8上第6讲等边三角形培优
八年级数学全等三角形(培优、数学竞赛)
北京四中八年级培优班数学全等三角形复习题1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是 。
图1B 图2BA图32．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有 对全等三角形。
3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于 度。
4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝ 度。
图4B图5AB图6CB5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
（ ）①AE ＝AD ；②AB ＝AC ；③OB ＝OC ；④∠B ＝∠C 。
6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。
（1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。
7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（ ）A. AB －AD ＞CB －CDB. AB －AD ＝CB －CDC. AB －AD ＜CB －CDD. AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定图7BD图8CB8．In Fig. 8, Let △ABC be an equilateral triangle, D and E be points on edges AB and AC respectively, F be intersection of segments BE and CD, and ∠BFC=120°, then the magnitude relation between AD and CE is ( )A. AD>CEB. AD<CEC. AD=CED. indefinite（英汉小词典：equilateral 等边的；intersection 交点；indefinite 不确定的；magnitude 大小，量） 9．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是 。
等边三角形的培优
等边三角形培优讲义一、等边三角形的性质：（1）等边三角形的三条边相等，三个角都等于60;（2）等边三角形每一个角的平分线与所对的中线，高线相互垂直;（3）等边三角形的每条边上的中线、高线和所对角的平分线相等.二、等边三角形的判定:（1）三条边相等的三角形是等边三角形;（2）三个角都相等的三角形是等边三角形;（3）有一个角为60的等腰三角形是等边三角形。
例题讲解：1.以下三角形：①有两个角等于060的等腰三角形；•③三个外角（每一个极点60；②有一个角等于0处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④2.如图，△ABC为等边三角形，且BM=CN，AM与BN相交于点P，那么∠APN=（）A 70B 60C 50 D不确信3.如图，C为线段AB上一点，在AB的同侧作等边△ACM和等边△BCN，连接AN、BM，假设∠MBN=40°，那么∠ANB的大小是（）A 60B 65C 70D 804、如图2，在线段AE同侧作两个等边三角形△ABC和△CDE(∠ACE＜120°)，点P与点M别离是线段BE和AD的中点，那么△CPM是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.非等腰三角形5、如图，在△ABC中，AB=2，BC=，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转必然角度取得△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，那么CD的长为_________．第二题第三题6、如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，那么∠E=_____________．7、如图，在等边三角形ABC中，AB=6，D是BC上一点，且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后取得△ACE，那么CE的长度为_______________.8.将宽为2cm的长方形纸条折叠成如下图的形状，那么折痕PQ的长是9.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么那个图形中的等腰三角形共有________个。
2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优(含答案)
2020年人教版八年级数学上册《全等三角形》单元培优一、选择题1.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA2.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）A.1B.2C.3D.43.如图，已知OQ平分∠AOB，点P为OQ上任意一点，点N为OA上一点，点M为OB上一点，若∠PNO+∠PMO=180°，则PM和PN的大小关系是（）A.PM＞PNB.PM＜PNC.PM=PND.不能确定4.在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是（）。
A．6＜AD＜8 B．2＜AD＜14 C．1＜AD＜7 D．无法确定5.如图，点P是△ABC外的一点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，连接PB，PC．若PD=PE=PF，∠BAC=70°，则∠BPC的度数为（）A．25° B．30° C．35° D．40°6.如图,在△ABC中,∠C=900,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论:①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°.其中结论正确的个数是（）A.1B.2C.3D.48.如图,在正方形ABCD中,AB=2,延长BC到点E,使CE=1,连接DE,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP和△DCE全等时,t的值为（）A.3B.5C.7D.3或7二、填空题9.如图EB交AC于M,交FC于D,AB交FC于N,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AE=AF.给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（填序号）．10.如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．11.如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB= .12.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .13.在△ABC中,AB=8,AC=10,则BC边上的中线AD的取值范围是．14.如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC 的面积= .15.如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ=PQ，PR=PS，下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS．其中正确结论的序号是（请将所有正确结论的序号都填上）．三、解答题16.如图，已知AB=AC，AD=AE，BD=CE，求证：∠3=∠1＋∠2.17.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.18.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．19.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，求∠CAB 和∠CAP的度数．20.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠B.21.如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC.求证：∠A+∠C=180°．22.如图,已知在△ABC中,∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P,过点P分别作PN垂直于AB于点N,PM垂直于AC于点M,BN和CM有什么数量关系？请说明理由．参考答案1.D2.C3.C4.C5.C6.C.7.D.8.D9.答案为：①②③．10.答案为：相等或互补．11.答案为：128°.12.答案为：（-2,0），（-2,4），（2,4）；13.答案为：1＜AD ＜9．14.答案为：50.15.答案为：①②④．16.证明：在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AE ，BD ＝CE ，∴△ABD ≌△ACE(SSS).∴∠BAD=∠1，∠ABD=∠2.∵∠3=∠BAD ＋∠ABD ，∴∠3=∠1＋∠2.17.证明：（1）∵AE ⊥AB ，AF ⊥AC ，∴∠BAE=∠CAF=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC ，即∠EAC=∠BAF ，在△ABF 和△AEC 中，∵，∴△ABF ≌△AEC （SAS ），∴EC=BF ；（2）如图，根据（1），△ABF ≌△AEC ，∴∠AEC=∠ABF ，∵AE ⊥AB ，∴∠BAE=90°，∴∠AEC+∠ADE=90°，∵∠ADE=∠BDM （对顶角相等），∴∠ABF+∠BDM=90°，在△BDM中，∠BMD=180°﹣∠ABF﹣∠BDM=180°﹣90°=90°，所以EC⊥BF.18.证明：因为∠CEB=∠CAB=90°所以：ABCE四点共元又因为：∠ABE=∠CBE所以：AE=CE所以：∠ECA=∠EAC取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DG所以：∠GAB=∠ABG而：∠ECA=∠GBA所以：∠ECA=∠EAC=∠GBA=∠GAB而：AC=AB所以：△AEC≌△AGB所以：EC=BG=DG所以：BD=2CE19.答案为：80°，50°；20.证明:延长AC至E,使CE=CD,连接ED∵AB=AC+CD∴AE=AB∵AD平分∠CAB∴∠EAD=∠BAD∴AE=AB，∠EAD=∠BAD，AD=AD∴△ADE≌△ADB∴∠E=∠B且∠ACD=∠E+∠CDE,CE=CD∴∠ACD=∠E+∠CDE=2∠E=2∠B即∠C=2∠B21.证明：过点D作DE⊥BC于E，过点D作DF⊥AB交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，∴DE=DF，∠DEC=∠F=90°，在RtCDE和Rt△ADF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ADF（HL），∴∠FAD=∠C，∴∠BAD+∠C=∠BAD+∠FAD=180°．22.证明：如图，连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．。
【初中数学++】等边三角形课件+浙教版数学八年级上册冲刺重高专题培优讲义+
一个内角为 的等腰三角形是等边三角形
课后练习
（2）如图3，若在四边形 的外部以 为一边作等边三角形 ，并连结 ，请问： 与 相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由.
[答案] 证明如下：连结 由（1）知， 是等边三角形， 又 是等边三角形， ，即
在 中， 为 的中点，
课后练习
等边三角形 中， 是等边三角形. 垂直平分 在 中， 故选
课后练习
下列结论：① ；② ；③ 是等边三角形.其中正确的是______.（填序号）
12.如图，在等腰三角形 中， 于点 是 延长线上一点， 是线段 上一点， ，有
①③
课后练习
13.在等边三角形 中， 是 上的动点，点 与点 不重合，点 在 的延长线上，且
课后练习
（1）如图1，若 是 的中点，求证：
[答案] 是等边三角形， 是 的中点， 平分
课后练习
（2）如图2，若 不是 的中点，（1）中的结论“ ”能否成立？若不成立，请直接写出 与 的数量关系；若成立，请给予证明.
8.如图，在 中， 是 内的两点， 平分
（1）延长 交 于点 的形状为____________（填“等腰三角形”“等边三角形”或“直角三角形”）.
等边三角形
图1
[解析] 如图1. 为等边三角形.故答案为等边三角形.
课后练习
（2）若 ，则 ___
8
图2
[解析] 如图2，延长 交 于点 为等边三角形， 平分 ， 故答案为8.
B
A. B. C. D.
3.如图，已知 是等边三角形，点 在同一直线上，且 ，则 的度数为 ( )
