2020年上海市普陀区中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海16区中考数学二模分类汇编-专题01 数与式(逐题详解版)
2020年上海市16区中考数学二模汇编专题01 数与式1. （2020闵行二模）2.（2020松江二模）3.（2020宝山二模）4.（2020奉贤二模）5.（2020金山二模）6.（2020静安二模）7.（2020嘉定二模）8.（2020长宁二模）9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模） 13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）一．选择题1.（2020闵行二模）在下列各式中，与213xy 是同类项的是（ ） A. 2xyB. 2y x -C. 213xy +D. 2x y2.（2020嘉定二模）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是 （ ）（A ）214-； （B ）722； （C ）2π； （D ）%50.3.（2020嘉定二模）当0≠x 时，下列运算正确的是 （ ）（A ）523x x x =+； （B ）623x x x =⋅； （C ）923)(x x =； （D ）x x x =÷23．4．（2020松江二模） 下列实数中，有理数是（ ）A ．B ．C ．πD ．3.145.（2020宝山二模） 下列计算正确的是（ ）A. ab b a -=B. 235a a a +=C. 32a a a ÷=D. ()325a a =6.（2020奉贤二模） 下列计算中，结果等于a 2m 的是（ ）A ．a m +a mB ．a m •a 2C ．（a m ）mD ．（a m ）27．（2020奉贤二模）下列等式成立的是（ ）A ．（）2＝3B ．＝﹣3C ．＝3D ．（﹣）2＝﹣38. （2020金山二模） 在下列各数中，无理数是（ ）A ．B ．C ．D ．0.1010019．（2020金山二模）计算（a 3）2的结果是（ ）A ．aB ．a 5C ．a 6D ．a 910.（2020静安二模）下列二次根式中，是最简二次根式的为（ ）A ．B ．C ．D ．11．（2020静安二模）一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是（ ）A ．864×102B ．86.4×103C ．8.64×104D ．0.864×10512.（2020长宁二模）下列实数中，无理数是（ ）A ．0B ．C ．﹣3D ．13．（2020长宁二模）下列单项式中，与xy 2是同类项的是（ ）A ．x 2yB ．x 2y 2C ．2xy 2D ．3xy14.（2020崇明二模） 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）A. B. C. D.15.（2020浦东二模）下列各数是无理数的是（ ）A. B. C. 227 D. 0.116.（2020是同类二次根式的是（ ）A. B. C. D. 17.（2020徐汇二模） 下列实数中，有理数是（ ）A. 2πB.C. 227D. 18.（2020徐汇二模）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）A. B. C. D. 19.（2020青浦二模）a （a≠0）的倒数是（ ）A ．aB ．﹣aC ．D ．20．（2020青浦二模）计算（﹣2x ）2的结果是（ ）A ．2x 2B ．﹣2x 2C ．4x 2D ．﹣4x 221.（2020虹口二模）下列各数中，无理数是（ ）A ．2﹣1B ．C ．D ．2π22.（2020杨浦二模） 2020的相反数是（ ）A ．2020B ．﹣2020C ．D ．23．（2020杨浦二模）下列计算中，正确的是（ ）A ．a 2•a 4＝a 8B ．（a 3）4＝a 7C ．（ab ）4＝ab 4D ．a 6÷a 3＝a 324.（2020黄浦二模）下列正整数中，属于素数的是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．825. （2020普陀二模）下列计算中，正确的是（ ）A.−22=4B.1612=8C.3−1=-3D.(12)−2=426.（2020普陀二模）（2020普陀二模）下列二次根式中，与√2a (a >0)属同类二次根式的是（）A.√2a 2B.√4aC.√8a 3D.√4a 2二．填空题1.（2020闵行二模）计算：252-+=______．2.（2020闵行二模）化简：113a a -=______．3.（2020嘉定二模）计算：=+x x 32__________.4.（2020嘉定二模）函数321+=x y 的定义域是__________.5.（2020嘉定二模）分解因式：1442+x -x __________.6.（2020松江二模） 化简：＝ ．7.（2020宝山二模）2020的相反数是__________．8.（2020宝山二模）计算：()()m n m n -+_________．9.（2020宝山二模）分解因式：244a a-+=___．10.（2020奉贤二模）计算：9a3b÷3a2＝．11．（2020奉贤二模）如果代数式在实数范围内有意义，那么实数x的取值范围是．12．（2020金山二模）分解因式：a2﹣4＝．13．（2020金山二模）某种冠状病毒的直径大约是0.00011毫米，数据0.00011用科学记数法表示为．14.（2020静安二模）计算：a11÷a7＝．15．（2020静安二模）因式分解：x2﹣9＝．16.（2020长宁二模）计算：（x3）2÷（﹣x）2＝．17.（2020崇明二模）计算：()233x=____________.18.（2020崇明二模）因式分解：39a a-=______.19.（2020徐汇二模）计算：11a b-=________．20.（2020徐汇二模）分解因式：223m m+-=_______．21.（2020青浦二模）计算：a3÷a＝．22．（2020青浦二模）在实数范围内分解因式：m2﹣2＝．23.（2020虹口二模）（a2）3＝．24．（2020虹口二模）化简：＝．25.（2020杨浦二模）分解因式：2mx﹣6my＝．26.（2020黄浦二模）计算：6a4÷2a2＝．27．（2020黄浦二模）分解因式：4x2﹣1＝．28.（2020普陀二模）计算a∙(3a)2=_________.三．计算题1.（2020闵行二模）计算：3202022(112-+--+．2.（2020嘉定二模）计算：()()223-1362-1-3++⋅3．（2020松江二模）计算：（）﹣1+﹣+|1﹣|．4.（2020112cos 453-⎛⎫-︒+- ⎪⎝⎭5．（2020奉贤二模）计算：．6.（2020奉贤二模）先化简，再求值：，其中x＝．7．（2020金山二模）计算：+（﹣1）﹣1﹣（）+cos30°．8.（2020静安二模）计算：．9.（2020崇明二模）.计算：12012()122tan601) 3π-+--+︒-（10.（2020浦东二模）计算：11 0311)183-⎛⎫+-++⎪⎝⎭．11.（2020徐汇二模）.1222cos303+--︒+12.（2020青浦二模）计算：．13.（2020虹口二模）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝+2．14.（2020杨浦二模）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝+1．15.（2020黄浦二模）计算：+|﹣|﹣﹣3．16.（2020普陀二模）（2020普陀二模）先化简，再求值：xx+1−1x2−1÷x−1x2−2x+1，其中x=√3+12020年上海市16区中考数学二模汇编专题01 数与式2. （2020闵行二模） 2.（2020松江二模）3.（2020宝山二模）4.（2020奉贤二模）5.（2020金山二模）6.（2020静安二模）7.（2020嘉定二模）8.（2020长宁二模）9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模） 13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）一．选择题1.（2020闵行二模）在下列各式中，与213xy 是同类项的是（ ） A. 2xyB. 2y x -C. 213xy +D. 2x y【答案】B 【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，相同字母的指数也相同，即可得出答案． 【详解】由同类项的概念可知，与213xy 是同类项的是2y x -， 【点睛】本题主要考查同类项的概念，掌握同类项的概念是解题的关键．2.（2020嘉定二模）下列四个选项，其中的数不是分数的选项是（ ）（A ）214-； （B ）722； （C ）2π； （D ）%50. 【考查内容】分数的概念【解析】把单位1平均分为多少份，表示这样的一份或者几份的数叫分数，分子在上，分母在下。
2019~2020学年上海市普陀区九年级二模数学试卷及参考答案
2019~2020学年上海市普陀区九年级二模数学试卷2020.05（时间：100分钟，满分150分）一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列计算中，正确的是（）（A）224-=；（B）12168=；（C）133-=-；（D）2142-⎛⎫=⎪⎝⎭．2.0)a>属于同类二次根式的是（）（A（B（C（D3.关于函数2yx=-，下列说法中错误的是（）（A）函数的图像在第二、四象限；（B）y的值随x的增大而增大；（C）函数的图像与坐标轴没有交点；（D）函数的图像关于原点对称．4.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果4OB=，60AOB∠=︒，那么矩形ABCD的面积等于（）（A）8；（B）16；（C）（D）．5.一个事件的概率不可能是（）（A）1.5；（B）1；（C）0.5；（D）0．6.如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB AC⊥，BC CD=，在下列四个说法中，⊙»»2AC CD=；⊙2AC CD=；⊙OC BD⊥；⊙3AOD BOC∠=∠．其中正确的个数是（）（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个．第4题图第6题图二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：2(3)a a⋅=__________．8.函数11yx=+的定义域是__________．9.x=-的解是__________．10.已知一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，那么x=__________．11.如果把二次方程2220x xy y--=化为两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是___________________．12.已知一件商品的进价为a元，超市标价b元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还是盈利，那么此时此件商品盈利___________元（用含a、b 的代数式表示）13. 如果关于x 的方程2(2)1x m -=-没有实数根，那么m 的取值范围是__________． 14. 已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是__________．15. 今年3月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示，如果锻炼时间在0~2小时的学生的频率是20%，那么锻炼时间在4~6小时的学生的频率是__________．16. 如图，已知在ABC △中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，DC 、BE 交于点O ，3AB AD =，设BD a =u u u r r ，DE b =u u u r r ，那么向量DO u u u r 用向量a r 、b r表示是__________．第15题图 第16题图17. 将正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像，沿着y 轴的一个方向平移k 个单位后与x 轴、y 轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y kx =的坐标轴三角形．如果一个正比例函数的图像经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是__________． 18. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，6AC =，4cot 3B =，点P 为边AB 上一点，将BPC △沿着PC 翻折得到'B PC △，'B C 与边AB 交于点D ，如果'B PD △恰好为直角三角形，那么BP =__________．第18题图三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）先化简，再求值：22111121x x x x x x --÷+--+，其中1x ．解不等式组3(2)8(6);1211.23x xx x-≤-+⎧⎪+-⎨<+⎪⎩，并把解集在数轴上表示出来．21.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数2y x m=+与12y x n=-+的图像都经过点(2,0)A-，且分别与y轴交于点B和点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）设点D在直线12y x n=-+上，且在y轴右侧，当ABD△的面积为15时，求点D的坐标．一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，图是显示屏挂在墙面MD的正侧面示意图，其中AB表示显示屏的宽，AB与墙面MD的夹角α的正切值为25，在地面C处测得显示屏顶部A的仰角为45︒，屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处与墙面之间的水平距离CD 为3.4米，求显示屏的宽AB的长．（结果保留根号）23.（本题满分12分）如图，已知在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA EC=，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果2AEC BAC∠=∠，求证：EC CF AF AD⋅=⋅．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线243(0)=-+≠经过点A，其顶点为C，直线1y ax ax ay=与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果PBC△与BCD△相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将CBD∠绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．如图，已知在四边形ABCD中，AD//BC，90∠=︒，以AB为直径的⊙O交边DCABC于E、F两点，1BC=，设⊙O的半径长为r．AD=，5（1）联结OF，当OF//BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH EF=，试用含r的代数式表示y；⊥，垂足为点H，设OH y（3）设点G为DC中点，联结OG、OD，ODG△是否能成为等腰三角形，如果能，试求出r的值，如果不能，试说明理由．备用图2019~2020学年上海市普陀区九年级二模数学试卷参考答案。
上海市普陀区2019-2020学年中考数学二月模拟试卷含解析
上海市普陀区2019-2020学年中考数学二月模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，这是由5个大小相同的整体搭成的几何体，该几何体的左视图是 （ ）A ．B ．C ．D ．2．下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．3．计算x ﹣2y ﹣（2x+y ）的结果为（ ） A ．3x ﹣yB ．3x ﹣3yC ．﹣x ﹣3yD ．﹣x ﹣y4．为了配合 “我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠，小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元，若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款： A ．140元B ．150元C ．160元D ．200元5．如图，△ABC 中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C 重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）A ．4，30°B ．2，60°C ．1，30°D ．3，60°6．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为4的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（ ）A ．4π-B ．πC ．12π+D ．π154+7．人的大脑每天能记录大约8 600万条信息，数据8 600用科学记数法表示为（ ）A ．0.86×104B ．8.6×102C ．8.6×103D ．86×1028．下列图形中，周长不是32 m 的图形是( )A ．B ．C ．D ．9．如图，直线AB ∥CD ，则下列结论正确的是（ ）A ．∠1=∠2B ．∠3=∠4C ．∠1+∠3=180°D ．∠3+∠4=180°10．如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，过点D 作DE ∥AC ， 且DE=12AC ，连接CE 、OE ，连接AE ，交OD 于点F ，若AB=2，∠ABC=60°，则AE 的长为（ ）A 3B ．5C 7D ．211．下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．112．一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（ ） A ．310B ．15C ．12D ．710二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．已知反比例函数y=2m x-，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，则m 的取值范围是_____． 14．若|a|=20160，则a=___________.15．对于实数p q ，，我们用符号min{}p q ，表示p q ，两数中较小的数，如min{1,2}1=.因此，{}min 2,3--= ________；若{}22min (1)1x x -=，，则x ＝________．16．若332y x x =--，则y x = ．17．学校乒乓球社团有4名男队员和3名女队员，要从这7名队员中随机抽取一男一女组成一队混合双打组合，可组成不同的组合共有_____对.18．若点A （3，﹣4）、B （﹣2，m ）在同一个反比例函数的图象上，则m 的值为 ． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线2y x bx c ++＝经过点10（，）A 和30B （，），与y 轴相交于点C ，顶点为P.（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标；（2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA EC ＝，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线上，MEQ NEB ∠∠＝，求点Q 的坐标.20．（6分）某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班50名学生进行调查，按做义工的时间t （单位：小时），将学生分成五类：A 类（02t ≤≤ ），B 类（24t <≤），C 类（46t <≤），D 类（68t <≤），E 类（8t >），绘制成尚不完整的条形统计图如图11.根据以上信息，解答下列问题：E 类学生有 人，补全条形统计图；D 类学生人数占被调查总人数的 %；从该班做义工时间在04t ≤≤的学生中任选2人，求这2人做义工时间都在24t <≤ 中的概率．21．（6分）如图1，图2…、图m 是边长均大于2的三角形、四边形、…、凸n 边形．分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧、4条弧…、n 条弧．(1)图1中3条弧的弧长的和为 ，图2中4条弧的弧长的和为 ； (2)求图m 中n 条弧的弧长的和(用n 表示)．22．（8分）某超市预测某饮料会畅销、先用1800元购进一批这种饮料，面市后果然供不应求，又用8100元购进这种饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．第一批饮料进货单价多少元？若两次进饮料都按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于2700元，那么销售单价至少为多少元？23．（8分）如图1，经过原点O 的抛物线y=ax 2+bx （a≠0）与x 轴交于另一点A （32，0），在第一象限内与直线y=x 交于点B （2，t ）． （1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C ，满足以B ，O ，C 为顶点的三角形的面积为2，求点C 的坐标； （3）如图2，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO ，在（2）的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．（10分）关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=1．当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．25．（10分）已知抛物线，2:3L y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A B -、两点，与y 轴交于点C ，且抛物线L 的对称轴为直线1x =． （1）抛物线的表达式；（2）若抛物线'L 与抛物线L 关于直线x m =对称，抛物线'L 与x 轴交于点','A B 两点（点'A 在点'B 左侧），要使'2ABC A BC S S ∆∆=，求所有满足条件的抛物线'L 的表达式．26．（12分）在△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC 绕着点B 顺时针旋转角a （0°＜a ＜90°）得到△A1BC；A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段BE与BF有怎样的数量关系？并证明你的结论．（2）如图2，当a=30°时，试判断四边形BC1DA的形状，并证明．（3）在（2）的条件下，求线段DE的长度．27．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，直线MN是过点A的直线CD⊥MN于点D，连接BD．（1）观察猜想张老师在课堂上提出问题：线段DC，AD，BD之间有什么数量关系．经过观察思考，小明出一种思路：如图1，过点B作BE⊥BD，交MN于点E，进而得出：DC+AD=BD．（2）探究证明将直线MN绕点A顺时针旋转到图2的位置写出此时线段DC，AD，BD之间的数量关系，并证明（3）拓展延伸在直线MN绕点A旋转的过程中，当△ABD面积取得最大值时，若CD长为1，请直接写BD的长．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】观察所给的几何体，根据三视图的定义即可解答.【详解】左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1． 故选A ． 【点睛】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图． 2．D 【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念，可知： A 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不正确； B 不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不正确； C 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不正确； D 即是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确. 故选D.考点：轴对称图形和中心对称图形识别 3．C 【解析】 【分析】原式去括号合并同类项即可得到结果． 【详解】原式223x y x y x y =---=--， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握去括号及合并同类项是解决本题的关键. 4．B 【解析】试题分析：此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了人民币10元”，设李明同学此次购书的总价值是人民币是x 元，则有：20+0.8x=x ﹣10解得：x=150，即：小慧同学不凭卡购书的书价为150元． 故选B ．考点：一元一次方程的应用 5．B 【解析】试题分析：∵∠B=60°，将△ABC 沿射线BC 的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C 重合， ∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4， ∴△A′B′C 是等边三角形， ∴B′C=4，∠B′A′C=60°， ∴BB′=6﹣4=2，∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2，60° 故选B ．考点：1、平移的性质；2、旋转的性质；3、等边三角形的判定 6．C 【解析】 【分析】这张圆形纸片减去“不能接触到的部分”的面积是就是这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积． 【详解】 解：如图：∵正方形的面积是：4×4=16；扇形BAO 的面积是：229013603604n r πππ⨯⨯==，∴则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×1-4×4π=4-π， ∴这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是16-（4-π）=12+π， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了正方形和扇形的面积的计算公式，正确记忆公式是解题的关键． 7．C 【解析】 【分析】科学记数法就是将一个数字表示成a×10的n 次幂的形式，其中1≤|a|＜10，n 表示整数．n 为整数位数减1，即从左边第一位开始，在首位非零的后面加上小数点，再乘以10的n 次幂． 【详解】数据8 600用科学记数法表示为8.6×103故选C．【点睛】用科学记数法表示一个数的方法是（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）．8．B【解析】【分析】根据所给图形，分别计算出它们的周长，然后判断各选项即可．【详解】A. L=(6+10)×2=32，其周长为32.B. 该平行四边形的一边长为10，另一边长大于6，故其周长大于32.C. L=(6+10)×2=32，其周长为32.D. L=(6+10)×2=32，其周长为32.采用排除法即可选出B故选B.【点睛】此题考查多边形的周长，解题在于掌握计算公式.9．D【解析】分析：依据AB∥CD，可得∠3+∠5=180°，再根据∠5=∠4，即可得出∠3+∠4=180°．详解：如图，∵AB∥CD，∴∠3+∠5=180°，又∵∠5=∠4，∴∠3+∠4=180°，故选D．点睛：本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．10．C【解析】在菱形ABCD中,OC=12AC，AC⊥BD，∴DE=OC，∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形，∵在菱形ABCD中,∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AD=AB=AC=2,OA=12AC=1，在矩形OCED中,由勾股定理得：==在Rt△ACE中,由勾股定理得：== C.点睛:本题考查了菱形的性质，先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明四边形OCED是矩形，再根据菱形的性质得出AC=AB，再根据勾股定理得出AE的长度即可.11．A【解析】【分析】由于要求四个数的点中距离原点最远的点，所以求这四个点对应的实数绝对值即可求解．【详解】∵|-1|=1，|-1|=1，∴|-1|＞|-1|=1＞0，∴四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最远的是-1．故选A．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力，也利用了数形结合的思想．12．A【解析】【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【详解】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是3 10．故选：A．【点睛】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．m＞1．【解析】分析：根据反比例函数y=2m x-，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，可得出m ﹣1＞0，解之即可得出m 的取值范围．详解：∵反比例函数y=2m x-，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，∴m ﹣1＞0，解得：m ＞1． 故答案为m ＞1．点睛：本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m ﹣1＞0是解题的关键． 14．±1 【解析】试题分析：根据零指数幂的性质（01(0)a a =≠），可知|a|=1，座椅可知a=±1.15． 2或-1． 【解析】>∴min{②∵min{(x−1)2,x 2}=1， ∴当x>0.5时,(x−1)2=1， ∴x−1=±1， ∴x−1=1，x−1=−1，解得：x 1=2,x 2=0(不合题意,舍去)， 当x ⩽0.5时,x 2=1，解得：x 1=1(不合题意,舍去),x 2=−1， 16．1． 【解析】试题分析：2y =有意义，必须30x -≥，30x -≥，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴y x =23=1．故答案为1． 考点：二次根式有意义的条件． 17．1 【解析】 【分析】利用树状图展示所有1种等可能的结果数． 【详解】 解：画树状图为：共有1种等可能的结果数．故答案为1．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．18．1【解析】【分析】设反比例函数解析式为y=k x ，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=3×（﹣4）=﹣2m ，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：设反比例函数解析式为y=k x， 根据题意得k=3×（﹣4）=﹣2m ，解得m=1．故答案为1．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）243y x x +＝﹣，顶点P 的坐标为21（，﹣）；（2）E 点坐标为22（，）；（3）Q 点的坐标为58（，）. 【解析】【分析】（1）利用交点式写出抛物线解析式，把一般式配成顶点式得到顶点P 的坐标；（2）设2E t （，），根据两点间的距离公式，利用EA EC ＝得到22222123t t ++（﹣）＝（﹣），然后解方程求出t 即可得到E 点坐标；（3）直线2x ＝交x 轴于F ，作2MH x ⊥直线＝于H ，如图，利用12tan NEB ∠＝得到12tan MEQ ∠＝，设243Q m m m +（，﹣），则2412HE m m QH m +＝﹣，＝﹣，再在Rt QHE V 中利用正切的定义得到H 1tan HE 2Q HEQ ∠==，即24122m m m +﹣＝（﹣），然后解方程求出m 即可得到Q 点坐标. 【详解】 解：（1）抛物线解析式为13y x x ＝（﹣）（﹣），即243y x x +＝﹣， 221y x Q ＝（﹣）﹣，∴顶点P 的坐标为21（，﹣）； （2）抛物线的对称轴为直线2x ＝，设2E t （，）， EA EC Q ＝，22222123t t ∴++（﹣）＝（﹣），解得2t ＝，∴E 点坐标为22（，）； （3）直线2x ＝交x 轴于F ，作MN ⊥直线x=2于H ，如图，MEQ NEB ∠∠Q ＝， 而BF 1tan EF 2NEB ∠==， 1tan 2MEQ ∴∠=， 设243Q m m m +（，﹣），则22432412HE m m m m QH m ++＝﹣﹣＝﹣，＝﹣， 在Rt QHE V中，H 1tan HE 2Q HEQ ∠==， 24122m m m ∴+﹣＝（﹣），整理得2650m m +﹣＝，解得11m ＝（舍去），25m ＝， ∴Q 点的坐标为58（，）.