高中数学一元二次不等式教案

合集下载

北师大版高中高三数学必修5《一元二次不等式》教案及教学反思

北师大版高中高三数学必修5《一元二次不等式》教案及教学反思

北师大版高中高三数学必修5《一元二次不等式》教案及教学反思一、教学目标1.掌握一元二次不等式的解法和理解2.认知一元二次不等式与一元二次方程解法的异同点3.增强数学思维素质,提高学生数学应用能力二、教学重点1.了解一元二次不等式的不等号的变化方向与增减性2.掌握计算一元二次不等式的最简形式3.了解一元二次不等式解法在图像上的含义三、教学难点1.理解一元二次式与一元二次不等式的异同点,区分等式的解法与不等式的解法2.了解一元二次不等式解法在图像上的含义,奠定后续学习的基础四、教学方法1.案例教学法:以实例为中心,引导学生掌握解答一元二次不等式的方法和技巧,加深对一元二次不等式的认知。

2.师生共同探讨法:鼓励学生与教师进行互动交流,促进学生的思维活跃,倡导合作与分享精神。

五、课程安排时间内容1学时一元二次不等式的定义与性质2学时一元二次不等式的解法3学时一元二次不等式解法在图像上的应用六、教学过程第一学时1.1 师生引言教师简介本章学习内容,引发学生对一元二次不等式的思考,从而激发探究学习兴趣和动力。

1.2 一元二次不等式的定义教师介绍一元二次不等式的定义,即包含一元二次不等式形式的表达式,并解释变量、系数、常数、不等号等基本概念。

示例:ax2+bx+c>0其中,a为二次项系数,b为一次项系数,c为常数。

1.3 一元二次不等式的性质教师介绍一元二次不等式的性质,包括不等号的取值范围(<、>、$\\leq$、$\\geq$)、不等式的变形和增减性等。

示例:a>0,b2−4ac>01.4 案例分析教师通过具体案例,让学生探究一元二次不等式的解法和不等式的图像性质。

示例:x2−6x+8>0第二学时2.1 师生回顾复习上一学时所学知识点,强化对一元二次不等式的理解。

2.2 一元二次不等式的解法教师详细讲解一元二次不等式的解法,包括配方法和因式分解法,让学生明确两种方法的适用范围和优缺点。

高中高一数学教案一元二次不等式的解法

高中高一数学教案一元二次不等式的解法

高中高一数学教案:一元二次不等式的解法一、知识目标通过学习本课,学生应该能够:1.理解含有一元二次不等式的问题;2.熟练掌握一元二次不等式的解法;3.能够灵活运用一元二次不等式的解法解决实际问题。

二、教学重点1.掌握一元二次不等式的解法;2.能够正确运用一元二次不等式的解法解决实际问题。

三、教学难点1.在解决实际问题中找到正确的不等式;2.对于复杂的不等式,如何选择合适的方法求解。

四、教学过程1. 导入老师可以给学生们出一道含有一元二次不等式的问题,并引导学生们思考:不等式有哪些解法?哪种解法更加简单直接?为什么?2. 一元二次不等式的基本性质老师可以通过例题来讲解一元二次不等式的基本性质:•意义:一元二次不等式可以用来描述一些事件、现象中的数量关系。

•一元二次不等式的标准形式:ax2+bx+c>0。

•不等式解的定义:当x满足不等式时,称x为不等式的解。

•不等式解的类型:如果x属于实数集合,则称x为实数解。

如果x只属于整数集合,则称x为整数解。

如果x只属于有理数集合,则称x为有理数解。

•一元二次不等式基本性质:当a>0时,ax2+bx+c>0的解为开口向上的抛物线;当a<0时,ax2+bx+c>0的解为开口向下的抛物线。

3. 解一元二次不等式的方法老师可以通过例题来讲解解一元二次不等式的方法:•解法一:应用解一元二次方程的方法。

1.将二次不等式化为标准形式:ax2+bx+c>0;2.求出x1和x2,其中x1和x2分别是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根;3.根据一元二次不等式的基本性质作图可知,在x1<x<x2的范围内,原不等式成立。

因此,不等式的解为$x \\in (x_1, x_2)$。

•解法二:应用配方法的方法。

1.将二次不等式化为标准形式:ax2+bx+c>0;2.通过配方法将不等式ax2+bx+c>0转化为(rx+m)2>0的形式;3.根据配方法的定义,(rx+m)2>0的解为$R : x \ ot= -\\frac{m}{r}$;4.将解域转换为原不等式的解域。

