北师大版九年级数学下册第二章教学课件全套
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二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)
即可．
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.4《二次函数的应用(第三课时)》课件
知2－讲
导引： 由题意知今年这种玩具每件的成本是去年的(1＋0.7x) 倍，每件的出厂价是去年每件的出厂价的 (1＋0.5x) 倍，今年的年销售量是去年年销售量的 (1＋x)倍．
解：(1)(10＋7x)；(12＋6x) (2)y＝(12＋6x)－(10＋7x)＝2－x， 即y与x的函数关系式为y＝2－x. (3)W＝2(1＋x)(2－x)＝－2x2＋2x＋4＝－2(x-5)2＋4.5， ∵0＜x≤1，∴当x＝0.5时，W有最大值． W最大值＝4.5. 答：当x＝0.5时，今年的年销售利润最大，最大年销 售利润为4.5万元．
知1－练
3 心理学家发现：学生对概念的接受能力y与提出概念 的时间x(min)之间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9；当提 出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31， 则y与x满足的二次函数表达式为( D ) A．y＝－(x－13)2＋59.9 B．y＝－0.1x2＋2.6x＋31 C．y＝0.1x2－2.6x＋76.8 D．y＝－0.1x2＋2.6x＋43
（来自《教材》）
知2－练
2 某旅行社在五一期间接团去外地旅游，经计算，收益
y(元)与旅行团人数x(人)满足表达式y＝－x2＋100x＋
28 400，要使收益最大，则此旅行团应有( C )
A．30人
B．40人
C．50人
D．55人
知2－练
3 (2016·咸宁)某网店销售某款童装，每件售价60元，每星 期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场 调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款 童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星 期的销售量为y件． (1)求y与x之间的函数表达式． (2)当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大， 最大利润是多少元？ (3)若该网店每星期想要获得不低于6 480元的利润，每 星期至少要销售该款童装多少件？
2-1 二次函数(课件)九年级数学下册(北师大版)
(4)y＝x－2＋x；
(5)y＝3(x－2)(x－5)； 解：二次函数有：(2)(5)
(6)y＝x2＋ 1 .
x2
y＝－5x2的二次项系数为5，一次项系数和常数项为0；
y＝3(x－2)(x－5)＝3x2－21x＋30
二次项系数为3，一次项系数为－21，常数项为30.
例题欣赏 ☞
例2. y m 3 xm27.
想一想
探索&交流
问题2：正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面 积为 y，则 y 关于x 的关系式为 y=6x2 .
此式表示了正方体表面积y与正方 体棱长x之间的关系，对于x的每一 个值，y都有唯一的一个对应值， 即y是x的函数.
探索&交流
问题3：某水产养殖户用长40m的围网，在水库中围一块矩形的水面， 投放鱼苗.你能列出矩形水面的面积关于矩形水面的边长的关系式 吗？ 设围成的矩形水面的一边长为x m,那么，矩形水面的另一边长应 为（20-x）m.若它的面积是S m2，则有
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
增种的棵树和平均每棵树结的橙子个数是变量.
增种的棵树是自变量,平均每棵树结的橙子个数是因变量.
探索&交流
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？ 这时平均每棵树结多少个橙子？
果园共有(100＋x)棵树,平均每棵树结(600－5x)个橙子.
一般地，若两个自变量x，y之间的对应关系可以表示成 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数.
a为二次项系数，ax2叫做二次项； b为一次项系数，bx叫做一次项； c为常数项.
详解 二次函数的特殊形式： 1.只含二次项，即y=ax2(b=0，c=0)； 2.不含一次项，即y=ax2+c(b=0，c≠0)； 3.不含常数项，即y=ax2+bx(b≠0，c=0).
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
北师大版九年级下册数学：第二章二次函数回顾与思考课件(共15张PPT)
二次函数y=ax²与y=a(x-h)²和y=a(xh)²+k与的关系
平移关系
当h>0时,向右平移
y=ax2
y=a(x－h)2
当k>0时,向上平移
y=a(x－h)2+k
当h<0时,向左平移
当k<0时,向下平移
二次函数解析式的三种表示方式
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 __y_=_a__x_2+__b_x_+_c____ (a≠0)
a-b+c > 0, a+b+c = 0
点击中考：逆推思想
3.函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标 系内的图象大致是（ C ）
.