C
A. B. C. D.
课后练习
2020-2021学年浙教版八年级上册等边三角形专题培优(附答案)
2020-2021学年浙教版八年级上册等腰三角形专题培优姓名班级学号基础巩固1.如图，△ABC是等边三角形，AQ= PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论:①点P在∠A的平分线上；②AS= AR；③QP∥AR；④△BRP ≌△QSP.其中正确的有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个第1题第2题第3题2.如图，∠AOB= 120°，OP平分∠AOB，且OP= 2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）.A.2个B.3个C.4个D.无数个3.如图，已知△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD= 62°，则∠AEB的度数是（）.A.124°B.122°C.120°D.118°第4题第5题4.如图，一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形按如图放置，已知等腰三角形的底角∠3 = 64°，则∠1 + ∠2 = _________ .5.如图，六边形ABCDEF的六个角都是120°，边长AB = 1 cm，BC = 3 cm，CD =3 cm，DE = 2 cm，则这个六边形的周长是 _________ .6.在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，∠CAB= 30°.分别以AB，AC为边，向外作等边△ABD和邻边△ACE.（1）如图1，连结线段BE，CD.求证:BE = CD.（2）如图2，连结DE交AB于点F.求证:点F为DE中点.7.已知△ABC是等边三角形，D是直线BC上一动点，连结AD，在线段AD的右侧作射线DP且使∠ADP = 30°，作点A关于射线DP的对称点E，连结DE，CE.（1）当点D在线段BC上运动时.①依题意将图1补全.②请用等式表示线段AB，CE，CD之间的数量关系，并证明.（2）当点D在直线BC上运动时，请直接写出AB，CE，CD之间的数量关系，不需证明.拓展提优1.如图，在等边三角形ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为点D ，点E 在线段AD 上，∠EBC = 45°，则∠ACE 等于（ ）. A .15° B .30° C .45° D .60°第1题2.如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则△ADE 的面积是（ ）.A .3B .23 C .433D .323.如图，等腰直角三角形BDC 的顶点D 在等边三角形ABC 的内部，∠BDC = 90°，连结AD ，过点D 作一条直线将△ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角的度数分别是 _________ .4.如图，∠MON = 30°，点B 1在边OM 上，且OB = 2，过点B 1作B 1A 1⊥OM 交ON 于点A 1，以A 1B 1为边在A 1B 1右侧作等边三角形A 1B 1C 1；过点C 1作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 2，A 2，以A 2B 2为边在A 2B 2的右侧作等边三角形A 2B 2C 2；过点C 2作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点B 3，A 3，以A 3B 3为边在A 3B 3的右侧作等边三角形A 3B 3C 3…按此规律进行下去，则△A n A n+1C n 的面积为 _________ （用含正整数n 的代数式表示）.5.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC上的点，且AB= CD，AD与BE相交于点F，CF⊥BE.求证:（1）BE = AD.（2）BF = 2AF.6.已知△ABC，△EFG是边长相等的等边三角形，D是边BC，EF的中点.（1）如图1，连结AD，GD，则∠ADC= _________ 度；∠GDF= _________ 度；AD与GD的数量关系是 _________ ；DC与DF的数量关系是 _________ .（2）如图2，直线AG，FC相交于点M，求∠AMF的大小.冲刺重高1.如图，在等边三角形ABC中，在AC边上取两点M，N，使∠MBN= 30°.若AM = m，MN = x，CN = n，则以x，m，n为边长的三角形的形状为（）.A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x，m，n的值而定2.如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm时，这个六边形的周长为（）.A.30 cmB.40 cmC.50 cmD.60 cm3.在等边三角形ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）.A.1个B.4个C.7个D.10个4.如图，等边三角形RST的顶点R，S，T分别在等腰三角形ABC的边AB，BC，CA 上，设∠ART= x°，∠RSB= y°，∠STC= z°，用含y，z的代数式表示x是_________ .5.如图，点P是等边三角形ABC内部一点，且∠APC= 117°，∠BPC= 130°.求以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数.2 3 4 5 67。
八年级全等三角形(培优篇)(Word版 含解析)
八年级全等三角形（培优篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______．【答案】①③④【解析】【分析】①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误．【详解】∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°，∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ，故①正确；若∠EBC=∠C ，则∠C=12∠ABC ， ∵∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，∴∠ABF=∠EBD ，∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ，又∵∠BAD=∠C ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AF=AE ，故③正确；∵AG是∠DAC的平分线，AF=AE，∴AN⊥BE，FN=EN，在△ABN与△GBN中，∵90ABN GBNBN BNANB GNB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABN≌△GBN（ASA），∴AN=GN，又∵FN=EN，∠ANE=∠GNF，∴△ANE≌△GNF（SAS），∴∠NAE=∠NGF，∴GF∥AE，即GF∥AC，故④正确；∵AE=AF，AE=FG，而△AEF不一定是等边三角形，∴EF不一定等于AE，∴EF不一定等于FG，故⑤错误．故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理，全等三角形的判定和性质定理，直角三角形的性质定理，掌握掌握上述定理，是解题的关键．2．如图，已知正六边形 ABCDEF 的边长是 5，点 P 是 AD 上的一动点，则 PE+PF 的最小值是_____．【答案】10【解析】利用正多边形的性质，可得点B关于AD对称的点为点E，连接BE交AD于P点，那么有PB=PF，PE+PF=BE最小，根据正六边形的性质可知三角形APB是等边三角形，因此可知BE 的长为10，即PE+PF的最小值为10.故答案为10.3．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P 1OP 2是等腰三角形是解题的关键．4．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，∴OA为PC的垂直平分线，OB是PD的垂直平分线，∵OP=5cm，∴12COA AOP COP，12POB DOB POD，PE=CE，OP=OC=5cm，PF=FD，OP=OD=5cm，∵△PEF的周长是5cm，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm，∴CD=OD=OD=5cm，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴11122230 AOB AOP BOP COP DOP COD，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．5．在锐角三角形ABC中．BC=32，∠ABC=45°，BD平分∠ABC．若M，N分别是边BD，BC上的动点，则CM＋MN的最小值是____．【答案】4【解析】【分析】过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN 的最小值，再根据32ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长．【详解】解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，∵32ABC=45°，BD平分∠ABC，∴△BCE是等腰直角三角形，∴CE=BC•cos45°=32×22=4． ∴CM+MN 的最小值为4．【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，难度较大,根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形，利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键．6．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．7．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，点D 在边AB 上，∠ACD =15°，则AD BC =____．【答案】2． 【解析】【分析】根据题意作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH ＝DH ，连接DH ，并设AD ＝2x ，解直角三角形求出BC （用x 表示）即可解决问题．【详解】解：作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH=DH ，连接DH ．设AD=2x ，∵AB=AC ，∠A=30°， ∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，∴∠HDC=∠HCD=15°，∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，∴DH=HC=2x ，FH 3=，∴3x ，在Rt △ACE 中，EC 12=AC=x 3+，AE 3=3=， ∴BE=AB ﹣AE 3=﹣x ，在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =+=2x ，∴222AD BC x ==． 故答案为：22． 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．8．如图，BD 是ABC 的角平分线，AE BD ⊥，垂足为F ，且交线段BC 于点E ，连结DE ，若50C ∠=︒，设 ABC x CDE y ∠=︒∠=︒,，则y 关于x 的函数表达式为_____________．【答案】80y x =-【解析】【分析】根据题意，由等腰三角形的性质可得BD 是AE 的垂直平分线，进而得到AD ＝ED ，求出BED ∠的度数即可得到y 关于x 的函数表达式．【详解】∵BD 是ABC ∆的角平分线，AE BD ⊥∴1122ABD EBD ABC x ∠=∠=∠=︒，90AFB EFB ∠=∠=︒ ∴1902BAF BEF x ∠=∠=︒-︒ ∴AB BE =∴AF EF =∴AD ED =∴DAF DEF ∠=∠∵180BAC ABC C ∠=︒-∠-∠，50C ∠=︒∴130BAC x ∠=︒-︒∴130BED BAD x ∠=∠=︒-︒∵CDE BED C ∠=∠-∠∴1305080y x x ︒=-︒-︒=︒-︒∴80y x =-，故答案为：80y x =-．本题主要考查了等腰三角形的性质及判定，三角形的内角和定理，三角形外角定理，角的和差倍分等相关知识，熟练运用角的计算是解决本题的关键．9．如图，在Rt ABC △中，AC BC =，D 是线段AB 上一个动点，把ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A '处，当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，ADC ∠的大小为________．【答案】112.5︒或67.5︒【解析】【分析】当A D '平行于Rt ABC △的直角边时，有两种情况，一是当A D BC '时，二是当A D AC '时，两种情况根据折叠的性质及等腰三角形的性质进行角度的计算即可．【详解】如图1，当点D 在线段AB 上，且A D BC '时，45A DB B '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠-=︒︒，解得112.5A DC ADC '∠=∠=︒.图1 如图2，当A D AC '时，45A DB A '∠=∠=︒，45180ADC A DC '∴∠+∠+=︒︒，解得67.5A DC ADC '∠=∠=︒.图2本题考查了翻折变换的性质，等腰直角三角形的性质，掌握折叠的性质是解题关键．10．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.【答案】1702n -︒ 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.【详解】在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°可得：∠1BAA =∠1BA A =70°在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2可得：∠112A B A =∠121A A B根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B∴∠112A B A =∠121A A B =702︒ 同理可得：∠232A A B =2702︒ ∠343A A B =3702︒ …….以此类推：∠A n =1702n -︒ 故答案为：1702n -︒. 【点睛】本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..二、八年级数学轴对称三角形选择题（难）11．已知：如图，点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，AE与BD相交于点F，给出下面四个条件：①∠1=∠2；②AD=BE；③AF=BF；④DF=EF，从这四个条件中选取两个，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定进行判断即可．【详解】选取①②:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEAD BEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取①④:在ADF∆和BEF∆中1=2{12AFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠∠∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=选取③④:在ADF∆和BEF∆中={12AF BFAFD BFEFD FEADF BEFAF BFFAB FBACAB CBAAC BC∠=∠=∴∆≅∆∴=∴∠=∠∠=∠∴∠=∠∴=故选C.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，是一道开放性的题目，能培养学生分析问题的能力．12．已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点构成的三角形是 （ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形 【答案】C【解析】【分析】根据题意，作出相应的图形，然后对相应的角进行标记；本题先证明P 1，O ，P 2三点构成的三角形中1260POP ∠=︒，然后证边12OP OP OP ==，得到P 1，O ，P 2三点构成的三角形为等腰三角形，又因为该等腰三角形有一个角为60︒，故得证P 1，O ，P 2三点构成的三角形是等边三角形。
八年级数学上册等边三角形讲义(新版)苏科版
八年级数学上册等边三角形讲义（新版）苏科版重难点易错点解析例1.题面：如图，△ABC为等边三角形，∠BAD=∠CBE=∠ACF．(1)求∠EDF的度数；(2)求证：△DEF为等边三角形．等边三角形的定义：三边相等的三角形是等边三角形等边三角形的性质：三边相等，3个60°等边三角形的判定：3边相等，2个60°，含有1个60°的等腰三角形例2.题面：已知，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，请证明：AB=2BC.30°的直角三角形：30°所对的直角边是斜边的一半金题精讲题一题面：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点.(1)若AD=BE=CF．试证明△DEF是等边三角形．(2)若△DEF是等边三角形，那么AD=BE=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明原因.题二题面：如图，等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点．求证：AE=BD．题三题面：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=8，求AC的长．题四题面：如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．(1)请证明：OB=AD．(2)△AOD能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．思维拓展题面：等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.讲义参考答案重难点易错点解析例1.答案：(1)60° (2)略两个60°例2.答案：略金题精讲题一答案：(1)略(2)是，证明略题二答案：略题三。
人教版八年级上册数学《等边三角形》培优说课教学复习课件
探索新知
知识点2 等边三角形的判定 当60°角为底角时
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°. 求证：△ABC是等边三角形. 证明：∵AB=AC，∠B=60°,∴∠C=∠B=60°.
∴∠A=180°-（∠B+∠C）=60°, ∴∠A=∠B=∠C. ∴△ABC是等边三角形.
A
B
C
探索新知
E
B
D
C
课堂练习
7.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且
AD=CE，则∠BCD+∠CBE的大小是多少？ A
解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠A=∠ABC=60°，且AB=BC=AC.
D E
又AD=CE，
∴△ADC≌△CEB（SAS），∴∠ACD=∠CBE.
B
C
∴∠BCD+∠CBE=∠BCD+∠ACD=∠ACB=60°.
∴∠CDE=∠E.∴CD=CE.
A
∵等边三角形ABC的边长为3，点D是AC的中点,
∴CE=CD= 3 .
2
B
D CE
探索新知
知识点2 等边三角形的判定 性质
等边三角形
？？？判定？？？
三个内角相等
该怎么证明呢？
探索新知
知识点2 等边三角形的判定
已知：如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C.
A
求证：△ABC是等边三角形.
6cm
6cm
6cm
6cm
6cm 4cm
类比探究
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
已知：AB=AC=BC ，求证：∠A=？,∠ B=？,∠C=?.
A
证明： ∵AB=AC.