【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和锐角三角函数的定义；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式.20．（1）5；（2）36%；（3）310. 【解析】试题分析：（1）根据：数据总数-已知的小组频数=所求的小组频数，进行求解，然后根据所求数据补全条形图即可；（2）根据：小组频数=该组频数数据总数，进行求解即可； （3）利用列举法求概率即可.试题解析：（1）E 类：50-2-3-22-18＝5（人），故答案为：5；补图如下：（2）D 类：18÷50×100%＝36%，故答案为：36%； （3）设这5人为12123A A B B B ，，，，有以下10种情况：12111213212223121323(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 其中，两人都在24t <≤ 的概率是：310P =. 21． (1)π， 2π；(2)(n ﹣2)π．【解析】【分析】（1）利用弧长公式和三角形和四边形的内角和公式代入计算；（2）利用多边形的内角和公式和弧长公式计算．【详解】(1)利用弧长公式可得 312111180180180n n n πππ⨯⨯⨯++＝π， 因为n 1+n 2+n 3＝180°．同理，四边形的＝31241111180180180180n n n n ππππ⨯⨯⨯⨯+++＝2π， 因为四边形的内角和为360度；(2)n 条弧＝31241111(2)1801 (180180180180180)n n n n n πππππ⨯⨯⨯⨯-⨯⨯++++=＝(n ﹣2)π． 【点睛】本题考查了多边形的内角和定理以及扇形的面积公式和弧长的计算公式，理解公式是关键．22． (1)4元/瓶．(2) 销售单价至少为1元/瓶．【解析】【分析】（1）设第一批饮料进货单价为x 元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，根据数量＝总价÷单价结合第二批购进饮料的数量是第一批的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）由数量＝总价÷单价可得出第一、二批购进饮料的数量，设销售单价为y元/瓶，根据利润＝销售单价×销售数量﹣进货总价结合获利不少于2100元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．【详解】（1）设第一批饮料进货单价为x元/瓶，则第二批饮料进货单价为（x+2）元/瓶，依题意，得：81002x+＝3×1800x，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．答：第一批饮料进货单价是4元/瓶；（2）由（1）可知：第一批购进该种饮料450瓶，第二批购进该种饮料1350瓶．设销售单价为y元/瓶，依题意，得：（450+1350）y﹣1800﹣8100≥2100，解得：y≥1．答：销售单价至少为1元/瓶．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（1）y=2x2﹣3x；（2）C（1，﹣1）；（3）（4564，316）或（﹣316，4564）．【解析】【分析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B坐标，利用待定系数法可求得抛物线的表达式；（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可设出C点坐标，利用C点坐标可表示出CD的长，从而可表示出△BOC的面积，由条件可得到关于C点坐标的方程，可求得C点坐标；（3）设MB交y轴于点N，则可证得△ABO≌△NBO，可求得N点坐标，可求得直线BN的解析式，联立直线BM与抛物线解析式可求得M点坐标，过M作MG⊥y轴于点G，由B、C的坐标可求得OB和OC的长，由相似三角形的性质可求得OMOP的值，当点P在第一象限内时，过P作PH⊥x轴于点H，由条件可证得△MOG∽△POH，由OM MG OGOP PH OH==的值，可求得PH和OH，可求得P点坐标；当P点在第三象限时，同理可求得P点坐标．【详解】（1）∵B（2，t）在直线y=x上，∴t=2，∴B（2，2），把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得：422 930 42a ba b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：23ab=⎧⎨=-⎩，∴抛物线解析式为223y x x=-；（2）如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，∵点C是抛物线上第四象限的点，∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，∴S△OBC=S△CDO+S△CDB=12CD•OE+12CD•BF=12（﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，∵△OBC的面积为2，∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，∴C（1，﹣1）；（3）存在．设MB交y轴于点N，如图2，∵B（2，2），∴∠AOB=∠NOB=45°，在△AOB和△NOB中，∵∠AOB=∠NOB，OB=OB，∠ABO=∠NBO，∴△AOB≌△NOB（ASA），∴ON=OA=32，∴N（0，32），∴可设直线BN解析式为y=kx+32，把B点坐标代入可得2=2k+32，解得k=14，∴直线BN 的解析式为1342y x =+，联立直线BN 和抛物线解析式可得：2134223y x y x x⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，解得：22x y =⎧⎨=⎩或384532x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴M （38-，4532）， ∵C （1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B （2，2），∴OB=，∵△POC ∽△MOB ， ∴2OM OB OP OC==，∠POC=∠BOM ， 当点P 在第一象限时，如图3，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图3∵∠COA=∠BOG=45°，∴∠MOG=∠POH ，且∠PHO=∠MGO ，∴△MOG ∽△POH ， ∴2OM MG OG OP PH OH=== ∵M （38-，4532）， ∴MG=38，OG=4532， ∴PH=12MG=316，OH=12OG=4564， ∴P （4564，316）； 当点P 在第三象限时，如图4，过M 作MG ⊥y 轴于点G ，过P 作PH ⊥y 轴于点H ，同理可求得PH=12MG=316，OH=12OG=4564， ∴P （﹣316，4564）； 综上可知：存在满足条件的点P ，其坐标为（4564，316）或（﹣316，4564）．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用C 点坐标表示出△BOC 的面积是解题的关键，在（3）中确定出点P 的位置，构造相似三角形是解题的关键，注意分两种情况．24．（2）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=2时，x 2=x 2=﹣2．【解析】【详解】分析：（2）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（2）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.25．（1）()214y x =--；（2）()()2234;74y x y x =--=--． 【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可求解；（2）根据题意知()20A m '-，，根据三角形面积公式列方程即可求解． 【详解】（1）根据题意得：1230b a a b ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩， 解得：12a b =⎧⎨=-⎩， 抛物线的表达式为：()222314y x x x =--=--；（2）∵抛物线'L 与抛物线L 关于直线x m =对称，抛物线L 的对称轴为直线1x =∴抛物线'L 的对称轴为直线1x m =+，∵抛物线'L 与x 轴交于点','A B 两点且点'A 在点'B 左侧，∴A '的横坐标为：121m m +-=- ∴()10A m '-，， 令0y =，则2230x x --=，解得：1213x x =-=，，令0x =，则3y =，∴点A B 、的坐标分别为()10A -，，()30B ，，点C 的坐标为()03，， ∴1143622ABC C S AB y =⨯⨯=⨯⨯=n ， ∵132A BCABC S S '==n n , ∴132A BC C S A B y '=⨯⨯'=n ，即113332m --⨯=， 解得：2m =或6m =，∵抛物线'L 与抛物线L 关于直线x m =对称，抛物线'L 的对称轴为直线1x m =+，∴抛物线'L 的表达式为()234y x =--或()274y x =--． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解及三角形的面积，第(2)问的关键是得到抛物线'L 的对称轴为直线1x m =+．26．（1）1EA FC =．（2）四边形1BC DA 是菱形.（3）2 【解析】（1）根据等边对等角及旋转的特征可得1ABE C BF ≅V V即可证得结论； （2）先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，再得到邻边相等即可判断结论；（3）过点E 作EG AB ⊥于点G ，解Rt AEG V 可得AE 的长，结合菱形的性质即可求得结果．【详解】（1）1EA FC =．证明：（证法一）AB BC A C =∴∠=∠Q ，．由旋转可知，111,,AB BC A C ABE C BF =∠=∠∠=∠∴1A BF CBE V V ≌．∴BE BF ，=又1AB BC =Q ，∴11A C A B CB ∠=∠=，，即1EA FC =．（证法二）AB BC A C =∴∠=∠Q ，．由旋转可知，1BA BE BC BF -=-，而1EBC FBA ∠=∠∴1A BF CBE ∴≅V V∴BE BF ，=∴1BA BE BC BF -=-即1EA FC =．（2）四边形1BC DA 是菱形.证明：111130,A ABA AC AB ︒∠=∠=∴Q ‖同理1AC BC ‖ ∴四边形1BC DA 是平行四边形.又1AB BC =Q ，∴四边形1BC DA 是菱形 （3）过点E 作EG AB ⊥于点E ，则1AG BG ==．在EG AB ⊥中，AE =.由（2）知四边形1BC DA 是菱形，∴1AG BG ==．∴2ED AD AE =-= 【点睛】解答本题的关键是掌握好旋转的性质，平行四边形判定与性质，的菱形的判定与性质，选择适当的条件解27．（1）2；（2）AD ﹣DC=2BD ；（3）BD=AD=2+1．【解析】【分析】（1）根据全等三角形的性质求出DC ，AD ，BD 之间的数量关系（2）过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ，证明CDB AEB ∆∆≌，得到CD AE =，EB BD =，根据BED ∆为等腰直角三角形，得到2DE BD =，再根据DE AD AE AD CD =-=-，即可解出答案.（3）根据A 、B 、C 、D 四点共圆，得到当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==，由BD AD =即可得出答案.【详解】解：（1）如图1中，由题意：BAE BCD ∆∆≌，∴AE=CD ，BE=BD ，∴CD+AD=AD+AE=DE ，∵BDE ∆是等腰直角三角形，∴2，∴2BD ，2．（2）2AD DC BD -=．证明：如图，过点B 作BE ⊥BD ，交MN 于点E ．AD 交BC 于O ．∵90ABC DBE ∠=∠=︒，∴ABE EBC CBD EBC ∠+∠=∠+∠，∴ABE CBD ∠=∠．∵90BAE AOB ∠+∠=︒，90BCD COD ∠+∠=︒，AOB COD ∠=∠，∴BAE BCD ∠=∠，∴ABE DBC ∠=∠．又∵AB CB =，∴CDB AEB ∆∆≌，∴CD AE =，EB BD =，∴BD ∆为等腰直角三角形，2DE BD =． ∵DE AD AE AD CD =-=-， ∴2AD DC BD -=．（3）如图3中，易知A 、B 、C 、D 四点共圆，当点D 在线段AB 的垂直平分线上且在AB 的右侧时，△ABD 的面积最大．此时DG ⊥AB ，DB=DA ，在DA 上截取一点H ，使得CD=DH=1，则易证2CH AH ==∴21BD AD ==．【点睛】 本题主要考查全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及图形的应用，正确作辅助线和熟悉图形特性是解题的关键.。
上海市普陀区2019-2020学年中考第二次模拟数学试题含解析
上海市普陀区2019-2020学年中考第二次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，四边形ABCD是正方形，点P，Q分别在边AB，BC的延长线上且BP=CQ，连接AQ，DP 交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②△OAE∽△OPA；③当正方形的边长为3，BP＝1时，cos∠DFO=35，其中正确结论的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．32．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，AE平分∠BAC交BC于点E，点D为AB的中点，连接DE，则△BDE的周长是（）A．3 B．4 C．5 D．63．y=（m﹣1）x|m|+3m表示一次函数，则m等于（）A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．1或﹣14．一、单选题如图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MEQ，则点Q可能是图中的（）A．点A B．点B C．点C D．点D5．某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（）A ．参加本次植树活动共有30人B ．每人植树量的众数是4棵C ．每人植树量的中位数是5棵D ．每人植树量的平均数是5棵6．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（ ）A ．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B ．摸出的三个球中至少有一个球是白球C ．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D ．摸出的三个球中至少有两个球是白球7．如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )A ．1，2，3B ．1，12C ．1，13D ．1，238．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A 48B ．22x y +C 15D 0.39．cos30°的相反数是（ ）A ．3B ．12-C ．3D ．22- 10．（3分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．221x =B ．1(1)212x x -=C ．21212x = D ．(1)21x x -= 11．﹣2018的相反数是（ ） A ．﹣2018 B ．2018 C ．±2018 D ．﹣12018 12．已知函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点．则k 的取值范围是( )A ．k<4B ．k≤4C ．k<4且k≠3D ．k≤4且k≠3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如果一个正多边形的中心角等于30°，那么这个正多边形的边数是__________.14．方程x-1=1x的解为：______．15．如图，小聪把一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上，并测得∠1=25°，则∠2的度数是_____．16．有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_____．17．某地区的居民用电，按照高峰时段和空闲时段规定了不同的单价．某户5月份高峰时段用电量是空闲时段用电量2倍，6月份高峰时段用电量比5月份高峰时段用电量少50%，结果6月份的用电量和5月份的用电量相等，但6月份的电费却比5月份的电费少25%，求该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低的百分率是_____．18．若将抛物线y=﹣4（x+2）2﹣3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线的顶点坐标是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O．E，F是AC上的两点，并且AE=CF，连接DE，BF．（1）求证：△DOE≌△BOF；（2）若BD=EF，连接DE，BF．判断四边形EBFD的形状，并说明理由．20．（6分）如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m时，桥洞与水面的最大距离是5m．经过讨论，同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案（如图），你选择的方案是（填方案一，方案二，或方案三），则B点坐标是，求出你所选方案中的抛物线的表达式；因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m，求水面上涨的高度．21．（6分）在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．用测角仪在A 处测得雕塑顶端点C′的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得仰角为45°．问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值．）22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．23．（8分）如图，反比例y=4x的图象与一次函数y=kx ﹣3的图象在第一象限内交于A （4，a ）． （1）求一次函数的解析式；（2）若直线x=n （0＜n ＜4）与反比例函数和一次函数的图象分别交于点B ，C ，连接AB ，若△ABC 是等腰直角三角形，求n 的值．24．（10分）在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 是边BC 上任意一点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ．（1）如图1，若∠BAD=15°，且CE=1，求线段BD 的长；（2）如图2，过点C 作CF ⊥CE ，且CF=CE ，连接FE 并延长交AB 于点M ，连接BF ，求证：AM=BM ．25．（10分）从化市某中学初三（1）班数学兴趣小组为了解全校800名初三学生的“初中毕业选择升学和就业”情况，特对本班50名同学们进行调查，根据全班同学提出的3个主要观点：A高中，B中技，C就业，进行了调查（要求每位同学只选自己最认可的一项观点）；并制成了扇形统计图（如图）．请回答以下问题：（1）该班学生选择观点的人数最多，共有人，在扇形统计图中，该观点所在扇形区域的圆心角是度．（2）利用样本估计该校初三学生选择“中技”观点的人数．（3）已知该班只有2位女同学选择“就业”观点，如果班主任从该观点中，随机选取2位同学进行调查，那么恰好选到这2位女同学的概率是多少？（用树形图或列表法分析解答）．26．（12分）问题探究（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1,连接AD、BE,求ADBE的值；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，过点A作AM⊥AB，点P是射线AM上一动点，连接CP，做CQ⊥CP交线段AB于点Q，连接PQ，求PQ的最小值；（3）李师傅准备加工一个四边形零件，如图3，这个零件的示意图为四边形ABCD，要求BC=4cm，∠BAD=135°，∠ADC=90°，AD=CD，请你帮李师傅求出这个零件的对角线BD的最大值．图327．（12分）随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】由四边形ABCD 是正方形，得到AD=BC,90DAB ABC ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥DP ；故①正确；根据勾股定理求出225,AQ AB BQ =+=,DFO BAQ ∠=∠直接用余弦可求出．【详解】详解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC,90DAB ABC ∠=∠=o ，∵BP=CQ ，∴AP=BQ ， 在△DAP 与△ABQ 中, AD AB DAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DAP ≌△ABQ ，∴∠P=∠Q ，∵90Q QAB ∠+∠=o ，∴90P QAB ∠+∠=o ，∴90AOP ∠=o ，∴AQ ⊥DP ；故①正确；②无法证明，故错误．∵BP=1，AB=3，∴4BQ AP ==，5,AQ ==,DFO BAQ ∠=∠ ∴3cos cos .5AB DFO BAQ AQ ∠=∠== 故③正确， 故选C ．【点睛】考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数等，综合性比较强，对学生要求较高．2．C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质可得BE=12BC=2，再根据三角形中位线定理可求得BD 、DE 长，根据三角形周长公式即可求得答案．【详解】解：∵在△ABC 中，AB=AC=3，AE 平分∠BAC ，∴BE=CE=12BC=2， 又∵D 是AB 中点，∴BD=12AB=32， ∴DE 是△ABC 的中位线， ∴DE=12AC=32， ∴△BDE 的周长为BD+DE+BE=32+32+2=5， 故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．3．B【解析】由一次函数的定义知，|m|=1且m-1≠0，所以m=-1，故选B.4．D【解析】【分析】根据全等三角形的性质和已知图形得出即可．【详解】解：∵△MNP≌△MEQ，∴点Q应是图中的D点，如图，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．5．D【解析】试题解析：A、∵4+10+8+6+2=30（人），∴参加本次植树活动共有30人，结论A正确；B、∵10＞8＞6＞4＞2，∴每人植树量的众数是4棵，结论B正确；C、∵共有30个数，第15、16个数为5，∴每人植树量的中位数是5棵，结论C正确；D、∵（3×4+4×10+5×8+6×6+7×2）÷30≈4.73（棵），∴每人植树量的平均数约是4.73棵，结论D不正确．故选D．考点：1.条形统计图；2.加权平均数；3.中位数；4.众数．6．A【解析】【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.【详解】A、是必然事件；B、是随机事件，选项错误；C、是随机事件，选项错误；D、是随机事件，选项错误．故选A．7．D【解析】【分析】根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．【详解】∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12)2，是等腰直角三角形，故选项错误；C=12，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选D．8．B【解析】【分析】根据最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式判断即可．【详解】A，不符合题意；B是最简二次根式，符合题意；C，不符合题意；D10，不符合题意；故选B．【点睛】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．9．C【解析】【分析】先将特殊角的三角函数值代入求解，再求出其相反数．【详解】∵cos30°∴cos30°的相反数是故选C．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及相反数的概念．10．B．【解析】试题分析：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：1(1)21 2x x-=，故选B．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．11．B【解析】分析：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．详解：-1的相反数是1．故选：B．点睛：本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．12．B【解析】试题分析：若此函数与x 轴有交点，则2(3)21=0k x x -++，Δ≥0，即4-4(k-3)≥0,解得：k≤4,当k=3时，此函数为一次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.考点：函数图像与x 轴交点的特点.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．12.【解析】【分析】根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷进行计算即可得到答案.【详解】解：根据正n 边形的中心角的度数为360n ︒÷，则n=360÷30=12，故这个正多边形的边数为12， 故答案为：12.【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键.14．1x =【解析】【分析】两边平方解答即可．【详解】原方程可化为：（x-1）2=1-x ，解得：x 1=0，x 2=1，经检验，x=0不是原方程的解，x=1是原方程的解故答案为 1x =．【点睛】此题考查无理方程的解法，关键是把两边平方解答，要注意解答后一定要检验．15．35°【解析】分析：先根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再根据直角三角形的性质用∠2=60°-∠3代入数据进行计算即可得解．详解：∵直尺的两边互相平行，∠1=25°，∴∠3=∠1=25°，∴∠2=60°-∠3=60°-25°=35°．故答案为35°．点睛：本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质是解题的关键．16．4 5【解析】分析：直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案．详解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形中，平行四边形、矩形、正方形、菱形都是中心对称图形，∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是：45．故答案为45．点睛：此题主要考查了中心对称图形的性质和概率求法，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．17．60%【解析】【分析】设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，根据总价＝单价×数量结合6月份的电费却比5月份的电费少25%，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出x，y之间的关系，进而即可得出结论．【详解】设空闲时段民用电的单价为x元/千瓦时，高峰时段民用电的单价为y元/千瓦时，该用户5月份空闲时段用电量为a千瓦时，则5月份高峰时段用电量为2a千瓦时，6月份空闲时段用电量为2a千瓦时，6月份高峰时段用电量为a千瓦时，依题意，得：（1﹣25%）（ax+2ay）＝2ax+ay，解得：x＝0.4y，∴该地区空闲时段民用电的单价比高峰时段的用电单价低y xy×100%＝60%．故答案为60%．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．18．（﹣7，0）【解析】【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”得出平移后的解析式进而得出答案．【详解】∵将抛物线y=-4（x+2）2-3图象向左平移5个单位，再向上平移3个单位，∴平移后的解析式为：y=-4（x+7）2，故得到的抛物线的顶点坐标是：（-7，0）．故答案为（-7，0）．【点睛】此题主要考查了二次函数与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（2）证明见解析；（2）四边形EBFD 是矩形．理由见解析.【解析】分析：（1）根据SAS 即可证明；（2）首先证明四边形EBFD 是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可证明；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，∵AE=CF ，∴OE=OF ，在△DEO 和△BOF 中，OD OB DOE BOF OE OF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△DOE ≌△BOF ．（2）结论：四边形EBFD 是矩形．理由：∵OD=OB ，OE=OF ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BD=EF ，∴四边形EBFD 是矩形．点睛：本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20． (1) 方案1; B （5,0）; 1(5)(5)5y x x =-+-;(2) 3.2m.【解析】试题分析：（1）根据抛物线在坐标系的位置，可用待定系数法求抛物线的解析式．（2）把x=3代入抛物线的解析式，即可得到结论．试题解析：解：方案1：（1）点B 的坐标为（5，0），设抛物线的解析式为：(5)(5)y a x x =+-．由题意可以得到抛物线的顶点为（0，5），代入解析式可得：15a =-，∴抛物线的解析式为：1(5)(5)5y x x =-+-； （2）由题意：把3x =代入1(5)(5)5y x x =-+-，解得：165y ==3.2，∴水面上涨的高度为3.2m ． 方案2：（1）点B 的坐标为（10，0）．设抛物线的解析式为：(10)y ax x =-．由题意可以得到抛物线的顶点为（5，5），代入解析式可得：15a =-，∴抛物线的解析式为：1(10)5y x x =--； （2）由题意：把2x =代入1(10)5y x x =--解得：165y ==3.2，∴水面上涨的高度为3.2m ． 方案3：（1）点B 的坐标为（5， 5-），由题意可以得到抛物线的顶点为（0，0）．设抛物线的解析式为：2y ax =，把点B 的坐标（5， 5-），代入解析式可得：15a =-， ∴抛物线的解析式为：21y x 5=-； （2）由题意：把3x =代入21y x 5=-解得：95y =-= 1.8-，∴水面上涨的高度为5 1.8-=3.2m ．21．该雕塑的高度为（【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB ，设CD=x ，由∠CBD=45°知BD=CD=x 米，根据tanA=CD AD列出关于x 的方程，解之可得．【详解】解：如图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 延长线于点D ，设CD=x 米，∵∠CBD=45°，∠BDC=90°，∴BD=CD=x 米，∵∠A=30°，AD=AB+BD=4+x ，∴tanA=CD AD ，即3 34x x=+， 解得：x=2+23，答：该雕塑的高度为（2+23）米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是根据题意构建直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用．22．（1）A （，0）、B （3，0）．（2）存在．S △PBC 最大值为2716（3）2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．【详解】解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．