知识点4：选择恰当的方法求函数解析式
二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶 点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）， 求a、b、c。
a-b+c 0, a+b+c 0 知识点3：图象与系数的关系
对称轴 当 时 y=a(x－h)2+k
x
x
b
b 2a
2 a 知识点3：图象与系数的关系
思考：二次函数y=ax2+bx+c (a ≠0)的图象与系数a,b,c的关系
增减性 抛物线y=2(x-3)2-2的顶点坐标是？
y随x的增大而增大 y=a(x-h)2+k (a≠0)
y=a(x-h)2+k (a≠0)
当
时
2、能利用数形结合，逆推等思想解决二次函数图象与性质问题.
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
以及图象与系数a,b,C的关系
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图像与性质》优质课件
4
y
2 y=-x2+3
-1 0
-5
函数y=-x2-2的图
象可由y=-x2的图
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
O
5x
10
y=-x2
-2
-4
-6
y=-x2-2
-8
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象 开口
a>0
a<0
y
y
(0,k)
o
增大而
减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个
值等于
5。
（5）抛物线y=7x2-3的开口 向上 ，
对称轴是 y轴 ，顶点坐标
是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随
x的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
增大，
当x= 0 时，取得最 小 值，这个
值等于
-3 。
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过
x
开口向上
o (0,k) x
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
Hale Waihona Puke 对称性 顶点 增减性关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 (最小值为k)
顶点是最高点 （最大值为k）
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0) 的图象形状 相同 ，只是位置不同； 当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得 到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 下 平移 |k| 个单位 得到。
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.5《二次函数与一元二次方程(第一课时)》课件
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗? (3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元
二次方程ax2+bx+h=15时，20t-5t2=15， t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3. 当球飞行1s和3s时，它的高度为15m. （2）当h=20时，20t-5t2=20，
t2-4t+4=0， t1=t2=2. 当球飞行2s时，它的高度为20m. （3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5， t2-4t+4.1=0， 因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根. 故球的飞行高度达不到20.5m.
（来自《教材》）
解：(1)函数h＝－4.9t2＋19.6t 的图象如图． (2)当t＝1时，h＝－4.9＋19.6＝14.7； 当t＝2时，h＝－4.9×4＋19.6×2＝19.6.
知1－练
（来自《教材》）
知1－练
(3)方程－4.9t2＋19.6t＝0的根的实际意义是当足球距
地面的高度为0 m时经过的时间；
的部分对应值如下表： x －1 0 1 3 y －3 1 3 1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对
称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值y随x的增
大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，
其中正确的结论有( B )
A．1个 B．2个 C．3个
D．4个
1 知识小结
北师大版九年级数学下册第二章教学课件全套
双曲线
x
导入新知
正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正 方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的 每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变 量x的最高次数是2.
这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学 习的二次函数．
-2
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
七点法，即先取原点，然后在原点两侧对称地取六 个点，由于关于y轴对称的两个点的横坐标互为相反数， 纵坐标相等，所以先计算y轴右侧三个点的坐标，则左 侧三个点的坐标对应写出即可．
（来自《点拨》）
知1－练
1 已知正方形的边长为x(cm)，则它的面积y(cm2) 与边长x(cm)的函数关系图象为( C )
不要漏掉一些约束条件．列不等式组是求自变量的
取值范围的常见方法．
（来自《点拨》）
知3－练
1 圆的半径是1cm，假设半径增加x cm时，圆的面积增 加 y cm2. (1)写出y与x之间的关系式；
解： (1) y＝π·(1＋x)2－π·12＝πx2＋2πx， 即y与x之间的关系式为y＝πx2＋2πx.
（来自《教材》）
知3－练
2 一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年 后这台机器的价格为y万元，则y与x之间的函数表达 式为( A )
A．y＝60(1－x)2
B．y＝60(1－x)
C．y＝60－x2
D．y＝60(1＋x)2
（来自《典中点》）
知3－练
3 如图，在Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB＝OB＝3，设
a≠0
二次项
一次项
指出方程各项的 系数时要带上前
北师大版数学九年级下册课件二次函数
x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 4 4 9 8 52 7 2 5 8 9 0 9 8 5 2 5 0 50 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 答：种10棵橙子树，果园橙子的总产量最多.
