第九章线性离散控制系统
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s
1
a
G2 (s)
s
1
b
图（a）G(z)Z[G1(s)G2(s)]Z[s1as1b]
b1a[zzeaT zzebT](ba)z((zeaeTaTe)(bzT)ebT)
图（b）
1
1
G(z)
G1(z)G2(z)
Z[ ]•Z[ ] sa sb
z•z
z2
zeaT zebT (zeaT)(zebT)
当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合时 才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关 断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温 自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大 小再进行调节。
由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即使 采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。
由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条 件是： 采样频率ωs 必须大于或等于采样开关输 入连续信号e（t）频谱中最高频率ωmax的2倍，即：
F(s) 1 1(1 1 ) s(sa) a s sa
其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得
f (t) 1[1eat ] a
F (z) 1 a [zz 1 z z e a T] a [z2 ( z 1 ( 1 e e a T a ) T z ) e a T ]
三、z反变换
由F（z）求 f*（t）的过程称为 z 反变换，表示为
j
2j
T
2
幅频特性
sin(T )
Gh ( j ) T
2
T
2
相频特性
Gh(
j)
T
2
幅频特性的幅值随频率ω的增大而衰减，具有明 显低通滤波特性。
自动控制原理(二)_华中科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
自动控制原理（二）_华中科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.死区特性可减小稳态误差。
参考答案:错误2.已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s),两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵分别为：（）【图片】【图片】【图片】参考答案:_3.对于线性定常系统，可控性与可达性是等价的。
参考答案:正确4.对于线性离散控制系统，可以直接应用连续系统劳斯判据判断系统稳定性。
（）参考答案:错误5.判断以下二次型函数的符号性质：【图片】参考答案:负定6.只要系统可观，则可用输出反馈（至状态微分）任意配置闭环极点使系统稳定。
参考答案:正确7.描述函数法主要研究自持震荡参考答案:正确8.具有饱和非线性元件的非线性控制系统如下图所示，下列说法正确的是：（）【图片】参考答案:当K=5时，系统稳定_当K=15时，系统自振荡频率为_当K=10时，系统存在稳定振荡点9.已知【图片】的拉氏变换为【图片】, 求【图片】的Z变换。
（）参考答案:_10.某离散控制系统【图片】（单位反馈T=0.1）当输入r(t)=t时.该系统稳态误差为∞。
参考答案:错误11.相轨迹振荡趋于原点，该奇点为。
参考答案:稳定焦点12.采样系统的闭环极点在Z平面上的分布对系统的动态响应起着决定性作用，采样系统的暂态特性主要由闭环脉冲传递函数的极点来确定。
（）参考答案:正确13.非线性系统自持振荡与有关。
参考答案:系统结构和参数14.设闭环离散系统如图所示，其中采样周期为【图片】。
【图片】则下列说法正确的是（）参考答案:作用下的稳态误差为_作用下的稳态误差为15.对于下述系统的能控能观分解后的各子系统(特征值、和互异)，以下说法正确的是：【图片】参考答案:x1。
x2-x3-x4子系统状态完全能控_x5子系统状态完全不能控16.状态反馈既不改变系统的可控性也不改变系统的可观性参考答案:错误17.对非线性系统:【图片】【图片】其在原点处渐进稳定，但不是大范围渐进稳定的。
线性离散控制系统
1
T
-s
- s - max 0 max s
s
2
2
(b)离散信号e*（t）的频谱（ s ＞2 max）
11
7.2.2 采样定理
为了能不失真的从离散信号中恢复原有的连 续信号，采样频率必须大于等于原连续信号 所含最高频率的两倍，即
s 2max
(7-10)
或
T 2
35
Z
x(t T) =xz(t) 2Tt T 2
= T2Z
由实位移定理有
Z x(t T) x(t) （z-1）x(z)
x(z) T 2 Z (Z 1)
(Z 1)3
36
(3)复平移定理
z et x(t) x(eT z) (7-36)
控制过程 流量 压力 液位 温度 成分
采样周期T（秒） 1 5 5 20 20
表7-1 工业过程T的选择
14
从时域性能指标来看，随动系统的采样角频 率可近似取为
s 10c
(7-13)
由于T＝2 s ，所以采样周期可按下式选
取：
1
T
5 c
(7-14)
采样周期T可通过单位接跃响应的上升时间tr
一阶保持器以两个采样时刻的值为基础实
行外推，它的外推输出式中t`为kT到（k＋1
）T之间的时间变量。如图7-13所示 。
x(kT t ' ) x(kT) x(kT) x[(k 1)T ] t ' (7-23)
x(t)
x(t) T
xh (t)
0 t 2t 3t …..
