人教B版高中数学选修2-2+2.2.2+反证法+教案
人教版选修1-2第二章2.2.2反证法课件
司马懿见此情景，心中疑虑：“诸葛亮
一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，
今天如此这般，城内恐怕必有伏兵，有
意诱我入城，绝不能中计也。”
数学中常见实例分析：
1.a 0, b 0, a b 1, 求证：a, b中至少有
1
一个不大于 .
2
2.a, b, c不全为零，a b c 0, 求证：a, b, c
只有一个根．
点评：“有且只有”包含了“有根”和“只有这个
根”两层意思．由于a≠0，因此方程至少有一
个根＝ .从正面较难说明为什么只有这个
根．故我们采用反证法．
试一试
求证：在一个三角形中，
至少有一个内角小于或等
于60°.
A
B
C
证明：假设结论不成立，即：
＜
＜
＜
∠A___ 60°, ∠B ___ 60°,
（1）a是实数。
（2)a大于2。
a小于或等于２
a不是实数
（3）a小于2。
（4）至少有2个
a大于或等于２
最多有1个
（5）最多有一个
（6）两条直线平行。
至少有两个
两直线不平行
巩固新知
2、用反证法证明“若a2≠ b2,则a ≠ b”
的第一步是 假设a=b 。
巩固新知
3、用反证法证明“如果一个三角形没有两个相
中至少有一个大于0.
定义
假设原命题 不成立 ，经过正确的推理，最后得出矛
假设错误
盾，因此说明________，从而证明了
这样的证明方法叫做反证法.
原命题成立，
反证法常见的矛盾类型
反证法教案高中数学
反证法教案高中数学
一、教学内容：反证法
二、教学目标：
1. 了解反证法的基本概念和应用；
2. 能够灵活运用反证法解决问题。
三、教学重点和难点：
1. 反证法的基本原理和思想；
2. 如何正确运用反证法进行证明。
四、教学准备：
1. 教材：高中数学教材；
2. 教具：黑板、彩色粉笔、教学PPT等。
五、教学步骤：
1. 引入：通过一个生活中的例子引发学生对反证法的兴趣，引出反证法的概念。
2. 讲解：讲解反证法的基本原理和思想，以及在数学证明中的应用方法。
3. 练习：设计一些简单的例题，让学生通过反证法进行证明。
4. 拓展：提供一些更具挑战性的问题，引导学生灵活运用反证法解决问题。
5. 总结：对本节课内容进行总结，并强调反证法在解决问题中的重要性。
六、课后作业：
1. 完成课堂练习题，并写出解题思路；
2. 查找一些实际问题，尝试用反证法进行证明。
七、教学反思：
在教学中要注重引导学生思考和灵活运用反证法，培养其逻辑思维和解决问题的能力，同时要注重培养学生的合作意识和自主学习能力。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第二章 2.2 2.2.2 反 证 法
自 测 自 评
上述步骤的正确顺序为________(填序号)．
解析：由反证法的一般步骤可知，正确的顺序 应为③①②. 答案：③①②
栏 目 链 接
自 测 自 评
3.“实数 a，b，c 不全大于 0”等价于( A．a，b，c 均不大于 0 B．a，b，c 中至少有一个大于 0 C．a，b，c 中至多有一个大于 0 D．a，b，c 中至少有一个不大于 0
栏 目 链 接
题型3
用反证法证明唯一性命题
例3 用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直 线b与已知直线a平行．
栏 目 链 接
证明：假设过点 A 还有一条直线 b′与已知直 线 a 平行，即 b∩b′＝A，b′∥a.因为 b∥a，由平 行公理知 b′∥b.这与假设 b∩b′＝A 矛盾，所以 假设错误，故原命题成立．
栏 目 链 接
跟 踪 训 练
1．已知三个正数 a，b，c 成等比数列，但不成等差数 列，求证： a， b， c不成等差数列．
解析： 假设 a， b， c成等差数列， 则 a＋ c＝2 b， 即 a＋c＋2 ac＝4b， 而 b2＝ac，即 b＝ ac，所以 a＋c＋2 ac＝4 ac， 所以( a－ c)2＝0.即 a＝ c， 从而 a＝b＝c，与 a，b，c 不成等差数列矛盾， 故 a， b， c不成等差数列．
证明：假设方程 f(x)＝0 在区间[a，b]上至少有两个实 根，设 α、β 为其中的两个实根．因为 α≠β，不妨设 α ＜β，又因为函数 f(x)在[a，b]上是单调递减函数，所以 f(α)＞f(β)．这与假设 f(α)＝0＝f(β)矛盾，所以方程 f(x) ＝0 在区间[a，b]上至多有一个实根．
2
栏 目 链 接
人教课标版高中数学选修1-2：《反证法》教案-新版
2.2.2 反证法一、教学目标1．核心素养培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力2．学习目标（1）理解反证法的概念（2）体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤（3）会用反证法证明简单的命题3．学习重点对反证法的概念和三个步骤的理解与掌握．4．学习难点理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据．二、教学设计（一）课前设计【学习过程】1．预习任务任务1预习教材P42—P43，思考：什么是反证法？你以前学过反证法吗？任务2反证法证明问题的步骤是什么？值得注意的问题哪些？2．预习自测1．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用（）①结论相反的判断，即假设②原命题的条件③公理、定理、定义等④原结论A．①②B．①②④C．①②③D．②③答案：C【知识点：三角形内角和的性质，命题的否定，反证法】由反证法的定义可知应选C．2．如果两个实数之和为正数，则这两个数（）A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．两个都是非负数D．至少有一个是正数答案：D3．已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为（）A．a<0，b<0，c>0B．a≤0，b>0，c>0C．a，b，c不全是正数D．abc<0答案：C4．否定“至多有两个解”的说法中，正确的是（）A．有一个解B．有两个解C．至少有两个解D．至少有三个解答案：D（二）课堂设计1．知识回顾著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝，原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这棵树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”王戎的论述运用了什么推理思想？王戎的推理方法是:假设李子不苦,则因树在“道”边,李子早就被别人采摘而没有了,这与“多李”产生矛盾．所以假设不成立,李为苦李．2．问题探究问题探究一反证法的概念●活动一1．什么是反证法？引例：证明：在一个三角形中至少有一个角不小于60°．已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个不小于60°．∆的三个内角∠A，∠B，∠C都小于60°，证明：假设ABC则有∠A <60°，∠B < 60°，∠C <60°，∠A+∠B+∠C<180°这与三角形内角和等于180°相矛盾．所以假设不成立，所求证的结论成立．先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、定义或已知条件相矛盾，说明假设不成立，从而得到原结论正确．这种证明方法就是——反证法一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．反证法也称归谬法●活动二1．常用词语的反义词从上面的引例可以看出：用反证法证明问题时，都是得到一系列矛盾结果，会出现一些反义词，因此，同学们要注意常见词语的反义词，你知道哪些反义词呢？下面是一些常见反义词：问题探究二反证法的证题的基本步骤●活动一反证法的证明过程从前面的引例中你可以总结出反证法证明问题有哪些步骤？反证法的证明过程：否定结论——推出矛盾——肯定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真反设——假设命题的结论不成立；归谬——从假设出发，经过一系列正确的推理，得出矛盾；存真——由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立．●活动二归谬矛盾的方法思考一下，归谬矛盾的方法有哪些？归谬矛盾主要有以下方法：（1）与已知条件矛盾．（2）与假设矛盾或自相矛盾．（3）与已有公理、定理、定义、事实矛盾．●活动三反证法证明问题的适用范围同学们知道用反证法证明问题的范围有哪些吗？是不是所有的问题反证法都适用？反证法证明问题的适用范围（1）否定性命题；（2）限定式命题；（3）无穷性命题；（4）逆命题；（5）某些存在性命题；（6）全称肯定性命题；（7）一些不等量命题的证明；（8）基本命题；（9）结论以“至多……”“至或少……”的形式出现的命题等．问题探究三反证法可以解决哪些问题？●活动一用反证法证明否(肯)定式命题例1 设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的零点，命题的否定，反证法；数学思想：函数与方程】详解：假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．而f(0)，f(1)均为奇数，即c 为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数．∴n，an＋b均为奇数．又a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．点拔：（1）此题为否定形式的命题，直接证明很困难，可选用反证法．证题的关键是根据f(0)，f(1)均为奇数，分析出a，b，c的奇偶情况，并应用．（2）对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明，从正面突破较困难时，可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题，然后用转化后的命题作为条件进行推理，推出矛盾，从而达到证题的目的．●活动二用反证法证明“唯一性”命题例2 若函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断开，f(a)＜0，f(b)＞0，且f(x)在[a，b]上单调递增，求证：f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．【知识点：函数的零点，函数的单调性，命题的否定，反证法】详解：由于f(x)在[a，b]上的图象连续不断开，且f(a)＜0，f(b)＞0，即f(a)·f(b)＜0，所以f (x )在(a ，b )内至少存在一个零点，设零点为m ，则f (m )＝0，假设f (x )在(a ，b )内还存在另一个零点n ，且n ≠m ．，使f (n )＝0，若n ＞m ，则f (n )＞f (m )，即0＞0，矛盾；若n ＜m ，则f (n )＜f (m )，即0＜0，矛盾．因此假设不正确，即f (x )在(a ，b )内有且只有一个零点．点拔：证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证其唯一性就较简单明了．●活动三 用反证法证明“至多、至少”问题例3 已知x ，y ＞0，且x ＋y ＞2．求证：1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．【知识点：不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】详解： 假设1＋x y ，1＋y x 都不小于2，即1＋x y ≥2，1＋y x ≥2．∵x ＞0，y ＞0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x ．∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )．即x ＋y ≤2，这与已知x ＋y ＞2矛盾．∴1＋x y ，1＋y x 中至少有一个小于2．点拔：反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n 个/至多有(n 一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．