新知探究
做一做：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量. 在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
银行储蓄利率表
2012-7-6
项
目
利率
三个月
2.85
整
半年
3.05
存
一年
3.25
整
二年
3.75
取
三年
4.25
五年
4.75
零存整取
一年
2.85
整存零取
三年
解：S=a( -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a . 是函数关系且为二次函数关系.
新知探究
3.已知函数y=(m2+m) xm2-2m+2 (1)当函数是二次函数时,求m的值.
是二次函数的条件是m2-2m+2=2且m2+m≠0. (2)当函数是一次函数时,求m的值.
是一次函数的条件是m2-2m+2=1且m2+m≠0.
九年级数学北师版·下册
第二章 二次函数
2.1 二次函数
教学目标
1．探索并归纳二次函数的定义．(重点) 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系.（难点）
新课导入
6 6 66 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y/个 0 1 2 3 3 4 4 4 4 5 4 4 4 4 9 8 52 7 2 5 8 9 0 9 8 5 2 5 0 50 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 答：种10棵橙子树，果园橙子的总产量最多.
新知探究
做一做：银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利率是一个变量. 在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
银行储蓄利率表
2012-7-6
项
目
利率
三个月
2.85
整
半年
3.05
存
一年
3.25
整
二年
3.75
取
三年
4.25
五年
4.75
零存整取
一年
2.85
整存零取
三年
解：S=a( -a)=a(30-a)=30a-a²=-a²+30a . 是函数关系且为二次函数关系.
新知探究
3.已知函数y=(m2+m) xm2-2m+2 (1)当函数是二次函数时,求m的值.
是二次函数的条件是m2-2m+2=2且m2+m≠0. (2)当函数是一次函数时,求m的值.
是一次函数的条件是m2-2m+2=1且m2+m≠0.
九年级数学北师版·下册
第二章 二次函数
2.1 二次函数
教学目标
1．探索并归纳二次函数的定义．(重点) 2．能够表示简单变量之间的二次函数关系.（难点）
新课导入
北师大版九年级数学下册2课件
图象相交于点A（-1，-1）。
这两函数的解析式是
。
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得 水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m。 在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的表达式。
y o
x
A
B
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）,对称轴是 y轴 , 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧,y随 着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,最小值是 0 , 抛物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外).
知道的？
的值最大,最大值是0.
看图说话
函数y=ax2y(a≠0)的图象和性质y :
0
y=x2
x
它们之 间有何 关系？
0
x
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
y x2 y x2
抛物线 顶点坐标
y=x2 （0，0）
y= -x2 （0，0）
不在此抛物线上.
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
( 3,6)与( 3,6)
回味无穷
由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口 向上,并且向上无限伸展； 下当,并a<且0时向,抛下物无线限y伸=展ax2.在x轴的下方（除顶y 点 x外2 ）,它的开口向
看图y 说话y=x2
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象
这两函数的解析式是
。
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得 水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离为2.4m。 在图中直角坐标系内，求涵洞所在抛物线的表达式。
y o
x
A
B
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）,对称轴是 y轴 , 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的左 侧,y随 着x的增大而减小,当x= 0 时,函数y的值最小,最小值是 0 , 抛物线y=2x2在x轴的 上 方(除顶点外).
知道的？
的值最大,最大值是0.
看图说话
函数y=ax2y(a≠0)的图象和性质y :
0
y=x2
x
它们之 间有何 关系？
0
x
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表：
y x2 y x2
抛物线 顶点坐标
y=x2 （0，0）
y= -x2 （0，0）
不在此抛物线上.