一元二次不等式的解法 教案

一元二次不等式的解法  教案

课题:一元二次不等式的解法(1)教材: 人民教育出版社全日制普通高中教科书(必修)第一册(上) 教学目标知识目标:熟练掌握一元二次不等式的两种解法;理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.能力目标:培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.德育目标:通过等与不等的对立统一关系的认识,对学生进行辨证唯物主义教育.情感目标: 在自主探究与讨论交流过程中,培养学生的合作意识和创新精神.教学重点:一元二次不等式的解法.教学难点:一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.教学过程:(一)引入新课.问题1:(幻灯片1)画出一次函数y=2x-7的图象,填空:2x-7=0的解是 .不等式 2x-7>0的解集是 .不等式 2x-7<0的解集是 .请同学们注意,一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数有什么关系?(“三个一次”关系).从上面的特殊情形引导学生发现一般的结论.(幻灯片2): 一般地,设直线y=ax+b与x轴的交点是(x,0),就有如下结果.}一元一次方程ax+b=0的解集是{x|x=x一元一次不等式ax+b>0(<0)解集};(1)当a>0时, 一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x>x一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x<x};};(2)当a<0时,一元一次不等式ax+b>0解集是{x|x<x}.一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x>x(学生看图总结,教师在幻灯片中给出结果).问题2:(幻灯片3)(2004年江苏省高考试题)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分则ax2解集是 .引导学生运用解决问题1的方法,画出二次函数y=ax2+bx+c的图象求解.并请学生说出不等式ax2+bx+c<0的解集和方程ax2+bx+c=0的解集,同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系).(二)讲授新课.1.问题2的解决表明,一元二次不等式的解集可以画出对应二次函数的图象写出. 请同学们解下面两组题:题组1(课本19页例1、例2)(1)解不等式2x2-3x-2>0(2)解不等式-3x2+6x>2学生根据问题2的方法画图求解,教师巡回指导,提醒学生注意掌握画二次函数图象的要领和方法.2.题组2(课本19页例3、例4)(1)解不等式4x2-4x+1>0(2)解不等式-x2+2x-2>0学生不难想到,这两题的方法和上面完全相同,教师在巡回指导中及时提醒学生注意和上面两题的不同,由图象写出解集是难点,必要时教师在黑板上画出图象给予一定的提示或讲解.3.至此我们掌握了用图象法来解一元二次不等式.当然我们可以仿照前面探讨“三个一次”关系的做法来探讨这里“三个二次”的关系.引导学生分三种情况(△>0,△<0,△=0)讨论一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0 )与ax2+bx+c<0(a>0)的解集.何?课后仿上表给出.4.由上面的例题和总结我们发现,一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、二次方程的根以及不等号有关,进一步引导学生总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为“三步曲”法).(四)课堂练习.1.课本P 19~20练习1~3.2.(幻灯片5)题组3:(1)x 2+x+k>0恒成立,求k 的取值范围.(2)ax 2+bx+c>0(a ≠0)恒成立的条件为 .ax 2+bx+c ≤0(a ≠0)恒成立的条件为 .(3)(x-a )(x-a 2)<0(0<a<1)的解集是 .课本P 19练习1的四个小题由4位同学板演,教师通过学生板演发现问题,纠正错误,规范书写过程.课堂练习1、2是两组有梯度的练习题,练习1面向全体学生,练习2供程度较好的学生进一步发展提高.(五)课时小结.1.“三个二次”关系.2.一元二次不等式的两种解法----图象法和“三步曲”法.(六)课后作业.1.课本P 20习题1,3,5,6.2.补充练习:1.若不等式 2282001x x mx mx -+<--对一切x 恒成立,求实数m 的范围. 解析:∵x 2-8x+20=(x-4)2+4>0, ∴ 只须mx 2-mx-1<0恒成立,即可:①当m=0时,-1<0,不等式成立;②当m ≠0时,则须2040m m m <⎧⎨∆=+<⎩ 解之:-4<m<0.由(1)、(2)得:-4<m ≤0.2.设不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|α<x<β}(0<α<β),求不等式cx 2+bx+a<0的解集. 分析:由题001111a c b b a c c a a cαβαβαβαβ⎧⎧⎪⎪<<⎪⎪⎪⎪+=-⇒+=-⎨⎨⎪⎪⎪⎪=⋅=⎪⎪⎩⎩∴cx 2+bx+a<0的解集是{x|x< 1β或x>1α}. 课后预案课堂中学生可能提出的意外问题设想:1.学生可能提出的问题:不等式(x+2)(x-3)<0能不能转化为不等式组{0203>x<x +-或{0203<x>x +-求解?2.学生在解题中可能出现的问题:把不等式(x-1)(x+2)>1转化为{1112>x>x -+去解.课后反思(略)板书设计(略)教学设计说明本节课的所有内容以题组的形式展现给学生,学生始终在解题中探究,在解题中发现,学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏.复习引入的问题1是学生已经熟知的一元一次不等式、一元一次方程及一次函数既“三个一次”的关系问题,旨在为后面探讨“三个二次”的关系提供方法和思路.问题2是课本中的材料,以高考题的形式出现可以引起学生更大的关注和兴趣.教材中的四个例题让学生完全按照解决问题2的方法自己去解,教师只在必要的时候提醒学生应该注意的问题,或学生遇到困难时给予引导.完成四道例题后,学生对一般一元二次不等式的解法和“三个二次”的关系已经有一定的理解,然后由特殊到一般,引导学生总结规律,形成一般结论.最后学生再利用自己的总结去完成课堂练习,刚刚形成的方法与结论可以进一步巩固和深化.例题、练习和作业的设置由浅入深,并且补充部分题目照顾各个层次的学生.一元二次不等式的求解过程,也是函数与方程、数形结合、分类讨论及类比等数学思想方法的综合应用过程,在教学中提醒学生注意深刻体会,也在补充题目中逐步加以渗透.一元二次不等式的解法(第一课时)说课稿各位评委、各位老师:大家好!今天我说课的课题是《一元二次不等式的解法》(第一课时)。

《2.2.3 一元二次不等式的解法》教学设计

《2.2.3 一元二次不等式的解法》教学设计

《2.2.3 一元二次不等式的解法》教学设计2.2.3一元二次不等式的解法教学设计一、教材分析1、地位与作用一元二次不等式的解法在高中数学中具有重要地位。

它是在学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的基础上进行的,是对前面知识的深化和综合运用。

同时,一元二次不等式在解决实际生活中的优化问题、函数定义域、值域等问题中有着广泛的应用,是进一步学习数学和其他学科的重要工具。

在高考中,一元二次不等式的解法常常与函数、数列、解析几何等知识相结合进行考查,是考生必须掌握的基础知识。

2、教材内容教材首先通过实例引出一元二次不等式的概念,然后利用二次函数的图象来探究一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系,从而得出一元二次不等式的解法。

二、学情分析1、已有知识基础学生已经学习了一元一次不等式的解法,对于不等式的基本性质和求解不等式的基本步骤有了一定的了解。

学生也已经掌握了一元二次方程的解法,包括求根公式、因式分解法等,并且对二次函数的图象和性质有了初步的认识,如二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等。

2、学习能力大部分学生具备一定的逻辑推理能力和运算能力,但在将知识进行综合运用方面可能存在不足。

例如,将二次函数的图象特征与一元二次不等式的解集联系起来,对于一些学生来说可能是一个难点。

3、兴趣爱好和学习风格学生对于与实际生活相关的数学问题比较感兴趣,如在生活中如何通过一元二次不等式来解决利润最大化、资源最优化等问题。

在学习风格上,有些学生更倾向于直观的图象学习,而有些学生则擅长通过公式和计算来理解知识。

三、教学目标1、知识与技能学生能够理解一元二次不等式的概念,会将一元二次不等式转化为标准形式。

掌握一元二次不等式的解法,能够熟练运用二次函数的图象求解一元二次不等式。

能将一元二次不等式的解法应用于解决简单的实际问题。

2、过程与方法通过探究一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系,培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。

