高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)

高等数学求极限的14种方法

一、极限的定义

1.极限的保号性很重要：设

A x f x x =→)(lim 0

，

（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。

2.

限是否存在在：

（i ）数列{}

n x a 的 （ii ）x f x ∞

→lim

)( (iii)

x f x x =→lim 0

)( (iv)单调有界准则

（v （vi ）柯西收必要条件是：

ε∃>∀,01.2.洛必达（L ’ x 趋如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：

（i ）“

00”“∞

∞

”时候直接用 (ii)“∞•0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通

项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)

()(1

)(1

)(1

)()(x g x f x f x g x g x f -=-

(iii)“00”“∞1”“0

∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e

x f x g x g x f )

(ln )()()(=，

这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞•0”型未定式。

3.泰勒公式(含有x

e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

12)!

1(!!21+++++++=n x

n x

x n e n x x x e θ ； 3211253)!

32(cos )1()!12()1(!5!3sin ++++-++-+-+-=m m m m

x m x m x x x x x θ

cos=221242)!

22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ 1

1132++-n n n

n

n x x x x 4.5.6.1）设0>>>c b a ，

n x =n n ∞

→∞

→a x n n =∞

→

（2）求⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++∞→222

)2(1)1(11lim n n n

n

解：由n n

n n n n n

1

111)2(1)1(1102222

22

=+++<++++< ，以及01

0lim lim ==∞→∞→n

n n 可知，原式=0 (3)求⎪⎪⎭⎫

⎝⎛++++++∞

→n n n n n 2

221

211

1lim 解：由

n

n n n

n n

n n

n n

n n n n

n n +=

++++

+<

+++++

+<=++2

2

2

2

2

2

1111

211

111

11

,以及

11111lim

lim

lim 2

=+

=+=∞

→∞

→∞

→n

n

n n n n n 得，原式=1

7.数列极限中等比等差数列公式应用（等比数列的公比q 绝对值要小于1）。例如：

求

()

12

321lim -∞

→++++n n nx x

x )1|(|

8.数列极限中各项的拆分相加（可以使用待定系数法来拆分化简数列）。例如：

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++⨯+⨯∞

→)1(1321211lim n n n =1)1(11)1(1

131

21211lim lim =⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-+-∞→∞

→n n n n n 9.利用1+n x x x 与极限相同求极限。例如：

（1）已知

n a a 12,211+==+，且已知n a lim 存在，求该极限值。 A=1+2

（2 21<<+k k x x 。所以，

{022=--A A 。

10. （i 11.n

n 快于n ！,n ！快12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限

x

x x 2sin 2arccos lim

π

-

→。解：设t t x t x x t sin )2cos(,00,2arccos -=+=→→-=ππ且时，则。

原式=

2

1

sin 222arccos 22arccos 2sin 2lim

lim

lim 0

0-=-=

-

=

-

→→→t t x

x x

x x

x t x x π

π

13．利用定积分求数列极限。例如：求极限⎪⎭⎫

⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim 。由于

n

i n i n +=+11

1，所以