浙教版八年级上册几何部分 第6讲 等边三角形
A 第6讲 等边三角形知识要点：1．等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60．等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；3．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．例题精讲例1、如图，△DAC 和△EBC 均是等边三角形，A 、C 、B 三点在一条直线上。
AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，AE 与BD 交于点F （1）求证：△ACE ≌△DCB; （2）求∠AFD 的度数； （3）判断△CMN 的形状类题演练1．如图，在正△ABC 中，D ,E 分别是BC 、AC 上的一点，且AE ＝CD ．AD 与BE 相交于点P ，且BQ ⊥AD 于Q ．求证BP ＝2PQQ C2．如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 是BC 延长线上一点，当P A ＝CQ 时，连接PQ 交AC 于D ，求DE 的长．例2、P 是△ABC 内一点，∠PBC ＝30°，∠PBA ＝8°，且∠P AB ＝∠P AC ＝22°，求∠APC 的度数解析：直接利用相关知识，求不出来，那就必须要作辅助线了。
看到角平分线，常见的辅助线有三种（在第二讲中学习过）。
在AC 的延长线上截取AF=AB ，连BF ，PF ，延长AP 交BC 于D ，交BF 于E 显然△APB ≌△APF （SAS ） ∴ PB=PF ，∠ABP=∠AFP=8°，∠APB=∠APF又∵∠P AB ＝∠P AC ＝22° ∴∠FPE=∠BPE=30°，故∠BPF=60°∴ △PBF 为等边三角形 ∴ ∠PBC ＝∠FBC=30°由等腰三角形的三线合一可知，BC 垂直平分PF ∴ CP=CF ，故∠CPF =∠CFP=8° ∠BPE=∠BAP +∠ABP =30°=∠PBC 则△APB ≌△APF∴AP 垂直平分BF ，∠AFP =8°∴∠APC=180°-∠FPE -∠CPF =142°类题演练3．如图，D 是等边三角形ABC 内一点，E 为△ABC 外部一点，满足DA ＝DB ，BE ＝BA ，∠DBE ＝∠DBC ．求∠BED 的度数．4．如图．D 是△ABC 外一点．AB ＝AC ＝BD ＋CD ，∠ABD ＝60°求∠ACD 的度数．C B A C BB例3、如图1，△ABC 等边三角形，△BDC 是顶角120°的等腰三角形，以D 为顶点作60°的角，它的两边分别与AB 、AC 交于点M 和N ，连接MN ．（1）探究：BM 、MN 、NC 之间的关系，并加以证明；（2）若点M 、N 分别在射线AB 、CA 上，其他条件不变，再探究线段BM 、MN 、NC 之间的关系，在图2中画出相应的图形．并就结论说明理由类题演练5、如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，求证：AC ＝BC ＋DC ．例4、问题：如图1，在等边三角形ABC 内有一点P ，且PA=2， PB=3， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形ABC 的边长．李明同学的思路是：将△BPC 绕点B 逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′，可得△P′P B 是等边三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′B=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°．进而求出等边△ABC 的边长为7．问题得到解决．请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA=5，BP=2，PC=1．求∠BPC 度数的大小和正方形ABCD 的边长．图3B类题演练6、M 为等边△ABC 外一点，∠BMC＝120°，把△ABM 绕着点A 按逆时针方向旋转60°到△CAN 的位置。
[数学]-必考点10 等边三角形的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学
![[数学]-必考点10 等边三角形的性质与判定-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年八年级数学](https://img.taocdn.com/s3/m/ce5e0d532379168884868762caaedd3383c4b583.png)
【例题5】（2020秋•环江县期中）如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD．求证：MB＝ME．
【解题技巧提炼】
等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
（1）当P在AB边上运动时，BP＝，BQ＝．
（2）当PQ∥AC时，求t的值．
【解题技巧提炼】
解决与等边三角形相关动态探究题的问题时，主要是“化动为静”，根据等边三角形、等腰三角形以及全等三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键．
◆◆◆题型一等边三角形的性质
1．（2022春•保山期末）如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（ ）
（2）（类比探究）
当点D是线段BC上（不与点B，C重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想AD与DE
之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）（拓展应用）
当点D在BC的延长线上时，满足CD＝BC，其他条件不变，连接AE，请在图③中补全图形，并直接写出∠AED的大小．
◆◆◆题型七与等边三角形相关动态探究题
14．（2022秋•吴江区校级月考）在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．
（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；
（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？
等边三角形(专项练习)(培优练)(教师版) 2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破
专题13.9等边三角形（精选精练）（专项练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（24-25八年级上·全国·假期作业）如图，ABC 是等边三角形，AD 为中线，E 为AB 上一点，且AD AE =，则EDB ∠等于（）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．30︒2．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，P 是等边三角形ABC 的边AC 的中点，E 是BC 边延长线上一点，PE PB =，则CPE ∠的度数是（）A ．15︒B ．30︒C ．35︒D ．45︒3．（22-23八年级上·江西上饶·阶段练习）下列对ABC 的判断，错误的是（）A ．若AB AC =，=60B ∠︒，则ABC 是等边三角形B ．若::347A BC ∠∠∠=：：，则ABC 是直角三角形C ．若20A ∠=︒，80B ∠=︒，则ABC 是等腰三角形D ．若AB BC =，40C ∠=︒，则40B ∠=︒4．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，90MON ∠=︒，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OM ，ON 于点A ，D ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，与弧AD 交于点B ，连接OB 、AB ，AB 的延长线交ON 于点C ，若4OD =，则CB 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．（2024·山东·模拟预测）如图，两块三角板ABC 、BDE 按如图所示方式摆放，且45EBC ∠=︒，连接CE ，若3AB =，2BD =，则四边形ABEC 的面积为（）A ．9B ．11C ．D ．2126．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，已知30MON ∠=︒，点123,,A A A ，…在射线ON 上，点123,,B B B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形，若12OA =，则202320232024A B A 的边长是（）A ．4046B ．4048C ．20232D ．202427．（2024·山东聊城·模拟预测）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BD 于点M ，交BC 于点E ，连接DE ，则:CDE ABC S S △△的值是（）A ．1:2B 3C ．2:5D ．1:38．（23-24八年级下·江西九江·期末）如图，在等腰ABC 中，顶角20A ∠=︒，点D 为AC 边上的一点，30ABD ∠=︒，点E 为AB 上一点，20ECB ∠=︒，则BDE ∠的度数为（）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒9．（23-24八年级下·陕西榆林·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，=60B ∠︒，4AB =，点D 是直线BC 上一动点，连接AD ，在AD 的右侧作等边ADE V ，连接CE ，当线段CE 的长度最小时，线段CD 的长度为（）A ．3B ．1C ．2D 310．（23-24八年级下·广东深圳·期末）如图，ABC 与ADE V 均为等边三角形，EB EP =，点B ，C ，D ，P 在一条直线上，2AB =，则PD 的长为（）．A ．4B ．23C ．25D ．1252-二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2024·吉林松原·三模）如图，已知线段AB ，分别以点A B 、为圆心，AB 长为半径作圆弧，两弧相交于点C 、D ，连接CD ，交线段AB 于点E ，以点E 为圆心，AE 长为半径作圆弧，交线段CE 于点F ，连接BC 、BF ，则FBC ∠=度．12．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在等边ABC 中，BD 平分ABC ∠，点E 是BC 延长线上一点，且CE CD =，连接DE ，则BDE ∠=．13．（23-24八年级上·江苏连云港·期末）已知：如图，在ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，BE AC ⊥于点D ，且DE DB =，则CEB 是三角形．14．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期末）将含30︒角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知60α∠=︒，点B ，点C 表示的刻度分别为1cm,3cm ，则ABC 的周长为cm ．15．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，等边三角形ABC 中，D 、E 分别为AB BC 、边上的两动点，AE 与CD 交于点F ，AG CD ⊥于点G ，若AD BE =，则FG AF =．16．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，将长方形纸片ABCD 对折，使AD 与BC 重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B 落在EF 上，并使折痕经过点A ，得到折痕AM ，点B ，E 的对应点分别为G ，H ，展平纸片，连结BG ，BH ，则ABH ∠与GAM ∠的关系是．17．（23-24八年级上·浙江台州·期末）一副三角板如图叠放，90C DFE ∠=∠=︒，30,45,A D AC DE ∠=︒∠=︒=，,AC DE 互相平分于点O ，点F 在边AB 上，边,AC EF 交于点H ，边,AB DE 交于点G ．（1）AFE ∠=；（2）若GF a =，则AH =（用含a 的代数式表示）．18．（23-24八年级上·河北保定·期末）（1）如图1，ABD △，AEC △都是等边三角形，线段BE 和CD 之间的数量关系为．（2）如图2，AO MN ⊥，垂足为O ，6AO =，B 为直线MN 上一动点，以AB 为边向右作等边ABC ，则线段OC 的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23-24七年级下·辽宁朝阳·期末）已知ABC ，ADE V 均为等边三角形，点E 是ABC 内的任意一点，(1)如图，试说明BD CE=(2)当DBE 为等腰直角三角形时，ABD ∠=________（直接写答案）20．（8分）（22-23八年级上·重庆丰都·期末）如图，点E 在ABC 的外部，点D 在BC 上，DE 交AC 于点F ，23∠∠=，AE AC =，DE BC =．(1)求证：ABC ADE △△≌．(2)若260∠=︒，猜想ABD △的形状并证明．21．（10分）（23-24七年级下·山东威海·期末）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，点D 从点A 以1cm /s 的速度向点C 运动，同时点E 从点C 以2cm /s 的速度向点B 运动，运动时间为()s t ．