∴A （，0）、B （3，0）．（2）存在．理由如下：∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23327p 4216--+（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，解得：12m =22m 2=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2m =或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 23．（1）y=x ﹣3（2）1【解析】【分析】（1）由已知先求出a ，得出点A 的坐标，再把A 的坐标代入一次函数y=kx-3求出k 的值即可求出一次函数的解析式；（2）易求点B 、C 的坐标分别为（n ，4n），（n ，n-3）．设直线y=x-3与x 轴、y 轴分别交于点D 、E ，易得OD=OE=3，那么∠OED=45°．根据平行线的性质得到∠BCA=∠OED=45°，所以当△ABC 是等腰直角三角形时只有AB=AC 一种情况．过点A 作AF ⊥BC 于F ，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=FC ，依此得出方程4n -1=1-（n-3），解方程即可． 【详解】解：（1）∵反比例y=4x的图象过点A （4，a ），∴a=44=1，∴A（4，1），把A（4，1）代入一次函数y=kx﹣3，得4k﹣3=1，∴k=1，∴一次函数的解析式为y=x﹣3；（2）由题意可知，点B、C的坐标分别为（n，4n），（n，n﹣3）．设直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点D、E，如图，当x=0时，y=﹣3；当y=0时，x=3，∴OD=OE，∴∠OED=45°．∵直线x=n平行于y轴，∴∠BCA=∠OED=45°，∵△ABC是等腰直角三角形，且0＜n＜4，∴只有AB=AC一种情况，过点A作AF⊥BC于F，则BF=FC，F（n，1），∴4n﹣1=1﹣（n﹣3），解得n1=1，n2=4，∵0＜n＜4，∴n2=4舍去，∴n的值是1．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，难度适中．24．(1) 223;(2)见解析【解析】分析：（1）先求得：∠CAE=45°-15°=30°，根据直角三角形30°角的性质可得AC=2CE=2，再得∠ECD=90°-60°=30°，设ED=x，则CD=2x x=1，求得x的值，可得BD的长；（2）如图2，连接CM，先证明△ACE≌△BCF，则∠BFC=∠AEC=90°，证明C、M、B、F四点共圆，则∠BCM=∠MFB=45°，由等腰三角形三线合一的性质可得AM=BM．详解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵∠BAD=15°，∴∠CAE=45°﹣15°=30°，Rt△ACE中，CE=1，∴AC=2CE=2，Rt△CED中，∠ECD=90°﹣60°=30°，∴CD=2ED，设ED=x，则CD=2x，∴，，x=∴CD=2x=，3∴BD=BC﹣CD=AC﹣CD=2﹣；3（2）如图2，连接CM，∵∠ACB=∠ECF=90°，∴∠ACE=∠BCF，∵AC=BC，CE=CF，∴△ACE≌△BCF，∴∠BFC=∠AEC=90°，∵∠CFE=45°，∴∠MFB=45°，∵∠CFM=∠CBA=45°，∴C、M、B、F四点共圆，∴∠BCM=∠MFB=45°，∴∠ACM=∠BCM=45°，∵AC=BC，∴AM=BM．点睛：本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、等腰三角形三线合一的性质、直角三角形30°角的性质和勾股定理，第二问有难度，构建辅助线，证明△ACE≌△BCF是关键．25．（4）A高中观点．4．446；（4）456人；（4）．【解析】试题分析：（4）全班人数乘以选择“A高中”观点的百分比即可得到选择“A高中”观点的人数，用460°乘以选择“A高中”观点的百分比即可得到选择“A高中”的观点所在扇形区域的圆心角的度数；（4）用全校初三年级学生数乘以选择“B中技”观点的百分比即可估计该校初三学生选择“中技”观点的人数；（4）先计算出该班选择“就业”观点的人数为4人，则可判断有4位女同学和4位男生选择“就业”观点，再列表展示44种等可能的结果数，找出出现4女的结果数，然后根据概率公式求解．试题解析：（4）该班学生选择A高中观点的人数最多，共有60%×50=4（人），在扇形统计图中，该观点所在扇形区域的圆心角是60%×460°=446°；（4）∵800×44%=456（人），∴估计该校初三学生选择“中技”观点的人数约是456人；（4）该班选择“就业”观点的人数=50×（4-60%-44%）=50×8%=4（人），则该班有4位女同学和4位男生选择“就业”观点，列表如下：共有44种等可能的结果数，其中出现4女的情况共有4种．所以恰好选到4位女同学的概率=．考点：4．列表法与树状图法；4．用样本估计总体；4．扇形统计图．26．（1）22;（243（3102【解析】【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得22，∠ACB=∠DCE=45°，可证△ACD∽△BCE，可得AD CDBE CE=2（2）由题意可证点A，点Q，点C，点P四点共圆，可得∠QAC=∠QPC，可证△ABC∽△PQC，可得PQ QCAB BC=，可得当QC⊥AB时，PQ的值最小，即可求PQ的最小值；（3）作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，由题意可证△ABC∽△DEC，可得BC CEAC CD=，且∠BCE=∠ACD，可证△BCE∽△ACD，可得∠BEC=∠ADC=90°，由勾股定理可求CE，DF，BF的长，由三角形三边关系可求BD的最大值．【详解】（1）∵∠BAC=∠CDE=90°，AB=AC=3，DE=CD=1，∴2，2，∠ACB=∠DCE=45°，∴∠BCE=∠ACD，∵BCAC＝3232，CECD2，∴BC CEAC CD=2，∠BCE=∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴AD CDBE CE=＝22；（2）∵∠ACB=90°，∠B=30°，BC=4，∴4383，∵∠QAP=∠QCP=90°，∴点A，点Q，点C，点P四点共圆，∴∠QAC=∠QPC，且∠ACB=∠QCP=90°，∴△ABC∽△PQC，∴PQ QC AB BC=，∴PQ=ABBC×QC=233QC，∴当QC的长度最小时，PQ的长度最小，即当QC⊥AB时，PQ的值最小，此时QC=2，PQ的最小值为43；（3）如图，作∠DCE=∠ACB，交射线DA于点E，取CE中点F，连接AC，BE，DF，BF，，∵∠ADC=90°，AD=CD，∴∠CAD=45°，∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°，∴△ABC∽△DEC，∴BC CE AC CD=，∵∠DCE=∠ACB，∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE∽△ACD，∴∠BEC=∠ADC=90°，∴CE=222∵点F是EC中点，∴DF=EF=122，∴22BE EF+10，∴102【点睛】本题是相似综合题，考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．27．（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．【解析】分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．详解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x 元，乙品牌粽子每盒y 元，根据题意得：63600500.8400.755200x y x y +⎧⎨⨯+⨯⎩＝＝， 解得：40120x y ⎧⎨⎩＝＝． 答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．。
上海市普陀区2020年初三中考数学二模试卷(解析版)
题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，
∴， AB BC ， CD BC ，，
∴ AC ＝2 CD ，故①正确；
AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；
OC⊥BD，故③正确；
∠AOD＝3∠BOC，故④正确；
故选：C．
【点睛】考查了圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧、弦的关系，解题关键是明确题意，利
故答案为：2 2 ．
【点晴】考查了正多边形的和圆的知识，解题关键是了解正多边形的半径、边心距及边长的 一半构成特殊的直角三角形． 15.今年 3 月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学 生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示．如果锻炼时间在 0﹣2 小时的学生的频 率是 20%，那么锻炼时间在 4﹣6 小时的学生的频率是__．
沿着 PC 翻折得到△B′PC，B′C 与边 AB 的交于点 D，如果△B′PD 恰好为直角三角形，那么 BP＝__．
2
k 10 ， 这个正比例函数的解析式是 y 10x ， 故答案为： y 10x ．
【点睛】此题考查了一次函数，用到的知识点是正比例函数、一次函数的图象与性质，关键 是求出与坐标轴的交点坐标，注意分两种情况讨论．
18.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6，cotB＝ 4 ，点 P 为边 AB 上一点，将△BPC 3
【详解】解：∵关于 x的方程（x﹣2）2＝m﹣1 没有实数根， ∴m﹣1＜0， 解得 m＜1， 所以 m 的取值范围是 m＜1． 故答案为：m＜1． 【点睛】考查了解一元二次方程-直接开平方法，解决本题的关键是掌握直接开平方法． 14.已知正方形的半径是 4，那么这个正方形的边心距是__．
【附5套中考模拟试卷】上海市普陀区2019-2020学年中考数学二模考试卷含解析
（2）求∠CAB的正切值；
（3）如果点P是x轴上的一点，且∠ABP＝∠CAO，直接写出点P的坐标．
21．（6分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1．
（1）实践操作：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
①作∠ABC的角平分线交AC于点D．
②作线段BD的垂直平分线，交AB于点E，交BC于点F，连接DE、DF．
A．7 海里/时B．7 海里/时C．7 海里/时D．28 海里/时
5．下列方程中有实数解的是（ ）
A．x4+16=0B．x2﹣x+1=0
C． D．
6． 的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为了测量河对岸l1上两棵古树A、B之间的距离，某数学兴趣小组在河这边沿着与AB平行的直线l2上取C、D两点，测得∠ACB＝15°，∠ACD＝45°，若l1、l2之间的距离为50m，则A、B之间的距离为（ ）
（2）推理计算：四边形BFDE的面积为．
22．（8分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F．
（1）求证：DC=DE；
（2）若AE=1， ，求⊙O的半径．
23．（8分）已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．
A．48B．60
C．76D．80
3．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（ ）
202104上海市普陀区初三二模数学试卷含答案
普陀区2020 学年第二学期初三质量调研数 学 试 卷（时间：100分钟，满分：150分）考生注意： 1．本试卷共25题．2．试卷满分150分．考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1. 下列计算中，正确的是（A ）23235a a a +=； （B ）23235a a a ⋅=；（C ）22233a a a ÷=； （D ）235(2)8a a =．2. 下列单项式中，可以与23x y 合并同类项的是（A ）32x y ； （B ）322y x ； （C ）23x y ； （D ）232x y z ．3. x =的根是（A ）2x =-； （B ）1x =-； （C ）0x =； （D ）2x =． 4．已知两组数据：1x 、2x 、3x 、4x 、5x 和12x +、22x +、32x +、42x +、52x +，下列 有关这两组数据的说法中，正确的是（A ）平均数相等； （B ）中位数相等； （C ）众数相等； （D ）方差相等． 5. 已知在△ABC 和△A B C '''中，AB A B ''=，AC A C ''=，下列条件中，不一定能得到 △ABC ≌△A B C '''的是（A ）BC B C ''=； （B ）A A '∠=∠； （C ）C C '∠=∠； （D ）90B B '∠=∠=︒．6. 如图1，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 、B 均在y 轴上，点C 在x 轴上，将△ABC 绕着顶点B 旋转后，点C 的对应点C '落在y 轴上，点A 的对应点A '落在反比例函数6y x=在第一象限的图像上．如果点B 、C 的坐标分别是(0,4)-、(2,0)-，那么点A '的坐标是（A ）(3,2)； （B ）3(,4)2；（C ）(2,3)； （D ）3(4,)2．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 因式分解：34a a -= ▲ ． 8. 已知2()1f x x =-，那么(3)f ＝ ▲ ． 9. 不等式组24,31x x -<⎧⎨-<⎩的解集是 ▲ ．10. 已知正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的函数值y 随x 的值增大而减小，那么k 的取值范围是 ▲ ．11. 如果关于的方程210x x m -+-=有两个相等的实数根，那么m 的值等于 ▲ ． 12. 抛物线22y ax ax =++（0a ≠）的对称轴是直线 ▲ ．13. 为了唤起的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”.某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，5月份这100户家庭节约用水的情况如下表所示，那么5月份这100户家庭节水量的平均数是 ▲ 吨.每户节水量（单位：吨）5 6 7.2 节水户户数62281014. 小明已有两根长度分别是2cm 和5cm 的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm 、4cm 、7cm 、8cm 的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于 ▲ .15. 如图2，两条平行线1l 、2l 分别经过正五边形ABCDE 的顶点B 、C ．如果1=20∠︒，那么2∠= ▲ . x 图1ACxBO y图21 2 ABCDE16. 如图3，已知△ABC 中，D 、E 分别为边AB 、AC 的中点，点F 在DE 的延长线上，EF DE =，设BC a =，AF b =，那么向量AC 用向量a 、b 表示是 ▲ ．17. 已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，6BC =，以A 为圆心2为半径长作A ，以B 为圆心BC 为半径作B ，如果A 与B 内切，那么△ABC 的面积等于 ▲ ．18. 如图4，正方形ABCD 中，4AB =，E 为边BC 的中点，点F 在AE 上，过点F 作MN AE ⊥， 分别交边AB 、DC 于点M 、N ．联结FC ，如果△FNC 是以CN 为底边的等腰三角形，那么FC = ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：1220201132273-⎛⎫-+--+ ⎪⎝⎭．20．（本题满分10分）解方程：22241323x x x x -=++-． 21．（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）在平面直角坐标系中（如图5），已知直线122y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，一个正比例函数的图像与这直线交于点C ，点C 的横坐标是1． （1）求正比例函数的解析式；（2）将正比例函数的图像向上或向下平移，交直线122y x =-+于点D ，设平移所得函数图像的截距为b ，如果交点D 始终落在线段AB 上，求b 的取值范围．xOy E图3ABDC FxyO11 图5D A NFMECB图422．（本题满分10分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分）如图6-1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB 将其固定，窗钩的一个端点A 固定在窗户底边OE 上，且与转轴底端O 之间的距离为20cm ，窗钩的另一个端点B 可在窗框边上的滑槽OF 上移动，滑槽OF 的长度为17cm ，AB 、BO 、AO 构成一个三角形．当窗钩端点B 与点O 之间的距离是7cm 的位置时（如图6-2），窗户打开的角AOB ∠的度数为37︒． （1）求窗钩AB 的长度(精确到1cm)；（2）现需要将窗户打开的角AOB ∠的度数调整到45︒时，求此时窗钩端点B 与点O 之间的距离(精确到1cm)．（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈，2 1.4≈）23．（本题满分12分，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分6分）已知：如图7，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、边BC 的延长线上，四边形AEFD 是菱形，菱形的对角线AF 分别交DE 、DC 于点P 、Q ，AF EFBF PF=． 求证：（1）四边形ABCD 为矩形；（2）BE DQ FQ PE ⋅=⋅．图7AB CDEFP Q A B O EF图6-1E A图6-2在平面直角坐标系中（如图8），已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -、()6,0B ，与y 轴交于点C ，点D 是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD 与直线BC 交于点E ．（1）求b 、c 的值和直线BC 的表达式； （2）设45CAD ∠=︒，求点E 的坐标；（3）设点D 的横坐标为d ，用含d 的代数式表示△ACE 与△DCE 的面积比．xOy 图8yxO1 1-1在梯形ABCD 中， AD ∥BC ，AB BC ⊥， 3AD =，5CD =，3cos 5C =(如图9)．M 是边BC 上一个动点（不与点B 、C 重合），以点M 为圆心，CM 为半径作圆，M 与射线CD 、射线MA 分别相交于点E 、F ．（1）设185CE =，求证：四边形AMCD 是平行四边形； （2）联结EM ，设FMB EMC ∠=∠，求CE 的长；（3）以点D 为圆心，DA 为半径作圆，D 与M 的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时M 的半径长．备用图1备用图2M CD AB EF图9CDA BCDA B普陀区2020学年度第二学期初三质量调研数学试卷参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．(C)； 2．(B)； 3．(D)； 4．(D)； 5．(C)； 6．(A)．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）三、解答题：（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．解：原式=2- ···························································· （8分）=3． ······················································································· （2分） 20．解：()()2241331x x x x -=++-． ······························································ （2分） 去分母 ，得 ()2212423x x x x --=+-． ··········································· （2分） 化简，得 24210x x --=． ······························································ （2分） 解得 13x =-，27x =． ···································································· （2分） 经检验：7x =是原方程的根，3x =-是增根，舍去． ····························· （1分） 所以，原方程的根是7x =． ······························································ （1分） 21．解：（1）∵ 直线122y x =-+经过点C ，7．()()22a a a +-； 81； 9．2-＜x ＜4； 10．k ＜0； 11．54； 12．12x =-； 13． 5.5； 14．14；15．92︒； 16．2b a →→-； 17．18．∵ 把1x =代入122y x =-+，得32y =． ················································ （2分） 设所求正比例函数的解析式为y kx =(k ≠0)． ········································· （1分） ∵ 正比例函数y kx =的图像经过点C ， ∵ 把1x =，32y =代入y kx =，得32k =． ············································ （1分） ∵ 正比例函数的解析式为32y x =． ······················································· （1分） （2）由直线122y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，可得()4,0A ,()0,2B ． ····································································· （2分） 设平移所得函数的解析式为32y x b =+． 因为交点D 始终落在线段AB 上， 所以由平移所得函数32y x b =+的图像经过线段AB 的端点B ，可得2b =． （1分） 由平移所得函数32y x b =+的图像经过线段AB 的端点A ，可得6b =-． ···· （1分） ∵ b 的取值范围为62b -≤≤． ···························································· （1分） 22．解：（1）根据题意，可知 37AOB ∠=︒，20OA =cm ，7OB =cm ．过点A 作AH ∵OF ，垂足为点H ． ······················································ （1分） 在Rt∵OAH 中，∵ sin AHAOH AO∠=， ∵ sin 20sin3712AH AO AOH =∠=⨯︒≈(cm)．······································· （1分） 同理可得 16OH =(cm)． ···································································· （1分） 由7OB =，得9BH =(cm)． ································································ （1分）在Rt∵ABH 中，15AB =(cm)． ························ （1分）答：窗钩AB 的长度约等于15 cm ．（2）根据题意，可知 45AOB ∠=︒，20OA =cm ，15AB =cm ． 过点A 作AG ∵OF ，垂足为点G ．在Rt∵OAG 中， 2022AG OG AO ===⨯． ····················· （2分） 在Rt∵ABG 中，由勾股定理得 5BG =(cm)． ·········································· （1分）因为17OF =cm ，所以51459OB =≈-=(cm)． ····························· （2分）答：此时窗钩端点B 与点O 之间的距离约等于9 cm ． 23．证明：（1）∵AF EF BF PF =，∵ AF BFEF PF=． ·············································· （1分） ∵ AFB EFP ∠=∠，∵ ∵AFB ∵ ∵EFP ． ·············································· （1分） ∵ ABF EPF ∠=∠． ·········································································· （1分） ∵ 四边形AEFD 是菱形，∵ AF DE ⊥． ················································ （1分） 即90EPF ∠=︒．∵ 90ABC ∠=︒． ··············································································· （1分） ∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∵ 四边形ABCD 是矩形． ························ （1分） （2）证法一：∵ 四边形ABCD 是矩形，∵ AD BC =，90DCB ∠=︒． ········ （1分） ∵ 90EPF ∠=︒，∵ DPQ QCF ∠=∠．又∵ PQD CQF ∠=∠，∵ ∵DPQ ∵ ∵FCQ ． ········································· （1分） ∵DP DQFC FQ=． ················································································· （1分） ∵ 四边形AEFD 是菱形，∵ AD EF =，PE PD =． ································· （1分） ∵ BC EF =．∵ BE CF =． ······························································· （1分） ∵PE DQBE FQ=． 即 BE DQ FQ PE =． ········································································ （1分） 证法二：联结BP ．∵ 四边形AEFD 是菱形，∵ AP PF =，DFQ PFE ∠=∠． ························ （1分） ∵ 90ABF ∠=︒，∵ BP FP =．∵ PBF PFE ∠=∠．∵ PBF DFQ ∠=∠． ·········································································· （1分） ∵ 四边形ABCD 是矩形，∵ 90DCB ∠=︒． ············································ （1分） ∵ DQP DEC ∠=∠．∵ DQF DEB ∠=∠． ·········································································· （1分） ∵ ∵FQD ∵ ∵BEP ． ·········································································· （1分） ∵FQ DQBE PE=． 即 BE DQ FQ PE =． ········································································ （1分）24．解：（1）由抛物线212y x bx c =++与x 轴交于点()2,0A -、()6,0B ，得 抛物线的表达式是()()1262y x x =+-． ·················································· （1分）即：抛物线的表达式是21262y x x =--．因此，2b =-，6c =-． ······································································ （1分） 可得点C 的坐标为()0,6-． 可设直线BC 的表达式为6y kx =-．因为直线BC 过点B ，可得066x =-，解得1k =． ··································· （1分） 因此，直线BC 的表达式为6y x =-． ···················································· （1分）（2）由()6,0B ，()0,6C -，可得45ABC ∠=︒，∵45CAD ∠=︒，∵CAD ABC ∠=∠． ····················································· （1分） 又∵ACB ∠为公共角，∵△ACE ∵△BCA ． ············································ （1分） 得2AC CE CB =．∵240AC =，CB =，∵3CE =． ·············································· （1分） 由点E 在线段BC 上，可设点E 的坐标为(),6m m -，由两点距离公式222(0)[6(6)]CE m m =-+---，得22002=9m ．解得10=3m ． ∵点E 的坐标为108,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． ·································································· （1分）（3）∵△ACE 与△DCE 同高，∵ACE DCE S AES ED=△△． ··································· （1分） 过点A 作AM AB ⊥，交直线BC 于点M ，过点D 作DH AB ⊥，垂足为点H ，并与直线BC 相交于点N ．可得AM ∥DN ．∵AE AMDN=． ·························································· （1分） 2132d d =-+， ·················································· （1分）········································································ （1分） 即△ACE 与△DCE25．解：（1）过点M 作MH CE ⊥，垂足为点H ． ································· （1分）由垂径定理可得1925CH CE ==． ························································ （1分） 在Rt∵CMH 中，由cos CH C CM=，可得9355CM =．解得3CM =． ················ （1分） ∵3AD =，∵AD CM =．∵ AD ∥BC ，∵四边形AMCD 是平行四边形． ······································· （1分）（2）设M 的半径长为r ．在Rt∵CMH 中，35CH r =． 可得65CE r =． ········································· （1分） 过点E 作EG MC ⊥，垂足为点G ．在Rt∵CEG 中，1825CG r =，2425EG r =． ·············································· （1分） 可得725MG r =． ··············································································· （1分） 在梯形ABCD 中，可得4AB =，6BC =． ·············································· （1分） ∵FMB EMC ∠=∠，∵cot cot FMB EMC ∠=∠．得 762524425r r r -=，解得 296r =． ··························································· （1分） 即62955CE r ==． ·············································································· （1分） （3）由于点B 、C 在D 外，所以公共弦不会经过这两个点．①当公共弦经过点A 时，由于点A 在D 上，因此点A 必为公共弦的一个端点，即点A 也在M 上．可得MA MC r ==．在Rt∵ABM 中，由222AM AB BM =+，得()22166r r =+-， 解得 133r =．（2分） ②当公共弦经过点D 时，由于点D 是D 的圆心， 因此公共弦就是D 的的直径．可得3DP DA ==， MD DP ⊥． 过点D 作DQ MC ⊥，垂足为点Q ． 由2222MP DP MQ DQ -=+，得()229163r r -=+-，解得 173r =． ·················································································· （2分） 所以M 的半径长为133或173． M C DA B Q P。