例4 设二次函数2()f x x px q =++，求证：(1),(2),(3)f f f 中至少有一个不小于12． 【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】 详解：假设(1),(2),(3)f f f 都小于12，则 .2)3()2(2)1(<++f f f （1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(=+++++-++=+-≥++q p q p q p f f f f f f （2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．点拔：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况．试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？●活动四利用反证法证题时，假设错误而致误例5 已知a，b，c是互不相等的非零实数．求证：三个方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a ＝0，cx2＋2ax＋b＝0至少有一个方程有两个相异实根．【错解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac<0，Δ2＝4c2－4ab<0，Δ3＝4a2－4bc<0，相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2<0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2<0，此不等式不能成立，所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．【知识点：方程的根，反证法】【错因分析】上面解法的错误在于认为“方程没有两个相异实根就有Δ<0”，事实上，方程没有两个相异实根时Δ≤0．【正解】假设三个方程都没有两个相异实根，则Δ1＝4b2－4ac≤0，Δ2＝4c2－4ab≤0，Δ3＝4a2－4bc≤0．相加有a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋c2－2ac＋a2≤0，即(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≤0，(*)由题意a，b，c互不相等，所以(*)式不能成立．所以假设不成立，即三个方程中至少有一个方程有两个相异实根．点拔：用反证法证题要把握三点：(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．3．课堂总结【知识梳理】(1)反证法：假设原命题的反面正确，根据已知条件及公理、定理、定义，按照严格的逻辑推理导出矛盾．从而说明假设不正确，得出原命题正确．(2)反证法是间接证明的一种方法，在证明否定性命题、唯一性命题和存在性命题时运用反证法比较简便．(3)反证法的基本步骤是：①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果；③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定结论成立．【难点突破】用反证法证题时,应注意的事项:（1）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏．（2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性．（3）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的．（4）反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．（5）归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．4．随堂检测1．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b”的假设内容应是（）A．3a＝3bB．3a＜3bC．3a≤3bD．3a≥3b答案：C【知识点：不等式的性质，绝对值不等式的性质，不等式的证明，命题的否定，反证法】“大于”的对立面为“小于等于”，故应假设“3a ≤3b ”．2．否定“任何一个三角形的外角都至少有两个钝角”时正确的说法为（ ）A ．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角B ．任何一个三角形的外角都没有两个钝角C ．没有一个三角形的外角有两个钝角D ．存在一个三角形，其外角有两个钝角答案：A【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】原命题的否定为：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角．3．用反证法证明命题：若a 、b 是实数，且|a －1|＋|b －1|＝0，则a ＝b ＝1时，应作的假设是________．答案：a ≠1或b ≠1．【知识点：命题的否定，反证法】∵“a ＝b ＝1”的否定为“a ≠1或b ≠1”，故应填a ≠1或b ≠1．4．证明方程2x ＝3有且仅有一个实根．【知识点：命题的否定，反证法】证明：∵2x ＝3，∴x ＝32，∴方程2x ＝3至少有一个实根．设x 1，x 2是方程2x ＝3的两个不同实根，则⎩⎨⎧2x 1＝3， ①2x 2＝3， ② 由①－②得2(x 1－x 2)＝0，∴x 1＝x 2，这与x 1≠x 2矛盾．故假设不正确，从而方程2x ＝3有且仅有一个实根．三、智能提升★基础型 自主突破1．(2013·海口高二检测)用反证法证明命题：三角形三个内角至少有一个不大于60°时，应假设（ ）A ．三个内角都不大于60°B ．三个内角都大于60°C ．三个内角至多有一个大于60°D ．三个内角至多有两个大于60°答案：B三个内角至少有一个不大于60°，即有一个、两个或三个不大于60°，其反设为都大于60°，故B正确．2．实数a，b，c不全为0等价于（）A．a，b，c均不为0B．a，b，c中至多有一个为0C．a，b，c中至少有一个为0D．a，b，c中至少有一个不为0答案：D【知识点：命题的否定，反证法】实数a，b，c不全为0，即a，b，c至少有一个不为0，故应选D．3．(1)已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2．用反证法证明时，可假设p＋q≥2．(2)已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1．以下结论正确的是（）A．(1)与(2)的假设都错误B．(1)与(2)的假设都正确C．(1)的假设正确；(2)的假设错误D．(1)的假设错误；(2)的假设正确答案：D【知识点：命题的否定，反证法】(1)的假设应为p＋q>2；(2)的假设正确．答案是D4．下列命题不适合用反证法证明的是（）A．同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线互相平分D．已知x，y∈R，且x＋y＞2，求证：x，y中至少有一个大于1答案：C【知识点：命题的否定，反证法】A中命题条件较少，不易正面证明；B中命题是否定性命题，其反设是显而易见的定理；D 中命题是至少性命题，其结论包含两种情况，而反设只有一种情况，适合用反证法证明．5．命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的否定是_____________．答案：三角形中最少有两个内角是直角【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】“最多”的反面是“最少”，故本题的否定是：三角形中最少有两个内角是直角．能力型 师生共研1．设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则三数a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中（ ）A ．都不大于－2B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2答案：C【知识点：基本不等式，命题的否定，反证法】假设都大于－2，则1116a b c b c a+++++>-，又()112a a a a ⎡⎤+=--+≤-=-⎢⎥-⎣⎦，同理12b b +≤-，12c c +≤-， 故1116a b c b c a+++++≤-，矛盾．即a ＋1b ，c ＋1a ，b ＋1c 中至少有一个不大于－2,所以答案C ． 2．用反证法证明命题“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0(a 、b 为实数)”，其反设为________． 答案：a 、b 不全为0【知识点：命题的否定，反证法】“a 、b 全为0”即“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0，3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：①∠A ＋∠B ＋∠C ＝90°＋90°＋∠C >180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC 中有两个直角，不妨设∠A ＝90°，∠B ＝90°．上述步骤的正确顺序为________．答案：③①②【知识点：三角形的性质，命题的否定，反证法】4．甲乙丙三位同学中，有一位同学做了一件好事，这时候老师问他们三人，是谁做的？甲说："丙做的．”丙说：“不是我做的．”乙也说：“不是我做的．”如果知道他们三个人中，有两人说了假话，有一人说真话，你能判断出是谁做的吗？【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：每人讲的话中都有一句真话，一句假话．乙说：“我没有做这件事，丙也没有做这件事．”说明乙丙两人中有一人做了这件事，甲一定没做而甲说：“我没有做这件事，乙也没有做这件事．”前一句是真的，后一句一定是假的．所以，是乙做的这件好事！5．用反证法证明：无论m 取何值，关于x 的方程x 2－5x ＋m ＝0与2x 2＋x ＋6－m ＝0至少有一个有实数根．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】解：假设存在实数m ，使得这两个方程都没有实数根，则⎩⎨⎧ Δ1＝25－4m ＜0，Δ2＝1－8(6－m )＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞254，m ＜478，无解．与假设存在实数m 矛盾．故无论m 取何值，两个方程中至少有一个方程有实数根．6．已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0，c ＞0．【知识点：不等式的证明，命题的否定，反证法】证明: 假设a ＜0，由abc ＞0得bc ＜0，由a ＋b ＋c ＞0，得b ＋c ＞－a ＞0，于是ab ＋bc ＋ca ＝a (b ＋c )＋bc ＜0，这与已知矛盾．又若a ＝0，则abc ＝0，与abc ＞0矛盾，故a ＞0，同理可证b ＞0，c ＞0．探究型 多维突破1．若x ，y ，z 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6，则a ，b ，c 中是否至少有一个大于0？请说明理由．【知识点：推理与证明，实数非负性，命题的否定，反证法】解：假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3，因为π－3>0，且无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，所以a ＋b ＋c >0．这与假设a ＋b ＋c ≤0矛盾．因此，a，b，c中至少有一个大于0．2．如下图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN的长；(2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．