幂函数学案3节

合集下载

3.3 幂函数导学案(1)

3.3 幂函数1.理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象; 2.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； 3.能应用幂函数性质解决简单问题。

1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。

一、幂函数的是概念：一般地，函数叫做幂函数(power function) ，其中为自变量，为常数。

二、幂函数的性质一、探索新知探究一幂函数概念（一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付P = W 元， P 是W 的函数（y=x ）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a 2 ， S 是a 的函数（y=x 2）。

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a 3， S 是a 的函数（y=x 3）。

(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 12S 。

a 是S 的函数。

（y=12x ） (5)如果某人 t s 内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t -1，V 是t 的函数。

（y=x -1）问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义：一般地，函数y=x ɑ叫做幂函数(power function) ，其中x 为自变量，ɑ 为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = x a 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。

练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）4y x =；（2）22y x =；（3）2y x =-；（4）2x y =；（5）2y x -=；（6） 3+2y x =。

学案3：4.4　幂函数

4.4 幂函数【课标要求】课程标准：1.通过具体实例，了解幂函数的概念.2.结合函数y ＝x ，y ＝1x ，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图像，了解幂函数图像的变化规律，掌握幂函数的图像与性质.教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图像与性质. 教学难点：幂函数性质的简单应用.【知识导学】知识点一幂函数的概念一般地，函数称为幂函数，其中为常数．知识点二一些常用幂函数的图像同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12 的图像(如图)．知识点三幂函数的共同特征(1)所有的幂函数在区间上都有定义，并且图像都通过点． (2)如果α>0，则幂函数的图像通过，并且在区间[0，＋∞)上是函数．(3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是函数，且在第一象限内：当x 从右边趋向于原点时，图像在y 轴右方且无限地逼近轴；当x 无限增大时，图像在x 轴上方且无限地逼近轴．【新知拓展】1．幂函数的特征 (1)x α的系数为1. (2)x α的底数是自变量．(3)xα的指数为常数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．2．幂函数与指数函数的区别3．一些常用幂函数的性质【基础自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()(2)幂函数的图像必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)指数函数y＝a x的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()(4)对于幂2 12，既可以看成某指数函数的函数值，也可以看成某幂函数的函数值．( ) (5)当x ＞1时，函数y ＝x 2的图像总在函数y ＝x 3的图像的下方．( ) 2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________.(2)已知幂函数f (x )＝x α的图像经过点(2,8)，则f (－2)＝________.(3)若y ＝ax a 2－15是幂函数，则该函数的定义域是______，值域是_______，奇偶性是________，单调性为____________________________．【题型探究】题型一幂函数的定义例1 已知幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．【规律方法】判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 【跟踪训练1】(1)在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知y ＝(m 2＋2m －2) ＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．题型二幂函数的图像及应用例2幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x 13，y＝x－12在第一象限内的图像依次是图中的曲线()A．C2，C1，C3，C4B．C4，C1，C3，C2C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3【规律方法】解决幂函数图像问题应把握的两个原则(1)依据图像高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图像越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图像越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图像确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图像(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断．【跟踪训练2】(1)如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图像，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1(2)已知函数y＝x 2 3 .①求定义域；②判断奇偶性；③已知该函数在第一象限的图像如图所示，试补全图像，并由图像确定单调区间．题型三幂函数的性质及应用——角度1比较幂值大小——例3比较下列各组数的大小：(1)1.512，1.712；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2；(4)0.53,30.5，log30.5.【规律方法】幂大小的比较方法两个或几个幂比较大小，当指数相同，而底数不同时，常先构造幂函数，然后利用单调性比较大小；有时可与0,1等值比较，从而进一步进行比较，这种方法常称为媒介法．【跟踪训练3】比较下列各组中两个幂的值的大小：(1)⎝⎛⎭⎫230.5，⎝⎛⎭⎫350.5； (2)⎝⎛⎭⎫－23－1，⎝⎛⎭⎫－35－1； (3)(－0.23) 23 ，0.32 23.——角度2 解不等式——例4 已知(a ＋1)－13<(3－2a ) －13 ，求实数a 的取值范围．【规律方法】利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下： (1)确定可以利用的幂函数．(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系． (3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．【跟踪训练4】已知(a ＋1)－2>(3－2a )－2，求a 的取值范围．【随堂达标】A ．①⑤⑥B ．①②③⑦C ．②④D ．②③⑤⑦2．幂函数y ＝x 34的定义域是( ) A ．RB ．[0，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．以上都不对3．函数y ＝x 53的图像大致是图中的( )4．设a ＝⎝⎛⎭⎫1223 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，c ＝⎝⎛⎭⎫1213 ，则a ，b ，c 从小到大的顺序是________． 5．已知幂函数f (x )＝x 3m －9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式．【参考答案】【知识导学】知识点一幂函数的概念 y ＝x αα知识点三幂函数的共同特征 (1) (0，＋∞) (1,1)(2)原点增 (3)减yx 轴【基础自测】1．答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 2．答案 (1)3 (2)－8(3)R [0，＋∞) 偶函数在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增【题型探究】题型一幂函数的定义例1[解] ∵y ＝(m 2－m －1)x m2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0；故m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3或y ＝x 0，它们的定义域都是{x |x ≠0}．【跟踪训练1】答案 (1)B (2)见解析解析 (1)因为y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于系数为2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；常函数y ＝1的图像比幂函数y ＝x 0的图像多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．故选B. (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.题型二幂函数的图像及应用例2[解析] 由于在第一象限内直线x ＝1的右侧，幂函数y ＝x α 的图像从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图像在第一象限内直线x ＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图像为C 1，y ＝x －1在第一象限内的图像为C 4，y ＝x 13 在第一象限内的图像为C 2，y ＝x －12在第一象限内的图像为C 3. [答案] D 【跟踪训练2】答案 (1)B (2)见解析解析 (1)在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图像有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.(2)①y ＝x 23 ＝3x 2，定义域为实数集R .②设y ＝f (x )，因为f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y ＝x 23是偶函数．③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图像关于y 轴的对称图像，即得函数y ＝x 23的图像，如图所示．根据图像易知，函数y ＝x 23在区间[0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数. 题型三幂函数的性质及应用 ——角度1 比较幂值大小—— 例3[解] (1)∵y ＝x 12在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7， ∴1.5 12 <1.7 12 .(2)∵y ＝x 3在R 上是增函数，－1.2>－1.25， ∴(－1.2)3>(－1.25)3. (3)∵y ＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1.∵y ＝5.26x 在R 上是增函数，－1>－2. ∴5.26－1>5.26－2.综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2. (4)∵0<0.53<1,30.5>1，log 30.5<0， ∴log 30.5<0.53<30.5. 【跟踪训练3】解 (1)∵幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数，且23>35，∴⎝⎛⎭⎫230.5>⎝⎛⎭⎫350.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是减函数，且－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵y ＝x 23为R 上的偶函数， ∴(－0.23) 23 ＝0.23 23.又∵y ＝x 23 为[0，＋∞)上的增函数，∴0.23 23 <0.32 23 ，∴(－0.23) 23 <0.32 23 .——角度2 解不等式——例4[解] ∵y ＝x －13 在(－∞，0)及(0，＋∞)上单调递减，又(a ＋1) －13 <(3－2a ) －13 ，∴3－2a <1＋a <0或a ＋1>3－2a >0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0. 解得23<a <32或a <－1. 【跟踪训练4】解由幂函数y ＝x －2的图像(如图)可知，|x |越小，y 值越大．∵(a ＋1)－2>(3－2a )－2，∴|a ＋1|<|3－2a |，即(a ＋1)2<(3－2a )2，∴3a 2－14a ＋8>0，结合y ＝3a 2－14a ＋8的图像，得a <23或a >4. 【随堂达标】1. 答案 C解析符合幂函数y ＝x α形式的只有②④，故选C.2．答案 B解析由y ＝x 34 ，得y ＝4x 3，x 3≥0，即x ≥0.故此函数的定义域是[0，＋∞)．3．解析 ∵函数y ＝x 53 是奇函数，且53>1，∴函数y ＝x 53 的图像大致为B. 4．答案 b <a <c解析 a ＝⎝⎛⎭⎫12 23 ，b ＝⎝⎛⎭⎫15 23 ，可利用幂函数的性质，得a >b ，a 与c 可由指数函数的单调性得c >a ，∴b <a <c .5．解 ∵幂函数f (x )＝x 3m－9在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m －9<0，即m <3.又∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又f (x )＝x 3m －9的图像关于y 轴对称，即该函数是偶函数，∴3m －9是偶数，∴m ＝1，∴f (x )＝x －6.。