2020年上海市普陀区中考数学二模试卷(解析版)
2020年上海市普陀区中考数学二模试卷一．选择题（共6小题）1．下列计算中，正确的是（）A．﹣22＝4B．16＝8C．3﹣1＝﹣3D．（）﹣2＝4 2．下列二次根式中，与（a＞0）属同类二次根式的是（）A．B．C．D．3．关于函数y＝﹣，下列说法中错误的是（）A．函数的图象在第二、四象限B．y的值随x的值增大而增大C．函数的图象与坐标轴没有交点D．函数的图象关于原点对称4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（）A．8B．16C．8D．165．一个事件的概率不可能是（）A．1.5B．1C．0.5D．06．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共12小题）7．计算：a•（3a）2＝．8．函数的定义域是．9．方程＝﹣x的解是．10．已知一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，那么x＝．11．如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是．12．已知一件商品的进价为a元，超市标价b元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利元．（用含有a、b的代数式表示）13．如果关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是．14．已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是．15．今年3月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示．如果锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，那么锻炼时间在4﹣6小时的学生的频率是．16．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是．17．将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cot B＝，点P为边AB上一点，将△BPC沿着PC翻折得到△B′PC，B′C与边AB的交于点D，如果△B′PD恰好为直角三角形，那么BP＝．三．解答题（共7小题）19．先化简，再求值：﹣÷，其中x＝+1．20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+n的图象都经过点A（﹣2，0），且分别与y轴交于点B和点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）设点D在直线y＝﹣x+n上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D 的坐标．22．一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面MD的正侧面示意图，其中AB表示显示屏的宽，AB与墙面MD的夹角α的正切值为，在地面C处测得显示屏顶部A的仰角为45°，屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处与墙面之间的水平距离CD为3.4米，求显示屏的宽AB的长．（结果保留根号）23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．25．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC 于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列计算中，正确的是（）A．﹣22＝4B．16＝8C．3﹣1＝﹣3D．（）﹣2＝4【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂计算，判断即可．【解答】解：A、﹣22＝﹣4，本选项计算错误；B、16＝＝4，本选项计算错误；C、3﹣1＝，本选项计算错误；D、（）﹣2＝＝4，本选项计算正确；故选：D．2．下列二次根式中，与（a＞0）属同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答．【解答】解：A.，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；B.，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；C.，与的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确；D.与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意．故选：C．3．关于函数y＝﹣，下列说法中错误的是（）A．函数的图象在第二、四象限B．y的值随x的值增大而增大C．函数的图象与坐标轴没有交点D．函数的图象关于原点对称【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵函数y＝﹣，∴该函数的图象在第二、四象限，故选项A正确；在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B错误；函数的图象与坐标轴没有交点，故选项C正确；函数的图象关于原点对称，故选项D正确；故选：B．4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（）A．8B．16C．8D．16【分析】由矩形的性质得出OA＝BO，证△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝90°，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AC＝BD＝2OB＝8，∴OA＝BO，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4，∴AD＝＝＝4，∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝4×4＝16；故选：D．5．一个事件的概率不可能是（）A．1.5B．1C．0.5D．0【分析】根据概率的知识，可以得到概率的最大与最小值，从而可以解答本题．【解答】解：一个事件的概率最大是1，最小是0，故选项A错误，故选：A．6．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，∴，，∴＝2，故①正确；AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；OC⊥BD，故③正确；∠AOD＝3∠BOC，故④正确；故选：C．二．填空题（共12小题）7．计算：a•（3a）2＝9a3．【分析】先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算．【解答】解：原式＝a•9a2＝9a3，故答案为：9a3．8．函数的定义域是x≠﹣1．【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．故答案为x≠﹣1．9．方程＝﹣x的解是x＝0．【分析】先两边平方得到x2﹣5x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣5）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣5＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝5，检验原方程的解为x＝0．【解答】解：把方程＝﹣x两边平方，得5x＝x2，∴x2﹣5x＝0，∴x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，∴x1＝0，x2＝5．检验：把x1＝0，x2＝5代入方程＝﹣x，可知x1＝0是原方程的根，x2＝5是原方程的增根，所以原方程的解为x＝0．故答案为：x＝0．10．已知一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，那么x＝4．【分析】根据一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，可以求得x的值，本题得以解决．【解答】解：∵一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，∴（1+3+2+5+x）÷5＝3，解得，x＝4，故答案为：4．11．如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是x ﹣2y＝0或x+y＝0．【分析】由于二元二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0进行因式分解可以变为（x﹣2y）（x+y）＝0，即可解决问题．【解答】解：∵x2﹣xy﹣2y2＝0，∴（x﹣2y）（x+y）＝0，∴x﹣2y＝0或x+y＝0．故答案为：x﹣2y＝0或x+y＝012．已知一件商品的进价为a元，超市标价b元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利（0.8b﹣a）元．（用含有a、b的代数式表示）【分析】根据“标价×＝售价”用代数式表示出售价，再根据“售价﹣进价＝利润”用代数式表示盈利．【解答】解：根据题意得，每件商品盈利（0.8b﹣a）元，故答案为：（0.8b﹣a）．13．如果关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是m＜1．【分析】根据直接开平方法定义即可求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，∴m﹣1＜0，解得m＜1，所以m的取值范围是m＜1．故答案为：m＜1．14．已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是2．【分析】正方形的边心距就是正方形的中心到正方形的边的距离，利用边长的一半和边心距、半径围成直角三角形求解即可．【解答】解：如图，根据正方形的性质知：△BOC是等腰直角三角形，过O作OE⊥BC于E，∵正方形的半径是4，∴BO＝4，∴OE＝BE＝BO＝2，故答案为：2．15．今年3月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示．如果锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，那么锻炼时间在4﹣6小时的学生的频率是0.25．【分析】先由锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，人数为8求出被调查的总人数，再根据频率＝频数÷总人数可得答案．【解答】解：∵锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，人数为8，∴被调查的总人数为8÷20%＝40（人），则锻炼时间在4﹣6小时的学生的频率是10÷40＝0.25，故答案为：0.25．16．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是﹣+．【分析】利用平行线分线段成比例定理求出，根据三角形法则求出，证明DO＝DC 即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，∵＝，∴＝3，∵△DOE∽△COB，∴＝＝，∴OD＝OC＝CD，∵＝+，∴＝﹣+3，∴＝﹣+，故答案为：﹣+．17．将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是y＝10x．【分析】分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为5，求出k的值即可．【解答】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，∴k＞0，∴当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向上平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx+k，∴与x轴的交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，k），∵它的坐标轴三角形的面积为5，∴＝5，∴k＝10，∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，∵当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向下平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx﹣k，∴与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣k），∵它的坐标轴三角形的面积为5，∴＝5，∴k＝10，∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，故答案为：y＝10x．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cot B＝，点P为边AB上一点，将△BPC沿着PC翻折得到△B′PC，B′C与边AB的交于点D，如果△B′PD恰好为直角三角形，那么BP＝4或．【分析】分两种情形：如图1中，当∠DPB′＝90°时，过点C作CH⊥AB于H．如图2中，当∠PDB′＝90°时，设BP＝PB′＝x．分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，当∠DPB′＝90°时，过点C作CH⊥AB于H．∵cot B＝＝，AC＝6，∴BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵•BC•AC＝•AB•CH，∴CH＝，∵∠B+∠A＝90°，∠B′+∠PDB′＝90°，∠B＝∠B′，∠PDB′＝∠ADC，∴∠ADC＝∠A，∴AC＝CD＝6，∵CH⊥AD，∴AH＝DH＝＝＝，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣＝，DB′＝CB′﹣CD＝CB﹣CA＝2，设PB＝x，在Rt△PDB′中，则有x2+（﹣x）2＝22，解得x＝或（舍弃），如图2中，当∠PDB′＝90°时，设BP＝PB′＝x．在Rt△PDB′中，则有x2＝（﹣x）2+（）2，解得x＝4，综上所述，满足条件的PB的值为或4．故答案为4或．三．解答题（共7小题）19．先化简，再求值：﹣÷，其中x＝+1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝﹣•＝﹣＝，当x＝+1时，原式＝＝＝2﹣3．20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣1，将不等式解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．21．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+n的图象都经过点A（﹣2，0），且分别与y轴交于点B和点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）设点D在直线y＝﹣x+n上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D 的坐标．【分析】（1）依据一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+n的图象都经过点A（﹣2，0），即可得到m和n的值，进而得出B、C两点的坐标；（2）依据S△ABC+S△BCD＝15，即可得到点D的横坐标，进而得出点D的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝2x+m，解得m＝4，∴y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，即B（0，4），将A（﹣2，0）代入y＝﹣x+n，解得n＝﹣1，∴y＝﹣x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，即C（0，﹣1），（2）如图，过D作DE⊥BC于E，当△ABD的面积为15时，S△ABC+S△BCD＝15，即AO×BC+DE×BC＝15，∴×2×5+×DE×5＝15，∴DE＝4，y＝﹣x﹣1中，令x＝4，则y＝﹣3，∴D（4，﹣3）．22．一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面MD的正侧面示意图，其中AB表示显示屏的宽，AB与墙面MD的夹角α的正切值为，在地面C处测得显示屏顶部A的仰角为45°，屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处与墙面之间的水平距离CD为3.4米，求显示屏的宽AB的长．（结果保留根号）【分析】过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，设AP＝BN＝2x，AN＝PB＝5x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，∵tan∠ABM＝，∴设AP＝BN＝2x，AN＝PB＝5x，∵BD＝2，CD＝3.4，∴HN＝2，CH＝3.4﹣2x，∴AH＝5x+2，∵∠ACD＝45°，∴AH＝CH，∴3.4﹣2x＝5x+2，解得：x＝0.2，∴PB＝1，AP＝0.4，∴AB＝＝＝（米），答：显示屏的宽AB的长为米．23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC，结合EA＝EC知EO⊥AC，从而得证；（2）先由∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形得∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，据此可证△FCD∽△F AE得＝，结合CD＝AD，AE＝CE可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，∴△FCD∽△F AE，∴＝，∵CD＝AD，AE＝CE，∴＝，即EC•CF＝AF•AD．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．【解答】解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，∴A（3，0），把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，∴a＝1，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）；（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，由题意得：D（2+，1），∵B（0，1），C（2，﹣1），∴BC＝＝2，BD＝2+，∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，只能△CBP∽△DBC，∴，即，∴BP＝8﹣4，∴P（0，4﹣7）；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，由旋转得：∠CBD＝∠ABE，∴∠EBD＝∠ABC，∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，∴E（2m，m+1），∵点E在抛物线上，∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，4m2﹣9m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝（舍），∴E（4，3）．25．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．【分析】（1）证OF为梯形ABCD的中位线，得出r＝OF＝（AD+BC）＝3即可；（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，则CM＝BC﹣BM＝4，由勾股定理得出DC＝2，由四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，进而得出答案；（3）证OG是梯形ABCD的中位线，得出OG∥AD，OG＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得OD＝，分三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）∵OF∥BC，OA＝OB，∴OF为梯形ABCD的中位线，∴OF＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，即⊙O的半径长为3；（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：则BM＝AD＝1，∴CM＝BC﹣BM＝4，∴DC＝＝＝2，∵四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，∴（1+5）×2r＝×2×y+×r×1+×r×5，整理得：y＝；（3）△ODG能成为等腰三角形，理由如下：∵点G为DC的中点，OA＝OB，∴OG是梯形ABCD的中位线，∴OG∥AD，OG＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得：OD＝＝，分三种情况：①DG＝DO时，则＝，无解；②OD＝OG时，如图2所示：＝3，解得：r＝2；③GD＝GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：∠GOD＝∠GDO，∵OG∥AD，∴∠ADO＝∠GOD，∴∠ADO＝∠GDO，在△ADO和△HDO中，，∴△ADO≌△HDO（AAS），∴OA＝OH，则此时圆O和CD相切，不合题意；综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r＝2．。
2020年上海市中考数学二模试卷及解析
2020年上海市二模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为( )A. 324×105B. 32.4×106C. 3.24×107D. 0.32×1082. 如果关于x 的方程x −m +2=0(m 为常数)的解是x =−1，那么m 的值是( )A. m =3B. m =−3C. m =1D. m =−13. 将抛物线y =x 2−2x −1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是( )A. y =x 2−2xB. y =x 2−2x −2C. y =x 2−x −1D. y =x 2−3x −14. 现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是175cm ，方差分别是S 甲2、S 乙2，如果S 甲2>S 乙2，那么两个队中队员的身高较整齐的是( )A. 甲队B. 乙队C. 两队一样整齐D. 不能确定5. 已知|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=3，而且b ⃗ 和a ⃗ 的方向相反，那么下列结论中正确的是( ) A. a ⃗ =3b ⃗ B. a ⃗ =−3b ⃗ C. b ⃗ =3a ⃗ D. b ⃗ =−3a ⃗6. 对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 ( )A. 正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B. 正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C. 正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D. 正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补二、填空题（本大题共12小题，共48分） 7. 计算：a 6÷a 3=______．8. 分解因式：2a 2−4a =______．9. 已知关于x 的方程x 2+3x −m =0有两个相等的实数根，则m 的值为______． 10. 不等式组{x +1≥0x −1<1的解集是______．11. 方程√2x −1=1的根是______． 12. 已知反比例函数y =2k+1x的图象经过点(2,−1)，那么k 的值是______．13. 不透明的袋中装有8个小球，这些小球除了有红白两种颜色外其它都一样，其中2个小球为红色，6个小球为白色，随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为______．14. 在一次有12人参加的测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、4、3、2、2，那么这组数据的众数是______分．15. 在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3，BC =3√3，以点A 为圆心作圆A ，要使B 、C两点中的一点在圆A 外，另一点在圆A 内，那么圆A 的半径长r 的取值范围是______． 16. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 的线段EF 与AD 、BC 分别交于点E 、F ，如果AB =4，BC =5，OE =32，那么四边形EFCD 的周长为______．17. 各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick,1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S =a +12b −1，其中a 表示多边表内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是______．18. 如图，点M 的坐标为(3,2)，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线y =−x 平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值可以是______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19. 计算：(−2018)0+(12)−2−12+tan60∘+√(3−π)2．四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 解方程：16x 2−4=x+2x−2−1x+2．21. 如图已知：△ABC 中，AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点，BC =11，AD =12，DFGH 为边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上． (1)求BD 的长度； (2)求cos ∠EDC 的值．22.某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设打乒乓x次时，所需总费用为y元．(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请根据函数图象，写出选择哪种消费方式更合算．23.如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，△EBC沿直线EC翻折，使B点落在矩形ABCD内部的点P处，联结AP并延长AP交CD于点F，联结BP交CE于点Q．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)如果PA=PE，求证：△APB≌△EPC．24.在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y=mx2−2x+n(m、n是常数)经过点A(−2,3)、B(−3,0)，与y轴的交点为点C．(1)求此抛物线的表达式；(2)点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；(3)设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．25.在圆O中，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一点(与点A、B不重合)，点M是弦BC的中点．(1)如图1，如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；(2)如图2，如果AM⊥OC于点E，求sin∠ABC的值；(3)如图3，如果AB：BC=5：4，点D为弦BC上一动点，过点D作DF⊥OC，交半径OC于点H，与射线BO交于圆内点F.探究一：如果设BD=x，FO=y，求y关于x的函数解析式及其定义域；探究二：如果以点O为圆心，OF为半径的圆经过点D，直接写出此时BD的长度；请你完成上述两个探究．答案和解析1.【答案】C【解析】解：32400000=3.24×107元．故选：C．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：把x=−1，代入方程关于x的方程x−m+2=0(m为常数)得：−1−m+2=0，解得：m=1，故选：C．理解一元一次的解和解一元一次方程的概念是解此题的关键．本题考查了一元一次方程两个概念，重点是理解一元一次方程的解和会解一元一次方程．3.【答案】A【解析】解：∵将抛物线y=x2−2x−1向上平移1个单位，∴平移后抛物线的表达式y=x2−2x−1+1，即y=x2−2x．故选：A．根据向上平移纵坐标加求得结论即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．4.【答案】B【解析】【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定，故比较方差后可以作出判断．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2>S乙2，∴两个队中队员的身高较整齐的是：乙队．故选：B．5.【答案】D【解析】解：∵|a |=1,|b⃗|=3，而且b⃗ 和a⃗的方向相反，∴b⃗=−3a，故选：D．根据平面向量的性质即可解决问题．本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】B【解析】解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项错误；B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．故选：B．利用正多边形的对称轴的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．7.【答案】a3【解析】解：a6÷a3=a6−3=a3．故应填a3．根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可．本题主要考查同底数幂的除法运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．8.【答案】2a(a−2)【解析】解：2a2−4a=2a(a−2)．故答案为：2a(a−2)．观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．本题考查了因式分解的基本方法一---提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．9.【答案】−94【解析】解：∵关于x的方程x2+3x−m=0有两个相等的实数根，∴△=32−4×1×(−m)=0，解得：m=−94，故答案为：−94．根据方程有两个相等的实数根得出△=0，求出m的值即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac的关系是解答此题的关键．10.【答案】−1≤x<2【解析】解：{x+1≥0 ①x−1<1 ②由①得：x≥−1，由②得：x<2，∴不等式组的解集为−1≤x<2．故答案为−1≤x<2．