材料力学第九章动荷载和交变应力

击点处沿冲击方向所产生的与静荷载类型相对应的静变形。 强度计算：
dmax [ ]
特别注意： 不同情形下动荷因数具有不同的形式！
例 如图所示。已知 W=150N，h=75mm，l =2m，截 面为边长a =50mm正方形，E = 2×105 MPa。求σdmax、△Dd。 不计梁的自重。 解：1.计算静态的△Cst、Mmax 和σstmax
轮缘平均半径为R，轮缘部分的横截面积为A。 设计轮缘部分的截面尺寸时，为简单起见，可 以不考虑轮辐的影响，从而将飞轮简化为平均半径
等于R的圆环。 由于飞轮作等角速度转动， 其上各点均只有向心加速度，故 惯性力均沿着半径方向、远离旋 转中心，且为沿圆周方向连续均 匀分布力。
qd
y

D O O mm FNd d
在静应力不变的情况下，减小动荷系数可以减小冲击应力。 即加大冲击点沿冲击方向的静位移： 被冲击物采用弹性模量低、变形大的材料制作； 或在被冲击物上垫上容易变形的缓冲附件。
四、冲击韧度
冲击韧度：单位面积吸收的能量αk，通过冲击试验得到
W k A αk为材料抗冲击能力的指标，值越大，材料的抗冲击能力越好。
d kd st
Fd kdW
d kd st
kd 1 1
d kd st
Fd kdW
2h
st
A D 2l / 3 l
W
h
C l/3
d kd st 这种计算冲击应力和
冲击变形的方法，同样适
B
用于受竖向冲击的其它构
件，如图所示的梁。 冲击问题的关键是计算动荷因数，Δst是将冲击物重量 W当作静荷载作用于被冲击构件上冲击点处，在构件冲击点 处沿冲击方向所产生的与静荷载类型相对应的静变形。
Fd
W
st
d
W (h d )
1 Fd d 2
Fd
W
st
d
2 d h d 2st
2 d 2st d 2st h 0
解得：d （1 1 2h st）st
2h kd 1 1 st
从而
——竖向冲击动荷因数
§9-2 构件作匀加速直线运动 和匀速转动时的应力
一、构件作匀加速直线运动时的应力
x
x
FNd
q+qd
l/2
l/2
a
W Wa g
a
W
：q g A 分析钢索x截面 钢索自重集度 g A 上的动应力： 钢索惯性力集度 ：qd a g
由平衡： FNd
W W a qx qd x g
st FNst / A W2 / A 127.3MPa
2.5m FNd W2
d kd st 160.4MPa 1.05[ ]
∴ 钢索满足强度要求。
2.5m a
W2
W2 a g
2.梁的强度校核
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
FNd kdW2 50.4kN
W
A
2l / 3
h
C
D l/3 l
B
Fb( l 2 b 2 ) Fb 3 由 w x x 6 EIl 6 EIl l 2 l 2 l 3 W [l ( ) ] W 4 Wl 2 l 2 l 3 3 3 ( )3 0.19mm 得Δ Cst 243 EI 6 EIl 3 6 EIl 3
一、竖向冲击
由能量守恒原理，得 T V Vε
W
h
1 应变能Vε Fd Δd 2 其中：△d为杆件被压缩到最低点时的
缩短量；Fd为对应的最大冲击荷载。
Δd
l
EA
1 W (h d ) Fd d 2 EA d Cd Fd与△d成线性关系：Fd
l EA st Cst 在静荷载W作用下： W l
min r max
2.应力幅：最大应力与最小应力的差值，它表示交变应力 的变化幅度。 max min
min 1 3.对称循环交变应力： r max
4.非对称循环交变应力：对称循环(r =-1)以外的交变应力。

