第一型线积分和面积分

® 第一型曲面积分是对曲面面积的面积分,
S是 R3中的曲面, dS 为曲面面积元；
积分区域：R3中的一曲面 S ; 被积函数 f ( x, y, z)‘定义’在曲面S 上；
12
第一型面积分可求曲面面积：A S dS ；
物理意义举例：质量非均匀分布的曲面 S
的质量 m S ( x, y, z)dS ；
C
a
( 平面上的问题通常只是少一个变量! )
当 C 为平面曲线,给极坐标方程 r r( ) ,
ds
r
dr
rd
ds (rd )2 (dr)2 r 2 (r )2 d
b
f ( x, y)ds f (r( )cos , r( )sin ) r 2 r 2 d
C
a
例3 计算 I y ds, 设 C 为右半个单位圆: C x2 y2 1, x 0.
第一型线积分是通过化为定积分而进行计 算的。
2. 第一型曲线积分的计算法
3
若曲线 C 给参数方程 C : x x(t), y y(t), z (t), ( t ).
可以证明， ds dx2 dy2 dz2
[xtdt]2 [ ytdt]2 [ztdt]2
即
ds xt 2 yt 2 zt 2 dt
于是得球面积
A dS A2 B2 C 2 dd
S
D
a2 sindd
D
2
d
a2 sind 4 a2
0
0
19
例6 计算 zdS , 其中曲面 S是圆锥面
S
z x2 y2 介于平面z 1与z 2间的部分。
解 根据条件，此锥面应定义在平面区域
xy {( x, y) 1 x 2 y2 4},
A(1, 0), B(1, 1) 三点的折线段。
B(1, 1)
解 三直线段的参数式
y x x
y
x
如图所示，故
ds 2dx
x1
y
y
I C ( x y)ds
ds dy
( x y) ds o x x x, y 0, A(1, 0)
OA AB OB
ds dx
1
1
1
0 ( x 0)dx 0 ( x x)( 2dx) 0 (1 y)dy
uur ur S : r r ( x, y) { x, y, z( x, y)}
rx 1, 0, zx , ry 0, 1, zy ,
dS rx ry dxdy
A B C 0
1
zx zy
2
zx zy
12 1
00
02 dxdy
1
1 (zx )2 (zy )2 dxdy 1 zx2 zy2 dxdy
f (Mk )sk
sk
Mk
An • B
® 第一型曲线积分是对弧长的线积分， C是
平面或空间的可求长曲线段, ds是弧微元；
积分“区域”：平面或空间的曲线；
2
被积函数 f ( x, y), f ( x, y, z‘)定义’在 C 上；
第一型线积分可求曲线长：s ds； C
物理意义之一：质量非均匀分布的曲线 C 的质量；
第一型线积分和面积分
Line Integrals with Respect to Arc Length
Surface Integrals with Respect to Surface Area
1
§4 第一型线积分和面积分
一、第一型线积分
A0 • A
C
1. 概念和记法
n
C
f (M )ds lim 0 k 1
曲板关于z 轴的转动惯量：
Iz
( x2 y2 ) ( x, y, z)dS ；
S
第一型面积分是通过化为二重积分而进
行计算的。
13
2. 第一型曲面积分的计算法 曲面 S 给参数方程
r r (u,v)
{x(u,v), y(u,v), z(u, v)}
(u, v) uv R2
用微元法：
R
.
2(2 2)
25
6月9日作业
习题 6.6—P.191. N.1(单), N.3(2)(3), N.4, N.5, N.9(1), N.10(单),
选—— (B)(N.1, N.4.
接上习题课
26
59
被z y与z 0所截，求位于第一、二挂限
内所截下部分的侧面积 A 。
10
解 用微元法.
z y
dA zds yds
3
2 1 00
1
-2
ds
0
A yds
C :x 5 cos t y3sint
2
2
33sin t
(
5 sin t)2 (3cos t)2 dt
0
30
30
5(sin t)2 9(cos t)2 d(cos t)
S : z z( x, y), ( x, y) Dxy R2 ,
则马上可转化为 的情况。
17
例5 求半径为 a 的球面面积。
解 球面的参数方程为：
S : r r ( , )
( , ) D
{ a sin cos , a sin sin , a cos }
A
( y, z)
a cos sin
a sin a2 sin2 cos
解1 (用直角坐标) C : y 1 x2 , 0 x 1.
8
ds
1 ( yx )2 dx
1 ( x )2 dx 1 x2
dx 1 x2
利用对称性：
I
1
y ds 2
1 x2
1
dx 2
C
0
1 x2
解2 (用参数方程)
C : x cos t, y sin t,
t .