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3
所以纵坐标为-6的点有两个，它们分别是
( 3,6)与( 3,6)
回味无穷
由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口 向上,并且向上无限伸展； 下当,并a<且0时向,抛下物无线限y伸=展ax2.在x轴的下方（除顶y 点 x外2 ）,它的开口向
看图y 说话y=x2
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质:
在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象
北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》课件(共18张PPT)
6050 0
60495
60480
6045 5
6042 0
60600 y/个
60500
60400
60300
60200
60100 60000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 1213 14 x/棵
议一议
何时橙子总产量最大
1.利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子 树的棵数之间的关系.
（100+x）棵
这时平均每棵树结多少个橙子？
（600-5x）个
(2)如果果园橙子的总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式.
想一想
何时橙子总产量最大
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x） 个橙子,因此果园橙子的总产量
y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量 最多？X/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
点重合时，等腰△PQR以1cm/s的速度沿直线l向
左方向开始匀速运动，ts后正方形与等腰三角形
重合部分面积为Scm2，解答下列问题：
(1)当t=3s时，求S的值； (2)当t=3s时，求S的值； A
B
(3)当5s≤t≤8s时，求S 与t的函数关系式，并求
MP
S的最大值。
lD Q
C
R
做一做
何时橙子总产量最大
N
2y
xb
x
3
x
30
3
x2
30x
3 x 202
300.
4
4
4
或用公式 :当x
2.2.2 二次函数的图象与性质(课件)九年级数学下册课件(北师大版)
的值和函数解析式 m+1>0 ①
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数 开口 方向
顶点 坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴 －4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向 对称轴 顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减， 减，在对称轴右侧递增； 在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递 在对称轴左侧递增，在对 增，在对称轴右侧递减 称轴右侧递减
最值 最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向， 知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
解: 依题意有: m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
由①得:m>－1
∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
随堂练习
1.若二次函数y=axa2－2 的图象开口向下，则a 的值为( )
A.2
B. －2
C.4
D. －4
2.已知二次函数y=(2－a)xa2－14，在其图象对称轴的左侧，y
问题1. 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么
？
二次函数 开口 方向
顶点 坐标
对称轴
10 8
y =2x2 向上 (0,0) y轴
6
y =2x2＋ 1
向上 (0,1)
y轴
4 2
y=2x2－1 向上 (0,-1) y轴 －4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
开口方向 对称轴 顶点
a>0，开口向上， a＜0，开口向下
y轴
原点（0，0）
（0，c）
增减性
a>0时，在对称轴左侧递 a>0时，在对称轴左侧递减， 减，在对称轴右侧递增； 在对称轴右侧递增；a<0时， a<0时，在对称轴左侧递 在对称轴左侧递增，在对 增，在对称轴右侧递减 称轴右侧递减
最值 最大（小）值是0 最大（小）值是c
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a与c，b与d的数量关系.
解：（1）由抛物线的开口方向， 知a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0. 由抛物线的开口大小，知|a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d.∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. （2）∵①与③，②与④分别关于x 轴对称， ∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
北师大版九年级数学下册课件 2.3 第1课时 由两点确定二次函数的表达式
解：∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，
∴可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.
又∵它的图象经过点(0 ,1)，可得 1=a(0-8)2+9.
1
解得 a .
8
1
2
y
(
x
8)
9.
∴所求的二次函数的表达式是
8
二、自主合作，探究新知
典型例题
例3：已知二次函数y＝ax2 ＋ bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这
时，通常需要 2 个独立的条件.确定反比例函数 =
（k≠0)关系式时，
通常需要 1 个条件.
思考: 如果确定二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0）的关系式时，
通常又需要几个条件？
二、自主合作，探究新知
探究：确定二次函数表达式
一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所
道图象上一个点的坐标.
(2)形如y＝a(x-h)2，y＝ax2+c和y＝ax2+bx的二次函数，有两个未知系
数，所以需要知道图象上两个点的坐标.
(3)形如y＝a(x-h)2+k的二次函数，如果已知二次函数的顶点坐标，那
么再知道图象上的一个点的坐标就可以确定二次函数的表达式.
二、自主合作，探究新知
做一做：已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）
− + = ,
∴
+ + = −,
= −,
解得
= −,
∴该抛物线的解析式为y=x2-2x-3.