一元二次不等式及其解法教案

一元二次不等式及其解法教案

一元二次不等式及其解法教案教学目标1.知识与技能:二次不等式与会解一元二次不等式及含参数的一元二次不等式。

2.过程与方法:通过学案让学生有目的复习,自主预习。

通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,进而探究一元二次不等式和含参数不等式的解法;以函数为载体,突破一元二次不等式恒成立问题。

3.情感态度与价值观:培养探究合作的能力和推证能力及解决问题的能力。

2学情分析本节课内容的地位体现在它的基础性,作用体现在它的工具性.一元二次不等式的解法是一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化,对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用,也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关,许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。

因此,一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性,体现出很大的工具作用。

我班中等程度的学生占大多数,程度较高与程度较差的学生占少数。

学生数学基础差异不大,但进一步钻研的精神相差较大。

学生已经学习了一元一次不等式(组)的解法和二次函数的零点,会画一元二次函数的图象,也会通过图象去研究理解函数的性质,初步的数形结合知识可以使学生写出一元二次不等式的解集,因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍一元二次不等式的解法,从认知规律上讲,应该是容易理解的。

在教学中加强师生互动,尽多的给学生动手的机会,让学生让学生观察、讨论,在实践中体验三者的联系,从而直观地归纳、总结、分析出三者的联系成为可能。

3重点难点1.重点:会解一元二次不等式及含参数不等式。

2.难点:一元二次不等式恒成立应用问题。

4教学过程4.1复习课教学活动活动1【活动】一元二次不等式及其解法引入:以高考考点及类型复习引入学生复习学案上的高考考点明确高考考点教学过程:一快速起跑——学案总结明确学习目标,总结学生学案的完成情况题。

二完善学案——自主学习总结1、一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

高中高一数学教案:一元二次不等式的解法

高中高一数学教案:一元二次不等式的解法

高中高一数学教案:一元二次不等式的解法一、教学目标1.知识与技能目标:理解一元二次不等式的概念,掌握一元二次不等式的解法,能够熟练运用解一元二次不等式的方法解决实际问题。

2.过程与方法目标:通过探究一元二次不等式的解法,培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标:激发学生对数学的兴趣,培养学生勇于探索、积极思考的精神。

二、教学重点与难点1.教学重点:一元二次不等式的解法。

2.教学难点:一元二次不等式的解法在实际问题中的应用。

三、教学过程1.导入新课(1)引导学生回顾一元二次方程的解法。

(2)提出问题:一元二次不等式与一元二次方程有何关系?如何解一元二次不等式?2.探究一元二次不等式的解法(1)引导学生学习一元二次不等式的解法。

(2)通过例题讲解,让学生掌握一元二次不等式的解法。

(3)让学生尝试独立解决一元二次不等式问题,并及时给予反馈。

3.巩固练习(1)布置一些一元二次不等式的练习题,让学生独立完成。

(2)对学生的练习进行批改,指出错误并给予指导。

4.小组讨论(1)让学生分组讨论一元二次不等式在实际问题中的应用。

(2)让学生分享自己在学习过程中的收获和困惑。

四、教学评价1.课后作业:布置一些一元二次不等式的习题,要求学生独立完成,以检验学生对本节课内容的掌握情况。

2.课堂表现:观察学生在课堂上的参与程度、发言积极性和问题解决能力,以了解学生的学习效果。

五、教学反思六、教学拓展1.引导学生进一步学习一元二次不等式的性质,如单调性、奇偶性等。

2.探讨一元二次不等式与其他数学知识(如函数、几何等)的联系。

七、教学资源1.教材:高中数学教材(人教版)。

2.课件:制作一元二次不等式的解法课件。

3.练习题:设计一些一元二次不等式的习题,供学生课后练习。

八、教学时间1课时九、教学建议1.在教学过程中,要注重启发式教学,引导学生主动探究、积极思考。

2.注重培养学生的团队合作能力,鼓励学生相互交流、分享经验。

一元二次不等式教案

一元二次不等式教案

2.3一元二次不等式(第1课时)一、教材分析一元二次不等式的解法是高中数学教学的重点和难点之一。

从内容上看,二次不等式、二次方程与二次函数密不可分,该内容涉及的知识点较多且应用广泛。

从思想层次上看,它涉及到数形结合、分类转化、方程函数等数学思想,这些内容和思想将在中学数学中产生广泛而深远的影响。

同时,一元二次不等式的解法是以后研究函数的定义域、值域等问题的最要工具,它可渗透到中学数学的几乎所有领域中,对今后的学习起着十分重要的作用。

二、教学目标知识与技能目标:1.理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.2.熟练掌握一元二次不等式的解法;过程与方法目标:通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力,渗透数形结合思想,提高运算(变形)能力,渗透由具体到抽象思想。

情感、态度与价值观目标:通过图象法,教师有意识地向学生渗透抽象与具体、联系与转化、特殊与一般、个性与共性等辩证唯物主义的观点和方法,并注意通过设问、追问、反问、讨论等主动参与教学的活动,培养学生的自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识。

三、教学重、难点重点:一元二次不等式解法难点:一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系;数形结合思想渗透四、教学方法与手段1、启发式的教学模式教师在学生已有的知识经验和思考基础上适当引导,使学生获得新知。

在知识的传授过程中摆脱传统的灌输性教学,对学生进行引导式的学习,使学生充分发挥学习的主观能动性和自主性,教师起一个引路人的作用。

2、多媒体教学手段运用多媒体直观,形象,方便的特点,运用PPT,几何画板等多媒体工具,使课堂气氛融洽,效率提高。

3、教学工具演示电脑主机一台,电脑投影屏幕一个。

电动投影仪一台;黑板、粉笔、板刷一个。

五、教学过程数缺形时少直观,形少数时难入微。

数形结合百般好,隔裂分家万事休。

这是我国著名数学家华罗庚先生对于数与形间密切关系的生动描述,充分地体现了数形结合思想的重要性。

2.2.3 高中必修一数学教案《一元二次不等式的解法》

2.2.3  高中必修一数学教案《一元二次不等式的解法》

高中必修一数学教案《一元二次不等式的解法》教材分析一元二次不等式的解法是高中重要的基本功,也是初中与高中的衔接点,是进一步熟悉不等式的性质的体现。

学生通过本节课的学习,可以了解一元二次不等式的本质,学会一元二次不等式的一般解法思路,理解一元二次不等式的解与对应的一元二次方程根的关系。

学情分析学生在初中接触过一元二次方程求根,也会解答简单的一元二次不等式。

但学生在初中学习的方法比较杂,需要规范一般的解答思路。

教学目标1、会解简单的一元二次不等式。

2、了解一元二次不等式与二次函数,一元二次方程之间的相互关系,计算出其解集。

教学重难点一元二次不等式的解法与其对应方程的根。

教学方法讲授法、讨论法、练习法教学过程一、情境导学汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,一般称这段距离为“刹车距离”,刹车距离是分析交通事故的一个重要依据。

