船(中共一大会址)，将2500万用科学记数法表示为________. 【解析】7105.2⨯9.一种纤维的截面直径约0.0000003024米，将0.0000003024用科学计算法表示为________.【解析】710024.3-⨯12 3专题演练一、选择题1.下列各式中正确的是（）【答案】DA.33a a -= B.33)(a a -=C.32a a -=-D.22)(a a -=2.某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个；2小时后分裂成6个并死去1个；3小时后分裂成10个并死去1个；……按此规律，5小时后细胞存活的个数为（）【答案】B A.31个 B.33个 C.35个 D.37个二、填空题3.若44)3(-=x ，则=x ________.【答案】3±4.如图所示，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形；拼第2个正方形需要9个小正方形；…按照这样的方法拼下去. （1）第n 个大正方形比第)1(-n 个大正方形多________小正方形；【答案】12+n（2）若第m 个大正方形比)1(-m 个大正方形多17个小正方形，则=m ________.【答案】8【解析】（1）12)1(22+=-+n n n . （2）1712=+m ，所以8=m三、解答题 5.计算1281814121++++ .6.观察下列三行数：1- 2 4- 8 16- 32 … 2- 4 8- 16 32- 64 …0 6 6- 18 30- 66 …（1）求第1行第n 个数；（2）取每行的第n 个数，则这3个数的和能否等于1278-？如果能，指出是每行的第几个数，并求出这3个数；如果不能，请说明理由.。

有理数的乘方、科学计数法、近似数和有效数字

有理数的乘方、科学计数法、近似数和有效数字有理数的乘方1、乘方的概念求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在na 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

2、乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

3、做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

巩固练习 1、乘方的意义（1）在754.中，指数是____，底数是____。

（2）在-?? ??125中，指数是，底数是_____。

（3）在b m中，指数是________，底数是________。

2、有理数乘方180= =25 =-3)2( =31.0 =-4)10( =-2)2.0( =-2)3.0( =-2)211(3、有理数的混合运算=---1110)1()1( =-?-33)21(2 =-?-22)41(4=-÷-)10()10(33 =-÷-)5()5(22 222)4(52-??-=计算题1. 232)31(3)4(-?-- 2. )5()5()2(32-÷--- 3. 4)4(5)1(3100÷-+?-4. 82321)10()10(3--÷--- 5. )21()2()2(4232-?---÷- 6. 322)52()54(10-?-÷-7. []224)3(2711--?-- 8. 2)5(9559)81(-÷?÷- 9. )31()6(2)32(22-?-÷--科学记数法把一个大于10的数表示成 na 10?的形式（其中101<≤a ，n 是正整数），这种记数法是科学记数法。

基础练习1、用科学记数法写出下列各数：10 000 = -1200 = 56 000 000=2、地球绕太阳转动（即地球的公转），每小时约通过110 000km 。

有理数四(乘方及科学计数法)

D、a6÷a2=a4
【科学计数法】【近似数及有效数字】一、基础知识 1.把一个大于 10 的数记成 a×10n 的形式(其中 a 是整数数位只有一位的数)，叫做科学记数法. 2.对一个近似数，从左边第一个不是 0 的数字起，到末位数字止，所有的数字都称为这个近似数的有效数字。二、知识题库 1. 水星和太阳的平均距离约为 57900000 km 用科学记数法表示为. 2.（1） 0.025有个有效数字，它们分别是；（2）1.320有个有效数字，它们分别是；中.考.资.源.网（3） 3.50106 有个有效数字，它们分别是. 3.120 万用科学记数法应写成；2.4 万的原数是 . 4.我国的国土面积为 9596950平方千 M，按四舍五入保留三个有效数字，则我国的国土面积可表示为. 5.改革开放 30 年以来，成都的城市化推进一直保持快速、稳定的发展态势.据统计，到 2008 年底，成都市中心五城区（不含高新区）常住人口已经达到 4410000 人，这这个常住人口数有如下几种表示方法：① 4.41105 人；② 4.41106 人；③ 44.1105 人。其中用科学记数法表示正确的序号为.
A. 52 (5)2 B. (1)1996 1996 C. (1)2003 (1) 0 D. (1)99 1 0
2．☞an与－an的区别．
(1)an表示n个a相乘，底数是a，指数是n，读作：a的n次方． (2)－an表示n个a乘积的相反数，底数是a，指数是n，读作：a的n次方的相反数．如：(－2)3底数是－2，指数是3，读作(－2)的3次方，表示3个(－2)相乘．☞ (－2)3＝(－2)×(－2)×(－2)＝－8．－23底数是2，指数是3，读作2的3次方的相反数．－23＝－(2×2×2)＝－8．注：(－2)3与－23的结果虽然都是－8，但表示的含义并不同．

上海市六年级(下)数学同步讲义第5讲有理数的乘方及科学记数法(解析版)