第二章 二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
ax2+c≥kx+m的解集是____．
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
北师大版九年级数学下册全套课件
学习目标
掌握二次函数、一元 二次方程、相似三角 形等核心概念和性质 。
了解数学在日常生活 和科技领域中的应用 ，提高数学素养。
学会运用数学知识解 决实际问题，培养数 学思维和解决问题的 能力。
02
第一章：二次函数
二次函数的基本概念
二次函数定义
一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中 $a$、$b$、$c$为常数，且$a neq 0$。
北师大版九年级数学下册全 套课件
汇报人： 202X-12-30
目 录
• 引言 • 第一章：二次函数 • 第二章：相似图形 • 第三章：解直角三角形 • 第四章：概率初步知识 • 第五章：投影与视图
01
引言
课程简介
课程名称：北师大版九年级数学下册
适用对象：九年级学生
课程目标：通过学习本册内容，学生将掌握初中数学的核心知识和技能，为进一步 学习高中数学打下基础。
THANKS
感谢观看
03
如一次函数、反比例函数等，可以结合图像进行比较和性质分
析。
03
第二章：相似图形
相似图形的概念和性质
01
02
03
相似图形的定义
两个图形如果形状相同， 大小可以不同，则称这两 个图形相似。
相似图形的性质
相似图形对应边的长度成 比例，对应角的大小相等 。
相似图形的分类
根据相似比的大小，相似 图形可分为相似多边形、 相似三角形等。
航海问题
在航海中，需要利用解直 角三角形的方法来确定船 只的位置和航向。
工程问题
在桥梁、建筑等工程领域 ，解直角三角形可以帮助 设计师进行精确的计算和 设计。
05
第四章：概率初步知识
最新北师大版九年级数学下册第二章二次函数PPT
2
（2）y= 1x²+x³+25；
2
（3）y=2²+2x； （4）s=1+t+5t ².
2. 圆的半径是 1 cm，假设半径增加 x cm 时，圆 的面积增加 y cm². （1）写出 y 与 x 之间的函数关系表达式. （2）当圆的半径分别增加 1 cm， 2 cm，2 cm 时， 圆的面积增加多少？
2. 定义的实质：ax²+bx+c 是整式，自变量 x 的最高次数是二次，自变量 x 的取值范 围是全体实数.
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质 （第 1 课时）
想一想
在二次函数 y=x2 中，y 随 x 的变化而变化的规律是什 么？你想直观地了解它的性质吗?
画二次函数 y=x2 的图象. （1）观察 y=x2 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相 应的 y 值，完成下表：
抛物线 y=x2 在 x 轴的上方（除顶点外）， 顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无 限伸展.当 x=0 时，函数 y 的值最小，最 小值是0.
做一做 二次函数 y=-x2 的图象是什么形状？先想一想，再画 出它的图象．它与二次函数 y=x2 的图象有什么关系？
与同伴交流.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
二次函数 y=x2 的
y x2
图象形如物体抛射
时所经过的路线，我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做抛 物线的顶点.
当 x<0 （在对称轴的左侧）时，y 随着 x 的增大而减小. 当 x>0 （在对称轴的右侧）时, y 随着 x 的增大而增大.
（2）y= 1x²+x³+25；
2
（3）y=2²+2x； （4）s=1+t+5t ².
2. 圆的半径是 1 cm，假设半径增加 x cm 时，圆 的面积增加 y cm². （1）写出 y 与 x 之间的函数关系表达式. （2）当圆的半径分别增加 1 cm， 2 cm，2 cm 时， 圆的面积增加多少？
2. 定义的实质：ax²+bx+c 是整式，自变量 x 的最高次数是二次，自变量 x 的取值范 围是全体实数.
第二章 二次函数
2 二次函数的图象与性质 （第 1 课时）
想一想
在二次函数 y=x2 中，y 随 x 的变化而变化的规律是什 么？你想直观地了解它的性质吗?
画二次函数 y=x2 的图象. （1）观察 y=x2 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相 应的 y 值，完成下表：
抛物线 y=x2 在 x 轴的上方（除顶点外）， 顶点是它的最低点，开口向上，并且向上无 限伸展.当 x=0 时，函数 y 的值最小，最 小值是0.
