函数基本讲义.doc

集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 集合的元素的三个特性：

1.元素的确定性；

2.元素的互异性；

3.元素的无序性

说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

非负整数集（即自然数集） 记作：N (natural number) 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

整数的德文为Zahlen ，19世纪德国数论很牛所以就采用Z 来表示整数了。 整数和分数统称为有理数,任何一个有理数都可以写成分数m/n(m,n 都是整数,且n≠0)的形式。也就是商的形式。而Q 是英文字母quotient （商）的首字母，所以有理数集用Q 表示。

1．函数

定义 设有x 和y 两个变量，D 是一个给定的数集，若对于D 中每一个数x ，变量y 按照一定的对应法则f 总有确定的数值与之对应，则称y 是x 的函数,记作：)(x f y =．数集

D 称为这个函数的定义域，数集}),({D x x f y y M ∈==称为函数的值域．x 称为自变量，y 称为因变量．

如果对于自变量x 的某个确定的值0x ，因变量y 能够得到一个确定的值，那么就称函数)(x f y =在0x 处有定义，其因变量的值或函数)(x f y =的函数值记为)(0x f 或0

|x x y =．

}),(),{(D x x f y y x G ∈==称为函数)(x f y =的图形．

2．函数的两个要素

由函数的定义可以知道，当函数的定义域和函数的对应关系确定以后，这个函数就完全确定了．因此，常把函数的定义域和函数的对应关系叫做确定函数的两个要素．两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时，这两个函数才认为是完全相同的． 例：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数？为什么？ 1．3

)

5)(3(1+-+=x x x y

52-=x y 解：不是同一函数，定义域不同

2。 111-+=

x x y )1)(1(2-+=x x y 解：不是同一函数，定义域不同

3。 x x f =)( 2

)(x x g =

解：不是同一函数，值域不同

4．

x x f =)( 33

)(x x F = 解：是同一函数

5．2

1)52()(-=x x f 52)(2-=x x f 解：不是同一函数，定义域、值域都不同

3.基本初等函数

我们学过的幂函数y x μ=(

μ为实数)；指数函数

(0,1)x y a a a =>≠；对数函数

log (0,1)a y x a a =>≠；三角函数x y sin =、x y cos =、x y

tan =、x y cot =、x y sec =、

x y csc =；反三角函数x y arcsin =、x y arccos =、x y arctan =、x arc y cot =统称为

基本初等函数．

函

数表达式定义域与值域图象特性幂

函数y xμ

=

定义域与值域随

μ的不同而不同，

但不论μ取什么

值，函数在

()

0,+∞内总有定

义

若0,

μ>xμ在[)

0,+∞单调增加，

若0,

μ

0,+∞内的减少．

指数函数

x

y a

=

0,1

a a

>≠

()

,

x∈-∞+∞

()

0,

y∈+∞

若1,x

a a

>单调增加，若01,x

a a

<<

单调减少．

对数函数

log

y x

a

=

0,1

a a

>≠

()

0,

x∈+∞

()

,

y∈-∞+∞

若1,log

a x

a

>单调增加，若

01,log

a x

a

<<单调减少．

正

弦函数

sin

y x

=

()

,

x∈-∞+∞

[]

1,1

y∈-+

奇函数，周期为2π，有界，在

2,2

22

k k

ππ

ππ

⎛⎫

-+

⎪

⎝⎭

内单调增加，在

3

2,2

22

k k

ππ

ππ

⎛⎫

++

⎪

⎝⎭

内单调减少．

余

弦函数

cos

y x

=

()

,

x∈-∞+∞

[]

1,1

y∈-+

偶函数，周期为2π，有界，在

()

2,2

k k

πππ+内单调减少，在

()

2,22

k k

ππππ

++内单调增加．

正

切函数

tan

y x

=

()

2

x k k Z

π

π

≠+∈

()

,

y∈-∞+∞

奇函数，周期为π．在

,

22

k k

ππ

ππ

⎛⎫

-+

⎪

⎝⎭

内单调增加．

函数的定义域是确定函数的要素之一，在研究函数时，只有在函数定义域内进行研究才是有意义的．

在实际问题中，函数的定义域是根据所研究的问题的实际意义来确定的．对于数学式子表示的函数，若不考虑问题的实际意义，则函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实