有理数的乘方及科学记数法是初中数学六年级下学期第1章第2节的内容，重点是掌握有理数的乘方运算及科学记数法的表示方法．熟练有理数的乘方运算对于下一讲学习有理数的混合运算将会很有帮助．1、乘方（1）一般地，我们把n 个相同因数a 相乘，记作na，即nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……．（2）定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方．乘方的运算结果叫做幂，在n a 中， a 叫做底数，n 叫做指数．n a 读作a 的n 次方（“2次方”又可以读作“平方”，“3次方”又可以读作“立方”）．（3）读法：n a 读作a 的n 次方，n a 看作运算结果时，读作a 的n 次幂．有理数的乘方及科学记数法内容分析知识结构模块一：有理数的乘方知识精讲n=．（n为正整数）（4）特别地：11n=，00（5）正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．2/ 18【例1】 23的底数是______，指数是______；434⎛⎫- ⎪⎝⎭的底数是______，指数是______；35-的底数是______，指数是______．【答案】3，2；34-，4；5，3．【解析】乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数．【总结】本题主要考察乘方的定义．【例2】平方等于它本身的数是______，立方等于它本身的数是______．【答案】0和1，1-、0和1．【解析】在有理数中，平方等于它本身的数是0和1；立方等于它本身的数是1-、0和1．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例3】计算：（1）23=______；（2）()23-=______；（3）23-=______；（4）()33-=______．【答案】（1）9；（2）9；（3）-9；（4）-27．【解析】负数的偶次幂为正数，负数的奇次幂为负数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例4】 n 为正整数，则()21n-=______，()211n +-=______，()1n-=______．【答案】1；-1；-1（n 为奇数）或1（n 为偶数）【解析】-1的偶次幂是1，-1的奇次幂是它本身．【总结】本题主要考察有理数的乘方，注意分类讨论．【例5】下列各对数中，数值相等的是（）例题解析A．25-与52-B．53-与()53-C．()22-与22-D．()223⨯与223⨯【答案】B．【解析】在n a中，a是底数，n是指数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例6】一个数的平方一定是（）A．正数B．负数C．非正数D．非负数【答案】D．【解析】任何一个数的平方一定是非负数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例7】计算：（1）232⎛⎫-=⎪⎝⎭______；（2）332⎛⎫--=⎪⎝⎭______；（3）3112⎛⎫-=⎪⎝⎭______；（4）41.5-=______；（5）332-=______；（6）()40.25-=______．【答案】（1）94；（2）278；（3）278-；（4）8116-；（5）272-；（6）1256．【解析】nn aa a a a a⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例8】如果一个有理数的平方等于()22-，那么这个有理数等于（）A．2-B．2 C．4 D．2或2-【答案】D．【解析】()22=4-，平方等于4的数是2或2-．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【例9】平方等于164的数是______，立方等于164的数是______．4/ 18【答案】18±，14．【解析】根据乘方的定义，n n a a a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……，平方等于164的数是18±，立方等于164的数是14．【总结】本题主要考察有理数的乘方和立方的特征．【例10】下列代数式中，值一定是正数的是（） A ．2a B ．6x -+C ．()212a -+D ．42x -+【答案】C ．【解析】正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．【总结】本题主要考察有理数的乘方和立方．【例11】若20a b ->，则b ______0；若20a b -<，则b ______0．（填“>”或“<”）【答案】<；>．【解析】2200a a ≥∴-≤，，则当20a b ->时，0b <；当20a b -<时，0b >．【总结】本题主要考察有理数的乘法和乘方．【例12】如果22x x -=-，则x =______．【答案】0．【解析】222222000x x x x x x -≤-≥-=-∴-=-=，，，，即0x =．【总结】本题主要考察有理数的乘方和绝对值．【例13】把下列各组数的大小关系用“<”号连接：（1）()21.2，()31.2，()41.2可表示为_________________________；6 / 18（2）()20.2，()30.2，()40.2可表示为_________________________；（3）()21.2-，()31.2-，()41.2-可表示为_________________________；（4）()20.2-，()30.2-，()40.2-可表示为_________________________．【答案】（1）()()()2341.2 1.2 1.2<<；（2）()()()4320.20.20.2<<；（3）()()()3241.2 1.2 1.2-<-<-；（4）()()()3420.20.20.2-<-<-．【解析】在n a 中，当01a <<时，n a 随n 的增大而减小，当1a >时，n a 随n 的增大而增大；当0a <时，先判断正负，再比较大小．【总结】本题主要考察有理数的乘方的大小比较，解答的关键是熟练掌握负数的奇数次幂是负数，偶数次幂是正数．【例14】计算：（1）()323⨯-；（2）()2332-⨯-；（3）()22121--⨯-；（4）()2163⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭．【答案】（1）54-；（2）108-；（3）3-；（4）54-．【解析】（1）()()32322754⨯-=⨯-=-；（2）()2332274108-⨯-=-⨯=-；（3）()22121123--⨯-=--=-；（4）()21166695439⎛⎫-÷-=-÷=-⨯=- ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除．【例15】计算：（1）2322⨯；（2）()2322-⨯；（3）()3222⨯-；（4）()2322⨯-．【答案】（1）32；（2）32；（3）32-；（4）32-．【解析】nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘法计算，计算顺序先乘方再乘法，注意符号．【例16】计算：（1）3322÷；（2）()3222-÷；（3）()2322÷-；（4）()3222÷-．【答案】（1）1；（2）2-；（3）2；（4）2-．【解析】（1）3322881÷=÷=；（2）()3222842-÷=-÷=-；（3）()2322842÷-=÷=；（4）()3222842÷-=-÷=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘法计算，计算顺序先乘方再除法．【例17】计算：（1）()32414554⎛⎫÷--÷- ⎪⎝⎭；（2）()()()23323102---÷-+⨯-．【答案】（1）59-；（2）1-．