图7-13 应用一阶保持器恢复信号
例 已知 x(t) et sin , t 求X（Z）
自动控制原理第九章线性离散控制系统
e -Ts
1 - e-Ts s
注意：这里的输入为1×δ(t)，是单位幅 值脉冲经理想脉冲调制后的信号，即单 位理想脉冲，其拉氏变换为1。
16
u( t )
1
0
uh( t )
1
0T
1 0 -1
说明：零阶保持器实际的传递函数
u( t )
零阶 uh ( t )
保持器
实际的 u( t ) 1( t ) - 1( t - )
t
7
单位幅值脉冲与理想脉冲的区别
δT (t)
1
δT (t)
0 T 2T
t
0 T 2T
t
用 1( t ) 表示 0 时刻的单位幅值脉冲，则第nT 时刻的单位幅值 脉冲为 1( t - nT ) 1( t - nT ) - 1( t - nT - ) , n 0 , 1, 2,
当 0 时， 其拉氏变换为
- s - max 0 max s
2s
s 2max 时
F( j )
- s - max 0 max s
2s
13
s 2max 时
F( j )
- 2s
-
-
s
max
0
max
s
2s
只有满足 s 2max，采样信号 f ( t ) 才包含了原信号
f ( t )的全部信息，因此可以不失真地重现原信号。
说明：采样定理只提供了选择采样周期的理论依据，对于 实际的反馈控制系统，连续反馈信号的上限频率（带宽） 通常难以准确地确定，因此选择采样周期一般依靠估计。
15
u( t )
1
0
uh( t )
1
0T
1 0 -1
自动控制原理 离散控制系统PPT课件
采样定理给出了采样频率下限的选取规则，对于采样频率的上限，要依据易 实现性和抗干扰性来统一确定。
利用拉氏反变换求出 1 的原时间函数为e( j)t，利用已知的指数函
s j
数z变换公式可求得相应的z变换，即
Z[sin t ]
2
j(z
z e
jT
)
2
j(z
z
e jT
)
z2
z sinT (2cosT )z
1
第23页/共79页
3.留数计算法
若已知连续时间函数e(t)的拉氏变换 E(s) 及其全部极点，则e(t)的z变换E(z)可通过
1 1 z1
z
z 1
第20页/共79页
例7-2 试求衰减指数函数 e(t) eat (a 0) 的z变换。
解：将 eat 在各采样时刻上的采样值代入展开式，得
E(z) eakT zk 1 eaT z1 e2aT z2 k 0
ekaT zk
若 | eaT z1 |1，即| eaT z |1，则可写成闭合形式：
第8页/共79页
2.D/A转换器
D/A转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置。包括解码过程 和复现过程。 解码过程就是把离散数字信号转换为离散的模拟信号。 复现过程就是通过保持器，将离散模拟信号复现为连续模拟信号。
第9页/共79页
7.2 信号的采样与保持 采样过程及其数学描述
《自动控制原理》 线性离散系统的可控性和可观测性
于n个采样周期。
例9-19 设单输入线性定常离散系统状态方程为
1 0 0
1
x(k
+ 1)
=
0
2 − 2 x(k) + 0u(k)
−1 1 0
1
试判断其可控性；若初始状态 x(0) = 2 1 0T ，确定使 x(3) = 0 的控
制序列 u(0),u(1),u(2); 研究使 x(2) = 0 的可能性。
3）如果离散时间系统（9－135）或（9－136）是相应连续时间
系统的时间离散化模型，则其可控性和可达性是等价的。
上述等价条件的简单证明可参阅有关参考文献，此处不在详述。
(3)线性定常离散系统的可控性判据
设单输入线性定常离散系统的状态方程为
x(k +1) = Gx(k) + hu(k)
（9－137）
系统在时刻 l 是完全可观测的.