做一做 二次函数 y=-x2 的图象是什么形状？先想一想，再画 出它的图象．它与二次函数 y=x2 的图象有什么关系？
与同伴交流.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
二次函数 y=x2 的
y x2
图象形如物体抛射
时所经过的路线，我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称，y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做抛 物线的顶点.
当 x<0 （在对称轴的左侧）时，y 随着 x 的增大而减小. 当 x>0 （在对称轴的右侧）时, y 随着 x 的增大而增大.
北师大版九年级数学下册第二章《 二次函数的图象与性质(4)》公开课课件
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/222021/7/222021/7/227/22/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/222021/7/22July 22, 2021
北师大版 九年级（下）
2 二次函数的图象与性质（4）
想一想
函数y=ax²+bx+c的图象
二次函数y=3x2-6x+5的图象是什么形状?它与我们已经 作过的二次函数的图象有什么关系?
你能用配方的方法把y=3x2-6x+5变形成y=3(x-1)2+2 的形式吗?
由于y=3x2-6x+5=3(x-1)2+2,因此我们可以作二次函 数3(x-1)2+2的图象．
y0.02x2 25 0.9x1.0
因此 ,其顶点坐 :2标 0,1. 为
两条钢缆最距 低离 点 2为 之 02间 04的 0m.
⑶你还有其他方法吗？与同伴交流.
直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距 离以及两条钢缆最低点之间的距离．
y0.02x2 25 0.9x10 y0.02x2 25 0.9x1
同理 ,右边抛物线的为 顶:2点0,1.坐标
两条钢缆最距 低离 点 2为 之 02间 04的 0m.
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图 象之间的关系是什么？
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指出方程各项的 系数时要带上前
y=a x² +b x + c
a≠0
面的符号.
常数项
二次项
一次项
知2－讲
函数值：确定一个x的值，代入二次函数表达式中 所得的y值为函数值.
知2－讲
例2 当x＝－2和1时，对于二次函数y＝x2－x－2 对应的函数值是多少？
解： 当x＝－2时，y＝4－(－2)－2＝4，
知1－导
知识点
问题1
1
二次函数的定义
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛， 比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 比赛的场次数 1 m＝ n(n－1)， 1 22 1 即 m＝ n－ n. 2 2
知1－导
问题2
某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年 增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍， 那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 两年后的产量 y＝20(1＋x)2， 即y＝20x2＋40x＋20.
其余则不是.
（来自《教材》）
知1－练
2 (中考· 兰州)下列函数表达式中，一定为二次函数的是( C ) A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c C．s＝2t2－2t＋1
1 x2
D．y＝x2＋
1 x 1 x
3 下列各式中，y是x的二次函数的是( C )
A．y＝
B．y＝x2＋
＋1
D．y＝ x2 1 4 下列各式中，y是x的二次函数的是( B ) A．y＝ax2＋bx＋c C．y2－ax＝2 B．x2＋y－2＝0 D．x2－y2＋1＝0
（来自《典中点》）
知2－练
2 关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正 确的是( C ) A．y是x的二次函数 B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20 000
（来自《典中点》）
知2－练
3 已知x是实数，且满足(x－2)(x－3) 1 x ＝0， 则相应的函数y＝x2＋x＋1的值为( C ) A．13或3 B．7或3
当x＝1时，y＝1－1－2＝ －2. 所以，当x＝－2时，函数值y＝4，
当x＝1时，函数值y＝ －2.
知2－练
1 已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系
数a，一次项系数b，常数项c分别是( D )
A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5 C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1
第二章
二次函数
第1节
二次函数
最新北师大版九年级下册配套课件
1
课堂讲解 二次函数的定义
二次函数的一般形式及函数值 利用二次函数的表达式表示实际问题
2
课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
回顾旧知 我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？ 一次函数 正比例函数 反比例函数 y＝kx＋b(k≠0) y＝kx (k≠0) k y ( k 0). x
C．3
D．13或7或3
（来自《典中点》）
知3－讲
所以y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3，
一次项系数为－21，常数项为30.
（来自《点拨》）
知1－练
1
下列函数中(x，t是自变量)，哪些是二次函数?