【解析】（1）()()3241455645594⎛⎫÷--÷-=---=- ⎪⎝⎭；（2）()()()233231024301---÷-+⨯-=-++=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除，注意符号．【例18】计算：()()2232111344113264⎛⎫-+---⋅-÷- ⎪⎝⎭．【答案】114．8 / 18【解析】原式=()519911161610566444-+--⨯÷-=+-=．【总结】本题主要考察有理数的乘方和乘除计算，需要注意计算顺序先乘方再乘除，注意符号．【例19】某公司常用的A4打印纸的厚度约为0．1毫米，现将一张这样的纸连续对折9次，那么它有多厚？【答案】51.2毫米．【解析】∵一张纸的厚度大约是0．1毫米∴对折一次的厚度是10.12⨯毫米，对折两次的厚度是20.12⨯毫米……， ∴对折9次的厚度是90.1251.2⨯=（毫米）．故答案为：51.2毫米．【总结】本题主要考察有理数的乘方运算法则，根据题意找出每次对折后纸片厚度的规律是解答此题的关键．【例20】已知()2230a b -++=，则()3a b +=______．【答案】1-．【解析】∵()22030a b -≥+≥，，根据题意得：2030a b -=+=，， ∴23a b ==-，，则()()33231a b +=-=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方及非负数的和为零．【例21】若234a ⎛⎫- ⎪⎝⎭与()45b +互为相反数，则a =______，b =______．【答案】34，5-．【解析】∵2304a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，()450b +≥，()24354a b ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，∴2304a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ()450b +=，即354a b ==-，．【总结】本题主要考察有理数的乘方及相反数的概念．【例22】已知x 的倒数是5，y 的相反数是2，求代数式221424x x y ⎛⎫++÷ ⎪⎝⎭的值．【答案】81400．【解析】由题意得：125x y ==-，，代入得：22142181181424425541004400x x y ⎛⎫⎛⎫++÷=++÷=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方，倒数及相反数的概念．【例23】 323332235317340.544641843⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯-+⨯+÷- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】274-．【解析】原式=2725127172727166436464186464⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =2725117166436418⎛⎫-⨯+-+ ⎪⎝⎭ =27259341664363636⎛⎫-⨯+-+ ⎪⎝⎭ =271664-⨯ =274-．【总结】本题主要考察有理数的乘方，分数的简便运算．模块二：科学记数法知识精讲10 / 181、科学记数法把一个数写成10n a ⨯（其中110a ≤<，n 是整数），这种形式的记数方法叫做科学记数法．用科学记数法可以直观地表示一个数的整数的位数．如10n a ⨯（110a ≤<）有n + 1 个整数位数．【例24】用科学记数法表示下列各数：（1）7013 =___________________；（2）123000000 =______________；（3）304500-=________________；（4）101010．1 =_______________；（5）490.04-=________________；（6）0．00036 =________________；（7）4924.7510⨯=______________；（8）50.003110⨯=_______________．【答案】（1）37.01310⨯；（2）81.2310⨯；（3）53.04510-⨯；（4）51.01010110⨯；（5）24.900410-⨯；（6）43.610-⨯；（7）69.247510⨯；（8）23.110⨯．【解析】科学计数法的表示形式为10n a ⨯（其中110a ≤<，n 是整数），a 与原数相比小数点移动几位，a 的绝对值就是几；原数绝对值小于1时，n 取负数，原数绝对值大于1时，n 取正数．【总结】本题主要考察科学计数法的意义及用科学计数法表示一个数的方法，关键是确定a 与n 的值．【例25】下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数：例题解析（1）3310⨯=________________；（2）41.3410⨯=________________；（3）53.01210-⨯=________________；（4）39.810-⨯=________________．【答案】（1）3000；（2）13400；（3）-301200；（4）-9800．【解析】将科学计数法10na⨯还原成原来的数时，当n>0时，这个数乘以10的几次方，就把这个数的小数点向右移动几位；当n<0时，这个数乘以10的几次方，就把这个数的小数点向左移动几位．【总结】本题主要考察科学计数法的应用．【例26】若53000 5.310n=⨯，则n的相反数的倒数是______．【答案】14 -．【解析】因为45300 5.310=⨯，所以n=4；4的相反数的倒数是14 -．【总结】本题主要考察科学计数法的应用及相反数、倒数的概念．【例27】（1）若一个数等于95.6210⨯，则这个数的整数位有______位；（2）若一个数等于50.00018510⨯，则这个数的整数位有______位．【答案】（1）10；（2）2．【解析】判断一个数的整数位时，将这个数化成原数再判断．【总结】本题主要考察科学计数法表示有理数．【例28】我国研制的“曙光300超级服务器”的峰值运算速度达到每秒403200000000次，它的峰值运算速度用科学记数法表示为（）A．120.403210⨯次/秒B．9403.210⨯米/秒C．114.03210⨯米/秒D．114.03210⨯次/秒【答案】D．【解析】用科学计数法表示大数时，10的指数n的值=整数位数-1．【总结】本题主要考察用科学计数法表示实际生活中的数．【例29】2008年北京奥运会国家体育场的“鸟巢”钢结构工程施工建设中，首次使用了我12 / 18国科研人员自主研制的强度为4.581亿帕的钢材．4.581亿帕用科学记数法表示为______帕．【答案】84.58110⨯．【解析】科学计数法的表示形式为()10110na a ⨯≤<，所以4.581亿帕=84.58110⨯帕．【总结】本题主要考察用科学计数法表示实际生活中的数．【例30】地球绕太阳公转的轨道半径约是149000000千米，则地球绕太阳公转一年经过的路程约为多少千米？【答案】89.357210⨯千米．【解析】因为地球围绕太阳公转一周的周期是一年，所以地球绕太阳公转一年经过的路程约为822 3.141490000009357200009.357210r π≈⨯⨯==⨯千米．【总结】本题主要考察用科学计数法在实际生活中的应用．【习题1】如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是______；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是______．【答案】0和1-；1．【解析】如果一个数的平方是它的相反数，那么这个数是0和1-；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是1．【总结】本题主要考察有理数的乘方，倒数及相反数的概念．随堂检测【习题2】如果一个有理数的偶次幂是非负数，那么这个数是（）A．正数B．负数C．非负数D．任何有理数【答案】D．