与圆有关的综合问题

与圆有关的综合问题

题型一：与圆有关的轨迹问题

[典例] 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；

(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．

[解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |.

设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.

故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的4种方法

[针对训练]

1．(2019·厦门双十中学月考)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4

D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1

解析：选A 设中点为A (x ，y )，圆上任意一点为B (x ′，y ′)，

由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＋4＝2x ，y ′－2＝2y ，则⎩

⎪⎨⎪⎧

x ′＝2x －4，y ′＝2y ＋2，

故(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得，(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，故选A.

2．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点． (1)求M 的轨迹方程；

(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．

解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4. 设M (x ，y )，则CM ―→＝(x ，y －4)，MP ―→

＝(2－x,2－y )． 由题设知CM ―→·MP ―→

＝0， 故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，

即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，

所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.

(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆． 由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上． 又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .

因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－1

3，

故l 的方程为x ＋3y －8＝0.

又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为410

5，

所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝16

5，

故△POM 的面积为16

5

.

题型二：与圆有关的最值或范围问题

[例1] (2019·兰州高三诊断)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B 使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围是( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]

D ．[3,5]

[解析] 法一：当MA ，MB 是圆C 的切线时，∠AMB 取得最大值．若圆C 上存在两点

A ，

B 使得MA ⊥MB ，则MA ，MB 是圆

C 的切线时，∠AMB ≥90°，∠AMC ≥45°，且∠AMC ＜90°，如图，所以|MC |＝(5－1)2＋(t －4)2≤10

sin 45°

＝20，所以

16＋(t －

4)2≤20，所以2≤t ≤6，故选C.

法二：由于点M (5，t )是直线x ＝5上的点，圆心的纵坐标为4，所以实数t 的取值范围一定关于t ＝4对称，故排除选项A 、B.当t ＝2时，|CM |＝25，若MA ，MB 为圆C 的切线，则sin ∠CMA ＝sin ∠CMB ＝1025＝2

2，

所以∠CMA ＝∠CMB ＝45°，即MA ⊥MB ，所以t ＝2时符合题意，故排除选项D.选C. [答案] C

[例2] 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.求： (1)y

x 的最大值和最小值； (2)y －x 的最大值和最小值； (3)x 2＋y 2的最大值和最小值．

[解] 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． (1)y

x 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设y

x

＝k ，即y ＝kx .

当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值，此时|2k －0|k 2＋1

＝3，解得k ＝±3.

所以y

x 的最大值为3，最小值为－ 3.

(2)y －x 可看成是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距．

当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |

2＝3，

解得b ＝－2±6.

所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6. (3)x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方．

由平面几何知识知，x 2＋y 2在原点和圆心的连线与圆的两个交点处分别取得最小值，最大值． 因为圆心到原点的距离为(2－0)2＋(0－0)2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43， 最小值是(2－3)2＝7－4 3.

[方法技巧]

与圆有关最值问题的求解策略

处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：

[针对训练]

1．(2019·新余一中月考)直线x ＋y ＋t ＝0与圆x 2＋y 2＝2相交于M ，N 两点，已知O 是坐标原点，若|OM ―→＋ON ―→

|≤|MN ―→

|，则实数t 的取值范围是________． 解析：由|OM ―→＋ON ―→|≤|MN ―→|＝|ON ―→－OM ―→

|， 两边平方，得OM ―→·ON ―→

≤0， 所以圆心到直线的距离d ＝|t |2≤2

2

×2＝1， 解得－2≤t ≤2，

故实数t 的取值范围是[－2， 2 ]． 答案：[－2， 2 ]