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．11.【答案】1【解析】解：两边平方得2x−1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．本题思路是两边平方后去根号，解方程．平方时可能产生增根，要验根．12.【答案】k=−32【解析】解：∵反比例函数y=2k+1x的图象经过点(2,−1)，∴−1=2 k+12∴k=−32；故填k=−32．根据点的坐标与函数解析式的关系，将点的坐标代入，可以得到−1=2 k+12，然后解方程，便可以得到k的值．本题侧重考查利用待定系数法求函数的解析式的方法，可以结合代入法进行解答13.【答案】14【解析】【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．用红色小球的个数除以球的总个数即可得．【解答】解：∵袋子中共有8个小球，其中红色小球有2个，∴随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为26+2=28=14，故答案为：14．14.【答案】95【解析】解：∵95分出现了4次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是95分；故答案为：95．根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．此题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．15.【答案】3<r<6【解析】解：∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=3√3，∴AB=6，如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r>3，点B在圆A外，则r<6，因而圆A半径r的取值范围为3<r<6．故答案为3<r<6；熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内”即可求解，本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内．16.【答案】12【解析】解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE=∠COF，∴△OAE≌△OCF(AAS)，∴OF=OE=1.5，CF=AE，∴四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE=ED+AE+CD+OE+OF=AD+CD+OE+OF=4+5+1.5+1.5=12．故答案为：12．根据平行四边形的性质知，AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE和∠COF是对顶角相等，根据全等三角形的性质得到OF=OE=1.5，CF=AE，所于是得到结论．本题利用了平行四边形的性质，由已知条件先证出△OAE≌△OCF，再全等三角形的性质，转化边的关系后再求解．17.【答案】6【解析】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，∴a=4，b=6，∴格点多边形的面积S=a+12b−1=4+12×6−1=6．故答案为：6．分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S=a+12b−1，即可得出格点多边形的面积．本题考查格点多边形面积的计算，解题的关键是根据图形正确统计出a，b的值．18.【答案】2或3(答一个即可)【解析】解：设直线l：y=−x+b．如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．由直线l：y=−x+b可知∠PDO=∠OPD=45°，∴∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E(1,0)，F(0,−1)．∵M(3,2)，F(0,−1)，∴线段MF中点坐标为(32,1 2 ).直线y=−x+b过点(32,12)，则=−32+b，解得：b=2，∴t=2．∵M(3,2)，E(1,0)，∴线段ME中点坐标为(2,1)．直线y=−x+b过点(2,1)，则1=−2+b，解得：b=3，∴t=3．故点M关于l的对称点，当t=2时，落在y轴上，当t=3时，落在x轴上．故答案为：2或3(答一个即可)．找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．考查了一次函数的图象与几何变换．注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法．19.【答案】解：原式=1+4−2+√3π−3=π+√3．【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：方程两边同乘以(x+2)(x−2)得：16=(x+2)2−(x−2)，整理得：x2+3x−10=0，解此方程得：x1=−5，x2=2，经检验x1=−5是原方程的解，x2=2是增根(舍去)，所以原方程的解是：x=−5．【解析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．21.【答案】解：(1)∵四边形DFGH为顶点在△ABD边长的正方形，且边长为4，∴GF//BD，GF=DF=4，∴GFBD =AFAD，∵AD=12，∴AF=8，则4BD =812，解得：BD=6；(2)∵BC=11，BD=6，∴CD=5，在直角△ADC中，AC2=AD2+DC2，∴AC=13，∵E是边AC的中点，∴ED=EC，∴∠EDC=∠ACD，∴cos∠EDC=cos∠ACD=513．【解析】(1)由四边形DFGH为边长为4的正方形得GFBD =AFAD，将相关线段的长度代入计算可得；(2)先求出CD、AC的长，再由E是边AC的中点知ED=EC，据此得∠EDC=∠ACD，再根据余弦函数的定义可得答案．本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质、勾股定理、三角函数的应用及直角三角形的性质等．22.【答案】解：(1)由题意可得，选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为：y=10x+150，选择普通票消费时，y与x之间的函数关系式为：y=20x；(2)当10x+150=20x时，得x=15，当10x+150=600时，得x=45，答：当打球次数不足15次时，选择普通票最合算，当打球次数介于15次到45次之间时，选择银卡最合算，当打球次数超过45次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为15次时，选择普通票或银卡同为最合算，当打球次数恰为45次时，选择金卡或银卡同为最合算．【解析】(1)根据题意可以直接写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；(2)根据函数图象和(1)中的函数解析式可以分别求得普通票消费和银卡消费相等的情况，银卡消费和金卡消费相等的情况，再根据图象即可解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．23.【答案】证明：(1)由折叠得到EC垂直平分BP，设EC与BP交于Q，∴BQ=EQ∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴EQ为△ABP的中位线，∴AF//EC，∵AE//FC，∴四边形AECF为平行四边形；(2)∵AF//EC，∴∠APB=∠EQB=90°，由翻折性质∠EPC=∠EBC=90°，∠PEC=∠BEC，∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP=EP，∴△AEP为等边三角形，∠BAP=∠AEP=60°，∠CEP=∠CEB=180°−60°2=60°，在△ABP和△EPC中，{∠BAP=∠CEP ∠APB=∠EPC AP=EP，∴△ABP≌△EPC(AAS)．【解析】(1)由折叠的性质得到BE=PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE= EB=PE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；(2)根据三角形AEP 为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP =EB ，利用AAS 即可得证．此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24.【答案】解：(1)依题意得：{4m +4+n =39m +6+n =0， 解得：{m =−1n =3， ∴抛物线的表达式是y =−x 2−2x +3．(2)∵抛物线y =−x 2−2x +3与y 轴交点为点C ，∴点C 的坐标是(0,3)，又点B 的坐标是(−3,0)，∴OC =OB =3，∠CBO =45°，∴∠DBO =30°或60°．在直角△BOD 中，DO =BO ⋅tan ∠DBO ，∴DO =√3或3√3，∴CD =3−√3或3√3−3．(3)由抛物线y =−x 2−2x +3得：对称轴是直线x =−1，根据题意：设P(−1,t)，又点C 的坐标是(0,3)，点B 的坐标是(−3,0)，∴BC 2=18，PB 2=(−1+3)2+t 2=4+t 2，PC 2=(−1)2+(t −3)2=t 2−6t +10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t 2−6t +10，解之得：t =−2，②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2−6t +10=4+t 2，解之得：t =4，③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2−6t +10=18，解之得：t 1=3+√172，t 2=3−√172．综上所述P 的坐标为(−1,−2)或(−1,4)或(−1,3+√172)或(−1,3−√172)．【解析】(1)将点A 和点B 坐标代入解析式求解可得；(2)先求出点C 坐标，从而得出OC =OB =3，∠CBO =45°，据此知∠DBO =30°或60°，依据DO =BO ⋅tan ∠DBO 求出得DO =√3或3√3，从而得出答案；(3)设P(−1,t)，知BC 2=18，PB 2=4+t 2，PC 2=t 2−6t +10，再分点B 、点C 和点P 为直角顶点三种情况分别求解可得．本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．25.【答案】解：(1)过点O 作ON//BC 交AM 于点N ，如图1∴AOAB =ONBM，ONMC=OECE，∵AO=BO=12AB∴AOAB=ONBM=12∵点M是弦BC的中点∴BM=MC∴OECE =ONBM，∴OE：CE=1：2；(2)联结OM，如图2∵点M是弦BC的中点，OM经过圆心O ∴OM⊥BC，∠OMC=90°，∵AM⊥OC，∴∠MEO=90°∴∠OMC=∠MEO=90°又∠MOC=∠EOM ∴△MOC∽△EOM；∴OMOE =OCOM，∵OE：CE=1：2∴OM=√33OC，∵OB=OC∴∠ABC=∠OCM在直角△MOC中，sin∠OCM=OMOC =√33∴sin∠ABC=√33；(3)探究一：如图3，过点D作DL⊥DF交BO于点L，取BC中点M，连接OM∵DF⊥OC，∴DL//OC，∴∠LDB=∠C=∠B ∴BL=DL，∵AB=10，AB：BC=5：4，∴BC=8，OC=5，∵BM=CM=4，∴cos∠OCM=MCOC=CHCD=45∵DL//OC，∴BLOB=BDBC设BD=x，则CD=8−x，∴BL=DL=58x，CH=45(8−x)，OH=OC−CH=5−45(8−x)，∵OH//DL，∴OHLD =OFFL，∴45x−7558=yy+5−58y；∴y关于x的函数解析式是y=207x−5定义域是74≤x<72，探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，∴OF=OD，∵DF⊥OC，∴OC垂直平分DF，FO=OL，∴y=5−58x，∴207x−5=5−58x，解得：x=11219，∴BD=11219．【解析】(1)如图1，过点O作ON//BC交AM于点N，根据三角形的中位线的性质得到ON=12BM，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；(2)如图1，连接OM，根据垂径定理得到OM⊥BC，根据余角的性质得到∠OME=∠MCE，根据相似三角形的性质得到ME2=OE⋅CE，设OE=x，则CE=2x，ME=√2x，解直角三角形即可得到结论；(3)探究一：如图2，过点D作DL⊥DF交BO于点L，根据平行线的性质得到∠LDB=∠C=∠B，根据等腰三角形的判定定理得到BL=DL，设BD=x，则CD=8−x，BL=DL=58x，CH=45(8−x)，OH=OC−CH=5−45(8−x)，根据平行线成线段成比例定理得到y=20x−357(其中74≤x<72)；探究二：根据题意得到OF=OD，根据等腰三角形的性质得到DF⊥OC，根据直角三角形的性质得到FO=OL，列方程即可得到结论．本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．。
上海市普陀区2019-2020学年中考数学第二次调研试卷含解析
上海市普陀区2019-2020学年中考数学第二次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若点A （2，1y ），B （-3，2y ），C （-1，3y ）三点在抛物线24y x x m =--的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（ ）A ．123y y y ＞＞B ．213y y y ＞＞C ．231y y y ＞＞D ．312y y y ＞＞2．如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE=OB ，∠AOC=84°，则∠E 等于（ ）A ．42°B ．28°C ．21°D ．20°3．函数y=12x +中，x 的取值范围是（ ） A ．x≠0B ．x ＞﹣2C ．x ＜﹣2D ．x≠﹣24．下面的几何体中，主视图为圆的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦，连接AD ，AC ，BD ，则DAB ∠与C ∠的数量关系为（ ）A ．DABC ∠=∠ B ．2DAB C ∠=∠ C ．90DAB C ∠+∠=︒D ．180DAB C ∠+∠=︒6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB＝14，BC＝1．则∠BDC的度数是（）A．15°B．30°C．45°D．60°7．如图的平面图形绕直线l旋转一周，可以得到的立体图形是（）A．B．C．D．8．如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°．将△BMN沿着MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（）A．70°B．80°C．90°D．100°9．计算－－|－3|的结果是()A．－1 B．－5 C．1 D．510．衡阳市某生态示范园计划种植一批梨树，原计划总产值30万千克，为了满足市场需求，现决定改良梨树品种，改良后平均每亩产量是原来的1.5倍，总产量比原计划增加了6万千克，种植亩数减少了10亩，则原来平均每亩产量是多少万千克？设原来平均每亩产量为x万千克，根据题意，列方程为()A．3036101.5x x-=B．3030101.5x x-=C．3630101.5x x-=D．3036101.5x x+=11．有个零件(正方体中间挖去一个圆柱形孔)如图放置，它的主视图是()A ．B ．C ．D ．12．将一圆形纸片对折后再对折，得到下图，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为_______．14．关于x 的一元二次方程x 2+bx+c ＝0的两根为x 1＝1，x 2＝2，则x 2+bx+c 分解因式的结果为_____． 15．Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B 的直线把△ABC 分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．16．如图，Rt ABC ∆中，ACB=90∠︒，AC=CB=42，BAD=ADE=60∠∠︒，AD=5，CE 平分ACB ∠，DE 与CE 相交于点E ，则DE 的长等于_____.17．已知x=2是一元二次方程x 2﹣2mx+4=0的一个解， 则m 的值为 ．18．如图，在▱ABCD 中，AC 是一条对角线，EF ∥BC ，且EF 与AB 相交于点E ，与AC 相交于点F ，3AE ＝2EB ，连接DF ．若S △AEF ＝1，则S △ADF 的值为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，∠MON 的边OM 上有两点A 、B 在∠MON 的内部求作一点P ，使得点P 到∠MON 的两边的距离相等，且△PAB 的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法）20．（6分）地球环境问题已经成为我们日益关注的问题.学校为了普及生态环保知识，提高学生生态环境保护意识，举办了“我参与，我环保”的知识竞赛.以下是从初一、初二两个年级随机抽取20名同学的测试成绩进行调查分析，成绩如下：初一：76 88 93 65 78 94 89 68 95 5089 88 89 89 77 94 87 88 92 91初二：74 97 96 89 98 74 69 76 72 7899 72 97 76 99 74 99 73 98 74（1）根据上面的数据，将下列表格补充完整；整理、描述数据：成绩x人数班级5059x≤≤6069x≤≤7079x≤≤8089x≤≤90100x≤≤初一 1 2 3 6初二0 1 10 1 8（说明：成绩90分及以上为优秀，80～90分为良好，60～80分为合格，60分以下为不合格）分析数据：年级平均数中位数众数初一84 88.5初二84.2 74（2）得出结论：你认为哪个年级掌握生态环保知识水平较好并说明理由.（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）. 21．（6分）有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1，0)，B(x1，y1)(点B 在点A的右侧)；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣1．(1)请根据以上信息求出二次函数表达式；(1)将该函数图象x＞x1的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C(x3，y3)、D(x4，y4)、E(x5，y5)(x3＜x4＜x5)，结合画出的函数图象求x3+x4+x5的取值范围．22．（8分）地下停车场的设计大大缓解了住宅小区停车难的问题，如图是龙泉某小区的地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD＝18°，C在BD上，BC＝0.5m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入．小刚认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度．小刚和小亮谁说得对？请你判断并计算出正确的限制高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.325）23．（8分）已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞1．（1）当y1﹣y2=4时，求m的值；（2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）．∠=α，点E在对角线BD上. 将线段CE绕点C顺时针旋转24．（10分）如图，在菱形ABCD中，BADα，得到CF，连接DF.（1）求证：BE=DF；⊥.（2）连接AC，若EB=EC ，求证：AC CF25．（10分）甲、乙两家商场以同样价格出售相同的商品，在同一促销期间两家商场都让利酬宾，让利方式如下：甲商场所有商品都按原价的8.5折出售，乙商场只对一次购物中超过200元后的价格部分按原价的7.5折出售．某顾客打算在促销期间到这两家商场中的一家去购物，设该顾客在一次购物中的购物金额的原价为x（x＞0）元，让利后的购物金额为y元．（1）分别就甲、乙两家商场写出y关于x的函数解析式；（2）该顾客应如何选择这两家商场去购物会更省钱？并说明理由．26．（12分）某商城销售A，B两种自行车.A型自行车售价为2 100元/辆，B型自行车售价为1 750元/辆，每辆A型自行车的进价比每辆B型自行车的进价多400元，商城用80 000元购进A型自行车的数量与用64 000元购进B型自行车的数量相等．()1求每辆A，B两种自行车的进价分别是多少？()2现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车m辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，要求购进B型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13 000元，求获利最大的方案以及最大利润．27．（12分）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90o，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，过点D的直线交BC于点E，交AB的延长线于点P，∠A=∠PDB．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AB=4，DA=DP，试求弧BD的长；（3）如图②，点M是弧AB的中点，连结DM，交AB于点N．若tanA=，求的值．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】首先求出二次函数24y x x m =--的图象的对称轴x=2ba-=2，且由a=1＞0，可知其开口向上，然后由A （2，1y ）中x=2，知1y 最小，再由B （-3，2y ），C （-1，3y ）都在对称轴的左侧，而在对称轴的左侧，y 随x 得增大而减小，所以23y y ＞．总结可得231y y y ＞＞． 故选C ．点睛：此题主要考查了二次函数的图像与性质，解答此题的关键是（1）找到二次函数的对称轴；（2）掌握二次函数20y ax bx c a =++≠（）的图象性质．2．B 【解析】 【分析】利用OB=DE ，OB=OD 得到DO=DE ，则∠E=∠DOE ，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E ，所以∠1=2∠E ，同理得到∠AOC=∠C+∠E=3∠E ，然后利用∠E=13∠AOC 进行计算即可． 【详解】解：连结OD ，如图，∵OB=DE ，OB=OD ， ∴DO=DE ， ∴∠E=∠DOE ， ∵∠1=∠DOE+∠E ， ∴∠1=2∠E ， 而OC=OD ， ∴∠C=∠1， ∴∠C=2∠E ，∴∠AOC=∠C+∠E=3∠E ， ∴∠E=13∠AOC=13×84°=28°． 故选：B ． 【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．3．D【解析】试题分析：由分式有意义的条件得出x+1≠0，解得x≠﹣1．故选D．点睛：本题考查了函数中自变量的取值范围、分式有意义的条件；由分式有意义得出不等式是解决问题的关键．4．C【解析】试题解析：A、的主视图是矩形，故A不符合题意；B、的主视图是正方形，故B不符合题意；C、的主视图是圆，故C符合题意；D、的主视图是三角形，故D不符合题意；故选C．考点：简单几何体的三视图．5．C【解析】【分析】首先根据圆周角定理可知∠B=∠C，再根据直径所得的圆周角是直角可得∠ADB=90°，然后根据三角形的内角和定理可得∠DAB+∠B=90°，所以得到∠DAB+∠C=90°，从而得到结果.【详解】解：∵AB是Oe的直径，∴∠ADB=90°.∴∠DAB+∠B=90°.∵∠B=∠C，∴∠DAB+∠C=90°.故选C.【点睛】本题考查了圆周角定理及其逆定理和三角形的内角和定理，掌握相关知识进行转化是解题的关键.6．B【解析】【分析】只要证明△OCB是等边三角形，可得∠CDB=12∠COB即可解决问题.【详解】如图，连接OC，∵AB=14，BC=1，∴OB=OC=BC=1，∴△OCB是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠CDB=12∠COB=30°，故选B．【点睛】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的首先解决问题，属于中考常考题型．7．B【解析】【分析】根据面动成体以及长方形绕一边所在直线旋转一周得圆柱即可得答案.【详解】由图可知所给的平面图形是一个长方形，长方形绕一边所在直线旋转一周得圆柱，故选B.【点睛】本题考查了点、线、面、体，熟记各种常见平面图形旋转得到的立体图形是解题关键．8．B【解析】【分析】首先利用平行线的性质得出∠BMF=120°，∠FNB=80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，进而求出∠B的度数以及得出∠F的度数．【详解】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=120°，∠C=80°，∴∠BMF=120°，∠FNB=80°，∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，∴∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°，故选B．【点睛】主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．9．B【解析】【分析】原式利用算术平方根定义，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．【详解】原式故选：B．【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．A【解析】【分析】根据题意可得等量关系：原计划种植的亩数-改良后种植的亩数10=亩，根据等量关系列出方程即可．【详解】设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为：3036101.5x x-=．故选：A．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．11．C【解析】【分析】根据主视图的定义判断即可．【详解】解：从正面看一个正方形被分成三部分，两条分别是虚线，故C正确．故选：C．【点睛】此题考查的是主视图的判断，掌握主视图的定义是解决此题的关键．12．C【解析】【分析】严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来．【详解】根据题意知，剪去的纸片一定是一个四边形，且对角线互相垂直．故选C．【点睛】本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力．对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．5.【解析】【详解】试题解析：过E作EM⊥AB于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∴EM=AD，BM=CE，∵△ABE的面积为8，∴12×AB×EM=8，解得：EM=4，即AD=DC=BC=AB=4，∵CE=3，由勾股定理得：222243BC CE+=+考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.勾股定理．14．(x﹣1)(x﹣2)【解析】【分析】根据方程的两根，可以将方程化为：a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0（a≠0）的形式，对比原方程即可得到所求代数式的因式分解的结果．【详解】解：已知方程的两根为：x1＝1，x2＝2，可得：（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x2+bx+c＝（x﹣1）（x﹣2），故答案为：（x﹣1）（x﹣2）.【点睛】一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c是常数），若方程的两根是x1和x2，则ax2+bx+c＝a（x﹣x1）（x﹣x2）15．3.1或4.32或4.2【解析】【分析】在Rt△ABC中，通过解直角三角形可得出AC=5、S△ABC=1，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积即可．【详解】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=3，BC=4，∴AB=22AB BC+=5，S△ABC=12AB•BC=1．沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况：①当AB=AP=3时，如图1所示，S等腰△ABP=APAC•S△ABC=35×1=3.1；②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图2所示，作△ABC的高BD，则BD=·342.45AB BCAC⨯==，∴AD=DP=223 2.4-=1.2，∴AP=2AD=3.1，∴S等腰△ABP=APAC•S△ABC=3.65×1=4.32；③当CB=CP=4时，如图3所示，S等腰△BCP=CPAC•S△ABC=45×1=4.2；综上所述：等腰三角形的面积可能为3.1或4.32或4.2，故答案为：3.1或4.32或4.2．【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积，找出所有可能的分割方法，并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键．16．3【解析】【分析】如图，延长CE、DE，分别交AB于G、H，由∠BAD=∠ADE=60°可得三角形ADH是等边三角形，根据等腰直角三角形的性质可知CG⊥AB，可求出AG的长，进而可得GH的长，根据含30°角的直角三角形的性质可求出EH的长，根据DE=DH-EH即可得答案.【详解】如图，延长CE、DE，分别交AB于G、H，∵∠BAD=∠ADE=60°，∴△ADH是等边三角形，∴DH=AD=AH=5，∠DHA=60°，∵AC=BC，CE平分∠ACB，∠ACB=90°，∴AB=22AC CB=8，AG=12AB=4，CG⊥AB，∴GH=AH=AG=5-4=1，∵∠DHA=60°，∴∠GEH=30°，∴EH=2GH=2∴DE=DH-EH=5=2=3.故答案为：3【点睛】本题考查等边三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟记30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质并正确作出辅助线是解题关键.17．1．【解析】试题分析：直接把x=1代入已知方程就得到关于m的方程，再解此方程即可．试题解析：∵x=1是一元二次方程x1-1mx+4=0的一个解，∴4-4m+4=0，∴m=1．考点：一元二次方程的解．18．【解析】【分析】由3AE＝2EB，和EF∥BC，证明△AEF∽△ABC,得=,结合S△AEF＝1，可知再由==,得==,再根据S△ADF=S△ADC即可求解.【详解】解：∵3AE＝2EB，设AE=2a,BE=3a,∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC,∴=（）2=（）2=,∵S△AEF＝1，∴S△ABC=,∵四边形ABCD为平行四边形,∴∵EF∥BC,∴===,∴==,∴S△ADF=S△ADC=,故答案是：【点睛】本题考查了图形的相似和平行线分线段成比例定理,中等难度,找到相似比是解题关键.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．详见解析【解析】【分析】作∠MON的角平分线OT，在ON上截取OA′，使得OA′＝OA，连接BA′交OT于点P，点P即为所求．【详解】解：如图，点P即为所求．【点睛】本题主要考查作图-复杂作图，利用了角平分线的性质，难点在于利用轴对称求最短路线的问题．20．（1）1，2，19；（2）初一年级掌握生态环保知识水平较好．【解析】【分析】（1）根据初一、初二同学的测试成绩以及众数与中位数的定义即可完成表格；（2）根据平均数、众数、中位数的统计意义回答．【详解】（1）补全表格如下：整理、描述数据：初一成绩x满足10≤x≤19的有：11 19 19 11 19 19 17 11，共1个．故答案为：1．分析数据：在76 11 93 65 71 94 19 61 95 50 19 11 19 19 2 94 17 11 92 91中，19出现的次数最多，故众数为19；把初二的抽查成绩从小到大排列为：69 72 72 73 74 74 74 74 76 76 71 19 96 97 97 91 91 99 99 99，第10个数为76，第11个数为71，故中位数为：（76+71）÷2=2．故答案为：19，2．（2）初一年级掌握生态环保知识水平较好．因为两个年级的平均数相差不大，但是初一年级同学的中位数是11．5，众数是19，初二年级同学的中位数是2，众数是74，即初一年级同学的中位数与众数明显高于初二年级同学的成绩，所以初一年级掌握生态环保知识水平较好．