分数变化问题

分数变化问题

所谓分数变化问题，是指对一个分数的分子、分母进行加减变化，变化后的分数值不变，求原分数的题目；或对一个分数的分子、分母进行加减变化，变化后的新分数是已知的，求原分数的分子、分母同时加上或减去的数是多少之类的题目。这类问题不仅在小学数学教学中时有所见，而且在小学数学竞赛中也屡见不鲜。因此，对此类问题的解答很有必要作进一步的探讨。

这类分数变化题的解答应注意运用三个规律和抓住三条关键解题线索。

规律1：一个分数的分子、分母若同时加上同一个数时，其分数的值增大，但原分数的分子、分母的差与变化后分子、分母的差相等。

规律2：一个分数的分子、分母若同时减去同一个数时，分数的值减小，但它们的分子、分母的差不变。

规律3：一个分数的分子加上（或减去）而分母减去（或加上）同一个数时，分数值增加（或减小），但它们的分子、分母的和不变。

在实际问题中，分子、分母的增加或减少不一定相同。因此解题时，必须根据已知条件，抓住下列几个关键，寻找解题的线索。

线索1：若两次都只变化分子或分母，则必须抓住没有变化的分子或分母应该相等的这一关键，先求出它。若它们不相等，是因为化简的缘故，则需要求出它们的最小公倍数。

线索2：若一次变化分子，而另一次变化分母，而所加减的数是已知的，则必须抓住它的分子分母的和的倍数减去加上的数与加上减去的数应该相等的这一关键。若它们不相等，是因为变化的不同，只要根据这个不同就可以求出原来的分数。

线索3：若分数是已知的，而要求其分子、分母同时加上或同时减去的数时，就必须抓住其分子、分母的差是不变的这一关键。

例1. 有一分数，原为，若将它的分子、分母同时加上一个数后，则变为

。分子、分母同时加上的数是多少？

分析与解：因为分子、分母同时加上一个相同的数后，其分子、分母虽然发生了变化，但是它们的差是不变的。原分数的分子、分母之差是，而

加上同一个数后其差是。因为，，可见是约去了它们的公约

数7而得到的。故未约分之前应为，据此可求得原分数的分子、分母同时加上的数是：，或。

例2. 有一分数，原为，若将它的分子、分母同减一数后，则变为。

分子、分母同时减去的数是多少？

分析与解：因为分子、分母同减去一个相同的数后，其分子、分母虽已变化，但是它们的差是不变的。原分子、分母之差是，而减去同一个数后其

差是。因为，，可见是约去了它们的公约数5而得到的，

故未约分之前应为，据此可求得分子与分母同时减去的数是：，或。

例3. 一个最简分数，分子加上3，约简得；分子加上5，约简得。求原分

数。

分析与解：这个分数虽然经过两次变化，但所变化的都是分子，分母未变。

变化后所得的分数和都是最简分数，故在未约分之前的分母必定是2与5的倍数，且是同一个数。2和5的最小公倍数是10，故原分数的分母是10或10的倍数。

经检验，原分数的分母是20。所以，原分数是，或。

例4. 一个分数，将它的分子减去2，约简得；将它的分子减去5，约简得。

求原分数。

分析与解：这个分数虽也经过了两次变化，但所变化的都是分子，分母未变。

变化后的分数与都是最简分数，故在未约分之前的分母一定是3与9的倍数，且是同一个数。3和9的最小公部数是9，故原分数的分母是9或9的倍数。经检验，

原分数的分母是27。所以，原分数是，或。

例5. 一个分数，它的分子加上7，约简得；分子减去3，约简得。求原

分数。

分析与解：这个分数虽经两次变化，但变化的只是分子，分母未变。变化后

得的分数与都是最简分数，故在未约分之前的分母必定是2与9的倍数，且是同一个数。2与9的最小公倍数是18，故原分数的分母是18或18的倍数。经检验，

原分数的分母是36。所以，原分数是，或。

例6. 有一分数，若将其分母加上2，则等于；若将其分母加上3，则等于。

求这个分数。

分析与解：这个分数虽然经过两次变化，但所变化的都是分母，分子未变。

变化后所得的分数与都是最简分数，故在未约分之前的分子必定是7与3的倍数，且是同一个数。7和3的最小公倍数是21，故原分数的分子是21或21的倍数。

经检验，原分数的分子是21。所以，原分数是，或。

例7. 有一分数，若将其分母减去4，则等于；若将其分母减去8，则等于，

求这个分数。

分析与解：这个分数虽然经过两次变化，但所变化的都是分母，分子未变。

变化后得的分数都是最简分数，故在未约分之前的分子，一定是3和5的倍数，且是同一个数。3和5的最小公倍数是15，故原分数的分子是15或15的倍数。

经检验，原分数的分子是15。所以，原分数是，或。

例8. 有一个分数，将它的分母减去2，约简得；将它的分母加上5，就得。

求原分数。

分析与解：这个分数虽然经过两次变化，但变化的只是分母，分子未变。变

化后的分数和是最简分数，故在未约分之前的分子必定是2与3的倍数，且是同一个数。2和3的最小公倍数是6，故原分数的分子是6或6的倍数，经检验，原

分数的分子是6。所以，原分数是，或。

例9. 有一分数，若分子加上3，则成；若分母加3，则成，求此分数。

分析与解：由两次变化都只加3可知，分子和分母的和虽经变化仍然相等。

的分子、分母的和是，因是最简分数，则未约分之前的分子、分母的

和必为14的倍数；的分子、分母的和是是最简分数，则未约分之前的分子、分母的和必为4的倍数。因，照此交叉扩大，问题即可获

解。所以，原分数是，或。

例10. 有一分数，若将其分子加上3，则等于；若将其分母加上2，则变成。求这个分数。

分析与解：因是最简分数，且它的分子、分母的和是，故未约分时的分子、分母的和必是4的倍数；又因是最简分数，且它的分子、分母的和是

，故未约分之前的分子、分母的和必为13的倍数。这就是说，原分子、分母的和加上2后是4的倍数，加上3后是13的倍数，而，据此可知，13

的倍数比4的倍数大1。因，则原分数是，或。

例11. 有一分数，若将其分子减去7，则等于；若将其分母加上4，则变成。求原分数。

分析与解：因是最简分数，且它的分子、分母的和是，故未约分之前的分子、分母的和一定是8的倍数；又因是最简分数，且它的分子、分母的和是，故未约分之前的分子、分母的和必是3的倍数。这就是说，原分数