求函数解析式的类型与方法归纳总结

函数的解析式

【教学目标】1.理解函数解析式的概念，

2. 掌握求函数解析式的常见类型及其方法。

【教学重点】掌握求函数解析式的常见类型及其方法。 【教学难点】一些简单实际问题中的函数的解析式表示。 一、知识要点：

1. 函数解析式的概念，

2. 求函数解析式的题型有：

（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法；

（2）已知()f x 求[()]f g x 或已知[()]f g x 求()f x ：换元法、配凑法； （3）已知函数图像，求函数解析式；

（4）()f x 满足某个等式，这个等式除()f x 外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法；

（5）应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等． 二、典例分析

1、定义法（或配凑法）

此方法是把所给函数的解析式，通过配方，凑项等方法使之变形为关于“自变量”的表达式，然后以x 代替“自变量”即得所求函数的解析式。

例1 已知

211

11f x x

⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求()f x 的解析式。 解 把解析式按“自变量”1

1x

+变形得

2

1111121f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

，在上式中以x 代替11x ⎛⎫+

⎪⎝

⎭

，得()()2

21f x x x x =-≠ 此方法是将函数的“自变量”或某个关系 式代之；以一个新的变量（中间变量），然后找出函数中间变量的关系，从而求出函数的解析式。

例2 已知()1x f e x +=求()f x

解 令1x

e

+=t ，则()()()()()ln 11ln 11x t t f t t t =->∴=->即

()()()ln 11f x x x =->

3、待定系数法

此方法适用于所求函数的解析式表达式是多项式的情形，首先确定多项式的次数，写出它的一般表达式，然后由已知条件，根据多项式相等的条件确定待定系数。

例3 已知二次函数

()f x 满足条件()01f =及()()12f x f x x +-=，求()f x 。

解 设

()()20f x ax bx c a =++≠由()01f =，知c=1，

()()()()()2

21112f x f x a x b x c ax bx c ax a b ⎡⎤+-=++++-++=++⎣⎦

。由

()()12f x f x x +-=，得22,22,0,1,1ax a b x a a b a b ++=∴=+=∴==-

4、解方程组法

此方法是将函数中解析式的变量（或关系式）进行适当的变量代换，得一个新的等式，然后与原式联立，解方程组，即可求出所求的函数。

例4 已知()12f

x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭

求()f x 。

解 在原式中将x 换成1x ，再与原式联立，得()()1211

2f x f x x f f x x x ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎪⎝⎭

⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩消去

1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭

，得()221

3x f x x

-=

5、赋值法

此方法是在函数定义域内，赋予变量一些特殊值，利用所给函数关系式进行化简，从而使问题获得解决。

例5 设

()f x 是R 上的函数，且满足()01f =，并且对任意实数x ，y 有

()()()21f x y f x y x y -=--+，求()f x 的表达式。

解

对任意,x y ，有

()()()21f x y f x y x y -=--+，∴令x=y ，得

()()()021f f x x x x =--+又()01f =，()21f x x x ∴=++。

6、、参数法

此方法是通过设参数、消参数得出函数的对应关系，从而求出()f x 的表达式。

例6 已知

()22cos 5sin f x x -=-求()f x 。

解 设所求函数()y f x =的参数表达式为2

2cos 5sin x t y t =-⎧⎨=-⎩；()()

2cos 21sin 52t x t y ⎧=-⎨=-⎩ ()()2

12+，消去参数t ，得248y x x =-+，即()[]248,1,3.f x x x x =-+∈

7、函数性质法

例7已知函数()y f x =是定义在R 上的周期函数，周期5T =，函数()(11)

y f x x =-≤≤

是奇函数．又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在2x =时函数取得最小值5-．

①证明：(1)(4)0f f +=；②求(),[1,4]y f x x =∈的解析式；③求()y f x =在[4,9]上的解析式．

解：∵()f x 是以5为周期的周期函数，∴(4)(45)(1)f f f =-=-， 又∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(1)(1)(4)f f f =--=-， ∴(1)(4)0f f +=．

②当[1,4]x ∈时，由题意可设2

()(2) 5 (0)f x a x a =-->，

由(1)(4)0f f +=得22

(12)5(42)50a a --+--=，∴2a =，

∴2

()2(2)5(14)f x x x =--≤≤．

③∵()(11)y f x x =-≤≤是奇函数，∴(0)0f =，

又知()y f x =在[0,1]上是一次函数，∴可设()(01)f x kx x =≤≤，而

2(1)2(12)53f =--=-，

∴3k =-，∴当01x ≤≤时，()3f x x =-，

从而当10x -≤<时，()()3f x f x x =--=-，故11x -≤≤时，()3f x x =-． ∴当46x ≤≤时，有151x -≤-≤，∴()(5)3(5)315f x f x x x =-=--=-+．

当69x <≤时，154x <-≤，∴22

()(5)2[(5)2]52(7)5f x f x x x =-=---=--

∴2

315,46

()2(7)5,69x x f x x x -+≤≤⎧=⎨--<≤⎩

． 8、构造法