【点睛】本题考查了频数（率）分布表，众数、中位数以及平均数．掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．21．（1）y=12（x﹣3）1﹣1；（1）11＜x3+x4+x5＜2．【解析】【分析】（1）利用二次函数解析式的顶点式求得结果即可；（1）由已知条件可知直线与图象“G”要有3个交点．分类讨论：分别求得平行于x轴的直线与图象“G”有1个交点、1个交点时x3＋x4＋x5的取值范围，易得直线与图象“G”要有3个交点时x3＋x4＋x5的取值范围．【详解】（1）有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣1）设二次函数表达式为：y=a（x﹣3）1﹣1．∵该图象过A（1，0）∴0=a（1﹣3）1﹣1，解得a=12．∴表达式为y=12（x﹣3）1﹣1（1）如图所示：由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点1当直线与x轴重合时，有1个交点，由二次函数的轴对称性可求x3+x4=6，∴x3+x4+x5＞11，当直线过y=12（x﹣3）1﹣1的图象顶点时，有1个交点，由翻折可以得到翻折后的函数图象为y=﹣12（x﹣3）1+1，∴令12（x﹣3）1+1=﹣1时，解得x=3+12或x=3﹣12（舍去）∴x3+x4+x5＜9+12．综上所述11＜x3+x4+x5＜9+12．【点睛】考查了二次函数综合题，涉及到待定系数法求二次函数解析式，抛物线的对称性质，二次函数图象的几何变换，直线与抛物线的交点等知识点，综合性较强，需要注意“数形结合”数学思想的应用．22．小亮说的对，CE为2.6m．【解析】【分析】先根据CE⊥AE,判断出CE为高,再根据解直角三角形的知识解答．【详解】解：在△ABD中,∠ABD＝90°,∠BAD＝18°,BA＝10m,∵tan∠BAD＝，∴BD＝10×tan18°,∴CD＝BD﹣BC＝10×tan18°﹣0.5≈2.7（m）,在△ABD中,∠CDE＝90°﹣∠BAD＝72°,∵CE⊥ED,∴sin∠CDE＝,∴CE＝sin∠CDE×CD＝sin72°×2.7≈2.6（m）,∵2.6m＜2.7m,且CE⊥AE,∴小亮说的对．答：小亮说的对,CE为2.6m．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用,主要是正弦、正切概念及运算,解决本题的关键把实际问题转化为数学问题.23．（1）m=1；（2）点P坐标为（﹣2m，1）或（6m，1）．【解析】【分析】（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y=，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1==，y2==，然后根据y1﹣y2=4列出方程﹣=4，解方程即可求出m的值；（2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程••PE=8，求出PE=4m，再由E （2m，1），点P在x轴上，即可求出点P的坐标．【详解】解：（1）设反比例函数的解析式为y=，∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），∴k=﹣4×（﹣3）=12，∴反比例函数的解析式为y=，∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2），∴y1==，y2==，∵y1﹣y2=4，∴﹣=4，∴m=1，经检验，m=1是原方程的解,故m的值是1；（2）设BD 与x 轴交于点E,∵点B （2m ，），C （6m ，），过点B 、C 分别作x 轴、y 轴的垂线，两垂线相交于点D ，∴D （2m ，），BD=﹣=，∵三角形PBD 的面积是8， ∴BD•PE=8， ∴••PE=8，∴PE=4m ，∵E （2m ，1），点P 在x 轴上，∴点P 坐标为（﹣2m ，1）或（6m ，1）．【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键．24．证明见解析【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可得BC=DC ，BAD BCD α∠∠==，再根据ECF α∠=，从而可得 BCD ECF ∠∠=，继而得BCE ∠=DCF ∠，由旋转的性质可得CE =CF ，证明BEC V ≌DFC V ，即可证得BE =DF ；（2）根据菱形的对角线的性质可得ACB ACD ∠∠=，AC BD ⊥，从而得ACB+EBC 90∠∠=︒，由EB=EC ，可得EBC=BCE ∠∠，由（1）可知，可推得DCF+ACD EBC ACB 90∠∠∠∠=+=︒，即可得ACF 90∠=︒，问题得证.【详解】（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴BC=DC ，BAD BCD α∠∠==，∵ECF α∠=，∴ BCD ECF ∠∠=，∴BCE=DCF ∠∠，∵线段CF 由线段CE 绕点C 顺时针旋转得到，∴CE=CF ，在BEC V 和DFC V 中，BC DC BCE DCF CE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴BEC V ≌()DFC SAS V ，∴BE=DF ；（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴ACB ACD ∠∠=，AC BD ⊥，∴ACB+EBC 90∠∠=︒，∵EB=EC ，∴EBC=BCE ∠∠，由（1）可知，EBC=DCF ∠∠，∴DCF+ACD EBC ACB 90∠∠∠∠=+=︒，∴ACF 90∠=︒，∴AC CF ⊥.【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握和应用相关的性质与定理是解题的关键.25．（1）y 1=0.85x ，y 2=0.75x+50 （x ＞200），y 2=x （0≤x≤200）；（2）x ＞500时，到乙商场购物会更省钱，x=500时，到两家商场去购物花费一样，当x ＜500时，到甲商场购物会更省钱．【解析】【分析】（1）根据单价乘以数量，可得函数解析式；（2）分类讨论，根据消费的多少，可得不等式，根据解不等式，可得答案．【详解】（1）甲商场写出y 关于x 的函数解析式y 1=0.85x ，乙商场写出y 关于x 的函数解析式y 2=200+（x ﹣200）×0.75=0.75x+50（x ＞200），即y 2=x （0≤x≤200）；（2）由y 1＞y 2，得0.85x ＞0.75x+50，解得x ＞500，即当x＞500时，到乙商场购物会更省钱；由y1=y2得0.85x=0.75x+50，即x=500时，到两家商场去购物花费一样；由y1＜y2，得0.85x＜0.75x+500，解得x＜500，即当x＜500时，到甲商场购物会更省钱；综上所述：x＞500时，到乙商场购物会更省钱，x=500时，到两家商场去购物花费一样，当x＜500时，到甲商场购物会更省钱．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分类讨论是解题关键．26．（1）每辆A型自行车的进价为2 000元，每辆B型自行车的进价为1 600元；（2）当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．【解析】【分析】(1)设每辆B型自行车的进价为x元,则每辆A型自行车的进价为（x+10）元,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果;(2)由总利润=单辆利润×辆数,列出y与x的关系式,利用一次函数性质确定出所求即可.【详解】（1）设每辆B型自行车的进价为x元，则每辆A型自行车的进价为（x+10）元，根据题意，得=，解得x=1600，经检验，x=1600是原方程的解，x+10=1 600+10=2 000，答：每辆A型自行车的进价为2 000元，每辆B型自行车的进价为1 600元；（2）由题意，得y=（2100﹣2000）m+（1750﹣1600）（100﹣m）=﹣50m+15000，根据题意，得，解得：33≤m≤1，∵m为正整数，∴m=34，35，36，37，38，39，1．∵y=﹣50m+15000，k=﹣50＜0，∴y随m的增大而减小，∴当m=34时，y有最大值，最大值为：﹣50×34+15000=13300（元）．答：当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元．【点睛】本题主要考查一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式组的应用.仔细审题，找出题目中的数量关系是解答本题的关键.27．（1）见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）连结OD；由AB是⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；得到∠PDO=90°，且D在圆上，于是得到结论；（2）设∠A=x，则∠A=∠P=x，∠DBA=2x，在△ABD中，根据∠A+∠ABD=90o列方程求出x的值，进而可得到∠DOB=60o，然后根据弧长公式计算即可；（3）连结OM，过D作DF⊥AB于点F，然后证明△OMN∽△FDN，根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】（1）连结OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90o，∠A+∠ABD=90o，又∵OA=OB=OD，∴∠BDO=∠ABD，又∵∠A=∠PDB，∴∠PDB+∠BDO=90o，即∠PDO=90o，且D在圆上，∴PD是⊙O的切线．（2）设∠A=x，∵DA=DP，∴∠A=∠P=x，∴∠DBA=∠P+∠BDP=x+x=2x，在△ABD中，∠A+∠ABD=90o，x=2x=90o，即x=30o，∴∠DOB=60o，∴弧BD长．（3）连结OM，过D作DF⊥AB于点F，∵点M是的中点，∴OM⊥AB，设BD=x，则AD=2x，AB==2OM，即OM=，在Rt△BDF中，DF=，由△OMN∽△FDN得．【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理及其推论，三角形外角的性质，含30°角的直角三角形的性质，弧长的计算，弧弦圆心角的关系，相似三角形的判定与性质.熟练掌握切线的判定方法是解（1）的关键，求出∠A=30o是解（2）的关键，证明△OMN∽△FDN是解（3）的关键.。
2023年上海市普陀区中考数学二模试卷【答案版】
2023年上海市普陀区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果将零下2℃记作﹣2℃，那么3℃表示（）A．零上3℃B．零下3℃C．零上5℃D．零下5℃2．下列各式中，计算结果是a6的是（）A．a3+a3B．a2•a3C．a12÷a2D．（a2）33．已知函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第一、三象限，下列说法中正确的是（）A．k＜0B．图象一定经过点（1，k）C．图象是双曲线D．y的值随x的值增大而减小4．某城市30天的空气质量状况统计如下：根据表中的信息，下列有关该城市这30天的空气质量指数的统计量中，可以确定的量是（）A．平均数B．众数C．中位数D．方差5．如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是（）A．矩形B．正方形C．等腰梯形D．直角梯形6．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，AO＝2，下面结论中不一定正确的是（）A．∠BOC＝120°B．∠BAO＝30°C．OB＝3D．点O到直线BC的距离是1二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．因式分解：x2﹣4＝．8．已知f（x）＝2x﹣3，那么f（3）＝．9．方程√x+2=x的根是．10．如果关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，那么实数m＝．11．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为 ．（无需确定x 的取值范围）12．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 ． 13．不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的10个球，其中红色球有m 个，如果从布袋中任意摸出一个球恰好为红色球的概率是15，那么m ＝ ．14．学校为了解本校初三年级学生上学的交通方式，随机抽取了本校20名初三学生进行调查，其中有2名学生是乘私家车上学，图是收集数据后绘制的扇形图．如果该校初三年级有200名学生，那么骑自行车上学的学生大约有 人．15．如图，斜坡AB 的坡度i 1＝1：√3，现需要在不改变坡高AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度i 2＝1：2.4，已知斜坡AB ＝10米，那么斜坡AC ＝ 米．16．如图，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，BO ＝2OD ，设AD →=a →，AB →=b →，那么向量OC →用向量a →、b →表示为 ．17．在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，点E 在边AD 上，AE ＝3，以点E 为圆心、AE 为半径作⊙E （如图），点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作⊙F ．如果⊙F 与⊙E 外切，那么CF 的长是 ．18．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝4，D 为AB 中点（如图），E 为射线CA 上一点，将△ADE 沿着DE 翻折得到△A ′DE ，点A 的对应点为A ′，如果∠EA ′C ＝90°，那么AE ＝ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：(14)−2+(π−2023)012+1−1812．20．（10分）解不等式组：{3x −2≤x+622(x +1)＜5x +11并把解集在数轴上表示出来．21．（10分）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，DE ∥AC ，cos C =45，AC ＝10，BE ＝2AE ． （1）求BD 的长； （2）求△BDE 的面积．22．（10分）购物节期间，A 、B 两家网店分别推出了促销活动，A 店活动：当购买的商品总金额在200元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过200元，超过200元的金额打a 折，A 店购物的实付总金额y （元）与商品总金额x （元）之间的函数关系如图所示；B 店活动：所有商品直接打七折． （1）当A 店购买的商品总金额超过200元时，求出y 与x 之间的函数解析式； （2）A 店推出的促销活动中：a ＝ ；（3）某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现A 店的单价要比B 店的单价贵1元，如果购买相同数量的优盘，在A 店的实付总金额是800元，而在B 店的实付总金额是819元请求出A 店这种型号优盘的单价．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在边BC 上，AE ⊥BD ，垂足为点F ，AB •DC ＝BF •BD ． （1）求证：四边形ABCD 为矩形；（2）过点O 作OG ⊥AC 交AD 于点G ，求证：EC ＝2DG ．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y ＝ax 2﹣2x +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （3，0），与y 轴交于点C ．抛物线的顶点为点D ． （1）求抛物线的表达式，并写出点D 的坐标；（2）将直线BC 绕点B 顺时针旋转，交y 轴于点E ．此时旋转角∠EBC 等于∠ABD ． ①求点E 的坐标；②二次函数y ＝x 2+2bx +b 2﹣1的图象始终有一．部分落在△ECB 的内部，求实数b 的取值范围．25．（14分）如图，半圆O 的直径AB ＝4，点C 是AB ̂上一点（不与点A 、B 重合），点D 是BC ̂的中点，分别联结AC 、BD ．（1）当AC 是圆O 的内接正六边形的边时，求BD 的长；（2）设AC＝x，BD＝y，求y与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长AC、BD 相交于点P，联结PO．PO是△P AB的中腰线，求AC的长．2023年上海市普陀区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．中国是最早认识正数和负数的国家，魏晋时期的数学家刘徽就提出了负数的概念，如果将零下2℃记作﹣2℃，那么3℃表示（ ） A ．零上3℃B ．零下3℃C ．零上5℃D ．零下5℃解：如果将零下2℃记作﹣2℃，那么3℃表示零上3℃． 故选：A ．2．下列各式中，计算结果是a 6的是（ ） A ．a 3+a 3B ．a 2•a 3C ．a 12÷a 2D ．（a 2）3解：A 、a 3+a 3＝2a 3，故A 不符合题意； B 、a 2•a 3＝a 5，故B 不符合题意； C 、a 12÷a 2＝a 10，故C 不符合题意； D 、（a 2）3＝a 6，故D 符合题意； 故选：D ．3．已知函数y ＝kx （k 是常数，k ≠0）的图象经过第一、三象限，下列说法中正确的是（ ） A ．k ＜0B ．图象一定经过点（1，k ）C ．图象是双曲线D ．y 的值随x 的值增大而减小解：A 、若y ＝kx 的图象经过第一、三象限，则k ＞0，∴不正确，故不符题意； B 、当x ＝1时，y ＝k ，∴B 正确，故符合题意；C 、y ＝kx 的图象是一条直线，∴C 不正确，故不符题意；D 、y ＝kx 的图象经过第一、三象限，则k ＞0，y 的值随x 的值增大而增大，∴D 不正确，故不符题意 故选：B ．4．某城市30天的空气质量状况统计如下：根据表中的信息，下列有关该城市这30天的空气质量指数的统计量中，可以确定的量是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差解：由表中数据知，这组数据的中位数是第15、16个数据的平均数，而这两个数据分别为90、90， 所以这组数据的中位数为90+902=90，故选：C．5．如果用两根长度相同的细竹签作对角线，制作一个四边形的风筝，那么做成的风筝形状不可能是（）A．矩形B．正方形C．等腰梯形D．直角梯形解：用两根同样长的竹棒做对角线，制作四边形的风筝，则该风筝的形状可能是正方形，矩形，等腰梯形，一般的四边形等，所以不可能是直角梯形．故选：D．6．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，AO＝2，下面结论中不一定正确的是（）A．∠BOC＝120°B．∠BAO＝30°C．OB＝3D．点O到直线BC的距离是1解：作OM⊥BC于M，ON⊥AB于N，∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12×（180°﹣∠BAC）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，故A正确；∵BO、CO分别平分∠ABC，∴O是△ABC的内心，∴AO平分∠BAC，∵∠BAC＝60°，∴∠BAO=12∠BAC＝30°，故B正确；OB的长在变化不一定等于3，故C不一定正确；∵∠ANO＝90°，∠NAO＝30°，∴ON =12AO =12×2＝1， ∴OM ＝ON ＝1， ∴O 到BC 的距离是1， 故D 正确． 故选：C ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．因式分解：x 2﹣4＝ （x +2）（x ﹣2） ． 解：x 2﹣4＝（x +2）（x ﹣2）． 故答案为：（x +2）（x ﹣2）．8．已知f （x ）＝2x ﹣3，那么f （3）＝ 3 ． 解：∵f （x ）＝2x ﹣3， ∵f （3）＝2×3﹣3＝3， 故答案为：3．9．方程√x +2=x 的根是 x ＝2 ． 解：方程两边平方得，x +2＝x 2， 解方程x 2﹣x ﹣2＝0得x 1＝2，x 2＝﹣1， 经检验x 2＝﹣1是原方程的增根， 所以原方程的根为x ＝2． 故答案为：x ＝2．10．如果关于x 的方程x 2﹣3x +m ＝0有两个相等的实数根，那么实数m ＝ 94．解：∵关于x 的方程x 2﹣3x +m ＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2﹣4ac ＝0， 即（﹣3）2﹣4×1×m ＝0， 解得m =94． 故答案为：94．11．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式为 y =100x．（无需确定x 的取值范围）解：根据题意近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （米）成反比例，设y =kx ， 由于点（0.25，400）在此函数解析式上， ∴k ＝0.25×400＝100， ∴y =100x ． 故答案为：y =100x． 12．一个三角形的两边长分别是2和3，若它的第三边长为奇数，则这个三角形的周长为 8 ． 解：设第三边长为x ， ∵两边长分别是2和3， ∴3﹣2＜x ＜3+2， 即：1＜x ＜5， ∵第三边长为奇数， ∴x ＝3，∴这个三角形的周长为2+3+3＝8， 故答案为：8．13．不透明的布袋中装有除颜色外完全相同的10个球，其中红色球有m 个，如果从布袋中任意摸出一个球恰好为红色球的概率是15，那么m ＝ 2 ．解：由题意得：m10=15，∴m ＝2． 故答案为：2．14．学校为了解本校初三年级学生上学的交通方式，随机抽取了本校20名初三学生进行调查，其中有2名学生是乘私家车上学，图是收集数据后绘制的扇形图．如果该校初三年级有200名学生，那么骑自行车上学的学生大约有 30 人．解：骑自行车上学的学生大约有：200×（1﹣50%﹣25%−220）＝30（人）， 故答案为：30．15．如图，斜坡AB 的坡度i 1＝1：√3，现需要在不改变坡高AH 的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡AC 的坡度i 2＝1：2.4，已知斜坡AB ＝10米，那么斜坡AC ＝ 13 米．解：∵i 1＝1：√3， ∴tan ∠ABH =1√3=√33， ∴∠ABH ＝30°， ∴AH =12AB =12×10＝5（米）， ∵坡度i 2＝1：2.4， ∴AH CH =12.4，即5CH=12.4，解得CH ＝12，∴AC =√CH 2+AH 2=√122+52=13（米）． 故答案为：13．16．如图，AD ∥BC ，AC 、BD 交于点O ，BO ＝2OD ，设AD →=a →，AB →=b →，那么向量OC →用向量a →、b →表示为43a →+23b → ．解：∵AD ∥BC ，∴∠ADO ＝∠CBO ，∠DAO ＝∠BCO ，∴△AOD ∽△COB ，∴AD BC=AO OC =OD BO =OD 2OD =12， ∴OC →=2AO →，∴OC →=23AC →，∵AD →=a →，∴BC →=2a →，∵AB →=b →，∴AC →=AB →+BC →=b →+2a →，∴OC →=23(b →+2a →)=43a →+23b →． 故答案为：43a →+23b →．17．在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝8，点E 在边AD 上，AE ＝3，以点E 为圆心、AE 为半径作⊙E （如图），点F 在边BC 上，以点F 为圆心、CF 为半径作⊙F ．如果⊙F 与⊙E 外切，那么CF 的长是 4116 ．解：连接EF ，作FH ⊥AD 于H ，设⊙F 的半径是r ，∵两圆外切，∴EF ＝r +3，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D ＝∠C ＝90°，∵∠DHF ＝90°，∴四边形DHFC 是矩形，∴FH ＝DC ＝5，DH ＝r ，∴EH ＝5﹣r ，∵EF 2＝EH 2+FH 2，∴（r +3）2＝（5﹣r ）2+52，∴r =4116，∴FC 的长是4116． 故答案为：4116．18．在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，AC ＝4，D 为AB 中点（如图），E 为射线CA 上一点，将△ADE 沿着DE 翻折得到△A ′DE ，点A 的对应点为A ′，如果∠EA ′C ＝90°，那么AE ＝ 32或6 ．解：①当点E 在线段AC 上时，如图，∵AB ＝6，D 为AB 中点，∴BD ＝AD =12AB =3，∵∠BAC ＝90°，AC ＝4，∴CD =√AD 2+AC 2=√32+42=5，根据折叠可知，AD ＝A ′D ＝3，AE ＝A ′E ，∠DAE ＝∠DA ′E ＝90°，∴A ′C ＝CD ﹣A ′D ＝5﹣3＝2，∠CA ′E ＝90°，设AE ＝A ′E ＝x ，则CE ＝AC ﹣AE ＝4﹣x ，在Rt △A ′CE 中，A ′C 2+A ′E 2＝CE 2，∴22+x 2＝（4﹣x ）2，解得：x =32，∴AE =32；②当点E 在的延长线上时，如图，∵AB ＝6，D 为AB 中点，∴BD ＝AD =12AB =3，∵∠BAC ＝90°，AC ＝4，∴CD =√AD 2+AC 2=√32+42=5，根据折叠可知，AD ＝A ′D ＝3，AE ＝A ′E ，∠DAE ＝∠DA ′E ＝90°，∴A ′C ＝A ′D +CD ＝3+5＝8，设AE ＝A ′E ＝a ，则CE ＝AE +AC ＝4+a ，在Rt △A ′CE 中，A ′E 2+A ′C 2＝CE 2，∴a 2+82＝（4+a ）2，解得：a ＝6，∴AE ＝6．综上，AE 的长为32或6． 故答案为：32或6． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：(14)−2+(π−2023)01√2+1−1812． 解：原式＝16+1+√2−1﹣3√2=16−2√2．20．（10分）解不等式组：{3x −2≤x+622(x +1)＜5x +11并把解集在数轴上表示出来．解：{3x −2≤x+62①2(x +1)＜5x +11②，解不等式①得x ≤2，解不等式②得x ＞﹣3，故不等式组的解集为﹣3＜x ≤2，其解集在数轴上表示如下：．21．（10分）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，DE ∥AC ，cos C =45，AC ＝10，BE ＝2AE ．（1）求BD 的长；（2）求△BDE 的面积．解：（1）∵AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°，∴cos C =CD AC ， ∴CD 10=45，∴CD ＝8，∵DE ∥AC ，∴BD CD =BE AE ，又BE ＝2AE ，∴BD 8=21， ∴BD ＝16．（2）在Rt △ACD 中，由勾股定理得，AD =√AC 2−CD 2=√102−82=6，∵BE ＝2AE ，∴S △BDE =23S △ABD =23×12AD •BD =23×12×6×16＝32． 22．（10分）购物节期间，A 、B 两家网店分别推出了促销活动，A 店活动：当购买的商品总金额在200元及以内，不享受折扣，当购买的商品总金额超过200元，超过200元的金额打a 折，A 店购物的实付总金额y （元）与商品总金额x （元）之间的函数关系如图所示；B 店活动：所有商品直接打七折．（1）当A 店购买的商品总金额超过200元时，求出y 与x 之间的函数解析式；（2）A 店推出的促销活动中：a ＝ 6 ；（3）某公司计划购买某种型号的优盘，采购员发现A 店的单价要比B 店的单价贵1元，如果购买相同数量的优盘，在A 店的实付总金额是800元，而在B 店的实付总金额是819元请求出A 店这种型号优盘的单价．解：（1）根据图象设当x ＞0时，y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx +b （k ≠0），把（200，200），（600，440）代入解析式得：{200k +b =200600k +b =440， 解得{k =35b =80，∴当x ＞200时，y 与x 之间的函数解析式为y =35x +80；（2）根据题意得：200+（600﹣200）×0.1a ＝440，解得a ＝6，故答案为：6；（3）在A 店购买：当y ＝800时，35x +80＝800， 解得x ＝1200，∴商品总金额为1200元；在B 店购买商品总金额为：8190.7=1170（元），∴两个商店商品总金额的差为1200﹣1170＝30（元），∵A 店的单价要比B 店的单价贵1元，购买优盘的数量相同，∴A 店的单价为120030=40（元）．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90°，对角线AC、BD相交于点O，点E 在边BC上，AE⊥BD，垂足为点F，AB•DC＝BF•BD．（1）求证：四边形ABCD为矩形；（2）过点O作OG⊥AC交AD于点G，求证：EC＝2DG．（1）证明：∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDB，∵AB•DC＝BF•BD，∴△ABF∽△BCD，∴∠AFB＝∠BCD，∵AE⊥BD，∴∠AFB＝∠BCD＝90°∵AB∥CD，∠BAD＝90°，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，∴四边形ABCD为矩形；（2）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB，∵OG⊥OA，AF⊥BF，∴∠GOA+∠OAG＝∠BFE+∠FBE，∴∠OGD＝∠AEC，∴△AEC∽△OGD，∴AC：OD＝EC：GD＝2：1，即EC＝2DG．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y ＝ax 2﹣2x +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）和B （3，0），与y 轴交于点C ．抛物线的顶点为点D ．（1）求抛物线的表达式，并写出点D 的坐标；（2）将直线BC 绕点B 顺时针旋转，交y 轴于点E ．此时旋转角∠EBC 等于∠ABD ．①求点E 的坐标；②二次函数y ＝x 2+2bx +b 2﹣1的图象始终有一．部分落在△ECB 的内部，求实数b 的取值范围．解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2﹣2x +c 得：{a +2+c =09a −6+c =0，解得：{a =1c =−3，∴抛物线的表达式为y ＝x 2﹣2x ﹣3；∵y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线顶点D 坐标为（1，﹣4）；（2）①如图：∵∠EBC ＝∠ABD ，∴∠EBO ＝∠CBD ，在y ＝x 2﹣2x ﹣3中，令x ＝0得y ＝﹣3，∴C （0，﹣3），∵B （3，0），D （1，﹣4），∴BC 2＝18，CD 2＝2，BD 2＝20，∴BC 2+CD 2＝BD 2，∴∠BCD ＝90°，∴tan ∠CBD =CD BC =√218=13， ∴tan ∠EBO =13，∴OEOB =13， ∵OB ＝3，∴OE ＝1，∴点E 的坐标为（0，1）；②∵y ＝x 2+2bx +b 2﹣1＝（x +b ）2﹣1，∴二次函数y ＝x 2+2bx +b 2﹣1图象的顶点为（﹣b ，﹣1），∴二次函数y ＝x 2+2bx +b 2﹣1图象的顶点在直线y ＝﹣1上左右移动，如图：当对称轴右侧的抛物线过E （0，1）时，b 2﹣1＝1， 解得：b =−√2（舍去）或b =√2；当对称轴左侧的抛物线过B （3，0）时，（3+b ）2﹣1＝0，解得：b ＝﹣4或b ＝﹣2（舍去），由图象可得，当﹣4＜b ＜√2时，二次函数y ＝x 2+2bx +b 2﹣1的图象始终有一部分落在△ECB 的内部．25．（14分）如图，半圆O 的直径AB ＝4，点C 是AB ̂上一点（不与点A 、B 重合），点D 是BĈ的中点，分别联结AC 、BD ．（1）当AC 是圆O 的内接正六边形的边时，求BD 的长；（2）设AC ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出x 的取值范围；（3）定义：三角形一边上的中线把这个三角形分成两个小三角形，如果其中有一个小三角形是等腰三角形，且这条中线是这个小三角形的腰，那么这条中线就称为这个三角形的中腰线．分别延长AC 、BD 相交于点P ，联结PO ．PO 是△P AB 的中腰线，求AC 的长．解：（1）如图1，联结OC 、OD ，∵⊙O 的直径AB ＝4，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD =12AB ＝2，∵AC 是⊙O 的内接正六边形的边，∴∠AOC =16×360°＝60°，∴∠BOC ＝180°﹣∠AOC ＝120°，∵点D 是BĈ的中点， ∴BD̂=CD ̂， ∴∠BOD ＝∠COD =12∠BOC ＝60°，∴△BOD 是等边三角形，∴BD ＝OB ＝2，∴BD 的长是2．（2）如图2．联结OD 、BC 交于点E ，∵点C 在AB̂上运动，且点C 不与点A 、B 重合， ∴0＜AC ∠4，∴0＜x ＜4，∵BD̂=CD ̂， ∴OD ⊥BC ，BE ＝CE ，∴∠OEB ＝∠DEB ＝90°，OE =12AC =12x ，∴DE ＝2−12x ，BE 2＝OB 2﹣OE 2＝22﹣（12x ）2＝4−14x 2， ∵BD 2＝DE 2+BE 2＝（2−12x ）2+4−14x 2＝8﹣2x ， ∴y 2＝8﹣2x ，∴y =√8−2x （0＜x ＜4）．（3）∵点P 在BD 的延长线上，∴点P 不在⊙O 上，∴PO ≠OB ，PO ≠OA ，当PO ＝PB 时，如图3，联结OD 、BC 交于点E ，∵BE ＝CE ，OB ＝OA ，∴OE ∥AC ，∴BD PD =BE CE =1，∴BD ＝PD ，∵∠ODB ＝∠PBO ＝∠POB ，∠OBD ＝∠PBO ， ∴△OBD ∽△PBO ，∴BD OB=OB PB =OB 2BD ， ∴BD 2=OB 22=222=2，由（2）得BD 2＝8﹣2x ＝8﹣2AC ，∴8﹣2AC＝2，解得AC＝3；当PO＝P A时，如图4，联结OD、BC交于点E，联结OC，则OA＝OC，∵BD＝PD，OB＝OA，∴P A＝2OD＝4，∵∠OCA＝∠P AO＝∠POA，∠OAC＝∠P AO，∴△OAC∽△P AO，∴ACOA =OAPA，∴AC=OA2PA=224=1，综上所述，AC的长为3或1．第21页（共21页）。