(2)线性定常离散系统的可观测性判据
设线性定常离散系统的动态方程为
x(k +1) = Gx(k) + Hu(k), y(k) = Cx(k) + Du(k) （9－153）
其中 x(k) 为n维状态向量， y(k)为q维输出向量，其解为
k −1
x(k) = G k x(0) + G k−1−i Hu(i) i=0
由 x(1) = Gx(0) + Hu(0) = 0 可得
0 − 2 1 0 0
−1 2
x(0) = −G −1Hu(0) = −0 1
−1 2 3
0 0 − 21
1 0
u1 u2
(0) (0)
=
0 2
1 u1(0) −23u2 (0)
线性定常离散控制系统
扰动量
输入量 +
_
控制环节
输出量 被控对象
反馈量
反馈环节
1、举例：电枢控制的直流电动机闭环控制系统
假设ui不变，n希 1500r / min
n实 u2 u u ui u2 ua n
2、优点： （1）可有效地抑制扰动对系统的影响 （2）可提高系统的稳态精度 （3）加快系统的过渡过程
若线性系统中，系数不是常数，而是时间的函数， 如：
••
•
yt at yt btyt ctrt
称该系统为线性时变系统。
七、确定系统和不确定系统：
1、确定系统：系统结构参数确定，输入输出信号都 为时间的确定函数。
2、不确定系统：若有一个不满足， 则为不确定系统。
第五节 对控制系统的要求
1、系统是稳定的----------“稳”； 2、稳态误差要小-----------“准”； 3、相对稳定性好，动态品质好------------“好”。
4、缺点：
可能引起超调，造成系统振荡，甚至使得系统不稳定。
三、复合控制系统
开环控制和闭环控制相结合的控制方式。分为按输 入信号补偿和按扰动信号补偿两种方式。
补偿装置
输入量
控制器
被控对象
输出量
按输入作用补偿
输入量
补偿
扰动量
装置
控制 装置
被控 对象
输出量
按扰动作用补偿
第三节 控制系统的分类
按参考输入的类型来分： 一、随动系统：
1t
发送机
2 t
接收机
前相校
u 置敏正 放检装 大波置
直功
u 流 率
放放
a SM
大大
2m
线性离散控制系统
离散系统概述(ɡài shù)（续）
§7—1 概述
(ɡài shù)
(1)设 ,
秒
则
共一百六十九页
离散系统概述(ɡài （续） shù)
§7—1 概述 (ɡài shù)
共一百六十九页
离散系统概述(ɡài （续） shù)
§7—1 概述
(ɡài shù)
可见:当T很大又存在滞后时,为得到好的动态品质, K只能大大减小,则 ;此时若附加校正，由于T 太大，校正装置的时间常数也应很大，难以实现。
2.采样信号的频谱： 为使 复现采样前的 先从
频谱入手。
又从上面 可知 与
有关。
值描述了 在采样 瞬时的数值,
不能给出连续信号 在采样间隔之间的信
共一百六十九页
采样(cǎi yànɡ)定理 （续）
§7–2 信号(xìnhào)的采样与 保持
息，即采样信号的信息不等于连续信号的全部信息。
因此，采样信号的频谱与连续信号的频谱相比，要发
离散控制系统概述离散控制系统概述772信号的采样与保持信号的采样与保持离散系统的数学模型离散系统的数学模型775离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析776采样系统的稳态误差分析采样系统的稳态误差分析777采样系统的动态性能分析采样系统的动态性能分析变换变换11基本概念采样定理和零阶保持器基本概念采样定理和零阶保持器22zz变换与变换与zz反变换反变换33差分方程及其求解差分方程及其求解44脉冲传递函数的概念与系统的脉冲传函脉冲传递函数的概念与系统的脉冲传函55线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析66线性离散系统的稳态误差分析线性离散系统的稳态误差分析77线性离散系统的动态性能分析线性离散系统的动态性能分析11脉冲传递函数脉冲传递函数22线性离散系统的稳定性分析线性离散系统的稳定性分析33线性离散系统的稳态误差分析线性离散系统的稳态误差分析44线性离散系统的暂态性能分析线性离散系统的暂态性能分析脉冲传函的求取和动态性能分析脉冲传函的求取和动态性能分析前六章讨论的是线性连续控制系统其各处的信前六章讨论的是线性连续控制系统其各处的信号都是时间的连续函数也称为模拟信号时间上连号都是时间的连续函数也称为模拟信号时间上连续幅值也连续的信号