【知识点：线面垂直，面面垂直，异面直线，命题的否定，反证法】解：(1)如图，取CD的中点G，连接MG，NG，∵ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，∴MG⊥CD，MG＝2，NG＝2．∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF．∴MG⊥GN．∴MN＝MG2＋GN2＝6．(2)证明假设直线ME与BN共面，则AB⊂平面MBEN，且平面MBEN∩平面DCEF＝EN．由已知，两正方形ABCD和DCEF不共面，故AB⊄平面DCEF．又AB∥CD，∴AB∥平面DCEF，∴EN∥AB，又AB∥CD∥EF．∴EF∥NE，这与EF∩EN＝E矛盾，故假设不成立．∴ME与BN不共面，它们是异面直线．（四）自助餐1．用反证法证明命题“若a，b∈N，ab可以被7整除，则a，b中至少有一个能被7整除”，其假设正确的是（）A．a，b都能被7整除B．a，b都不能被7整除C．a不能被7整除D．a，b中有一个不能被7整除答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】“至少有一个”的否定是“一个也没有”．所以选B．2．有下列叙述：①“a＞b”的反面是“a＜b”；②“x＝y”的反面是“x＞y或x＜y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形的内角中最多有一个钝角”的反面是“三角形的内角中没有钝角”，其中正确的叙述有（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】①错，应为a≤b．②对．③错，应为三角形的外心在三角形内或三角形的边上．④错，应为三角形的内角中有2个或3个钝角．即选B．3．设正实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，则a，b，c中至少有一个数不小于（）A．1 3B．1 2C．3 4D．2 5答案：A【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设a，b，c中至少有一个数不小于x的反命题成立，即假设a，b，c都小于x，即a＜x，b＜x，c＜x，∴a＋b＋c＜3x．∵a＋b＋c＝1，∴3x＞1．∴x＞13，若取x＝13就会产生矛盾．故选A．4．下列命题错误的是（）A．三角形中至少有一个内角不小于60°B．四面体的三组对棱都是异面直线C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D．设a、b∈Z，若a、b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数答案：D【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】a＋b为奇数⇔a、b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．因此选D．5．已知α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，若a，b为异面直线，则（）A．a，b都与l相交B．a，b中至少有一条与l相交C．a，b中至多有一条与l相交D．a，b都不与l相交答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】逐一从假设选项成立入手分析，易得B是正确选项，故选B．6．以下各数不能构成等差数列的是（）A．3，4，5B．2，3， 5C．3，6，9D．2，2， 2答案：B【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】假设2，3，5成等差数列，则23＝2＋5，即12＝7＋210，此等式不成立，故2，3，5不成等差数列．7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．答案：存在一个三角形，其外角最多有一个钝角【知识点：命题的否定，反证法】“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．8．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a、b、c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．【知识点：函数的奇偶性，推理与证明，命题的否定，反证法】证明设f(x)＝0有一个整数根k，则ak2＋bk＝－c．①又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数，∴a＋b为偶数，当k为偶数时，显然与①式矛盾；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)·(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f(x)＝0无整数根．9．如图，已知平面α∩平面β=直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a=A，c∥a．求证：b与c是异面直线．【知识点：线面平行，线线平行，推理与证明，命题的否定，反证法】证明：证明：假设b，c不是异面直线，则①b∥c；②b∩c＝B．①若b∥c，∵a∥c，∴a∥b，与a∩b＝A矛盾，∴b∥c不成立．②若b∩c＝B，∵c⊂β，∴B∈β．又A∈β，A∈b，∴b⊂β．又b⊂α，∴α∩β＝b．又α∩β＝a，∴a与b重合．这与a∩b＝A矛盾．∴b∩c＝B不成立．∴b与c是异面直线．10．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围．【知识点：判别式，不等式组的解法，命题的否定，反证法】解：设三个方程均无实根，则有⎩⎨⎧ Δ1＝16a 2－4(－4a ＋3)<0，Δ2＝(a －1)2－4a 2<0，Δ3＝4a 2－4(－2a )<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ －32<a <12，a <－1，或a >13，－2<a <0，所以－32<a <－1． 所以当a ≥－1，或a ≤－32时，三个方程至少有一个方程有实根．11．已知函数f (x )＝x 22x －2，如果数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，求证：当n ≥2时，恒有a n <3成立．【知识点：推理与证明，命题的否定，反证法】证明：法一(直接证法) 由a n ＋1＝f (a n )得a n ＋1＝a 2n 2a n －2， ∴1a n ＋1＝－2a 2n ＋2a n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －122＋12≤12， ∴a n ＋1<0或a n ＋1≥2；(1)若a n ＋1<0，则a n ＋1<0<3，∴结论“当n ≥2时，恒有a n <3”成立；(2)若a n ＋1≥2，则当n ≥2时，有a n ＋1－a n ＝a 2n 2a n －2－a n ＝－a 2n ＋2a n 2(a n －1)＝－a n (a n －2)2(a n －1)≤0， ∴a n ＋1≤a n ，即数列{a n }在n ≥2时单调递减；由a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3， 可知a n ≤a 2<3，在n ≥2时成立．综上，由(1)、(2)知：当n ≥2时，恒有a n <3成立．法二：(用反证法) 假设a n ≥3(n ≥2)，则由已知得a n ＋1＝f (a n )＝a 2n 2a n －2， ∴当n ≥2时，a n ＋1a n＝a n 2a n －2＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a n －1≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝34<1，(∵a n －1≥3－1)， 又易证a n >0，∴当n ≥2时，a n ＋1<a n ，∴当n >2时，a n <a n －1<…<a 2；而当n ＝2时，a 2＝a 212a 1－2＝168－2＝83<3，∴当n ≥2时，a n <3；这与假设矛盾，故假设不成立，∴当n≥2时，恒有a n<3成立．三、数学视野边际分析法是这一时期产生的一种经济分析方法，同时形成了经济学的边际效用学派，代表人物有瓦尔拉(L．Walras)、杰文斯(W．S．Jevons)、戈森(H．H．Gossen)、门格尔(C．Menger)、埃奇沃思(F．Y．Edgeworth)、马歇尔(A．Marshall)、费希尔(I．Fisher)、克拉克(J．B．Clark)以及庞巴维克(E．von Bohm-Bawerk)等人．边际效用学派对边际概念作出了解释和定义，当时瓦尔拉斯把边际效用叫做稀缺性，杰文斯把它叫做最后效用，但不管叫法如何，说的都是微积分中的“导数”和“偏导数”．西方经济学中,边际分析方法是最基本的分析方法之一,是一个比较科学的分析方法．西方边际分析方法的起源可追溯到马尔萨斯．他在1814年曾指出微分法对经济分析所可能具有的用途．1824年，汤普逊(W．Thompson)首次将微分法运用于经济分析，研究政府的商品和劳务采购获得最大利益的条件．功利主义创始人边沁(J．Bentham)在其最大快乐和最小痛苦为人生追求目标的信条中，首次采用最大和最小术语，并且提出了边际效应递减的原理．边际分析法是把追加的支出和追加的收入相比较，二者相等时为临界点，也就是投入的资金所得到的利益与输出损失相等时的点．如果组织的目标是取得最大利润，那么当追加的收入和追加的支出相等时，这一目标就能达到．边际分析法的数学原理很简单．对于离散discrete情形，边际值marginal value为因变量变化量与自变量变化量的比值；对于连续continuous情形，边际值marginal value为因变量关于某自变量的导数值．所以边际的含义本身就是因变量关于自变量的变化率，或者说是自变量变化一个单位时因变量的改变量．在经济管理研究中，经常考虑的边际量有边际收入MR、边际成本MC、边际产量MP、边际利润MB等．。
反证法教案——精选推荐
反证法教案选修2-2 反证法教学设计⼀、教学⽬标1.知识与能⼒通过实例，培养学⽣⽤反证法证明简单问题的推理技能，进⼀步培养观察能⼒、分析能⼒、逻辑思维能⼒及解决问题的能⼒.2.过程与⽅法了解反证法证题的基本步骤，会⽤反证法证明简单的命题.3.情感、态度、价值观培养学⽣观察、探究、发现的能⼒和空间想象能⼒、逻辑思维能⼒.让学⽣在观察、探究、发现中学习，在⾃主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强⾃信⼼，树⽴积极的学习态度，提⾼学习的⾃我效能感.⼆、教学重点与难点重点：1、理解反证法的概念.2、掌握反证法证题的步骤及体会反证法证明命题的思路⽅法3、能利⽤反证法证明相关的数学问题。
难点：理解“反证法”证明得出“⽭盾的所在”即⽭盾依据。
三、学法指导通过⾃学和⽼师的范例讲解，体会反证法的含义及反证法证明命题的思路⽅法，总结反证法证题的基本步骤。
反证过程中的批判思想更有助于学⽣正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学⽣利⽤反证法对客观世界的认识提出⾃⼰的问题，这正是反证法教学所要教给学⽣的，应该具有的数学能⼒，也是培养学⽣数学素质与数学素养的很好教学机会.四、【教学过程】⼀、引⼊新课上节课我们学习了⽤，直接证明问题的⽅法。
⼀般的，我们⽤综合法来书写过程，⽤分析法来书写步骤，那么还⽤没有其他的证明⽅法呢？2、情景创设-----王戎的故事王戎(⽣于魏青龙元年，卒于晋永兴⼆年，233-305)字睿冲，琅琊临沂⼈。
晋司徒、封安丰县侯，出⾝魏晋⾼门琅琊王⽒。
他是”⽵林七贤”之⼀.⼩故事-----《路边苦李》古时候有个⼈叫王戎，7岁那年的某⼀天和⼩伙伴在路边玩，看见⼀棵李⼦树上的果实多得把树枝都快压断了，⼩伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动。
他说：“李⼦是苦的,我不吃。
”⼩伙伴摘来⼀尝，李⼦果然苦的没法吃。
⼩伙伴问王戎:“这就奇怪了!你⼜没有吃,怎么知道李⼦是苦的啊?”假如你就是王戎，应该如何回答？【设计意图】通过对这个问题的解答，使学⽣⾃主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导⼊新课。
高中数学选修2-2课件2.2.2《反证法》课件
正难则反