1 1 2 2 y 3 x ， y x x 3 25， 2 2
y 22 2 x， s 1 t 5t 2 . 1 2 解： y 3 x 是二次函数； 2 s 1 t 5t 2是二次函数.
知1－导
思考：函数y=6x2，m＝
1 2 1 n － n, 2 2 y＝20x2＋40x＋20有什么共同点？
1、函数解析式是整式； ì ï ï ï 可以发现 ï í 2、化简后自变量的最高次数是2； ï ï ï ï î 3、二次项系数不为0.
知1－讲
定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数， a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变 量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、
C．y＝(m－1)2x2
D．y＝(－m2－1)x2
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2 二次函数的一般形式及函数值
一般地，任何一个二次函数，经过整理，都能 化成如下形式：y=ax² +bx+c0 (a≠0) 这种形式叫做二 次函数的一般形式 .
为什么规定a≠0，b， c可以为0吗？
知2－讲
二次函数的项和各项系数 一次项系 二次项 系数 数
一条直线
双曲线
导入新知
正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正
方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的 每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变 量x的最高次数是2. 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学 习的二次函数．
³ √ ³
³
整理得到y＝3x2－21x＋30，是二次函数 √ 1 1 2 (6)y＝x ＋ 2 2 不是整式 ³ x x
知1－讲
二次项系数 解： (2) y＝－5x2
所以y＝－5x2的二次项系数为－5，一次项系
数为0，常数项为0.
二次项系数
常数项
(5)化为一般式，得到y＝3x2－21x＋30，
一次项系数
一次项系数和常数项．
知1－讲
例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函 数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1； (3)y＝3a3＋2a2； (2)y＝－5x2； (4)y＝x－2＋x； 1 2 (6)y＝x ＋ 2 . x
(5)y＝3(x－2)(x－5)；
知1－讲
解： (1)y＝7x－1； 自变量的最高次数是1 (2)y＝－5x2； 自变量的最高次数是2 (3)y＝3a3＋2a2；自变量的最高次数是3 (4)y＝x－2＋x； x－2不是整式 (5)y＝3(x－2)(x－5)；
（来自《典中点》）
C．y＝2x2－1
知1－练
5
若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数， 则( B ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3 B )
若y＝(m－1)x
m2＋1是二次函数，则m的值是(
A．1
B．－1
C．1或－1
D．2
（来自《典中点》）
知1－练
7 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 ( D ) A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2
y=a x² +b x + c
a≠0
面的符号.
常数项
二次项
一次项
知2－讲
函数值：确定一个x的值，代入二次函数表达式中 所得的y值为函数值.
知2－讲
例2 当x＝－2和1时，对于二次函数y＝x2－x－2 对应的函数值是多少？
解： 当x＝－2时，y＝4－(－2)－2＝4，
知1－导
知识点
问题1
1
二次函数的定义
n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛， 比赛的场次数m与球队数n有什么关系？ 比赛的场次数 1 m＝ n(n－1)， 1 22 1 即 m＝ n－ n. 2 2
知1－导
问题2
某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年 增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍， 那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的 值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？ 两年后的产量 y＝20(1＋x)2， 即y＝20x2＋40x＋20.
其余则不是.
（来自《教材》）
知1－练
2 (中考· 兰州)下列函数表达式中，一定为二次函数的是( C ) A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c C．s＝2t2－2t＋1
1 x2
D．y＝x2＋
1 x 1 x
3 下列各式中，y是x的二次函数的是( C )
A．y＝
B．y＝x2＋
＋1
D．y＝ x2 1 4 下列各式中，y是x的二次函数的是( B ) A．y＝ax2＋bx＋c C．y2－ax＝2 B．x2＋y－2＝0 D．x2－y2＋1＝0
（来自《典中点》）
知2－练
2 关于函数y＝(500－10x)(40＋x)，下列说法不正 确的是( C ) A．y是x的二次函数 B．二次项系数是－10
C．一次项是100
D．常数项是20 000
（来自《典中点》）
知2－练
3 已知x是实数，且满足(x－2)(x－3) 1 x ＝0， 则相应的函数y＝x2＋x＋1的值为( C ) A．13或3 B．7或3
当x＝1时，y＝1－1－2＝ －2. 所以，当x＝－2时，函数值y＝4，
当x＝1时，函数值y＝ －2.