离散控制系统PPT课件
[e(i) 2e(i
e(i 1)] 1) e(i
2)]
中心
e(t
e(t )
)
1 T2
1 [e(i 2T [e(i 1)
1) e(i 1)] 2e(i) e(i
1)]
例7-3 试将PID控制器离散化
u(t
)
K
p
e(t
)
1 Ti
展开式
或② 或③
n
n
y(k) ai y(k i) bi x(k i)
i 1
i 1
n
n
y(k) bi x(k i) ai y(k i)
i0
i0
级数和式 计算机算式
2、与脉冲传递函数的关系
对②两边Z变换：
Y (z)(1 a1z1 a2 z2 an zn ) X (z)(b0 b1z1 b2 z2 bn zn )
1 0.2s
1
解：代入 s 2 z 1
T z 1
G(z)
2
z
12
1 0.2
2
z
1
1
T z 1
u(k)
u(k
1)
K
p e(k)
e(k
1)
T Ti
e(k )
Td e(k) 2e(k 1) e(k 2)
T
或整理为
u(k) u(k 1) b0e(k) b1e(k 1) b2e(k 2)
b0
K
p
状态空间分析方法基础
§9-1 控制系统的状态空间描述
别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量 所组成的代数多项式。
2.输出方程 输出方程是在指定输出变量的情况下，该输出 变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定 输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表 征为一个变换关系的代数方程。
1.1检测的基本概念
1）传感器 传感器的作用是把被测的物理量转变为电参量，是获取
信息的手段，是自动检测系统的首要环节，在自动检测系统 中占有重要的位置。 2）信号处理电路
信号处理电路的作用把传感器输出的电参量转变成具有 一定驭动和传输功能的电压、电流和频率信号，以推动后续 的记录显示装置、数据处理装置及执行机构。 3）记录显示装置
1）静态测量和动态测量 2）直接测量与间接测量 3）模拟式测量和数字式测量 4）接触式测量和非接触式测量 5）在线测量和离线测量
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1.1检测的基本概念
2. 测量误差 在检测过程中，被测对象、检测系统、检测方法和检测
人员都会受到各种因索的影响。而且，对被测量的转换有时 也会改变被测对象原有的状态信息，这就造成了检测结果 （测量值）与真值之间存在一定的差值，这个差值就称为测 量误差。
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§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式 线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。 二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解 迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利 用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。
离散控制系统及Z变换(补充)
t s(settling
系统的动态特性（ 2、系统的动态特性（dynamic
character）
K T 若对象为 G p (s) = ，一般取 T = 0.1 0 T0 s +1 T 若对象为 Ke−τs ， = (1.2 ~ 0.35)τ ,0.1 ≤ τ T 0≤ 1 G p (s) = T0 s +1 T = (0.35 ~ 0.22)τ ,1 ≤ τ T 0≤ 10
