【第4讲】多分辨分析(小波变换)
小波变换入门.ppt
f f
(2 j , x, (2 j , x,
y)
y)
2
j
x
y
f f
(x, (x,
y) y)
a a
(x, (x,
y)
y)
2
j
grad
f
(x,
y)
a
(x,
y)
37/103
整个图像的二进小波变换即矢量：
W (1) f (2 j , x, y)
T
W
(
T
2)
f
(2
j,
x,
y)
WT
f
(2
j,
x,
尺度空间的递归嵌套关系： 0 V1 V0 V1 L2 R
小波空间 W是j 和V j 之V间j1 的差，即 时丢V 失j 的信息V j。1 推出：
V0 W0 W1 Wj V j1
V0
Vj，它Wj 捕 V捉j1 由 逼近
V j1
L2 R
V j1
Vj
多分辨率的空间关系图
19/103
两尺度方程
1 ( x, y)
(x) (y)
2 ( x, y)
(x)(y)
3 ( x, y)
(x) (y)
与 (x, y)一起就建立了二维小波变换的基础。
26/103
图像的小波变换实现
1. 正变换 图像小波分解的正变换可以依据二维小波变换按如 下方式扩展，在变换的每一层次，图像都被分解 为4个四分之一大小的图像。
线性
设： xt g t ht
WTx a,b WTg a,b WTh a,b 平移不变性
若 xt WTx a,b，则 xt WTx a,b
伸缩共变性
小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换
其他领域
正交小波变换还广泛应用于金 融、医学、地球物理等领域的 数据分析和处理。
03
多分辨分析与正交小波变换的关系
多分辨分析与正交小波变换的联系
两者都是小波分析中的重要概念，共同构成了小波 分析的基础。
多分辨分析为正交小波变换提供了理论框架，正交 小波变换是多分辨分析的具体实现。
正交小波变换可以看作是多分辨分析的一种特例， 其中尺度函数和小波函数都是正交的。
正交小波变换的应用场景
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ01
02
03
04
信号处理
正交小波变换在信号处理中主 要用于信号去噪、压缩和特征 提取等。
图像处理
正交小波变换在图像处理中主 要用于图像压缩、去噪、增强 和特征提取等。
数据压缩
正交小波变换可用于数据压缩 领域，特别是对于非平稳信号 和图像数据的压缩，具有较好 的压缩效果和重建精度。
多分辨分析与正交小波变换的区别
02
01
03
多分辨分析主要关注的是函数在不同尺度上的表示， 而正交小波变换更注重在不同尺度上的细节信息。
正交小波变换具有更好的灵活性和适应性，可以针对 特定问题设计特定的小波函数和尺度函数。
正交小波变换在信号处理、图像处理等领域的应用更 为广泛，而多分辨分析更多用于理论分析。
正交小波变换的算法与实现
算法
正交小波变换的算法主要包括一维离散正交小波变换和二维离散正交小波变换。一维离散正交小波变换的算法包 括Mallat算法和CWT算法等，而二维离散正交小波变换的算法主要基于图像分块处理。
实现
正交小波变换的实现通常需要使用数字信号处理库或图像处理库，如Python的PyWavelets库或OpenCV库等。
小波分析课件第四章多分辨分析和正交小波变换
• 多分辨分析概述 • 正交小波变换原理 • 多分辨分析与正交小波变换的关系 • 正交小波变换的实现方法 • 正交小波变换的实例分析
01
多分辨分析概述
定义与特点
定义
多分辨分析是从小尺度到大尺度逼近 研究对象的一种分析方法，它能够同 时揭示研究对象在不同尺度上的特征 。
多分辨分析在信号处理中能够提 供更加准确和全面的信息，有助 于更好地理解和分析信号。
多分辨分析的历史与发展
1 2 3
历史回顾
多分辨分析的思想起源于20世纪80年代，随着 小波理论的不断发展，多分辨分析逐渐成为研究 热点。
当前研究
目前，多分辨分析在理论和应用方面都取得了重 要进展，广泛应用于图像处理、信号处理、数值 计算等领域。
模式识别
正交小波变换可以用于特征提取和 模式分类等任务。
03
02
图像处理
正交小波变换可以用于图像的压缩、 去噪、增强等处理。
数值分析