学案3：3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表

3.2.1 常数与幂函数的导数3.2.2 导数公式表学习目标1.能够由定义根据求导数的三个步骤，推导常数函数与幂函数的导数；2.在教学过程中，注意培养学生归纳、探求规律的能力.学习重点利用前面已学的求导数的三个步骤对常数函数与幂函数进行探究；学习难点用从特殊到一般的规律来探究公式.学习过程例题讲解例1：求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数.例2：已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程．课堂练习1．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③2．正弦函数y ＝sin x 上切线斜率等于12的点为( ) A ．(π3，32) B ．(－π3，－32)或(π3，32)C ．(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) D ．(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z ) 3．给出下列函数(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′ (2)y ＝(sin x )′＋cos x(3)y ＝sin x ＋(cos x )′ (4)y ＝(sin x )′·(cos x )′其中值域不是[－2，2]的函数有多少个( )A ．1B ．2C ．3D ．44．下列结论正确的是( )A ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xB ．若y ＝sin x ，则y ′＝－cos xC ．若y ＝1x ，则y ′＝－1x2 D ．若y ＝x ，则y ′＝x 25．已知f (x )＝x 3，则f (x )的斜率为1的切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不能确定6．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)的切线方程． 7．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值和该切线方程．回顾总结布置作业参考答案：例题讲解例1：解：f ′(x )＝(1x )′＝(12x -)′＝－12112x -- ＝－1232x -＝－12x 3, ∴f ′(1)＝－12×1＝－12, ∴函数f (x )在x ＝1处的导数为－12.例2：解：由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，令x ＝2－x ，得f (2－x )＝2f (x )－(2－x )2＋8(2－x )－8，即2f (x )－f (2－x )＝x 2＋4x －4，联立f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，得f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，f ′(2)＝4，即所求切线斜率为4，∴切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.课堂练习1．【答案】C【解析】当f (x )＝sin x ＋1时，f ′(x )＝cos x ，当f (x )＝2时，f ′(x )＝0.2．【答案】D【解析】由(sin x )′＝cos x ＝12得x ＝2k π－π3或x ＝2k π＋π3(k ∈Z )．所以切点坐标为(2k π－π3，－32)或(2k π＋π3，32)(k ∈Z )． 3．【答案】C【解析】(1)y ＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ∈[－2，2]．(2)y ＝(sin x )′＋cos x ＝2cos x ∈[－2,2]．(3)y ＝sin x ＋(cos x )′＝sin x －sin x ＝0.(4)y ＝(sin x )′·(cos x )′＝cos x ·(－sin x )＝－12sin2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12. 4．【答案】C【解析】∵(cos x )′＝－sin x ，(sin x )′＝cos x ，(x )′＝(x 12)′＝12·x 12－1＝12x ，∴A 、B 、D 均不正确．而⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －1)′＝－1×x －1－1＝－1x 2，故C 正确． 5．【答案】B【解析】设切点为(x 0，x 30)，由(x 3)′＝3x 2得在(x 0，x 30)处的切线斜率为3x 20，由3x 20＝1得x 0＝±33，故切点为⎝⎛⎭⎫33，39或⎝⎛⎭⎫－33，－39，所以有2条． 6．解：∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x ，∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，∴k ＝32. ∴切线方程为y －12＝32(x －π6)，化简得63x －12y ＋6－3π＝0.7．解：f ′(x )＝12x ，g ′(x )＝a x (x >0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ln x ，12x ＝a x，解得a ＝e 2，x ＝e 2， ∴两条曲线交点的坐标为(e 2，e )，切线的斜率为k ＝f ′(e 2)＝12e， ∴切线的方程为y －e ＝12e(x －e 2)．。

幂函数学案

§6.1 幂函数学习目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y =x ，y =x 2，y =x 3，y =x －1，y =x 的图象； 2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质； 3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．知识点一一般地，函数叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．知识点二五个幂函数的图象与性质1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y ＝x ；(2)y ＝12x ；(3)y ＝x 2；(4)y ＝x －1；(5)y ＝x 3的图象如图．2．五个幂函数的性质21知识点三一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象；当0<α<1时，幂函数的图象． 3．当时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．5．在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从到的顺序排列．1．下列函数中不是幂函数的是________． ①y ＝x 0； ②y ＝x 3； ③y ＝2x ； ④y ＝x －1.2．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,211,1α，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为________．3．当x ∈(0,1) 时，x 2________x －1.(填“>”“＝”或“<”)4．已知幂函数f (x )＝x α图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则f (4)＝________.例1 (1)下列函数：①y ＝x 3；②xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知222()2223m y m m x n －＝＋－＋－是幂函数，求m ，n 的值．A.12 B ．1 C.32 D ．2例2 (1)已知幂函数f (x )＝x α的图象过点P ⎝⎛⎭⎫2，14，试画出f (x )的图象并指出该函数的定义域与单调区间．(2)如图所示，C 1，C 2，C 3为幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，则解析式中的指数α依次可以取( )A.43，－2，34 B ．－2，34，43 C ．－2，43，34 D.34，43，－2例3 比较下列各组数的大小． (1)5.052⎪⎭⎫ ⎝⎛与5.031⎪⎭⎫ ⎝⎛； (2)132-⎪⎭⎫ ⎝⎛-与153-⎪⎭⎫⎝⎛-； (3)1332⎛⎫ ⎪⎝⎭与1413⎛⎫ ⎪⎝⎭.1．以下结论正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限 2．下列不等式成立的是( ) A.12121312--⎛⎫> ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭B.23233423⎛⎫<⎛⎫⎝⎪⎪⎭⎝⎭ C.232⎪⎭⎫ ⎝⎛> 223⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．7878819-⎛⎫< ⎪⎝⎭3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．4．若幂函数()22231()m m f x m m x －－＝－－在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________. 5．先分析函数23y x =的性质，再画出其图象．1．知识清单： (1)幂函数的定义． (2)几个常见幂函数的图象． (3)幂函数的性质． 2．方法归纳：(1)运用待定系数法求幂函数的解析式．(2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想．1．下列函数中是幂函数的是( )A ．y ＝x 4＋x 2B ．y ＝10xC ．y ＝1x3 D ．y ＝x ＋12．下列幂函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．y ＝x －2B ．y ＝x－1C ．y ＝x 2D ．y ＝13x3．已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f (a －1) <f (b －1) B ．f (a －1) <f (b －1) <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f (b －1) <f (a －1) D ．f (a －1)<f (a )<f (b －1)<f (b ) 4．已知y ＝(m 2＋m －5)x m 是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m 的值为( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2 D ．35.如图所示曲线是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12四个值，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的指数α依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－126．已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于( ) A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．37．函数y ＝12x －1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )8．已知2.4α>2.5α，则α的取值范围是________．9．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n nx －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．10．若12(1)a ＋<12(32)a －，则a 的取值范围是________．11．已知幂函数()x f 的图象过点(9,3)，则⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝________，函数⎪⎭⎫⎝⎛-11x f 的定义域为________．。