反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成------立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结 -----论正确 归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
应用反证法的情形：
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷 多个” ---类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
例1：用反证法证明： 如果a>b>0，那么 a > b 证：假设 a > b不成立，则 a ≤ b
若 a = b，则a = b,与已知a > b矛盾,
例4 如图2.2 2,AB,CD为圆
的两条相交弦,且不全为直径. A
D
求证 AB,CD不能互相平分.
动画演示.
C
B
证明 假设AB,CD互相平分,
图2.2 2
则ACBD为平行四边形,故ACB ADB,
CAD CBD. 因为ABCD为圆内接四边形,所以
ACB ADB 180 0,CAD CBD 180 0.
指有面额的那面.
上述现 象可以用直 接证明的方 法解释, 但是, 我们这 里采用反证法.
假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上. 由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上,都需要 翻转奇数次,所以3枚硬币全部反面朝上时,需要
翻转3个奇数之和次,即要翻转奇数次.
但由于每次用双手同时翻转2枚硬币,3枚硬币被
翻转的次数只能是2 的倍数,即偶数次.这个矛盾
说明假设错误,原结论正确,即无论怎样翻转都不
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集(全册 共65页 附答案)
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）目录1.2 导数的运算1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理2.1.1 合情推理2．1.2 演绎推理2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法1.2 导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y′＝f′(x )(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．A ．(log a x )′＝a xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5xln 5 2．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则： 设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________.(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分．(2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y′x ＝y′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n(x ∈N ＋)；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)；(4)y ＝x cos x 2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．【例题4】求函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数．错解：y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x)．1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos xx的导数是( )．A ．－sin xx2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )．A ．121＋a ＋121－xB ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.答案：基础知识·梳理1．nxn －1a xln a1x ln acos x －sin x 【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)fx g x －f x gxg 2x【做一做2】B 由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【做一做3】y′＝22x ＋3函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟【例题1】解：(1)y′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y′＝cos x .【例题2】解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·sin x cos x ′＝x ·sin x ′·cos x －x ·sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . (3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法1：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法2：y ＝1－2x ＋1， y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.【例题3】解：(1)y′＝[(2x ＋1)n]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5′＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝5x4x ＋16.(3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)．(4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x＝cos x 2－2x 2sin x 2.【例题4】错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x×(－1)＝－e －x，所以y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋e －x ′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固1．D2．B f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.3．C y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x ·x ′x ＝－x sin x －cos xx ＝－x sin x ＋cos xx 2.4．D 由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x .5．－3 9 ∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－a ＋b ＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.1.3.1 利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性． 2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a ，b )内，f′(x )＞0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调增区间；2．如果在(a ，b )内，f′(x )＜0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调减区间．(1)在(a ，b )内，f′(x )＞0(＜0)只是f (x )在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是在(a ，b )内f′(x )≥0(≤0)，并且f′(x )＝0在区间(a ，b )上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f (x )＝1＋x －sin x ，x ∈(0,2π)，则函数f (x )( )． A ．在(0,2π)上是增函数 B ．在(0,2π)上是减函数C ．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D ．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x )是函数f (x )的导数，f′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象最有可能是( )．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x ax－x2(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1在区间(a ，b )内f′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内为增函数的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)3若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 为增函数，则一定有( )．A ．b 2－4ac ≤0 B．b 2－3ac ≤0C ．b 2－4ac ≥0 D．b 2－3ac ≥04如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b 的取值范围是__________．5函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理 1．增函数 2．减函数 【做一做1－1】A f′(x )＝1－cos x ，当x (0,2π)时，f′(x )＞0恒成立，故f (x )在(0,2π)上是增函数．【做一做1－2】C 由f′(x )的图象知，x (－∞，0)或x (2，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f (x )的减区间为(0,2)．典型例题·领悟【例题1】解：(1)f (x )′＝1－3x 2.令1－3x 2＞0，解得－33＜x ＜33.因此函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2＜0，解得x ＜－33或x ＞33.因此函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)由ax －x 2≥0得0≤x ≤a ，即函数的定义域为[0，a ]．又f (x )′＝ax －x 2＋x ×12(ax －x 2)－12·(a －2x )＝－4x 2＋3ax 2ax －x2， 令f (x )′＞0，得0＜x ＜3a 4；令f (x )′＜0，得x ＜0或x ＞34a ，又x [0，a ]，∴函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a .【例题2】解：由题意，得f′(x )＝2a ＋2x3.。
《反证法》人教版高中数学选修1-2PPT课件(第2.2.2课时)
知识要点
反证法主要适用于以下两种情形： (1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰. (2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很 少的几种情形.