2020年上海市普陀区中考数学仿真模拟试卷解析版
2020年上海市普陀区中考数学仿真模拟试卷解析版一、选择题（每小题4分，共24分）1．下列计算中，正确的是（ ）A ．（a 2）3＝a 5B ．a 2•a 3＝a 6C ．2a •3a ＝6a 2D ．2a +3a ＝5a 22．如图，直线l 1∥l 2，如果∠1＝30°，∠2＝50°，那么∠3＝（ ）A ．20°B ．80°C ．90°D ．100°3．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，这与圆周率π有关，下列表述中，不正确的是（ ）A ．π＝3.14B ．π是无理数C ．半径为1cm 的圆的面积等于πcm 2D ．圆周率是圆的周长与直径的比值4．下列函数中，如果x ＞0，y 的值随x 的值增大而增大，那么这个函数是（ ） A ．y ＝﹣2x B ．y ＝ C ．y ＝﹣x +1 D ．y ＝x 2﹣15．如果一组数据3、4、5、6、x 、8的众数是4，那么这组数据的中位数是（ ） A ．4 B ．4.5 C ．5 D ．5.56．如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接▱ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC ⊥BD ；②C △ABO ＝C △CBO ；③∠DAO ＝∠CBO ；④∠DAO ＝∠BAO ，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题4分，共48分）7．分解因式：a 2+2a ＝ ．8．函数y ＝的定义域是 ．9．不等式组的解集是．10．月球离地球近地点的距离为363300千米，数据363300用科学记数法表示是．11．如果a＝2，b＝﹣1，那么代数式的值等于．12．如果关于x的方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个相等的实数根，那么m的值等于．13．抛物线y＝ax2﹣2ax+5的对称轴是直线．14．张老师对本校参加体育兴趣小组的情况进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图，已知参加体育兴趣小组的学生共有80名，其中每名学生只参加一个兴趣小组，根据图中提供的信息，可知参加排球兴趣小组的人数占体育兴趣小组总人数的百分数是．15．如图，传送带AB和地面BC所处斜坡的坡度为1：3，如果它把物体从地面送到离地面2米高的地方，那么物体所经过的路程是米（结果保留根号）．16．如图，AD、BE是△ABC的中线，交于点O，设＝，＝，那么向量用向量、表示是．17．如图，一个大正方形被平均分成9个小正方形，其中有2个小正方形已经被涂上阴影，在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，这个事件的概率是．18．如图，AD是△ABC的中线，点E在边AB上，且DE⊥AD，将△BDE绕着点D旋转，使得点B 与点C重合，点E落在点F处，连接AF交BC于点G，如果，那么的值等于．三、解答题（共78分）19．（10分）计算：|2sin60°﹣2|+﹣．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，，△ADE的面积等于3．（1）求△ABC的面积；（2）如果BC＝9，且cot B＝，求∠AED的正切值．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为20吨，但不超过60吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）之间是一次函数关系，其图象如图所示：（1）写出y与x的函数关系式；（2）如果每吨的成本是4.8万元，求该产品的生产数量；（3）当生产这种产品的总成本是200万元时，求该产品的生产数量．23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＜BC ，点E 在AD 的延长线上，∠ACE ＝∠BCD ，EC 2＝ED •EA ．（1）求证：四边形ABCD 为梯形；（2）如果，求证AB 2＝ED •BC ．24．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝﹣x +4m （m ＞0）与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，如图所示，点C 在线段AB 的延长线上，且AB ＝2BC ．（1）用含字母m 的代数式表示点C 的坐标；（2）抛物线y ＝﹣+bx +10经过点A 、C ，求此抛物线的表达式；（3）在位于第四象限的抛物线上，是否存在这样的点P ：使S △PAB ＝2S △OBC ，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，试说明理由．25．（14分）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5，cos ∠BAC ＝，点O 是边AC 上一个动点（不与A 、C 重合），以点O 为圆心，AO 为半径作⊙O ，⊙O 与射线AB 交于点D ，以点C 为圆心，CD 为半径作⊙C ，设OA ＝x ．（1）如图2，当点D与点B重合时，求x的值；（2）当点D在线段AB上，如果⊙C与AB的另一个交点E在线段AD上时，设AE＝y，试求y 与x之间的函数解析式，并写出x的取值范围；（3）在点O的运动过程中，如果⊙C与线段AB只有一个公共点，请直接写出x的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共24分）1．【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、合并同类项法则计算，判断即可．【解答】解：（a2）3＝a6，A选项错误；a2•a3＝a5，B选项错误；2a•3a＝6a2，C选项正确；2a+3a＝5a，D选项错误；故选：C．【点评】本题考查的是幂的乘方、同底数幂的乘法、单项式乘单项式、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．2．【分析】要求∠3的值需要在∠3的顶点作l1的平行线．【解答】解：过∠3的顶点作l1的平行线m，∴∠1＝∠4，∵l1∥l2∴m∥l2，∴∠2＝∠5∴∠3＝∠4+∠5＝∠1+∠2＝80°故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，运用了转化的数学思想．3．【分析】根据圆周率的定义即可求出答案．【解答】解：（A）π≈3.14，故A错误；故选：A．【点评】本题考查无理数，解题的关键是正确理解π，本题属于基础题型．4．【分析】直接利用一次函数以及反比例函数和二次函数的增减性进而分析得出答案．【解答】解：A、y＝﹣2x，x＞0时，图象满足y的值随x的值增大而减小，故此选项错误；B 、y ＝，x ＞0时，图象满足y 的值随x 的值增大而减小，故此选项错误；C 、y ＝﹣x +1，x ＞0时，图象满足y 的值随x 的值增大而减小，故此选项错误；D 、y ＝x 2﹣1，x ＞0时，图象满足y 的值随x 的值增大而增大，故此选项正确．故选：D ．【点评】此题主要考查了函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键．5．【分析】根据众数为4，可得x ＝4，然后把这组数据按照从小到大的顺序排列，找出中位数．【解答】解：∵数据3、4、5、6、x 、8的众数是4，∴x ＝4，这组数据按照从小到大的顺序排列为：3、4、4、5、6、8，则中位数为：（4+5）＝4.5．故选：B ．【点评】本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6．【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【解答】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①∵AC ⊥BD ，∴新的四边形成为矩形，符合条件；②∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ，BO ＝DO ．∵C △ABO ＝C △CBO ，∴AB ＝BC ．根据等腰三角形的性质可知BO ⊥AC ，∴BD ⊥AC ．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠CBO ＝∠ADO ．∵∠DAO ＝∠CBO ，∴∠ADO ＝∠DAO ．∴AO ＝OD ．∴AC ＝BD ，∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件； ④∵∠DAO ＝∠BAO ，BO ＝DO ，∴AO ⊥BD ，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C．【点评】本题主要考查矩形的判定、平行四边形的性质、三角形中位线的性质．二、填空题（每小题4分，共48分）7．【分析】直接提公因式法：观察原式a2+2a，找到公因式a，提出即可得出答案．【解答】解：a2+2a＝a（a+2）．【点评】考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．8．【分析】求函数的定义域就是找使函数有意义的自变量的取值范围．【解答】解：函数要有意义，则3x﹣1≠0，解得：x≠．故答案是：x≠．【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，关键要知道函数有意义的自变量的取值范围．9．【分析】首先解每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，即是不等式组的解集．【解答】解：，解不等式2x﹣1＜0，得：x＜，解不等式x﹣3≤4x，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜．故答案为：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．10．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：363300＝3.633×105，故答案为3.633×105．【点评】本题考查了科学记数法表示较大的数，正确移动小数点位数是解题的关键．11．【分析】将a与b代入代数式即可求出答案．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣1，∴原式＝＝，故答案为：；【点评】本题考查算术平方根，解题的关键熟练运用算术平方根的定义是，本题属于基础题型．12．【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值【解答】解：依题意，∵方程x2﹣3x+m﹣2＝0有两个相等的实数根∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4（m﹣2）＝0，解得m＝故答案为：【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△＝b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实根，当△＝b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△＝b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．13．【分析】直接利用二次函数对称轴公式计算得出答案．【解答】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+5的对称轴是直线：x＝﹣＝1．故答案为：x＝1．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确记忆对称轴公式是解题关键．14．【分析】根据题意求出参加篮球兴趣小组的人数，计算即可．【解答】解：由题意得，参加篮球兴趣小组的人数为：80×45%＝36（人），∴参加排球兴趣小组的人数为：80﹣36﹣24＝20（人），∴参加排球兴趣小组的人数占体育兴趣小组总人数的百分数为：20÷80×100%＝25%，故答案为：25%．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．15．【分析】直接利用坡比的定义得出BC的长，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：由题意可得：AC＝2，BC＝3×2＝6；故在Rt△ABC中，AB＝＝2（m）．故答案为：2．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确应用勾股定理是解题关键．16．【分析】求出，再根据＝+，求解即可．【解答】解：∵AD、BE是△ABC的中线，交于点O，∴AO＝2OD，∴＝2，∵＝+，∴＝2+，故答案为2+．【点评】本题考查平面向量，三角形法则，三角形的重心的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．【分析】直接利用轴对称图形的性质进而结合概率公式得出答案．【解答】解：如图所示：在剩余的7个白色小正方形中任选一个涂上阴影，使图中涂上阴影的三个小正方形组成轴对称图形，符合题意的有：1，2，3，4，5共5个，故这个事件的概率是：．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率的意义，正确把握轴对称图形的性质是解题关键．18．【分析】连接FC，证明△EDB≌△FDC，可得ED＝DF，∠EBD＝∠FCD，FC＝BE，即FC∥AB，所以△CFG∽△BAG，可得，所以FG＝AF，因为DE⊥AD，DE＝DF，所以AE＝AF，进而可得出的值．【解答】解：如图，连接FC，∵将△BDE绕着点D旋转，使得点B与点C重合，点E落在点F处，∴BD＝CD，ED＝FD，∵∠EDB＝∠FDC，∴△EDB≌△FDC（SAS），∴ED＝DF，∠EBD＝∠FCD，FC＝BE，∴FC∥AB，∴△CFG∽△BAG，∴，∴FG＝AF，∵DE⊥AD，DE＝DF，∴AE＝AF，∴＝．故答案为：．【点评】本题考查图形旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．三、解答题（共78分）19．【分析】根据特殊角锐角三角函数的值，负整数指数幂的意义即可求出答案．【解答】解：原式＝|﹣2|+﹣2+1＝2﹣+3﹣1＝2+1，【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用实数的运算法则，本题属于基础题型．20．【分析】先去分母，化成整式方程，然后求出整式方程的解，最后检验得出结论．【解答】解：方程两边同时乘以x2﹣9，得4x＝2（x﹣3）﹣（x2﹣9），去括号，得4x＝2x﹣6﹣x2+9，整理，得x2+2x﹣3，∴（x+3）（x﹣1）＝0，∴x+3＝0或x﹣1＝0，∴x＝﹣3或x＝1，检验：当x＝﹣3时，分母x﹣3＝0，因此x＝﹣3是方程的增根，x＝1时，左边＝﹣＝右边，因此分式方程的根为x＝1．【点评】本题考查了解分式方程，将分式方程化成整式方程求解是解题的关键．21．【分析】（1）利用相似三角形的性质即可解决问题．（2）如图，作AH⊥BC于H．想办法求出AH，CH即可解决问题．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∵S＝3，△ADE＝27．∴S△ABC（2）如图，作AH⊥BC于H．∵S＝×BC×AH＝27，△ABC∴AH＝6，∵cot B＝＝，∴BH＝4，CH＝9﹣4＝5，∵DE∥BC，∴∠AED＝∠C，∴tan∠AED＝tan∠C＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．【分析】（1）设y＝kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）把y＝4.8代入函数关系式计算即可得解；（3）根据“每吨成本×数量＝总成本”列出关于x的一元二次方程进行解答．【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），由图可知，函数图象经过点（20，6），（28，5.6），则，解得，故y＝﹣x+7（20≤x≤60）；（2）当y＝4.8时，﹣x+7＝4.8，解得x＝44．答：每吨成本为4.8万元时，该产品的生产数量44吨；（3）根据题意得，xy＝200，即x（﹣x+7）＝200，解得，x＝100（舍去）或x＝40，答：当生产这种产品的总成本是200万元时，该产品的生产数量为40吨．【点评】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用．主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量的方法．23．【分析】（1）证明△ECA∽△EDC，可得∠ECD＝∠EAC＝∠BCA，从而可以得出AD∥BC，即可证明四边形ABCD为梯形；（2）先利用两比例式的第四比例项对应相等得出AB＝CD，再利用△ABC∽△EDC得出，从而得出结论．【解答】（1）证明：∵EC2＝ED•EA∴而∠E＝∠E∴△ECA∽△EDC∴∠EAC＝∠ECD又∵∠ACE＝∠BCD∴∠ACE﹣∠ACD＝∠BCD﹣∠ACD即∠ECD＝∠BCA∴∠EAC ＝∠BCA∴AE ∥BC ，∵AD ＜BC ，故四边形ABCD 是梯形．（2）证明：由（1）可知△ECA ∽△EDC∴即得 而由已知可得∴CD ＝AB ，即梯形ABCD 是等腰梯形∴∠B ＝∠BCD而∠BCD ＝∠EDC∴∠B ＝∠EDC由（1）知∠BCA ＝∠ECD∴△ABC ∽△EDC∴而AB ＝CD∴AB 2＝ED •BC故AB 2＝ED •BC 得证．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，以及等腰梯形的判定与性质，通过比例式得出对应线段相等也是证明线段相等的一种方法．24．【分析】（1）求出点A 、B 的坐标分别为（6m ，0）、（0，4m ），利用CH ＝AC •sin ∠BAO ＝3m ×＝6m ，即可求解；（2）将点A 、C 坐标代入函数表达式得：，解得：，即可求解； （3）S △PAB ＝AH ×s ＝×（﹣）×s ＝2S △OBC ＝12，即可求解．【解答】解：（1）y ＝﹣x +4m ，令x ＝0，则y ＝4m ，令y ＝0，则x ＝6m ，即点A 、B 的坐标分别为（6m ，0）、（0，4m ），则AB ＝2m ，BC ＝m ，过点C 作CH ⊥x 轴交于点H ，tan ∠BAO ＝，则sin ∠BAO ＝， 则CH ＝AC •sin ∠BAO ＝3m ×＝6m ，同理HO ＝3m ，故点C （﹣3m ，6m ）； （2）将点A 、C 坐标代入函数表达式得：，解得：， 故抛物线的表达式为：y ＝﹣+x +10；（3）2S △OBC ＝2××OB ×OH ＝4×3＝12，m ＝1时，点A 、B 的坐标为（6，0）、（0，4），连接AP 、BP ，过点A 作AH ∥y 轴交BP 于点H ，设：点P 坐标为（s ，t ），则：t ＝﹣s 2+s +10…①，直线BP 的表达式为：y ＝x +4，则点H （6，） S △PAB ＝AH ×s ＝×（﹣）×s ＝2S △OBC ＝12…②，联立①②并解得：s＝（舍去负值），故点P坐标为（，﹣）．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．25．【分析】（1）在Rt△BOC中，利用勾股定理即可解决问题．（2）如图2中，作CH⊥AB于H，OG⊥AB于G，EK⊥AC于K，连接CE．利用勾股定理构建关系式即可解决问题．（3）分三种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，cos∠BAC＝，∴AC＝4，BC＝＝＝3，∵OA＝OB＝x，∴OC＝4﹣x，在Rt△BOC中，∵OB2＝BC2+OC2，∴x2＝32+（4﹣x）2，∴x＝（2）如图2中，作CH⊥AB于H，OG⊥AB于G，EK⊥AC于K，连接CE．∵•AB•CH＝•BC•AC，∴CH＝，AH＝，∵OD＝OA＝x，OG⊥AD，∴AG＝DG＝OA•cos A＝x，∴AD＝x，DH＝x﹣，∴CD2＝（）2+（x﹣）2，∵AK＝AE•cos A＝y，EK＝y，∴CE2＝（4﹣y）2+（y）2，∵CD＝CE，∴（）2+（x﹣）2＝（4﹣y）2+（y）2，∴x2﹣x＝y2﹣y，∴（y﹣）2＝（x﹣2）2，∵y＜，x＞2，∴﹣y＝x﹣，∴y＝﹣x+（2＜x≤）．（3）①如图3﹣1中，当⊙C经过点B时，易知：BH＝DH＝，∴BD＝，∴AD＝5﹣＝，∴x＝，∴x＝，观察图象可知：当0＜x＜时，⊙C与线段AB只有一个公共点．②如图3﹣2中，当⊙C与AB相切时，CD⊥AB，易知OA＝2，此时x＝2，③如图3﹣3中，当＜x＜4时，⊙C与线段AB只有一个公共点．综上所述，当0＜x＜或x＝2或＜x＜4时，⊙C与线段AB只有一个公共点．【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．。
上海市普陀区中考数学二模试卷及答案(word解析版)
上海市普陀区中考数学二模试卷一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）（•普陀区二模）下列各数中无理数共有（）①﹣0.21211211121111，②，③，④，⑤．A．1个B．2个C．3个D．4个．考点：无理数．分析：无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．解答：解：无理数有：，，共有3个．故选C．点评：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．（4分）（•普陀区二模）如果a＞1＞b，那么下列不等式正确的个数是（）①a﹣b＞0，②a﹣1＞1﹣b，③a﹣1＞b﹣1，④．A．1B．2C．3D．4．考点：不等式的性质．分析：根据不等式的基本性质进行解答．解答：解：①由已知条件知a＞b，则在该不等式的两边同时减去b得到a﹣b＞0．故①正确；②由已知条件可设a=2，b=﹣1，则a﹣1=1，1﹣b=2，即a﹣1＜1﹣b，故②错误；③由已知条件知a＞b，则在该不等式的两边同时减去1得到a﹣1＞b﹣1．故③正确；④当b＜0时，．故④错误；综上所述，正确的结论有2个．故选B．点评：主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．3．（4分）（•上海）在下列方程中，有实数根的是（）A．x2+3x+1=0 B．C．x2+2x+3=0 D．考点：根的判别式；算术平方根；解分式方程．分析：一元二次方程要有实数根，则△≥0；算术平方根不能为负数；分式方程化简后求出的根要满足原方程．解答：解：A、△=9﹣4=5＞0，方程有实数根；B、算术平方根不能为负数，故错误；C、△=4﹣12=﹣8＜0，方程无实数根；D、化简分式方程后，求得x=1，检验后，为增根，故原分式方程无解．故选A．点评：总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根，（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根，（3）△＜0⇔方程没有实数根；2、算术平方根不能为负数；3、分式方程要验根．4．（4分）（•普陀区二模）下列语句正确的是（）A．“上海冬天最低气温低于﹣5℃”，这是必然事件B．“在去掉大小王的52张扑克牌中抽13张牌，其中有4张黑桃”，这是必然事件C．“电视打开时正在播放广告”，这是不可能事件D．“从由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位数能被4整除”，这是随机事件考点：随机事件．分析：确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是可能发生也可能不发生的事件．解答：解：A、B、C是随机事件，原说法错误，D中由1，2，5组成的没有重复数字的三位数中任意抽取一个数，这个三位数可能被4整除，也可能不能被4整除，是随机事件，正确故选D．点评：解决本题要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，理解概念是解决基础题的主要方法．用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．（4分）（•普陀区二模）我县6月份某一周的日最高气温（单位：℃）分别为28，30，29，31，32，28，25，这周的最气温的平均值为（）A．28℃B．29℃C．30℃D．31℃考点：算术平均数．专题：计算题．分析：本题可把所有的气温加起来再除以7即可．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．解答：解：依题意得：平均气温=（28+30+29+31+32+28+27）÷7=29℃．故选B．点评：本题考查的是平均数的求法．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．6．（4分）（•普陀区二模）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是（）A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补考点：正多边形和圆．专题：常规题型．分析：利用正多边形的对称轴的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．解答：解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项错误；B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．故选B．点评：本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]7．（4分）（•普陀区二模）计算：（﹣a）3•a﹣3=﹣1．考点：负整数指数幂．分析：根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．解答：解：原式=﹣a3•=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查的是负整数指数幂，即负整数指数幂等于相应的正整数指数幂的倒数．8．（4分）（•普陀区二模）函数的定义域是x≥0且x≠2．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．解答：解：根据题意得：，解得：x≥0且x≠2．故答案是：x≥0且x≠2．点评：考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．（4分）（•普陀区二模）已知，若b+d≠0，则=．考点：比例的性质．专题：计算题．分析：由一已知式子和原式可得，利用比例的合比性质即可求得原式的值．解答：解：∵，∴==．点评：熟练掌握比例的合比性质并灵活运用．10．（4分）（•普陀区二模）某城市现有固定居住人口约为一千九百三十万，用科学记数法表示为1.93×107人．考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将19300000用科学记数法表示为1.93×107．故答案为：1.93×107．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．（4分）（•普陀区二模）不等式组的解集是1＜x＜2．考点：解一元一次不等式组．分析：求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．解答：解：，∵解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＜2，∴不等式组的解集为1＜x＜2，故答案为：1＜x＜2；点评：本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．12．（4分）（•潍坊）分解因式：27x2+18x+3=3（3x+1）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式3，再对剩余项9x2+6x+1利用完全平方公式分解因式即可．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．解答：解：27x2+18x+3，=3（9x2+6x+1），=3（3x+1）2．点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解，分解因式要彻底．13．（4分）（•普陀区二模）如果两个相似三角形的面积之比是16：9，那么它们对应的角平分线之比是4：3．考点：相似三角形的性质．分析：先根据相似三角形面积的比求出其相似比，再根据其对应的角平分线的比等于相似比即可解答．解答：解：∵两个相似三角形的面积比是16：9，∴这两个相似三角形的相似比是4：3，∵其对应角平分线的比等于相似比，∴它们对应的角平分线比是4：3．故答案为4：3．点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方．14．（4分）（•普陀区二模）有6张分别写有数字1、2、3、4、5、6的卡片，它们的背面相同，现将它们的背面朝上，从中任意摸出一张是数字5的机会是．考点：概率公式．分析：根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．二者的比值就是其发生的概率的大小．解答：解：由题意可知，6张卡片中1张是5，所以任意摸出一张是数字5的概率是．故答案为：．点评：本题考查概率的求法与运用．一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15．（4分）（•普陀区二模）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD上的中点，记．用含、的式子表示向量=+．考点： *平面向量．分析：首先连接EF，由四边形ABCD是平行四边形与点E、F分别是AB、CD上的中点，即可得==，然后根据平行四边形法则，即可求得的值．解答：解：连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，∵点E、F分别是AB、CD上的中点，∴DF=AE，即==，∴=+=+．故答案为：+．点评：此题考查了平面向量的知识与平行四边形的性质．解此题的关键是注意数形结合思想的应用与平行四边形法则．16．（4分）（•普陀区二模）为了了解中学生的身体发育情况，对第二中学同年龄的80名学生的身高进行了测量，经统计，身高在150.5﹣155.5厘米之间的頻数为5，那么这一组的頻率是．考点：频数与频率．分析：根据身高在150.5﹣155.5厘米之间的頻数为5，共有80个数，再根据频率=即可求出答案．解答：解：∵身高在150.5﹣155.5厘米之间的頻数为5，共有80个数，∴这一组的頻率是=；故答案为：．点评：此题考查了频数与频率，用到的知识点是频率=．17．（4分）（•普陀区二模）地面控制点测得一飞机的仰角为45°，若此时地面控制点与该飞机的距离为2000米，则此时飞机离地面的高度是1000米（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：根据题意画出示意图，利用解直角三角形的知识可得出答案．解答：解：如图所示：由题意得，∠CAB=45°，AC=2000m，则BC=ACsin∠CAB=2000×=m；即飞机离地面的高度是1000米．故答案为：1000．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是利用仰角的知识构造直角三角形．18．（4分）（•普陀区二模）已知在△AOB中，∠B=90°，AB=OB，点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（0，8），点B在第一象限内，将这个三角形绕原点O旋转75°后，那么旋转后点B的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．考点：坐标与图形变化-旋转．分析：先根据点A的坐标求出OA的长，再根据等腰直角三角形的性质求出OB的长，然后分①逆时针旋转时，过点B′作B′C′⊥y轴于C′，根据旋转角求出∠B′OC′=30°，然后求出B′C′、OC′的长，再写出旋转后点B的坐标即可；②顺时针旋转时，过点B″作B″C″⊥x轴于C″，根据旋转角求出∠B″OC″=30°，然后求出B″C″、OC″，然后写出旋转后点B对应的点的坐标即可．解答：解：∵A（0，8），∴OA=8，∵∠B=90°，AB=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴OB=OA=×8=4，∠AOB=45°，①逆时针旋转时，过点B′作B′C′⊥y轴于C′，∵旋转角为75°，∴∠B′OC′=75°﹣45°=30°，∴B′C′=OB′=×4=2，OC′=4×=2，∴旋转后点B的坐标为（﹣2，2）；②顺时针旋转时，过点B″作B″C″⊥x轴于C″，∵旋转角为75°，∴∠B″OC″=75°﹣45°=30°，∴B″C″=OB″=×4=2，OC″=4×=2，∴旋转后点B的坐标为（2，﹣2）；综上所述，旋转后点B的坐标为（2，﹣2）或（﹣2，2）．