正交小波变换可以用于求解偏微分 方程、积分方程等数学问题。
04
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多分辨分析与正交小波变换的关系
多分辨分析与正交小波变换的联系
两者都基于多尺度分析思想
多分辨分析和小波变换都是从不同尺度上分析信号，能够捕捉到 信号在不同尺度上的特征。
优点
连续小波变换能够更好地适应信号的突变和非线性特性， 能够更准确地描述信号的局部特征。
缺点
连续小波变换的计算复杂度较高，需要更多的计算资源和 时间，同时对于非连续信号的处理也存在一定的困难。
基于滤波器的小波变换
01 02
定义
基于滤波器的小波变换是一种通过设计特定的滤波器来实现小波变换的 方法，通过滤波器对信号进行卷积操作，可以得到不同尺度上的小波系 数。
小波与多分辨率分析(冈萨雷斯)
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N*N哈尔变换矩阵的第i行包含了元素
，其中
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令N=4，k、p和q的值为
则4*4变换矩阵H4为：
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傅里叶变换的缺点
傅里叶分析理论对于有限平稳的周期信号比较有 效，而对于非平稳信号的分析效果不够好。主要原因 有：
1、三角基函数在时域上不能局部化，无法实现时 域上的局部分析。由于信号的傅里叶变换代表的是该 信号在某个频率w的谐波分量的振幅，它是由整个信号 的形态所决定的，因此无法从傅里叶变换值确定该信 号在任一时间上的相关信息。
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在小波分析中，近似值是大的缩放因子计算的系数，
表示信号的低频分量，而细节值是小的缩放因子计算的系
数，表示信号的高频分量。实际应用中，信号的低频分量 往往是最重要的，而高频分量只起一个修饰的作用。如同 一个人的声音一样， 把高频分量去掉后，听起来声音会发 生改变，但还能听出说的是什么内容，但如果把低频分量 删除后，就会什么内容也听不出来了。
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3、傅里叶变换不能同时进行时域和频 域的分析。这是因为信号经过傅里叶变 换后，它的时间特性消失，只能进行频 域信息分析。
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什么是小波变换
像傅立叶分析一样，小波分析就是把一个信号分解为将 母小波经过缩放和平移之后的一系列小波，因此小波是小
波变换的基函数。小波变换可以理解为用经过缩放和平移
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3.惟一包含在所有 中的函数是f(x)=0 如果考虑最粗糙的展开函数(即 ),惟一可表达的函数 是没有信息的函数，即
4.任何函数都可以以任意精度表示 所有可度量的、平方可积函数都可以用极限
表示
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94第四章多分辨率分析与正交小波变换PPT课件
1 (t k)
22
1k (t),1k'(t)
1 ( t k) 1 ( t k')dt
22
22
1 2
(2t
k)( t
2
k' )dt,当t'
19
20
➢ 我们把空间做逐级二分解产生一组逐级包 含的子空间：
,V 0 V 1 W 1 ,V 1 V 2 W 2 , ,V j V j 1 W j 1 ,
21
22
23
各空间内的结构做进一步分析：
➢ （ 整1数）移设位V集0中合有低(t 通k平)k滑Z是函V数0中φ（的t正）交，归它一的
V -3V -2V -1V 0
8
比喻
➢ 类似于人的视觉系统。例如：人在观察某 一目标时，不妨设他所处的分辨率为j（或 2j），观察目标所获得的信息是Vj，当他走 近目标，即分辨率增加到j-1（或2j-1），他 观察目标所获得的信息为Vj-1，应该比分辨 率j下获得的信息更加丰富，即 Vj Vj1 ，分 辨率越高，距离越近；反之，则相反。