知识要点
用反证法证题时,应注意的事项 : （1）周密考察原命题结论的否定事项， 防止否定不当或有所遗漏； （2）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性； （3）在推理过程中，要充分使用已知条 件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
矛盾
所以 _假__设__不__成__立 ,即求证的命题正确. 命题成立
l3
P
l1
l2
知识要点
反证法的步骤 一、提出假设 假设待证命题不成立，或是命题的反面成立. 二、推理论证 以假设为条件，结合已知条件推理，得出与已知条件或是正确命题相矛盾的结论. 三、得出矛盾 这与“......”相矛盾. 四、结论成立 所以假设不成立，所求证的命题成立.
∴ ∠ 1 =∠ 2 =∠3(两直线平行，同位角相等) ∴ l 3∥ l2（同位角相等，两直线平行 ） 归纳
l1
l１
l2
P 2
l1
3
请同学们自己比较两种证明方法的各自特点，从中体验反证法的思考过程和特点.
新知探究
结合我们讲过的例子，我们可以得到什么？
思考
由上面的例子可以看出，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件 矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
知识要点
宜用反证法证明的题型
（1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
(人教A版)数学【选修2-2】2-2-2《反证法》ppt课件
规律技巧 用反证法证明“至多”“至少”型命题，可减 少讨论情况，目标明确．否定结论时需弄清楚结论的否定是什 么，避免出现错误．需仔细体会“至多有一个”“至少有一 个”的含义.
三 用反证法证明否定性命题 【例3】 求证抛物线上任取四点所组成的四边形不可能
是平行四边形．
已知：如图所示，A，B，C，D是抛物线y2＝2px(p>0)上的 任意四点，其坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4， y4)．连接AB，BC，CD，DA.
答案 D
3．求证：如果a>b>0，那么n
n a>
b(n∈N，且n>1)．
证明 假设n a不大于n b，则n a＝n b，或n a<n b.
当n a＝n b时，则有a＝b. 这与a>b>0相矛盾．
当n
n a<
b时，则有a<b，
这也与a>b相矛盾．
所以n
a>
b.
4．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
π 2
，b＝y2－2z＋
π3，c＝z2－2x＋6π.
反证法教案
〔二〕教学重点和难点
重点：1、理解反证法的概念；
2、掌握反证法证明命题的思路方法及答题步骤；
3、用反证法证明简单的命题。
难点：1、理解反证法中的“假设”内在含义及作用
2、理解反证法中的矛盾推导。
〔三〕教学方法
讲授法，比照归纳法，练习法。
〔四〕教学准备
多媒体课件、黑板
学生思考对话中蕴含的反证法思想，并结合自己的生活实际，消化这种思维。
1、方便学生理解反证法思想。
2、实例不仅体会了数学思想在生活中的广泛应用，也让学生明白数学来源于生活实际。
〔六〕、板书设计
反证法
主板副板
概念：…………例1、…………例2、…………思考………
步骤：〔1〕……………………………………
〔2〕……
乙：你说得太对了．要是下雨，肯定是不可能只下在马路上的．你刚刚这种说理的方法用的就是反证法．
甲：啊，这就是反证法．
乙：是的．你想，你刚刚在跟我争论的观点是不是要证明“昨晚没有下雨？”
甲：不错呀！
乙：你知不知道你是用哪一句话来让我心服口服的？
甲：“要是下雨，……”
乙：对．你一开始就用“要是下雨”，也就是说“假设下雨”，然后就会怎么样、怎么样，导出一个奇怪的现象或矛盾．你看，你没有直接说明“因为什么，所以没有下雨”，相反地却是先“假设下雨，然后会怎么样，最后导出一个矛盾”，这就是反证法．
所以 。
显然 与已知条件矛盾。
因此假设不成立。原命题成立。
〔肯定型命题，与条件矛盾〕
教师点明：1、否认的结论作为条件使用，以此进行推理论证。
2、强调反证法的答题步骤及书写标准。
例2、假设函数 在区间 上是增函数，那么方程 在区间 上至多只有一个实根。
高中数学选修2-2课件：2.2 2.2.2 反证法
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[自 主 预 习· 探 新 知]
反证法的定义及证题的关键
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思考1：反证法的实质是什么？
[ 提示] 反证法的实质就是否定结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确 的． 思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推 理，这种说法对吗？为什么？ [ 提示] 反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的 演绎推理．
第二章
推理与证明
2反证法
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学习目标： 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法．(重点、易混点) 2. 理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点)
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至少有一个 至多有一个 至少有n个
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2.在反证法证明中，你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n 个”等量词的反设词吗？
提示： 量词 至少有一个 至多有一个 至少有n个 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有n－1个
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3． 用反证法证明“如果 a＞b， 那么 a＞ b”， 假设的内容应是________.
3
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高一数学 2.2.2《反证法》教案(新人教A版选修1-2)
§2.2.2反证法一、教学目标：1、知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解 反证法的思考过程、特点。
2、过程与方法:培养学生的辨析能力和分析问题、解决问题的能力；3、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点：了解反证法的思考过程、特点三、教学难点：反证法的思考过程、特点四、教学过程:（一）导入新课：1、复习综合法和分析法的思考过程和特点。
2、反证法反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法。
3、思考：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同时翻转2枚硬币，那么无论怎么翻转，都不能使硬币全部反面朝上。
你能解释这种现象吗？ 学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反正法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面向上，由于每枚硬币从正面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．（二）推进新课1、反证法的特点：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
2、例题讲解：例1、已知直线,a b 和平面α，如果,a b αα⊄⊂，且||a b ，求证||a α。
证明：因为||a b ,所以经过直线a , b 确定一个平面β。
因为a α⊄，而a β⊂，所以 α与β是两个不同的平面．因为b α⊂，且b β⊂， 所以b αβ=.下面用反证法证明直线a 与平面α没有公共点．假设直线a 与平面α有公共点P ，则P b αβ∈=，即点P 是直线 a 与b 的公共点，这与||a b 矛盾．所以 ||a α.例2、求证：2不是有理数 分析：直接证明一个数是无理数比较困难，我们采用反证法．假设2不是无理数，那么它就是有理数．我们知道，任一有理数都可以写成形如m n（,m n 互质， *,m Z n N ∈∈”的形式．下面我们看看能否由此推出矛盾． 证明：假设2不是无理数，那么它就是有理数．于是，存在互质的正整数,m n m n=，从而有m =, 因此，222m n =，所以 m 为偶数．于是可设2m k = ( k 是正整数），从而有2242k n =，即所以n 也为偶数．这与 m , n 互质矛盾！ 由上述矛盾可知假设错误，从而2是无理数．注：正是2的发现，使人们认识到在有理数之外，还有一类数与 1 是不可公度的，这就是无理数；从而引发了数学史上的第一次危机，大大推动了数学前进的步伐。
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3.1.1 实数系
3.1.3 复数的几何意义
3.2.2 复数的乘法
பைடு நூலகம்