(1)当t =时，DEC 为等边三角形；（直接写结果）(2)当t 为何值时，DEC 为直角三角形？22．（10分）（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）ABC 是等边三角形，点D 是AC 边上动点，()030CBD αα∠=<< ，把ABD △沿BD 对折，得到A BD ' ．(1)如图1，若15α=o ，则CBA ∠'=____︒．(2)如图2，点P 在BD 延长线上，且DAP DBC α∠=∠=，连接CA '，若A '，C ，P 三点共线．①求证：BP 平分APC ∠；②若5cm BP =，1cm CP =，求CA '的长．23．（10分）（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，90ABC ADC ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点E ，ABD ADB ∠=∠．(1)求证：AC 垂直平分BD ；(2)如图2，过点B 作BF CD ∥交CA 的延长线于点F ，若AB AF =；①求证：BCD △是等边三角形；②如果G 、H 分别是线段AC 、线段CD 上的动点，当GH AH +的值最小时，写出此时GH 与CH 的数量关系，并说明理由．24．（12分）（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上，且AB AE =，AF 平分CAE ∠交DE 于点F ，连接FC ．(1)如图1，求证：ABE ACF ∠=∠；(2)如图2，当60ABC ∠=︒时，在BE 上取点M ，使BM EF =，连接AM ．求证：AFM △是等边三角形；(3)如图3，当45ABC ∠=︒，且AE BC ∥时，求证：2BD EF =．参考答案：1．A【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解30BAD ∠=︒，AD BC ⊥，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得ADE ∠的度数，进而可求解．【详解】解：ABC 为等边三角形，60BAC C ∴∠=∠=︒，AD 是等边三角形ABC 的中线，1302BAD BAC ∴∠=∠=︒，AD BC ⊥，AD AE = ，ADE AED ∴∠=∠，180AED ADE BAD ∠+∠+∠=︒ ，75ADE ∴∠=︒，15EDB ∴∠=︒，故选：A ．2．B【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，“三线合一”以及三角形外角的定义和性质等知识，掌握“三线合一”是解答本题的关键．根据“三线合一”可得BP 平分ABC ∠，可得30PBC ∠=︒，根据CPE ACB E ∠=∠-∠即可作答．【详解】∵P 是等边三角形ABC 的边AC 的中点，∴BP 平分ABC ∠，60ABC ACB ∠=︒=∠，∴30PBC ∠=︒，∵PE PB =，∴30PBC E ∠=∠=︒，∴30CPE ACB E ∠=∠-∠=︒，故选：B ．3．D【详解】解：A.AB AC = ，=60B ∠︒，ABC ∴△是等边三角形，故该选项正确；B.::347A B C ∠∠∠=：： ，∴最大角为：718090347C ∠=︒⨯=︒++，ABC ∴△是直角三角形，故该选项正确；C.20A ∠=︒ ，80B ∠=︒，180180208080C A B ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，B C∴∠=∠ABC ∴△是等腰三角形，故该选项正确；D.AB BC = ，40C ∠=︒，40A C ∴∠=∠=︒，故该选项错误；故选：D【点拨】本题考查了等腰三角形、等边三角形、直角三角形的判定及性质，熟练掌握和运用各图形的判定与性质是解决本题的关键4．B【分析】由题意得4AO AB OB OD ====，则可得AOB 是等边三角形，则60AOB BAO ∠=∠=︒，进而可得COB BCO ∠=∠，则可得4CB OB ==．本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：由题意得4AO AB OB OD ====，AOB ∴ 是等边三角形，60AOB BAO ∴∠=∠=︒，90AOC ∠=︒ ，90AOB COB BAO BCO ∴∠+∠=∠+∠=︒，COB BCO ∴∠=∠，4CB OB ∴==．故选：B5．D【分析】本题考查直角三角形性质，等腰直角三角形性质，平行线的判定，以及梯形面积公式，利用直角三角形性质得到24BE BD ==，利用等腰三角形性质得到3AC AB ==，证明AC BE ∥，进而得到四边形ABEC 是直角梯形，再利用梯形的面积公式求解，即可解题．【详解】解：由题知，30BED ∠=︒，2BD =，24BE BD ∴==，由题知，45ABC ACB ∠=∠=︒，90A ∠=︒，3AB =，∴3AC AB ==，45EBC ACB ∠=︒=∠，∴∥AC BE ，∴四边形ABEC 是直角梯形，则四边形ABEC 的面积为()12134322⨯+⨯=．故选：D ．6．C【分析】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的外角性质，等腰三角形的判定及其性质，总结出规律是解题的关键．根据等边三角形的性质得到11260∠=︒B A A ，根据三角形的外角性质求出1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，得到11∠=∠OB A MON ，根据等腰三角形的判定定理得到1112A B OA ==，然后找到规律即可得解．【详解】∵112A B A △为等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，∴11∠=∠OB A MON ，∴1112A B OA ==，同理可得222242A B OA ===，333382A B OA ===，……，∴202320232024A B A 的边长为20232．故选：C ．7．D【分析】先根据30︒角的直角三角形的性质得到12AB AC =，证明()SAS ABE ADE △≌△，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵90ABC ∠=︒，60BAC ∠=︒，∴90906030C BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∴12AB AC =，由题意得：AB AD =，AP 平分BAC ∠，∴BAE DAE ∠=∠，在ABE 与ADE V 中，AB AD BAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADE △≌△，∴ABE ADE S S =△△，∵12AD AB AC ==，∴AD CD =，∴ADE CDE S S = ，∴3ABC CDE S S =△△，∴:1:3CDE ABC S S =△△．故选：D ．【点拨】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，30︒角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．A【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质等知识，先根据等腰三角形的性质求出80ACB ABC ∠=∠=︒，再由三角形内角和定理得50BDC ∠=︒，可得BC DC =，再由三角形内角和定理求出80CEB ∠=︒，60ACE ∠=︒，得EC BC CD ==，即可得DCE △是等边三角形，可求出60CDE ∠=︒，从而可得结论．【详解】解：∵在等腰ABC 中，顶角20A ∠=︒，∴AB AC =，∴()118020802ACB ABC ∠=∠=⨯︒-︒=︒，∵30ABD ∠=︒，∴50CBD ABC ABD =-=︒∠∠∠，∵180BDC ACB DBC ∠+∠+∠=︒，∴180180508050BDC DBC BCD ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∴50DBC BDC ∠=∠=︒，∴BC DC =，∵80ACB ABC ∠=∠=︒，20BCE ∠=︒，∴18080CEB EBC BCE ∠=︒-∠-∠=︒，60ACE ACB BCE ∠=∠-∠=︒，∴CEB EBC ∠=∠，∴EC BC =，∴EC DC =，∵60ACE ∠=︒，∴DCE △是等边三角形，∴60EDC ∠=︒，∴605010BDE EDC BDC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：A9．A【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度的直角三角形的性质，灵活运用以上知识解题是解题的关键．在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，再证明,ADF AEC ≌可得,CE DF =再利用DF BC ⊥时，DF 最短，从而可得答案．【详解】解：在AC 的左侧作等边三角形ACF ，连接CE 、BF 、FD 、CF ，90,60,ACB B ∠=︒∠=︒ 则30,BAC ∠=︒∴603030FAB FAC BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴点C 、F 关于AB 对称，∴60ABF ABC ∠=∠=︒，114222BF BC AB ====，,AFC ADE 均为等边三角形，60FAD DAC ∴∠+∠=︒，60DAC EAC ∠+∠=︒，,,AF AC AD AE ==FAD EAC ∴∠=∠，()SAS ADF AEC ∴ ≌，DF EC ∴=，∴当DF BC ⊥时，DF 最小，即此时CE 最小，∵60,2,ABC ABF BC BF ∠=∠=︒==60,30,FBD DFB ∴∠=︒∠=︒∴112122BD BF ===，∴CD 的长度为123BD CB +=+=，故选：A ．10．A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理成为解题的关键．连接CE ，过E 作EF BP ⊥与F ，根据等腰三角形的性质可得12BF PF BP ==，再根据等边三角形的性质可得2,60AB BC AC ABC ACB BAC ===∠=∠=∠=︒、2,60AD AE DE ADE AED DAE ===∠=∠=∠=︒，进而得到BAD CAE ∠=∠，再证()SAS ABD ACE ≌可得,60BD CE ABD ACE =∠=∠=︒；然后说明30CEF ∠=︒可得12CF EC =；设CF x =，则2CE x =，然后用x 表示出2BD CE x ==、242BP BF x ==+，然后根据线段的和差即可解答．【详解】解：如图：连接CE ，过E 作EF BP ⊥与F ，∵EB EP =，∴12BF PF BP ==，∵ABC 为等边三角形，∴2,60AB BC AC ABC ACB BAC ===∠=∠=∠=︒，∵ADE V 为等边三角形，∴,60AD AE DE ADE AED DAE ==∠=∠=∠=︒，∴60BAC DAE ∠=∠=︒，∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠，即BAD CAE ∠=∠，在ABD △和ACE △中，,,AB AC BAD CAE AD AE =∠=∠=，∴()SAS ABD ACE ≌，∴,60BD CE ABD ACE =∠=∠=︒，∵60ACB ∠=︒，∴60ECF ∠=︒，∵EF BP ⊥，∴30CEF ∠=︒，∴12CF EC =设CF x =，则2CE x=∴2BD CE x ==，∵2BC =，∴2BF BC CF x =+=+，即2BF PF x ==+，∴242BP BF x ==+，∴4224DP BP BD x x =-=+-=．故选A ．11．15【分析】本题考查了作图—基本作图、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，由题意得出ABC 是等边三角形，BEF △为等腰直角三角形，从而得出60ABC ∠=︒，45EBF ∠=︒，最后再由FBC ABC EBF ∠=∠-∠计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．【详解】解：如图，连接AC ．由作图可知AC BC AB ==，EC 垂直平分线段AB ，BE EF =，∴ABC 是等边三角形，BEF △为等腰直角三角形，∴60ABC ∠=︒，45EBF ∠=︒，∴604515FBC ABC EBF ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：15．12．120︒/120度【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等边三角形的性质可得60ABC ACB ∠=∠=︒，=90BDC ∠︒，再由CE CD =，可得E CDE ∠=∠，然后根据三角形外角的性质可得1302CDE ACB ∠=∠=︒，即可求解．【详解】解：∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ACB ∠=∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴BD AC ⊥，即=90BDC ∠︒，∵CE CD =，∴E CDE ∠=∠，∵ACB E CDE ∠=∠+∠，∴1302CDE ACB ∠=∠=︒，∴120BDE BDC CDE ∠=∠+∠=︒．故答案为：120︒．13．等边【分析】本题考查等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解答时先由三线合一得到CD AD =，再证明CDE ADB △≌△可得到CE AB BC ==，进而证明CEB 为等边三角形．