在一个限速为40km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相碰了。

事后现场斟查,测得甲车的刹车距离略超过6m,乙车的刹车距离略超过10m 。

已知甲、乙两种车型的刹车距离s m 与车速v km/h 之间的关系分别为S 甲 = 1100 v 2 - 110 vS 乙 = 1200 v 2 - 120 v试判断甲、乙两车有无超速现象。

不难看出,要判断甲、乙两车是否超速,就要得到它们车速的取值范围,也就是要解不等式1100 v 2 - 110 v >6 和 1200 v 2 - 120 v >10即v 2-10v-600>0和v 2-10v-2000>0二、探究新知1、一元二次不等式一般地,形如ax 2 + bx + c >0的不等式称为一元二次不等式。

a ,b ,c 是常数,a ≠0。

一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等。

2、求一元二次不等式的解集x (x-1)>0注意只有两个同号的数相乘,结果才能是正数。

ab >0当且仅当 a >0 a <0或b >0 b <0因此,不等式可以转化为两个不等式组x>0 x<0或x-1>0 x-1<0 解得x>1或x<0,因此,不等式①的解集为(-∞,0)∪(1,+∞)一般地,如果x1<x2,则不等式(x-x1)(x- x2)<0的解集是(x1,x2)不等式(x-x1)(x- x2)>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞)3、解析情境回到情境导学中的不等式,v2-10v-600>0(v+20)(v-30)>0v>30v2-10v-2000>0(v+40)(v-50)>0v>50由此可见,乙车肯定超速了。

高一数学上册《一元二次不等式的解法》优秀教学案例

高一数学上册《一元二次不等式的解法》优秀教学案例
同时,让学生分享自己在小组讨论中的收获和感悟,总结学习方法,提高学生的自我反思能力。
(五)作业小结
为了巩固本节课所学知识,我会布置以下作业:
1.根据课堂所学,完成课后练习题,加深对一元二次不等式解法的理解。
2.结合实际生活,找出一元二次不等式的应用实例,并尝试用所学知识解决问题。
3.撰写学习心得,总结自己在学习一元二次不等式过程中的收获和困惑。
小组合作是提高学生团队合作能力和自主学习能力的重要途径。在教学过程中,我将根据学生的认知水平和个性特点,合理分组,让每个学生都能在小组中发挥自己的优势。通过设置小组讨论、小组竞赛、小组报告等形式,引导学生共同探究一元二次不等式的解法,并在合作中相互学习、共同成长。
(四)反思与评价
反思与评价是教学过程中的重要环节,旨在帮助学生巩固知识、提高能力、调整学习方法。在教学过程中,我将注重以下几个方面:
二、教学目标
(一)知识与技能
1.理解一元二次不等式的定义,掌握其标准形式和一般形式。
2.学会运用数形结合法、图像法、符号法等方法求解一元二次不等式,并掌握求解过程中的关键步骤。
3.能够将一元二次不等式与实际问题相结合,运用数学建模的思想解决问题,提高学生的应用能力。
4.熟练运用数学符号、逻辑推理和证明方法,对一元二次不等式的性质进行证明和推导。
4.根据学生的反馈,调整教学策略和内容,使教学更加符合学生的实际需求。
四、教学内容与过程
(一)导入新课
在导入新课的环节,我将首先提出一个与学生生活息息相关的问题:“在一次购物活动中,商家提出了满100减30的优惠活动。那么,小明购买商品时,如何计算他需要支付的最低金额呢?”通过这个问题,引导学生思考一元二次不等式在生活中的应用,从而自然导入本节课的主题。

高中数学高三第六章不等式一元二次不等式及其解法(教案)

高中数学高三第六章不等式一元二次不等式及其解法(教案)

高三一轮复习 6.2 一元二次不等式及其解法【教学目标】1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。

【重点难点】1。

教学重点:会解一元二次不等式并了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系;2。

教学难点:学会对知识进行整理达到系统化,提高分析问题和解决问题的能力;【教学策略与方法】自主学习、小组讨论法、师生互动法【教学过程】环节二:意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是________.解析[由题可得f(x)<0对于x∈[m,m+1]恒成立,即错误!解得-错误!〈m〈0.答案错误!知识梳理:知识点1 三个“二次”的关系ΔacΔ〉0Δ=0Δ数+a〉象次有两相异实根有两相等实根没有ax2+bx+c=0(a>0)的根x1,x2(x1<x2)x1=x2=-错误!ax2+bx+c〉0 (a>0)的解集{x|x〈x1或x〉x2}{x|x≠x1}Rax2+bx+c<0 (a〉0)的解集{x|x1〈x<x2}∅∅知识点2 用程序框图表示ax2+bx+c>0(a>0)的求解过程1.必会结论;(1)(x-a)(x-b)〉0或(x-a)(x-b)〈0型不等式解法教师引导学生及时总结,以帮助学生形成完整的认知结构。

由常见问题的解决和总结,使学。

《一元二次不等式的应用》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《一元二次不等式的应用》示范公开课教案【高中数学必修第一册北师大】