9
➢ 在分辨率分析中，Vj称为逼近空间，我们把 平方可积的函数f(t)∈L2(R)看成是某一逐级 逼近的极限情况。每次逼近都是用一低通 平滑函数φ（t）对f(t)做平滑的结果，在逐 级平滑时平滑函数φ（t）也做逐级逼近，这 就是多分辨率，即用不同分辨率来逐级逼 近待分析函数f(t)。
10
见word
➢ 基本思想：将L2（R）用它的子空间Vj，Wj 表示，其中Vj，Wj分别称为尺度空间和小波 空间。
5
补充：直和
➢ 设E是线性空间，L1，L2，…，Ln是E的子空 间，如果任一元素x∈E可以惟一表示成 x=x1+x2+…+xn,其中xk ∈ Lk(k=1,2,…,n),则称 E是L1，L2，…，Ln的直和，记为：
小波变换与多分辨率分析课件
有效地去除信号中的噪声。
02
小波变换在信号压缩中的应用
小波变换可以将信号分解为近似分量和细节分量，通过去除细节分量，
可以实现信号的压缩。
03
小波变换在信号恢复中的应用
小波变换可以捕捉到信号中的突变部分，通过逆变换，可以恢复出原始
信号。
多分辨率分析在图像处理中的实验演示
多分辨率分析在图像去噪中的应用
领域也有广泛的应用。
算法复杂度
小波变换的算法复杂度相对 较低，容易实现，而多分辨 率分析的算法复杂度较高， 实现相对困难。
小波变换与多分辨率分析的未来展望
01
应用领域拓展
02
算法优化
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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结合其他技术
小波变换和多分辨率分析在信号处理、 图像处理、数据压缩等领域已经得到 广泛应用，未来随着技术的不断发展， 它们的应用领域将会更加广泛。
小波变换的应用
小波变换在图像处理中有着广泛的应用，例如图像压缩、去噪、
01
重建等。
02
小波变换在音频处理中也得到了广泛应用，例如音频压缩、去
噪、特征提取等。
小波变换还被广泛应用于信号处理、数字水印、雷达信号处理
03
等领域。
02
多分辨率分析基
多分辨率分析的定 义
定义概述
多分辨率分析是信号处理中的一种重要技术，它通过在不同尺度上分析信号，能够同时获得信号的时间和频率信息。
定义背景
随着信号处理技术的发展，人们逐渐认识到仅通过傅里叶分析无法完全揭示信号的时频特性，因此需要一种更全面的 分析方法。
定义目的 多分辨率分析旨在提供一种框架，将信号分解成不同尺度的成分，以便更精细地描述信号的时频特性。
小波变换和多分辨率处理方法
Mallat
Daubecies
小波理论与工程应用
Inrid Daubechies于1988年最先揭示了小波变换和滤波器 组(filter banks)之间的内在关系，使离散小波分析变成为 现实。
Ronald Coifman和Victor Wickerhauser等著名科学家在 把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献。
1.背景
从数学观点看，图像是一个亮度的二维矩阵，边界和强烈变 化的区域局部直方图统计特性不同。
无法对整个图象定义一个简单的统计模型。
一幅自然图像 及其直方图的 局部变化
(1) 图像金字塔
以多分辨率来解释图像的一种简单有效的结构。一幅图像 的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的 图像集合。
➢ J-1级近似输出用来建立近似值金字塔；作为金字塔基级的原 始图像和它的P级减少的分辨率近似都能直接获取并调整；
➢ J级的预测残差输出用于建立预测残差金字塔；近似值和预测 残差金字塔都通过迭代计算获得。
金字塔方框图
(1) 图像金字塔迭代算法
1. 初始化，原始图象大小2J×2J，j＝J 2. j-1级，以2为步长进行子抽样，计算输入图像减
金字塔的底部是带处理图像的高分辨率表示，而顶部是低 分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率 就降低。