【解析】任何有理数的偶次幂都是非负数，正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【习题3】一个数的科学记数法是73.1410⨯，它的原数是______________．【答案】31400000．【解析】科学计数法中，指数n>0时，将小数点向右移动七位即可．【总结】本题主要考察科学计数法的定义．【习题4】计算：（1）323⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）323⎡⎤⎛⎫---⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦；（3）334⎛⎫--⎪⎝⎭；（4）3113⎛⎫- ⎪⎝⎭；（5）()42--；（6）()21.375-．【答案】（1）827-；（2）827-；（3）274；（4）6427-；（5）16-；（6）12164．【解析】nn aa a a a a⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方，先确定符号，注意计算顺序，先乘方后乘除．【习题5】70.062410⨯是______位数．【答案】6．【解析】判断一个数的整数位时，将这个数化成原数再判断．【总结】本题主要考察科学计数法表示数．14 / 18【习题6】计算：（1）22512+；（2）()2183-÷-；（3）()()22233322---+--．【答案】（1）169；（2）2-；（3）22-．【解析】（1）原式=25144169+=；（2）原式=1892-÷=-；（3）原式=994822--+-=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方，先确定符号，注意计算顺序，先乘方后乘除．【习题7】我国国土面积约为960万平方千米，用科学记数法可表示为________平方千米，或者__________平方米．【答案】69.610⨯，129.610⨯．【解析】960万平方米=69.610⨯平方千米，因为1平方千米=6110⨯平方米，69.610⨯平方千米=129.610⨯平方米．【总结】本题主要考察科学计数法表示数及单位换算．【习题8】如果把整数a 称为“旧数”，而将旧数先立方，再除以1000所得的数为“新数”，则 “旧数”15按照上述规则运算得到的“新数”为______．【答案】278．【解析】根据题意：新数=31000a ÷=1515152710008⨯⨯=．【总结】本题主要考察有理数的乘方，理解题意是关键．【习题9】计算：44211318.13746⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】0.01．【解析】44211318.13746⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =4424781211210⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ =44781812112100⨯⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭=1100．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数的简便计算．【习题10】计算：()()()323313821320.25⎡⎤--÷--+-⨯-÷⎣⎦．【答案】43-．【解析】原式=()()27119842721843----+⨯-÷=-+-=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数的简便计算，注意计算顺序，先乘方再乘除．【作业1】计算：（1）43=______；（2）()35-=______；（3）512⎛⎫- ⎪⎝⎭=______；（4）211-=______；（5）235⎛⎫- ⎪⎝⎭=______；（6）235-=______．【答案】（1）81；（2）-125；（3）132-；（4）-121；（5）925；（6）95-．【解析】nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【作业2】一个数的平方是正数，则这个数的立方是（）A ．正数B ．负数C ．正数或负数D ．非负数【答案】C ．【解析】任何非零有理数的平方都是正数；所以这个数是正数或负数，即它的立方为正数或负数．【总结】本题主要考察有理数的乘方．课后作业16 / 18【作业3】（1）30070000-=______710⨯；（2）5432000 =5．43210n ⨯，则n =______．【答案】（1） 3.007-；（2）6．【解析】用科学计数法表示绝对值大于10的数时，10的指数n 比原数的整数位数少1．【总结】本题主要考察科学计数法表示大数．【作业4】平方等于36的数是______，立方等于127-的数是______．【答案】6或6-，13-．【解析】根据乘方的定义，nn aa a a a a ⨯⨯⨯⨯=个……，平方等于36的数是6或6-，立方等于127-的数是13-．【总结】本题主要考察有理数的乘方．【作业5】 ()()()()12233420162017-⨯-⨯-⨯⨯-=______．【答案】1．【解析】原式=()()()()1111-⨯-⨯-⨯⨯-…… （共2016个1-） =1．【总结】本题主要考察有理数的乘方，关键是找到规律．【作业6】计算：（1）()33131--⨯-；（2）()2233-÷-；（3）()2233---；（4）222233⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【答案】（1）2；（2）1-；（3）18-；（4）89．【解析】（1）()33131132--⨯-=-+=；（2）()2233991-÷-=-÷=-；（3）()22339918---=--=-；（4）222244833399⎛⎫--=-= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方，注意先乘方再乘除．【作业7】据统计，地球上每分钟约有8500000吨污水排入江河湖海，用科学技术法表示每天的排污量为______________千克．【答案】131.22410⨯．【解析】8500000吨=8500000000千克=98.510⨯千克，故每天的排污量为：9138.5106024 1.22410⨯⨯⨯=⨯（千克）．【总结】本题主要考察科学计数法表示数，注意单位换算．【作业8】计算：()()33323332232238-⨯-÷+--．【答案】132819-．【解析】原式=()()319823274182723827812781919⎛⎫-⨯-÷+-=-⨯+-=⨯-- ⎪⎝⎭321327281919=--=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方及混合运算．【作业9】计算：()()26422543452854⎛⎫-⨯+-⨯-÷-+ ⎪⎝⎭．【答案】164-．【解析】原式=654196259962516510108251644444⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯⨯+=--+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=10154164--=-．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数简便运算．【作业10】计算：18 / 18（1）10919999⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭；（2）()()502520.25-⨯-．【答案】（1）199；（2）1-．【解析】（1）1099911111999919999999999⎛⎫⎛⎫⨯=⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）()()2525502550251120.2524144⎛⎫⎛⎫-⨯-=-⨯=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考察有理数的乘方及分数简便运算．。