高一数学人教B版必修1：3.3 幂函数学案

§3.3 幂函数幂函数要点导学一、知识导引1．幂函数定义：形如y ＝x α的函数叫幂函数(α为常数)．重点掌握α＝1,2,3，12，－1时的幂函数．2．图象：当α＝1,2,3，12，－1时的图象如右图．3．性质(1)当α>0时，幂函数图象都过(0,0)点和(1,1)点，且在第一象限都是增函数；当0<α<1时曲线上凸；当α>1时，曲线下凹：α＝1时为过(0,0)点和(1,1)点的直线．(2)当α<0时，幂函数图象总过(1,1)点，且在第一象限为减函数．(3)当α＝0时，y ＝x α＝x 0，表示过(1,1)点平行于x 轴的直线(除(0,1)点)．(4)当α＝1,2,3，12，－1时的函数的性质同学们可自行研究．二、重点和难点重点：幂函数的定义、图象和性质．难点：幂函数图象的位置和形状变化．三、典型例题剖析例1 不论α取何值，函数y ＝(x －1)α－2的图象都通过A 点，求A 点的坐标．解因为幂函数y ＝x α的图象恒通过(1,1)点，所以y ＝(x －1)α的图象恒通过(2,1)点．所以y ＝(x －1)α－2的图象恒通过(2，－1)点．例2 将幂函数：①y ＝x 23；②y ＝x －4；③y ＝x 13；④y ＝x －13；⑤y ＝x 14；⑥y ＝x 43；⑦y ＝x －12；⑧y ＝x 53的题号填入下面对应的图象中的括号内．解析先根据图象是否经过原点区分幂指数n 的正负：图象A ，B ，C ，D ，H 的幂指数大于零；而图象E ，F ，G 的幂指数小于零．再考察函数的定义域和值域．图象A 对应的幂函数的定义域为[0，＋∞)，对应函数为⑤y ＝x 14；图象E 对应的幂函数的定义域为(0，＋∞)，对应函数为⑦y ＝x －12；图象D ，H 对应的幂函数的值域为[0，＋∞)，再注意到图象分布规律，D 对应函数为⑥y ＝x 43，H 对应函数为①y ＝x 23；图象G 对应的幂函数的值域为(0，＋∞)，对应的函数为②y ＝x －4.余下的图象B ，C ，F 依次对应函数为③y ＝x 13，⑧y ＝x 53，④y ＝x －13.答案 ⑤ ③ ⑧ ⑥ ⑦ ④ ② ①点评以上分析只是提供了一种思考对应的方法，对幂函数图象熟悉以后，可以对每个幂函数的分析直接将题号填入相应的括号内．幂函数常见错误剖析本文就同学们在学习“幂函数”中的一些常见错误加以剖析，供同学们参考．一、概念不清例3 下列函数中不能化为幂函数的是( ) A ．y ＝x 0 B ．y ＝2x 2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝x错解选A ，或选C ，或选D剖析错解主要是对幂函数的概念不清，造成错误．由幂函数的定义：y ＝x α(α∈R )称为幂函数，因此，A ，C ，D 中的函数均可化为幂函数，而B 中的函数不能化为幂函数．正解 B二、忽视隐含条件例4 作出函数y ＝4log 2x 的图象．错解 y ＝4log 2x ⇒y ＝22log 2x ⇒y ＝2log 2x 2⇒y ＝x 2. 故函数的图象如图所示．剖析在将函数式y ＝4log 2x 变形为y ＝2log 2x 2，即y ＝x 2时，定义域扩大了．正解 y ＝4log 2x (x >0)⇒y ＝22log 2x (x >0)⇒y ＝2log 2x 2(x >0)⇒y ＝x 2(x >0)．作出幂函数y ＝x 2(x >0)的图象，如图所示，即为函数y ＝4log 2x 的图象．三、思维片面例5 幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2－2m －1在区间(0，＋∞)上是增函数，求实数m 的取值集合．错解由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2.剖析求得m 的值后，未检验是否符合题意．正解由幂函数的定义，可知f (x )可以写成f (x )＝x α的形式，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝－1，或m ＝2.当m ＝－1时，f (x )＝x 2在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝2时，f (x )＝x －1在(0，＋∞)上不是增函数，舍去．故所求实数m 的取值集合为{－1}．四、单调性理解不透彻例6 若(a ＋1)－1<(3－2a )－1，求实数a 的取值范围．错解考查幂函数f (x )＝x －1，因为该函数为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得a ＋1>3－2a ，解得a >23.故实数a 的取值范围是(23，＋∞)．剖析函数f (x )＝x －1在(－∞，0)和(0，＋∞)上均为减函数，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性，错解中错用了函数单调性，从而导致错误．正解考查幂函数f (x )＝x －1，由于该函数在(－∞，0)及(0，＋∞)上均为减函数，所以由(a ＋1)－1<(3－2a )－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a >0，或a ＋1>3－2a >0，或3－2a <a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.故实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32).幂函数的“杀手锏”一、对幂函数的定义要掌握准确形如y ＝x α的函数叫幂函数(系数是1，α为实常数)．例1 如果f (x )＝(m －1)xm 2－4m ＋3是幂函数，则f (x )在其定义域上是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数D ．在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数解析要使f (x )为幂函数，则m －1＝1，即m ＝2. 当m ＝2时，m 2－4m ＋3＝－1， ∴f (x )＝x －1.∴f (x )在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上也是减函数．答案 D二、幂函数在第一象限的图象与幂指数α的大小关系从x 轴的正方向按逆时针旋转到y 轴的正方向所经过的幂函数图象所对应的幂指数逐渐增大．如图为y ＝x α在α取－2,2，－12，12四个值时的图象，则对应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为2，12，－12，－2，其规律为在直线x ＝1的右侧“指大图高”．三、抓住幂函数的奇偶性，利用第一象限图象画出整个幂函数图象，进而利用数形结合进行解题例2 若(a ＋1)－23<(3－2a )－23，求a 的取值范围．解 y ＝x －23为偶函数，其图象如图所示．∴|a ＋1|>|3－2a |，∴23<a <4.图象帮你定大小在涉及指数、对数和幂函数的有关问题中，经常会遇到确定有关底数、指数的大小等问题，此类问题，如果巧妙转化，有效利用图象，问题便可迎刃而解．以下试举几例说明运用图象的直观性．例3 已知实数a 、b 满足等式a 12＝b 13，下列五个关系式：①0<b <a <1；②－1<a <b <0；③1<a <b ； ④－1<b <a <0；⑤a ＝b .其中可能成立的式子有________．解析首先画出y 1＝x 12与y 2＝x 13的图象(如图所示)，已知a 12＝b 13＝m ，作直线y ＝m .如果m ＝0或1，则a ＝b ；如果0<m <1，则0<b <a <1；如果m >1，则1<a <b .从图象看一目了然，故成立的是①③⑤.答案 ①③⑤例4 函数y ＝x m，y ＝x n，y ＝x p的图象如图所示，则m ，n ，p 的大小关系是____________．解析结合题目给出的幂函数图象，我们可以将其转化成指数问题解决，作直线x ＝a (0<a <1)，可得直线与3个函数图象交点纵坐标的大小关系是a n <a m <a p ，根据指数函数y ＝a x (0<a <1)是单调减函数可得n >m >p .答案 n >m >p点评以上几例，教同学们学会如何分析问题、转化问题，数形结合使所学知识融会贯通，使所谓的某些“规律”直观地、立体地呈现在函数的图象中，减轻记忆的负担．三种数学思想在幂函数中的应用一、分类讨论的思想例5 若(a ＋1)－13<(3－2a )－13，试求a 的取值范围．分析利用函数y ＝x －13的图象及单调性解题，注意根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．解分类讨论⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，3－2a >0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，3－2a <0，a ＋1>3－2a或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，a ＋1<0，解得a <－1或23<a <32.点评考虑问题要全面，谨防考虑不周导致错误，本题是根据a ＋1,3－2a 是否在同一单调区间去分类．用分类讨论的思想解题时应做到标准明确，不重不漏．二、数形结合的思想例6 已知x 2>x 13，求x 的取值范围．解 x 2与x 13有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y ＝x α(其中α＝2，13)，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x 的取值范围，如图所示，可得x 的取值范围是x <0或x >1.点评数形结合是一类重要的数学思想方法，它把抽象的关系与直观的图形结合起来，使复杂的问题一目了然．三、转化的数学思想例7 指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f (－22)的大小．解因为f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1(x＋2)2＝1＋(x＋2)－2，所以其图象可由幂函数y＝x－2向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，如图所示．所以f(x)在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且图象关于直线x＝－2对称．又因为－2－(－π)＝π－2，－22－(－2)＝2－22，所以π－2<2－22，故－π距离对称轴更近，所以f(－π)>f(－22)．点评通过化简、变形等，可将复杂的、不熟悉的函数转化为简单的、熟悉的函数形式，进而用其性质来解题．类抽象函数问题的解法大量的抽象函数都是以中学阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得．解题时，若能从研究抽象函数的背景入手，通过类比、猜想出它们可能为某种基本初等函数，常可找到解题的切入点，进而加以解决．一、以正比例函数为模型的抽象函数例8 已知f(x)的定义域为实数集R，对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．解由条件f(x＋y)＝f(x)＋f(y)联想正比例函数f(x)＝kx，其中k<0，满足已知条件．由此猜想函数f(x)是区间[－3,3]上的减函数且又为奇函数，这样问题的解决就有了方向．因为对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，于是取x＝0，可得f(0)＝0，同时设y ＝－x，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，知函数f(x)为奇函数．下面证明它是减函数：任取－3≤x1<x2≤3，则x2－x1>0，又x>0时，f(x)<0，即f(x2－x1)<0，f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)<0.所以函数f(x)在区间[－3,3]上是减函数．当x＝－3时，函数f(x)取最大值；当x＝3时，函数f(x)取最小值．f(x)max＝f(－3)＝－f(3)＝－f(1＋2)＝－[f(1)＋f(2)]＝－[f(1)＋f(1)＋f(1)]＝－3f(1)＝6；f(x)min＝f(3)＝3f(1)＝－6.点评本题求解有两个特点：一是赋值；二是在求最值时，反复运用条件．这是求解抽象函数问题时常用的方法．二、以指数函数为模型的抽象函数例9 设函数f(x)的定义域为实数集R，满足条件：存在x1≠x2，使得f(x1)≠f(x2)，对任意x和y，有f(x＋y)＝f(x)·f(y)．(1)求f(0)；(2)对任意x∈R，判断f(x)值的正负．解由已知猜想f (x )是指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数，从而猜想f (0)＝1且f (x )>0.(1)将y ＝0代入f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，得f (x )＝f (x )·f (0)，于是有f (x )[1－f (0)]＝0. 若f (x )＝0，则对任意x 1≠x 2，有f (x 1)＝f (x 2)＝0，这与已知题设矛盾，所以f (x )≠0，从而f (0)＝1. (2)设x ＝y ≠0，则f (2x )＝f (x )·f (x )＝[f (x )]2≥0，又由(1)知f (x )≠0，所以f (2x )>0，由x 为任意实数，知f (x )>0. 故对任意x ∈R ，都有f (x )>0.点评从已知条件联想到指数函数模型，为问题的解决指出了方向．但在推导过程中，说理的严密性是很重要的，如不能由f (x )[1－f (0)]＝0，直接得出f (0)＝1，这是求解有关抽象函数问题时必须注意的地方．三、以对数函数为模型的抽象函数例10 设函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，且f (xy)＝f (x )－f (y )．(1)求f (1)的值；(2)若f (6)＝1，求不等式f (x ＋3)＋f (1x )≤2的解集．解由已知猜想f (x )是对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的抽象函数．(1)将x ＝y ＝1代入f (xy )＝f (x )－f (y )，得f (1)＝f (1)－f (1)，所以f (1)＝0. (2)因为f (6)＝1，所以2＝f (6)＋f (6)，于是f (x ＋3)＋f (1x )≤2等价于f (x ＋3)－f (6)≤f (6)－f (1x )，即f (x ＋36)≤f (6x )，而函数f (x )是定义域(0，＋∞)上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋36≤6x x ＋36>0，解得x ≥335，因此满足已知条件的不等式解集为[335，＋∞)．点评 (1)对不等式右端的“2”进行变形是本题求解的关键之处；(2)本题是增函数概念“若x 1<x 2，则f (x 1)<f (x 2)”的逆用．利用这个性质可以去掉函数的符号“f ”，从而使问题得以解决．谈函数模型法的应用例11 定义在实数集R 上的函数y ＝f (x )具有下列两条性质：①对于任意x ∈R 都有f (x 3)＝[f (x )]3；②对于任意x 1，x 2∈R ，当x 1≠x 2时，都有f (x 1)≠f (x 2)．则f (－1)＋f (0)＋f (1)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．0分析通过性质①可以看出此函数应为幂函数，性质②则要求这个幂函数必须是一个单调函数．解析根据题设条件设f (x )＝3x ，则可以求得f (－1)＋f (0)＋f (1)＝0，答案为D. 答案 D例12 已知f (x )是R 上的增函数，且f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，若f (2)＝4，则f (2x ＋1)>8的解集是________．分析性质f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)类似于指数函数的性质a m ＋n ＝a m ·a n ，故可以构建指数函数模型．解析设f (x )＝a x (a >1)，则由f (2)＝4可得a ＝2，所以f (x )＝2x .由f (2x ＋1)>8，则22x ＋1>8，解得x >1.故不等式f (2x ＋1)>8的解集是(1，＋∞)．答案 (1，＋∞)例13 已知函数f (x )是定义域为R 的增函数，且值域为(0，＋∞)，则下列函数中为减函数的是( )A ．f (x )＋f (－x )B ．f (x )－f (－x )C ．f (x )·f (－x ) D.f (－x )f (x )分析指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)中，在a >1的情况下，函数满足题设的条件①定义域为R ；②增函数；③值域为(0，＋∞)．解析不妨设f (x )＝2x ，通过观察四个选项，可以得出f (－x )f (x )＝(14)x 符合题意，故选D.答案 D幂函数高考考点透视(一)考情分析本节知识在高考中很少单独出现，一般是与指数函数、对数函数联合命题，因此在学习上要注意知识的结合点．借助y ＝x α(α＝1,2,3，12，－1)的图象和性质研究多项式函数、分式函数、简单的无理函数是高考考查的重点，考试题多以填空题为主．(二)考题例析1．(陕西高考)函数f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域为( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(0,1]D ．(0,1)解析 ∵1＋x 2≥1，∴0<11＋x 2≤1∴f (x )＝11＋x 2的值域是(0,1]．答案 C2．(课标全国高考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3 B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x | 解析 ∵y ＝x 3在定义域R 上是奇函数，∴A 不对．y ＝－x 2＋1在定义域R 上是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，故C 不对．D 中y ＝2－|x |＝(12)|x |虽是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数，只有B 对．答案 B3．(北京高考)函数f (x )＝x ＋1－12－x 的定义域为______________．解析要使函数f (x )＝1＋x －12－x有意义，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥02－x ≠0⇒⎩⎨⎧x ≥－1，x ≠2即x ∈[－1,2)∪(2，＋∞)．答案 [－1,2)∪(2，＋∞)4．(山东高考)设函数f 1(x )＝x 12，f 2(x )＝x －1，f 3(x )＝x 2，则f 3(f 2(f 1(2 007)))＝________.解析 f 3(f 2(f 1(2 007)))＝f 3(f 2(2 00712))＝f 3(2 007－12)＝2 007－1＝12 007.答案 12 007。