基础级J的大小为N×N （J=log2N） 顶点级0的大小为1×1 第j级的大小为2j×2j （0j J） 共有J+1级，但是通常我们截 短到P＋1级，其中1 PJ
(1) 图像金字塔
小波变换是基于具有变化的频率和有限持续时间的 小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。
小波变换的多分辨率分析原理与应用
小波变换的多分辨率分析原理与应用引言：小波变换是一种在信号处理和图像处理领域中广泛应用的数学工具。
它通过将信号分解成不同频率的子信号，以实现对信号的多分辨率分析。
本文将介绍小波变换的原理和应用，并探讨其在信号处理和图像处理中的潜在价值。
一、小波变换的原理小波变换是一种基于窗函数的变换方法，它通过将信号与一组基函数进行卷积运算，得到信号在不同尺度和频率上的分解系数。
小波基函数是一种具有有限长度的波形，它可以在时间和频域上进行调整，以适应不同尺度和频率的信号特性。
小波变换的核心思想是多分辨率分析，即将信号分解成不同尺度的子信号。
通过对信号进行连续缩放和平移操作，小波变换可以捕捉到信号在不同频率上的细节信息。
与傅里叶变换相比，小波变换可以提供更好的时频局部化特性，能够更准确地描述信号的瞬时特征。
二、小波变换的应用1. 信号处理小波变换在信号处理中有广泛的应用。
通过对信号进行小波变换，可以实现信号的降噪、压缩和特征提取等操作。
由于小波基函数具有时频局部化的特性，它可以有效地消除信号中的噪声，并提取出信号的重要特征。
因此，在语音识别、图像处理和生物医学信号处理等领域，小波变换被广泛应用于信号的预处理和特征提取。
2. 图像处理小波变换在图像处理中也有重要的应用。
通过对图像进行小波变换，可以实现图像的去噪、边缘检测和纹理分析等操作。
由于小波基函数具有多尺度分析的能力，它可以捕捉到图像中不同尺度上的细节信息。
因此，在图像压缩、图像增强和图像分割等领域，小波变换被广泛应用于图像的处理和分析。
3. 数据压缩小波变换在数据压缩中有着重要的应用。
通过对信号或图像进行小波变换，可以将其表示为一组小波系数。
由于小波系数具有稀疏性，即大部分系数都接近于零，可以通过对系数进行适当的量化和编码，实现对信号或图像的高效压缩。
因此，在音频压缩、图像压缩和视频压缩等领域，小波变换被广泛应用于数据的压缩和传输。
结论：小波变换是一种强大的信号处理和图像处理工具，它通过多分辨率分析实现对信号的精确描述和处理。
小波与多分辨分析
小波与多分辨分析在物理科学和工程 领域具有广阔的应用前景。例如，在 流体动力学、电磁场等领域中，可以 利用小波与多分辨分析进行高精度数 值模拟和数据分析。未来研究将进一 步拓展其在这些领域的应用，并探索 与其他工程学科的交叉融合。
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感谢您的观看
多分辨分析是构造小波的重要工具，小波变换实质上就是对信号进行多分辨分析。
多分辨分析的构造方法
迭代法
通过迭代的方式对尺度函数进行构造， 进而得到多分辨分析。
矩阵法
利用矩阵的方法对尺度函数进行构造， 进而得到多分辨分析。
多分辨分析的性质
唯一性
对于给定的尺度函数，其对应的多分辨分析是唯一的。
平移不变性
小波变换能够检测到信号的突变和 奇异点，用于故障诊断、语音识别 等领域。
图像处理
01
02
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图像压缩
利用小波变换对图像进行 多尺度分解，实现图像的 压缩编码，降低存储和传 输成本。
图像增强
通过调整小波系数，突出 图像的细节和特征，改善 图像的视觉效果。
图像去噪
利用小波变换去除图像中 的噪声，提高图像质量。
提升算法效率
随着小波变换应用的广泛，对算法效率的要求也越来越高。未来研究将
致力于优化算法，提高计算速度，以满足实时处理和大规模数据的需求。
02 03
扩展应用领域
小波变换在不同领域具有广泛的应用前景，如信号处理、图像处理、数 据压缩等。未来研究将进一步探索小波变换在不同领域的应用，发掘其 更多潜力。
提升小波性能
多分辨分析在信号处理、图像处理等领域取得了显著成果，未来研究将进一步探索其在其 他领域的应用，如物理、化学、生物等。