【详解】解：∵ABC 中，AB BC =，120ABC ∠=︒，BE AC ⊥于点D ，∴CD AD =，1602CBE ABC ∠=∠=︒，∵DE DB =，CDE ABD ∠=∠，∴CDE ADB≌∴CE AB =，∵AB BC=∴CE BC=∵60CBE ∠=︒，∴CEB 为等边三角形．故答案为：等边14．6【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出60ACB ∠=︒是解题的关键．根据平行线的性质得出60ACB ∠=︒，进而可得ABC 是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵直尺的两边平行，∴60ACB α∠=∠=︒，又60A ∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∵点B ，C 表示的刻度分别为1cm,3cm ，∴2cm BC =，∴2cm AB BC AC ===，∴ABC 的周长为6cm ，故答案为：6．15．12/0.5【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，证得60AFG =︒∠是解答的关键．先根据题意推出CAE BCD ≌△△，可知DCB CAE ∠=∠，因此60AFG =︒∠，所以30FAG ∠=︒，即可推出结论．【详解】解：∵等边三角形ABC ，∴AB BC AC ==，60ACB B ∠=∠=︒，∵AD BE =，∴AB AD BC BE -=-，∴CE BD =，∴()SAS CAE BCD ≌，∴DCB CAE ∠=∠，∴60AFG CAF ACF ACF DCB ∠=∠+∠=∠+∠=︒，∵AG CD ⊥，∴30FAG ∠=︒，∴12FG AF =．故答案为：12．16．相等【分析】本题考查了翻折变换，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握翻折变换的性质、证明三角形全等是解题的关键．由翻折知，EF 垂直平分AB ，则AG BG =；又由翻折知，AB AG =，GAM BAM ∠=∠；从而得ABG 是等边三角形，则得30GAM ∠=︒；再证明AEG AHB △≌△得30ABH AGE ∠=∠=︒，即可得两角的关系．【详解】解：由第一次翻折知，EF 垂直平分AB ，12AG BG AGE AGB ∴=∠=∠，；又由第二次翻折知，AB AG =，GAM BAM ∠=∠；AG BG AB ∴==，ABG ∴ 是等边三角形，60BAG AGB ∴∠=∠=︒，30GAM ∴∠=︒，1302AGE AGB ∠=∠=︒；E 点的对应点为点H ，AE AH ∴=；GAM BAM AB AG ∠=∠= ，，AEG AHB ∴△≌△，30ABH AGE ∴∠=∠=︒，30ABH GAM ∴∠=∠=︒．故答案为：相等．17．75︒32a【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对应的直角边是斜边的一半，是解题的关键．（1）连接FO ，推出FO DE ⊥，OF OA =，进而得到30AFO A ∠=∠=︒，得到15AFD ∠=︒，利用互余关系，求出AFE ∠即可；（2）利用含30度的直角三角形的性质得到12OG FG =，证明AOG 为等腰三角形，进而得到AG OG =，求出AF 的长，证明AFH 为等腰三角形，得到AH AF =即可．【详解】解：（1）连接FO ，∵45D ∠=︒，∴45E ∠=︒，∴DF EF =，∵,AC DE 互相平分于点O ，DF FE =，∴OF DE ⊥，∴45OFD ∠=︒，∴OF OD =，∵AC DE =，∴OA OD OF ==，∴30AFO A ∠=∠=︒，∴15AFD OFD OFA ∠=∠-∠=︒，∴75AFE DFE AFD ∠=∠-∠=︒，故答案为：75︒；（2）∵75AFE ∠=︒，30A ∠=︒，∴180307575AHF ∠=︒-︒-︒=︒，∴AHF AFE ∠=∠，∴AH AF =，∵OF DE ⊥，30AFO ∠=︒，∴1122OG GF a ==，60OGF ∠=︒，∵OGF A AOG ∠=∠+∠，∴30AOG A ∠=︒=∠，∴12AG OG a ==，∴32AH AF AG GF a ==+=；故答案为：32a ．18．BE CD =3【分析】（1）根据SAS 证明DAC BAE ≌△△即可得出线段BE 和CD 之间的数量关系；（2）以AO 为一边在AO 的左边作等边AOE △，作ED MN ⊥于点D ，连接BE ，根据SAS 证明EAB OAC ≌即可得出，求出OE 的最小值即可．【详解】解：（1）∵ABD △，AEC △都是等边三角形，∴,,60AD AB AE AC BAD CAE ==∠=∠=︒，∴DAC BAE ∠=∠，∴()SAS DAC BAE ≌，∴BE CD =．故答案为：BE CD =；（2）以AO 为一边在AO 的左边作等边AOE △，作ED MN ⊥于点D ，连接BE ，∵ABC ，AEO △都是等边三角形，∴6,,60AO EO AB AC BAC OAE ===∠=∠=︒，∴EAB OAC ∠=∠，∴()SAS EAB OAC ≌，∴BE OC =，∴点B 与点D 重合时，线段OC 取得最小值．∵90,60AOB AOE ∠=︒∠=︒，∴30EOD ∠=︒，∴132DE EO ==，∴线段OC 的最小值为3．故答案为：3．【点拨】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．19．(1)见解析(2)15︒或30︒或45︒【分析】本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相关知识．（1）先根据等边三角形的性质得出AC AB BC ==，AE AD ED ==，CAB EAD ∠=∠，从而得到CAE BAD ∠=∠，证得()ACE ABD SAS ≌，即可得出结论；（2）当DBE 为等腰直角三角形时，有三种情况，90BDE ∠=︒，90BED ∠=︒，90DBE ∠=︒，分别讨论三种情况下ABD ∠的度数即可．【详解】（1）证明：ABC ，ADE V 均为等边三角形，AC AB BC ∴==，AE AD ED ==，CAB EAD ∠=∠，又CAB CAE EAB EAB BAD EAD ∠=∠+∠=∠+∠=∠ ，CAE BAD ∴∠=∠，()ACE ABD SAS ∴ ≌，BD CE ∴=；（2）解：当DBE 为等腰直角三角形时，若90BDE ∠=︒，则BD DE AD ==，150ADB ADE BDE ∠=∠+∠=︒，()1180152ABD BAD ADB ∴∠=∠=⨯︒-∠=︒；若90BED ∠=︒，则BE DE AE ==，150AEB AED BED ∠=∠+∠=︒，45BDE DEB ∴∠=∠=︒，180152AEB ABE BAE ︒-∠∠=∠==︒，30ABD DBE ABE ∴∠=∠-∠=︒；若90DBE ∠=︒，则BD BE =，∴点B 在线段DE 的垂直平分线上，AD AE = ，∴点A 在线段DE 的垂直平分线上，AB ∴垂直平分线段DE ，190452ABD ABE ∴∠=∠=⨯︒=︒，即15ABD ∠=︒或30︒或45︒，故答案为：15︒或30︒或45︒．20．(1)见解析(2)等边三角形，见解析【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质．（1）根据SAS 证明三角形全等即可；（2）根据ABC ADE △△≌，得出AB AD =，B ADE ∠=∠，求出1602ADB BDE ∠=∠=︒，即可证明结论．【详解】（1）证明：∵2180AFE E ∠+∠+∠=︒，∴1802E AFE ∠=︒-∠-∠，∵3180CFD C ∠+∠+∠=︒，∴1803C CFD ∠=︒-∠-∠，∵23∠∠=，AFE CFD ∠=∠，∴E C ∠=∠，在ABC 和ADE V 中，AC AE C E BC DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABC ADE ≌；（2）解：ABD △是等边三角形，理由如下：∵3260∠=∠=︒，∴1803120BDE ∠=︒-∠=︒，∵ABC ADE △△≌，∴AB AD =，B ADE ∠=∠，∴B ADB ∠=∠，∴ADB ADE ∠=∠，∴1602ADB BDE ∠=∠=︒，∴ABD △是等边三角形．21．(1)1(2)35t =或32【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键.（1）根据等边三角形的性质列出方程求出t 的值；（2）分两种情况讨论:①当DEC ∠为直角时,②当EDC ∠为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出t 的值.【详解】（1）解：根据题意可得AD t =,3,2CD t CE t =-=，∵30,3cm B AC ∠=︒=，∴26cm BC AC ==,∵903060C B ∠=︒-∠=︒=︒,DEC 为等边三角形,∴CD CE =,即32t t -=,解得：1t =,∴当t 为1时,DEC 为等边三角形；（2）①当DEC ∠为直角时,30EDC ∠=︒,12CE DC ∴=，即()123,2t t =-解得35t =；②当EDC ∠为直角时,30DEC ∠=︒,∴1,2CD CE =即132,2t t -=⋅解得32t =.∴当t 为35或32时,DEC 为直角三角形.22．(1)30(2)①见解析；②3CA '=【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键．（1）由ABC 是等边三角形知，60ABC ∠=︒，由15CBD α︒∠==，知A BD ABD ABC α'∠=∠=∠-，2602CBA A BD αABC αα''∠=∠-=∠-=︒-，代入α值即可；（2）①通过折叠性质证明APD A PD ' ≌即可得到结论；②在BP 上取一点P '，使BP AP '=，连接CP '，根据SAS 证BP C APC '≌△△，得CP CP '=，再证CPP ' 是等边三角形，即可得出BP AP CP =+，由ADP A DP '≌△△，得出A P AP '=，即可求出CA '的值．【详解】（1）解：ABC 是等边三角形，60ABC ∴∠=︒，CBD α∠= ，A BD ABD ABC α'∴∠=∠=∠-，2602CBA A BD ABC ααα''∴∠=∠-=∠-=︒-，15α=︒ ，6021530CBA '∴∠=︒-⨯︒=︒，故答案为：30；（2）①证明： 把ABD △沿BD 对折，得到A BD ' ，ABD A BD '∴△≌△，AD A D ADB A DB ''∴=∠=∠，，ADP A DP '∴∠=∠，又PD PD = ，()SAS APD A PD '∴ ≌，APD A PD '∴∠=∠，点P 在BD 延长线上，BP ∴平分APC ∠；②如图，在BP 上取一点P '，使BP AP '=，连接CP '，A P ''，ABC 是等边三角形，60ACB BC AC ∴∠=︒=，，DAP DBC α∠=∠= ，()SAS BP C APC ∴' ≌，CP CP BCP ACP ''∴=∠=∠，，60PCP ACP ACP BCP ACP ACB ''''∴∠=∠+=∠+∠=∠=︒，CP CP '= ，CPP '∴△是等边三角形，60CPB PP CP '∴∠=︒=，，BP BP PP AP CP ''∴=+=+，即BP AP CP =+，点A C P '、、在同一直线上，即PA PC CA ''=+，由①知，APD A PD ' ≌，PA PA '∴=5cm BP = ，1cm CP =，514AP BP CP ∴=-=-=，4A P AP '∴==，413CA A P CP ''∴=-=-=．23．(1)见解析(2)①见解析；②2CH GH =，见解析【分析】（1）根据ABD ADB ∠=∠，可得AB AD =，再由90ABC ADC ∠=∠=︒证明CBD CDB ∠=∠，则CB CD =，利用中垂线的判定定理即可证明；（2）①设F α∠=，根据AB AF =可得ABF F α∠=∠=，由于BF CD ，可得F DCE ∠=∠，根据BAC ∠是ABF △的外角，则2BAC F AFB α∠=∠+∠=，由于90ABC ∠=︒，所以90BCE BAC ∠+∠=︒，从而30α=︒，进而60ACB ∠=︒，结论得证；②延长AD 至A '，使DA DA '=，可得A 与A '关于CD 成轴对称，过A '作A G AC '⊥于G 交CD 于H ，即可，再利用直角三角形中30度角的性质即可得数量关系．【详解】（1）证明：ABD ADB ∠=∠ ，90ABC ADC ∠=∠=︒，AB AD ∴=，ABC ABD ADC ADB ∠-∠=∠-∠，A ∴在BD 的垂直平分上，CBD CDB ∠=∠，CB CD ∴=，C ∴在BD 的垂直平分上，AC ∴垂直平分BD ；（2）①证明：设F α∠=，AB AF = ，ABF F α∴∠=∠=，BAC ∠ 是ABF △的外角，2BAC F AFB α∴∠=∠+∠=，由（1）AC BD ⊥，CB CD =，BCE DCE ∴∠=∠，BF CD ∥，F DCE ∴∠=∠，F BCE α∴∠=∠=，90ABC ∠=︒ ，90BCE BAC ︒∴∠+∠=，即290αα+=︒，则30α=︒，260DCB BCE ∴︒∠=∠=，BC CD = ，BCD ∴△是等边三角形；②GH AH +为最小值时，GH 与CH 的数量关系是2CH GH =，理由：延长AD 至A '，使DA DA '=，CD AD ⊥ ，A ∴与A '关于CD 成轴对称，过A '作A G AC '⊥于G 交CD 于H ，连接AH ，AH A H '∴=，AH GH A H GH A G ''∴+=+=，此时GH AH +为最小，由①知：30DCE ∠=︒，即30GCH ∠=︒，A G AC '⊥ 即GH CG ⊥，∴在GCH Rt 中，30GCH ∠=︒，2CH GH ∴=，GH AH ∴+为最小值时，GH 与CH 的数量关系是2CH GH =．【点拨】本题考查中垂线的判定定理、等腰三角形的判定和性质、含30︒角得的直角三角形的性质、轴对称的性质，综合题，理解题意是解决问题的关键．24．