+∞
f * (t) = ∑ f (nT)δ (t − nT)
n=0
对上式两边取拉氏变换， 对上式两边取拉氏变换，令 F(s) = L[ f * (t)] 则
F(s) = ∑L[ f (t)] = ∑ f (nT)L[δ (t − nT)] = ∑ f (nT)e
* n=0 n=0 n=0 +∞ +∞ +∞ −nTs
终值定理( 5、终值定理(finial value theorem)
f (∞) = lim f * (t) = lim f (nT) = lim (1− z −1)F(z) = lim (z −1)F(z)
t→∞ n→∞ z→ 1 z→ 1
1
0
h0 (t) =1(t) −1(t −T)
T
t
三、 数字控制系统中采样周期T的确定 数字控制系统中采样周期T
(采样周期:sampling period) 采样周期:sampling
1、理论依据
香农采样定理： 香农采样定理：为了使采样信号能不失真的反映连续 的变化规律， 信号 f (t) 的变化规律，采样频率 f 至少应该是 f (t) 频谱 的两倍, 的最高频率 fmax的两倍,即
宽度为0的脉冲量， 宽度为0的脉冲量，图形表示 如右， 如右，
《自动控制原理》线性定常离散系统状态方程的建立及求解
向量－矩阵形式为
x1 (k + 1) 0 1 0 0 x1 (k) 0
x2 (k
+ 1)
0
0
1
0
x2 (k)
0
= 0 0 0 0 + u(k)
xn−1
(k
+
1)
0
0
0
1
x
n−1
(k
)
0
xn (k + 1) − a0 − a1 − a2 − an−1 xn (k) 1
量和输入量：ai ,bi (i = 0,1,2,, n且an = 1) 为表征系统特性的常系
数。考虑初始条件为零时的z变换关系有
[ y(k)] = Y (z), [ y(k + i)] = ziY (z)
对式(9—87)两端取z变换并加以整理可得
G(z)
=
Y (z) U (z)
=
bn z n + bn−1 z n−1 + + b1 z + b0 z n + an−1 z n−1 + + a1 z + a0
（9－95）
三、线性定常离散动态方程的解
求解离散动态方程的方法友递推法和z变换法，这里只介绍常
用的递推法，对z变换法感兴趣的读者可参阅有关书籍。下面以解
离散化状态方程为例来说明如何使用递推法求解。令式（9－93）
中的k = 0,1,, k −1可得到 T,2T,, kT 时刻的状态，即
k = 0 : x(1) = (T )x(0) + G(T )u(0)
=
bn
+
z n−1 n−1
+
自控原理离散控制系统课件
通过状态方程可以求解系统的 状态响应和输出响应，进而进 行系统分析和设计。
离散控制系统传递函数
传递函数是用于描述离散控制系 统输入输出关系的数学模型。
它通常表示为 G(z) = b0 + b1z^-1 + b2z^-2 + ... + bd*z^-d，其中 z 是复数变量
，bi 是已知系数。
传递函数可以用于分析系统的稳 定性、频率响应和系统性能等。
抗干扰性能定义
抗干扰性能是指系统在受到外部干扰信号作用时，系统能够保持 稳定输出的能力。
抗干扰性能的指标
主要包括干扰信号的类型、幅度、频率等。
提高抗干扰性能的方法
通过增强系统自身的稳定性、采用滤波技术、引入鲁棒控制等手段 提高抗干扰性能。
05
CATALOGUE
离散控制系统的设计方法
离散控制系统的设计原则与步骤
奈奎斯特判据
对于线性离散控制系统，如果系统的极点都位于Z平面的左半部分，且没有极点 在虚轴上，则系统是稳定的。
离散控制系统的稳定性分析方法
根轨迹法
通过绘制系统的根轨迹图，分析 系统的极点和零点分布，从而判 断系统的稳定性。
频率域分析法
通过分析系统的频率响应，判断 系统是否稳定。频率域分析法通 常使用劳斯-赫尔维茨判据或奈奎 斯特判据进行稳定性分析。
04
CATALOGUE
离散控制系统的性能分析
离散控制系统的稳态误差分析
稳态误差定义
稳态误差是控制系统在输入信号作用下，系统达到稳态后其输出 量与期望输出量之间的偏差。
稳态误差的来源
主要来源于系统本身的结构和参数设计，如系统增益、积分环节、 微分环节等。