应力循环
max
min r 1 max
v2 用 代替，动荷因数成为 2g
v2 kd 1 1 gst
d
st
二、水平冲击
由T V Vε
W 2 1 得 v Fd d 2g 2
令 Fd Cd W Cst
W
v
A l
A
Fd
A
a
(a)
(b)
(c)
则 Fd
W
令k d
d v 2 st g
工程中大都采用简化计算方法，它以如下假设为前提： 假设1：冲击物为刚体，不变形（不吸收能量），从开始 冲击到冲击产生最大位移时，冲击物与被冲击构件一起
运动，而不发生回弹； 假设2：冲击时，不考虑被冲击构件的质量，被冲击构
件的材料仍处在弹性范围内，服从胡克定律； 假设3：冲击过程中没有其它形式的能量转换，机械 能守恒定律仍成立。 分析冲击应力和变形的方法：能量法
由 kd 的计算公式可得：
kd 1 1
2h
st
1.当h = 0 时， kd = 2。表明构件的动应力是静荷载作用
下的两倍。这种荷载称为突加荷载。
2. 当h>>△st时，动荷因数近似为 kd
2h
st
3.△st越小，即构件的刚度越大，动荷因数越大。
4. 冲击物自由下落、刚接触被冲击物时的速度为v，则h可
衡量材料疲劳强度的一个基本指标： 对称循环特征下的疲劳极限 σ-1 。 疲劳极限σr 的测定：疲劳试验。 疲劳曲线：反映σmax与疲劳寿命 N关系的曲线。
W1 FNd l/2 l/2 FNd
1 M d max (W1 FNd )l 88kN m 4 M d max d max 135.4MPa [ ] 160MPa Wz
W2
W2 a g
梁的强度足够。
二、构件作匀速转动时的应力
考察以等角速度旋转的飞轮。飞轮材料密度为 ，
C 为危险截面，该截面的上下边缘为危险点。
M max
W 2l 66.7 N m 3 3
A D
W
M max stmax 3.2MPa Wz
kd 1 1 2h ΔCst 29.1
h
C
B l/3
2l / 3 l
dtmax kd stmax 93.1MPa
st
d
v2 gst
W 2 1 v Fd d 2g 2
v2 st kd st gst
kd
v2 水平冲击动荷因数 gst
d kd st
Fd kdW
d kd st
冲击问题的关键是计算动荷因数，Δst是将冲击物重
量W当作静荷载作用于被冲击构件上冲击点处，在构件冲
梁跨中D点的静位移
ΔDst
l W 3 [ 3l 2 4 ( l ) 2 ] 48 EI 3
23Wl 3 0.204mm 1296 EI
梁跨中D点处的冲击变形
ΔDd kd ΔDst 5.95mm
例
如图所示的16号工字钢梁，右端支座的弹簧刚度
系数k=0.16kN/m,W=2.0kN，h=350mm。梁的 [σ]=160MPa，E=2.1×105MPa。试校核梁的强度。
min
O
t
对称循环交变应力

max
r
min 0 max
脉冲循环交变应力 t （非对称循环交变应力）
O

r = +1
r
min 1 max
材料在交变应力 作用下的破坏，不仅
max= min
O t
静应力
与最大应力有关，还
与循环特征和循环次 数N有关。
疲劳寿命：构件疲劳破坏时的循环次数。 当最大应力减小到某一限值时，虽经“无限多次” 应力循环，材料仍不发生疲劳破坏，这个应力极限值 就称为材料的持久极限或疲劳极限σr 。
Wl 3 0.474mm 48 EI
W C A 1.5m
ΔCst 3.6mm
h
z
B
1.5m
4.动荷因数
kd 1 1 2h ΔCst
k
14.98
最大弯矩 最大静应力
M max Wl 4 2kN 3m / 4 1.5kN m
st max
M max 1.5 10 3 10.64MPa 6 Wz 141 10
x
x
a (W gAx )(1 ) g 其中： W gAx FNst
FNd
q+qd a
— — x截面上的静内力
kd 1 a ——动荷因数 g
W Wa g
FNd kd FNst d FNd A kd FNst A kd st
强度条件： d max
kd st max [ ]
例 已知W1=20 kN，W2=40 kN ，a =2.5 m/s2 。梁由2 根22b的工字钢组成，钢索d =20 mm，梁与钢索材料相同， [σ]=160 MPa ，试校核钢索与梁的强度（不计钢索与梁 的自重）。 W1 解：1.钢索的强度校核。
kd 1 a g 1 2.5 9.8 1.26
gA 2 D 2
g 4