小波变换与多分辨分析资料
…
…
(a)
(b)
正弦波和小波 （a） 正弦波曲线； (b) 小波曲线
4
5
与傅里叶变换相比，小波变换的优点：
1.小波变换同时提供了信号的时间-频率信息， 而DFT只是提供了频率信息。
2.小波分析是利用多种 “小波基函数” 对 “ 原始信号” 进行分解，而傅里叶变换的基函 数为三角函数。
3. 小波变换为原始信号提供了多分辨表达能力 ，在某一个分辨度检测不到的现象，在另一个 分辨度却很容易观察处理。
• 哈尔基函数是最古老也是最简单的正交小波。 • 哈尔变换本身是可分离的，也是对称的，可以用
下述矩阵形式表达：
T=HFHT
其中，F是一个N×N图像矩阵，H是N×N变换矩阵，T
是N×N变换的结果
13
4x4 Haar变换矩阵
1 1 1 1
H4
1
1
4
2
1 2
1 0
1
0
0 0 2 2
14
j,k (x) 2 j /2(2 j x k)
j z, k z
则集合{ j,k ( x)}是 ( x)的展开函数集。从上式可以看出，
k决定了 j,k ( x)在x轴的位置，j决定了 j,k (x)的宽度，即
沿x轴的宽或窄的程度，而2 j / 2 控制其高度或幅度。由于
j,k (x)的形状随j发生变化， (x)被称为尺度函数。
尺度及小波函数空间的关系
22
第一讲核心知识点
[1]小波变换与DFT变换相比优点是什么？为什么引 入图象变换？
[2]金字塔分解与子带编码的关系如何？ [3]多分辨展开为什么引入尺度函数，尺度函数存在
什么特点？小波函数与尺度函数的关系是什么？
第四章多分辨率分析
(2-7)代入(2-6)
(2-8)
若对有 Kn=1 ，即，则该函数集称为归一化正交函数集，此时，相应的各系数和均方误 差为：
(2-9)
1.4 完备正交函数集
前面我们学习了"信号可以用正交函数集内的所有正交函数的线性组合来近似"，但我们 还存在一些疑问没有解决：(1) 是否存在一个"完备的"正交函数集，即在此函数集外，没有 函数与集内所有函数都正交。(2) 是否存在一个"精确的"正交函数集，即通过集内所有函数 的线性组合，可以精确地表示任意信号？这些问题的回答，实际上涉及到了完备正交函数集 的两种定义。下面我们来看看。
j,k (t), j,k(t) 2 j (2 j t k) (2 j t k)dt
(k k)
(10.1.13)
(t 2) 如图（j）所示。同时，(t) 和 (t) 的整数位移之间也是正交的，即
(t k), (t k) 0 k, k Z
( t ) (t) (t 1) 2
(10.1.7)
再比较该图的(b)和(h)，显然图(b)对 x(t) 的近似要优于图(h)对 x(t) 的近似，也即分辨率高。所以，用 j,k (t)
对 x(t) 作（10.1.3），或(10.1.6)式的近似，j 越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。当 j 时， j,k (t)
及与其有关的框架问题。在这两种情况下，时间t 仍是连续的。 在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研究a,b及t 都是离
散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意义。由 Mallat 和 Meyer 自 80 年代末期 所创立的“多分辨率分析”技术在这方面起到了关键的作用。该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及 图像处理中的金字塔编码等算法结合起来，构成了小波分析的重要工具。本章将详细讨论多分辨率分析的 定义、算法及应用。
小波变换和多分辨率概念
每个小波变换都会有一个mother wavelet，我们称之为母小波，同时还有一个father wavelet，就是scaling function。
而该小波的basis 函数其实就是对这个母小波和父小波缩放和平移形成的。
缩放倍数都是2的级数，平移的大小和当前其缩放的程度有关。
还讲到，小波系统有很多种，不同的母小波，衍生的小波基就完全不同。