05-有理数的乘方与科学记数法-七年级寒假讲义

第五讲乘方与科学计数法【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；2. 理解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示一个较大的数；3. 进一步掌握有理数的混合运算.【知识梳理】知识点一、有理数的乘方定义：求n个相同因数的积的运算，叫做，乘方的结果叫做幂．即有：a·a·a·…·a=n a.在n a中，a叫做，n叫做 .知识点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是；（2）负数的奇次幂是，负数的偶次幂是；（3）0的任何正整数次幂都是；（4）任何一个数的偶次幂都是，即．知识点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先，再，最后；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按、、依次进行．知识点四、科学记数法把一个大于10的数表示成的形式（其中a是整数数位只有一位的数，，n是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝7.4.210知识点五、近似数及精确度1.近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.一般采用法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.2.精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.【例1】直接写出计算结果：(1)(-2)×(-2)＝ (2)(-2)×(-2)×(-2)＝(3)(-2)×(-2)×(-2)×(-2)＝ (4)(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)＝【例2】把下列各数写成数的乘积的形式：(1)53＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿； (2)(－7)4＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；(3)(－12)5＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. (4)－34＝；【例3】把下列各数写成乘方的形式：(1)3×3＝＿＿＿＿＿＿； (2)2×2×2＝＿＿＿＿＿＿；(2)(－5)×(－5)×(－5)×(－5)＝＿＿； (4)(－0.6)×(－0.6)×(－0.6)＝＿＿.【例4】填空：(1)94的底数是＿＿＿，指数是＿＿＿，幂是＿＿＿，读作＿＿＿＿＿＿＿；(2)(－7)3的底数是＿＿，指数是＿＿，幂是＿＿＿，读作＿＿＿＿＿＿＿；(3)8的底数是＿＿＿，指数是＿＿＿，幂是＿＿＿，读作＿＿＿＿＿＿＿.【例5】探究题：（1）直接写出计算结果：(－2)2＝ (－2)3＝ (－2)4＝ (－2)5＝（2）从上面四道题，你发现：当底数是负数，指数是奇数时，乘方的结果是数，也就是说，负数的奇次方是数；当底数是负数，指数是偶数时，乘方的结果是数，也就是说，负数的偶次方是数.【例6】下列是科学记数法的是( )．A、50×106B、0.5×104C、－1.560×107D、1.510【例7】探究题：（1）计算：102＝ 103＝ 104＝ 105＝（2）填空：(1)由1题你发现的规律是：10的几次方等于1后面带几个＿＿＿；(2)根据你发现的规律，直接写出下面乘方的结果：106＝＿＿＿＿＿，107＝＿＿＿＿＿；(3)根据你发现的规律，将下面的数写成乘方的形式：100000000＝，1000000000＝ .一、选择题：1、350000000用科学记数法表示成（）A、35×107B、3.5×107C、0.35×109D、3.5×1082、在，0，-22，（-3）2，2中，是负数的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、把10 500用科学记数法表示，正确的是（）A 、0.105×105B 、1.05×104C 、1.5×105D 、1.05×1054、如果那么下列结论正确的是（） A 、B 、C 、D 、以上答案都有错误 5、（-1）2k+1和-（-1）2k （k 是正整数）的大小关系是（） A 、（-1）2k+1＞-（-1）2k B 、（-1）2k+1＜-（-1）2k C 、（-1）2k+1＝-（-1）2kD 、大小有k 决定二、计算题：1、直接写出下面乘方的结果：(1)(－2)3＝ (2)(－3)2＝ (3)(－3)3＝ (4)(－1)7＝(5)(－1)8＝ (6)(－1)9＝ (7)0.12＝ (8)0.13＝2、填空：用科学记数法表示数.(1)800000＝8×＿＿＿＿； (2)56000000＝5.6×＿＿＿； (3)－7400000＝－7.4×＿＿＿＿.3、用科学记数法表示数：(1)30000＝ (2)4030000000＝ (3)－1240000＝4、下列各数是用科学记数法表示的数，写出它的原数：(1)4×103＝ (2)8.5×106＝ (3)－3.96×104＝5、将计算结果直接写在横线上： (1)－22－(－3)2＝_______； (2)=-⨯-3)21(54________； (3)=÷-⨯23)32(2________； 6、计算：（1）(－1)10×2＋(－2)3÷4 （2）(－5)3－3÷(－12)4；（3）115×(13－12)×311÷54（4）(－10)4＋［(－4)2－(3＋32)×2］（5）15.12156.24135.0+-++- （6）)87()12787431(-÷--（7）7412(54)7215÷-⨯⨯÷-）（（8）(－3)2×(－1.22)÷(－0.3)3（9）2×(－3)3－4×(－3)＋15（10）－9＋12÷(－6)－(－4)2÷(－8)（11）=⨯--⨯-2236.0321)32()5.1( （12）=-+--222332)32(2)2(（13）|)3(2|31)5.01(124--⨯⨯-+- （14）22)32(3|)411()52(2|-⨯--÷-⨯。