(1)见详解(2)见详解(3)见详解【分析】（1）利用SAS 定理证明ACF AEF △△≌，根据全等三角形的性质得到E ACF ∠=∠，根据等腰三角形的性质得到E ∠=∠ABE ，等量代换证明结论；（2）在FB 上截取BM CF =，连接AM ，证明ABM ACF △≌△，根据全等三角形的性质得到,AM AF BAM CAF =∠=∠，进而证明AMF 为等边三角形；（3）延长,BA CF 交于N ，证明BFN BFC ≌，得到22CN CF EF ==，再证明BAD CAN △≌△，得到BD CN =，等量代换得到答案．【详解】（1）证明：∵AF 平分CAE ∠，EAF CAF ∴∠=∠，,AB AC AB AE == ，AE AC ∴=，在ACF △和AEF △中，AE AC EAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACF AEF SAS ∴ ≌，E ACF ∴∠=∠，AB AE = ，E ABE ∴∠=∠，ABE ACF ∴∠=∠；（2）证明：如图，在FB 上截取BM EF =，连接AM，∵ACF AEF △△≌，∴,EF CF BM E ACF ABM ==∠=∠=∠，在ABM 和ACF △中，AB AC ABM ACF BM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABM ACF SAS ≌，∴,AM AF BAM CAF =∠=∠，∵,60AB AC ABC =∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴60BAC ∠=︒，∴60MAF MAC CAF MAC BAM BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵AM AF =，∴AMF 为等边三角形；（3）证明：如图3，延长BA 、CF 交于N，AE BC ∥，E EBC ∴∠=∠，AB AE = ，ABE E ∴∠=∠，ABF CBF ∴∠=∠，45ABC ∠=︒ ，22.5,45,180454590ABF CBF ACB BAC ∴∠=∠=︒∠=︒∠=︒-︒-︒=︒，22.5ACF ABF ∴∠=∠=︒，18022.54522.590BFC ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，90BFN BFC ∴∠=∠=︒，在BFN 和BFC △中，NBF CBF BF BF BFN BFC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BFN BFC ASA ∴ ≌，CF FN ∴=，即22CN CF EF ==，90BAC ∠=︒ ，90NAC BAD ∴∠=∠=︒，在BAD 和CAN △中，ABD ACN AB AC BAD CAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()BAD CAN ASA ∴ ≌，BD CN ∴=，2BD EF ∴=．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．。
人教版八年级上册 数学三角形动点问题培优练习
人教版八年级上册数学三角形动点问题培优练习1、在等腰三角形ACB中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上的一个动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，则DE+DF=CE。
2、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上的一个动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为12cm。
3、将边长为1的等边三角形OAP按图示方式，沿x轴正方向连续翻转2011次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2007的位置。
P1的坐标为（1，0），P3的坐标为（-1/2，-√3/2），P50的坐标为（-1/2，√3/2），P2011的坐标为（1，0）。
4、在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD=CE。
连接DE、DF、EF。
1）证明：△ADF≌△CEF。
2）证明：△DFE是等腰直角三角形。
5、在等边三角形ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛，它们同时出发，分别以每1个单位的速度沿A向B和由C向A爬行，其中一只蜗牛爬到终点时，另一只也停止运动，经过t分钟后，它们分别爬行到D、E处。
1）在爬行过程中，CD和BE始终相等。
2）证明：∠CQE=60°，若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行，EB与CD交于点Q。
3）若蜗牛沿着BC的延长线爬行，连接DE交AC于F，则爬行过程中，DF始终等于EF。
6、如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M、N分别为EB、CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形。
1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE仍然成立。
2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△XXX不再是等边三角形。
当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比为1:3:4.7、在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点。
八年级数学培优资料word版(全年级全章节培优_保证经典)
目录第01讲全等三角形的性质与判定1经典·考题·赏析1演练巩固·反馈提高5培优升级·奥赛检测7第02讲角平分线的性质与判定10经典·考题·赏析10培优升级·奥赛检测13第3讲轴对称及轴对称变换15经典·考题·赏析15演练巩固·反馈提高18培优升级·奥赛检测20第4讲等腰三角形23经典·考题·赏析23培优升级·奥赛检测30第五讲等边三角形33经典考题赏析33巩固练习反馈提高36第06讲实数38经典·考题·赏析38演练巩固反馈提高39培优升级奥赛检测41第7讲变量与函数43经典·考题·赏析43演练巩固·反馈提高46第8讲一次函数的图象与性质48经典·考题·赏析48演练巩固·反馈提高52培优升级·奥赛检测55第9讲一次函数与方程、不等式56经典·考题·赏析56演练巩固·反馈提高59第10讲一次函数的应用61经典·考题·赏析61演练巩固反馈提高68第11讲幂的运算71经典·考题·赏析71演练巩固反馈提高72培优升级奥赛检测73第12讲整式的乘除75经典·考题·赏析75演练巩固·反馈提高77第13讲因式分解及其应用80经典·考题·赏析80演练巩固反馈提高83培优升级奥赛检测83第14讲分式的概念•性质与运算85经典•考题•赏析85演练巩固反馈提高89培优升级奥赛检测90第15讲分式的化简求值与证明92经典•考题•赏析92演练巩固反馈提高96培优升级奥赛检测98第16讲分式方程及其应用99经典·考题·赏析100演练巩固·反馈提高103培优升级·奥赛检测105第17讲反比例函数的图象与性质106经典·考题·赏析107演练巩固·反馈提高112培优升级·奥赛检测115第18讲反比例函数的应用118经典·考题·赏析118演练巩固反馈提高121培优升级奥赛检测123第19讲勾股定理125经典·考题·赏析125演练巩固·反馈提高130培优升级•奥赛检测132第20讲平行四边形135经典•考题•赏析135演练巩固反馈提高139培优升级奥赛检测141第21讲菱形与矩形143经典·考题·赏析143演练巩固反馈提高147培优升级奥赛检测150第22讲正方形154经典•考题•赏析154演练巩固·反馈提高159培优升级·奥赛检测161第23讲梯形163经典•考题•赏析163演练巩固反馈提高. 165培优升级奥赛检测167第24讲数据的分析171经典·考题·赏析171演练巩固·反馈提高175培优升级·奥赛检测177模拟测试卷（一）180模拟测试卷(二) 183模拟测试卷（三）186AF CEDB B AC DE F第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90.在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A B C D O F E A C EFBD03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58° 02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° ．EC ＝CF得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下B （E ）OC F 图③DAAFECB DEFB ACDG第2题图图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高，∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am21ABC P Q E F D03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA 的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC 05将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于第1题图a αc ca50° b72°58°AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图DN ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09AE ＋DE ＝______10AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB 分别是E 、F .求证：CE ＝DF .D A C .QP.BD B AC EFAE BF D C16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.F 第6题图 21A B C E N M 321 A D E B C F A D E CO AE O BF C D 第1题图 B 第2题图 第3题图 A B CD A 1 B 1C 1D 1AEFC D B A B C DEA EB DC08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
2020-2021学年苏科版八年级上学期数学2.5等边三角形的性质与判断专题培优训练卷
2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学2.5等边三角形的性质与判断专题培优训练卷一、选择题1、在ABC ∆中，有下列判断:①若AB BC CA ==，则ABC ∆为等边三角形;②若A B C ∠=∠=∠，则ABC ∆ 为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.其中正确的有( ) A.1个 B. 2个 C.3个 D. 4个2、如图，D 为等边△ABC 内一点，DB=DA ，BF=AB ，∠1=∠2，则∠BFD 的度数为 ( )A ．15ºB ．20ºC ． 30ºD ．45º3、如图，等边，动点C 从点O 出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位置关系是( )A. 相交B. 平行C. 垂直D. 平行、相交4、如图，在MNP ∆中，60P ∠=︒,MN NP =,MQ PN ⊥，垂足为Q ，延长MN 至G ，使NG NQ =，若MNP ∆的周长为12，MQ a =，则MGQ ∆的周长是( )A.82a +B.8a +C.6a +D.62a +5、如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝2，D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点F 作EF ⊥BC 于点E ，则BE 的长为（ ） A ．1B ．23 C ．45 D ．346、如图，C 是线段AB 上的一点，和都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于则；；；；是等边三角形．其中，正确的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个7、如图，点P 在边长为1的等边的边AB 上，过点P 作于点为BC 延长线上一点，当时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为( )A.31B.21 C.32 D. 不能确定8、如图，ABC ∆，ADE ∆均为等边三角形，AD 平分BAC ∠，下列结论:①AD BC ⊥,②EF FD =, ③BE BD =,④60ABE ∠=︒，其中正确的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.19、如图，已知ΔABC 和ΔCDE 都是等边三角形，且 A 、C 、E 三点共线．AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE ； ②∠AOB=60º； ③AP=BQ ；④ΔPCQ 是等边三角形；⑤PQ ⫽AE ．其中正确结论的有（ ）个 A ．5B ．4C ．3D ．210、如图，△ABM 与△CDM 是两个全等的等边三角形，MA ⊥MD ．有下列四个结论：（1）∠MBC=25°；（2）∠ADC+∠ABC=180°；（3）直线MB 垂直平分线段CD ；（4）四边形ABCD 是轴对称图形． 