本章小节
附录 部分中英文词汇对照表
第一章 导数及其应用
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1.2 导数的运算
1.2.1 常数函数与冥函数的导
1.2.3 导数的四则运算法则
1.3.2 利用导数研究函数的极值
1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.1 曲边梯形
本章小结
第二章 推理与证明
2.1.2 演绎推理
2.2.2 反证法
2.3.2 数学归纳法应用举例
阅读与欣赏
《原本》与公理化思想
3.1 数系的扩充与复数的概念
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0002页 0036页 0087页 0156页 0219页 0238页 0254页 0282页 0336页 0371页 0418页 0458页 0460页 0495页 0555页 0598页 0600页
第一章 导数及其应用
1.1.2 瞬时速度与导数
人教版高中数学选修2-22.2.2反证法教案
2.2.2 反证法教课建议1.教材剖析本节主要内容是反证法的观点及应用反证法进行证明的一般步骤 ,经过学习本节内容 , 对培育学生的逆向思想是特别有益的 ,反证法是间接证明的一种基本方法 .要点 :认识反证法的含义及思想过程和特色,并能简单应用.难点 :应用反证法解决问题.2.主要问题及教课建议(1)方法的选择 .建议教师要修业生总结何时采纳反证法证明更好.当问题波及否认性,独一性 ,至多 ,起码等字眼或问题很明显从正面没法下手时能够考虑反证法.(2)证明过程中的问题.建议教师注意展现学生的证明过程,有针对性地更正以下错误现象: 不会反设或反设不全面,反设后不会应用反设 (若不用反设就不是反证法了 ),对推出矛盾没有预示性或推不出矛盾 ,指引学生学会制造矛盾 .备选习题1.如图 ,设 SA,SB 是圆锥 SO 的两条母线 ,O 是底面圆的圆心,C 是 SB 上一点 .求证 :AC 与平面 SOB 不垂直.证明 :如图 ,连结 AB ,OB,假定 AC⊥平面 SOB.∵直线 SO 在平面 SOB 内 ,∴AC⊥ SO.∵SO⊥底面圆 O,∴SO⊥ AB.又 A B∩AC=A ,∴SO⊥平面 ABC,∴平面 ABC∥底面圆 O.这明显与 AB? 底面圆 O 矛盾 ,∴假定不建立 .故 AC 与平面 SOB 不垂直 .2.设{ a n}是公比为q的等比数列,S n是它的前n 项和 .(1)求证 :数列 { S n} 不是等比数列 ;(2)数列 { S n} 是等差数列吗 ?为何 ?(1)证明 :反证法 :假定 { S n} 是等比数列 ,则 =S1S3,即 (1+q )2=a 1·a1(1+q+q 2).∵a1≠ 0,∴(1+q )2= 1+q+q 2,即 q= 0,与 q≠0矛盾 ,∴{ S n} 不是等比数列 .(2)解 :当 q= 1 时 ,{ S n} 是等差数列 .当 q≠1时 ,{ S n} 不是等差数列 .假定 q≠1时 ,{ S n} 是等差数列 ,则 S1,S2,S3成等差数列 ,即 2S2=S1+S 3.∴2a1(1+q )=a 1 +a 1(1+q+q 2 ).因为 a1≠ 0,∴2(1+q )= 2+q+q 2 ,q=q2. ∵q≠1,∴q= 0,与 q≠0矛盾 .∴当 q≠1时 ,{ S n} 不是等差数列.。
最新人教版高中数学选修2-2第二章《反证法》知识导引
2.2.2 反证法问题探究【问题】 已知()x f =x 2+p x +q 满足:f (1)+f (3)-2f (2)=2. 求证:|f (1)|、|f (2)|、|f (3)|中至少有一个不小于21.设问:(1)至少有一个不小于21,共有多少种情况是满足条件的? (2)这样的问题,我们应该怎样着手去证明结论的正确性?怎样做才能更容易呢? 自学导引 所谓反证法,就是从否定结论出发,经过逻辑推理,导出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论是正确的这样一种证明方法.要证不等式M >N ,先假设___________,由题设及其他性质,推出矛盾,从而肯定M >N 成立,这种证明方法叫做反证法. 答案：M ≤N 精典讲解 1.反证法是数学证明的一种重要方法,因为命题“p”与它的否定“非p”的真假相反,所以要证一个命题为真,只要证它的否定为假即可. 2.反证法的步骤: 反证法证明的一般步骤是: (1)反设:假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立. (2)归谬:从命题的条件和所作的假设出发,经过正确的推理论证,得出矛盾的结果. (3)结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 3.反证法的适用范围: (1)已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少的命题. (2)结论的反面是比原结论更具体、更简单的命题,特别是结论是否定形式(“不是”“不可能”“不可得”等)的命题. (3)涉及各种无限结论的命题. (4)以“至多(少)、若干个”为结论的问题. (5)存在性命题. (6)唯一性命题. (7)某些定理的逆定理. (8)一般关系不明确或难于直接证明的不等式问题等. 反证法的逻辑依据是“矛盾律”和“排中律”.【例1】 若x 、y 、z ∈(0,2π),且满足下列等式si n (cos x )=x , cos y =y , cos (si n z)=z,试将x 、y 、z 按由小到大的顺序排列. 思路分析:本题x 、y 、z 的大小关系全都没有确定,且由题设条件推得的结论很少,很难用直接证法入手,故用反证法.先添加假设条件x ≥y ,y ≥z 作为推理依据.解:(1)假设x ≥y ,因为余弦函数在［0,2π］上单调递减,所以0<cos x ≤cos y =y <2π,于是x =si n (cos x )<cos x ≤cos y =y ,与x ≥y 矛盾,因而x <y .(2)又假设y ≥z,则0<si n z<z≤y <2π,于是z=cos(si n z)>cos y ,与y ≥z 矛盾.因而y <z. 综上所述,x <y <z.温馨提示:用反证法证题第一步要注意正确的反设.没有正确的反设,一切推理都是没有价值的.正确的反设必须咬文嚼字,思考原命题结论的方方面面,不遗漏任何一种情形. 【例2】 证明在抛物线上任取四点所组成的四边形不可能是平行四边形. 思路分析:不可能是平行四边形,那么到底是什么四边形不太明确,故用反证法.假设是平行四边形,推出矛盾. 证明:设抛物线方程为y 2=2p x ,A(x 1,y 1)、 B (x 2,y 2) 、C(x 3,y 3)、D(x 4,y 4)是抛物线上的四点,且四边形A B CD 为平行四边形. 由此可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====④③②①,px 2y,px 2y,px 2y ,px 2y 424323222121 ①-②得(y 1-y 2)(y 1+y 2)=2p(x 1-x 2),∴k A B =212121y y p2x x y y +=--. 同理,k B C =32y y p 2+,k CD =43y y p 2+,k DA =14y y p2+.∵四边形A B CD 是平行四边形, ∴k A B =k CD , k B C =k AD ,即41324321y y p2y y p 2,y y p 2y y p 2+=++=+.∴⎩⎨⎧+=++=+.y y y y ,y y y y 32414321∴y 1=y 3,y 2=y 4,进而得x 1=x 3,x 2=x 4.于是A 、C 重合,B 、D 重合.这与A 、B 、C 、D 是抛物线上不同的四点的假设矛盾.故四边形ABCD 不可能是平行四边形. 温馨提示:反驳推理中常见的矛盾形式有:(1)与已知公理矛盾,(2)与已知定理矛盾,(3)与已知定义矛盾,(4)与已知条件(或部分条件)矛盾,(5)与由已知条件推出的某正确结论矛盾,(6)与反设自身矛盾,(7)由反设导出两个互相矛盾的结果. 【例3】 如下图,已知平面α∩β=a , b ⊂β,a ∩b =A,且c ⊂α,c ∥a ,求证:b 、c 为异面直线.思路分析:反证法.假设b 、c 共面,则有两种情况:①b 与c 相交;②b 与c 平行. 证法一:假设b 、c 不是异面直线,即b 、c 为共面直线,则b 、c 为相交直线或平行直线. (1)若b ∩c=P ,已知b ⊂β,c ⊂α,又α∩β=a ,则P ∈b ⊂β,且P ∈c ⊂α,从而,交点P 一定在平面α、β的交线上(公理二),即P ∈a ,于是a ∩c=P ,这与已知条件a ∥c 矛盾.因此b 、c 相交不成立.(2)若b ∥c,已知a ∥c,则a ∥b (公理四),这与已知条件a ∩b =A 矛盾,因此b 、c 平行也不能成立. 综合(1)(2)可知b 、c 为异面直线. 证法二:假设b 、c 不是异面直线,即假设直线b 、c 在同一个平面γ内,则b ⊂γ,c ⊂γ,在直线b 上任取一点B (不同于A,B ∉α);从而,平面γ一定经过B 点与直线c. 又∵A ∈a ,a ∥c, ∴A ∉α.于是c 与c 外一点A 的平面就是α,而这样的平面只能有一个.从而,直线b 、c 都在平面α内,但B ∈b ⊂α,这与B ∉α矛盾.因此b 、c 为异面直线. 温馨提示:立体几何中异面直线问题、共面问题常用反证法.反证法中要正确推理,将反设列入已知条件,按一般逻辑推理程序和法则推理.推理中没有用到“反设”就不是反证法. 【例4】 设a 、b 是两个实数,A={(x ,y )|x =n ,y =na +b ,n ∈Z },B ={(x ,y )|x =m,y =3m 2+15,m ∈Z },C={(x ,y )|x 2+y 2≤144}是平面xOy 内的点的集合.