小波展开的近似形式是这样：其中的就是小波级数，这些级数的组合就形成了小波变换中的基basis。
和傅立叶级数有一点不同的是，小波级数通常是orthonormal basis，也就是说，它们不仅两两正交，还归一化了。
我们还讲了一般小波变换的三个特点，就是小波级数是二维的，能定位时域和频域，计算很快。
但我们并没有深入讲解，比如，如何理解这个二维？它是如何同时定位频域和时域的？在这一篇文章里，我们就来讨论一下这些特性背后的原理。
首先，我们一直都在讲小波展开的近似形式。
那什么是完整形式呢？之前讲到，小波basis的形成，是基于基本的小波函数，也就是母小波来做缩放和平移的。
但是，母小波并非唯一的原始基。
在构建小波基函数集合的时候，通常还要用到一个函数叫尺度函数，scaling function，人们通常都称其为父小波。
它和母小波一样，也是归一化了，而且它还需要满足一个性质，就是它和对自己本身周期平移的函数两两正交：另外，为了方便处理，父小波和母小波也需要是正交的。
可以说，完整的小波展开就是由母小波和父小波共同定义的。
其中是母小波，是父小波。
需要提醒一点的是，这个正交纯粹是为了小波分析的方便而引入的特性，并不是说小波变换的基就一定必须是正交的。
但大部分小波变换的基确实是正交的，所以本文就直接默认正交为小波变换的主要性质之一了。
引入这个父小波呢，主要是为了方便做多解析度分析（multiresolution analysis, MRA）。
说到这里，你的问题可能会井喷了：好好的为什么出来一个父小波呢？这个scaling function是拿来干嘛的？它背后的物理意义是什么？wavelet function背后的物理意义又是什么？这个多解析度分析又是什么呢？不急，下面，我们围绕一个例子来巩固一下前面的知识，同时再引出新的特性。
小波分析2006(第4讲：离散小波变换的多分辨率分析)1
第 4 讲 离散小波变换的多分辨率分析 4.1 多分辨率分析的引入 4.2 多分辩率分析的定义 4.3 空间 V j 、 W j 中信号的分解 4.4 二尺度差分方程 4.5 二尺度差分方程与共轭正交滤波器组 4.6 Mallat 算法 4.7 Mallat 算法的实现 4.8 小波变换小结在实际应用中，特别是在计算机上实现小波变换时，信号总要取成离散的，因此，研 究 a, b 及 t 都是离散值情况下的小波变换，进一步发展一套快速小波变换算法将更有意 义。
由 Mallat 和 Meyer 自 80 年代末期所创立的“多分辨率分析”技术,起到了关键的作 用。
该算法和多抽样率信号处理中的滤波器组及图像处理中的金字塔编码等算法结合起 来，构成了小波分析的重要工具。
本讲讨论多分辨率分析的定义、算法及应用。
14.1 多分辨率分析的引入4.1.1 信号的分解近似 现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。
我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。
给定一个连续信号 x(t ) ， 如图 4.1.1(a)所示，令⎧1 φ (t ) = ⎨ ⎩0显然， φ (t ) 的整数位移相互之间是正交的，即0 ≤ t <1 其它(4.1.1)〈φ ( t − k ), φ ( t − k ′ )〉 = δ ( k − k ′ )k, k′ ∈ Z(4.1.2)这样，由 φ (t ) 的整数位移 φ (t − k ) 就构成了一组正交基。
设空间 V0 由这一组正交基所构成， 这样， x(t ) 在空间V0 中的投影（记作 P0 x(t ) ）可表为：P0 x( t ) = ∑ a 0 ( k )φ ( t − k ) = ∑ a 0 ( k )φ 0,k ( t )k k(4.1.3)它可以看作是 x(t ) 式中 φ0, k (t ) = φ (t − k ) , a0 (k ) 是基 φ0, k (t ) 的权函数。
第四章 多分辨率分析与正交小波变换1
