优选构造判断矩阵的讲解层次分析法
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bij=bik/bjk
为了考察AHP决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行一 致性检验。
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
Ci : C j aij A (aij )nn , aij 0, a ji
0.268
0.587
1.769
归一化 0.324 w Aw 0.974
0.089
0.268
1 (1.769 + 0.974 + 0.268) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果：w=(0.588,0.322,0.090)T, max=3.009
2. 层次单排序及其一致性检验
较矩阵有问题
层次单排序和一致性检验
对判断矩阵求其相对应的特征向量Ｗ，即
ＢＷ＝λmax Ｗ
其中Ｗ的分量（Ｗ１，Ｗ２，···，Ｗn）就是对应于n个要素的相 对重要度，即权重系数。
计算权重 系数的方 法
和积法
方根法
（1）和积法 ① 将判断矩阵的每一列元素做归一化处理：
n
b ij bij / bkj.........( i, j 1,2,..., n) k 1
1 a
选 择
C1
旅 C2
C1
C2
1 1/ 2
2
1
游 地
C3 C4
A 1/ 4
1/ 3
1/ 7 1/ 5
C5
1/ 3 1/ 5
C3
C4
C5
ij
4 3 3 A~成对比较阵
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3 A是正互反阵
ຫໍສະໝຸດ Baidu2 3
1 1
1
1
稍加分析就发 现上述成对比
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
,
w2
i 1
,...,
wn
)
T，即为近似特征根（权向量）
i1
d. 计算
1 n ( Aw) i n i1 wi
，作为最大特征根的近似值。
1 例： A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
② 将归一化的判断矩阵按行相加：
n
wi bij.........( i 1,2,..., n) j1
③ 对向量wi (w1, w2,..., wn) T归一化：
n
wi wi / w j.........( i 1,2,..., n) j 1
所得的 w (w1, w2,...,wn)T即为所求得特征向量，亦即
1
+ 2 +L+ 500
500
n
500
n 1
Saaty的结果如下
随机一致性指标 RI
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
定义一致性比率 ： CR CI
RI
一般，当一致性比率
CR
CI RI
0.1
时，认为
A
的线性组合： z n
w1 x1
+
w2 x2
+L+
wn xn
其中 wi 0, wi .1 则 w , w ,..., w 叫各因素对于目
标Z的权重， i1
1
2
n
w ( w1 , w2 ,..., wn ) T 叫权向量.
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量， 而有可能是序数变量如舒适程度或积极性 之类。
小石块W1小石块W2
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
… 小石块Wn
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）
a.
将A的每一列向量归一化得：w~ij
aij
n
/ aij
b. c.
对将w~w~i i归j 按一行化求wi和 得w~i：/ wn~iw~i ,
n j 1
w
w~ij (
w1
平均随机一致性指标
阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
基本概念
什么是权重（权系数）？
在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn
优选构造判断矩阵的讲解层次 分析法
建立判断矩阵
例如：如果C为购一台满意的设备，P1为功能强，P2为价格低，P3为维修容易。通 过对P1，P2和P3的两两比较后做出的判断矩阵P如下：
P1
P2
P3
P1 1
1/3
2
P2 3
1
5
P3 1/2
1/5
1
功能强 价格低 易维修
衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是 否有满意的一致性，如果判断矩阵存在如下 关系，则称判断矩阵具有完全一致性。
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量， 经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。
W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因 素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排 序。
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所 谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。 定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
定理：n 阶正互反阵A的最大特征根 n, 当且仅当 =n
时A为一致阵
由于λ 连续的依赖于aij ，则λ 比n 大的越多，A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为 被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不 一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
判断矩阵的层次单排序结果（即权重系数）
层次单排序和一致性检验
（二）一致性检验
定义 一致性指标C.I.为：
CI max n
n 1
一般情况下，若C.I. ≤0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值 是可以接受的。
显然，随着n的增加判断误差就会增加，因此判断一致性时应考虑到n的影响，使 用随机性一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，其中R.I.为平均随机一致性指标。下表给出 了500样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值。
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性
CI接近于0，有满意的一致性
CI 越大，不一致越严重
