几种速度的特殊求法-知识点练习

§．几种速度的特殊求法

．．、相关的速度

当绳端在做既不沿绳方向，又不垂直于绳方向的运动时，一般要将绳端的运动分解为沿绳方向和垂直于绳方向二个分运动。

如图所示的情况，绳拉着物体在水平面上运动，端以速度做匀速运动，问做什么运动？有的同学会将绳的速度分解成竖直 分速度和水平分速度，以为木块的速度

a v u cos =(<)．这是错误的。因为实际上木块并没有

一个向上的分速度。应该将绳端实际上的水平速度

B v 分解成沿绳方向的分速∥a v B cos 和垂直于绳的分速⊥a v B sin ，∥使绳子缩短，所以∥，⊥使绳子围绕滑轮转动。因此)(cos /v v a v v B B >=，而且B v 随着的增大而越来越大。

如图所示，杆沿滑下，、二端的速度A v 和B v 也是二个相关的速度。将A v 分解成沿杆方向的分速1A v 和垂直于杆的分速2B v 。由于杆的长度不会发生变化，所以11B A v v =，即a v a v B A sin cos =，即

B A v tga v ⋅=

．．、两杆交点的运动

两杆的交点同时

参与了二杆的运动，而且相对每一根杆还有自己的运动，因而是一种比较复杂的运动。

图（）中的、两杆均以角速度ω绕、两固定轴在同一

图

A

2A 图

图（）

M '

α β l 图（）

竖直面内转动，转动方向如图示。当

时，==βa º，试求时刻两棒交点点的速度和加速度。时，△为等边三角形，

因此l ，它的外接圆半径l

33，图（）。二杆旋转过程中，a 角增大的角度一直

等于β角减小的角度，所以角的大小始终不变（等于º），因此点既不能偏向圆内也不能偏向圆外，只能沿着圆周移动，因为∠M MO '和∠M MA '是对着同一段圆弧（M M '）的圆心角和圆周角，所以∠M MO '∠M MA '，即以ω的角速度绕点做匀速圆周运动，任意时刻的速度大小恒为

l R v ωω33

2)2(=

=

向心加速度的大小恒为

l R a 2

2334)2(ωω=

=

再看图（），一平面内有二根细杆1l 和2l ，各

自以垂直于自己的速度1v 和2v

在该平面内运动，试求交点相对于纸平面的速率及交点相对于每根杆的速率。

参考图（），经过时间t ∆之后，1l 移动到了1l '的位置，2l 移动到了2l '的位置，1l '和2l 的原位置交于O '点，1l '和2l '交于O ''点。

O O 'θsin /1t v ∆

θsin /2t v O O ∆='''

在O O O '''∆中：

ϕ

cos 22

22

O O O O O O O O O O '''⋅'-'''+'=''1l

2l

2

图（）

1l

2l

O '

O ''

ϕ

1l '

2

l ' 图（）

因为ϕ角和θ角互补，所以

θϕcos cos -=

θθ

sin cos 2212

221t

v v v v O O ∆++=''

因此两杆交点相对于纸平面的速度

t O O v ∆''=

θθ

sin 1cos 2212

221v v v v ++=

不难看出，经过t ∆时间后，原交点在1l 上的位置移动到了位置，因此交点相对1l 的位移就是O A ''，交点相对1l 的速度就是：

t O O O A v ∆'''+'='/)(1

t

t v ctg t v ∆⎪⎭⎫ ⎝⎛

∆+⋅∆/sin 21θθ

θθsin /)cos (21v v +=

用同样的方法可以求出交点相对2l 的速度

θθsin /)cos (212

v v v +=' 因为t ∆可以取得无限小，因此上述讨论与21,v v 是否为常量无关。如果21,v v 是变量，上述表达式仍然可以表达二杆交点某一时刻的瞬时速度。

如果1v 和2v 的方向不是与杆垂直，这个问题应该如何解决？读者可以进行进一步的讨论。