有理数的乘方、混合运算及科学记数法(基础)知识讲解.doc

有理数的乘方、混合运算及科学记数法（基础）责编：某老师【学习目标】1．理解有理数乘方的定义；2. 掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；3. 进一步掌握有理数的混合运算.4. 会用科学记数法表示大数.【要点梳理】要点一、有理数的乘方定义：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．即有：n a a a a n ⋅⋅⋅=个.在na 中，a 叫做底数， n 叫做指数．要点诠释：（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．要点二、乘方运算的符号法则（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，如 na ≥0．要点诠释：(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．(2)任何数的偶次幂都是非负数．要点三、有理数的混合运算有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．要点诠释：(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．(3)在运算过程中注意运算律的运用．要点四、科学记数法把一个大于10的数表示成10n a ⨯的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，l ≤|a |<10，n 是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如42000000＝74.210⨯. 要点诠释：（1）负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样，如-3000=3310-⨯；（2）把一个数写成10na ⨯形式时，若这个数是大于10的数，则n 比这个数的整数位数少1.【典型例题】类型一、有理数乘方【高清课堂：有理数的乘方及混合运算 356849 有理数乘方的性质】1．计算：（1）3(4)- （2）34- （3）4(3)- （4）43-（5）335（）（6）335 （7）2⨯（23）（8）223⨯ 【答案与解析】（1）3(4)-(4)(4)(4)64=-⨯-⨯-=-；（2）34-44464=-⨯⨯=-；（3）4(3)-(3)(3)(3)(3)81=-⨯-⨯-⨯-=；（4）43-333381=-⨯⨯⨯=-；（5）335（）33327555125=⨯⨯=；（6）3353332755⨯⨯==；（7）2⨯（23）2636==；（8）223⨯2918=⨯=【总结升华】()n a -与n a -不同，()()()nn a a a a -=--⋅⋅⋅个，而nn a a a a-=-⋅⋅个表示a 的n 次幂的相反数．举一反三：【变式】（2015•长沙模拟）比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（） A ．它们底数相同，指数也相同 B ．它们底数相同，但指数不相同C ．它们所表示的意义相同，但运算结果不相同D ．虽然它们底数不同，但运算结果相同【答案】D ．解：比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.类型二、乘方的符号法则2．不做运算，判断下列各运算结果的符号．(-2)7，(-3)24，(-1.0009)2009，553⎛⎫ ⎪⎝⎭，-(-2)2010【思路点拨】理解乘方的意义，掌握乘方的符号法则．【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：(-2)7运算的结果是负；(-3)24运算的结果为正；(-1.0009)2009运算的结果是负；553⎛⎫ ⎪⎝⎭运算的结果是正；-(-2)2010运算的结果是负．【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．类型三、有理数的混合运算3. （2016春•滨海县校级月考）计算：（1）4×（﹣）×3﹣|﹣6|；（2）（﹣1）3×（﹣12）÷[（﹣4）2+2×（﹣5）]．【思路点拨】（1）原式先计算乘法及绝对值运算，再计算加减运算即可得到结果；（2）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=12×（﹣）﹣6=﹣6﹣9+30﹣6=9；（2）原式=﹣1×（－12）÷（16－10）=12÷6 =2．【总结升华】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．举一反三：【变式】计算：（1）4211(10.5)[2(3)]3---⨯---（2）2421(2)(4)12⎛⎫-÷-⨯- ⎪⎝⎭【答案】原式111151(29)1(7)17523666⎛⎫=--⨯--=----=--+=⎪⎝⎭原式11116(4)11612444=÷-⨯-=-⨯⨯-=-类型四、科学记数法4. 用科学记数法表示：(1)3870000000；（2）3000亿；（3）287.6-. 【答案与解析】（1）把3870000000写成10na ⨯时， 3.87a =，它是将原数的小数点向左移动9位得到的，即把原数缩小到9110，所以93870000000 3.8710=⨯；（2）3000亿=300 000 000 000，把3000亿写成10na ⨯时，3a =，n 的值应比 300 000 000 000的整数位少1，因此 11n =，所以3000亿=11310⨯；（3）287.6-写成10n a ⨯时，“-”照写，其它和正数一样，所以2287.6 2.87610-=-⨯. 【总结升华】带有文字单位的数先变为原数，再写成10na ⨯形式，n 的确定：n 比这个数的整数位数少1. 举一反三：【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据，本市常住人口760.57万人，其中760.57万人用科学记数法表示为（） A ．7.605 7×510人 B ．7.605 7×610人 C ．7.605 7×710人 D ． 0.760 57×710人【答案】B5. （2015•福州）计算3.8×107﹣3.7×107，结果用科学记数法表示为（） A ．0.1×107B ． 0.1×106C ． 1×107D ． 1×106【答案】D ．解：3.8×107﹣3.7×107=（3.8﹣3.7）×107=0.1×107=1×106．【总结升华】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．注意灵活运用运算定律简便计算．类型五、探索规律6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到根面条，第5次捏合抻拉得到根面条，第n 次捏合抻拉得到根面条，要想得到64根细面条，需次捏合抻拉.第1次第2次第3次【思路点拨】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是找出每一次拉出来面条的根数的规律．第1次：122=；第2次：224=；第3次：328=；…；第n 次：2n .【答案】8；32；2n ； 6【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：第1次：122=；第2次：224=；第3次：328=；…；第n 次：2n .第3次捏合抻拉得到面条根数：32，即8根；第5次得到：52，即32根；第n 次捏合抻拉得到2n；因为6264=，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.【总结升华】解答此类问题的方法一般是：从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．举一反三：【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．【答案】6。