知2－练
1 已知二次函数y＝1－3x＋5x2，则它的二次项系
数a，一次项系数b，常数项c分别是( D )
A．a＝1，b＝－3，c＝5 B．a＝1，b＝3，c＝5 C．a＝5，b＝3，c＝1 D．a＝5，b＝－3，c＝1
第二章
二次函数
第1节
二次函数
最新北师大版九年级下册配套课件
1
课堂讲解 二次函数的定义
二次函数的一般形式及函数值 利用二次函数的表达式表示实际问题
2
课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
回顾旧知 我们已经学习了哪些函数？它们的解析式是什么？ 一次函数 正比例函数 反比例函数 y＝kx＋b(k≠0) y＝kx (k≠0) k y ( k 0). x
C．3
D．13或7或3
（来自《典中点》）
知3－讲
所以y＝3(x－2)(x－5)的二次项系数为3，
一次项系数为－21，常数项为30.
（来自《点拨》）
知1－练
1
下列函数中(x，t是自变量)，哪些是二次函数?
1 1 2 2 y 3 x ， y x x 3 25， 2 2
y 22 2 x， s 1 t 5t 2 . 1 2 解： y 3 x 是二次函数； 2 s 1 t 5t 2是二次函数.
知1－导
思考：函数y=6x2，m＝
1 2 1 n － n, 2 2 y＝20x2＋40x＋20有什么共同点？
1、函数解析式是整式； ì ï ï ï 可以发现 ï í 2、化简后自变量的最高次数是2； ï ï ï ï î 3、二次项系数不为0.
知1－讲
定义 一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数， a≠0)的函数，叫做二次函数．其中，x是自变 量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、
C．y＝(m－1)2x2
D．y＝(－m2－1)x2
（来自《典中点》）
知2－导
知识点
2 二次函数的一般形式及函数值
一般地，任何一个二次函数，经过整理，都能 化成如下形式：y=ax² +bx+c0 (a≠0) 这种形式叫做二 次函数的一般形式 .
为什么规定a≠0，b， c可以为0吗？
知2－讲
二次函数的项和各项系数 一次项系 二次项 系数 数
一条直线
双曲线
导入新知
正方体的六个面是全等的正方形(如图)，设正
方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x的 每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数， 它们的具体关系可以表示为 y＝6x2.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变 量x的最高次数是2. 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学 习的二次函数．
³ √ ³
³
整理得到y＝3x2－21x＋30，是二次函数 √ 1 1 2 (6)y＝x ＋ 2 2 不是整式 ³ x x
知1－讲
二次项系数 解： (2) y＝－5x2
所以y＝－5x2的二次项系数为－5，一次项系
数为0，常数项为0.
二次项系数
常数项
(5)化为一般式，得到y＝3x2－21x＋30，
一次项系数
一次项系数和常数项．
知1－讲
例1 下列函数中，哪些是二次函数？并指出二次函 数的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)y＝7x－1； (3)y＝3a3＋2a2； (2)y＝－5x2； (4)y＝x－2＋x； 1 2 (6)y＝x ＋ 2 . x
(5)y＝3(x－2)(x－5)；
知1－讲
解： (1)y＝7x－1； 自变量的最高次数是1 (2)y＝－5x2； 自变量的最高次数是2 (3)y＝3a3＋2a2；自变量的最高次数是3 (4)y＝x－2＋x； x－2不是整式 (5)y＝3(x－2)(x－5)；
（来自《典中点》）
C．y＝2x2－1
知1－练
5
若函数y＝(m－2)x2＋4x－5(m是常数)是二次函数， 则( B ) A．m≠－2 B．m≠2 C．m≠3 D．m≠－3 B )
若y＝(m－1)x
m2＋1是二次函数，则m的值是(
A．1
B．－1
C．1或－1
D．2
（来自《典中点》）
知1－练
7 对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 ( D ) A．y＝mx2＋3x－1 B．y＝(m－1)x2