幂函数(教案t Word 文档

课题：§3.3幂函数（教案）
时间：2009年10月28日地点：远程教室授课班级：五中高邑五班
教学目标：
知识与技能通过具体实例了解幂函数的概念，掌握幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用。

过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，研究幂函数的图象和性质；
培养学生数形结合、分类讨论的思想，以及分析归纳的能力。

情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生合作交流的意识。

教学重点：从五个具体幂函数图象中认识幂函数的一些性质。

难点画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质，体会图象的变化规律。

教学关键：揭示出幂函数y x α=的图象的规律。

教学准备：多媒体课件，几何画板。

教学方式：引导教学法、探索讨论法、多媒体教学法。

学法指导：操作实验、自主探索、合作交流。

教学程序与环节设计：
∞）都有定义，并都过点（1，1）；时，幂函数图象过原点，在第一象限图象渐升；
板书设计：
幂函数
1、幂函数的定义例2 例4
2、幂函数的图象与性质。

幂函数的概念学案

2.3.1 幂函数的概念【学习目标】知识与技能通过具体实例明白幂函数的图象和性质，并能进行简单的应用．过程与方法能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过程与方法，来研究幂函数的图象和性质．情感、态度、价值观体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．【学习重点】幂函数的概念与性质.【难点提示】幂函数的指数对幂函数性质的影响，体会图象的变化规律.【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材7783P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“十二字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备在初中，我们已经学习了函数：xy x y x y 1,,2===等函数的图像；并在前面的学习中我们研究了这些函数共同的性质，如：单调性、奇偶性等，请同学们完成下列问题：1.用描点法在同一坐标系下画出上面函数的图像，并指出它们有什么共同特点？2.回顾函数性质主要有哪些内容？指对函数的概念及其性质是怎样的？二、探究新知 1.幂函数的定义●阅读思考请读阅下面5个例子（教材77P （1）～（5））：(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里p 是w 的函数；(2)如果一个正方形的边长为a ，那么正方形的面积S ＝a 2，这里S 是a 的函数；(3)如果一个立方体的边长为a ，那么立方体的体积V ＝a 3，这里V 是a 的函数； (4)如果一个正方形的面积为S ，那么这个正方形的边长12a s =，这里a 是S 的函数； (5)如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v ＝t -1km/s ，这里v 是t 的函数. 请思考以下问题，问题1：每个例子的自变量是什么？问题2：每个例子中的函数关系哪些是我们已经研究过的？问题3：这5个实例中的函数关系有哪些共同特征？ ●归纳概括由教材中5个例子，观察其表达式的结构特征，你能从这几个函数抽象出一个更一般的函数式，并给它取个名字吗？幂函数的概念：●快乐体验判断下列函数是否是幂函数？（1）x y 2=；（2） xy 2=；（3）3)1(--=x y ；（4）212x y =；（5）10x y =．解：●挖掘拓展（1）幂函数有何数量特征？（链接1）3(6)2y x =+（2）你能列举一些幂函数吗？（3）幂函数与指数函数的解析式有何区别与联系？ 2.幂函数的性质 ●观察思考在同一坐标系内做出幂函数xy x y x y x y x y 1,,,,2132=====的图象（链接2），请观察其图象的变化情况（特别是在第一象限的变化情况），它们有那些相同的特征？●归纳概括●快乐体验 1.求下列函数的定义域和值域：(1)2x y =； (2)3y x -=； (3)23y x-=．解：2.比较下列各组数的大小：（1）0.10.11.1,1.02； 0.30.30.2(4)0.2,0.3,0.3; （5）(2＋a 2)－1，2－1；解：●挖掘拓展 1.在第一象限内幂指数的变化与图像的分布、图象的变化、函数性质等有何关系？2.归纳利用指数函数、幂函数的增减性比较两个数的大小的规律与联系（链接4）. 三、典例解析例1函数322)1()(-+--=m m x m m x f 是幂函数，且当()+∞∈,0x 时，)(x f 是增函数，求)(x f 的解析式．思路启迪求)(x f 的解析式就是求m 的值．关键在于①322)1()(-+--=m m xm m x f 是幂函数具有怎样的条件；②当x ＞0时，结合前面幂函数的性质那些函数是增函数，作为入手点，试试能否解决．解：●解后反思解答该题的依据是什么？入手点、关键点、易错点在哪里？ ●变式练习幂函数y ＝(m 2－m －1)12m x，当x ∈(0，＋∞)时为增函数，则实数m的值为( )．A ． 2 ；B ．－1 ；C ．－1或2；D ．1±52．例 2.如右图，图中曲线是幂函数ax y =在第一象限的大致图2253(3) 4.1 5.8和5522(2) 3 3.1--和象．已知a 取2,21,21,2--四个值，则相应于曲线4321,,,c c c c 的a 值依次为（） A ．－2，－12，12，2 ；B ．2，12，－12，－2 ；C ．－12，－2，2，12 ；D ．2，12，－2，－12．●解后反思怎样根据幂函数的图象来确定幂指数的，还有无其它方法？●变式练习比较下列各组数的大小：（1）0.52()3与0.53()5；（2）121.2、121.4、21.4；（3）125()3-、32()3-、33()2解：例3.已知幂函数223()mm y f x x --+==（其中22,m m Z -<<∈）满足：（1）是区间(0,)+∞上的增函数；（2）对任意的x R ∈，都有()()0f x f x -+=；求同时满足（1）、（2）的幂函数()f x 的解析式，并求[0,3]x ∈时()f x 的值域.解：●解后反思本题的题型怎样？解决该题的入手点、关键点、易错点在哪里？判定幂函数的单调性、奇偶性的依据与方法是什么？●变式练习已知函数)(x f ＝xx 1-，求证：(1) )(x f 在其定义域上为增函数． (2)满足等式)(x f ＝1的实数x 的值至多只有一个．解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：幂函数的概念、常见的幂函数图像形状与性质有哪些?指数函数x y a =(a >0且a ≠1)与幂函数y x α=的区别与联系，你能描述一般的幂函数)(R a x y a ∈=的图像和性质吗？（链接5）2.通过本节课的学习与课前的预习比较有哪些收获？有哪些要改进和加强的呢？3.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？【学习评价】 1.下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )．A ． 31x y =； B ． y ＝x 2 ； C ． y ＝x 3 ； D ． y ＝x －2．2.幂函数)(x f 的图象过点(4，12)，那么)8(f 的值为( )．A ． 26；B ． 64；C ；24； D ． 164． 3.下列命题中，不正确的是( )． A ．幂函数y ＝x－1是奇函数； B ．幂函数y ＝x 2是偶函数；C ．幂函数y ＝x 既是奇函数，又是偶函数；D ．y ＝12x 既不是奇函数又不是偶函数． 4.幂函数y ＝x n的图象一定经过(0，0)，(1，1)，(－1，1)，(－1，－1)中的( )．A ．一点；B ．两点；C ．三点；D ．四点．5.当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 下方，则a 的取值范围是( )．A ．(0，1)；B ． (－∞，0)；C ．(－∞，1)；D ．不确定．6. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=)0()0(3)21()(21x x x x f x，且)(a f ＞1，求实数a 的取值范围．解：7.已知x 2＜21x ，则x 的取值范围是________．8.教材79页习题2.3的第3题.◆承前启后到现在为止，我们学习了哪些基本函数及其性质？这些函数在实际生活中还有哪些应用呢？【学习链接】链接 1.幂函数的数量特征有三点：一是均是底数为自变量的指数幂的运算的函数，二是幂指数是常数（可以是任意实数），三是幂的系数为1．链接2.几个特殊的幂函数的图象（如右图）链接4.. (1) 若能化为同指数，则用幂函数的单调性比较两个数的大小； (2) 若能化为同底数，则用指数函数的单调性比较两个数的大小；(3)当不能直接进行比较时，可在两个数中间插入一个中间数，间接比较上述两个数的大小.链接5. (1) 所有的幂函数在(0,＋∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1)； (2) 如果a ＞0，则幂函数图象过原点，并且在区间[0,＋∞)上是增函数；(3) 如果a＜0，则幂函数图象在区间(0,＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右侧无限地逼近y轴，当x趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴；(4) 当a为奇数时，幂函数为奇函数；当a为偶数时，幂函数为偶函数．。