第四章 多分辨率分析与正交小波变换据第三章，构造正交基的一般方法为，在离散框架的基础上，取1,20=∆=τa 则()n t t m mn m -=--22)(2,ψψ； Z n m ∈, （4.1）问题：（1） 按上式离散得到的系列n m ,ψ能否构成一个正交基？ （2） 如何构造这样的母函数)(t ψ？ 解决方法：多分辨率分析4.1 几种正交小波基（1）Haar 小波数学家A.Haar 于1910年提出的Haar 系()),(22)(2,Z n m n t h t h m m n m ∈-=--是由母函数生成的。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-≤≤=其它12112/101)(x x t h （4.2）特点：同一尺度m 上，函数集合Z n n m t h ∈)}({,中任意两个函数的支集不相交；同一尺度上的基函数相互正交；不同尺度间的基函数正交；n m h ,构成了)(2R L 空间上的完备标准正交基； Haar 系的函数时域不连续，光滑性差； 频域随ω的衰减速度仅为ω1，频域局部性差。
实际应用受限制，但结构简单，常用于理论研究。
（2）Littlewood-Paley 小波)sin 2(sin 1)(t t tt πππψ-= （4.3）其傅里叶变换为⎩⎨⎧≤≤=ψ，其他02,1)(πωπω （4.4）将式（4.3）的)(t ψ按照式（4.1）进行平移和伸缩得到的Z n n m t ∈)}({,ψ是)(2R L 空间上的完备正交基，称之为Littlewood-Paley 正交小波基。
特点：时域衰减速度仅为t1，局部性差； 频域局部性好；实际应用也受到限制。
（3）Meyer 小波Meyer 小波的小波函数ψ和尺度函数φ都是在频域中进行定义的，是具有紧支撑的正交小波。
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∉≤≤-≤≤-=ψ--]3π8,3π2[,03π83π4)),1π23(2πcos(e π)2(3π43π2)),1π23(2πsin(e π)2()(2/2/12/2/1ωωωνωωνωωωj j （4.5）其中，)(x v (Meyer 小波的辅助函数)为一任意连续可导函数，且满足⎩⎨⎧≤≥=0011)(x x x v ，， 1)1()(=-+x v x v (4.6) 若取)(x v 一阶连续可导：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<<≤=11102sin 00)(2x x xx x v π （4.7）则)(x v 与)(ωψ的波形如图4.3所示。
多分辨分析
−∞
∫ ϕ ( x)ϕ (2 x − k )dx 成立。至于（4.4），只要在（4.3）
x − l 即可。
例 4.1 在 Haar 小波系统中系数 hk 的值满足
h0 = h1 = 1
而其它系数 hk 均为 0。 例 4.2 在例 4.1 中给出的 Haar 尺度函数与相应的 Haar 小波都是不连续的， Daubechies 在 1988 年给出的一个更好的简单例子是一个仅有 4 个非 0 系数的小波（俗称 D4 小波）， 相关系数的值为
k
（4.6）
成立，并且，利用（4.3）得到的尺度函数 ϕ ( x) 构造函数
ψ ( x) = ∑ g k ϕ (2 x − k )
k
（4.7）
的伸缩、平移构成 L ( R ) 的正交基，其中 g k = ( −1) h1− k 。进一步地，当
2 k
W j = span{2 ψ (2 j x − k ); k ∈ Z } 时， W j ⊥ W j ' , j ≠ j ' ， W j ⊕ V j = V j +1 .
T1 (i, j ) = [T0 ∗ G ](2i,2 j )
和
（4.1）
X 1 (i, j ) = T0 (i, j ) − [T0 ∗ G ](i, j )
（4.2）
n
上述过程在间隔抽样后的图像中迭代进行。设原始图像尺寸为 N × N ，其中 N = 2 为 2 的 因此由一组不同分辨率的图像 Tk (i, j ) 和最 幂次， 则进行 n 次迭代以后 Tn (i, j ) 变成一个点。 终的低频图像 Tn (i, j ) 组成一个编码图金字塔，此过程如下图所示。
0
个粗分辨率 2 ( J < 0) 下的近似 H J F 以及一系列高分辨率 2 ( j > J ) 下的细节 D j F 渐进