gA
g
v2
y
截面上动应力：
FNd g 2 d v A g
mm
d

O
强度条件：
d
FNd
n n FNd
x
g
g
v 2 [ ]
临界速度：
v g[ ] g
上述结果表明：飞轮中 的动应力与轮缘的横截面积 无关。因此，增加轮缘部分 的横截面积，无助于降低飞 轮轮缘横截面上的动应力， 对于提高飞轮的强度没有任 何意义。

O
n n FNd
x
2 gA gA 2 D 离心惯性力集度：qd an g 2g D 由平衡 2FNd qd d sin 0 0 2 gA 2 D 2 gA 2 截面上动内力： FNd v g 4 g
向心加速度： an
2D
FNd
40 mm
2 2
10
55 mm
10
试件
§9-4 交变应力和疲劳破坏
工程中，某些构件所受的荷载是随时间改变而变化的， 即受交变荷载作用。
应力随时间变化的曲线，称为应力谱。
FH W

最小位移位置


静平衡位置 最大位移位置
min
max
t
F
d
F

3
2
i

1
y
a
l
a
4

Fa O M图
应力循环
max
§9-3 构件受冲击时的应力和变形
当运动着的物体作用到静止的物体上时，在相互接触的 极短时间内，运动物体的速度急剧下降到零，从而使静止的 物体受到很大的作用力，这种现象称为冲击。 两运动物体相互接触，接触前速度差较大，接触时 间短，则相互间的作用力较大，此现象也为冲击。 运动的物体称为冲击物。
静止的物体称为被冲击物。
W C
解：由型钢表查得
h
4 W =141cm3 I = 1130cm z z z
A
1.5m 1.5m
B
1.梁本身的变形
k
ΔCst1
0.5W 6.25mm 2.支座缩短量 ΔBst k 1 3.总静位移 ΔCst ΔCst1 ΔBst 0.474 3.125 3.6mm 2
5.最大动应力 dt max kd st max 159.4MPa [ ] 160MPa 结论：梁满足强度要求。
三、提高构件抗冲击能力的措施
d kd st
kd 1 1
Fd kdW
2h
d kd st
st
— —竖向冲击动荷因数
kd
v2 水平冲击动荷因数 gst
第九ห้องสมุดไป่ตู้ 动荷载和交变应力
§9-1 概 述
动荷载（dynamic load）是指随时间显著变化的荷载， 或是作加速运动或高速转动构件的惯性力。
例如：冲击荷载、惯性力等
构件由动荷载所引起的应力和变形分别称为动应力和动变形。 若构件内的应力随时间周期性变化，称为交变应力 （alternating stress）。 塑性材料构件在交变应力作用下，虽然最大工作应力 远低于材料的屈服极限，且无明显的塑性变形，却会发生 脆性断裂。这种破坏称为疲劳破坏（fatigue failure）。
t
min
疲劳破坏：构件长期在交变应力作用下，虽然最大工作 应力远低于材料的屈服极限(或强度极限)，且无明显的 塑性变形，却往往会发生骤然断裂。 疲劳破坏实质：由于在交变应力作用下,材料的缺陷将引
发细微裂纹，进而扩展成宏观裂纹，裂纹不断扩展，最后
发生脆性断裂。
§9-5 交变应力的特性和疲劳极限
1.循环特征：应力循环中最小应力与最大应力之比。