2020-2021学年苏教版必修1 3.3 幂函数学案

3.3 幂函数1.了解幂函数的概念．2.掌握y ＝x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x －1、y ＝x －2、y＝x 12的图象和性质．3．会运用幂函数的图象和性质解决问题．[学生用书P58]1．幂函数的概念函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质 (1)五种常见幂函数的图象(2)五类幂函数的性质幂函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪ (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增 x ∈[0，＋∞)，增x ∈(－∞，0]，减增增 x ∈(0，＋∞)，减x ∈(－∞，0)，减公共点都经过点(1，1)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －1答案：C3．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________．答案：34．若幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，9)，那么函数f (x )的单调增区间是________．答案：[0，＋∞)幂函数的概念[学生用书P58](1)下列函数为幂函数的序号是________． ①y ＝－x 2；②y ＝2x ； ③y ＝x π；④y ＝(x －1)3； ⑤y ＝1x 2；⑥y ＝x 2＋1x.(2)若幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (9)＝________．【解析】 (1)①y ＝－x 2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y ＝2x 是指数函数；④y ＝(x －1)3的底数是x －1而不是x ，故不是幂函数；⑥y ＝x 2＋1x 是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．(2)设f (x )＝x α，则2α＝22，所以α＝32，所以f (x )＝x 32.所以f (9)＝932＝33＝27.【答案】 (1)③⑤ (2)27幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．1.已知函数f (x )＝(m 2＋2m －2)·xm 2－m －1是幂函数，则m ＝( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．1或3解析：选C.由题意知，若f (x )为幂函数，则m 2＋2m －2＝1.即m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3.幂函数的图象[学生用书P59]已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m的值，并画出它的图象．【解】因为图象与x ，y 轴都无交点，所以m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，所以m ＝0，1，2.因为幂函数图象关于y 轴对称，所以m ＝0，或m ＝2. 当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图1；当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图2.(1)幂函数y ＝x α的图象恒过定点(1，1)，且不过第四象限．(2)解决幂函数图象问题，需把握两个原则：①幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；②依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．2.已知当n 取±2，±12四个值时，幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．解析：抓住幂函数图象的特征，在第一象限内当0＜α＜1时，图象平缓上升；当α＞1时，图象陡峭上升；当α＜0时，图象下降，且在(1，＋∞)上，指数大的图象在上方．由题图，知C 1的指数n ＞1，C 2的指数0＜n ＜1，即C 1的指数n 取2，C 2的指数n 取12.再取x ＝2，由2－12＞2－2知C 3的指数n 取－12，C 4的指数n 取－2.答案：2，12，－12，－2幂值的大小比较问题[学生用书P59]比较下列各组数的大小： (1)1.332，1.432，(－2)13；(2)1.712，0.712，0.72.【解】 (1)考察幂函数y ＝x 32，因为32>0，所以y ＝x 32在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0<1.3<1.4，所以0<1.332<1.432，又因为(－2)13<0，所以1.432>1.332>(－2)13.(2)考察幂函数y ＝x 12.因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数．由于0.7<1.7，所以0.712<1.712，再考察指数函数y ＝0.7x ，因为0<0.7<1，所以y ＝0.7x 是R 上的单调减函数．由于0<12<2，所以0.712>0.72，综上1.712>0.712>0.72.当两个值的底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小；当两个值的指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小，特别地，当底数是负数时，先利用幂函数的性质，将底数是负数的幂化为底数是正数的幂，再利用指数函数模型或幂函数模型比较两个值的大小．3.比较下列各组数的大小：(1)2.112，2.212，0.213；(2)3.535，0.535，0.545.解：(1)考察幂函数y ＝x 12，因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于1<2.1<2.2，所以1<2.112<2.212，又因为0.213<1，所以2.212>2.112>0.213.(2)考察幂函数y ＝x 35.因为35>0，所以y ＝x 35在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0.5<3.5，所以0.535<3.535，再考察指数函数y ＝0.5x ，因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 是R 上的单调减函数，由于0<35<45，所以0.535>0.545，综上3.535>0.535>0.545.1．指数函数与幂函数的区别函数名称解析式解析式特征指数函数 y ＝a x (a ＞0，且a ≠1) 底数是常数，自变量在指数位置上幂函数y ＝x α(α∈R )指数是常数，自变量在底数位置上2.幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸；当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．[解析] 当α＝1，3时，函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数，当α＝－1时，y ＝1x 的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }．当α＝12时，y ＝x 12＝x 的定义域是{x |x ≥0}． [答案] 1，3(1)y ＝x－1易忽视定义域的限制，其定义域应为{x |x ≠0}．(2)在幂函数的有关问题中，要理解幂函数的概念，掌握好五种幂函数的图象和性质，当α为正奇数时幂函数f (x )＝x α的定义域为R 且为奇函数，解决此类问题，要特别注意α的取值范围．1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x 3 D ．y ＝x 3－1答案：B2．下列函数中值域为(－∞，＋∞)的函数是( )A ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xB ．y ＝x 2C ．y ＝1x 2D ．y ＝x 3答案：D 3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．解析：因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝1（－2）3＝－18. 答案：－184．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析：因为y ＝x－1图象在第一、三象限，y ＝x 与y ＝x 3图象都经过第一、三象限，y ＝x 12图象仅经过第一象限，故α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，图象不可能经过第二、四象限．答案：二、四[学生用书P116(单独成册)])[A 基础达标]1．在下列函数中，定义域和值域不同的是( ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x 12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.A 、C 的定义域和值域都是R ；B 的定义域和值域都是[0，＋∞)；D 的定义域是R ，值域是[0，＋∞)．故选D.2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A.因为幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，所以k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，所以k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y ＝x－2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x－1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．已知m ＝(a 2＋3)－1(a ≠0)，n ＝3－1，则( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m 与n 的大小不确定解析：选B.设f (x )＝x －1，已知a ≠0，则a 2＋3>3>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，则f (a 2＋3)<f (3)，即(a 2＋3)－1<3－1，故m <n .5．函数y ＝x |x |的图象大致是( )解析：选A.由题可得，y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2， x <0，从而可知A 为正确选项，另外，易知函数y ＝x |x |为奇函数．6.如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________．解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减，故m ＜0，n ＜0. 取x ＝2，则有2m ＞2n ，故n ＜m ＜0. 答案：n ＜m ＜07．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是________．解析：幂函数y ＝x 12，y ＝x －1，y ＝x 0在区间(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下方，一般地，当α<0，α＝0，0<α<1时f (x )＝x α在(1，＋∞)上的图象都在直线y ＝x 下方，故α的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________．解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α，所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. 答案：α＜0 9．已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式．解：由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以⎝⎛⎭⎫35－m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350.因为y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数，所以－m ＋3>0. 解得m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2；当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去．当m ＝1时，f (x )＝x －m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1，此时f (x )＝x 2.10．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 13，设F (x )＝f (x )＋g (x )，试判断F (x )的奇偶性与单调性．解：因为f (x )，g (x )的定义域均为R ，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝x ＋x 13的定义域为R .又F (－x )＝－x ＋(－x )13＝－(x ＋x 13)＝－F (x )，所以F (x )是奇函数．因为f (x )与g (x )在R 上均为增函数，所以F (x )在R 上也为增函数．[B 能力提升]1．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1解析：选B.在(0，1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0＜m ＜1，n ＜－1.2.给出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13；③y ＝x －1；④y ＝x 23，其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号) 解析：函数y ＝x 13的定义域和值域都为R ；函数y ＝x －13与y ＝x－1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)．答案：①②③ 3.已知幂函数y ＝x m2＋2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求幂函数的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1，又因为m ∈Z ，所以m ＝－2，－1，0.当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为－3＜0，所以y ＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又因为f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )，所以y ＝x－3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f (－x )＝(－x )－4＝1（－x ）4＝1x 4＝x －4＝f (x )，所以函数y ＝x－4是偶函数．因为－4＜0，所以y ＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．又因为y ＝x －4是偶函数，所以y ＝x－4在(－∞，0)上是增函数．4．(选做题)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明； (3)试在(－∞，0)上解不等式f (x )<f (2x ＋1)．解：(1)因为f (4)＝－72，所以24－4m ＝－72，m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 1－x 2<0，所以f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 2－⎝⎛⎭⎫2x 1－x 1 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2x 1＝(x 1－x 2)＋2x 1x 2(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2x 1x 2＋1. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．(3)因为f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝2－x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．所以f (x )在(－∞，0)上是减函数．所以f (x )<f (2x ＋1)的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x <0，2x ＋1<0，x >2x ＋1.解得x <－1.所以f (x )<f (2x ＋1)的解集为{x |x <－1}．。