《一元二次不等式的应用》教学设计1. 能从实际情境中抽象出一元二次不等式.2. 通过解一元二次不等式解决实际问题.重点:利用一元二次不等式解决实际问题.难点:从实际问题中抽象出一元二次不等式模型. 一、新课导入温故知新:同学们,我们在上节课学习了一元二次不等式及其解法,有图像法和判别式法两种方法,一般步骤为: (1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零;(2)计算相应的判别式;(3)当△≥0时,求出相应的一元二次方程的根;(4)根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集.想一想:同学们,了解了一元二次不等式的解法后,我们应如何运用呢?面对生活中一些常见的实际问题,你能否运用一元二次不等式解决出来呢?答案:结合一元二次不等式及其解法,了解一元二次不等式的现实意义,把实际问题中的文字语言转化为数学语言,构建数学模型,解决实际问题.设计意图:通过对旧知的复习,巩固学生对一元二次不等式的求解基础,并且引出新的课题,激发学生的学习兴趣,让学生在对新问题的挑战中,进一步深化数学建模思想,对这个强有力的学科工具的运用方法更加灵活多变.三、应用举例例1:某农家院有客房20间,日常每间客房日租金为80元,每天都客满.该农家院欲提高档次,并提高租金.经市场调研,每间客房日租金每增加10元,客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元,要使每天客房的租金总收入不低于1800元,该农家院每间客房日租金提高的空间有多大?分析:首先将大问题转化为几个小问题,然后分步完成:(1)你能用含x 的表达式分别表示租金提高空间、每间客房日租金提高值和租金总收入吗?(2)租金总收入y 与每间客房日租金提高的比例x 的函数关系如何?(3)利用题目中所给的不等关系求解.解: 设每间客房日租金提高x 个10元,即每间客房日租金提高到(80+10x)元,则客房出租数减少x(x ∈N)间,此时客房的租金总收入为(80+10x)(20−x)元.又因为每天客房的租金总收人不低于1800元,所以(80+10x)(20−x)≥1800.化简,得 x 2−12x +20≤0.解得 2≤x ≤10.由题意可知:每间客房日租金不得超过130元,即80+10x ≤130,所以x ≤5.◆教学目标 ◆教学重难点 ◆◆教学过程◆因此,x=2,3,4,5,该农家院每间客房日租金提高的空间是20元,30元,40元,50元.想一想:遇到文字类的应用题,我们应该如何巧妙将文字语言转化为数学语言呢?答案:遇到大篇幅的文字不要慌,善用分步思想将大问题转化为小问题,首先用一个未知量表示多个未知量,然后列出未知量之间的关系表达式,求出结果.例2:为鼓励大学毕业生自主创业,某市出台了相关政策:由政府协调,本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售,成本价与出厂价之间的差价由政府承担.大学毕业生袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯,已知这种节能灯的成本价为每件10元,出厂价为每件12元,每月的销售量y(单位:件)与销售单价x(单位:元)之间的关系近似满足一次函数:y=−10x+500.(1)设袁阳每月获得的利润为w(单位:元),写出每月获得的利润w与销售单价x的函数关系.(2)物价部门规定,这种节能灯的销售单价不得高于25元如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元,那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少?分析:选取合适的字母表示题中的未知数,用未知数表示出销售利润和销售量,再代入题目中所给关系式求解.解:(1)依题意可知每件的销售利润为(x−10)元,每月的销售量为(−10x+500)件,所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为w=(x−10)(−10x+500).(2)由每月获得的利润不小于3000元,得(x−10)(−10x+500)≥3000.化简,得x2−60x+800≤0.解得20≤x≤40.又因为这种节能灯的销售单价不得高于25元,所以20≤x≤25.设政府每个月为他承担的总差价为p元,则p=(12−10)(−10x+500)=−20x+1000.由20≤x≤25,得500≤−20x+1000≤600.故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为[500,600]元.知识点:与一元二次不等式有关的实际应用问题,经常涉及物价、路程、产值、环保等最值问题,也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.解答这类问题的关键是确立相应的函数解析式,然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答.操作步骤如下:(1)理解题意,搞清量与量之间的关系;(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题;(3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.设计意图:我们主要针对常见的一元二次不等式及其解法的应用进行展开,其中较为重要的应该是数学建模的能力以及把文字语言转换成数学语言的能力,因此在这一部分例题的选取中,都会出现体现上述能力的模块,由此丰富学生的解题技巧,让他们感知数学在实际生活中运用的魅力所在.四、课堂练习1. 恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,要求十二月份的销售额不少于193.6万元,求这两个月的平均增长率最少为多少.2. 益群精品店以每件21元的价格购进一批商品,该商品可以自行定价,若每件商品售价a元,则可卖出350−10a件,但物价局限定每件商品的利润不得超过20%,商店计划要至少盈利400元,最少进货多少件?每件商品应最少定价多少?3. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不加附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税k元(叫做税率k%),则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元,问h应怎样确定?4.求某摩托车生产企业,上年度投入的成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆本年度为适应市场需要,计划提高产品档次.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应提高的比例业为0.75x,同时预计销售量增加的比例为0.6x.已知年利润= (出厂价-投入成本)*年销售量.为使本季度的年利润比上年增加,投入成本增加的比例x应在什么范围?5.某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳锐10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点.(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式;(2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围.分析:重复上题步骤,将大问题转化为几个小问题,然后分步完成:(1)你能用含x的表达式分别表示投入的成本、出厂价和年销售量吗?(2)本年度的预期年利润y与投入成本增加的比例x 的函数关系如何?要得出预期年利润y与投入成本增加的比例x的函数关系,我们首先要用含x的表达式分别表示投入的成本、出厂价和年销售量,而后代入题目所给公式,即可求出一元二次函数关系表达式.参考答案:1. 10%.解析:设这两个月的平均增长率是x,则根据题意,得200(1−20%)(1+x)2≧193.6,即(1+x)2≥1.21,解这个方程,得x1≥0.1,x2≤−2.1(舍去).答:这两个月的平均增长率最少是10%.2.100件,25元.解析:根据题意,得(a−21)(350−10a)≥400,整理,得a2−56a+775=0,解这个方程,得a1≥25 , a2≤31.因为21×(1+20%)=25.2,所以a2=31不合题意舍.350−10a=350−10×25=100(件).答:至少需要进货100件,每件商品最低应定价25元.3.2≤k≤8.解析:设产销量为每年x万瓶,则销售收人每年70x万元,从中征收的税金为70x×k%万元,其中x=100−10k.由题意,得70(100−10k)k%≥112整理得k2−10k+16≤0,解得2≤k≤8.因此当2≤k≤8(单位:元)时,每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元.4. (0,3)解析:根据题意,提高产品档次后得成本为1+x,出厂价为1.2(1+0.75x),年销售量为1000(1+0.6x),则预期年利润y与投入成本增加的比例x的函数关系为y=[1.2(1+0.75x)−1−x]×1000(1+0.6x)=−60x2+20x+200(0<x<1),所以为使若本年度的年利润比上年有所增加,则−60x2+20x+200>(1.2−1)×1000,解得0<x<3即投入成本增加的比例x应在(0,3)内.5.0<x≤20.解析:(1)降低税率后的税率为(10−x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a(1+2x%)万元.依题意: y=200a(1+2x%)(10−x)%=1a(100+2x)(10−x)(0<x<10).50(2)原计划税收为200a×10%=20a(万元).依题意得a(100+2x)(10−x)≥20a×83.2%,化简得x2+40x−84≤0,−42<x<2.又因为0<x<10,所以0<x≤20,所以,x的取值范围是0<x≤20.五、课堂小结1.利用不等式解决实际问题的一般步骤如下:(1)选取合适的字母表示题中的未知数;(2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组);(3)求解所列出的不等式(组);(4)结合题目的实际意义确定答案.六、布置作业教材第39页练习题1、2.。