于是, 第一型面积分化成二重积分计算式
S f ( x, y, z)dS f ( x(u, v), y(u, v), z(u, v)) A2 B2 C 2 dudv
uv
15
曲面 S 给直角坐标系下的显式方程
S : z z( x, y), ( x, y) Dxy R2 由于又可表示成参数式：
2
2
I
/2
y ds 2 sin t
( sin t)2 (cos t)2 dt
C
0
9
/2
20 sin tdt 2
解3 (用极坐标) C: r 1,
2
2
I C y ds C sin ds
/2
2 sin
12 02 d
2
0
例4 (求柱面的侧面积) 设椭圆柱面 x2 y2 1
于是用 情况的计算式，
zdS S
z
xy
1 zx2 zy2 dxdy
xy
x2 y2
x2
y2
1 x2 y2 x2 y2 dxdy
20
x2 y2 2 dxdy
xy
2 2 (8 1) 14 2
3
3
2
2
2 0 d 1 r rdr
例7 求半径相等的两个
圆柱面正交所截立体
5
4
cos2
t
d
(cos
t
2cos
)
t
u
3
2
2 2
5 u2 du
3 u 5 u2 5 ln u 5 u2 2 9 15 ln 5
2 2
2
2
4
二、第一型曲面积分
1. 概念和记法
n
S
f (M )dS
S
f (x,
y, z)dS
lim o i1
f (i ,i , i )Si
解 I C xyz ds
1 2
t t
2t 1 t 2
12 [ 2
2 t (3/ 2) ]2 [ 1 t 2 ]2 dt
03
2
3
2
2 1 t 9/ 2 1 2t t 2 dt
2
1
t 9/2(1 t) dt
16
2
30
30
143
5
例2 计算 I ( x y) ds设 C 为连接 O(0, 0) C
质心坐标。 球缺面如下给出：
x R sin cos y R sin sin z R cos
0 3
4
0 2
23
解 设球缺面的面密度为
-2
-1
0
1
2
(x, y, z) 0
因曲面对称且质量分布均
匀，故 x y 0.
-1012
-2
z M xy S z 0dS
m S 0 dS
作计算，
上的一片柱面 z R2 x2
zx
x ,
R2 x2
zy 0
A
dS 16
S
dS 16
A1
Dxy
1 zx2 zy2 dxdy
22
16
R
dx
0
0
R2 x2
1
x2 R2 x2
02
dy
ຫໍສະໝຸດ Baidu
R
R2 x2
16 dx
0
0
R R2 x2
dy 16 R2
例8 求质量均匀分布，半径为 R 的球缺面的
这种情况下一型曲线积分的计算式：
f ( x, y, z)ds f ( x(t ), y(t ), z(t )) xt 2 yt 2 zt 2 dt
C
4
例1 计算 I xyz ds 设 C 是曲线： C
x t, y 2 t 2t , z 1 t 2 上对应0 t 1
3
2
的一段弧。
( , ) a sin cos
0
B
(z, x)
a sin
a cos cos a2 sin2 sin
( , )
0 a sin sin
18
C ( x, y) a cos cos a cos sin a2 sin cos ( , ) a sin sin a sin cos
经计算
A2 B2 C 2 a2 sin
6
1 3 2 2 2
22
若曲线C给交面式方程
F( G(
x, x,
y, y,
z) z)
0 ,
0
若存在
隐函数 y y( x), z z(x), a x b, 则 C 的
x x
参数方程： y y( x) a x b, 于是
z z(x)
b
f ( x, y, z)ds f ( x, y( x), z( x)) 1 yx 2 zx 2 dx
R cos A2 B2 C 2 d d
D
A2 B2 C 2 dd D
24
2
d
3 / 4 R cos R2 sind
0
0
2
d
3 / 4 R2 sind
0
0
2 R3 1 ( 1 )2
2
2 R2 (1
2 1)
R 2(2
0.15R 2)
2
即所求质心为: x , y , z 0, 0,
1
的表面积 A。
解 如图建立坐标系后
两柱面的方程分别为
0.5
0
-0.5
-1 -1 -0.5 0 0.5
0 -0.5 -1 1
21
z R2 x2
z R2 x2 和 y R2 x2 . 充分利用图形的对称性, 只 需对定义在
Dxy : x2 y2 R2 , x 0, y 0
y R2 x2
S (ruu) (rvv) ru rv uv 令 u 0且v 0
14
i jk
dS ru rv dudv xu
xv A2 B2 C 2 dudv
yu zu dudv
yv zv 其中
A ( y, z) , B (z, x) , C (x, y)
(u, v)
(u, v)
(u, v)
CA B
16
于是化为二重积分的计算式：
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z( x, y))
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
S
Dxy
曲面 S 给一般方程：
S : F( x, y, z) 0, ( x, y, z) S R3 .
当满足Fz 0, 存在隐函数 z z( x, y),