学案4：4.4　幂函数

4.4 幂函数学习目标核心素养1.掌握幂函数的概念、图像和性质．(重点)2．熟悉α＝1,2,3，12，－1时的五类幂函数的图像、性质及其特点．(易错点)3．能利用幂函数的图像与性质解决综合问题．(难点)1.通过幂函数概念与图像的学习，培养数学抽象素养． 2．借助幂函数性质的学习，提升数学运算、逻辑推理素养.【自主预习】1．幂函数的概念一般地，函数称为幂函数，其中α是．思考：幂函数y ＝x α与指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)有什么样的区别？2．五个常见幂函数的图像3．幂函数的图像特征及性质(1)幂函数在第一象限内的图像，在经过点(1,1)且平行于y 轴的直线的右侧，按幂指数由小到大的关系幂函数的图像从下到上分布．(2)当α＞0时，图像过点，且在第一象限随x 的增大而，函数在区间[0，＋∞)上是单调增函数．(3)当α＜0时，幂函数的图像，过点，且在第一象限随x 的增大而，函数在区间(0，＋∞)上是单调函数，且向右无限接近轴，向上无限接近轴． (4)当α为奇数时，幂函数为函数；当α为偶数时，幂函数为函数．【基础自测】1．下列函数中不是幂函数的是( )A．y＝x B．y＝x3C．y＝2x D．y＝x－12．幂函数y＝xα(α∈R)的图像一定不经过()A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限3．若幂函数f(x)＝(m2－m－1)x1－m是偶函数，则实数m＝()A．－1 B．2C．3 D．－1或24．已知幂函数f(x)的图像经过点(2，2)，则f(4)＝________.【合作探究】【例1】是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．【规律方法】1．只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数．2．判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为1.形如y＝(3x)α，y ＝2xα，y＝xα＋5，…，形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【跟踪训练】1．，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数？(2)反比例函数？(3)二次函数？(4)幂函数？类型二幂函数的图像和性质【例2】 (1)幂函数(m ∈Z )的图像如图所示，则m 的值为( )A ．－1＜m ＜4B ．0或2C ．1或3D ．0,1,2或3(2)已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图像关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)<(5－2a )的a 的取值范围．[思路探究] (1)根据幂函数的图像特征与性质确定m 的值；(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m 的值，再利用幂函数的单调性求解关于a 的不等式．【规律方法】幂函数的性质(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图像都通过点(1,1)．(2)若α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．当0<α<1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向右；当α>1时，在第一象限内为抛物线形，且开口向上． (3)若α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内为双曲线形，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴．【跟踪训练】2．(1)函数f (x )＝x -12的大致图像是( )(2)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图像，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12类型三幂值的大小比较[探究问题]1．指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的单调性与实数a 有什么关系？幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？ 3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？【例3】比较下列各组数中两个数的大小．(1)⎝⎛⎭⎫250.5与⎝⎛⎭⎫130.5；(2)⎝⎛⎭⎫－23-1与⎝⎛⎭⎫－35-1； (3)⎝⎛⎭⎫2334与⎝⎛⎭⎫3423.[思路探究] (1)利用函数y ＝x 0.5的单调性比较大小； (2)利用函数y ＝x－1的单调性比较大小；(3)借助中间量⎝⎛⎭⎫2323比较大小．【规律方法】利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法【跟踪训练】3．比较下列各组数的大小：【课堂小结】1．本节课的重点是掌握幂函数的概念、图像及性质，难点是幂函数图像与性质的简单应用． 2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)判断幂函数的方法． (2)解决幂函数图像的两个原则． (3)比较幂值大小的方法．3．本节课的易错点是对幂函数的图像掌握不准而致错.【当堂达标】1．思考辨析(1)函数y ＝x -45是幂函数．( ) (2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)幂函数的图像都不过第二、四象限．( ) 2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )3．函数y ＝x 53的图像大致是图中的( )A B C D 4．比较下列各组数的大小：【参考答案】【自主预习】1． y ＝x α常数思考：[提示] 幂函数y ＝x α的底数为自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，指数函数y ＝a x 中，底数是常数，指数是自变量． 3．(2) (1,1) (0,0)上升增 (3)(1,1) 下降减xy(4)奇偶【基础自测】1．C [形如y ＝x α的函数为幂函数，只有C 不是．]2．A [由幂函数的图像可知，其图像一定不经过第四象限．] 3．A [因为f (x )＝(m 2－m －1)·x 1－m为幂函数，所以m 2－m －1＝1解得m ＝－1或2，又f (x )是偶函数，则1－m 为偶数．故m ＝－1.] 4．2 [设f (x )＝x α，∴α＝12，∴f (4)＝412＝2.]【合作探究】【例1】[解] 根据幂函数定义得，m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；当m ＝－1时，f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上是减函数，不合要求． ∴f (x )的解析式为f (x )＝x 3. 【跟踪训练】1．[解] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，所以m ＝－1± 2.【例2】(1)D [(1)因为幂函数图像在第一象限内为减函数，所以m 2－3m －4＜0，解得－1＜m ＜4，又图像关于y 轴对称说明m 2－3m －4为偶数，又m ∈Z ，所以m 的值为0,1,2或3.] (2)[解] 因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m －9<0，解得m <3，又m ∈N *，所以m ＝1,2.因为函数的图像关于y 轴对称，所以3m －9为偶数，故m ＝1，则原不等式可化为(a ＋3)-15<(5－2a )-15.因为y ＝x -15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以a ＋3>5－2a >0或5－2a <a ＋3<0或a ＋3<0<5－2a ，解得23<a <52或a <－3，a 的取值范围为(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎫23，52. 【跟踪训练】2．(1)A (2)B [(1)因为－12＜0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减，排除选项B ，C ；又f (x )的定义域为(0，＋∞)，故排除选项D.(2)考虑幂函数的图像在第一象限内的增减性，注意当n >0时，对于y ＝x n ，n 越大，y ＝x n 增幅越快，n <0时看|n |的大小．根据幂函数y ＝x n 的性质，在第一象限内的图像当n >0时，n 越大，y ＝x n 递增速度越快，故C 1的n ＝2，C 2的n ＝12，当n <0时，|n |越大，曲线越陡峭，所以曲线C 3的n ＝－12，曲线C 4的n ＝－2，故选B.][探究问题]1．[提示] 当a >1时，函数y ＝a x 单调递增；当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减．当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 2．[提示] 23.1和23.2可以看作函数f (x )＝2x 的两个函数值，因为函数f (x )＝2x 单调递增，所以23.1＜23.2. 3．[提示] 2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f (x )＝x－0.2的两个函数值，因为函数f (x )＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.【例3】[解] (1)∵幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴⎝⎛⎭⎫250.5>⎝⎛⎭⎫130.5. (2)∵幂函数y ＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，∴⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. (3)∵函数y 1＝⎝⎛⎭⎫23x为R 上的减函数，又34>23，∴⎝⎛⎭⎫2323>⎝⎛⎭⎫2334. 又∵函数y 2＝x 23在[0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2323，∴⎝⎛⎭⎫3423>⎝⎛⎭⎫2334. 【跟踪训练】3．[解] (1)函数y ＝x -52在(0，＋∞)上为减函数．∵3＜3.1，∴3-52＞3.1-52. (2)∵y ＝x 0.8在[0，＋∞)上是增函数，0.7＜0.8，∴0.70.8＜0.80.8. 又∵y ＝0.8x 在R 上是减函数，0.7＜0.8，∴0.80.8＜0.80.7. ∴0.70.8＜0.80.8＜0.80.7，即0.70.8＜0.80.7.【当堂达标】1．(1)√ (2)× (3)× [(1)√.函数y ＝x -45符合幂函数的定义，所以是幂函数． (2)×.幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数． (3)×.幂函数y ＝x 2过第二象限．]2．D [A 中定义域和值域都是R ；B 中定义域和值域都是(0，＋∞)；C 中定义域和值域都是R ；D 中定义域为R ，值域为[0，＋∞)．]3．B [∵函数y ＝x 53是奇函数，且α＝53＞1，∴函数图像为B.]4．[解] (1)－8-78＝－⎝⎛⎭⎫1878，函数y ＝x 78在[0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878>⎝⎛⎭⎫1978，从而－8-78<－⎝⎛⎭⎫1978.。