初一数学-1.6有理数的乘方+科学计数法

n
n a × a × a × „ × a 简记作 a ，即. 相乘，即
a =a × a × a ×…×a,
n个
n
n个
我们把a 读作a的n次方,也读做a的n次幂.
我们把an读作a的n次方,也读做a的n次幂. 求n个相同因数的乘积的运算，叫做乘方. 在an中， a叫做底数，n叫做指数.
幂
(因数)
a
n
指数
说一说
(3) 01= 0 02= 0×0=0 3 0 =0×0×0=0
0的任何正整数次幂都是0．
幂的性质：正数的任何次幂都是正
练习数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。0的任何次幂是0。
12
1） 7 是 3） 25 =
正
（填“正”或“负”）数；
2） 129 是负（填“正”或“负”）数；
(因数的个数)
底数
特别地， a2通常读做a的平方，a3通常读做a的立方.
练习 1）在
12
10
中，12是底数，10是指数，
读作 12的10次方或者读作
2 的底数是 2）
7
12的10次幂
；
3 2 3 的7次方或者作
2 3
，指数是 7 ，读
读作
2 3
的7次幂
；
练习 16 3）在 3 中，-3是底数，16是指数，读作 -3的16次方； 4)在 a 17中，底数是 a ；指数是17 ；
（-2）×（-2）×（-2）×（-2）×（-2）
可以简记作什么？
在小学已经学过，2× 2可以简记为22 ，2×2×2可
以简记为2 . 类似地，我们把(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2) 简记作(-2)5.2×2×2×2×2简记作25

《有理数的乘方》讲义

《有理数的乘方》讲义一、引入在我们的数学世界中，有理数的运算有着丰富多样的形式，其中有理数的乘方是一个重要且有趣的概念。

想象一下，将相同的有理数不断相乘，这就引出了乘方的运算。

二、什么是有理数的乘方有理数的乘方是指将一个有理数乘以自身若干次的运算。

一般地，n 个相同的有理数 a 相乘，记作aⁿ，读作“a 的 n 次方”。

其中，a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂。

例如，2×2×2×2 可以记作 2⁴，其中 2 是底数，4 是指数，2⁴的结果 16 就是幂。

乘方有着其独特的表示形式和运算规则，它为我们解决很多数学问题提供了便利。

三、有理数乘方的运算规则1、正数的任何次幂都是正数比如，3²＝ 9，3³＝ 27 。

2、负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数例如，（－2)³＝－8，（－2)²＝ 4 。

3、 0 的任何正整数次幂都是 00²＝ 0，0³＝ 0 。

在进行有理数乘方运算时，要特别注意底数和指数的关系，以及符号的变化规律。

四、有理数乘方的运算1、简单的乘方运算先确定符号，再计算绝对值。

例如，计算（－3)²，先确定符号为正，然后计算 3²＝ 9 ，所以（－3)²＝ 9 。

再如，（－5)³，符号为负，5³＝ 125 ，所以（－5)³＝－125 。

2、乘方的混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里的。

例如，计算 2 ＋ 3² ×（－1) ，先算 3²＝ 9 ，式子变为 2 ＋ 9 ×（－1) ，再算乘法 9 ×（－1) ＝－9 ，最后算加法 2 ＋（－9) ＝－7 。

五、有理数乘方的应用1、计算面积和体积在计算正方形的面积和正方体的体积时，会用到乘方。

比如，正方形的边长为 5 ，则面积为 5²＝ 25 ；正方体的棱长为 3 ，则体积为 3³＝ 27 。

有理数的乘方及科学计数法

第六讲：有理数的乘方、科学计数法知识点：1、乘方：相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；（在na 中，a 是底数，n是指数）2、有理数的乘方运算法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任何次幂是正数；③0的任何正次幂是0；3、有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；② 同级运算，从左到右；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号的顺序进行；4、科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数，这种记数法叫科学记数法；.一、填空题： 1、把－34×34×34×34写成乘方的形式_______，把（－34）×（－34）× （－34）×（－34）写成乘方的形式是______，把（－0.1）×（－0.1）×()40.1-写成乘方的形式为______，把225⎛⎫- ⎪⎝⎭写成乘法运算形式是______。

2、平方等于116的数是______，立方等于－27的数是________。

3、当n 为奇数时，()114n +-＝______，当n 为偶数时，()114n+-＝________。

4、一个数的平方等于它本身的数____，一个数的立方等于它本身的数是______。

5、一个数的平方与这个数的绝对值相等，则这个数是_______。

6、计算：200320040.1258⨯（－）＝_______。

7、用科学记数法表示：（1）3590000＝＿＿＿＿＿；（2）－9909000＝＿＿＿＿＿。

8、3.65×510原来是＿＿＿位数。

9、一粒纽扣式电池能污染60L 水，某市每年报废的电池有近一千万粒，如果废旧电池不回收，一年报废的电池所污染的水约＿＿＿＿＿＿L （用科学记数法表示）10、上海磁悬浮铁路全长30km ，单向运行时间为8min,那么磁悬浮列车的平均速度用科学记数法表示约＿＿＿＿＿m/min.11、地球半径大约是6370km ，用科学记数法表示为＿＿＿＿＿。

2.5.2有理数的乘方——科学记数法、与乘方有关的巧算(课件)七年级数学上册(浙教版2024)

03
典Hale Waihona Puke 精析例3-2、计算下列各式，并把结果用科学记数法表示：
(1)(1.5×104)×(1.2×105)；
(2)(-6.4×106)÷(2×103)。
解：(1)原式=(1.5×1.2)×(10 000×100 000)
=1.8×(1 000 000 000)=1.8×109；
.×
3.用计算器计算-8 000 000×600 000 000，计算器如何显示？
02
知识精讲
我们经常会遇到一些较大的数，为了读写方便，我们常用带一位
整数的数与10的乘方的乘积来表示较大的数。
eg：600 000=6×100 000=6×105；
20 000 000=2×10 000 000=2×107；
（用科学记数法表示）
解：8.64×104×365
=8.64×365×104
=3153.6×104
=3.1536×107，
答：一年有3.1536×107秒。
与乘方有关的巧算
03
典例精析
2
2
例1、(1)3 ×( )

