芝诺悖论

芝诺悖论解答

芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。

留传下来的芝诺悖论共有8个，最为著名的主要有4个，分别为二分法悖论、阿基里斯(Achilles)悖论、飞矢不动悖论和游行队伍悖论。

二分法悖论的内容是：事物想要运动完全程，就必须运动完全程的一半，而全程的一半还有一半，一半的一半还是有一半，这样一来一半的概念是可以无限地划分的，因而，事物在运动的过程中是永远无法经过“一半”的。因此，运动是永远无法终结和进行的，因而运动不存在。

这里的问题所在是把时间看作了一个有限的概念而把空间看做了一个无限的范畴。因而认为无法在有限中完成无限。然而事实上，根据马克思理论，事物的有限无限的概念完全是相对的，不能片面地承认一方面的存在而否定另外一方。

比如说，一条线段（距离）包括无限的点，人永远无法走完这无数的点，正如他永远无法数清这些点一样。为什么人们不认为数不清这无数的点是个悖论，却认为走完这无数的点就成了悖论了呢？原因就在于数数和运动是不同性质的东西，数数是空间中的行为，运动是本身的时间中的行为，不能混淆时间和空间。

第二个悖论是最为复杂的阿基里斯(Achilles)悖论。芝诺认为追赶者，即阿基里斯需要一定的时间才能达到被追赶者（乌龟）于该时间开始的出发之处。当追赶者达到第一个动身的地方时，第一个已前进了一段新的距离，而追赶者又要费一段时间才能走过该距离，以此类推以至无穷。

用哲学解答共分为六点：

1、时间的本质是一种特殊性质的“绵延”，本身无法计算和测量。

2、每种运动都作为一种各个性质的不同的绵延。

3、因此运动本身无法测量，只是人的意识的一种主观感受，一种特殊性质的绵延，通常人们去测量本真的时间，是用空间去计算绵延（即用钟摆的匀速运动60次去测定一分钟，而“一定重量的钟摆，在一定动力的推动下去摆动”，即是所谓的绵延）。但用空间去计算绵延（本身的时间），必须有这样一个重要前提，即要假定测量的时间相同，必须假定动作完全（绵延）相同。

4、因此，要假定在相同的时间段（测定的时间段）内，即要先假定在相同的动作中才可能。

5、芝诺推论的第一句话,即“阿基里斯需要一定的时间段才能达到被追赶者于该时间开始的出发之处。”，就是错误的，请注意，这里“假定两者都经历了相同的时间段，所以到达了不一样的地方”。这与我们的前提相违背：“要假定在相同的时间段内，即要先假定在相同的动作中才可能”。因为两个人的动作是不同

的,所以得出了错误的结果。

6、由于阿基里斯的动作快，故经过的时间较乌龟的时间短，芝诺让阿基里斯用永远比乌龟短的时间去追乌龟，所以永远追不上。

通俗地解释：

1、假设世界上还没有发明钟表，没有时、分、秒的时间概念。

2、假设非洲原始森林中存在有乌龟家族，他们没有时间概念，有一天，他们决定自己来测定时间，选了一只最帅的乌龟，让它以匀速的运动走完100米，然后定这段时间为一小时。

3、假设欧洲的雅典人家族也没有时间概念，有一天，他们也决定自己测定时间，选跑得最快的阿基里斯，让他跑完100米，然后确定这段时间为一小时。

4、因此推论：乌龟这只钟表走得要比阿基里斯的钟表要慢些。也就是说，乌龟的一小时要比阿基里斯的一小时要长。

5、人们要求在芝诺的前提下达到阿基里斯赶上乌龟，也就是说，一方面要求两只钟表走过的路程是一样的，一方面又要求两只钟表显示的时间是一样的，所以是矛盾的。

其实芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。

第三个悖论是飞矢不动悖论：飞驰着的箭，在它的任一瞬点都是在某一点位置上的，因此飞矢是静止不动的。

用物理学解释：

1、空间之中（假设世界时间停止了），飞矢在任一瞬点都是静止的，不可能既在这点，又在那点。

2、由于是飞矢，即肯定其为运动物体，故根本不能提出其任一瞬点，及任一瞬点的固定地点。因为这样就取消了时间，而假设飞矢就是假设运动，假设运动就是假设时间，取消时间与运动本身相违背。

3、芝诺在“飞矢”中既设定了“存在时间”这样一个大前提，而在“不动”中又假设了不存在时间，所以本身是前提矛盾的，因此是悖论。

从哲学的角度出发：飞矢在任意一点既存在到达这点的趋势，又存在离开这点的趋势。在运动过程中这种矛盾一直存在。

第四个悖论是游行队伍悖论：首先假设在操场上，在一瞬间（一个最小时间单位）里，相对于观众席A，列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

□□□□观众席A

■■■■队列B・・・向右移动（→）

▲▲▲▲队列C・・・向左移动（←）

B、C两个列队开始移动，如下图所示相对于观众席A，B和C分别向右和

左各移动了一个距离单位。

□□□□

■■■■

▲▲▲▲

而此时，对B而言C移动了两个距离单位。也就是，队列既可以在一瞬间（一个最小时间单位）里移动一个距离单位，也可以在半个最小时间单位里移动一个距离单位，这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了。

这个悖论用物理上的相对运动就可以解答。

1、物体相对于其他运动的位置变化，叫做相对运动。相对运动简称为运动。一个物体相对于另一个物体的位置只是发生了变化，这个物体就在运动。

2、宇宙中没有不动的物体，一切物体都在不停的运动，运动是绝对的，静止是相对的

3、要描述某一物体的位置变化，就必须选择另外的一个物体作为标准。这个被选来作为标准的另外的物体，叫做参考系。

4、选择不同的参考系来观察同一物体的运动，观察结果可能会有所不同。比如生活在地球上的人，觉得地球是不动的，其实地球在以30km/s的巨大速度绕太阳公转。

5、参考系可以任意选择，该悖论中即是因为选择了不同的参考系才得出矛盾的结论。

四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。关于多的论辨得自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述，大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。

后人大多认同亚里士多德的引述，认为芝诺悖论只不过是些有趣的谬见而加以批判。关于二分法，亚里士多德说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。直到19世纪下半叶，学者们重新研究芝诺的悖论，才发现它们与数学中连续性、无限性等概念紧密相关。

19、20世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷（Bradley，F.H）全盘接受芝诺的论证和结论。他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。”除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。

在两千四百年后的今天，人们已经明白，芝诺的名字将永远不会从数学史或哲学史中消除。近代德国哲学家黑格尔在《哲学史讲演录》中指出，芝诺主要是客观而辩证地考察了运动，他称芝诺为“辨证法的创始人”。