其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题11、如图所示，已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形，连接AD 、CE ，若∠BAD =39°，那么∠BCE =________12、如图，等边三角形ABC 的边长为1cm ，DE 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A落在点A ′处，在△ABC 外部，则阴影部分的周长为________．13、如图，在等边中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且，则________．14、如图，已知ABC ∆是等边三角形，点,,,B C D E 在同一直线上，且,CG CD DF DE ==，则E ∠= ° .15、如图，直线l 1∥l 2，等边△ABC 的顶点C 在直线l 2上，若边AB 与直线l 1的夹角∠1＝40°，则边AC 与直线l 2的夹角∠2＝ °．16、如图，点P、M、N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC于点M，PN⊥AC于点N，若AB＝12cm，求CM的长为．17、已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的序号是__________18、如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°，其中正确结论有（填序号）．19、如图，等边△中，于，，点、分别为、上的两个定点且BP=AQ=2cm，在上有一动点使最短，则的最小值为________ .20、如图，∠AOB=30°，点P是它内部一点，OP=2，如果点Q、点R分别是OA、OB上的两个动点，那么PQ+QR+RP的最小值是__________．三、解答题 21、如图，，都是等边三角形，BE ，CD 相交于点O ．(1)求证：BE=DC ； (2)求∠BOC 的度数．22、如图，Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，∠ACB ＝30°，D 是AB 上一点（不与A 、B 重合），DE ⊥BC 于E ，若P 是CD 的中点，请判断△PAE 的形状，并说明理由．23、已知点C 为线段AB 上一点，ACM ∆与CBN ∆都是等边三角形.(1)如图1，连接,AN BM ，则AN 与BM 是否相等?请说明理由;(2)如图2,AN 与MC 交于点,E BM 与CN 交于点F ，试择究CEF ∆的形状.24、在等边△ABC中，（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．①依题意将图2补全；②求证：PA＝PM．25、如图，在中，，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且，．(1)求证：ΔDEF是等腰三角形；(2)当∠A=50º时，求∠DEF的度数；(3)若，，求的周长．26、如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN．（1）求证：MN＝BM+NC；（2）求△AMN的周长为多少？27、如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．①试猜想BD与AC的数量关系，并说明理由；②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．28、如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．2020-2021学年度苏科版八年级上学期数学2.5等边三角形的性质与判断专题培优训练卷（答案）一、选择题1、在ABC ∆中，有下列判断:①若AB BC CA ==，则ABC ∆为等边三角形;②若A B C ∠=∠=∠，则ABC ∆ 为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形;④一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.其中正确的有( D )A.1个B. 2个C.3个D. 4个2、如图，D 为等边△ABC 内一点，DB=DA ，BF=AB ，∠1=∠2，则∠BFD 的度数为 ( C )A ．15ºB ．20ºC ． 30ºD ．45º3、如图，等边，动点C 从点O 出发，沿射线OB 方向移动，以AC 为边在右侧作等边，连接BD ，则BD 所在直线与OA 所在直线的位置关系是( )A. 相交B. 平行C. 垂直D. 平行、相交解：，，是等边三角形，，当点C 在线段OB 上时，如图1，是等边三角形，，，，在和中， ≌，，，； 当点C 在OB 的延长线上时，如图2，同的方法得出， 是等边三角形，，，，在和中， ≌，，，．4、如图，在MNP ∆中，60P ∠=︒,MN NP =,MQ PN ⊥，垂足为Q ，延长MN 至G ，使NG NQ =，若MNP ∆的周长为12，MQ a =，则MGQ ∆的周长是( D )A.82a +B.8a +C.6a +D.62a +5、如图，在等边三角形ABC 中，BC ＝2，D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC 于点F ，过点F 作EF ⊥BC 于点E ，则BE 的长为（ ） A ．1B ．23 C ．45 D ．34【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠A ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ＝BC ＝2， ∵DF ⊥AC ，FE ⊥BC ，∴∠AFD ＝∠CEF ＝90°，∴∠ADF ＝∠CFE ＝30°，∴AF AD ，CE CF ，∵点D 是AB 的中点，∴AD ＝1，∴AF ，CF ，CE ，∴BE ＝BC ﹣CE ＝2，故选：C ．6、如图，C 是线段AB 上的一点，和都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于则；；；；是等边三角形．其中，正确的有( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个解：，，在和中，≌，，，正确； ，，，错误；在和中，≌，，正确；，正确； ，，是等边三角形，正确；故有正确．7、如图，点P 在边长为1的等边的边AB 上，过点P 作于点为BC 延长线上一点，当时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为( )A.31B.21 C.32 D. 不能确定解：过P 作交AC 于F ， ，是等边三角形，，是等边三角形，， ，，，，．在和中，≌，，，，，，．8、如图，ABC ∆，ADE ∆均为等边三角形，AD 平分BAC ∠，下列结论:①AD BC ⊥,②EF FD =, ③BE BD =,④60ABE ∠=︒，其中正确的个数为( A ) A.4 B.3 C.2 D.19、如图，已知ΔABC 和ΔCDE 都是等边三角形，且 A 、C 、E 三点共线．AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：①AD=BE ； ②∠AOB=60º； ③AP=BQ ；④ΔPCQ 是等边三角形；⑤PQ ⫽AE ．其中正确结论的有（ ）个 A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】A【分析】根据等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质对各结论逐项分析即可判定．【解析】解：①∵△ABC和△CDE为等边三角形。
2013年初二数学培优第6讲__等边三角形
第6讲等边三角形本讲知识归纳1．等边三角形性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．2．等边三角形的判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．3．在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半．基础回顾例1如图，D是等边△ABC内一点，DB=DA，BP=AB，∠P= 30°．求证：BD平分∠PBC.例2如图，已知六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°．求证：AB+BC=EF+ED．练习1．如图．D、E分别是等边△ABC的BC、CA上的点，且AE=CD，AD与BE相交于F，CF⊥BE．求AF:BF的值．2．已知六边形ABCDEF的每个内角都相等，且AB=1，BC=CD=DE=9．求这个六边形的周长.方法运用例3 如图，O是等边△ABC内一点，已知∠AOB=115°，∠BOC=125°，求以OA、OB、OC为边所构成三角形各内角的度数.练习3．如图，A(O,4),B(-2,O),C(2,O),CM⊥AB,ON⊥AC，垂足分别为M、N．(1)求证：CM+CN=AB;(2)过O点作直线EF交AC于E，BF与AC相交于P点，若AE+BF=AB，问PE与PF存在怎样关系并证明．图①图②问题探究例4 如图，在正五边形ABCDE中．M、N分别是正五边形ABCDE边上的点，BM与CD交于点0，且∠BON=108°．(1)当点M、N在CD、DE上时（如图①），求证：BM=CN；(2)当点M、N分别在DE、EA上时（如图②），试问BM=CN是否成立？说明理由.图① 图②例5 如图，△ABC为等边三角形，D为BC上任一点，∠ADE=60°，边DE与∠ACB的外角平分线相交于点E.(1)求证：AD=DE；(2)若点D在CB的延长线上，(1)的结论是否仍然成立？若成立请给予证明；若不成立，请说明理由.图①图②练习4．(1)如图，在等边△ABC中，在BC边上任取一点P．过点P作AC的平行线，过点C作AB 的平行线，两线交于点Q，求证：AP=BQ.(2)在上面的条件下，点P在BC边上任意运动，延长AP交BQ于D，请画出图形．问AD与BD+CD之间是否存在确定关系？若存在，请指明这个关系，并证明你的结论，若不存在，请说明理由．5．如图，△AOB和△ACD是等边三角形，其中AB⊥x轴于E点，点E坐标为(3，0)，点C(5，0).(1)如图①，求BD的长；(2)如图②，设BD交x轴于F点，求证：∠OFA=∠DFA;(3)如图③，若点P为OB上一个动点（不与0、B重合），PM⊥OA于M，PN⊥AB于N.当P在OB上运动时，下列两个结论：①PM+PN的值不变；②PM-PN的值不变．其中只有一个是正确的，请找出这个结论，并求出其值.图①图② 图③。
人教版数学八年级上等边三角形培优练习含答案
人教版数学八年级上册第十三章13.3.2 等边三角形培优练习一、选择题1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（）A.105°B.120°C.135°D.150°【答案】B2. 以下说法中，正确的命题是（）（1）等腰三角形的一边长为4 cm，一边长为9 cm，则它的周长为17 cm或22 cm；（2）三角形的一个外角等于两个内角的和；（3）有两边和一角对应相等的两个三角形全等；（4）等边三角形是轴对称图形；（5）如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．A．（1）（2）（3）B．（1）（3）（5）C．（2）（4）（5）D．（4）（5）【答案】D3. 已知直线DE与不等边△ABC的两边AC，AB分别交于点D，E，若△CAB=60°，则图中△CDE+△BED=()A.180°B.210°C.240°D.270°【答案】C4. 如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于点M,N，有如下结论：△△ACE△△DCB；△CM=CN；△AC=DN．其中，正确结论的个数是（）A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】B.5. 如图，已知△MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为()A.6B.12C.32D.64【答案】C.6.如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（）A．2 B．3 C．1 D．8【答案】A7.如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B。
走进重高 培优讲义 八上 第六讲 等边三角形