2
3
(2)5 ×(- )

解：(1)原式=3×3× ×

2
2
(2)原式=5×5 ×( )

=(3× )×(3× )

2
=5×(5× )

2
=(3× )

=5×12
=1
乘法交换、结合律

=5
03
典例精析
2025
2025
(3)(-2) ×(- )
(4)(-0.25)2025×42024

有理数的乘方与科学记数法

第四讲有理数的乘方1 有理数的乘方知识点1 有理数乘方的意义求n 个相同因数的积的运算，叫乘方。

n aa a aa个记作“na ”。

乘方的结果叫做幂。

在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数， na 读作a 的n 次方，()m n mn a a 。

知识点2 乘方运算的符号法则正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

2 有理数的混合运算知识点1 有理数混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

方法技巧1：在只含有乘、除法的算式中，可以由“负”号的个数确定结果的符号。

“负”号有奇数个时，结果为负；“负”号有偶数个时，结果为正。

方法技巧2：分数、小数乘除混合运算，通常把小数化为分数，带分数化为假分数。

当把乘除都化成乘积的形式时，应先确定积和符号。

含有多重括号，去括号的一般方法是由内向外，即依次去掉小、中、大括号，也可以由外到内。

在进行混合运算时，要注意两点：一是运算顺序，二是运算符号。

方法技巧3：灵活运用有理数的运算法则、运算律，适当地添加或去括号改变运算顺序常可达到简化运算的效果。

凑整、分组、拆项、相消、分解相约、整体处理等是有理数运算常用的方法与技巧。

例1 把下列乘法式子写成乘方的形式： 1、(-1)×(-1)×(-1)×(-1)×(-1) =；2、65×65×65×65=； 3、－32×32×32=；例2 把下列乘方写成乘法的形式：1、()39.0-= ；2、479⎪⎭⎫ ⎝⎛= ；3、()2b a -= ；例3.判断改错（）①32=2×3；（）②2+2+2=32；（）③32=2×2×2；（）④42-=（－2）×（－2）×（－2）×(－2)；例4 计算：()1()34-。

()2()42-（3）4×22 =____, －4×22=_____, 4×(－2)2=_____,(4×2)2=____, (－4×2)2=____.(4)(－103)2=_____,－(103)2=_____,－1032=______.(5)8÷22 =___, (8÷2)2=____. (6)（－1）1+n ＋（－1）n=_____.3 科学计数法把一个大于10的数记成“10na ⨯”的形式，其中a 是整数数位中只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。

有理数的乘方、科学计数法

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× 10 ，而不是 179.4=1794× 10
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3
第四部分：典型例题
例 1、计算 (2) ）－2×4
2
（3） ( 2) ( )
3
1 3
2
（4） (3 5) 4
例 3、下例四舍五入得到得近似数，各精确到哪一位。（1）43．8 （2）0．03086 （3）2．4 万（4）2．50 （5）0．0010 （6） 2.30 10
2．近似数 3.8 是由不小于________的数和小于________的数四舍五入得到的． 3．已知 4.8 ＝110.6，则 0.48 ＝________，480 ＝________. 4．已知 5.55 ＝30.80，则(－555) ＝________.(用科学记数法表示) 5. 把 12 500 取两个有效数字的近似数用科学记数法表示为________． 6. 2007 年吉林省全面实施义务教育经费保障机制，全部免除农村约有 2 320 000 名学生的学杂费.2 320 000 名用科学记数法表示为________名．
分析：第（1）、（3）、（4）小题可直接根据乘方法则进行计算.所不同的是（1）小题中底数为整数，（3）、（4）小题的底数为分数.（2）、（5）、（6）小题则极易出现错误，这里不仅需要注意运算结果的符号，还应注意运算顺序. 解：（1） (4) 2 =16 （3） ( ) =
2
（2） 4 =－16
课题教学目标
有理数的乘方、科学计数法
1、进一步掌握有理数的乘方相关概念； 2、能够熟练的找出底数、指数； 3、会用科学计数法表示较大的数；
教学重点教学难点
有理数的乘方的运算和科学计数法科学计数法中的精确度和找出有理数乘方中的底数

北师大版七年级上册有理数的乘方与科学计数法.doc

卓育1对1个性化教秦教导处签字:一、学生对于本次课的评价O特别，满意O「满意O 一般O差二、教师评定1、学生上次作业评价：O好O较好O —般O差2、学生本次上课情况评价：O好O较好O —般O差作业布置教师与言教师签字:家长意见家长签字：观察图形与物体教学目标：1、理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方的运算。

2、渗透分类讨论思想。

教学重难点：1、正确理解乘方的意义，掌握乘方的运算法则，进行有理数乘方运算。

2、借助身边熟悉的事物进一步体会大数，并会利用科学记数法表示大于10的数。

知识讲解：知识点一、1、有理数乘方的意义求n个相同因数的积的运算，叫乘方。

'—的一记作“。

〃气乘方的结果叫做幕。

在/ 中，。

叫做底数，n叫做指数，。

读作。

的n次方，色）="o2、乘方运算的符号法则正数的任何次幕都是正数；负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数。

3、有理数混合运算的运算顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。