求证:不存在a 、b 使得A∩B ≠,且(a ,b )∈C 同样成立.证法一:设存在实数a 、b 满足所给条件,由A∩B ≠,知方程组⎩⎨⎧+=+=15x 3y b,ax y 2有整数解,x =n ,y =m,代入,并消去m,得 3n 2-an -(b -15)=0,① Δ=a 2+12b -180≥0.② 由(a ,b )∈C,知a 2+b 2≤144⇒a 2≤144-b 2,结合②,有0≤Δ≤(144-b 2)+12b -180,得b =6,且Δ=0.这表明方程①有等根,且n 2=n 1·n 2=3b15-=3,所以n =±3,这与n 为整数矛盾.所以不存在a 、b 使①②同时成立.证法二:由柯西不等式:x 1y 1+x 2y 2≤22212221y y x x +⋅+,若存在(a ,b )∈C,使A∩B ≠,则a 2+b 2≤144,又y =na +b ·1≤222n 1b a +⋅+≤122n 1+,且y =3n 2+15=3［(1+n 2)+4］≥122n 1+.其中n ∈Z 时,上式等号不成立.所以矛盾,这说明a 、b 不存在.温馨提示:本题属存在性命题,用集合语言巧妙地将方程、不等式与曲线、区域联系在一起.由于A∩B ≠的界限不易确定,正面推理较难,而用反证法,则入口宽,思路多.除了上述两种方法外,还可以用集合的知识及用解析法,从方程的几何意义等方面入手.【例5】 设a >3,给定数列{x n },其中x n +1=1)-(x 2x n 2n(n =1,2,…),x 1=a .求证:当n ≥34lg 3alg时,必有x n +1<3.思路分析:本题形式比较古怪,我们先来研究一下“n ≥34lg 3alg”中“34”的由来.当x n >3时,43)1311(21)1x 1(121x x n n 1n =-+<-+=+.其次研究一下数列{x n }的性质,结合反证法证明本题.证明:∵x n +1-1=]1x 11)-[(x 211)-(x 21)-(x 2x n n n n 2n -+=-,知x n +1-1与x n -1同号,从而与x 1-1=a -1同号,为正.故x n +1-1≥21×2=1. ∵x 1=a >3,∴等号不成立.∴x n >2, 且n 1n x x +=)1x 1(121n -+∈(43,21).∴x n +1<x n .假设当n ≥34lg 3alg,x n +1≥3,则x 1>x 2>…>x n >x n +1≥3,从而x n +1=n 1n x x +.1n n x x - (1)2x x ·x 1<(43)n ·a (由分析得),∴3<(43)n·a .两边取对数,n <34lg 3alg,这与n ≥34lg 3a lg矛盾.故当n ≥34lg 3a lg时,必有x n +1<3.拓展迁移 【拓展点1】 给出三角形边角满足的条件关系,判断三角形的形状,这样一类问题是比较常见的.对于这类问题的常规解法是将条件先进行三角变形(和、差、倍、半角公式,和差化积与积化和差等等),直到变得可以看出答案为止.这种解答对于训练三角形运算能力,培养观察、分析、解决问题的能力有很大的作用.但是从解题的效果来看,这种解答有时方向不很明确,过程也往往显得很冗繁.如果我们遵循“正难则反”的解题思维策略,采用反证法来证明这类问题,往往能出人意料地简单. 设在△ABC 中,有cos 2A +cos 2B +cos 2C <1, 证明△ABC 是一个锐角三角形.思路分析:本题常规处理的办法是将条件降次、化积,再确定各角的余弦的正负号.但我们尝试用反证法,发现用反证法处理相当简捷. 证明:反设△A B C 不是锐角三角形,设C ≥2π,则A +B ≤2π, 故A ≤2π-B ,从而cos A ≥cos(2π-B )=si nB . 所以cos 2A +cos 2B +cos 2C ≥si n 2B +cos 2B +cos 2C =1+cos 2C ≥1. 与条件矛盾.故△ABC 是锐角三角形. 【拓展点2】证明几何量之间的关系.已知:四边形ABCD 中,E 、F 分别是AD 、BC 的中点,EF =21(AB +CD ).求证:AB ∥CD .证明:假设AB 不平行于CD .如图,连结AC ,取AC 的中点G ,连结EG 、FG . ∵E 、F 、G 分别是AD 、BC 、AC 的中点, ∴GE ∥CD ,GE =21CD ,GF ∥AB ,GF =21AB . ∵AB 不平行于CD,∴GE 和GF 不共线,GE 、GF 、EF 组成一个三角形. ∴GE +GF >EF .①但GE +GF =21(AB +CD )=EF ,② ①与②矛盾, ∴AB ∥CD . 【拓展点3】 证明“唯一性”问题. 在几何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时的问题,称为“唯一性”问题. 若过平面α上的点A 的直线a ⊥α,求证:a 是唯一的. 证明:假设a 不是唯一的，则过A 至少还有一条直线b ,b ⊥α. ∵a 、b 是相交直线, ∴a 、b 可以确定一个平面β. 设α和β相交于过点A 的直线c. ∵a ⊥α,b ⊥α, ∴a ⊥c,b ⊥c. 这样在平面β内,过点A 就有两条直线垂直于c,这与定理产生矛盾. ∴a 是唯一的. 温馨提示:关于唯一性的问题,在几何中有,在代数、三角等学科中也有.这类题目用直接证法证明相当困难,因此一般情况下都采用间接证法,即用反证法或同一法证明,用反证法证明有时比同一法更方便. 【拓展点4】 证明不可能问题. 几何中有一类问题,要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形不存在.它们的结论命题都是以否定形式出现的,若用直接证法证明有一定的困难.而它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在.因此,这类问题非常适宜用反证法. 证明抛物线没有渐近线. 证明:设抛物线的方程是y 2=2p x (p≠0).假设抛物线有渐近线,渐近线的方程是y =ax +b ,易知a 、b 都不为0.因为渐近线与抛物线相切于无穷远点,于是方程组 ⎩⎨⎧+==②①b ax y px,2y 2 的两组解的倒数都是0. 将②代入①,得a 2x 2+2(ab -p)x +b 2=0.③设x 1、x 2是③的两个根,由韦达定理,可知x 1+x 2=-2a p)-(ab 2,x 1·x 2=22ab ,则2212121bp)-(ab 2x x x x x 1x 1-=+=+,④222121b a x x 1x 1x 1==⋅=0.⑤ 由④⑤,可推得p=0, 这与假设p≠0矛盾. 所以,抛物线没有渐近线. 温馨提示:关于不可能问题是几何中最常见也是非常重要的一种类型.由于它的结论是以否定形式出现,采用直接证法有困难,所以这类问题一般都使用反证法加以证明. 【拓展点5】 证明“至少存在”或“不多于”问题. 在几何中存在一类很特殊的问题,就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于几个.由于这类问题能找到直接论证的理论根据很少,用直接证法有一定困难.如果采用反证法,添加了否定结论这个新的假设,就可以推出更多的结论,容易使命题获证. 已知:四边形A B CD 中,对角线AC=B D=1.求证:四边形中至少有一条边不小于22. 证明:假设四边形的边都小于22,由于四边形中至少有一个角不是钝角(这一结论也可用反证法证明),不妨设∠A≤90°, 根据余弦定理,得B D 2=AD 2+A B 2-2AD·A B ·cosA, 所以B D 2≤AD 2+A B 2, 即B D≤2222)22()22(AB AD +<+=1. 这与已知四边形B D=1矛盾. 所以四边形中至少有一条边不小于22.。
人教B版高中数学选修2-2 第二章2.2.2反证法-教案
2.2 直接证明与间接证明2.2.2 反证法【提出问题】对于一个命题，如果直接证明比较困难，这时我们可以通过间接证明的方法来解决。
那么间接的证明方法有哪些呢？【获得新知】一般地，由证明p⇒q转向证明：¬q⇒r⇒…⇒t.t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判定¬q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．反证法不是直接去证明结论，而是先否定结论，再否定结论的基础上，运用演绎推理导出矛盾，从而肯定结论的真实性。
【概念领悟】①反证法证明过程中推出的“矛盾”：（1）与假设矛盾；（2）与公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；（3）与公认的简单事实矛盾．②反证法的证明步骤：（1）分清命题的条件和结论；（2）做出与命题结论相矛盾的假设；（3）由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；（4）断定产生矛盾结果的原因，在于开始做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真．【经典例题】例1 设0 < a , b , c < 1，求证：(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于41 证：假设(1 - a )b >41, (1 - b )c >41, (1 - c )a >41, 则三式相乘： (1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a >641 又∵0 < a , b , c < 1 ∴412)1()1(02=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-<a a a a 同理，0<(1−b )b ≤[(1−b )+b 2]2=140<(1−c )c ≤[(1−c )+c 2]2=14三式相乘，得(1 - a )b •(1 - b )c •(1 - c )a ≤641 这就与前式矛盾，所以假设不成立。