第六讲 等边三角形例1 如图1，△ABD 和△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到//D AB 的位置，得到图2，则阴影部分的周长为___________.例2如图1，已知线段AB 的长为2a ，点P 是AB 上的动点（点P 不与点A ，B 重合），分别以AP ，PB 为边向线段AB 的同一侧作等边三角形APC 和等边三角形PBD.(1)连结AD ，BC ，相交于点Q ，设,α=∠AQC 那么α的大小是否会随点P 的移动而变化？请说明理由．(2)如图2，若点P 固定，将△PBD 绕点P 按顺时针方向旋转（旋转角小于180)，此时α的大小是否会发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）例3 如图，P 是等边三角形ABC 的AB 边上一点，过P 作⊥PE AC 于点E ，在BC 的延长线上截取,AP CQ =连结PQ 交AC 于点D ．(1)若,28=∠Q 求∠EPD 的度数． (2)求证：.QD PD =例4 如图，点0是等边三角形ABC 内一点，.,110α=∠=∠BOC AOB 以OC 为一边作等边三角形OCD ，连结AD ．(1)当150=α时，试判断△AOD 的形状，并说明理由． (2)探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？例5 已知等边三角形ABC 的边长为a ． (1)探究：如图1，过等边三角形ABC 的顶点A ，B ，C 依次作AB ，BC ，CA 的垂线围成△MNG ，求证：△MNG 是等边三角形且.3a MN =(2)探究：在等边三角形ABC 内取一点0，过点O 分别作,,,CA OF BC OE AB OD ⊥⊥⊥垂足分别为点D ，E ，F ．如图2，若点0是△ABC 的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1：;23a OF OE OD =++结论2：.23a CF BE AD =++如图3，若点0是等边三角形ABC 内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由.例 如图，在△ABC 中，,AC AB =点D 为△ABC 外一点，且=∠ABD .2190,60BDC ADB ∠-=∠试判断线段CD ，BD 与AB 之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．拓展训练 A 组1．下列条件中，不一定是等边三角形的是( )．A ．有两个内角是60的三角形 B ．三边都相等的三角形 C ．有一个角是60的等腰三角形 D ．有两个外角相等的等腰三角形2．如图，,//m l 等边三角形ABC 的顶点B 在直线m 上，边BC 与直线m 所夹锐角为,20 则α∠的度数为( )．60.A 45.B 40.C 30.D（第2题） （第3题） （第4题）3．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，,AD AF =则∠EDC 的度数为( )．30.A 20.B 25.C o D 15.4．如图，在钝角三角形ABC 中，∠ABC 为钝角，以点B 为圆心、AB 长为半径画弧，再以点C 为圆心、AC 长为半径画弧，两弧交于点D ，连结AD ，BD ，CD ，CB 的延长线交AD 于点E.下列结论错误的是( )． A. CE 垂直平分AD B ．CE 平分∠ACD C ．△ABD 是等腰三角形 D ．△ACD 是等边三角形 5．如图，在等边三角形ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且AD AE BD ,=与CE 交于点F ，则∠DFC 的度数为( )．60.A 45.B 40.C 30.D（第5题） （第7题） （第8题） （第9题）6．下列各命题的逆命题成立的是( )．A ．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等B ．全等三角形的对应角相等C ．两直线平行，同位角相等D ．如果两个角都是,45 那么这两个角相等7．如图，在等边三角形ABC 的底边BC 上任取一点D ，过点D 作AC DE //交AB 于点E ，作DF AB //交AC 于点,3,5,cm DF cm DF F ==则△ABC 的周长为________.cm8．如图，已知△ABC 和△BDE 均为等边三角形，连结AE ，CD ，若,39 =∠BAF 则=∠BCD ________度． 9．如图，点D 为等边△ABC 内一点，,,,DBC DBP AB BP BD AD ∠=∠==则=∠BPD ______度． 10.如图，在等边三角形ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且BP ACQ ABP ,∠=∠,CQ =问：△APQ 是什么形状的三角形？试证明你的结论．（第10题）11.如图，已知点B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，BE 交AC 于点F ．AD 交CE 于点H.求证：.)1(ACD BCE ∆≅∆ .//)2(BD FH（第11题）12.如图，点P ，Q 分别是边长为4 cm 的等边三角形ABC 边AB ，BC 上的动点，点P 从顶点A 沿AB 向点B 运动，点Q 同时从顶点B 沿BC 向点C 运动，它们的运动速度都为1 cm/s ，当到达终点时停止运动，设它们的运动时间为t(s)，连结AQ ，CP 交于点M. (1)求证：△ABQ≌ △CAP.(2)点P ，Q 在运动的过程中，∠CMQ 变化吗？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的度数． (3)当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形？（第12题）B 组13.如图，△ABC 是等边三角形，AE PR PQ AQ ⊥=,于点AC PS R ⊥,于点,,PS PR S =则下列结论： ①点P 在∠A 的平分线上；.;//;QSP BRP AR QP AR AS ∆≅∆=④③②其中正确的有( )．1.A 个2.B 个3.C 个4.D 个（第13题） （第14题）14．如图，OP AOB ,120 =∠平分∠AOB ，且.2=OP 若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( )．2.A 个3.B 个4.C 个 D ．无数个15.如图，已知△ABC 和△CDE 都是正三角形，且,62 =∠EBD 则∠AEB 的度数是( )．124.A 122.B 120.C 118.D（第15题） （第16题） （第17题）16.如图，一个等边三角形、一个直角三角形以及一个等腰三角形按如图放置，已知等腰三角形的底角,643 =∠则=∠+∠21_________.17.如图，六边形ABCDEF 的六个角都是,120边长====DE cm CD cm BC cm AB ,3,3,1,2cm 则这个六边形的周长是____________.18．在Rt△ABC 中，.30,90=∠=∠CAB ACB 分别以AB ，AC 为边，向外作等边△ABD 和等边△ACE ．(1)如图1，连结线段BE ，CD.求证：.CD BE =(2)如图2，连结DE 交AB 于点F.求证：点F 为DE 中点．（第18题）19.已知△ABC 是等边三角形，D 是直线BC 上一动点，连结AD ，在线段AD 的右侧作射线DP 且使,30 =∠ADP 作点A 关于射线DP 的对称点E ，连结DE ，CE. (1) 当点D 在线段BC 上运动时．①依题意将图1补全．②请用等式表示线段AB ，CE ，CD 之间的数量关系，并证明．(2)当点D 在直线BC 上运动时，请直接写出AB ，CE ，CD 之间的数量关系，不需证明．（第19题）走进重高1．【福建】如图，在等边三角形ABC 中，,BC AD ⊥垂足为点D ，点E 在线段AD 上，,45 =∠EBC 则 ∠ACE 等于( )．15.A 30.B 45.C 60.D（第1题） 2．【兰州】如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则△ADE 的面积是( )．3.A 23.B 433.C 32.D（第2题） （第3题） （第4题）3．【淄博】如图，等腰直角三角形BDC 的顶点D 在等边三角形ABC 的内部，,90=∠BDC 连结AD ，过点D 作一条直线将△ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角的度数分别是____． 4．【葫芦岛】如图，,30=∠MON 点1B 在边OM 上，且,21=OB 过点1B 作OM A B ⊥11交ON 于点,1A以11B A 为边在11B A 右侧作等边三角形;111C B A 过点1C 作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点,,22A B 以22B A 为边在22B A 的右侧作等边三角形;222C B A 过点2C 作OM 的垂线分别交OM ，ON 于点,,33A B 以33B A 为边在33B A 的右侧作等边三角形 333C B A 按此规律进行下去，则n n n C A A 1-∆的面积为_______（用含正整数n 的代数式表示）．5．如图，在等边三角形ABC 中，D ，E 分别是BC ，AC 上的点，且AD CD AE ,=与BE 相交于点.,BE CF F ⊥ 求证：.)1(AD BE =.2)2(AF BF =（第5题）6．已知△ABC，△EFG 是边长相等的等边三角形，D 是边BC ，EF 的中点．(1)如图l ，连结AD ，GD ，则=∠ADC ________度；=∠GDF ________度；AD 与GD 的数量关系是_____ ；DC 与DF 的数量关系是(2)如图2，直线AG ，FC 相交于点M ，求∠AMF 的大小．（第6题）高分夺冠1．如图，在等边三角形ABC 中，在AC 边上取两点M ，N ，使.30=∠MBN 若,,x MN m AM ==,n CN = 则以x ，m ，n 为边长的三角形的形状为( )．A.锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．随x ，m ，n 的值而定（第1题） （第2题） （第4题）2．如图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2 cm 时，这个六边形的周长为( )．cm A 30. cm B 40. cm C 50. cm D 60.3．在等边三角形ABC 所在的平面内求一点P ，使△PAB，△PBC，△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( )．A.1个 B ．4个 C ．7个 D ．10个4．如图，等边三角形RST 的顶点R ，S ，T 分别在等腰三角形ABC 的边AB ，BC ，CA 上，设,0x ART =∠,,00z STC y RSB =∠=∠用含y ，z 的代数式表示x 是_________.5．如图，点P 是等边三角形ABC 内部一点，且.130,117 =∠=∠BPC APC 求以CP BP AP ,,为边的三角形的三内角的度数．（第5题）答案。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等边三角形
重难点
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧︒︒⎪⎩⎪⎨⎧︒︒的等腰三角形、一个角为、两个角是、三边都相等判定仍与原图形重合旋转、旋转不变性，绕中心、轴对称，三条对称轴、三边相等，三角都是性质等边三角形603602112032601 例题分析
例1、如图1，两个等边△ABD ，△CBD 的边长均为1，将△ABD 沿AC 方向向右平移到△A ′B ′D ′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为
_________
方法：平移的性质、等边三角形的性质
举一反三：
1、如图，已知六边形ABCDEF 的每个内角都是120°且AB=1，DE=2，BC=CD=8，求此六边形的周长。
例2、如图，△ABC 为正三角形，D 为边BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作正三角形CDE ，连接AE ，判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由。
方法：与等边三角形有关的，一般都会涉及旋转变形。
举一反三：
2、如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作等边△CDE ，使点E 、A 在直线
DC 的同侧，连接AE ．求证：AE ∥BC ．
例3、如图，扇形ODE 的圆心角为120°，正三角形ABC 的中心恰好为扇形ODE 的圆心，且点B 在扇形ODE 内。
（1）请连接OA 、OB ，并证明△AOF ≌△BOG ；
（2）求证：△ABC 与扇形ODE 重叠部分的面积等于△ABC 面积的3
1
方法：（1）掌握正多边形的中心与中心角的性质；
（2）对于动点问题或条件不确定的问题都需分类讨论，
本题△A0F 是否存在（圆心角与中心角是否重合）需要讨论。
举一反三：
3、如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD ．
（1）求∠OAD 的度数；
（2）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
例4、如图，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是△ABC 外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°-
2
1∠BDC ． 求证：AC=BD+CD ．
方法：☆难度在于对条件“∠ADB=90°-2
1∠BDC ”的理解， 以及“截长补短”是证明线段和差关系的主要方法。
举一反三：
4、如图，△ABC 与△ABD 都是等边三角形，点E,F 分别在BC,AC 上，BE=CF ，AE 与BF 交于点G ．
（1）求∠AGB 的度数；
（2）连接DG ，求证：DG=AG+BG ．
作业：
1、如图，在等边△ABC 中，点O 在AC 上，且AO=3，CO=6，点P 是AB 上一动点，连接OP ，将线段OP 绕点O 逆时针旋转60°得到线段OD ．要使点D 恰好落在BC 上，则AP 的长是_______
2、探索与证明：
（1）如图1，直线m 经过正三角形ABC 的顶点A ，在直线m 上取两点 D ，E ，使得∠ADB=60°，∠AEC=60°．通过观察或测量，猜想线段BD ，CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明；
（2）将（1）中的直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图2的位置，并使∠ADB=120°，∠AEC=120°．通过观察或测量，猜想线段BD ，CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．
3、将两个等边△ABC和△DEF（DE＞AB）如图所示摆放，点D是BC上的一点（除B、C点外）．把△DEF绕顶点D顺时针旋转一定的角度，使得边DE、DF与△ABC的边（除BC边外）分别相交于点M、N．
（1）∠BMD和∠CDN相等吗？
（2）画出使∠BMD和∠CDN相等的所有情况的图形；
（3）在（2）题中任选一种图形说明∠BMD和∠CDN相等的理由。
4、如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为___________。