2020-2021高中数学人教版第一册学案：3.3 幂函数含解析

2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：3.3 幂函数含解析3。

3 幂函数【素养目标】1．通过具体实例，理解幂的概念．（数学抽象)2．会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质．(直观想象)3．理解常见幂函数的基本性质．(逻辑推理）【学法解读】以五种常见的幂函数为载体，学生应自己动手在同一个平面直角坐标系下画出这五种幂函数的图象,通过观察比较研究其图象和性质,进而研究一般幂函数的图象和性质．必备知识·探新知基础知识知识点1幂函数的概念函数__y＝xα__叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．思考1:幂函数的解析式有什么特征？提示:①系数为1；②底数x为自变量;③幂指数为常数．知识点2幂函数的图象及性质(1)五个幂函数的图象：(2）幂函数的性质：幂函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x错误!y＝x－1定义域R R R[0,＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞）值域R［0，＋∞）R ［0，＋∞）｛y｜y∈R且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性__增__x∈(0,＋∞）增;x∈(－∞,0) 减__增____增__x∈(0，＋∞）减;x∈(－∞，0)减公共点都经过点（1,1）α同特征？提示:图象都是从左向右逐渐上升．基础自测1．下列函数为幂函数的是(D）A．y＝2x4B．y＝2x3－1C．y＝错误!D．y＝x2[解析]y＝2x4中，x4的系数为2,故A不是幂函数；y＝2x3－1不是xα的形式,故B不是幂函数；y＝错误!＝2x－1，x－1的系数为2，故C不是幂函数，故只有D是幂函数．2．(2019·安徽太和中学高一期中测试)已知幂函数f（x）的图象过点（2,22)，则f（4)的值为(B)A．4 B．8C．2错误!D．错误![解析］设f(x）＝xα，∴2错误!＝2α，∴α＝错误!。

∴f（x)＝x错误!.∴f(4)＝4错误!＝（22）错误!＝23＝8.3．若f(x)＝mxα＋(2n－4)是幂函数,则m＋n等于（C)A．1 B．2C．3 D．4[解析]由题意，得错误!，∴错误!∴m＋n＝3。

2018版高中数学必修一学案：3-3 幂函数精品

3．3幂函数学习目标 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式(难点)；2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，掌握它们的性质(重点)；3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小(重点)．预习教材P88－89，完成下面问题：知识点一幂函数的概念一般地，我们把形如y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．【预习评价】1．下列函数是幂函数的为________(填序号)．①y＝ax m(a，m为非零常数，且a≠1)；②y＝x－1＋x2；③y＝x n(n∈Z)；④y＝(x－2)3.答案③2．若函数f(x)＝(a2－3a－3)x2是幂函数，则a的值为________．解析根据幂函数定义，有a2－3a－3＝1，a2－3a－4＝0，所以a＝4或a＝－1.答案4或－1知识点二幂函数的图象与性质1．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为________．解析 y ＝x －1的定义域为{x |x ≠0}，y ＝的定义域为{x |x ＞0}，只有y ＝x ，y ＝x 3的定义域为R . 答案 1,32．当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析幂函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 3的图象分布在第一、三象限，y ＝x 12的图象分布在第一象限，所以幂函数y ＝x α(α∈{－1，12，1,3})的图象不可能经过第二、四象限．答案二、四题型一幂函数的概念【例1】 (1)已知(2，2)在幂函数f (x )的图象上，求f (2)的值； (2)已知函数f (x )＝(a 2－3a ＋3)x a 2－5a ＋5(a 为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，求实数a 的值．解 (1)设f (x )＝x α， ∵(2，2)在f (x )的图象上， ∴f (2)＝(2)α＝2，∴α＝2. 故f (x )＝x 2，f (2)＝22＝4.(2)∵f(x)为幂函数，∴a2－3a＋3＝1，得a＝1或a＝2.当a＝1时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意．当a＝2时，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．综上，得a的值为2.规律方法(1)幂函数的特点：系数为1，底数为自变量，指数为常数．(2)当α>0时，幂函数在第一象限内单调递增；当α<0时，幂函数在第一象限内单调递减．【训练1】已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)是：①幂函数；②正比例函数；③反比例函数；④二次函数？解①∵f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.②若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－4 5，此时m2－m－1≠0，故m＝－4 5.③若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，解得m＝－2 5，此时m2－m－1≠0，故m＝－2 5.④若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，得m＝－1.此时m2－m－1≠0，故m＝－1.题型二幂函数的图象及应用【例2】讨论函数f(x)＝的定义域、值域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象求出函数的单调区间．解∵y＝＝13x2，∴定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(0，＋∞)．令f (x )＝13x 2，∴f (－x )＝13(－x )2＝13x 2＝f (x )．∴y ＝是偶函数．其图象如图所示．由图可知，函数在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数．规律方法幂函数y ＝x α的图象和性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α＞0时，图象过(0,0)和(1,1)，在第一象限图象上升是增函数；α＜0时，图象过(1,1)，不过(0,0)，在第一象限图象下降是减函数，反之也成立． (2)曲线在第一象限的凹凸性：α＞1时，曲线下凸，0＜α＜1时，曲线上凸；α＜0时，曲线下凸．【训练2】若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，(1)f (x )＞g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )＜g (x )．解设f (x )＝x α，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，所以，将点(2，2)代入f (x )＝x α中，得2＝(2)α，解得α＝2，则f (x )＝x 2.同理可求得g (x )＝x －2.在同一坐标系里作出函数f (x )＝x 2和g (x )＝x －2的图象(如图所示)，观察图象可得：(1)当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞g (x )； (2)当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1＜x ＜1且x ≠0时，f (x )＜g (x )．【探究1】函数y ＝在[－1,1]上是________(填“增函数”或“减函数”)且是________(填“奇函数”或“偶函数”)．解析由幂函数的性质知当α>0时，y ＝x α在第一象限内是增函数， ∴y ＝在x ∈[0,1]上是增函数．设f (x )＝，x ∈[－1,1]，则f (－x )＝(－x )59＝－x 59＝－f (x )，∴f (x )＝是奇函数．∵奇函数的图象关于原点对称， ∴x ∈[－1,0]时，y ＝也是增函数．当x ＝0时，y ＝0，故y ＝在[－1,1]上是增函数且是奇函数．答案增函数奇函数【探究2】比较下列各组数的大小．(1) ；(2)；(2)(34)－2和3－4；(4)(－13)－3和.解 (1)函数y ＝在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以.(2)函数y ＝在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，所以(3)3－4＝(32)－2＝9－2，函数y ＝x －2在(0，＋∞)上为减函数，又34<9，所以(34)－2>9－2，即(34)－2>3－4.(4)因为(－13)－3<0, >0，所以(－13)－3<.【探究3】若，则a 的取值范围是________．解析函数f (x )＝在区间(0，＋∞)内是减函数，所以等价于⎩⎨⎧a ＋1＞0，3－2a ＞0，a ＋1＞3－2a ，解得23＜a ＜32.所以a 的取值范围是(23，32)．答案 (23，32)【探究4】已知函数f (x )＝x －1，若f (a ＋1)＜f (10－2a )，则a 的取值范围是________．解析函数f (x )＝x －1的大致图象如图，由题意可知应分三种情况讨论： ①当a ＋1＜0,10－2a ＞0时，f (a ＋1)＜0＜f (10－2a )，此时解得a ＜－1.②当a ＋1＞0,10－2a ＞0时，得a ＋1＞10－2a ，故⎩⎨⎧a ＋1＞10－2a ，10－2a ＞0， ∴3＜a ＜5.③当a ＋1＜0,10－2a ＜0时，得a ＋1＞10－2a ，故⎩⎨⎧a ＋1＞10－2a ，a ＋1＜0，无解．综上可知，a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3,5)．答案 (－∞，－1)∪(3,5)规律方法比较幂式的大小时，首先判断所比较的两个幂式的底数和指数是否相同．若指数相同，底数不同，则考查幂函数；若底数相同，指数不同，则考查指数函数；若底数和指数均不同，要引进中间量，综合考查指数函数和幂函数．课堂达标1．已知函数f (x )＝(m 2＋m ＋1)x m2－2m －1是幂函数，则实数m ＝________. 解析由函数f (x )＝(m 2＋m ＋1) x m 2－2m －1是幂函数可得m 2＋m ＋1＝1，解得m ＝0或m ＝－1. 答案 0或－12．已知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点(3，13)，则f (6)＝________.解析依题意13＝(3)m ＝，所以m2＝－1，m ＝－2，所以f(x)＝x－2，所以f(6)＝6－2＝136.答案1 363．若y＝x a2－4a－9是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a的值是________．解析由题意得，a2－4a－9应为负偶数，即a2－4a－9＝(a－2)2－13＝－2k(k ∈N*)，(a－2)2＝13－2k，当k＝2时，a＝5或－1；当k＝6时，a＝3或1.答案1,3,5，－14．设α∈{－2，－1，12，1,2,3}，则使y＝xα为奇函数且在(0，＋∞)上单调递减的α的值为________．解析要使y＝xα为奇函数，需α＝－1,1,3，又在(0，＋∞)上单调递减，所以α＝－1.答案－15．函数f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数，当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不合题意．∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.课堂小结1．幂函数y＝xα的底数是自变量，指数是常数，而指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量．2．幂函数在第一象限内指数变化规律在第一象限内直线x＝1的右侧，图象从上到下，相应的指数由大变小；在直线x＝1的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小．3．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变量为1时，函数值为1，即f(1)＝1.(2)如果α＞0，幂函数在[0，＋∞)上有意义，且是增函数．(3)如果α＜0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数．。