高中数学《一元二次不等式的解法(2)》教案

高中数学《一元二次不等式的解法(2)》教案

高中数学《一元二次不等式的解法(2)》教案一、教学目标1.能够掌握二次不等式的根的求法。

2.能够通过二次不等式的解法解决实际问题。

二、教学重点1.掌握二次不等式根的求法。

2.能够通过二次不等式解决实际问题。

三、教学难点1.通过二次不等式解决实际问题。

四、教学方法1.从上节课的知识点展开,创设情境,启发学生思考。

2.讲授、探究和自主学习相结合的教学方法。

五、教学工具1.教材2.黑板、彩笔3.教案六、教学过程1.引入(10分钟)让学生回忆上节课的内容,回答以下问题:(1)什么是一元二次不等式?(2)一元二次不等式的一般形式是什么?(3)如何判断一元二次不等式的解集?2.新课讲解(25分钟)(1)直观表示法1.当 $a>0$ 时,不等式的解集为 $(x_1,-\infty) \cup (x_2,\infty)$。

2.当 $a<0$ 时,不等式的解集为 $[x_1,x_2]$。

(2)公式表示法对于一元二次不等式 $ax^2+bx+c>0$,我们可以根据其判别式$D=b^2-4ac$ 的正负性来判断其解集。

当 $D>0$ 时,不等式的解集为 $(x<x_1) \cup (x>x_2)$。

当 $D=0$ 时,不等式的解集为 $x=x_1$ 或 $x=x_2$。

当 $D<0$ 时,不等式的解集为空集 $ø$。

(3)实例讲解例1:解不等式 $(x+1)(x-3)>0$。

解:我们可以使用直观表示法或公式表示法来解这个不等式。

方法一:直观表示法当 $x<-1$ 或 $x>3$ 时,不等式成立。

方法二:公式表示法首先,求出不等式的根:$$x_1=-1, x_2=3$$然后,根据判别式的正负性,得到其解集:$$D=(-1)^2-4 \times 1 \times (-3)=13 >0$$因此,不等式的解集为 $(x<-1) \cup (x>3)$。

高中数学《一元二次不等式解法》说课稿教案模板

高中数学《一元二次不等式解法》说课稿教案模板

高中数学《一元二次不等式解法》说课稿教案模板一、教学目标本节课的教学目标主要包括: 1. 掌握一元二次不等式的基本概念和解法方法;2. 熟练运用解一元二次不等式的方法求解实际问题;3. 培养学生分析和解决实际问题的能力。

二、教学重点和难点1. 教学重点•理解一元二次不等式的含义,并能正确书写;•掌握不等式与方程的相同与不同之处;•掌握求解一元二次不等式的方法。

2. 教学难点•运用所学知识解决实际问题;•教学示范能力的培养。

三、教学准备1.教材:高中数学教材;2.备课笔记和课件;3.具体问题的实际案例。

四、教学过程1. 导入与问题引入•导入:通过举例引入一元二次不等式的概念,引发学生对解一元二次不等式的需求。

•问题引入:提出一个实际生活中的问题,例如:某地方的温度在一天中的波动范围,用一元二次不等式表示并求解。

2. 知识讲解与示范演练•通过讲解一元二次不等式的定义、性质和解法方法,引导学生建立一元二次不等式的解题思路。

•结合示例,演示如何将实际问题转化为一元二次不等式,并通过解一元二次不等式的方法求解。

3. 合作探究与讨论•学生分小组合作解决一元二次不等式问题,并展开讨论。

•学生在小组内互相分享解题方法和思路,并针对不同题型进行分析和总结。

4. 拓展应用与实际问题解决•学生通过练习题拓展应用,进一步巩固和运用所学知识。

•将实际问题与一元二次不等式相结合,引导学生运用所学方法解决实际问题。

5. 归纳总结与提问反馈•归纳总结一元二次不等式的解题方法和注意事项。

•随堂练习,通过提问和小组展示来检查学生的掌握程度和理解程度。

五、教学延伸通过练习题和拓展问题,让学生再次思考一元二次不等式在实际问题中的应用,并激发学生进一步探究和学习的欲望。

六、教学反思在教学过程中,我设计了多种教学环节,旨在激发学生的学习兴趣和学习动力,让学生在实际问题中运用所学知识解决问题,提高了学生的动手能力和解决问题的能力。

同时,我也发现了一些问题,例如学生在求解一元二次不等式时容易出错,对于实际问题转化为数学问题的能力还需进一步提高等。

高中数学必修5一元二次不等式教案

高中数学必修5一元二次不等式教案

一元二次不等式2.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x 的值,x 叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集 .注:(1)定义的简单应用:判断一个不等式是否为一元二次不等式,应严格按照定义去判断,即未知数只有1个,未知数的最高次数是2,且最高次的系数不能为0. (2)解集是解的集合,故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式. 知识点二、一元二次不等式的解法 1.画出函数y=x 2-x-6的图象,并根据图象回答: (1).图象与x 轴交点的坐标为 (-2, 0),(3, 0) , 该坐标与方程 x 2-x-6=0的解有什么关系:交点的横坐标即为方程的根。

(2).当x 取 x= -2 或 3 时,y=0? 当x 取 x<-2 或 x>3 时,y>0? 当x 取 -2 < x <3 时,y<0? (3).由图象写出: 不等式x 2-x-6>0 的解集为﹛x|x<-2或x>3﹜。