所以(1 - a )b , (1 - b )c , (1 - c )a ,不可能同时大于41 【规律技巧】对于结论中含有“不可能”、“至多”、“至少”等词语的命题，如果直接从条件推证证明方向不明确且分类情况很复杂，这样的证明常采用反证法.。
2.2.2 反证法教案-高二数学人教A版选修1-2
[教学设计•高中数学]《反证法》教学设计《反证法》教学设计第一部分：教学内容解析本节课是《普通高中课程标准实验教科书选修2-2》（人教A版）第一章《推理与证明》的第3节《反证法》.“逻辑推理能力”是高中数学核心素养中非常重要的一个环节，也是人们学习和生活中，经常使用的思维方式。
推理与证明贯穿于高中数学的整个体系，也是学数学、做数学的基本功。
这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用第二部分：学生学情诊断学生在初中已经接触过反证法，但是不够系统和详细。
也已经在选修2-1《逻辑与推理》环节接触过命题的真假、逆否命题。
但用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。
究其原因，主要是反证法的应用需要逆向思维，但在中小学阶段，逆向思维的训练和发展都是不充分的，所以本节课要引导学生联系已学过的教学实例学习新内容进行教学。
由于所教学生基础较好，但是数学思维相对欠缺，对于反证法证明简单命题问题不大，但由于对数论基础知识不是特别专长、对生活中的逻辑学生对数的了解不多，研究不够，所以例1能顺利解决，但是例2例3，解决起来还是会出现一定困难。
第三部分：教学目标设置(1)知识与能力：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。
通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力。
(2)过程与方法：通过直观感知—观察—操作确认的认识方法培养学生观察、探究、发现的能力和逻辑思维能力。
让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。
(3)情感、态度、价值观：通过体验数学活动，渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想。
在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机。
核心素养：逻辑推理能力第四部分：重点难点分析重点：1、理解反证法的概念。
高二数学选修2-2(B版)(人教版)
第一章 应用
本意小结
导数及其
第一章 导数及其应用
阅读与欣赏
《原本》与公理化思想
3.1 数系的扩充与复数的概念
3.1.1 实数系
3.1.2 复数的概念 3.1.3 复数的几何意义
3.2 复数的运算
3.2.1 复数的加法与减法
3.2.2 复数的乘法 3.2.3 复数的除法 阅读与欣赏
第一章 导数及其应用
高二数学选修2－2(B版)(人教版)
演讲人
202X-06-08
目录
01. 第一章 导数及其应用 02. 第二章 推理与证明 03. 第三章 数系的扩充与复数 04. 附录 部分中英文词汇对照表 05. 后记
01 第一章 导数及其应用
1.1 导数
1.1.1 函数的平均变化率
1.1.2 瞬时速度与导数 1.1.3 导数的几何意义
1.2 导数的运算
1.2.1 常数函数与冥函数的导数
1.2.2 导数公式表及数学软件的应用 1.2.3 导数的四则运算法则
1.3 导数Leabharlann 应用1.3.1 利用导数判断函数的单调性
1.3.2 利用导数研究函数的极值 1.3.3 导数的实际应用
1.4
定积分与微积分基本定理
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
本章小节
复平面与高斯
02 第二章 推理与证明
第二章 推理与证 明
03 第三章 数系的扩充与复数
第三章 数系的扩 充与复数
04
附录 部分中英文词汇对照表
附录 部分中英文词汇对照 表
05 后记
后记
一．
感谢聆听
1.4.2 微积分基本定理
第一章 应用
本章小结
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2.2.2 反证法
一、教学目标
1、知识目标：
通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.
2、能力目标：
了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.
3、情感、态度与价值观目标：
在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机.
二、教学重点.难点
重点：1、理解反证法的概念，
2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，
3、用反证法证明简单的命题.
难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.
三、学情分析
反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.
四、教学方法
探析归纳，讲练结合
五、教学过程
教学过程：
复习：综合法与分析法
综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.
就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.
因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.
分析归纳，抽象概括
通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.
（1）定义：
反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
（2）步骤
反证法证题的基本步骤：
1．假设原命题的结论不成立；（假设）
2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）
3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.
反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.
知识应用，深化理解
例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.
【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障
(1)互补的两个角不能都大于90°.
(2)△ABC中,最多有一个钝角
(3)c b a ,,中至少有一个是正数
例2：已知三个正数a ，b ， c 成等比数列，但不成等差数列， 求证：c b a ,,不成等差数列.
【设计意图】：本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例
例3:用反证法证明关于x 的方程0)1(,0344222=+-+=+-+a x a x a ax x ，
0222=-+a ax x ，当2
3-≤a 或1-≥a 时，至少有一个方程有实数根. 【设计意图】：本例是“至少”“至多”等存在性问题.从正面证明，需要分成多种情形讨论，而从反面证明，只要研究一种或少数几种情形.故考虑采用反证法.
例4、求证：方程32=x
中有且只有一个根.
【设计意图】：本题是证明唯一性问题.需要证明两个方面，一是存在性；二是唯一性.当证明的结论中含“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式时，由于假设结论易导出矛盾，故采用反证法证明其唯一性往往比较简单.
六、当堂检测
1．否定下列命题的结论：
（1） 在⊿ABC 中如果AB=AC ，那么∠B=∠C. .
（2） 如果点P 在⊙O 外，则d>r （d 为P 到O 的距离，r 为半径）
（3） 在⊿ABC 中，至少有两个角是锐角.
（4） 在⊿ABC 中，至多有只有一个直角.
2．选择题：
证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）
A．三角形中至少有一个直角或钝角
B．三角形中至少有两个直角或钝角
C．三角形中没有直角或钝角
D.三角形中三个角都是直角或钝角
3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（
）
A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°
设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.
七、课堂小结
1.知识建构
2.能力提高
3.课堂体验
八、课时练与测
九、教学反思
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮
志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。
一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。
一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。
8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。