必修1-幂函数学案

高一数学必修1 幂函数学案（一）
【学习目标】
【知识与技能】
1.理解幂函数的概念.
2.通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并初步进行应用.
【过程与方法】
通过对幂函数的学习，使学生进一步熟练掌握研究函数的一般思想方法.
【情感、态度价值观】
1.进一步渗透数形结合、分类讨论的思想方法.
2.体会幂函数的变化规律及蕴含其中的性质.
3.通过引导学生主动参与作图、分析图象，培养学生的探索精神，并在研究函数
变化的过程中渗透辩证唯物主义的观点.
【重点难点】
重点：通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律．
难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.
【突破方式】
学生动手作图、再通过学生交流对比（或多媒体演示）多个幂函数图象，深化学生对图象的直观认识；观察幂函数图象，归纳幂函数的性质，加强学生对幂函数性质的理解和记忆. 【学习过程】
幂函数的定义
通过观察图像，填下列的表格
.。

3.3幂函数教学案

3.3 幂函数教学案 2012.10.29备课教师：一、教学目标通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用。

二、教学重点从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。

三、教学难点画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。

四、上课时间：五、教学过程（一）、教材·知识·研读一、新课引入x y =，2x y =，1-=x y ，3x y =，21x y =观察上述五个函数，有什么共同特征？二、合作学习，共同探究 1、定义一般地，形如的函数称为幂函数，其中α为常数.练习1：判断在函数xy 1=，22x y =，x x y -=3中，哪几个函数是幂函数？2、幂函数的图象作出下列函数的图象：（1）x y =；（2）2x y =；（3）1-=x y ；（4）3x y =；（5）12y x =．3、幂函数的性质引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（Ⅱ）0α>时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地，当1α>时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（Ⅲ）0α<时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．三知识应用题型一幂函数定义的理解【例1】已知函数m x m m x f m m ,)2()(122-++=为何值时，)(x f 是：（1）正比例函数（2）反比例函数（3）二次函数（4）幂函数【变式训练】若将函数换为122)22()(-+-+=m m x m m x f ，试解决（3）（4）两问.题型二幂函数的图像【例2 】已知幂函数1αx y =，2αx y =，3αx y =对应曲线C ，C ，C ，如图所示。

指出1α，2α，3α的大小关系。

【变式训练】下面6个幂函数的图像如图所示，试建立函数与图像之间的对应关系；（1）23x y = (2) 31xy =(3) 32xy =(4)2-=x y (5) 3-=x y (6) 21-=xy(A) (B) (C)(D) (E) (F)【题型三】利用单调性比较幂函数值的大小【例3】比较下列各组数的大小：（1）212.3与215.2；（2）231.0-与218.0-；（3）52)5(-与52)7(-【变式训练】（1）325.4与323.4；（2）253-与251.3-；（3）31)2(-与31)3(-【题型四】求幂函数的定义域【例4】写出下列函数的定义域：（1）3)(x x f =；（2）21)(x x f =；（3）2)(-=x x f【变式训练】（1）53)(x x f =；（2）5)(-=x x f ；（3）43)(-=x x f ；（4）32)(-=xx f题型五综合应用【例6】已知)1()1(33232->+>a a ，求a 的取值范围。

人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件第三章 3.3 幂函数

单调递减.
变式训练4
幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,且f(-x)=f(x),则
m=
.
答案 1
解析
∵幂函数f(x)=x3m-5(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,∴3m-5<0,即m<
5
,
3
又m∈N,∴m=0,1.∵f(-x)=f(x),
∴f(x)为偶函数.当m=0时,f(x)=x-5是奇函数;当m=1时,f(x)=x-2是偶函数,故
是幂函数,
当m=-1时,函数为y= -1在区间(0,+∞)上单调递减,满足题意,
当m=2时,函数为y=x5在(0,+∞)上单调递增,不满足条件.故选B.
是幂函
规律方法
幂函数y=xα在(0,+∞)上的单调性与α的关系:
当α>0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增;当α<0时,幂函数y=xα在(0,+∞)上
规律方法
函数y=xα(α为常数)的图象特点
(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.
(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当
x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).
(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象
限内的图象(类似于y=x-1或y=
1
2
,y=x3)来判断.
(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都上升;当α<0时,幂函数的图象
在区间(0,+∞)上都下降.
变式训练2
如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列

高一数学《幂函数》学案

高一数学《幂函数》学案班级: 姓名:课前预习案1.课程标准：理解幂函数的定义，会用描点法画幂函数的图象.掌握幂函数的性质及简单运用2.学习重点：幂函数的定义、性质，用描点法画幂函数的图象3.学习难点：幂函数单调性的证明，幂函数的图象4.问题解决：渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法.提高归纳与概括能力5.情感态度：培养积极思考、自主探索新知识的学习习惯和科学严谨的学习态度6.前置补偿：1：复习函数的单调性的定义及证明, 分别采用作差法和作商法证明y=在(0,)+∞上是增函数○1请用作差法证明○2请用作商法证明2：完成下列7个小问○1如果某人购买了每个1元的包子x个，那么他支付的钱y= 元。

○2如果正方形的边长为x，那么正方形的面积y=○3如果正方体的边长为x，那么这个正方体的体积y=○4如果正方形纸片的面积为x，那么这个正方形的边长y=○5如果正方体盒子的体积为x，那么这个正方体的边长y=○6如果正方体盒子的体积为2x，那么这个正方体的边长y=○7如果某人x秒内骑车行进了1Km，那么他骑车的平均速度y=思考：是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？你的回答：3：121.1，121.4，131.1的大小关系为4：判断下列函数的奇偶性1 y x-=12y x=2y x=3y x=你的回答：,y x=2,y x=3,y x=13,y x=1y x-=一：创设情境：教师出示投影○1：将预习案2中的7个小问的答案给出，让学生检查并订正，并引导学生进行总结,得出这七个函数解析式有什么样的共同特征？你的回答：二：概念形成：以引出的实例出发、归纳：幂函数的定义：幂函数的特点是：幂函数与指数函数的区别：你学过的幂函数有哪些，还能举一些幂函数的实例吗？下列函数中哪些是幂函数？21y x=2y x x =+ 3y x =- 212y x=3xy = 45y x =你的回答：三：概念深化引导：有了概念，接下来做什么？探究性质，对不熟悉的函数通过什么方式探索性质？（要求学生回答）用PPT 展示在同一坐标系下,y x =2,y x =3,y x =13,y x =1y x -=的草图为使作图准确：(老师提醒)1）可先分析函数的什么？2）怎样便于看幂函数的定义域（写成根式）3）观察幂函数的定义域对其奇偶性有什么影响？你的回答：通过预习案订正P78探究中的表格后引导学生一起讨论、回答幂函数的性质有引导学生注意应用图像归纳性质的一般步骤有拓展提升由00∂>∂< 判断幂函数的单调性是由∂得奇偶性判断幂函数的奇偶性四：迁移拓展，能力提升1：订正预习案中第一题2:幂函数2(33)m y m m x =--在区间(0,)+∞上是增函数，求m 的值？3：已知1122(1)(32)a a +<-，求a 的取值范围？4：幂函数的图象过（2,8）点，求该幂函数？五：总结反思 1：知识点 2：题型3：思想方法课后巩固案必做作业：课本习题P79 1、2题选做作业: 练习册P59-60（自己取舍）。

2024年《幂函数》教案

《幂函数》教案《幂函数》教案1一、教材分析幂函数是学生在系统学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本初等函数。

是对函数概念及性质的应用，能进一步培养利用函数的性质(定义域、值域、图像、奇偶性、单调性)研究一个函数的意识。

因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。

从概念到图象( )，利用这五个函数的图象探究其定义域、值域、奇偶性、单调性、公共点，概括、归纳幂函数的性质，培养学生从特殊到一般再到特殊的一般认知规律。

从教材的整体安排看，学习了解幂函数是为了让学生进一步获得比较系统的函数知识和研究函数的方法，以便能将该方法迁移到对其他函数的研究。

二、教学目标分析依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：[知识与技能] 使学生了解幂函数的定义，会画常见幂函数的图象，掌握幂函数的图象和性质，初步学会运用幂函数解决问题，进一步体会数形结合的思想。

[过程与方法] 引入、剖析、定义幂函数的过程，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会数学概念的学习方法;通过运用多媒体的教学手段，引领学生主动探索幂函数性质，体会学习数学规律的方法，体验成功的乐趣;对幂函数的性质归纳、总结时培养学生抽象概括和识图能力;运用性质解决问题时，进一步强化数形结合思想。

[情感、态度与价值观] 通过生活实例引出幂函数概念，使学生体会生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。

通过本节课的学习，使学生进一步加深研究函数的规律和方法;提高学生的学习能力;养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质;树立学科学，爱科学，用科学的精神。

三、重、难点分析[教学重点](1)幂函数的定义与性质;(2)指数α的变化对幂函数y=xα(α∈R)的影响。

从知识体系看，前面有指数函数与对数函数的学习，后面有其他函数的研究，本节课的学习具有承上启下的作用;就知识特点而言，蕴涵丰富的数学思想方法;就能力培养来说，通过学生对幂函数性质的归纳，可培养学生类比、归纳概括能力，运用数学语言交流表达的能力。