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI。方法为
随机构造500个成对比较矩阵 A1, A2 ,L, A500
则可得一致性指标 CI1,CI2 ,L,CI500
RI
CI1
+ CI2
+ LCI 500
为了考察AHP决策分析方法得出的结果是否基本合理，需要对判断矩阵进行一 致性检验。
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
C5 旅途
设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性
Ci : C j aij A (aij )nn , aij 0, a ji
0.268
0.587
1.769
归一化 0.324 w Aw 0.974
0.089
0.268
1 (1.769 + 0.974 + 0.268) 3.009
3 0.587 0.324 0.089
得到排序结果：w=(0.588,0.322,0.090)T, max=3.009
2. 层次单排序及其一致性检验
较矩阵有问题
层次单排序和一致性检验
对判断矩阵求其相对应的特征向量Ｗ，即
ＢＷ＝λmax Ｗ
其中Ｗ的分量（Ｗ１，Ｗ２，···，Ｗn）就是对应于n个要素的相 对重要度，即权重系数。
计算权重 系数的方 法
和积法
方根法
（1）和积法 ① 将判断矩阵的每一列元素做归一化处理：
n
b ij bij / bkj.........( i, j 1,2,..., n) k 1
1 a
选 择
C1
旅 C2
C1
C2
1 1/ 2
2
1
游 地
C3 C4
A 1/ 4
1/ 3
1/ 7 1/ 5
C5
1/ 3 1/ 5
C3
C4
C5
ij
4 3 3 A~成对比较阵
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3 A是正互反阵
ຫໍສະໝຸດ Baidu2 3
1 1
1
1
稍加分析就发 现上述成对比
要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
,
w2
i 1
,...,
wn
)
T，即为近似特征根（权向量）
i1
d. 计算
1 n ( Aw) i n i1 wi
，作为最大特征根的近似值。
1 例： A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
② 将归一化的判断矩阵按行相加：
n
wi bij.........( i 1,2,..., n) j1
③ 对向量wi (w1, w2,..., wn) T归一化：
n
wi wi / w j.........( i 1,2,..., n) j 1
所得的 w (w1, w2,...,wn)T即为所求得特征向量，亦即
1
+ 2 +L+ 500
500
n
500
n 1
Saaty的结果如下
随机一致性指标 RI
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
定义一致性比率 ： CR CI
RI
一般，当一致性比率
CR
CI RI
0.1
时，认为
A
的线性组合： z n
w1 x1
+
w2 x2
+L+
wn xn
其中 wi 0, wi .1 则 w , w ,..., w 叫各因素对于目
标Z的权重， i1
1
2
n
w ( w1 , w2 ,..., wn ) T 叫权向量.
注意， X1，X2，… ，Xn中有的不是基数变量， 而有可能是序数变量如舒适程度或积极性 之类。
小石块W1小石块W2
设想： 把一块单位重量的石头砸成n块小石块
… 小石块Wn
利用判断矩阵计算各因素C对目标层Z的权重（权系数）
a.
将A的每一列向量归一化得：w~ij
aij
n
/ aij
b. c.
对将w~w~i i归j 按一行化求wi和 得w~i：/ wn~iw~i ,
n j 1
w
w~ij (
w1
平均随机一致性指标
阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 RI 0 0 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
基本概念
什么是权重（权系数）？
在决策问题中，通常要把变量Z表示成变量 x1，x2，… ，xn
优选构造判断矩阵的讲解层次 分析法
建立判断矩阵
例如：如果C为购一台满意的设备，P1为功能强，P2为价格低，P3为维修容易。通 过对P1，P2和P3的两两比较后做出的判断矩阵P如下：
P1
P2
P3
P1 1
1/3
2
P2 3
1
5
P3 1/2
1/5
1
功能强 价格低 易维修
衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断是 否有满意的一致性，如果判断矩阵存在如下 关系，则称判断矩阵具有完全一致性。
对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量， 经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。
W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因 素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排 序。
能否确认层次单排序，需要进行一致性检验，所 谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。 定理：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
定理：n 阶正互反阵A的最大特征根 n, 当且仅当 =n
时A为一致阵
由于λ 连续的依赖于aij ，则λ 比n 大的越多，A 的不 一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为 被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不 一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量 A 的不一致程度。
判断矩阵的层次单排序结果（即权重系数）
层次单排序和一致性检验
（二）一致性检验
定义 一致性指标C.I.为：
CI max n
n 1
一般情况下，若C.I. ≤0.10,就认为判断矩阵具有一致性。据此而计算的值 是可以接受的。
显然，随着n的增加判断误差就会增加，因此判断一致性时应考虑到n的影响，使 用随机性一致性比值C.R. =C.I./ R.I.，其中R.I.为平均随机一致性指标。下表给出 了500样本判断矩阵计算的平均随机一致性指标检验值。
定义一致性指标: CI n
n 1
CI=0，有完全的一致性
CI接近于0，有满意的一致性
CI 越大，不一致越严重
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI。方法为
随机构造500个成对比较矩阵 A1, A2 ,L, A500
则可得一致性指标 CI1,CI2 ,L,CI500
RI
CI1
+ CI2
+ LCI 500