不等式x 2-x-6<0 的解集为﹛x| -2 <x <3﹜。

思考:方程20ax bx c ++=、不等式20ax bx c ++>或20ax bx c ++<与函数2y ax bx c =++的图象有什么关系?结论:方程的解即函数图象与x 轴交点的横坐标,不等式的解集即函数图象在x 轴上方或下方图象所对应x 的范围。

2.二次函数,一元二次方程,一元二次不等式的关系观察图像,得出观察、思考完成(三) [例题讲解].例1. 解不等式2-->.2320x x一元二次不等式的标准形式:20ax bx c++>与20ax bx c++<(a>0)>)记忆口诀:a>0(Δ0大于0取两根之外,小于0取两根中间。

例2.解不等式2+>.x x414例3.解不等式2230-+->.x x(四) [方法总结].总结出:解一元二次不等式20ax bx c++>或20++<的步骤是:ax bx c(1)化成标准形式20++>(a>0)或ax bx c20++< (a>0)ax bx c(2)判定△的符号,(3) 求出方程20ax bx c++=的实根;(画出函数图像)(4)(结合函数图象)写出不等式的解集.(五) [课堂小结].1、一元二次不等式的概念2、一元二次不等式的解题步骤(六) [课后作业].1.课本P习题1,3,5,6.202.练习册。

一元二次不等式教案

一元二次不等式教案

一元二次不等式教案一元二次不等式教案1教学目标:(1)透彻理解、掌握一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的内在联系,会解一元二次不等式;(2)培养学生数学的数形结合思想和转化能力,学会主动探求问题和寻找解决问题的方法。

教学重点:一元二次不等式的解法(图象法)教学难点:(1)一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系;(2)数形结合思想的渗透教学方法与教学手段:尝试探索教学法、归纳概括。

教学过程:一、复习引入1.复习一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系[师]前面我们已经学习了绝对值不等式的解法,今天开始研究一元二次不等式的解法。

(板书课题)记得在初中我们已学习了一元一次不等式的解法,还记得是用什么方法解的吗?学生可能回答是代数方法,也可能说是利用直线图象。

[师]初中学习了一次函数的图象,使得我们对一元一次不等式的解法有了更深入的了解。

首先请同学们画出 y=2x-7[师]请同学们画出图象,并回答问题。

一次函数y=2x-7的图象如下:填表:当x 时,y = 0,即 2x-7 0;当x 时,y < 0,即 2x-7 0;当x 时,y > 0,即 2x-7 0;注:(1)引导学生由图象得出结论(数形结合)(2)由学生填空(一边演示y<0,y>0部分图象)从上例的特殊情形,你能得出什么结论?注:教师引导下学生发现其结论,并由学生尝试叙述:一元一次方程ax+b=0的根实质上就是直线y=ax+b与x轴交点的横坐标;一元一次不等式ax+b>0(或ax+b<0)的解集实质上就是使得函数的图象在x轴上方还是下方时x的取值范围。

2.新课导入[师]我们可以利用一次函数的图象快速准确地求出一元一次不等式的解集,那能否也可以借助二次函数的图象来解一元二次不等式呢?二、讲解新课1、一元二次不等式解法的探索[师] 你知道二次函数的草图是怎样画出的吗?(用"特殊点法"而非课本上的"列表描点法")你能回答以下问题吗?二次函数 y=x2-4x+3的图象如下: 填表:方程x2-4x+3=0(即y=0)的解是不等式x2-4x+3>0(即y>0)的解集是不等式x2-4x+3<0(即y<0)的解集是注:学生类比前面的知识,能根据二次函数的图象确定与x轴的交点,确定对应的一元二次方程的根,从而确定一元二次不等式的解集。

高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿

高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿

高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿1、高二数学《一元二次不等式的解法》优秀一等奖说课稿一.教材内容分析:1.本节课内容在整个教材中的地位和作用。

概括地讲,本节课内容的地位体现在它的基础性,作用体现在它的工具性。

一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化,对已学习过的集合知识的巩固和运用具有重要的作用,也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容密切相关。

许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。

因此,一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性,体现出很大的工具作用。

2.教学目标定位。

根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神、高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征,我确定了四个层面的教学目标。

第一层面是面向全体学生的知识目标:熟练掌握一元二次不等式的两种解法,正确理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。

第二层面是能力目标,培养学生运用数形结合与等价转化等数学思想方法解决问题的能力,提高运算和作图能力。

第三层面是德育目标,通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识,向学生逐步渗透辨证唯物主义思想。

第四层面是情感目标,在教师的启发引导下,学生自主探究,交流讨论,培养学生的合作意识和创新精神。

3.教学重点、难点确定。

本节课是在复习了一次不等式的解法之后,利用二次函数的图象研究一元二次不等式的解法。

只要学生能够理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系,并利用其关系解不等式即可。

因此,我确定本节课的教学重点为一元二次不等式的解法,关键是一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者的关系。

二.教法学法分析:数学是发展学生思维、培养学生良好意志品质和美好情感的重要学科,在教学中,我们不仅要使学生获得知识、提高解题能力,还要让学生在教师的启发引导下学会学习、乐于学习,感受数学学科的人文思想,使学生在学习中培养坚强的意志品质、形成良好的道德情感。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

第 2 课时:§3.2 一元二次不等式(1)
【三维目标】:
一、知识与技能
1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系;
2.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,尝试设计求解的程序框图;
3.掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用;
4.培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力;通过看图象找解集,培养学生从“从形到数”的转化力,“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。

二、过程与方法
经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,获得一元二次不等式的解法;
三、情感、态度与价值观
1.激发学生学习数学的热情,培养勇于探索的精神,培养学生的合作意识和创新精神,同时体会事物之间普遍联系的辩证思想;通过等与不等的对立统一关系的认识,对学生进行辨证唯物主义教育.
2.创设问题情景,激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