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，等腰直角三角形的性质，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．三、解答题（本大题共7题，其中第19---22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．（10分）（•普陀区二模）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．分析：本题涉及二次根式化简、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式==．点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．20．（10分）（•普陀区二模）解方程组：．考点：高次方程．分析：先由①得：x﹣y=2，再由②得（x﹣y）2+2（x+y）=12，最后把x﹣y=2代入（x﹣y）2+2（x+y）=12中，得到一个关于x，y的方程组，求出x，y的值即可．解答：解：，由①得：x﹣y=2，③由②得：（x﹣y）2+2（x+y）=12，④将③代入④得：x+y=4，可得：，解方程组得：，则原方程组的解为：．点评：此题考查了高次方程，解题的关键是把高次方程转化成低次方程，再按照低次方程的步骤进行求解即可．21．（10分）（•普陀区二模）如图：已知，四边形ABCD是平行四边形，AE∥BD，交CD的延长线于点E，EF⊥BC交BC延长线于点F，求证：四边形ABFD是等腰梯形．考点：等腰梯形的判定；平行四边形的性质．专题：证明题．分析：首先证明四边形ABDE是平行四边形，可得AB=DE，再根据平行四边形的性质可得CD=DE，再根据直角三角形的性质可证明DF=CD=DE，进而得到AB=DE，再说明线段AB与线段DF不平行即可得到四边形ABFD是等腰梯形．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC；AB∥CD，AB=CD，∴AB∥DE；又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．∴AB=DE．∴CD=DE．∵EF⊥BC，∴DF=CD=DE．∴AB=DF．∵CD、DF交于点D，∴线段AB与线段DF不平行．∴四边形ABFD是等腰梯形．点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定，以及等腰梯形的判定，关键是掌握两腰相等的梯形叫做等腰梯形．22．（10分）（•普陀区二模）一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二、三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，求这辆车第二、三年的年折旧率．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1﹣20%）（1﹣x）元，第三年折旧后的而价格为20（1﹣20%）（1﹣x）2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程求出其解即可．解答：解：设这辆车第二、三年的年折旧率为x，有题意，得20（1﹣20%）（1﹣x）2=11.56．整理得：（1﹣x）2=0.7225．．．解得：x1=0.15，x2=1.85（不合题意，舍去）．∴x=0.15，即x=15%．答：这辆车第二、三年的年折旧率为15%．点评：本题是一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．23．（12分）（•普陀区二模）已知：如图，⊙O的半径为5，弦AB的长等于8，OD⊥AB，垂足为点D，DO的延长线与⊙O相交于点C，点E在弦AB的延长线上，CE与⊙O相交于点F，cosC=．求：（1）CD的长；（2）EF的长．考点：垂径定理；勾股定理；解直角三角形．分析：（1）连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，即可求出CD（CD=OD+OA）；（2）作OH⊥CE，垂足为点H，根据cosC=求出CH，求出CF，在△CDE中，根据cosC=求出CE，相减即可求出EF．解答：解：（1）连接OA．∵OD⊥AB，AB=8，∴AD=AB=4，∵OA=5，∴由勾股定理得：OD=3，∵OC=5，∴CD=8．（2）作OH⊥CE，垂足为点H．，∵OC=5，cosC=，∴CH=4，∵OH⊥CE，∴由垂径定理得：CF=2CH=8，又∵CD=8，cosC=，∴CE=10，∴EF=10﹣8=2．点评：本题考查了垂径定理，勾股定理，锐角三角形函数定义等知识点，主要考查学生运用定理进行计算的能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．24．（12分）（•普陀区二模）如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标；（3）点M为平面直角坐标系上一点，写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标．考点：二次函数综合题．专题：综合题．分析：（1）对于一次函数y=x﹣3，分别令x与y为0求出对应y与x的值，确定出A与B的坐标，代入抛物线解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可确定出抛物线解析式；（2）由抛物线解析式求出C与D坐标，根据P为抛物线上的点，设P（a，a2﹣2a﹣3），三角形APC由AC为底，P纵坐标绝对值为高，利用三角形面积表示出，三角形ACD面积由AC为底，D 纵坐标绝对值为高表示出，根据题意列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出此时P的坐标；（3）画出图形，如图所示，根据题意得到A、B、C分别为M1M3、M1M2、M2M3的中点，由四边形ADBM1为平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分得到AB与M1D互相平分，即E为AB中点，E为M1D中点，根据A与B的坐标求出E的坐标，再利用线段中点坐标公式求出M1坐标；进而求出M2、M3的坐标即可．解答：解：（1）∵直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A、B，∴点B（0，﹣3），点A（3，0），将A与B坐标代入抛物线y=x2+bx﹣c得：，解得：c=3，b=﹣2，则抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线的解析式是y=x2﹣2x﹣3，∴C（﹣1，0），顶点D（1，﹣4），由点P为抛物线上的一个动点，故设点P（a，a2﹣2a﹣3），∵S△APC：S△ACD=5：4，∴（×4×|a2﹣2a﹣3|）：（×4×4）=5：4，整理得：a2﹣2a﹣3=5或a2﹣2a﹣3=﹣5（由△＜0，得到无实数解，舍去），解得：a1=4，a2=﹣2，则满足条件的点P的坐标为P1（4，5），P2（﹣2，5）；（3）如图所示，A、B、C分别为M1M3、M1M2、M2M3的中点，∵四边形ADBM1为平行四边形，∴AB与M1D互相平分，即E为AB中点，E为M1D中点，∵A（3，0），B（0，﹣3），∴E（，﹣），又∵D（1，﹣4），∴M1（2，1），∴M2（﹣2，﹣7），M3（4，﹣1），则满足题意点M的坐标为：M1（2，1），M2（﹣2，﹣7），M3（4，﹣1）．点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，以及待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．25．（14分）（•南京）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以2cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t s．（1）当t=1.2时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由；（2）已知⊙O为△ABC的外接圆．若⊙P与⊙O相切，求t的值．考点：圆与圆的位置关系；勾股定理；直线与圆的位置关系；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；动点型．分析：（1）根据已知求出AB=10cm，进而得出△PBD∽△ABC，利用相似三角形的性质得出圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，即可得出直线AB与⊙P相切；（2）根据BO=AB=5cm，得出⊙P与⊙O只能内切，进而求出⊙P与⊙O相切时，t的值．解答：解：（1）直线AB与⊙P相切，如图，过P作PD⊥AB，垂足为D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∵AC=6cm，BC=8cm，∴AB=10cm，∵P为BC中点，∴PB=4cm，∵∠PDB=∠ACB=90°，∠PBD=∠ABC，∴△PBD∽△ABC，∴，即，∴PD=2.4（cm），当t=1.2时，PQ=2t=2.4（cm），∴PD=PQ，即圆心P到直线AB的距离等于⊙P的半径，∴直线AB与⊙P相切；（2）∵∠ACB=90°，∴AB为△ABC的外接圆的直径，∴BO=AB=5cm，连接OP，∵P为BC中点，PO为△ABC的中位线，∴PO=AC=3cm，∵点P在⊙O内部，∴⊙P与⊙O只能内切，∴当⊙P在⊙O内部时：5﹣2t=3，当⊙O在⊙P内部时2t﹣5=3，∴t=1或4，∴⊙P与⊙O相切时，t的值为1或4．点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定以及直线与圆的位置关系和圆与圆的位置关系，正确判定直线与圆的位置关系是重点知识同学们应重点复习．。
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2020年上海市普陀区中考数学二模试卷一．选择题（共6小题）1．下列计算中，正确的是（）A．﹣22＝4B．16＝8C．3﹣1＝﹣3D．（）﹣2＝4 2．下列二次根式中，与（a＞0）属同类二次根式的是（）A．B．C．D．3．关于函数y＝﹣，下列说法中错误的是（）A．函数的图象在第二、四象限B．y的值随x的值增大而增大C．函数的图象与坐标轴没有交点D．函数的图象关于原点对称4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（）A．8B．16C．8D．165．一个事件的概率不可能是（）A．1.5B．1C．0.5D．06．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共12小题）7．计算：a•（3a）2＝．8．函数的定义域是．9．方程＝﹣x的解是．10．已知一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，那么x＝．11．如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是．12．已知一件商品的进价为a元，超市标价b元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利元．（用含有a、b的代数式表示）13．如果关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是．14．已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是．15．今年3月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示．如果锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，那么锻炼时间在4﹣6小时的学生的频率是．16．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是．17．将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cot B＝，点P为边AB上一点，将△BPC沿着PC翻折得到△B′PC，B′C与边AB的交于点D，如果△B′PD恰好为直角三角形，那么BP＝．三．解答题（共7小题）19．先化简，再求值：﹣÷，其中x＝+1．20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+n的图象都经过点A（﹣2，0），且分别与y轴交于点B和点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）设点D在直线y＝﹣x+n上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D 的坐标．22．一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面MD的正侧面示意图，其中AB表示显示屏的宽，AB与墙面MD的夹角α的正切值为，在地面C处测得显示屏顶部A的仰角为45°，屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处与墙面之间的水平距离CD为3.4米，求显示屏的宽AB的长．（结果保留根号）23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．25．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC 于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列计算中，正确的是（）A．﹣22＝4B．16＝8C．3﹣1＝﹣3D．（）﹣2＝4【分析】根据分数指数幂、负整数指数幂计算，判断即可．【解答】解：A、﹣22＝﹣4，本选项计算错误；B、16＝＝4，本选项计算错误；C、3﹣1＝，本选项计算错误；D、（）﹣2＝＝4，本选项计算正确；故选：D．2．下列二次根式中，与（a＞0）属同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答．【解答】解：A.，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；B.，与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意；C.，与的被开方数相同，则它们是同类二次根式，故本选项正确；D.与的被开方数不同，则它们不是同类二次根式，故本选项不合题意．故选：C．3．关于函数y＝﹣，下列说法中错误的是（）A．函数的图象在第二、四象限B．y的值随x的值增大而增大C．函数的图象与坐标轴没有交点D．函数的图象关于原点对称【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵函数y＝﹣，∴该函数的图象在第二、四象限，故选项A正确；在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B错误；函数的图象与坐标轴没有交点，故选项C正确；函数的图象关于原点对称，故选项D正确；故选：B．4．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，如果OB＝4，∠AOB＝60°，那么矩形ABCD的面积等于（）A．8B．16C．8D．16【分析】由矩形的性质得出OA＝BO，证△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4，由勾股定理求出AD，即可求出矩形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD＝90°，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AC＝BD＝2OB＝8，∴OA＝BO，∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OB＝4，∴AD＝＝＝4，∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝4×4＝16；故选：D．5．一个事件的概率不可能是（）A．1.5B．1C．0.5D．0【分析】根据概率的知识，可以得到概率的最大与最小值，从而可以解答本题．【解答】解：一个事件的概率最大是1，最小是0，故选项A错误，故选：A．6．如图，已知A、B、C、D四点都在⊙O上，OB⊥AC，BC＝CD，在下列四个说法中，①＝2；②AC＝2CD；③OC⊥BD；④∠AOD＝3∠BOC，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据题意和垂径定理，可以得到AC＝BD，，，然后即可判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵OB⊥AC，BC＝CD，∴，，∴＝2，故①正确；AC＜AB+BC＝BC+CD＝2CD，故②错误；OC⊥BD，故③正确；∠AOD＝3∠BOC，故④正确；故选：C．二．填空题（共12小题）7．计算：a•（3a）2＝9a3．【分析】先根据积的乘方法则计算，再根据单项式乘以单项式法则计算．【解答】解：原式＝a•9a2＝9a3，故答案为：9a3．8．函数的定义域是x≠﹣1．【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．【解答】解：根据题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1．故答案为x≠﹣1．9．方程＝﹣x的解是x＝0．【分析】先两边平方得到x2﹣5x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣5）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣5＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝5，检验原方程的解为x＝0．【解答】解：把方程＝﹣x两边平方，得5x＝x2，∴x2﹣5x＝0，∴x（x﹣5）＝0，∴x＝0或x﹣5＝0，∴x1＝0，x2＝5．检验：把x1＝0，x2＝5代入方程＝﹣x，可知x1＝0是原方程的根，x2＝5是原方程的增根，所以原方程的解为x＝0．故答案为：x＝0．10．已知一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，那么x＝4．【分析】根据一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，可以求得x的值，本题得以解决．【解答】解：∵一个样本1、3、2、5、x的平均数是3，∴（1+3+2+5+x）÷5＝3，解得，x＝4，故答案为：4．11．如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是x ﹣2y＝0或x+y＝0．【分析】由于二元二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0进行因式分解可以变为（x﹣2y）（x+y）＝0，即可解决问题．【解答】解：∵x2﹣xy﹣2y2＝0，∴（x﹣2y）（x+y）＝0，∴x﹣2y＝0或x+y＝0．故答案为：x﹣2y＝0或x+y＝012．已知一件商品的进价为a元，超市标价b元出售，后因季节原因超市将此商品打八折促销，如果促销后这件商品还有盈利，那么此时每件商品盈利（0.8b﹣a）元．（用含有a、b的代数式表示）【分析】根据“标价×＝售价”用代数式表示出售价，再根据“售价﹣进价＝利润”用代数式表示盈利．【解答】解：根据题意得，每件商品盈利（0.8b﹣a）元，故答案为：（0.8b﹣a）．13．如果关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，那么m的取值范围是m＜1．【分析】根据直接开平方法定义即可求得m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程（x﹣2）2＝m﹣1没有实数根，∴m﹣1＜0，解得m＜1，所以m的取值范围是m＜1．故答案为：m＜1．14．已知正方形的半径是4，那么这个正方形的边心距是2．【分析】正方形的边心距就是正方形的中心到正方形的边的距离，利用边长的一半和边心距、半径围成直角三角形求解即可．【解答】解：如图，根据正方形的性质知：△BOC是等腰直角三角形，过O作OE⊥BC于E，∵正方形的半径是4，∴BO＝4，∴OE＝BE＝BO＝2，故答案为：2．15．今年3月，上海市开展了在线学习，同时号召同学们在家要坚持体育锻炼，已知某班学生一周内在家锻炼时间的频数分布直方图如图所示．如果锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，那么锻炼时间在4﹣6小时的学生的频率是0.25．【分析】先由锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，人数为8求出被调查的总人数，再根据频率＝频数÷总人数可得答案．【解答】解：∵锻炼时间在0﹣2小时的学生的频率是20%，人数为8，∴被调查的总人数为8÷20%＝40（人），则锻炼时间在4﹣6小时的学生的频率是10÷40＝0.25，故答案为：0.25．16．如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，DC、BE交于点O，AB＝3AD，设＝，＝，那么向量用向量、表示是﹣+．【分析】利用平行线分线段成比例定理求出，根据三角形法则求出，证明DO＝DC 即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝，∴BC＝3DE，∵＝，∴＝3，∵△DOE∽△COB，∴＝＝，∴OD＝OC＝CD，∵＝+，∴＝﹣+3，∴＝﹣+，故答案为：﹣+．17．将正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴的一个方向平移|k|个单位后与x轴、y轴围成一个三角形，我们称这个三角形为正比例函数y＝kx的坐标轴三角形，如果一个正比例函数的图象经过第一、三象限，且它的坐标轴三角形的面积为5，那么这个正比例函数的解析式是y＝10x．【分析】分别求出向上和向下平移时，与坐标轴的交点坐标，再根据它的坐标轴三角形的面积为5，求出k的值即可．【解答】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限，∴k＞0，∴当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向上平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx+k，∴与x轴的交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，k），∵它的坐标轴三角形的面积为5，∴＝5，∴k＝10，∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，∵当正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象，沿着y轴向下平移|k|个单位时，所得函数的解析式为y＝kx﹣k，∴与x轴的交点坐标为（1，0），与y轴的交点坐标为（0，﹣k），∵它的坐标轴三角形的面积为5，∴＝5，∴k＝10，∴这个正比例函数的解析式是y＝10x，故答案为：y＝10x．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cot B＝，点P为边AB上一点，将△BPC沿着PC翻折得到△B′PC，B′C与边AB的交于点D，如果△B′PD恰好为直角三角形，那么BP＝4或．【分析】分两种情形：如图1中，当∠DPB′＝90°时，过点C作CH⊥AB于H．如图2中，当∠PDB′＝90°时，设BP＝PB′＝x．分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，当∠DPB′＝90°时，过点C作CH⊥AB于H．∵cot B＝＝，AC＝6，∴BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵•BC•AC＝•AB•CH，∴CH＝，∵∠B+∠A＝90°，∠B′+∠PDB′＝90°，∠B＝∠B′，∠PDB′＝∠ADC，∴∠ADC＝∠A，∴AC＝CD＝6，∵CH⊥AD，∴AH＝DH＝＝＝，∴BD＝AB﹣AD＝10﹣＝，DB′＝CB′﹣CD＝CB﹣CA＝2，设PB＝x，在Rt△PDB′中，则有x2+（﹣x）2＝22，解得x＝或（舍弃），如图2中，当∠PDB′＝90°时，设BP＝PB′＝x．在Rt△PDB′中，则有x2＝（﹣x）2+（）2，解得x＝4，综上所述，满足条件的PB的值为或4．故答案为4或．三．解答题（共7小题）19．先化简，再求值：﹣÷，其中x＝+1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝﹣•＝﹣＝，当x＝+1时，原式＝＝＝2﹣3．20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：，解不等式①，得：x≤2，解不等式②，得：x＞﹣1，将不等式解集表示在数轴上如下：所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2．21．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+n的图象都经过点A（﹣2，0），且分别与y轴交于点B和点C．（1）求B、C两点的坐标；（2）设点D在直线y＝﹣x+n上，且在y轴右侧，当△ABD的面积为15时，求点D 的坐标．【分析】（1）依据一次函数y＝2x+m与y＝﹣x+n的图象都经过点A（﹣2，0），即可得到m和n的值，进而得出B、C两点的坐标；（2）依据S△ABC+S△BCD＝15，即可得到点D的横坐标，进而得出点D的坐标．【解答】解：（1）将A（﹣2，0）代入y＝2x+m，解得m＝4，∴y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，即B（0，4），将A（﹣2，0）代入y＝﹣x+n，解得n＝﹣1，∴y＝﹣x﹣1，令x＝0，则y＝﹣1，即C（0，﹣1），（2）如图，过D作DE⊥BC于E，当△ABD的面积为15时，S△ABC+S△BCD＝15，即AO×BC+DE×BC＝15，∴×2×5+×DE×5＝15，∴DE＝4，y＝﹣x﹣1中，令x＝4，则y＝﹣3，∴D（4，﹣3）．22．一块显示屏斜挂在展示厅的墙面上，如图是显示屏挂在墙面MD的正侧面示意图，其中AB表示显示屏的宽，AB与墙面MD的夹角α的正切值为，在地面C处测得显示屏顶部A的仰角为45°，屏幕底部B与地面CD的距离为2米，如果C处与墙面之间的水平距离CD为3.4米，求显示屏的宽AB的长．（结果保留根号）【分析】过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，设AP＝BN＝2x，AN＝PB＝5x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过A作AP⊥DM于P，AH⊥CD于H，过B作BN⊥AH于N，∵tan∠ABM＝，∴设AP＝BN＝2x，AN＝PB＝5x，∵BD＝2，CD＝3.4，∴HN＝2，CH＝3.4﹣2x，∴AH＝5x+2，∵∠ACD＝45°，∴AH＝CH，∴3.4﹣2x＝5x+2，解得：x＝0.2，∴PB＝1，AP＝0.4，∴AB＝＝＝（米），答：显示屏的宽AB的长为米．23．已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形知OA＝OC，结合EA＝EC知EO⊥AC，从而得证；（2）先由∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形得∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，据此可证△FCD∽△F AE得＝，结合CD＝AD，AE＝CE可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，又∵EA＝EC，∴EO⊥AC，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵∠AEB＝∠CEB＝∠AEC，平行四边形ABCD为菱形，∴∠AEB＝∠CEB＝∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA，∠CDF＝∠DAC+∠DCA＝∠AEF，∴△FCD∽△F AE，∴＝，∵CD＝AD，AE＝CE，∴＝，即EC•CF＝AF•AD．24．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）经过点A，其顶点为C，直线y＝1与y轴交于点B，与抛物线交于点D（在其对称轴右侧），联结BC、CD．（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；（2）点P是y轴的负半轴上的一点，如果△PBC与△BCD相似，且相似比不为1，求点P的坐标；（3）将∠CBD绕着点B逆时针方向旋转，使射线BC经过点A，另一边与抛物线交于点E（点E在对称轴的右侧），求点E的坐标．【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线的解析式中可得：a的值，从而得抛物线的解析式，配方得顶点C的坐标；（2）根据∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，所以只能△CBP∽△DBC，列比例式可得BP的长，从而得点P的坐标；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，先根据勾股定理的逆定理证明△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，由等角三角函数得tan∠ABC＝tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，表示E（2m，m+1），代入抛物线的解析式，可得结论．【解答】解：（1）∵点A在x轴的正半轴上，且与原点的距离为3，∴A（3，0），把A（3，0）代入抛物线y＝ax2﹣4ax+3中得：0＝9a﹣12a+3，∴a＝1，∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴C（2，﹣1）；（2）当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，由题意得：D（2+，1），∵B（0，1），C（2，﹣1），∴BC＝＝2，BD＝2+，∵∠DBC＝∠PBC＝45°，且相似比不为1，只能△CBP∽△DBC，∴，即，∴BP＝8﹣4，∴P（0，4﹣7）；（3）连接AC，过E作EH⊥BD于H，由旋转得：∠CBD＝∠ABE，∴∠EBD＝∠ABC，∵AB2＝32+12＝10，BC2＝22+22＝4，AC2＝12+12＝2，∴AB2＝BC2+AC2，∴△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，∴tan∠ABC＝＝，∴tan∠EBD＝＝，设EH＝m，则BH＝2m，∴E（2m，m+1），∵点E在抛物线上，∴（2m）2﹣4×2m+3＝m+1，4m2﹣9m+2＝0，解得：m1＝2，m2＝（舍），∴E（4，3）．25．如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交边DC于E、F两点，AD＝1，BC＝5，设⊙O的半径长为r．（1）联结OF，当OF∥BC时，求⊙O的半径长；（2）过点O作OH⊥EF，垂足为点H，设OH＝y，试用r的代数式表示y；（3）设点G为DC的中点，联结OG、OD，△ODG是否能成为等腰三角形？如果能，试求出r的值；如不能，试说明理由．【分析】（1）证OF为梯形ABCD的中位线，得出r＝OF＝（AD+BC）＝3即可；（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，则CM＝BC﹣BM＝4，由勾股定理得出DC＝2，由四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，进而得出答案；（3）证OG是梯形ABCD的中位线，得出OG∥AD，OG＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得OD＝，分三种情况，分别求解即可．【解答】解：（1）∵OF∥BC，OA＝OB，∴OF为梯形ABCD的中位线，∴OF＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，即⊙O的半径长为3；（2）连接OD、OC，过点D作DM⊥BC于M，如图1所示：则BM＝AD＝1，∴CM＝BC﹣BM＝4，∴DC＝＝＝2，∵四边形ABCD的面积＝△DOC的面积+△AOD的面积+△BOC的面积，∴（1+5）×2r＝×2×y+×r×1+×r×5，整理得：y＝；（3）△ODG能成为等腰三角形，理由如下：∵点G为DC的中点，OA＝OB，∴OG是梯形ABCD的中位线，∴OG∥AD，OG＝（AD+BC）＝（1+5）＝3，DG＝CD＝，由勾股定理得：OD＝＝，分三种情况：①DG＝DO时，则＝，无解；②OD＝OG时，如图2所示：＝3，解得：r＝2；③GD＝GO时，作OH⊥CD于H，如图3所示：∠GOD＝∠GDO，∵OG∥AD，∴∠ADO＝∠GOD，∴∠ADO＝∠GDO，在△ADO和△HDO中，，∴△ADO≌△HDO（AAS），∴OA＝OH，则此时圆O和CD相切，不合题意；综上所述，△ODG能成为等腰三角形，r＝2．。