减小稳态误差的方法
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第九章 线性离散控制系统
A9－1 试求下列函数的Z 变换：
（1）f(t)=1-e －at
（2）f(t)=cos ωt
（3）f(t)=αt/T
（4）f(t)=te －at
（5）f(t)=t 2
A9－2 求下列拉氏变换式的Z 变换（式中T 为采样周期）：
（1）21)(s s F =
（2）)
2)(1()3()(+++=s s s s F （3）2
)2(1)(+=s s F （4）)
()(a s s K s F += （5）)(1)(2a s s s F +=
（6）22)(ωω
−=s s F
（7）)
()(a s e s F nTs
+=− A9－3 求下列函数的Z 反变换（式中T 为采样周期）：
（1）)
)(1()1()(T T e z z e z z F −−−−−= （2）)
2()1()(2−−=z z z z F （3）22)1()1()(−+=
z z z z F （4）222)
1()1(2)(+−=z z z z F
（5）55
432546.035.0)(z
z z z z z z F +++++= A9－4 用留数法求下列函数的Z 反变换：
（1）)
2)(1(10)(−−=z z z z F （2）3
)1()(2
−=ze z z F A9－5 确定下列函数的初值与终值：
（1）)
2.0)(18.0()1()(2222+++−++=z z z z z z z z F （2）)
1.0)(8.0()(2
−−=z z z z F （3）3212
14.26.52.411.03.01)(−−−−−−+−++=z
z z z z z F A9－6 用Z 变换方法求解下列差分方程，结果以f(k)表示：
（1）f(k+2)+2f(k+1)+f(k)=u(k)
f(0)=0, f(1)=0, u(k)=k (k=0,1,2,…)
（2）f(k+2)-4f(k)=coskn (k=0,1,2,…)
f(0)=1, f(1)=0
（3）f(k+2)+5f(k+1)+6g(k)=cos 2
k n (k=0,1,2,…) f(0)=0, f(1)=1
A9－7 求图题A8－7所示各系统的脉冲传递函数和输出信号的Z 变换。
A9－8试求图题A9－8所示各系统输出信号的Z变换。
图题A9－8
A9－9 试求图题A8－9所示系统的闭环脉冲传递函数以及X(z)与R(z)之间的脉冲传递函数。
图题A9－9
A9－10 试判断下列系统的稳定性，并确定位于Z 平面单位圆外极点的个数：
（1）已知系统的特征方程为
(z+1)(z+0.5)(z+2)=0
（2）已知误差采样单位反馈系统的开环传递函数为
)
1(57.22)(2+=s s s G 采样周期T ＝1s A9－11 已知系统结构图如图题A8－11所示，试绘制参数K ～T 的稳定域曲线（T ）为采样周期
图题A9－11
A9－12 已知系统结构图如图A8－12所示，图中ZOH 为零阶保持器，求使系统稳定时K 0的最大允许值。
图题A8－12 （采样周期T ＝1s ）
A9－13 计算图题A9－12系统的稳态误差，设K 0＝1、T ＝1s 、r(t)＝4＋t(t ≥0).
A9－14 已知各系统开环脉冲传递函数的零、极点分布如图题A9－14所示。
试分别绘制它们的根轨迹。
图题A9－14
A9－15 分析图题A9－12所示系统当T ＝0.1，1，4s 时的单位阶跃响应，并说明采样周期T 对系统稳定性与暂态特性的影响。
A9－16 绘制图题A9－12系统的开环对数频率特性，判断系统的稳定性并求相角裕量值。
A9－17 设某一离散系统的脉冲传递函数为
212
13412)(−−−−+++=z
z z z z G 试用两种方法绘制其状态图并求系统的状态空间表达式。
A9－21 求下列控制器传递函数的W 变换表达式：
10
10)(+=s s G c A9－22 分别用后向差分法、阶跃响应不变法、零极点映射匹配法以及双线性变换法，对题A9－12所给模拟控制器进行离散化，求其等效数字控制器的脉冲传递函数并分析说明变换前后的误差系数值。