【教学重点与难点】:
重点:从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。

难点:理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【学法与教学用具】:
1. 学法:
2. 教学方法:诱思引探教学法
3. 教学用具:多媒体、实物投影仪.
【授课类型】:新授课
【课时安排】:1课时
【教学思路】:
一、创设情景,揭示课题
224.8x?5x?10y?04.8?10x?5x?的解集就是二次观察函数的图象,可以看出,一元二次不等式24.8??10xy?5xxx轴下方的点所对应的值的集合.函数的图象(抛物线)位于x轴交点的横坐
标,再根据因此,求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程,确定抛物线与图象写出不等式的解集.21.2?x?0.8,x05x?10x?4.8?;第一步:解方程,得2124.8x?xy?5?10第二步:画出抛物线的草图;20x?4.8?105x?1.2}?xx{|0.8?第三步:根据抛物线的图象,可知的解集为.二、研探新知
20)?0(cbxax???a的过程,可用下图所示和流程图来描述:求解一元二次不等式
开始cb,a,输入2ac???b40??
??b????b?xx?,21a22a输出“解集为Φ”}x|x?x?{x”输出“解集21结束
220)c?(a?a?0)y?ax?bx0(ax?bx?c?程相应与相应的函数的方等一元二次不式、20)?0(aax??bx?c 之间的关系:
判别式00????0??2ac?b4??
二次函ba
)的图
一元二次方程有两相等实根有两相异实根20?bx?cax?b无实根)xxx,(x???x?x
??221121a2的根0a?20cbx?ax????b??x?或xxx?xxx?? R
??21a2的解集)a(?0??2?bx?c?ax0??x??xxx??21的解集?(a0)三、质疑答辩,排难解惑,发展思维
例1解下列不等式:
22220x?x2???2x?x??2x??x??7x?x1203010?2.)4(;)3(;)2(;)1(.
224?3,xx?12?7xy?x?0?x?7x?12的图象,可得原不等式.根据解:(1)方程的解为212{x|x?3或x?4}0?7x?x12?.的解集是220?2x?3x?3?0x?x?21?为方程解不等式可化为两(2)不等式边同乘以的.,原221??3,xx?3x??2y?x?2x?3??x0{x|?3?x?1}.的解集是的图象,可得原不等式.根据21221??xx1??2xy?x0?x?1x?2的图象,可得原不等式.根据有两个相同的解(3)方程212?2x?1x?0?.的解集为222??2xy?x0?x?2x?20??的图象,可得原不等式无实数解,根据4()因为,所以方程2?2x?2x?0?.的解集为20)?0(a?bx?c?ax 1)求解一元二次不等式的过程,怎样用流程图来描述?思考:(20)a?bx?c?0(ax?的过程,怎样用流程图来描述?(2)求解一元二次不等式220)?0(a?a?0)ax?bx?c0(ax?bx?c?和3()不等式的解法?结论:一元二次不等式的解集:1.}?xx0){x|?xxa(x?x)(?x)?0(a?)不等式(1的解集为
2211x?xx?x}x{x)?0(a?0)x|x?xa(x?)(x?或)不等式的解集为)(其中(2222111归纳解一元二次不等式的步骤:2. (2)解对应的一元二次方程; 1)二次项系数化为正数;( 3)根据一元二次方程的根,结合不等号的方向画图;(4)写出不等式的解集.(即:一化正→二算Δ→三求根→四写解集20??nx?mxx nm,}?1x|?5?{x,求实数的解集是之值.例2 已知关于的不等式221??5,?xx0?xmx?n?0?mx?nx?}x?1?x{|?5?的两个实的解集是解:是不等式,
21?5?1?mm??4????.数根,由韦达定理知:???5?1?nn??5??22ax?bx?c?0cx?bx?a?03}x{|?x2?的解集.求不等式的解集为已知不等式3 例
b?2?3???a a5??b??c??22c?6a0)?0(6axa?5ax?a?cx?bx?a?0?32?得:.解:由题意即.代入不等式,??a??0a??a?0???1120x?1?6x?5?x??}{x|??.即所求不等式的解集为,
322(m?2)x?2(m?2)x?4?0m R的取值范围.已知一元二次不等式,求的解集为例4
2?2(m?2)x(m?2)x?4y??m?2解:为二次函数,2(m?2)x?2(m?2)x?4?0R.的解集为二次函数的值恒大于零,即m?2m?2?0m?2????,解得:,即
???2??04(m?2)?16(m?2)?02?m?6????m{m|2?m?6}m?2适合).的取值范围为
(24?2)xx?2(m??y(m?2)m.已知二次函数的值恒大于零,求的取值范围.拓展:
12?0??2)x?4(m?2)x?2(mm的解集为的取值范围.,2.已知一元二次不等式求
2?0x?4?m?2)x?2(m?2)(m,.若不等式求的取值范围.的解集为3 结论:一元二次不等式恒成立的情况:a?0a?0??22ax?bxax?bx?c?0?c?0(aa(?0)?0)??;(恒成立)2)恒成立(1????0??0??2mx?2x?1?m?0mx2?m??2的取值范围的所有若不等式都成立,求实数对满足例5
20?x)m1)?(1?2(x?.解:已知不等式可化为2)2xm?(1??f(m)(x?1)m0?f(m),从图象上看,要使的一次函数(或常数函数),这是一个关于设2??2?m时恒成立,其等价条件是:在22?? 0,??2x3???2(x1)?(1?2x)0,2x(2)f?3??711?????x即解
得.??22220.???2x1x????(?2)?2(x1)?(12x)0,2f??????31?7?1?,x.的取值范围是所以,实数????22??四、巩固深化,反馈矫正.
1.选择题:下列不等式中,解集为实数集R的是()
??2230?x0?x?10??3xx?20x??8 (A) (C) (D)(B)
2x?xx,x0??bx?cax,那么不下列命题中正确的有①若是方程的两个实数根,且2.2121 222{x|x?x?x}??b?4ac?ax?bxc?0?0ax?bx?c?0的的解集是;②当等式时,二次不等式
2122?x?1??x?xx01?xx??的解集相同.解集是;③与224x6??x03?x?2x?0??3x?10x ②解下列不等式:①; 3. ;③五、归纳整理,整体认识
1.一元二次方程、一元二次不等式及二次函数三者之间的关系,掌握一元二次不等式的解法;2.掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用;
3.掌握将分式不等式转化为一元二次不等式求解.
4.解一元二次不等式的步骤:概括为:一化正→二算Δ→三求根→四写解集
六、承上启下,留下悬念
七、板书设计(略)
八、课后记:。

相关文档
最新文档